CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Phương pháp giải
Dựa vào định lí về dấu của tam thức bậc hai để xét dấu của biểu thức chứa nó.
* Đối với đa thức bậc cao P x( ) ta làm như sau
Phân tích đa thức P x ( ) thành tích các tam thức bậc hai (hoặc có cả nhị thức bậc nhất)
Lập bảng xét dấu của P x ( ) Từ đó suy ra dấu của nó
* Đối với phân thức ( ) (trong đó là các đa thức) ta làm như sau
Phân tích đa thức P x Q x ( ) ( ) , thành tích các tam thức bậc hai (hoặc có cả nhị thức bậc nhất)
Lập bảng xét dấu của ( ) Từ đó suy ra dấu của nó.
Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Xét dấu của các tam thức sau a) 3x 2 - +2x 1
- + - < " ẻ ớ ýù ùù ùợ ỵ- 4 2 12 9 0 \ 3 x x x ỡ ỹù ùù ù2
- + - < " ẻ ớ ýù ùù ùợ ỵ 4 2 12 9 0 \ 3 x x x ỡ ỹù ùù ù2
A 25 2 10 1 0 \ 1 B x + x+ > " ẻx ỡ ỹù ùù ùớ ýù ùù ùợ ỵ5 25 2 10 1 0 \ 1 x + x+ < " ẻx ỡ ỹù ùù ùớ ýù ùù ùợ ỵ-5
C 25 2 10 1 0 \ 1 D x + x+ < " ẻx ỡ ỹù ùù ùớ ýù ùù ùợ ỵ5 25 2 10 1 0 \ 1 x + x+ > " ẻx ỡ ỹù ùù ùớ ýù ùù ùợ ỵ-5 f) -2x 2 + -6x 5
Lời giải: a) Ta cú D =- D =- 4 k x ( )
Ví dụ 4: Chứng minh rằng hàm số sau có tập xác định là với mọi giá trị của m a) y = ( 2 m 2 + 1 ) mx x 2 - 4 mx + 2 b) 2 ( ) 2
Xét tam thức bậc hai f x ( ) = ( 2 m 2 + 1 ) x 2 - 4 mx + 2
Suy ra với mọi ta cú m f x ( ) = ( 2 m 2 + 1 ) x 2 - 4 mx + > " ẻ2 0 x
Do đú với mọi ta cú m ( 2 m 2 + 1 ) x 2 - 4 mx + ạ " ẻ2 0, x
Vậy tập xác định của hàm số là D= b) ĐKXĐ: 2 ( ) 2 và
- + + ³ m x 2 2 - 2 mx m + 2 + ạ 2 0 Xét tam thức bậc hai f x ( ) = 2 x 2 - 2 ( m + 1 ) x m + 2 + 1 và
Suy ra với mọi ta cú m f x ( ) = 2 x 2 - 2 ( m + 1 ) x m + 2 + ³ " ẻ1 0, x (1)
Xét tam thức bậc hai g x ( ) = m x 2 2 - 2 mx m + 2 + 2
Với m=0 ta cú g x ( ) = > 2 0, xột với m ạ 0 ta cú
Suy ra với mọi ta cú m g x ( ) = m x 2 2 - 2 mx m + 2 + > " ẻ2 0, x (2)
Từ (1) và (2) suy ra với mọi thì m 2 ( ) 2 và
- + + ³ đúng với mọi giá trị của
Vậy tập xác định của hàm số là D=
Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi giá trị của thì m a) Phương trình mx 2 - ( 3 m + 2 ) x + = 1 0 luôn có nghiệm b) Phương trình ( m 2 + 5 ) x 2 - ( 3 m - 2 ) x + = 1 0 luôn vô nghiệm
Lời giải a) Với m=0 phương trình trở thành 2 1 0 1 suy ra phương trình có nghiệm x x 2
Vì tam thức 9m 2 +8m+4 có a m = > D =- 4 k x ( )
Ví dụ 4: Chứng minh rằng hàm số sau có tập xác định là với mọi giá trị của m a) y = ( 2 m 2 + 1 ) mx x 2 - 4 mx + 2 b) 2 ( ) 2
Xét tam thức bậc hai f x ( ) = ( 2 m 2 + 1 ) x 2 - 4 mx + 2
Suy ra với mọi ta cú m f x ( ) = ( 2 m 2 + 1 ) x 2 - 4 mx + > " ẻ2 0 x
Do đú với mọi ta cú m ( 2 m 2 + 1 ) x 2 - 4 mx + ạ " ẻ2 0, x
Vậy tập xác định của hàm số là D= b) ĐKXĐ: 2 ( ) 2 và
- + + ³ m x 2 2 - 2 mx m + 2 + ạ 2 0 Xét tam thức bậc hai f x ( ) = 2 x 2 - 2 ( m + 1 ) x m + 2 + 1 và
Suy ra với mọi ta cú m f x ( ) = 2 x 2 - 2 ( m + 1 ) x m + 2 + ³ " ẻ1 0, x (1)
Xét tam thức bậc hai g x ( ) = m x 2 2 - 2 mx m + 2 + 2
Với m=0 ta cú g x ( ) = > 2 0, xột với m ạ 0 ta cú
Suy ra với mọi ta cú m g x ( ) = m x 2 2 - 2 mx m + 2 + > " ẻ2 0, x (2)
Từ (1) và (2) suy ra với mọi thì m 2 ( ) 2 và
- + + ³ đúng với mọi giá trị của
Vậy tập xác định của hàm số là D=
Bài 4.88: Chứng minh rằng với mọi giá trị của thì m a) Phương trình x 2 - 2 ( m + 2 ) ( x m - + = 3 ) 0 luôn có nghiệm b) Phương trình ( m 2 + 1 ) x 2 + ( 3 m - 2 ) x + = 2 0 luôn vô nghiệm
Vì tam thức m 2 +5m+7 có a m = > D =- + Ê Ûớùùùùùùùợ " ẻx S
mạ0 tam thức f x ( ) cú hệ số a m = , biệt thức ' =- + + m 2 m 1
+) 1 5 ta có: nên , suy ra không thỏa mãn m³ +2
+) 1 5 ta có: nên và , suy ra thỏa m£ -2 0
+) 1 5 0 ta có: và có hai nghiệm phân biệt
Do đó: ( ) 1 , suy ra (2) đúng với (*)
2 m m m m m m m ỡù -ù < < ỡ ùù ù - ù ù < < ù - ùù ùộ Ûớùùùùợ + > Ûớùờùờùùờ Û < ù Ûùớùùợ + > Ûớộ ùởợ Û < 0 : S = ặ
Bài 4.100: Tìm để bất phương trình m 2 x 2 - ( 2 m + 1 ) x m + 2 - 2 m + £ 2 0 nghiệm đúng với mọi 1 ;2 xẻ ờ ỳộờở2 ựỳỷ
, suy ra nên trường hợp này không thỏa yêu cầu
0 5 10 5; 10 , khi đó có hai nghiệm
Do đó yêu cầu bài toán
2 2 m m x m x m m ỡùù - Ê ỡ ùù ù ỡù ù ù Ê ù - Ê ù ù ù ù Ûớùùùợ ³ Ûớùùùợ - Ê Ûớùùùù Ê Êùùùợ - Ê
Vậy 2 21 2 34 là những giá trị cần tìm. m +10 £ £
Bài 4.101: Cho phương trình: x 2 - 2 mx m + 2 - + = m 1 0 1 ( ) a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x³1.
A m ẻ +Ơ ộ ở 2; ) B m ẻ +Ơ ộ ở 3; ) C m ẻ +Ơ ộ ở 4; ) D m ẻ +Ơ ộ ở 1; ) b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x£1.
A m ẻ ( ) 1; 2 B m ẻ -Ơ ( ;1 ) C m ẻ +Ơ ( 2; ) D m ẻ ở ỷ ộ ự 1; 2 c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x 1 < ở d) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x 1 < 3 0
Xét tam thức g y ( ) =- 14 y 2 + - 2 y 2 có hệ số a y =- < 14 0 và D =- < ' y 27 0
Nhận xét: * Khi gặp bài toán chứng minh BĐT có dạng: f a a( , , , ) 0 1 2 a n ³ mà là một tam thức bậc hai với ẩn có hệ số , ta có
" f a a( , , , ) 1 2 a n =g a( ) i a i a>0 thể sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai để chứng minh Khi đó ( ) 0g a i ³ Û
Ví dụ 2: Cho x y z, , là số thực Chứng minh rằng
Bất đẳng thức viết lại ( 1 + y z x 2 2 ) 2 - 4 xyz y + + + 2 z 2 y z 2 2 - 2 yz + ³ 1 0 Đặt f x ( ) = + ( 1 y z x 2 2 ) 2 - 4 xyz y + + + 2 z 2 y z 2 2 - 2 yz + 1, khi đó f x ( ) là một tam thức bậc hai ẩn có hệ số x a= +1 y z 2 2 >0 và D = ' x 4 y z 2 2 - + ( 1 y z y 2 2 )( 2 + + z 2 y z 2 2 - 2 yz + 1 )
' x - + -y yz z+ y z +y z y z y z y z ) ịD = - - + + Áp dụng BĐT a 2 + ³b 2 2ab ta có
Cộng vế với vế lại suy ra 'D £ x 0
Ví dụ 3: Cho a b c, , là độ dài ba cạnh của một tam giác và x y z, , thỏa mãn:
* Nếu trong ba số x,y,z cú một số bằng 0, chẳng hạn x=0ịb y 2 =-c z 2
Tam thức f y( ) cú D = y ộờở(b 2 + -c 2 a 2 2 ) -4b c z 2 2 ựỳỷ 2
2 2 b c a bc b c a bc b c a ì - < ùù ị- < + - < ớù + > ùợ
Ví dụ 4: (BĐT Bunhiacốpski) Cho 2n số a a 1 , , , , , , , 2 a b b n 1 2 b n Chứng minh rằng :
* Nếu a 1 2 + + + = ịa 2 2 a n 2 0 BĐT hiển nhiờn đỳng.
Bài 4.104: Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của y sao cho BĐT sau đỳng với "x z R, ẻ
Bài 4.104: BĐT đó cho đỳng với "x z R, ẻ Ûtam thức f x ( ) 0 ,³ " x z
Vậy 2 0 là những giá trị cần tìm.
Bài 4.105: Cho x,y,z 0³ thỏa mãn: xy yz zx xyz+ + + =4.
Chứng minh rằng : x y z xy yz z+ + ³ + + x.
Bài 4.105: Ta giả sử z=min{ , , }x y z ị Êz 1 Từ giả thiết x 4 yz y z yz- ị = + +
Nên (1) 4 yz y z (y z) 4 yz yz y z yz- y z yz- Û + + ³ + +
Tam thức f y( )có hệ số a= + - >1 z z 2 0 (do z£1) và có biệt thức : đpcm.
D = - - Ê ị ³ Đẳng thức xảy ra Û = = =x y z 1 hoặc ( ; ; ) (2; 2;0)x y z = và các hoán vị.
Bài 4.106: Cho các số thực dương x,y,z Chứng minh rằng:
Bài 4.106: Trong ba số x,y,z luôn tồn tại hai số cùng không nhỏ hơn 1 hoặc cùng không lớn hơn 1 Ta giả sử hai số đó là x và y Khi đó ta có:
Tam thức f z( ) có a= >2 0 và D =- z 15x 2 +2(y+14)x-15y 2 +28y-28 là tam thức bậc hai ẩn x, có và
D z a =- 4x 4 0là:
Câu 2 Tập nghiệm củabất phương trình x 2 - + >6x 9 0là:
Câu 3 Tập nghiệm củabất phương trình x 2 + + >6x 9 0là:
Câu 4 Tập nghiệm củabất phương trình x 2 + + >2x 1 0là:
Câu 5 Tập nghiệm củabất phương trình x 2 - + >2x 1 0là:
Câu 6 Tam thức y x= - - 2 2x 3 nhận giá trị dương khi và chỉ khi
Câu 7 Tam thức y x= - 2 12x-13 nhận giá trị âm khi và chỉ khi
Câu 8 Tam thức y=- - -x 2 3x 4 nhận giá trị âm khi và chỉ khi
Câu 9 Tam thức nào sau đây nhận giá trị âm với mọi x1 0 là:
Câu 11 Tập nghiệm của bất phương trình x 2 + - >x 1 0 là:
Câu 12 Tập nghiệm củabất phương trình x 2 - + >4x 4 0 là:
Câu 13 Tập nghiệm của bất phương trình x 2 -4 2x+
