Giáo trình toán đại số

Giáo trình TOÁN ĐẠI SỐ của Trường Đại học Đông Á cung cấp cho sinh viên kiến thức cơ bản về đại số tuyến tính: ma trận, hệ phương trình tuyến tính, không gian vectơ. Đồng thời, cũng trang bị cho sinh viên lý luận chặt chẽ về toán học, hình thành phương pháp tư duy toán. Giáo trình này có 3 chương: Chương 1: Ma trận Định thức. Chương 2: Hệ phương trình đại số tuyến tính. Chương 3: Không gian vectơ.

1

Khái niệm ma trận

Định nghĩa: Cho m, n là hai số nguyên dương, ta gọi ma trận A cỡ m x n là một bảng số đƣợc viết theo m hàng, n cột có dạng nhƣ sau:

Trong đó: a ij là phần tử của ma trận A i chỉ số của hàng; i = 1,m j chỉ số của cột; j = 1 , n

Ta dùng các chữ cái in hoa A, B, C… để đặt tên các ma trận

Ta viết A = [a ij ] m xn = (a ij ) mxn , cách viết khác A m x n

Các loại ma trận đặc biệt

Ma trận cỡ 1x n đƣợc gọi là ma trận hàng

Là ma trận có dạng:  a 1 a 2 a n 

Ma trận cỡ m x1 đƣợc gọi là ma trận cột

Là ma trận có dạng:

Ma trận không là ma trận mà các phần tử đều bằng 0 Kí hiệu ma trận không có cỡ m x n là: 0 m x n

0 là ma trận không cỡ 2 x 3 viết là: 0 2 x3

Là ma trận có số hàng bằng số cột: A = [a ij ] nxn

  gọi là ma trận vuông cấp n n gọi là cấp của ma trận vuông

3 2 1 là ma trận vuông cấp 3

- Các phần tử a ij với i = j nằm trên cùng một đường chéo gọi là đường chéo chính: a 11 , a 22 , …, a nn

- Các phần tử a 1n , a 2n-1 , … , a n1 nằm trên một đường chéo gọi là đường chéo phụ

Cho ma trận A vuông cấp n có dạng:

3 a ij = 0  i  j gọi là ma trận chéo

- Ma trận vuông cấp n có dạng:

- Ma trận A vuông cấp n có dạng:

  a ij = 0 i > j gọi là ma trận tam giác trên

- Ma trận A vuông cấp n có dạng:

  a ij = 0 i < j gọi là ma trận tam giác dưới

2.8 Ma trận đối xứng, ma trận phản đối xứng

- Ma trận vuông A = [a ij ] nxn có các phần tử đối xứng nhau qua đường chéo chính bằng nhau thì gọi là ma trận đối xứng

  là ma trận đối xứng

- Ma trận vuông A = [a ij ] nxn có các phần tử đối xứng nhau qua đường chéo chính đối nhau thì gọi là ma trận phản đối xứng

  la ma trận phản đối xứng.

Ma trận bằng nhau

Hai ma trận A và B được coi là bằng nhau khi chúng có cùng kích thước và các phần tử tương ứng ở cùng vị trí đều bằng nhau.

Tức là: A = [ ]a ij mxn ; B = [ ]b ij mxn

Ma trận chuyển vị, ma trận đối

Ma trận A = [a ij ] mxn, khi thực hiện phép đổi hàng thành cột và cột thành hàng, ta thu được ma trận chuyển vị của A.

Nếu A t = A thì A là ma trận đối xứng

- Ma trận đối của ma trận A = [a ij ] m xn là ma trận cũng cỡ với A, kí hiệu –A và có dạng: -A = [-a ij ] mxn

Các phép toán trên ma trận

Cho hai ma trận cùng cỡ:

Tổng A + B là ma trận cỡ m x n xác định bởi: A + B = [a ij + b ij ] m xn

* Tính chất : Cho 2 ma trận A m x n , B m x n

5.2 Nhân ma trận với một số

Tích kA = [ka ij ] m xn

* Tính chất : Cho ma trận A m x n ; B m x n ; k, h R k(A + B) = kA + kB

5.3 Phép nhân ma trận với ma trận

Xét hai ma tr ận: A = [a ij ] m xp ; B = [b ij ] pxi

- Số cột của ma trận A bằng số hàng của ma trận B

- Tích AB là ma trận C = [c ij ] mxn có m hàng, n cột:

Phần tử tại vị trí (i, j) của ma trận A.B được tính bằng tổng p số hạng, trong đó mỗi số hạng là tích của phần tử ở dòng i của ma trận A với phần tử tương ứng ở cột j của ma trận B.

 Nếu ma trận A vuông có cấp n: A n I n = I n A n

 Với n > 0 , A là ma trận vuông:

 Phép nhân không giao hoán

Ví dụ 4.5 Cho 2 ma trận A = 

Các phép biến đổi sơ cấp

Các phép biến đổi sau đây trên ma trận gọi là các phép biến đổi sơ cấp:

- Nhân tất cả các phần tử của một hàng (hoăc một cột) với một số k 0

- Đổi chỗ hai hàng (hoặc hai cột) cho nhau

Cộng các phần tử trong một hàng (hoặc cột) với các phần tử tương ứng của một hàng (hoặc cột) khác sau khi đã nhân với cùng một số.

Định thức của ma trận vuông

Xét ma trận vuông cấp n

Khi xem xét phần tử a ij, chúng ta loại bỏ hàng i và cột j, từ đó thu được ma trận còn lại với n-1 hàng và n-1 cột, tức là ma trận cấp n-1 Ma trận này được ký hiệu là M ij và được gọi là ma trận con tương ứng với phần tử a ij.

1.2 Định nghĩa Định thức của ma trận A, kí hiệu là det(A), được định nghĩa:

- A là ma trận cấp 1: A = [a 11 ] thì det(A) = a 11

- A là ma trận vuông cấp 2: det( )A a 11 det(M 11 )a 12 det(M 12 )a a 11 22 a a 12 21

- A là ma trận vuông cấp n: det(A) = (-1) 1+1 a 11 det(M 11 ) + (-1) 1+2 a 12 det(M 12 ) + …+ (-1) 1 +n a 1n det(M 1n )

- Các phần tử a 11 , a 12 , …, a 1n thuộc hàng thứ 1 của ma trận A

 Kí hiệu định thức người ta dùng hai gạch đặt hai bên:

 Định thức của ma trận vuông cấp n gọi là định thức cấp n

 Để tính định thức cấp 3 người ta thường dùng sơ đồ sau (Quy tắc Sarrus):

 Tích của 3 số nằm song song với đường chéo chính mang dấu (+)

 Tích của 3 số nằm song song với đường chéo phụ mang dấu (-)

Tính chất của định thức

Hệ quả: Một tính chất đã đúng khi phát biểu về hàng của định thức thì nó vẫn còn đúng khi trong phát biểu ta thay hàng bằng cột

 Tính chất 2: Đổi chỗ hai hàng (hai cột) cho nhau của một ma trận ta được một định thức ma trận mới bằng định thức cũ đổi dấu

 Tính chất 3: Một ma trận có hai hàng (hay hai cột) như nhau thì định thức bằng

- Khai triển định thức theo hàng i:

1 1 2 2 detA ( 1) i  a i det(M i )a i det(M i )  a in det(M in )

- Khai triển định thức theo cột j:

1 1 2 2 detA ( 1)  j a j det(M j )a j det(M j )  a nj det(M nj )

Khai triển theo hàng 2: det(A) = (-1) 2+1 [-1

 Tính chất 5 : Một ma trận có một hàng (hay một cột) toàn là số 0 thì định thức bằng 0

 Tính chất 6: Khi nhân các phần tử của một hàng (hay một cột) với cùng một số k thì được một định thức mới bằng định thức cũ nhân với k

Khi các phần tử trong một hàng hoặc một cột có một thừa số chung, thừa số chung đó có thể được đưa ra ngoài dấu định thức.

 Tính chất 7: Một ma trận có hai hàng (hay hai cột) tỉ lệ thì định thức bằng 0

Khi tất cả các phần tử trong một hàng hoặc một cột của định thức có thể biểu diễn dưới dạng tổng của hai số hạng, thì định thức đó có thể được phân tích thành tổng của hai định thức riêng biệt.

j n i i ij ij in in n nj nn a a a a a a a a a a a a

Tính chất 9 của định thức cho biết rằng khi cộng bội k của một hàng vào một hàng khác hoặc bội k của một cột vào một cột khác, ta sẽ nhận được một định thức mới mà giá trị vẫn không thay đổi so với định thức ban đầu.

Dựa vào tính chất này ta đƣa định thức về dạng định thức của ma trận tam giác trên để việc tính định thức đơn giản hơn

Ma trận khả đảo và ma trận nghịch đảo

1 Khái niệm ma trận Định nghĩa: Cho m, n là hai số nguyên dương, ta gọi ma trận A cỡ m x n là một bảng số đƣợc viết theo m hàng, n cột có dạng nhƣ sau:

Trong đó: a ij là phần tử của ma trận A i chỉ số của hàng; i = 1,m j chỉ số của cột; j = 1 , n

Ta dùng các chữ cái in hoa A, B, C… để đặt tên các ma trận

Ta viết A = [a ij ] m xn = (a ij ) mxn , cách viết khác A m x n

2 Các loại ma trận đặc biệt

Ma trận cỡ 1x n đƣợc gọi là ma trận hàng

Là ma trận có dạng:  a 1 a 2 a n 

Ma trận cỡ m x1 đƣợc gọi là ma trận cột

Là ma trận có dạng:

Ma trận không là ma trận mà các phần tử đều bằng 0 Kí hiệu ma trận không có cỡ m x n là: 0 m x n

0 là ma trận không cỡ 2 x 3 viết là: 0 2 x3

Là ma trận có số hàng bằng số cột: A = [a ij ] nxn

  gọi là ma trận vuông cấp n n gọi là cấp của ma trận vuông

3 2 1 là ma trận vuông cấp 3

- Các phần tử a ij với i = j nằm trên cùng một đường chéo gọi là đường chéo chính: a 11 , a 22 , …, a nn

- Các phần tử a 1n , a 2n-1 , … , a n1 nằm trên một đường chéo gọi là đường chéo phụ

Cho ma trận A vuông cấp n có dạng:

3 a ij = 0  i  j gọi là ma trận chéo

- Ma trận vuông cấp n có dạng:

- Ma trận A vuông cấp n có dạng:

  a ij = 0 i > j gọi là ma trận tam giác trên

- Ma trận A vuông cấp n có dạng:

  a ij = 0 i < j gọi là ma trận tam giác dưới

2.8 Ma trận đối xứng, ma trận phản đối xứng

- Ma trận vuông A = [a ij ] nxn có các phần tử đối xứng nhau qua đường chéo chính bằng nhau thì gọi là ma trận đối xứng

  là ma trận đối xứng

- Ma trận vuông A = [a ij ] nxn có các phần tử đối xứng nhau qua đường chéo chính đối nhau thì gọi là ma trận phản đối xứng

  la ma trận phản đối xứng

Hai ma trận A và B được coi là bằng nhau khi chúng có kích thước giống nhau và các phần tử tại các chỉ số tương ứng hoàn toàn giống nhau.

Tức là: A = [ ]a ij mxn ; B = [ ]b ij mxn

4 Ma trận chuyển vị , ma trận đối

Ma trận chuyển vị của ma trận A, ký hiệu là A^T, được tạo ra bằng cách đổi hàng thành cột và cột thành hàng của ma trận A = [a ij ] mxn.

Nếu A t = A thì A là ma trận đối xứng

- Ma trận đối của ma trận A = [a ij ] m xn là ma trận cũng cỡ với A, kí hiệu –A và có dạng: -A = [-a ij ] mxn

5 Các phép toán trên ma trận

Cho hai ma trận cùng cỡ:

Tổng A + B là ma trận cỡ m x n xác định bởi: A + B = [a ij + b ij ] m xn

* Tính chất : Cho 2 ma trận A m x n , B m x n

5.2 Nhân ma trận với một số

Tích kA = [ka ij ] m xn

* Tính chất : Cho ma trận A m x n ; B m x n ; k, h R k(A + B) = kA + kB

5.3 Phép nhân ma trận với ma trận

Xét hai ma tr ận: A = [a ij ] m xp ; B = [b ij ] pxi

- Số cột của ma trận A bằng số hàng của ma trận B

- Tích AB là ma trận C = [c ij ] mxn có m hàng, n cột:

Phần tử tại dòng i và cột j của ma trận A.B được tính bằng tổng của p số hạng, trong đó mỗi số hạng là tích của một phần tử từ dòng i của ma trận A và phần tử tương ứng từ cột j của ma trận B.

 Nếu ma trận A vuông có cấp n: A n I n = I n A n

 Với n > 0 , A là ma trận vuông:

 Phép nhân không giao hoán

Ví dụ 4.5 Cho 2 ma trận A = 

6 Các phép biến đổi sơ cấp

Các phép biến đổi sau đây trên ma trận gọi là các phép biến đổi sơ cấp:

- Nhân tất cả các phần tử của một hàng (hoăc một cột) với một số k 0

- Đổi chỗ hai hàng (hoặc hai cột) cho nhau

Cộng các phần tử trong một hàng (hoặc cột) với các phần tử tương ứng của một hàng (hoặc cột) khác sau khi đã nhân với cùng một số.

1 Định thức của ma trận vuông

Xét ma trận vuông cấp n

Khi chú ý đến phần tử a ij, chúng ta loại bỏ hàng i và cột j, từ đó thu được ma trận còn lại với n-1 hàng và n-1 cột, được gọi là ma trận cấp n-1 Ma trận này được ký hiệu là M ij và được gọi là ma trận con tương ứng với phần tử a ij.

1.2 Định nghĩa Định thức của ma trận A, kí hiệu là det(A), được định nghĩa:

- A là ma trận cấp 1: A = [a 11 ] thì det(A) = a 11

- A là ma trận vuông cấp 2: det( )A a 11 det(M 11 )a 12 det(M 12 )a a 11 22 a a 12 21

- A là ma trận vuông cấp n: det(A) = (-1) 1+1 a 11 det(M 11 ) + (-1) 1+2 a 12 det(M 12 ) + …+ (-1) 1 +n a 1n det(M 1n )

- Các phần tử a 11 , a 12 , …, a 1n thuộc hàng thứ 1 của ma trận A

 Kí hiệu định thức người ta dùng hai gạch đặt hai bên:

 Định thức của ma trận vuông cấp n gọi là định thức cấp n

 Để tính định thức cấp 3 người ta thường dùng sơ đồ sau (Quy tắc Sarrus):

 Tích của 3 số nằm song song với đường chéo chính mang dấu (+)

 Tích của 3 số nằm song song với đường chéo phụ mang dấu (-)

2 Tính chất của định thức

Hệ quả: Một tính chất đã đúng khi phát biểu về hàng của định thức thì nó vẫn còn đúng khi trong phát biểu ta thay hàng bằng cột

 Tính chất 2: Đổi chỗ hai hàng (hai cột) cho nhau của một ma trận ta được một định thức ma trận mới bằng định thức cũ đổi dấu

 Tính chất 3: Một ma trận có hai hàng (hay hai cột) như nhau thì định thức bằng

- Khai triển định thức theo hàng i:

1 1 2 2 detA ( 1) i  a i det(M i )a i det(M i )  a in det(M in )

- Khai triển định thức theo cột j:

1 1 2 2 detA ( 1)  j a j det(M j )a j det(M j )  a nj det(M nj )

Khai triển theo hàng 2: det(A) = (-1) 2+1 [-1

 Tính chất 5 : Một ma trận có một hàng (hay một cột) toàn là số 0 thì định thức bằng 0

 Tính chất 6: Khi nhân các phần tử của một hàng (hay một cột) với cùng một số k thì được một định thức mới bằng định thức cũ nhân với k

Khi các phần tử trong một hàng hoặc cột có một thừa số chung, chúng ta có thể đưa thừa số chung đó ra ngoài dấu định thức.

 Tính chất 7: Một ma trận có hai hàng (hay hai cột) tỉ lệ thì định thức bằng 0

Khi tất cả các phần tử trong một hàng hoặc một cột của định thức có thể biểu diễn dưới dạng tổng của hai số hạng, định thức đó có thể được phân tích thành tổng của hai định thức riêng biệt.

j n i i ij ij in in n nj nn a a a a a a a a a a a a

Khi cộng bội k của một hàng vào một hàng khác hoặc bội k của một cột vào một cột khác trong định thức, ta vẫn thu được định thức mới có giá trị bằng định thức cũ.

Dựa vào tính chất này ta đƣa định thức về dạng định thức của ma trận tam giác trên để việc tính định thức đơn giản hơn

3 Các phương pháp tính định thức

Cho định thức cấp n bất kỳ (n2):

Định thức của ma trận M ij được gọi là phần bù, trong khi A ij = (−1)^(i+j) * M ij được xác định là phần bù đại số của phần tử a ij.

3.1 Khai triển định thức theo các phần tử của một dòng hoặc một cột

Cho định thức D cấp n, kí hiệu A ij là phần bù đại số của phần tử a ij Khi đó

3.2 Đưa định thức về dạng tam giác Áp dụng các tính chất của định thức ta có thể đƣa định thức đã cho về dạng tam giác:

Ta dùng các biến đổi sau:

- Nhân một hàng với một số k 0  Định thức nhân với k

- Đổi chỗ hai hàng  Định thức đổi dấu

- Cộng k lần hàng r vào hàng s  Định thức không đổi Áp dụng các biến đổi đó đƣa dần định thức về dạng định thức của ma trận tam giác trên

 Đổi chỗ hai hàng 1 và 2

3  Đƣa thừa số 3 ở hàng 1 ra ngoài

Cộng -2 lần hàng 1 với hàng 3

Cộng -10 lần hàng 2 với hàng 3

1 Ma trận khả đảo và ma trận nghịch đảo

Trong toán học, tập hợp các ma trận vuông cấp n được ký hiệu là M n = {A n } Một ma trận A thuộc M n được gọi là khả đảo nếu tồn tại một ma trận B cũng thuộc M n, sao cho tích của chúng thỏa mãn AB = BA = I n, trong đó I n là ma trận đơn vị cấp n Ma trận B được gọi là ma trận nghịch đảo của A.

(A khả đảo) ta nói A không suy biến

Người ta kí hiệu ma trận nghịch đảo của ma trận A là A -1

- Ma trận nghịch đảo A -1 của ma trận A  M n nếu có thì chỉ có một mà thôi.

Ma trận phụ hợp

Cho ma trận A vuông cấp n, ma trận phụ hợp của A, ký hiệu P A , đƣợc xác định nhƣ sau:

Trong đó A ij là phần bù đại số của phần tử a ij (i, j = 1,n) của ma trận A Định lý 1: Nếu A là ma trận vuông cấp n thì :

Ma trận phụ hợp P A của ma trận vuông A và ma trận đơn vị I n có vai trò quan trọng trong việc xác định tính khả đảo của A Theo định lý 2, điều kiện cần và đủ để ma trận A khả đảo là định thức của A, det(A), khác không (det(A) ≠ 0), tức là ma trận A không suy biến Khi thỏa mãn điều kiện này, ta có thể tính được nghịch đảo của ma trận A, được biểu diễn qua công thức 1/det(A).

 Vậy muốn tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A ta tiến hành nhƣ sau:

- Nếu det(A) = 0 thì A không có ma trận nghịch đảo

- Nếu det(A)  0 chuyển sang bước 2

Bước 2: Tìm ma trận phụ hợp P A của A, từ đó suy ra A - 1

Tính chất

Định lí 1 : Giả sử A và B  M n là hai ma trận khả đảo khi đó AB cũng là khả đảo và:

(AB) -1 = B -1 A -1 Định lí 2 : Nếu A  M n khả đảo và có nghịch đảo A -1 thì: a) A -1 cũng khả đảo và (A -1 ) -1 = A b) A m khả đảo và: (A m ) -1 = (A -1 ) m , m nguyên > 0

15 c)  k  0 ta có kA cũng khả đảo và (kA) -1 = 1 1 k.A

 Định lí 3: Nếu A và B là hai ma trận vuông cùng cấp thì ta có: det(AB) = det(A)det(B) Định lí 4:

 Nếu B là ma trận vuông cùng cấp với A sao cho BA = I thì A khả đảo và

Nếu B là ma trận vuông cùng cấp với A sao cho AB = I thì A khả đảo và

Định nghĩa

Hạng của ma trận A là cấp cao nhất của tất cả các định thức con khác 0 của ma trận

Kí hiệu hạng của ma trận A là r(A) hoặc rank(A)

Các phương pháp tìm hạng ma trận

2.1 Phương pháp theo định nghĩa

Dựa vào định nghĩa ta có thể tìm hạng của ma trận nhƣ sau:

Để xác định hạng của ma trận A, bắt đầu bằng cách tính các định thức con từ cấp 2 trở lên Nếu ma trận A có một định thức con cấp r khác 0, tiếp tục tính các định thức cấp r + 1 Nếu tất cả các định thức cấp r + 1 đều bằng 0, hạng của A là r Ngược lại, nếu có một định thức cấp r + 1 khác 0, tiếp tục tính các định thức cấp r + 2 Nếu tất cả các định thức cấp r + 2 đều bằng 0, hạng của A là r + 1 Nếu có một định thức cấp r + 2 khác 0, tiếp tục tính các định thức cấp r + 3 và lặp lại quy trình này cho đến khi xác định được hạng của ma trận.

VD: Tìm hạng của ma trận

Ta có định thức con cấp 2: -4 0

Còn các định thức cấp 3:

Vậy mọi định thức con cấp 3 đều bằng 0

2.2 Hạng của ma trận bậc thang:

- Hạng của ma trận bậc thang bằng số hàng khác 0 của nó

3 2 1 là các ma trận bậc thang

Ta có r(A) = 3; r(B) = 2; r(C) = 3 Định lý: Các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của ma trận

- Vậy muốn tìm hạng ma trận A ta tiến hành nhƣ sau:

Ta dùng các phép biến đổi sơ cấp đƣa ma trận A về ma trận B có dạng ma trận bậc thang nhƣ sau:

  b ij = 0 với i > j hoặc i > r và b ii 0, i = 1,r

Ví dụ 2.1 Tìm hạng của ma trận

Nhân hàng thứ nhất với -2 rồi cộng với hàng thứ hai, cộng hàng 1 vào hàng 3

Nhân hàng thứ hai với 5, hàng thứ ba nhân với 7 rồi cộng với nhau ta đƣợc hàng ba của ma trận mới

Vậy hạng của ma trận A là 2 (hay r(A) =2)

2/ Hãy nhân các ma trận a) 

3/ Hãy thực hiện các phép tính sau: a)

Hãy kiểm tra lại tính kết hợp

(AB)C = A(BC) của phép nhân ma trận

5/ Tính các định thức cấp ba: a)

=  Hỏi các định thức sau: a) c b a

 bằng cách khai triển nó theo hàng ba

2 bằng cách khai triển nó theo các phần tử của cột bốn

10/ Tính các định thức sau: a)

11/ Các ma trận sau có khả đảo không, nếu có, hãy tìm ma trận nghịch đảo bằng phụ đại số: a) 

12/ Giải phương trình AX = B đối với ẩn là ma trận X, với

13/ Tìm hạng của các ma trận sau:

14/ Xác định hạng của các ma trận sau tuỳ theo  (  R): a) A 

Dạng tổng quát của một hệ phương trình tuyến tính

Đó là một hệ m phương trình đại số bậc nhất đối với n ẩn số:

Trong đó: x 1 , x 2 , , x n là các ẩn số a ij là hệ số ở phương trình thứ i của ẩn x j b i là vế phải của phương trình thứ i

Khi m = n ta có một hệ vuông với n phương trình, n ẩn

Khi b i = 0 ta có một hệ thuần nhất

Là 1 hệ phương trình tuyến tính hai phương trình 3 ẩn.

Dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính

(2) gọi là ma trận hệ số của hệ

   =  b 1 b 2 b m  t gọi là ma trận cột vế phải của hệ

  gọi là hệ số bổ sung

=  x 1 x 2 x n  t gọi là ma trận ẩn của hệ

Với phép nhân ma trận với ma trận hệ (1) đƣợc viết:

AX = B (3) Đó là dạng ma trận của hệ (1)

Ví dụ: Hệ phương trình:

Ma trận cột vế phải:

Ma trận hệ số mở rộng:

24 §2- CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Hệ Cramer

Bây giờ xét hệ n phương trình n ẩn số:

Với ma trận hệ số:

(5) là ma trận vuông cấp n

Hệ (4) đƣợc viết lại: AX = B (6)

Hệ (4) gọi là hệ Cramer nếu det(A)  0.

Phương pháp Cramer

Hệ Cramer có nghiệm duy nhất tính bằng công thức X = A -1 B tức là: det( ) det( ) j j x A

Trong đó A là ma trận (5), A j là ma trận suy ra từ A bằng cách thay cột thứ j bởi cột vế phải B

Chứng minh : Do det(A)  0  A có nghịch đảo

Thay (6) bởi x = A -1 b ta có: A(A -1 B) = (AA -1 )b = I n B = B

Vậy x = A -1 B là nghiệm của hệ x = A -1 B 11 21 1

25 nghĩa là có: x j = 1 1 2 2 det( ) j j nj n

Chứng minh sự duy nhất nghiệm

Giả sử hệ (6) có hai nghiệm là X và Y

Trừ hai vế cho nhau ta có: A(X-Y) = 0

Vậy hệ Cramer có nghiệm duy nhất

Ta suy ra nghiệm các hệ đã cho: x 1 = -

Phương pháp ma trận nghịch đảo

Để giải hệ phương trình Cramer, ta cần sử dụng ma trận nghịch đảo của ma trận hệ số A, bằng cách biểu diễn hệ phương trình dưới dạng ma trận: AX = B.

- Nhân 2 vế của phương trình ma trận trên với A -1

Từ đó suy ra nghiệm của hệ Cramer đã cho

Ví dụ: Giải hệ sau bằng phương pháp sử dụng ma trận nghịch đảo:

Nên hệ đã cho là hệ Cramer Ma trận nghịch đảo của A là:

Hệ phương trình trên được viết dưới dạng ma trận:

Phương pháp Gauss

Xét hệ phương trình tuyến tính ở tổng quát:

Xét ma trận hệ số và ma trận hệ số bổ sung:

Hệ (1) có nghiệm khi và chỉ khi: r( A ) = r(A)

Từ định lí ta có:

Hệ quả1: Hệ phương trình tuyến tính vô nghiệm khi và chỉ khi r(A) < r(A)

Hệ quả 2: Nếu r(A) = r(A) = r = n = số ẩn của HPTTT thì HPTTT có duy nhất một nghiệm

Hệ quả 3: Nếu r(A) = r(A) = r < n thì HPTTT có vô số nghiệm và các thành phần của nghiệm phụ thuộc n – r tham số tuỳ ý

Khi r(A) = r < n, các định thức con cấp r khác 0 của A được gọi là định thức con cấp cơ sở Trong một định thức con cơ sở, ta có thể chọn một hàng bất kỳ, các phần tử trong hàng này là hệ số của r ẩn trong n ẩn của hệ phương trình tuyến tính Những ẩn này được gọi là ẩn cơ bản hay ẩn chính, trong khi n-r ẩn còn lại được gọi là các ẩn không cơ bản hay ẩn phụ.

Trong ma trận A, có thể tồn tại nhiều định thức con cấp r, dẫn đến việc có nhiều cách lựa chọn các ẩn cơ bản và ẩn không cơ bản tương ứng.

Ta thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận mở rộng của hệ phương trình tuyến tính, nhằm đảm bảo tính tương đương của hệ.

Nhân một hàng của ma trận trong hệ phương trình với một số khác 0 không làm thay đổi nghiệm của hệ.

 Phép đổi chỗ hai hàng của ma trận ứng với phép đổi chỗ hai phương trình của hệ không làm thay đổi nghiệm của hệ

Phép cộng công bội k của một hàng trong ma trận vào một hàng khác tương tự như việc thực hiện phép cộng công bội k giữa hai phương trình Hành động này không làm thay đổi nghiệm của hệ phương trình.

Bước đầu tiên trong quá trình giải hệ phương trình tuyến tính là áp dụng các phép biến đổi sơ cấp lên ma trận mở rộng A để chuyển đổi thành ma trận A1 Ma trận A1 sẽ có nhiều phần tử 0 và được gọi là ma trận bậc thang Khi thực hiện bước này, số hạng của ma trận A và ma trận A1 sẽ giữ nguyên, tức là r(A) = r(A1).

Bước 2: xảy ra 3 trường hợp:

 r(A) < r(A) thì hệ phương trình đã cho vô nghiệm

 r(A) = r(A) = n (số ẩn): hệ có nghiệm duy nhất Giải hệ phương trình có ma trận hệ số mở rộng A 1 sau khi loại bỏ các hàng bằng 0

 r(A) = r(A) = r < n (số ẩn): hệ có vô số nghiệm

Lập hệ phương trình có ma trận hệ số mở rộng A 1 sau khi loại bỏ các hàng bằng 0 (có r phương trình n ẩn số)

Chọn r ẩn cơ bản với định thức khác 0 từ cột hệ số, sau đó lần lượt xác định n-r ẩn còn lại bằng n-r tham số tùy ý Qua đó, ta tìm ra các ẩn cơ bản và nhận được nghiệm tổng quát cho hệ phương trình.

Nhân hàng 1 với -3 và nhân hàng 2 với 2 rồi cộng với nhau, nhân hàng 1 với -2 rồi cộng với hàng 3 của ma trận A ta đƣợc:

Nhân hàng 2 với 3 và nhân hàng 3 với 10 rồi cộng với nhau ta đƣợc:

Nhân hàng 1 với -1 và hàng 2 với -2, sau đó cộng với hàng 3 Tiếp theo, nhân hàng 1 với -2, cộng hàng 2 với -1, rồi cộng với hàng 4 Cuối cùng, nhân hàng 1 với -2, cộng hàng 2 và loại bỏ hàng 3, hàng 4.

Từ đó ta có hệ phương trình đã cho tương đương với hệ sau:

Chọn x 1, x 2 làm các ẩn cơ bản, x 3 , x 4 làm các ẩn không cơ bản vid định thức ứng với

2 cột hệ số của x 1, x 2 bằng -11 Cho x 3 =  x 4 =  với ,  là 2 tham số tùy ý Khi đó ta có:

Vậy hệ đã cho có vô số nghiệm có dạng tổng quát là:

Ví dụ 3 Giải và biện luận hệ phương trình:

 a-Hãy xác định a và b để hệ có nghiệm duy nhất

30 b-Xác định a và b để hệ có vô số nghiệm c- Xác định a và b để hệ vô nghiệm

Ta có detA = 2a - 21 a-Điều kiện cần và đủ để hệ đã cho có nghiệm duy nhất là: det(A)  0  2a - 21  0  a 

21, b bất kì b-Muốn hệ có vô số nghiệm :

21  det(A) = 0 nên r(A) < 3 vì A có định thức con

 = -7  0 là định thức cấp hai nên r(A) = 2 khi a 2

Theo định lí Kronecker-Capelle muốn cho hệ có nghiệm cần và đủ là: r(A) = r(A) = 2

21 (b bất kì) hệ có nghiệm duy nhất

31 §3- HỆ PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT

Hệ thuần nhất có dạng :

Ma trận hệ số là:

Vế phải là ma trận O cỡ nx1

Hệ thuần nhất (8) tức là (9) luôn có nghiệm O x 

Vì khi thay x 1 = 0, x 2 = 0, , x n = 0 vào vế phải của (8) thì các phương trình đó thoả mãn

- Nghiệm O của hệ thuần nhất gọi là nghiệm tầm thường của nó Định lí: Hệ thuần nhất (8) có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi det(A) = 0

Nên chỉ có nghiệm tầm thường x 1 = 0, x 2 = 0

2 = 0 Nên có nghiệm không tầm thường chẳng hạn x 1 = 3, x 2 = -2

 Khi r(A) = n hệ pttt thuần nhất chỉ có nghiệm tầm thường

 Khi r(A) < n hệ pttt thuần nhất có vô số nghiệm và do đó nó có nghiệm không tầm thường.

Hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình thuần nhất

Khi hạng của ma trận hệ số A trong hệ phương trình tuyến tính thuần nhất là r(A) = r < n (với n là số ẩn số), ta có thể chọn r ẩn cơ bản x₁, x₂,…, xₗ và n - r ẩn không cơ bản xₗ₊₁,…, xₙ với các giá trị xác định cho chúng.

     Khi đó các ẩn cơ bản đƣợc biểu diễn qua các ẩn không cơ bản và ta đƣợc nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất

Nếu ta gán cho các ẩn không cơ bản lần lƣợt các bộ giá trị

Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có n - r nghiệm cụ thể, và các nghiệm này được gọi là một hệ nghiệm cơ bản.

Ví dụ 3.2 Tìm hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình sau:

Ta có r(A) = 2 Chọn một định thức cơ sở chẳng hạn D = 5 0

Gán cho các ẩn không cơ bản các bộ giá trị : 1 0 0 ; 0 1 0 ; 0 0 1

Ta đƣợc một hệ nghiệm cơ bản gồm 3 nghiệm:

BÀI TẬP 1/ Áp dụng định lý Cramer giải các hệ sau a) 2 5 1

2/ Tìm ma trận X thoả mãn phương trình a) 

4/ Áp dụng phương pháp Gauss giải các hệ sau a) 1, 2 0,8 2,0

5/ Dùng phương pháp Gauss - Jordan tính ma trận nghịch đảo của các ma trận sau: a) A = 

6/ Dùng phương pháp Gauss - Jordan tính ma trận nghịch đảo của các ma trận sau nếu có a) A = 

7/ Với giá trị nào của a thì hệ sau đây không có nghiệm duy nhất a) 2 5

8/ Xác định a để hệ sau có nghiệm không tầm thường a)

9/ Giải các hệ sau và biện luận theo các tham số:

10/ Tìm nghiệm tổng quát và một hệ nghiệm cơ bản của mỗi hệ sau: a 

11/ Giải và biện luận các hệ sau: a 

1 az by x b z aby x z by ax

Trong đó k, a, b là các tham số

Tính chất

1) Trong khụng gian vectơ E trờn trường số T tồn tại duy nhất một vectơ ỉ sao cho:

2) Trong không gian vectơ E trên trường số T với mỗi x  E tồn tại phần tử đối duy nhất của x là (- x) sao cho: x + (- x) = ỉ

3) Cho E là không gian vectơ trên trường số T Khi đó k  T, x  E và 0 là số

4) Cho E là không gian vectơ trên trường số T Khi đó, x  E, - 1  T ta có:

- 1.x =vectơ đối §2 KHÔNG GIAN VECTƠ CON

Cho E là một không gian vectơ tên trường số T Tập con E’ của E được gọi là một không gian con của không gian vectơ E nếu: i) x, y  E:  x + y  E’ ii) x  E’,  T  x  E’

Nhận xét: E’ là một vectơ trên trường số T

Cho E’  E, điều kiện cần và đủ để E’ là không gian con của E là:

2) Tập {} có phải là không gian con của E không?

3) Không gian R 3 = {(x 1 , x 2 , x 3 )/ x i  R} Các tập sau đây tập nào là không gian con của R 3 a) A = {x 1 , x 2 , 0}  x 1 , x 2 , 0  R b) B = {x 1 , 0, 0}  x 1 , 0  R c) C = {x 1 , x 2 , 1}  x 1 , x 2 , 1  R

4) Không gian các ma trận cỡ 2  3 Các tập ma trận sau, tập nào là không gian con? a) A = 

Khái niệm tổ hợp tuyến tính

Cho x 1 , x 2 , …, x n là n vectơ của không gian vectơ E trên trường T Ta gọi một tổ hợp tuyến tính của các vectơ x 1 , x 2 , …, x n là một vectơ y có dạng: y =  1 x 1 +  2 x 2 + … +  n x n ,  i  T, i = 1, 2, …., n

Khi đó ta nói y biểu diễn tuyến tính đƣợc qua các vectơ x 1 , x 2 , …, x n

Ví dụ 3.1: 1) Mọi vectơ x i  E, i = 1, 2, …, n đều biểu thị tuyến tính đƣợc qua các vectơ x 1 , x 2 , …, x n chẳng hạn: x 1 = 1.x 1 + 0.x 2 + … + 0.x n

2) Trong không gian R 4 , xét các vectơ: a 1 = (1, 2, - 1, 3) a 2 = (0, 1, 2, - 2) a 3 = ( 3, - 2, 0, 1)

Ta có x = (- 1, 9, 4, - 1) biểu diễn tuyến tính đƣợc qua các vectơ đó vì: x = 2a 1 + 3a 2 – a 3

Không gian con sinh bởi một họ vectơ

Định nghĩa: Cho V là một không gian vecto

S = { x 1 , x 2 , …, x n } là một họ vecto của V Ta gọi tất cả các tổ hợp tuyến tính của các vecto S là bao tuyến tính của S, kí hiệu span(S)

W= span(S) là một không gian con của V (không gian con sinh bởi họ vecto)

40 §3 SỰ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH, ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH

Khái niệm phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính

Xét hệ n vectơ {x 1 , x 2 , …, x n }  E trên trường số T

Thì hệ n vectơ {x 1 , x 2 , …, x n } đƣợc gọi là độc lập tuyến tính

Ngƣợc lại nếu tồn tại một số p r  0, r  {1, 2, …, n} để p 1 x 1 + p 2 x 2 + … + p n x n =  thì hệ n vectơ {x 1 , x 2 , …, x n } gọi là hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính

1) Xét hệ gồm n vectơ n chiều( gọi là các vectơ đơn vị): e 1 = (1, 0, 0, … , 0) e 2 = (0, 1, 0, … , 0)

Chứng tỏ hệ (e 1 , e 2 , …., e n ) độc lập tuyến tính?

Vậy hệ đã cho độc lập tuyến tính

2) Cho P 2 là tập các đa thức bậc  2 với hệ số thực Chứng minh rằng: a) Họ vectơ

S = {p 1 (x) = 1 + 2x + 3x 2 , p 2 (x) = 2 + 3x + 4x 2 , p 3 (x) = 3 + 5x + 7x 2 } phụ thuộc tuyến tính b) Họ vectơ {q 1 (x) = 1, q 2 (x) = 1 + x, q 3 (x) = 1 + x + x 2 } độc lập tuyến tính

Tính chất của hệ độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

Tính chất 1: Mọi hệ con của một hệ độc lập tuyến tính đều là hệ độc lập tuyến tính

Hệ quả: Nếu thêm vào 1 hoặc nhiều vectơ vào một hệ phụ thuộc tuyến tính thì hệ mới cũng phụ thuộc tuyến tính

Tính chất 2: Điều kiện cần và đủ để một hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính là có một vectơ biểu diến tuyến tính qua các vectơ còn lại

Hệ quả: Một hệ vectơ chứa vectơ 0 thì phụ thuộc tuyến tính §4 CƠ SỞ - SỐ CHIỀU CỦA KHÔNG GIAN VECTƠ

Hệ sinh

4.1.1 Định nghĩa: Hệ vectơ {x 1 , x 2 , …, x n } đƣợc gọi là hệ sinh của không gian vectơ E trên trường số T nếu với mọi vectơ x  E, x là một tổ hợp tuyến tính của x 1 , x 2 , …, x n

Nghĩa là: x  E tồn tại  1 ,  2 ,… ,  n  T sao cho: x =  1 x 1 +  2 x 2 + … +  n x n

1) Trong không gian vectơ R n trên trường số R, hệ vectơ {e 1 , e 2 , …., e n }: e 1 = (1, 0, …., 0), e 2 = (0, 1, …., 0), … , e n = (0, 0, …., 1) là hệ sinh, vì sao?

2) Trong không gian vectơ P các đa thức bậc nhỏ hơn n, họ vectơ: p 0 (x) = 1, p 1 (x) = x, p 2 (x) = x 2 , …., p n (x) = x n có phải là hệ sinh không?

3) Trong không gian vectơ M mn trên trường số R, hệ vectơ :

0 có phải là hệ sinh không?

Cơ sở

2.1 Định nghĩa: Hệ vectơ {x1, x2, …, xn} đƣợc gọi là một cơ sở của không gian vectơ E trên trường số T nếu: i) {x 1 , x 2 , …, x n } là 1 hệ sinh của E ii) {x 1 , x 2 , …, x n } độc lập tuyến tính

1) Trong không gian vectơ R n trên trường số R, hệ vectơ {e 1 , e 2 , …., e n } là n vectơ độc lập tuyến tính trong R và là một hệ sinh nên hệ {e 1 , e 2 , …., e n } là một cơ sở trong

2) Chứng minh cơ sở chính tắc của không gian vectơ M 33 trên trường số R là hệ vectơ:

Trong không gian vectơ E trên trường T, mọi hệ cơ sở của nó đều có số vectơ bằng nhau

2.4 Định lí: Điều kiện cần và đủ để hệ vectơ {x 1 , x 2 , …, x n } là một cơ sở của không gian vectơ E trên trường T là mọi vectơ x thuộc E đều có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng tổ hợp tuyến tính x1, x 2 , …, xn

Số chiều của một họ vecto

3.1 Định nghĩa: Trong không gian vectơ E trên trường số T, số vectơ có trong 1 cơ sở nào đó của E đƣợc gọi là số chiều của E Kí hiệu dim(E)

Nếu dim(E) = n hữu hạn thì ta gọi E là không gian vectơ hữu hạn c hiều hay không gian vectơ n - chiều

+ Khụng gian vectơ chỉ gồm một vectơ ỉ đƣợc xem cú số chiều bằng 0

+ Không gian vectơ E có số vectơ trong một cơ sở là vô hạn thì không gian vectơ E gọi là không gian vectơ vô hạn chiều

+ dim M = m.n với M là không gian vectơ các ma trận A mn

+ dim P = n + 1 với P là không gian vectơ các đa thức bậc nhỏ hơn hoặc bằng n

1) Trong không gian vectơ M 3 3 trên trường số R, có số vectơ trong cơ sở là 9 Vậy số chiều của không gian vectơ M33 là 9

2) Cho không gian vectơ P = {1, x, x 2 }, dim P = 3

Hạng của hệ vectơ

4.1 Bộ phận độc lập tuyến tính tối đại

Trong không gian vectơ E cho một hệ gồm n vectơ {x 1 , x 2 , …, x n } (1), một hệ con của hệ (1) gồm r vectơ (r  n) đƣợc gọi là hệ độc lập tuyến tính tối đại của hệ (1) nếu:

+ Hệ r vectơ độc lập tuyến tính

+ Mọi vectơ của hệ (1) đều là tổ hợp tuyến tính của hệ r vectơ đó( hay mọi hệ con của (1) có số vectơ > r thì phụ thuộc tuyến tính)

Trong không gian vectơ E, một hệ S gồm n vectơ có thể có một hệ con độc lập tuyến tính tối đa Số lượng vectơ trong hệ con này được gọi là hạng của hệ S, ký hiệu là r(S).

Trong không gian vectơ n - chiều trên trường số thực R Cho hệ vectơ bất kì S = {x 1 , x 2 , …, x n } Giả sử tọa độ của n vectơ đối với một cơ sở nào đó của E là:

Khi đó hạng của hệ gồm m vectơ trên bằng hạng của ma trận:

(cột thứ i tương ứng với tọa độ của vectơ x i , i = 1, 2,…, n)

Vậy muốn tìm hạng của họ vectơ ta tìm hạng ma trận tạo nên bởi các vectơ đó

4.4 Phương pháp tính hạng của họ vectơ

Ví dụ Tính hạng của họ vectơ S = {x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 }  R 3 với x 1 = (1, 2, 3), x 2 = ( 2, 3, 4), x 3 = (3, 5, 7), x 4 = (1, 1, 1), x 5 = (0, 1, 2)

Lập ma trận A tạo bởi các hệ vectơ đó:

Dùng các phép biến đổi sơ cấp về hàng để đƣa ma trận A về dạng bậc thang:

Vậy hạng của 5 vectơ trên là 2 §5 TỌA ĐỘ CỦA VECTO TRONG CƠ SỞ

Khái niệm tọa độ của một vectơ trong cơ sở

Trong không gian vectơ n - chiều E trên trường T, với hệ cơ sở {e 1, e 2, …, e n} và vectơ x thuộc E, tồn tại duy nhất bộ số (α 1, α 2, …, α n) với α i thuộc T (i = 1, 2, …, n) sao cho x = α 1 e 1 + α 2 e 2 + … + α n e n Bộ số (α 1, α 2, …, α n) này được gọi là tọa độ của vectơ x đối với cơ sở {e 1, e 2, …, e n}.

 i gọi là thành phần tọa độ thứ i của vectơ x, i = 1, 2, …, n và viết x = ( 1 ,  2 , …,  n ) hay x 

Trong không gian vectơ hữu hạn chiều E với dim(E) = n, mọi hệ vectơ độc lập tuyến tính gồm n vectơ đều là cơ sở của E Nếu có một hệ độc lập tuyến tính {e1, e2, …, en} với số vectơ m < n, ta có thể bổ sung thêm n – m vectơ để tạo thành một cơ sở hoàn chỉnh cho E.

Ma trận chuyển cơ sở

Trong không gian vectơ n chiều V, giả sử có 2 cơ sở:

Xét vectơ v V Đối với cơ sở A có vv e 1 1 v e 2 2   v e n n , nghĩa là ( )v A ( ,v v 1 2 , )v v hay

  Đối với cơ sở A’ có vv e' 1 ' 1 v e' 2 ' 2   v e' n ' n , nghĩa là ( )v A ' ( ' , ' , ' )v v 1 2 v n hay

  Định nghĩa ma trận chuyển cơ sở:

Ma trận P thỏa mãn:   v A  P v   A ' gọi là ma trận chuyểncơ sở từ A sang A’ Định lý: Nếu P là ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở A sangcơ sở A’ thì:

P -1 là ma trận chuyển cơ sở từ A’ sang A,   v A  P v   A '

Bài toán đổi cơ sở

Ví dụ: Trong R 2 , cho 2 cơ sở A e e 1, 2 , A' e e' , '1 2  với

1 (1,0), 2 (0,1), '1 (1,1), '2 (2,1) e  e  e  e  a Tìm ma trận chuyển cơ sở từ A sang A’ b Tìm (v) A’ nếu v = (7,2)

Ma trận chuyển cơ sở từ A sang A’ là 1 2

  b Ma trận chuyển cơ sở từ A’ sang A là 1 1 2

Có thể tính trực tiếp, không thông qua ma trận chuyển cơ sở.

Tập tất cả các bộ ba số thực (x, y, z) với các phép tính cộng và nhân vectơ với một số là không gian vectơ Điều này bởi vì nó thỏa mãn các tiên đề của không gian vectơ như tính đóng của phép cộng và phép nhân, sự tồn tại của phần tử không, và sự tồn tại của phần tử đối.

(x, y, z) + (x’, y’, z’) := (x + x’, y + y’, z + z’) k(x, y, z) := (kx, y, z) b Tập tất cả các bộ ba số thực (x, y, z) với các phép tính:

(x, y, z) + (x’, y’, z’) := (x + x’, y + y’, z + z’) k(x, y, z) := (0, 0, 0) c Tập tất cả các cặp số thực (x, y) với các phép tính:

(x, y) + (x’, y’) := (x + x’, y + y’) k(x, y) := (2kx, 2ky) d Tập tất cả các cặp thực có dạng (x, y) trong đó x>0, với các phép tính thông thường trong R 2

2 Hỏi mỗi tập dưới đây là không gian con của R 3 hay không? a Các vectơ có dạng (a, 0, 0) b Các vectơ có dạng (a, 1, 0) c Các vectơ có dạng (a, b, c) với b = a + c d Các vectơ có dạng (a, b, c) với b = a + c +1

3 Tập nào dưới đây là không gian vectơ con của không gian M 2x2 () a a b a c

4 Cho u = (2, 3, 5), v = (3, 7, 8), w = (1, -6, 1) Hãy biểu diễn vectơ x thành tổ hợp tuyến tính của u, v, w: a x = (7, -2, 15) b x = (0, 0, 0)

5 Các tập sau đây là độc lập hay phụ thuộc tuyến tính? a u 1 = (1, 2), u 2 = (-3, -6) trong R 2 a u 1 = (-1, 2), u 2 = (-3, 4) trong R 2 c v 1 = (1, 2,3), v 2 = (-3, -6, 7) trong R 3 d v 1 = (4,- 2,6), v 2 = (6, -3, 9) trong R 3 e v 1 = (1, 2, 3), v 2 = (-3, -6, 7), v 3 = (-1, -2, 13) trong R 3 f v 1 = (-1, 2, 3), v 2 = (-3, 9, 7), v 3 = (7, 2, 1) trong R 3 g v 1 = (1, 2, 3, 4), v 2 = (-3, -6, 7, 5), v 3 = (2, 4, 6, 10), v 4 = (1, 0, 0, 3) trong R 4

6 Tập nào trong P 2 dưới đây phụ thuộc tuyến tính? a e 1 x 2 2x1, e 2   x 2 2x3, e 3  x 1 b e 1 2x 2  x 3, e 2  x 2 , e 3 2x5

7 Tìm m để làm cho các vectơ sau đây phụ thuộc tuyến tính trong R 3

8 Họ nào dưới đây là cơ sở trong R 2 a (1, 2), (-3, -6) ` b (4, 1), (-7, 8) c (0, 0), (-3, -6) d ( 2,3), (1, 0)

9 Họ nào dưới đây là cơ sở trong R 3 a (1, 0, 0), (2, 2, 0), (3, 3, 3) `

10 Chứng minh họ vectơ sau là cơ sở trong M 2x2

11 Xác định số chiều của các không gian con các vectơ dạng (a, b, c, 0) của R 4

MA TRẬN – ĐỊNH THỨC 1 §1-MA TRẬN 1

2 Các loại ma trận đặc biệt 1

4 Ma trận chuyển vị, ma trận đối 4

5 Các phép toán trên ma trận 5

6 Các phép biến đổi sơ cấp 7 §2 -ĐỊNH THỨC 8

1 Định thức của ma trận vuông 8

2 Tính chất của định thức 9

3 Các phương pháp tính định thức 11 §3-MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 13

1 Ma trận khả đảo và ma trận nghịch đảo 13

3 Tính chất 14 §4- HẠNG CỦA MA TRẬN 16

2 Các phương pháp tìm hạng ma trận 16

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 22 §1- KHÁI NIỆM HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 22

1 Dạng tổng quát của một hệ phương trình tuyến tính 22

2 Dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính 22 §2- CÁC P HƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 24

3 Phương pháp ma trận nghịch đảo 26

4 Phương pháp Gauss 26 §3- HỆ PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT 31

2 Hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình thuần nhất 32

KHÔNG GIAN VECTƠ 37 §1 KHÔNG GIAN VECTƠ 37

2 Tính chất 38 §2 KHÔNG GIAN VECTƠ CON 38

2 Khái niệm tổ hợp tuyến tính 39

3 Không gian con sinh bởi một họ vectơ 39 §3 SỰ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH, ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH 40

1 Khái niệm phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính 40

2 Tính chất của hệ độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính 41