Lời giới thiệu
Phương pháp tọa độ trong không gian là kiến thức quan trọng trong chương trình toán học phổ thông, thường xuất hiện trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT và thi Đại học - Cao đẳng Kể từ năm 2017, môn Toán trong kỳ thi THPT Quốc gia đã chuyển từ hình thức thi tự luận sang trắc nghiệm, mang lại nhiều thuận lợi cho giáo viên và học sinh Tuy nhiên, quy chế thi mới cũng đặt ra không ít khó khăn cho cả giáo viên và học sinh trong quá trình dạy và học.
Trước đây, giải toán tự luận yêu cầu tư duy logic và trình bày đúng trình tự để đạt kết quả cao, nhưng hiện nay, hình thức thi trắc nghiệm đòi hỏi học sinh phải mở rộng kiến thức và giải quyết bài toán nhanh chóng Trong các bài thi trắc nghiệm, học sinh cần phải nắm vững kiến thức rộng và không rườm rà, chuyển từ phương châm "chậm và chắc" sang "nhanh" để đáp ứng yêu cầu Bên cạnh đó, một số câu hỏi lý thuyết yêu cầu học sinh phải ghi nhớ nhiều hơn để có thể làm bài hiệu quả.
Trước sự thay đổi trong phương pháp thi, học sinh cần làm quen với hình thức thi mới Việc luyện tập giải nhiều đề thi trắc nghiệm giúp học sinh nhận ra những lỗi thường gặp và tìm ra phương pháp giải tối ưu cho từng bài toán Học đi đôi với hành là chìa khóa để đạt kết quả cao trong học tập.
Khi giải các bài toán theo phương thức tự luận, có thể yêu cầu mức độ vận dụng cao, nhưng ở dạng trắc nghiệm, chúng ta có thể giảm độ khó xuống còn mức thông hiểu hoặc vận dụng thấp Điều này có thể thực hiện bằng cách loại trừ các đáp án không phù hợp và chọn đáp án thỏa mãn, hoặc đơn giản hóa dữ kiện của bài toán để so sánh với các đáp án đã cho Trong quá trình này, máy tính Casio trở thành một công cụ hỗ trợ đắc lực cho việc tính toán và thử nghiệm đáp án.
Giải toán bằng máy tính Casio không đồng nghĩa với việc học sinh không cần tư duy Phương pháp này dựa trên hai nền tảng chính: tư duy thuật toán và lý thuyết cơ bản Mặc dù không sử dụng phương thức tự luận truyền thống, lý thuyết cơ bản vẫn luôn được coi là nền tảng quan trọng trong quá trình giải toán.
Máy tính không thể hoàn toàn thay thế con người; vì vậy, việc thành thạo cả phương pháp tự luận và sử dụng máy tính Casio là rất quan trọng để đạt kết quả tốt và tiết kiệm thời gian Học sinh có thể bỏ qua phương pháp tự luận đối với một số dạng bài nếu còn hạn chế về năng lực, nhưng vẫn cần rèn luyện kiến thức và kỹ năng để thành thạo cả hai phương pháp Điều này giúp tránh việc phụ thuộc vào thuật toán bấm máy cho những câu hỏi khó.
Để tăng cường sự hứng thú và hiệu quả học tập cho học sinh trong chương "Phương pháp tọa độ trong không gian", tôi đã quyết định nghiên cứu và phát triển đề tài này.
Hướng dẫn học sinh lớp 12 sử dụng máy tính Casio để giải toán trắc nghiệm trong chương "Phương pháp tọa độ trong không gian" sẽ giúp hệ thống hóa các dạng bài tập cơ bản liên quan đến vectơ, mặt phẳng, đường thẳng và mặt cầu Việc này không chỉ phát triển năng lực tính toán và giải quyết vấn đề mà còn hỗ trợ học sinh trong việc học toán và các môn khoa học tự nhiên, đặc biệt là trong kỳ thi THPT Quốc gia.
Tên sáng kiến
HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIOGIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG “PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘTRONG KHÔNG GIAN”
Tác giả sáng kiến
- Họ và tên: Lưu Thị Minh Nguyệt
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Bình Xuyên
Mô tả bản chất của sáng kiến
Về nội dung của sáng kiến
có thể sử dụng máy tính Casio:
Bài toán sử dụng các phép toán cơ bản như cộng, trừ, nhân, chia, cùng với các chức năng giải hệ phương trình, bao gồm cả giải hệ 3 phương trình bậc nhất với 3 ẩn Nội dung bài toán bao gồm việc tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, độ dài của vectơ, và tích vô hướng giữa hai vectơ Ngoài ra, bài toán còn yêu cầu tìm bán kính, diện tích và thể tích của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
Bài toán sử dụng chức năng vectơ bao gồm các phép toán quan trọng như tính độ dài vectơ, tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ Ngoài ra, bài toán còn liên quan đến việc tính diện tích tam giác, diện tích hình bình hành, thể tích khối hộp và thể tích tứ diện Cuối cùng, nó cũng bao gồm việc tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Bài toán sử dụng phím chức năng CALC và dấu hai chấm (“:”) cho phép kiểm tra các thuộc tính hình học như điểm thuộc đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu; xác định điểm giao của đường thẳng với các đối tượng hình học khác; tìm tọa độ giao tuyến của hai mặt phẳng; xác định tọa độ hình chiếu của điểm trên mặt phẳng và đường thẳng; tính tọa độ điểm đối xứng qua mặt phẳng hoặc đường thẳng; và kiểm tra điểm thỏa mãn điều kiện cho trước Ngoài ra, bài toán cũng bao gồm việc xác định phương trình của đường thẳng, mặt phẳng, và mặt cầu đi qua một số điểm đã cho.
Phương pháp tọa độ hóa trong hình học không gian giúp học sinh giải quyết hiệu quả các bài toán như khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, cũng như tính toán góc giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, và giữa hai mặt phẳng Phương pháp này cũng đơn giản hóa việc tính thể tích khối đa diện so với các phương pháp truyền thống Tuy nhiên, việc áp dụng tọa độ thường chỉ được sử dụng cho những bài toán có mối liên hệ vuông góc hoặc khi việc xác định khoảng cách và góc gặp khó khăn.
CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Kiến thức cơ bản
1 Hệ tọa độ Đêcac vuông góc trong không gian
Cho ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O Gọi i j k , ,
là các vectơ đơn vị tương ứng trên các trục Ox, Oy,
Oz Hệ ba trục như vậy gọi là hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz hoặc hệ tọa độ Oxyz.
2 Tọa độ của vectơ a) Định nghĩa: b) Tính chất Cho
Biểu thức tọa độ của tích vô hướng:
3 Tọa độ của điểm a) Định nghĩa:
(x: hoành độ, y: tung độ, z: cao độ)
Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB:
Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:
4 Tích có hướng của hai vectơ a) Định nghĩa:Cho
b) Ứng dụng của tích có hướng
Diện tích hình bình hành ABCD:
Diện tích tam giác ABC :
Thể tích khối hộp ABCD.ABCD:
Đường cao của AH tam giác ABC:
Đường cao của AH tứ diện ABCD:
Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R:
Phương trình với là phương trình mặt cầu tâm I(– A; – B; – C) và bán kính
6 Phương trình mặt phẳng a) Phương trình tổng quát của mặt phẳng:
mp có phương trình tổng quát: Ax + By + Cz + D = 0thì có một vectơ pháp tuyến là
Mặt phẳng (P) qua điểm M(xo; yo; zo) nhận vectơ làm VTPT có phương trình dạng A(x – xo) + B(y – yo) + C(z – zo) = 0
Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn
Mặt phẳng qua ba điểm (a, 0, 0), (0, b, 0) và (0, 0, c) với abc 0 có phương trình b) Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng
c) Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Khoảng cách từ điểm M(xo; yo; zo) đến mặt phẳng ():Ax + By + Cz + D = 0 xác định bởi công thức: d) Góc giữa hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0; (Q):A’x + B’y + C’z + D’ 0 có vectơ pháp tuyến tương ứng là Gọi là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) thì ta có:
7 Phương trình đường thẳng a) Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng Đường thẳng (d) qua M(xo; yo; zo) nhận là một vectơ chỉ phương có phương trình tham số là:
Nếu abc 0 thì (d) có phương trình chính tắc là: b) Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng: d1 đi qua M1 và có vectơ chỉ phương là , d2 đi qua
M2 và có vectơ chỉ phương là
+ (d1) trùng (d2) c) Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Thay (*) vào (P) ta có phương trình ẩn t.
A(xo + at) + B(yo + bt) + C(zo + ct) + D = 0 (1) + Nếu phương trình (1) có duy nhất nghiệm thì (d) cắt (P) tại một điểm. + Nếu (1) vô nghiệm thì (d) // mp(P).
+ Nếu (1) có vô số nghiệm thì (d) nằm trong mp(P).
Nếu to là nghiệm của phương trình (1), tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) sẽ được xác định Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d đi qua M có vectơ chỉ phương (VTCP) cần được tính toán Đối với hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2, khoảng cách giữa chúng cũng cần được xác định, trong đó d1 đi qua M1 và có VTCP nhất định, còn d2 đi qua M2 với VTCP khác Góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 cũng sẽ được tính toán dựa trên các vectơ chỉ phương của chúng Cuối cùng, góc φ giữa đường thẳng d có vectơ chỉ phương và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến (VTPT) cũng là một yếu tố quan trọng cần xem xét.
Một số dạng toán cơ bản về viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng và mặt cầu
Kí hiệu: vectơ pháp tuyến của mp(P), mp(α), tương ứng là ,
Vectơ chỉ phương của đường thẳng d, , tương ứng là ,
Dạng 1: Phương trình mặt phẳng đi qua M(x o ; y o ;z o ) và có 1VTPT
1.3: (P) là mặt phẳng trung trực của AB (P) đi qua M là trung điểm của AB và nhận làm VTPT
Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và có 2 vectơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên (P) (tức là có cặp vectơ chỉ phương )
- (P) đi qua A và có 1VTPT là
2.1: (P) vuông góc với 2 mặt phẳng(Q) , (R) = [ , ]
2.2 : (P) song song với 2 đường thẳng d1, d2
2.4 : (P) đi qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng = [ , ]
2.6 : (P) chứa (d) và đi qua A với B là 1 điểm bất kì thuộc d
Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) và ( )( hoặc // ( )hoặc (Q) )
- Từ ( ) (hoặc mp(Q)) VTCP (VTPT ) và tính = [ , ] (hoặc
- mp (P) đi qua M và có VTPT
Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) //(Q) và d(A;(P))=h
- Vì (P) // (Q): Ax + By +Cz + D = 0 nên phương trình mp(P) có dạng Ax +
- Vì d(A,(P))= h nên thay vào ta tìm được D’suy ra phương trình mp(P)
Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) và d(A,(P))=h
- Gọi VTPT của mp (P) là P = (A,B,C) với đk là A 2 + B 2 + C 2 >0
- Giải (1);(2) ta tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết được phương trình mp(P).
B PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng d qua M(x o ; y o ;z o ) và có VTCP
+ Phương trình tham số của đường thẳng d là: d: với t R
+ Nếu a.b.c 0 thì d có phương trình chính tắc :
1.2: d đi qua M(xo; yo; zo) và (d) // ( )
: d đi qua M(xo; yo ;zo) và
Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(x o ; y o ; z o ) và vuông góc với giá của 2 vectơ không cùng phương
Chọn một nghiệm (xo; yo ;zo) từ đó M(xo; yo ;zo) d
- (d) đi qua M và có VTCP d =[ P , Q].
Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng hình chiếu của d lên mp(P)
- Viết phương trình mp(Q) chứa d và vuông góc với mp(P)
- Tìm A = ( chỉ áp dụng với giả thiết d cắt (P) )
- Lấy M và xác định hình chiếu H của M lên (P)
- Viết phương trình d' đi qua M, H
Dạng 4: Tọa độ hình chiếu
4.1 Xác định tọa độ H là hình chiếu của của M trên mp(P):
- Viết phương trình đường thẳng đi qua M và vuông góc với (P)
- H 4.2 Xác định tọa độ H là hình chiếu của của M trên :
- Viết phương trình mp(Q) đi qua M và vuông góc với
Chú ý: nếu M’ đối xứng với M qua (P)(hoặc qua ) thì H là trung điểm MM’
Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và cắt 2 đường thẳng d 1 , d 2 :
- Viết pt mặt phẳng ( ) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d1
- Tìm B - Đường thẳng cần tìm đi qua A, B
- Gọi M, N là giao diểm của d và d1, d2 ta có
- cùng phương suy ra t và t’ Từ đó tìm được tọa độ M, N
Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng d song song d 1 và cắt cả d 2 , d 3
- Gọi M, N là giao điểm của d và d2, d3 ta có
- Cho cùng phương suy ra t và t’ Từ đó tìm được tọa độ M, N
Dạng 7 : Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc đường thẳng d 1 và cắt d 2
- Viết phương trình mp qua A và vuông góc d1
- Tìm giao điểm B - Đường thẳng cần tìm đi qua A, B
- Gọi M là giao của d và d2 ta có
- Từ đó tìm được tọa độ M
Dạng 8 : Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, song song mp , cắt đường thẳng d'
- Viết phương trình mp(P) đi qua A và song song với
- Tìm B - Đường thẳng cần tìm đi qua 2 điểm A,B
- Gọi M là giao của d và d’ ta có
- Từ đó tìm được tọa độ M
Dạng 9 : Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mp(P) và cắt 2 đường thẳng d 1 , d 2 cho trước.
- Đường thẳng d đi qua 2 điểm A, B
Dạng 10: Viết phương trình đường vuông góc chung d của 2 dường thẳng chéo nhau d 1 , d 2 :
- Gọi , là các chân đường vuông góc chung của d1, d2
- Thay t, t' tìm M, N =>Viết phương trình d đi qua M,N.
Dạng 11: Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mp(P) và cắt 2 đường thẳng d 1 , d 2
- Vì d vuông góc với mp(P) nên và cùng phương Từ đó tìm được t, t’=>A, B
- Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, B
Dạng 12: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A , cắt và vuông góc với đường thẳng d 1
- Viết phương trình mp qua A và vuông góc d1
- Tìm giao điểm B - Đường thẳng cần tìm đi qua A, B
- Tìm tọa độ vtcp của d1
- d đi qua A và có vtcp
C PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT CẦU
VỚI MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG
Dạng 1 : Viết phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính
1.1 (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R
(S) có tâm A và đi qua B => (S) có bán kính R
=> (S) có tâm I là trung điểm AB, bán kính R= IA/2
Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm :
- Viết phương trình của (S) dạng x 2 + y 2 + z 2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 (*)
- Cho (S) đi qua lần lượt bốn điểm ta được bốn phương trình
- Giải hệ bốn phương trình tìm được , suy ra bốn ẩn là : a,b,c và d
- Thay bốn ẩn tìm được vào (*) ta suy ra phương trình của (S).
Chú ý: Khi viết được phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C,
D ta cũng xác định được tâm I(a; b; c), bán kính , diện tích , thể tích của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
Dạng 3: Viết phương trình mặt cầu (S) qua 3 điểm A, B, C và có tâm nằm trên mp(P).
- Viết phương trình mặt cầu dưới dạng tổng quát x 2 +y 2 +z 2 -2ax-2by- 2cz+d=0 (*) , sau đó cho (S) đi qua ba điểm A,B,C ta được ba phương trình
- Thay tọa độ tâm I (a; b; c) vào phương trình mặt phẳng (P) ta được phương trình thứ tư Vậy ta có hệ bốn phương trình bậc nhất bốn ẩn a, b, c, d
- Giải hệ , ta suy ra a,b,c và d Thay vào phương trình tổng quát ta có phương trình của (S)
Dạng 4 : Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm là I(a, b, c) và tiếp xúc với một mặt phẳng (P) hoặc đường thẳng d cho trước
- Tính bán kính của (S): R=d(I ;(P)) ( hoặc R=d(I,d) )
Dạng 5: Mặt phẳng(P) cắt mặt cầu (S) Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn giao tuyến.
- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
- Tính d=d(I; (P)) d (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (C)
- Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu của I trên (P) Ta có H là tâm của đường tròn ( C)
- bán kính của đường tròn ( C) :
Dạng 6: Viết phương trình mp(P) vuông góc với đường thẳng d cho trước ( hoặc song song với một mp(Q) cho trước ) và tiếp xúc với cầu (S).
- Xác định tâm I(a; b; c), bán kính R của mặt cầu (S)
- (P) vuông góc với d (hoặc //(Q)) thì
- Giải (1) ta tìm được ẩn m thay vào (*) ta có mặt phẳng (P)
Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng (P) biết (P)//(Q): Ax + By + Cz + D=0 và tiếp xúc với mặt cầu (S)
- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
- Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D’=0 (trong đó D’ D).
- Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(I,(P))= R tìm được D’
- Từ đó ta có phương trình mp(P) cần tìm
Dạng 8: Viết phương trình mp(P) chứa đường thẳng d và tiếp xúc với mặt cầu (S)
- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
- Gọi VTPT của mp(P) là = (A;B;C) với điều kiện là A 2 + B 2 + C 2 >0
- Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(I,(P))= R (2)
- Giải hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C phương trình mp(P).
- Chuyển đường thẳng d sang dạng là giao tuyến của hai mặt phẳng
- Nếu (P) chứa d thì (P) thuộc chùm mặt phẳng Viết phương trình chùm mặt phẳng sau đó chuyển về dạng Ax+By+Cz+D=0
- Sử dụng điều kiện : (P) tiếp xúc với (S) thì d(I,(P)) = R , ta sẽ thu được phương trình của mặt phẳng (P)
Dạng 9: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là I(a; b; c) đồng thời cắt (P) theo một đường tròn xác định( Biết bán kính r, hoặc chu vi, hoặc diện tích)
- Dựa vào giả thiết cho biết đường tròn (C ) ta tính được r.Bán kính của (S) là
Dạng 10: Viết phương trình mặt phẳng (P) // (Q) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn(C) có bán kính r (hoặc diện tích, chu vi cho trước).
- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
- Chu vi đường tròn C = và diện tích S = tính r.
- Vì (P) // (Q): Ax + By + Cz + D=0 nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D'=0 (trong đó D' D)
- Suy ra d (I,(P)) (2) Giải hệ (1), (2) tìm được D' (P).
Dạng 11: Viết phương trình mp(P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có bán kính r ( hoặc diện tích, chu vi cho trước)
- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
- Áp dụng công thức, chu vi đường tròn: C = và diện tích: S tính r.
- Gọi VTPT của mp (P) là P = (A,B,C) với đk là A 2 + B 2 + C 2 >0, chọn trên đường thẳng d => phương trình mp(P):
- Vì (P) cắt (S) theo đường tròn bán kính r nên d(I,(P)= r (2)
- Giải hệ (1) và (2) tìm được A, B theo C Phương trình mp(P).
Dạng 12: Viết phương trình mp(P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có bán kính nhỏ nhất (áp dụng trường hợp d cắt (S) tại 2 điểm).
- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
- Bán kính r = để r min d(I,(P)) max
- Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên (d) ; K là hình chiếu vuông góc của I lên (P)
- Ta có: d(I,(P))= IK IH ( tính chất đường vuông góc và đường xiên)
- Do đó: d(I,(P)) max AK = AH K H
- (P) đi qua H và nhận làm VTPT
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO.17 I Bài toán sử dụng tính toán thông thường và chức năng giải hệ
Bài toán sử dụng chức năng vectơ
Để thực hiện phép toán vectơ trên máy tính Casio fx-570 ES và 570, việc nhập dữ liệu cho các vectơ là rất quan trọng Các lệnh liên quan đến vectơ giúp người dùng thao tác dễ dàng và hiệu quả hơn trong các phép toán này.
ES PLUS không hoàn toàn giống các máy Casio fx-570 VN PLUS, VINACAL. Tuy nhiên, các lệnh thực hiện phép toán vectơ thì vẫn giống nhau Cụ thể:
Lệnh (đối với các máy fx-570 ES, 570
Lệnh (đối với các máy fx-570 VN PLUS, VINACAL)
1 MODE 8 MODE 8 Chuyển sang môi trường vectơ
2 SHIFT 5, 1, 1, 1 MODE 8, 1, 1 Nhập dữ liệu cho vectơ A
3 SHIFT 5, 1, 2, 1 MODE 8, 2, 1 Nhập dữ liệu cho vectơ B
4 SHIFT 5, 1, 3, 1 MODE 8, 3, 1 Nhập dữ liệu cho vectơ C
5 SHIFT 5, 1 Nhập dữ liệu lại cho vectơ A, B, C
6 SHIFT 5, 2 Truy cập dữ liệu các vectơ A, B, C
7 SHIFT 5, 3 Trích xuất vectơ A ra ngoài màn hình VctA
8 SHIFT 5, 4 Trích xuất vectơ B ra ngoài màn hình VctB
9 SHIFT 5, 5 Trích xuất vectơ C ra ngoài màn hình VctC
10 SHIFT 5, 6 Vectơ kết quả phép tính trước
12 SHIFT 5, 3, SHIFT 5, 7, SHIFT 5, 4 Tích vô hướng của vectơ
13 SHIFT 5, 3 SHIFT 5, 4 Tích có hướng của vectơ
14 SHIFT Độ dài vectơ, giá trị tuyệt đối của tích vô hướngAbs
15 SHIFT 5, 1, 1, 1, xB - xA=, yB - yA=, zB - zA= Nhập dữ liệu của vectơ vào vectơ A
Ví dụ 1: Cho Tìm tọa độ tích có hướng của hai vectơ và
Nhập thông số các vectơ vào vectơ A, B trong máy tính rồi thực hiện phép tính tích có hướng
Bước Lệnh (fx-570 ES, 570 ES PLUS,
2 SHIFT 5,1,1,1, 3=,-1=, -2= MODE 8,1,1, 3=,-1=, -23 SHIFT 5,1,2,1, 1=, 2=, -1= MODE 8,2,1, 1=, 2=, -14 AC AC
Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ
Tính độ dài của vectơ
Nhập thông số các vectơ vào vectơ A, B, C trong máy tính rồi thực hiện các phép tính
1 MODE 8 Vào chương trình vectơ
2 AC Thoát ra ngoài màn hình
3 SHIFT 5, 1, 1, 1, 2=,-1=, 04 SHIFT 5, 1, 2, 1, -1=, 1=, 15 SHIFT 5, 1, 3, 1, 1=, 2=, -26 AC Thoát ra ngoài màn hình
3 SHIFT 5,5 Đối chiếu các đáp án ta thấy
Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Nhập thông số các vectơ vào vectơ A, B, C trong máy tính rồi thực hiện các phép tính
1 MODE 8 Vào chương trình vectơ
2 AC Thoát ra ngoài màn hình
3 SHIFT 5, 1, 1, 1, -1=,1=, 04 SHIFT 5, 1, 2, 1, 1=, 1=, 05 SHIFT 5, 1, 3, 1, 1=, 1=, 16 AC Thoát ra ngoài màn hình
7 SHIFT 5,3 SHIFT 5,4 SHIFT 5,5 loại đáp án A
8 SHIFT 5,3, SHIFT 5,7, SHIFT 5,4 loại đáp án D
9 (SHIFT 5,4, SHIFT 5,7, SHIFT 5,5) chọn đáp án C Vậy chọn đáp án C
Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hành ABCD với A(1;
1; 0), B(1; 1; 2), D(1; 0; 2) Diện tích của hình bình hành ABCD là
Nhập thông số các vectơ vào vectơ A, B trong máy tính rồi thực hiện phép tính
1 MODE 8 Vào chương trình vectơ
2 AC Thoát ra ngoài màn hình
3 SHIFT 5,1,1,1, 1-1=,1-1=, 2-04 SHIFT 5,1,2,1, 1-1=, 0-1=, 2-05 AC Thoát ra ngoài màn hình
Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(2; 3;
1), B(4; 1; –2), C(1; 3; 2), D(–2; 3; –1) Độ dài đường cao kẻ từ D của tứ diện là
Nhập thông số các vectơ vào vectơ A, B, C trong máy tính rồi thực hiện phép tính
1 MODE 8 Vào chương trình vectơ
2 AC Thoát ra ngoài màn hình
4 SHIFT 5,1,2,1, 1-2=, 3-3=, 2-15 SHIFT 5,1,3,1, -2-2=, 3-3=, -1-16 AC Thoát ra ngoài màn hình
Ví dụ 6: Cho điểm A(–1; 0; 0) và đường thẳng Δ: Tính khoảng cách từ A đến Δ
- Đường thẳng Δ đi qua M(1; 2; -1) và có VTCP ;
- Casio: Nhập thông số các vectơ vào vectơ A, B trong máy tính rồi thực hiện lệnh
- Kết quả bằng 3 Vậy chọn đáp án D
Ví dụ 7: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d1: , d2:
- Đường thẳng d1 đi qua M1(1; 4; 3) và có VTCP ; d2 đi qua
- Nhận thấy không cùng phương nên:
- Casio: Nhập thông số các vectơ vào vectơ A, B, C trong máy tính rồi thực hiện lệnh
- Kết quả bằng 1 Vậy chọn đáp án D
Ví dụ 8: Vị trí tương đối của hai đường thẳng là:
A Chéo nhau B Chéo nhau C Song song D Cắt nhau Hướng dẫn:
- Đường thẳng d1 đi qua M1(1; -2; 5) và có VTCP ; d2 đi qua
- Casio: Nhập thông số các vectơ vào vectơ A, B, C trong máy tính rồi thực hiện lệnh
- Kết quả bằng -104 ≠ 0 Vậy 2 đường thẳng chéo nhau, chọn đáp án B
Ví dụ 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: và mặt phẳng (P): x – 2y – z – 3 = 0 Số đo góc a tạo bởi đường thẳng d và mặt phẳng (P) là:
- Đường thẳng d có VTCP ; (P) có VTPT
- Casio: Nhập thông số các vectơ vào vectơ A, B trong máy tính rồi thực hiện lệnh
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Câu 1 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác BCD có
Tính diện tích của tam giác BCD.
Câu 2 Cho bốn điểm A(1; 0; 1), B(2; 2; 2), C(5; 2; 1), D(4; 3; -2) Tính thể tích của tứ diện ABCD
Câu 3 Trong hệ trục Oxyz , cho ba điểm , , Khi đó bằng:
Câu 4 Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng và
A cắt nhau B.song song C chéo nhau D trùng nhau Câu 5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; -1), B(2; -1; 3) và C(-4; 7; 5) Độ dài đường cao hạ từ A của tam giác ABC là
Câu 6 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): và (Q): Góc tạo bởi hai mặt phẳng (P), (Q) có số đo là
Câu 7 Khoảng cách giữa hai đường thẳng và
Câu 8.Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A(1; 1; -6),
B(0; 0; -2), C(-5; 1; 2), D’(2; 1; -1) Thể tích khối hộp đã cho bằng
Câu 9 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0;
1; 0), A’(0; 1; 1) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN
Câu 10 Cho hai mặt phẳng
Phương trình mp(R) đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với hai mp nói trên là:
Câu 11 Cho A(2; 1; -1), B(3; 0; 1), C(2; -1; 3) Tìm điểm D thuộc trục Oy để thể tích của tứ diện ABCD bằng 5
Câu 12 Viết phương trình mặt cầu tâm I(1; 0; -1) và tiếp xúc với đường thẳng
Câu 13 Cho A(0; 0; -2) và đường thẳng Viết phương trình mặt cầu tâm A cắt d tại hai điểm B, C sao cho BC = 8
Câu 14 Cho hai đường thẳng và
Xác định tọa độ điểm M thuộc ∆1 sao cho khoảng cách từ M đến ∆2 bằng 1
Câu 15 Cho Xét các mệnh đề
Trong các mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề đúng
Bài toán sử dụng phím chức năng CALC và dấu hai chấm (“:”)
Trong một số bài toán, phương pháp thử đáp án là cách hiệu quả để loại bỏ những đáp án không thỏa mãn và chọn đáp án đúng Đối với câu hỏi trắc nghiệm với 4 đáp án, bạn chỉ cần thử tối đa 3 đáp án; nếu không đáp án nào thỏa mãn, hãy chọn đáp án còn lại Nếu một đáp án thỏa mãn, bạn dừng lại và chọn đáp án đó Phím chức năng CALC sẽ là công cụ hỗ trợ đắc lực trong quá trình này.
Khi nhập biểu thức f(X,Y,A) vào máy tính rồi ấn CALC, xo=, yo=, zo= ta được kết quả của f(xo, yo, zo)
Khi nhập biểu thức f(X,Y,A) : g(X,Y,A) vào máy tính và nhấn CALC, ta nhận được kết quả f(xo, yo, zo) với xo=, yo=, zo= Tiếp theo, nhấn "=" để có kết quả g(xo, yo, zo) Trong phần trình bày lời giải, kết quả sẽ được viết dưới dạng f(xo, yo, zo) : g(xo, yo, zo) Nếu biểu thức có thêm " : h(X, Y, A)", nhấn "=" lần nữa để nhận kết quả h(xo, yo, zo).
Chú ý: dấu “:” được trích xuất ra màn hình bởi lệnh ALPHA
( phím chức năng tính tích phân)
Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị thực của a để khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng 8?
Nhập biểu thức vào máy tính casio
Ấn CALC, -6 = (chọn A=-6), được kết quả bằng 8 (thỏa mãn) do đó loại đáp án A, D
Ấn CALC, 18 = (chọn A), được kết quả bằng 8 (thỏa mãn) do đó loại đáp án B, chọn C
Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(0;0;-3), B(2;0;-1) và mặt phẳng (P): 3x-8y+7z-1=0 Gọi C là điểm trên (P) để tam giác ABC đều khi đó tọa độ điểm C là:
- Tam giác ABC đều khi BC = AC = AB hay
Nhập biểu thức sau vào máy tính
(Yêu cầu đặt ra: 2 biểu thức đầu bằng 8, biểu thức thứ 3 bằng 0)
Ấn CALC, -3=, 1=, 2= được kết quả là 35: 35: -4 (đáp án A không thỏa mãn)
Ấn CALC,-1/2=, 3/2=, -1/2= được kết quả là 35/4: 35/4: -18 (đáp án B không thỏa mãn)
Ấn CALC,-2/3=, -2/3=, -1/3= được kết quả là 8: 8: 0 (đáp án C thỏa mãn)
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ trục , mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng , , có phương trình:
Cách 1: Viết phương trình mp(Q)
Nhập thông số các vectơ vào các vectơ A và B trong máy tính:
Kết quả:(-9;-6;-4) phương trình mp(MNP):
Nhập vào máy biểu thức sau (theo thứ tự là biểu thức tương ứng của các đáp án A, B, C, D)
( Nếu M, N, P thuộc mặt phẳng nào thì biểu thức tương ứng với mp đó có kết quả bằng 0)
Ấn CALC, 2=, 2=, 0= được kết quả là 0: 0: -60: -12 (M không thuộc mặt phẳng thứ 3 và thứ 4 => loại đáp án C, D)
Ấn CALC, 2=, 0=, 3= được kết quả là 0: 24: -60: -36 (N không thuộc mặt phẳng thứ 2, thứ 3 và thứ 4 => loại đáp án B, C, D)
Ví dụ 4: Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(1; 1; 0),
Dùng chức năng CALC để thử các đáp án, kiểm tra (S) đi qua đồng thời 4 điểm
Thử đáp án A : Nhập vào máy biểu thức:
(Yêu cầu kết quả bằng 0) Ấn CALC, 1=, 1=, 0= được kết quả là 12 ( )=> loại đáp án A
Thử đáp án B : Sửa biểu thức ở đáp án A thành:
(Yêu cầu kết quả bằng 0) Ấn CALC, 1=, 1=, 0= được kết quả là 0 ( ) Ấn CALC, 0=, 2=, 1= được kết quả là 0 ( ) Ấn CALC, 1=, 0=, 2= được kết quả là 0 ( ) Ấn CALC, 1=, 1=, 1= được kết quả là 0 ( )
Nhập vào máy biểu thức sau (theo thứ tự là biểu thức tương ứng của các đáp án A, B, C)
Nếu A, B, C, D nằm trên mặt cầu, thì biểu thức tương ứng với mặt cầu đó sẽ có giá trị bằng 0 Nếu kiểm tra cả 4 điểm và biểu thức đều bằng 0 cho cả 4 lần, chọn đáp án tương ứng Nếu không thỏa mãn, loại đáp án A.
Ấn CALC, 1=, 1=, 0= được kết quả là 12: 0: 14 (loại đáp án A, C)
Ấn CALC, 0=, 2=, 1= được kết quả là 12: 0: -17
Ấn CALC, 1=, 0=, 2= được kết quả là 12 :0: 17
Ấn CALC, 1=, 1=, 1= được kết quả là 12: 0: -15
Vậy cả 4 điểm thỏa mãn biểu thức thứ 2, chọn đáp án B
Ví dụ 5: Tìm tọa độ giao điểm M của và
- M là giao điểm của d và (P) thì tọa độ của M phải thỏa mãn phương trình của d và (P) Coi M(X;Y;A)
Nhập biểu thức sau vào máy tính
(Yêu cầu đặt ra: 3 tỉ số đầu bằng nhau, biểu thức thứ tư bằng 0)
Ấn CALC, 0=, 2=, -4= được kết quả là -3: -3: -2: -5 (đáp án A không thỏa mãn)
Ấn CALC, 3=, -1=, 0= được kết quả là 0: 0: 0: 0 (đáp án B thỏa mãn)
Trong không gian với hệ tọa độ, hãy xác định các điểm M trên đường thẳng d sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) là 3 đơn vị.
- Khoảng cách từ M(X;Y;A) đến (P) là
Nhập biểu thức sau vào máy tính
(Yêu cầu đặt ra: 3 tỉ số đầu bằng nhau, biểu thức thứ tư bằng 3)
Ấn CALC, 4=, -1=, 2= được kết quả là 1: 3: 1: 11/3 => M 1 (4;-1;2) không thỏa mãn,loại đáp án A, D
Ấn CALC, -2=, -3=, 0= được kết quả là -1: 5:-1: 1/3 không thỏa mãn loại đáp án B
Ví dụ7: Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với (Q): x + 2y – 2z + 5 =0 và cách điểm A(2; –1; 4) một đoạn bằng 4
Nhập biểu thức sau vào máy tính:
Ấn CALC, 20= được kết quả bằng 4 Ấn CALC, -4= được kết quả bằng 4
Vậy đáp án A thỏa mãn
Ví dụ 8: Cho mặt cầu Phương trình nào sau đây là phương trình của mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S)?
Nhập biểu thức sau vào máy tính:
(Yêu cầu kết quả bằng 7)
Ấn CALC, 6=, 2=, 3=, 0= được kết quả là 6/7 => đáp án A không thỏa mãn
Ấn CALC, 2=, 3=, 6=, -5= được kết quả là 0 =>đáp án B không thỏa mãn
Ấn CALC, 6=, 2=, 3=, -55= được kết quả là 7 =>đáp án C thỏa mãn
Ví dụ 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; 2; 3), B(3;
2; 1) Gọi M là điểm thuộc mặt phẳng Oxy Tìm tọa độ của M để đạt giá trị nhỏ nhất
Vì nên loại đáp án A
Nhập biểu thức sau vào máy tính:
Ấn CALC, 1=, 1=, 0= được kết quả
Ấn CALC, 2=, 1=, 0= được kết quả
Ấn CALC, 2=, 2=, 0= được kết quả
Vậy để P đạt giá trị nhỏ nhất ta chọn đáp án D
Ví dụ 11: Hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng (P): có tọa độ.
- Phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với (P) có dạng:
- H là hình chiếu của A trên (P) khi
Nhập biểu thức sau vào máy tính
(Yêu cầu đặt ra: 3 tỉ số đầu bằng nhau, biểu thức thứ tư bằng 0)
Ấn CALC, 1=, -1=, 2= được kết quả là đáp án A không thỏa mãn
Ấn CALC, được kết quả là đáp án B thỏa mãn
Ví dụ 12: Cho mặt phẳng và mặt cầu (S):
Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn Tâm của đường tròn là:
- Tâm của (C) là hình chiếu của I trên (P)
- Phương trình đường thẳng d đi qua I và vuông góc với (P):
Nhập biểu thức sau vào máy tính
(Yêu cầu đặt ra: 3 tỉ số đầu bằng nhau, biểu thức thứ tư bằng 0)
Ấn CALC, =, =, = được kết quả là đáp án A không thỏa mãn
Ấn CALC, =, =, = được kết quả là đáp án B thỏa mãn
Ví dụ 13 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 1; 1) và đường thẳng d: Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên d
- Phương trình chính tắc của d:
- Phương trình mặt phẳng (P) qua A(1; 1; 1) và vuông góc với d là:
- H là hình chiếu của A trên (P) khi
Nhập biểu thức sau vào máy tính
(Yêu cầu đặt ra: 3 tỉ số đầu bằng nhau, biểu thức thứ tư bằng 0)
Ấn CALC, 2=, -3=, -1= được kết quả là không thỏa mãn, loại đáp án A
Ấn CALC, 2=, 3=, 1= được kết quả là không thỏa mãn, loại đáp án B
Ấn CALC, 2=, -3=, 1= được kết quả là thỏa mãn, chọn đáp án C
Ví dụ 14 Cho mặt phẳng và điểm Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua (P).
- Đường thẳng d qua M và vuông góc với (P) có phương trình:
- H là hình chiếu của M trên (P) ta có H là trung điểm của MM’ và
Nhập biểu thức sau vào máy tính
(Yêu cầu đặt ra: 3 tỉ số đầu bằng nhau, biểu thức thứ tư bằng 0)
Ấn CALC, được kết quả là thỏa mãn, chọn đáp án A
Ví dụ 15 Trong không gian Oxyz cho A(0; 1; 0), B(2; 2; 2), C(-2; 3; 1) và đuờng thẳng d : Tìm điểm M thuộc d để thể tích tứ diện MABC bằng 3.
Nhập biểu thức sau vào máy tính
(Yêu cầu đặt ra: 3 tỉ số bằng nhau)
Ấn CALC, được kết quả là =>thỏa mãn Ấn CALC, được kết quả là =>thỏa mãn
Ấn CALC, được kết quả là => không thỏa mãn => loại đáp án B
Ấn CALC, được kết quả là =>không thỏa mãn => loại đáp án C
Ấn CALC, được kết quả là => thỏa mãn
Vậy những điểm của đáp án A, D thuộc d
- Kiểm tra thể tích tứ diện MABC:
Nhập thông số các vectơ vào các vectơ A, B, C trong máy tính:
Nhập lệnh tính thể tích
Kết quả bằng 5.1 (không thỏa mãn) loại đáp án D
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Câu 1 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng
Điểm nào dưới đây không thuộc mặt phẳng ?
Câu 2 Điểm M nào sau đây thuộc đường thẳng (∆):
Câu 3 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(–1; 1; 0) và đường thẳng d: Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho
Câu 4 Cho bốn điểm A(1;1;1), B(1;2;1), C(1;1;2) và D(2;2;1) Tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tọa độ :
Câu 5.Cho điểm A(2; 1; 4) và đường thẳng Hình chiếu
Câu 6 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): (x – 2)² + (y –
1)² + z² = 9 và đường thẳng d: Tìm tọa độ các giao điểm của d và (S)
Câu 7 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng và mặt phẳng Tìm điểm A trên d sao cho khoảng cách từ A đến bằng 3.
Câu 8 Cho điểm A(3; 0; 0), B(0; -6; 0), C(0; 0; 6) và mặt phẳng (P): x +y + z –
4 = 0 Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của trọng tâm tam giác ABC trên (P)
A (2; 1; 3) B (2; -1; 3) C (–2; -1; 3) D (2; -1; -3) Câu 9 Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng Oxz và đi qua các điểm A(1; 2; 0), B(–1; 1; 3), C(2; 0; –1)
C (S): (x + 3)² + y² + (z + 3)² = 11 D (S): (x – 3)² + y² + (z – 3)² = 17 Câu 10.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(3; –4; 0), B(0; 2;
4), C(4; 2; 1) Tìm tọa độ điểm D trên trục Ox sao cho AD = BC
Câu 11 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua các điểm A(1; 2; –3), B(3; 3; –
Câu 12 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x + y – z – 3 = 0 và (Q): x + y + z – 1 = 0 Phương trình giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) là
Câu 13 Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết A(1;2;-
Câu 14 Tìm tọa độ giao điểm của mặt phẳng (P): 2x + y + z + 5 = 0 và đường thẳng
Câu 15 Tìm tọa độ điểm A’ là điểm đối xứng của A(3;-2;-4) qua mặt phẳng (P): 3x – 2y – 3z – 14 = 0
Câu 16 Trong hệ trục tọa độ Oxyz, xác định điểm A’ đối xứng với điểm A(1;
A A’(3; -2; -1) B A’(2;-1;2) C A’(2; 0; -2) D A’(1; -1; 3) Câu 17 Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu của điểm M(2;0;1) lên đường thẳng
A H(2; 2; 3) B H(0; -2; 1) C H(-1; -4; 0) D H (1; 0; 2) Câu 18 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; 1; 2) Tìm điểm
N thuộc mặt phẳng Oxy sao cho độ dài đoạn thẳng MN là ngắn nhất
A (1; 1; 0) B (1; 2; 2) C (2; 1; 0) D (2; 2; 0) Câu 19 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(0; 0; 3), B(2;0;
1), C(–2; 0; 1) Tìm tọa độ của điểm C thuộc mặt phẳng (P): 3x –8y + 7z – 1 = 0 sao cho ∆ABC đều
Câu 20 Cho hai mặt phẳng ( ) :P x y z 10 và ( ) :Q 2x3y z 2 0. Hỏi điểm nào sau đây thuộc giao tuyến của (P) và (Q)?
Bài toán hình học không gian sử dụng phương pháp tọa độ hóa
Căn cứ giả thiết của bài toán ta chọn hệ trục tọa độ phù hợp
Một số trường hợpđặt hệ trục tọa độ Oxyz
Hình chóp có 1 góc là tam diện vuông; lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông hoặc hình chữ nhật x y z
Hình chóp tam giác đều , hình chóp tứ giác đều, lăng trụ tam giác đều x y z x y z z x y x y z
Hình chóp có mặt bên là tam giác đều hoặc cân tại đỉnh S, nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, trong khi đáy ABCD có thể là hình vuông hoặc hình chữ nhật.
Hình chóp có cạnh bên SA vuông góc với đáy: đều hoặc cân ở C (H4); vuông ở B (H5); đáy ABCD là hình thoi (H6) z x y z y x x y z
Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Gọi I là điểm thuộc cạnh AB sao cho AI=a/3 Tính khoảng cách từ C đến mp(B’DI)
- Chọn hệ trục Axyz như hình vẽ
Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, tam giác ABC vuông tại B, AB = a,
AA’ = 2a, A’C = 3a M là trung điểm của A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính d(A, (IBC)).
- Chọn hệ trục Bxyz như hình vẽ
Ví dụ 3: Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a Gọi M,
N lần lượt là trung điểm của AA’, BB’ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng B’M và CN.
- Gọi H, K lần lượt là trung điểm của B’C’ và BC Chọn hệ trục Hxyz như hình vẽ
- Casio: Nhập dữ liệu của các vectơ vào các vectơ A, B, C trong máy tính sau đó tính khoảng cách theo lệnh:
Kết quả: Đối chiếu các đáp án ta thấy
Để tính thể tích khối chóp S.MND với đáy là hình thoi và hình chiếu của đỉnh S trùng với tâm O của đáy, ta xác định M là trung điểm của SC và N là trung điểm của AO Thể tích khối chóp này có thể được tính bằng công thức phù hợp với hình dạng và các điểm đã cho.
- Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ
- Casio: Nhập dữ liệucủa các vectơ vào các vectơ A, B, C trong máy tính sau đó tính thể tích theo lệnh:
Kết quả: 0.7071067812 Đối chiếu các đáp án ta thấy 0.7071067812
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và
D, , SA = , AB = 2a, AD = DC = a Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SB và AC.
- Chọn hệ trục Axyz như hình vẽ
- Casio: Nhập dữ liệu của các vectơ vào các vectơ A, B trong máy tính sau đó thực hiện lệnh:
Kết quả: 0.5773502692 Đối chiếu các đáp án ta thấy 0.5773502692
Ví dụ 6: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh AB*.
Hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh AB Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là 60 độ Từ đó, ta cần tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và AA’ theo biến a.
- Chọn hệ trục Hxyz như hình vẽ
- ABC là tam giác đều cạnh AB=2
- Góc giữa AA’ và (ABC) là
- Casio: Nhập dữ liệu của các vectơ vào các vectơ A, B, C trong máy tính sau đó tính khoảng cách theo lệnh:
Kết quả: Đối chiếu các đáp án ta thấy
Câu 1 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB*,
Gọi M là trung điểm AB Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CM
Câu 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
, góc giữa SB và (ABCD) bằng 60 o Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AC
Trong hình chóp S.ABC, đáy ABC là một tam giác đều với cạnh a Mặt bên SAB là một tam giác vuông cân tại điểm S, nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Bài toán yêu cầu tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC.
Câu 4 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi M, N, P, Q lần lượt là tâm các hình vuông ABCD, ABB’A’, ADD’A’, CDD’C’ Tính thể tích tứ diện MNPQ
Câu 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Mặt bên
SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SJC)
Câu 6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B,
, SA = , AD = 2a, AB = BC = a Gọi M là hình chiếu của A trên SB Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD)
Câu 7 Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, BA:, BCJ,
Tính khoảng cách từ B đến (SAC)
Câu 8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
, góc giữa (SBC) và (ABCD) bằng 60 o Gọi G là trọng tâm tam giác SAC Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SD và BG
Trong bài toán, cho hình chóp S.ABC với tam giác ABC vuông cân tại A và AB*, góc giữa cạnh bên SA và đáy là 60 độ Cần tính giá trị cos của góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABC).
Câu 10 Cho lăng trụ đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng
2a Gọi M là trung điểm CC’ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và A’M
THỰC NGHIỆM
Về khả năng áp dụng của sáng kiến
← - Là tài liệu bồi dưỡng chuyên môn cho giáo viên về giải toán trắc nghiệm chương “Phương pháp tọa độ trong không gian”.
← - Là tài liệu tham khảo cho học sinh lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia.
Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến
Học sinh được học chương III: Phương pháp tọa độ trong không gian_ Hình học 12; có một trong các loại máy tính: CASIO fx-570ES, CASIO fx-
570ESPLUS, CASIO fx-570VN PLUS, VINACAL 570ES PLUS II
Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến
10.1 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả: Đề tài được áp dụng sẽ góp phần tạo hứng thú học tập và đạt hiệu quả cao hơn cho học sinh về chương “Phương pháp tọa độ trong không gian”, tốc độ làm bài trắc nghiệm về phần này nhanh hơn, đáp ứng được yêu cầu thi THPT Quốc gia về “Tọa độ trong không gian”.
10.2 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tổ chức, cá nhân:
Học sinh cho biết rằng việc tham gia vào đề tài đã giúp các em yêu thích môn Toán hơn Sử dụng máy tính Casio để giải toán trắc nghiệm về tọa độ trong không gian đã giúp các em giải quyết nhiều bài toán nhanh chóng và dễ dàng hơn Bên cạnh đó, các em còn áp dụng kiến thức này để giải một số dạng bài khác trong chương học.
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng là một chủ đề quan trọng trong Hình học 10 Sử dụng phím chức năng CALC và dấu hai chấm “:”, học sinh có thể áp dụng để giải quyết các bài toán liên quan đến nghiệm của phương trình và hệ phương trình Bên cạnh đó, phương pháp này cũng giúp giải các bài toán về hàm số với các điều kiện đã cho.
