Giáo trính lý thuyết xác suất thống kê này được soạn thảo rất tỉ mỉ, có đầy đủ công thức với rất nhiều cách giải bài tập cho các bạn tham khảo. Tôi không đảm bảo rằng các bạn có được điểm cao hay không nhưng tôi đảm bảo rằng nếu các bạn học hết gaiso trình này thì chắc chắn sẽ qua được môn này =)))))
Biến cố và xác suất của biến cố
Bổ túc về giải tích tổ hợp
Giả sử một công việc có thể thực hiện theo k phương án khác nhau, trong đó phương án thứ nhất có 1 cách thực hiện, phương án thứ hai có 2 cách thực hiện, và tiếp tục như vậy cho đến phương án thứ k có k cách thực hiện Tổng số cách thực hiện công việc này sẽ là 1 + 2 + + k.
Quy tắc cộng cho phép chúng ta xác định số cách thực hiện một công việc khi có nhiều phương án khác nhau Cụ thể, tổng số cách thực hiện công việc sẽ bằng tổng số cách thực hiện từng phương án.
Giả sử một công việc được chia thành k công đoạn, mỗi công đoạn có số cách thực hiện khác nhau Cụ thể, công đoạn thứ nhất có n1 cách thực hiện, công đoạn thứ hai có n2 cách thực hiện, và tiếp tục như vậy đến công đoạn thứ k với nk cách thực hiện Tổng số cách thực hiện công việc sẽ là tích của các cách thực hiện từng công đoạn, tức là n1 x n2 x x nk.
Quy tắc nhân cho biết rằng nếu một công việc có thể được thực hiện qua nhiều công đoạn khác nhau, thì tổng số cách thực hiện công việc sẽ bằng tích số của các cách thực hiện từng công đoạn.
Trên giá sách có tổng cộng 24 quyển sách, bao gồm 10 quyển tiếng Việt, 8 quyển tiếng Anh và 6 quyển tiếng Pháp a) Có 24 cách để chọn một quyển sách b) Để chọn ba quyển sách tiếng khác nhau, có nhiều cách kết hợp khác nhau giữa các ngôn ngữ c) Tương tự, có nhiều cách để chọn hai quyển sách tiếng khác nhau từ ba ngôn ngữ này.
Lời giải. a)Công việc chọn một quyển sách được thực hiện theo 3 phương án khác nhau.
Phương án 1: Chọn quyển sách tiếng Việt Có 10cách thực hiện phương án 1.
Phương án 2: Chọn quyển sách tiếng Anh Có 8cách thực hiện phương án 2.
Phương án 3: Chọn quyển sách tiếng Pháp Có6 cách thực hiện phương án 3.
Theo quy tắc cộng, có tổng cộng 24 cách để chọn một quyển sách, bao gồm 10 + 8 + 6 Để chọn ba quyển sách tiếng khác nhau, công việc này được chia thành ba công đoạn Trong công đoạn đầu tiên, có 10 cách để chọn một quyển sách tiếng Việt.
Công đoạn 2: Chọn1 quyển sách tiếng Anh Có8 cách thực hiện công đoạn2.
Công đoạn 3: Chọn1 quyển sách tiếng Pháp Có 6cách thực hiện công đoạn 3.
Theo quy tắc nhân, có 480 cách để chọn ba quyển sách tiếng khác nhau Ngoài ra, việc chọn hai quyển sách tiếng khác nhau có thể thực hiện theo ba phương án khác nhau.
Phương án 1: Chọn một quyển tiếng Việt và một quyển tiếng Anh Phương án 1 có 2 công đoạn thực hiện.
Công đoạn 1: Chọn1 quyển sách tiếng Việt Có10 cách thực hiện công đoạn1. Công đoạn 2: Chọn1 quyển sách tiếng Anh Có8 cách thực hiện công đoạn2.
Theo quy tắc nhân, có10×8 = 80 cách thực hiện phương án 1.
Phương án 2: Chọn một quyển tiếng Việt và một quyển tiếng Pháp Phương án 2 có 2 công đoạn thực hiện.
Để thực hiện phương án 2, bước đầu tiên là chọn một quyển sách tiếng Việt, có 10 cách thực hiện Tiếp theo, chọn một quyển sách tiếng Pháp, với 6 cách thực hiện Theo quy tắc nhân, tổng số cách thực hiện phương án 2 sẽ là 10 x 6 = 60 cách.
Phương án 3: Chọn một quyển tiếng Anh và một quyển tiếng Pháp Phương án 3 có 2 công đoạn thực hiện.
Công đoạn 1: Chọn1 quyển sách tiếng Anh Có8 cách thực hiện công đoạn1.
Công đoạn 2: Chọn1 quyển sách tiếng Pháp Có 6 cách thực hiện công đoạn2. Theo quy tắc nhân, có8×6 = 48 cách thực hiện phương án 3.
Từ đó, theo quy tắc cộng, ta có80 + 60 + 48 = 188 cách chọn hai quyển sách tiếng khác nhau.
Cho A là một tập hợp gồmn phần tử,n ∈N ∗ Kết quả của sự sắp xếpn phần tử của
A theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị của tập hợp A.
Số các hoán vị của A được ký hiệu là P n và được chứng minh bằng
Ví dụ 1.1.2 Có bao nhiêu cách xếp bốn bạn Tí, Sửu, Dần, Mão vào bốn ghế sắp thành hàng ngang?
Lời giải Mỗi cách xếp cho ta một hoán vị của bốn bạn và ngược lại Vậy số cách xếp là
Cho A là một tập hợp gồmn phần tử, n∈N ∗ Kết quả của việc lấy k phần tử của A
(1≤k ≤n) và sắp xếp theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A.
Số các chỉnh hợp chậpk của n phần tử được ký hiệu làA k n và được chứng minh bằng
Ví dụ 1.1.3 Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác không và khác nhau từng đôi một?
Mỗi số cần tìm có dạng a1 a2 a3 a4 a5, trong đó các số ai thuộc tập hợp {1, 2, , 9} và ai khác aj với mọi i khác j Điều này cho thấy mỗi số trên có thể được coi là một chỉnh hợp chập 5 của 9 Do đó, số lượng các số cần tìm là A5^9 = 9!.
Chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử (k, n ∈ N∗) là một tập hợp có thứ tự bao gồm k phần tử được chọn từ n phần tử đã cho, trong đó mỗi phần tử có thể xuất hiện từ 1 đến k lần trong nhóm.
Số các chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử được ký hiệu làA k n và được chứng minh bằng
Ví dụ 1.1.4 Để đăng ký mỗi loại máy mới người ta dùng 3 con số trong 9 con số
1,2, ,9 Hỏi có thể đánh số được bao nhiêu máy?
Lời giải Mỗi số của máy là một chỉnh hợp lặp chập 3 của 9 phần tử đã cho Vậy có thể đánh số được A 3 9 = 9 3 = 729máy.
Cho A là một tập hợp gồm n phần tử, n ∈ N ∗ Một tập con gồm k phần tử của A
(1≤k≤n) được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử củaA.
Số các tổ hợp chập k của n phần tử được ký hiệu làC n k và được chứng minh bằng
Ví dụ 1.1.5 Có bao nhiêu cách phân công ba bạn từ một tổ có 10bạn để làm trực nhật?
Lời giải Kết quả của sự phân công là một nhóm gồm ba bạn, tức là một tổ hợp chập 3 của 10 bạn Vậy số cách phân công làC 10 3 = 10!
Ta đã biết các hằng đẳng thức đáng nhớ a+b=a 1 +b 1 , (a+b) 2 =a 2 + 2a 1 b 1 +b 2 , (a+b) 3 =a 3 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 +b 3
Newton đã chứng minh được công thức tổng quát sau với mọi số nguyên dương n, và được gọi là nhị thức Newton
C n k a n−k b k Bằng cách đổi vai trò của a và b, công thức nhị thức Newton có thể được viết dưới dạng
Phép thử ngẫu nhiên, không gian mẫu, biến cố sơ cấp
Phép thử ngẫu nhiên là một thí nghiệm hoặc quan sát có kết quả không thể biết trước, nhưng có thể xác định tập hợp tất cả các kết quả khả thi Tập hợp này được gọi là không gian mẫu, ký hiệu là Ω, trong đó mỗi kết quả ω ∈ Ω được gọi là một biến cố sơ cấp hoặc điểm mẫu Do đó, không gian mẫu cũng được xem là không gian các biến cố sơ cấp.
Ví dụ 1.2.1 Gieo một đồng xu cân đối đồng chất Đó là một phép thử ngẫu nhiên với không gian mẫu
Ω = {S, N},trong đóS ký hiệu cho kết quả: "Mặt sấp xuất hiện" và N ký hiệu cho kết quả: "Mặt ngửa xuất hiện".
Hình 1.1: Gieo một đồng xu cân đối đồng chất
Ví dụ 1.2.2 Gieo một con súc sắc hai lần Đây là một phép thử ngẫu nhiên với không gian mẫu
Ω ={(i, j) : 1≤i, j ≤6}, ở đây (i, j) là kết quả: "Lần đầu xuất hiện mặt i chấm, lần sau xuất hiện mặt j chấm".
Biến cố và mối quan hệ giữa chúng
Ta gieo con súc sắc một lần, đây là một phép thử ngẫu nhiên với không gian mẫu
Trong không gian mẫu Ω = {1,2,3,4,5,6}, sự kiện A xảy ra khi số chấm trên mặt xuất hiện là một số chẵn, tức là khi kết quả của phép thử là 2, 4 hoặc 6 Các kết quả này được gọi là các kết quả thuận lợi cho sự kiện A Tập hợp ΩA, bao gồm tất cả các kết quả thuận lợi cho A, được xác định là ΩA = {2,4,6}, là một tập con của Ω Mỗi sự kiện A đều có một tập hợp ΩA duy nhất, phản ánh các kết quả làm cho sự kiện A xảy ra.
Trong lý thuyết xác suất, ta đồng nhất tập hợp A với không gian mẫu Ω, trong đó A là tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố A A được coi là một tập con của Ω và mỗi tập con này được gọi là một biến cố Khi thực hiện một phép thử ngẫu nhiên, kết quả có thể thuộc về A (ω ∈ A) hoặc không thuộc về A (ω /∈ A) Nếu ω thuộc A, ta nói rằng ω là kết quả thuận lợi cho biến cố A Các ký hiệu thường được sử dụng để biểu thị các biến cố là các chữ cái in hoa.
A, B, C, để ký hiệu biến cố.
Một biến cố xảy ra khi có một kết quả nào đó của A xuất hiện, trong khi một biến cố chắc chắn là biến cố luôn xảy ra Khi thực hiện phép thử ngẫu nhiên, luôn có một kết quả ω thuộc tập Ω xảy ra, vì vậy Ω được xem là biến cố chắc chắn Ngược lại, một tập được gọi là biến cố không thể khi nó không bao giờ xảy ra.
Ví dụ 1.3.1 Gieo một đồng tiền xu cân đối đồng chất ba lần Không gian mẫu Ω của phép thử là
Ω ={SSS, SSN, SN S, SN N, N SS, N SN, N N S, N N N}.
Gọi A là biến cố: "Có đúng hai lần đồng tiền ra mặt ngửa" Khi đó các kết quả thuận lợi cho A là
Nếu B là biến cố: "Số lần xuất hiện mặt ngửa là một số lẻ" thì các kết quả thuận lợi cho
Một biến cố được xác định bởi một tập con của không gian mẫu Ω, bao gồm tất cả các kết quả thuận lợi cho biến cố đó.
1.3.2 Quan hệ giữa các biến cố
• Kéo theo: Biến cố A được gọi là kéo theo biến cố B và ký hiệuA ⊂B hoặc B ⊃A nếu khi A xảy ra thìB cũng xảy ra.
Biến cố đối là khái niệm quan trọng trong lý thuyết xác suất, được định nghĩa là biến cố xảy ra khi và chỉ khi biến cố A không xảy ra Biến cố đối của A được ký hiệu là A.
Hợp của hai biến cố A và B, ký hiệu là A∪B, là biến cố xảy ra khi ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra.
Hợp của nhiều biến cố được định nghĩa là biến cố xảy ra khi ít nhất một trong các biến cố A1, A2, , An xảy ra.
A 1 , A 2 , , A n xảy ra Ta kớ hiệu hợp của A 1 , A 2 , , A n làA 1 ∪A 2 ∪ ã ã ã ∪A n hoặc n
Giao của hai biến cố A và B là biến cố xảy ra khi cả hai biến cố này đều xảy ra Trong ký hiệu, giao của hai biến cố được biểu thị là AB hoặc A∩B.
Giao của nhiều biến cố A 1 , A 2 , , A n là một biến cố xảy ra nếu tất cả các biến cố
A 1 , A 2 , , A n đều xảy ra Ta kí hiệu giao của A 1 , A 2 , , A n là A 1 A 2 A n hoặc A 1 ∩
Hiệu của hai biến cố A và B được định nghĩa là một biến cố xảy ra khi biến cố A xảy ra trong khi biến cố B không xảy ra Ký hiệu cho hiệu của A và B là A\B.
• Hai biến cố tương đương: Hai biến cố A và B gọi là tương đương nếu A ⊂ B và
B ⊂A Khi đó ta kí hiệu A=B.
• Biến cố xung khắc: Hai biến cốA và B được gọi là xung khắc nếu chúng không thể đồng thời xảy ra, nghĩa là AB =.
Cuối cùng, ta nói tới một số tính chất quan trọng trong quan hệ giữa các biến cố: Tính giao hoán: A∪B =B∪A, A∩B =B∩A.
Chứng minh các tính chất này khá dễ dàng, xin dành cho bạn đọc.
Xác suất của các biến cố
Trong cuộc sống hàng ngày, chúng ta thường đánh giá khả năng xảy ra của các biến cố bằng cách so sánh chúng Toán học đã định lượng hóa các khả năng này thông qua xác suất, gán cho mỗi biến cố một số không âm từ 0 đến 1 Xác suất của biến cố A, ký hiệu là P(A), phản ánh khả năng khách quan của sự xuất hiện của biến cố đó.
1.4.1 Định nghĩa cổ điển của xác suất Định nghĩa 1.4.1 Giả sử Ω = {ω 1 , ω 2 , , ω N } là không gian mẫu mà các kết quả có cùng khả năng xuất hiện Khi đó xác suất của biến cố A được xác định bằng công thức
N, ở đây |A|=n là số phần tử của A.
Xác suất của biến cố A được xác định bằng tỉ lệ giữa số kết quả thuận lợi cho biến cố A và tổng số các kết quả có thể xảy ra trong phép thử.
Ví dụ 1.4.2 Gieo một con súc sắc cân đối, đồng chất và quan sát số chấm xuất hiện. a) Mô tả không gian mẫu. b) Xác định các biến cố sau:
A: "Xuất hiện mặt chẵn chấm";
B: "Xuất hiện mặt lẻ chấm";
C: "Xuất hiện mặt có số chấm không nhỏ hơn 2. c) Tính xác suất của các biến cố trên.
Lời giải. a)Ký hiệu kết quả: "Con xúc sắc suất hiện mặt k chấm" là k,k = 1,2,3,4,5,6 Khi đó không gian mẫu Ω ={1,2,3,4,5,6}. b) Ta có A={2,4,6}, B ={1,3,5}, C={2,3,4,5,6}. c) P(A) = |A|
Một công ty đang tuyển dụng hai nhân viên từ 6 ứng viên, bao gồm 4 nam và 2 nữ Giả sử rằng khả năng trúng tuyển của tất cả các ứng viên là như nhau Câu hỏi đặt ra là xác suất để cả hai nhân viên được tuyển dụng đều là nam.
Lời giải Số trường hợp có thể làC 6 2 Các trường hợp này là đồng khả năng Số cách chọn
2 nam trúng tuyển trong4 nam làC 4 2 Vậy xác suất cần tìm là C 4 2
1.4.2 Định nghĩa thống kê của xác suất
Trong một phép thử ngẫu nhiên lặp lại n lần dưới các điều kiện giống nhau, ký hiệu n(A) đại diện cho số lần biến cố A xảy ra Tỷ số f n (A) = n(A) / n được gọi là tần suất xuất hiện của biến cố A trong chuỗi n phép thử.
Trong các phép thử ngẫu nhiên với điều kiện giống nhau và số lượng lớn, tần suất xuất hiện của biến cố A, ký hiệu là f_n(A), sẽ dao động quanh một giá trị xác định, được gọi là xác suất của biến cố A Theo quan điểm thống kê, xác suất này được ký hiệu là P(A) trong định nghĩa cổ điển và tân cổ điển của xác suất Với số phép thử n đủ lớn, ta có thể coi P(A) ≈ f_n(A) Điều này được khẳng định bởi Luật số lớn Bernoulli, một trong những kết quả quan trọng nhất trong lý thuyết xác suất.
1.4.3 Các tính chất của xác suất
Xác suất của biến cố có các tính chất sau đây:
3) Với ba biến cố A, B, C bất kỳ ta có
4) Nếu A, B, C là ba biến cố xung khắc từng đôi một thì
7) Nếu A 1 , A 2 , , A n là các biến cố xung khắc từng đôi một, nghĩa là A i A j = ∅ với mọi i6=j, ta có
Trong một hộp có 9 thẻ được đánh số từ 1 đến 9, khi rút ngẫu nhiên hai thẻ và nhân hai số ghi trên chúng, ta cần tính xác suất để kết quả là một số chẵn Để đạt được kết quả này, ít nhất một trong hai số phải là số chẵn, vì tích của hai số chỉ là số chẵn khi có ít nhất một số chẵn trong phép nhân.
Trong bài toán này, ta định nghĩa biến cố A là "rút được một thẻ chẵn và một thẻ lẻ", và biến cố B là "rút được hai thẻ chẵn" Khi kết hợp hai biến cố này, ta có A∪B, thể hiện biến cố "tích hai số ghi trên hai thẻ là một số chẵn".
Vì A, B là hai biến cố xung khắc nên P(A∪B) = P(A) +P(B) Mặt khác, vì có 4 thẻ chẵn và5 thẻ lẻ nên
Trong ví dụ 1.4.5, một hộp chứa 4 viên bi xanh, 3 viên bi đỏ và 2 viên bi vàng, yêu cầu tính xác suất khi chọn ngẫu nhiên 2 viên bi Đầu tiên, để tính xác suất chọn được 2 viên bi cùng màu, ta cần xác định số cách chọn 2 viên bi từ mỗi màu và tổng số cách chọn 2 viên bi từ toàn bộ Tiếp theo, để tính xác suất chọn được 2 viên bi khác màu, ta sẽ tính tổng số cách chọn 2 viên bi từ các màu khác nhau và chia cho tổng số cách chọn 2 viên bi.
Trong bài toán này, chúng ta định nghĩa các biến cố như sau: A là biến cố "Chọn được 2 viên bi xanh", B là biến cố "Chọn được 2 viên bi đỏ", C là biến cố "Chọn được 2 viên bi vàng", và H là biến cố "Chọn được 2 viên bi cùng màu" Ta có H = A ∪ B ∪ C, trong đó các biến cố A, B, C là đôi một xung khắc.
18. b) Biến cố "Chọn được 2 viên bi khác màu" chính là biến cốH Vậy
Cách giải trên yêu cầu gọi các biến cốA, B, C Ta cũng có thể giải mà không cần phải gọi các biến cố như sau:
Số cách chọn 2viên bi bất kỳ trong4 + 3 + 2 = 9 viên làC 9 2 Bây giờ ta tính số cách chọn
2 viên bi cùng màu trong 9 viên bi đó Công việc chọn 2 viên bi cùng màu trong 9 viên bi được thực hiện theo 3 phương án khác nhau:
Phương án 1: Chọn 2 viên bi xanh Có C 4 2 cách chọn 2 viên bi xanh trong 4 viên bi xanh Vậy có C 4 2 cách thực hiện phương án 1.
Phương án2: Chọn2viên bi đỏ CóC 3 2 cách chọn 2viên bi đỏ trong 3viên bi đỏ Vậy cóC 3 2 cách thực hiện phương án 2.
Phương án 3: Chọn 2 viên bi vàng Có C 2 2 cách chọn 2 viên bi vàng trong 2 viên bi vàng Vậy có C 2 2 cách thực hiện phương án 3.
Theo quy tắc cộng, số cách chọn 2 viên bi cùng màu từ 9 viên bi được tính bằng công thức C 4 2 + C 3 2 + C 2 2 Trong khi đó, tổng số cách chọn 2 viên bi bất kỳ trong 9 viên là C 9 2 Do đó, xác suất chọn 2 viên bi cùng màu sẽ là C 4 2 + C 3 2 + C 2 2.
Trong một hòm chứa 10 chi tiết, trong đó có 2 chi tiết hỏng, chúng ta cần tính xác suất để khi lấy ngẫu nhiên 6 chi tiết, số lượng chi tiết hỏng không vượt quá một.
Chúng ta cần tính số cách chọn 6 chi tiết từ 10 chi tiết, với điều kiện không có quá một chi tiết hỏng Để thực hiện công việc này, có hai phương án khả thi để lựa chọn.
Phương án1: Lấy ra6chi tiết không hỏng Vì số các chi tiết không hỏng là8nên số cách thực hiện phương án 1là C 8 6
Phương án2: Lấy ra5chi tiết không hỏng và1chi tiết hỏng Phương án2có2công đoạn thực hiện.
Công đoạn 1: Lấy ra 5 chi tiết không hỏng trong 8 chi tiết không hỏng Có C 8 5 cách thực hiện công đoạn 1.
Công đoạn 2: Lấy ra 1chi tiết hỏng trong 2chi tiết hỏng Có C 2 1 cách thực hiện công đoạn 2.
Theo quy tắc nhân, cóC 8 5 ×C 2 1 cách thực hiên phương án 2.
Theo quy tắc cộng, số cách thực hiện công việc lấy ra 6 chi tiết từ 10 chi tiết, với điều kiện không quá một chi tiết hỏng, được tính bằng công thức C(8,6) + C(8,5) × C(2,1).
10chi tiết là C 10 6 nên xác suất cần tìm là C 8 6 +C 8 5 ×C 2 1
Chúng ta có thể giải bài toán bằng cách định nghĩa các biến cố như sau: A là biến cố "Trong 6 chi tiết lấy ra có không quá 1 chi tiết hỏng", B là biến cố "Trong 6 chi tiết lấy ra không có chi tiết nào hỏng", và C là biến cố "Trong 6 chi tiết lấy ra có 1 chi tiết hỏng" Biến cố A xảy ra khi ít nhất một trong hai biến cố B hoặc C xảy ra, do đó A = B ∪ C.
B và C xung khắc với nhau nên P(B∪C) =P(B) +P(C) Do đó P(A) = P(B) +P(C).
Theo định nghĩa xác suất ta tính đượcP(B) = C 8 6
Ví dụ 1.4.7 Gieo đồng thời hai con xúc sắc, một con màu đỏ và một con màu xanh. Tính xác suất của các biến cố sau:
A: "Con đỏ xuất hiện mặt6 chấm";
B: "Con xanh xuất hiện mặt6 chấm";
C: "Có ít nhất một con xuất hiện mặt 6 chấm";
D: "Không có con nào xuất hiện mặt 6 chấm";
E: "Tổng số chấm xuất hiện trên hai con bằng 8".
Ω ={(i, j) : 1≤i, j ≤6}, trong đó (i, j) là kết quả: "Con đỏ xuất hiện mặt i chấm, con xanh xuất hiện mặt j chấm" Khi đó|Ω|= 36.
1.4.4 Nguyên lý xác suất lớn và xác suất nhỏ
Xác suất có điều kiện
1.5.1 Định nghĩa xác suất có điều kiện và ví dụ
Xác suất của một sự kiện phụ thuộc vào nhiều yếu tố và điều kiện khác nhau Để làm rõ hơn về sự phụ thuộc này, khái niệm xác suất có điều kiện được đưa ra nhằm chỉ ra mối liên hệ giữa xác suất của một sự kiện A với một điều kiện B nhất định.
Trong một bình chứa 5 viên bi, bao gồm 3 viên bi xanh và 2 viên bi trắng, khi lấy ngẫu nhiên một viên bi và nhận được viên bi màu xanh, xác suất để lấy được viên bi trắng ở lần rút thứ hai cần được tính toán.
Gọi A là biến cố "Lấy được một viên bi trắng ở lần thứ hai" Sau khi một viên bi xanh được lấy ra ở lần thứ nhất, bình còn lại 4 viên bi, trong đó có 2 viên bi trắng và 2 viên bi xanh Do đó, xác suất P(A) = 2.
Khi nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên, một vấn đề quan trọng nảy sinh là cách xác suất của một biến cố thay đổi khi một biến cố khác đã xảy ra Để làm rõ hơn, ta sẽ xem xét ví dụ sau.
Khi gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần, ta xét hai biến cố: A là "Lần đầu gieo xuất hiện mặt 1 chấm" và B là "Tổng số chấm trong hai lần gieo không vượt quá 3".
Ω ={(i, j) : 1≤i, j ≤6}, ở đây (i, j) là kết quả: "Lần đầu xuất hiện mặt i chấm, lần sau xuất hiện mặt j chấm".
Theo định nghĩa của xác suất ta có
36. Nếu biết rằng B đã xảy ra thì A xảy ra khi một trong hai kết quả (1,1) và (1,2) xảy ra.
Do đó xác suất của A với điều kiện B là
Trong một số trường hợp, chúng ta cần tính xác suất của biến cố A khi biến cố B đã xảy ra với xác suất dương, được gọi là xác suất có điều kiện P(A|B) Giả sử có N kết quả đồng khả năng trong phép thử, với m là số kết quả thuận lợi cho biến cố B và n là số kết quả thuận lợi cho biến cố AB Khi đó, xác suất P(B) được tính bằng m.
N Khi biến cốB đã xảy ra thì số các kết quả đồng khả năng của phép thử có thể xảy ra đối với biến cố A là m, trong đó có n kết quả thuận lợi cho A xảy ra Do đó P(A|B) = n m n N m N
Xác suất có điều kiện của biến cố A khi biết biến cố B, ký hiệu là P(A|B), được định nghĩa theo công thức cụ thể.
1.5.2 Các tính chất của xác suất có điều kiện
Xác suất có điều kiện có những tính chất quan trọng như sau: Thứ nhất, xác suất P(A|B) luôn lớn hơn hoặc bằng 0 Thứ hai, xác suất P(Ω|B) và P(B|B) đều bằng 1 Cuối cùng, nếu A1, A2, , An là các biến cố xung khắc từng đôi một (tức là Ai ∩ Aj = ∅ với mọi i khác j), thì các tính chất này vẫn được duy trì.
Khi gieo ba con xúc sắc cân đối đồng chất, ta cần tính xác suất tổng số chấm trên ba con xúc sắc bằng 8, với điều kiện ít nhất một con xúc sắc xuất hiện 5 chấm Để giải bài toán này, trước tiên, ta xác định tất cả các kết quả có thể xảy ra, sau đó tính số trường hợp thỏa mãn điều kiện đã cho Việc áp dụng quy tắc xác suất sẽ giúp tìm ra kết quả chính xác cho bài toán này.
Lời giải Không gian mẫu
Khi ném ba con xúc sắc, không gian mẫu Ω được định nghĩa là tập hợp các kết quả (i, j, k) với 1≤i, j, k ≤6 Trong đó, (i, j, k) thể hiện rằng con xúc sắc thứ nhất hiển thị mặt i chấm, con xúc sắc thứ hai hiển thị mặt j chấm và con xúc sắc thứ ba hiển thị mặt k chấm.
Gọi Alà biến cố: "Tổng số chấm xuất hiện trên ba con xúc sắc bằng 8",B là biến cố: "Ít nhất một con xúc sắc ra 5chấm" Ta cần tính P(A|B).
Vì B là biến cố: "Không có con xúc sắc nào ra5 chấm" nên
Ta thấy AB là biến cố: "Tổng số chấm xuất hiện trên ba con xúc sắc bằng 8 và ít nhất một con xúc sắc ra 5chấm", do đó
1.5.3 Công thức nhân xác suất
Công thức (1.5.2), hay còn gọi là công thức nhân xác suất, cho phép chúng ta tính toán xác suất P(AB) dựa trên xác suất P(B|A) đã biết Điều này rất hữu ích trong nhiều trường hợp, giúp đơn giản hóa quá trình tính toán xác suất trong các bài toán thống kê.
Trong một bình chứa 5 viên bi giống nhau, bao gồm 3 viên bi xanh và 2 viên bi trắng, chúng ta sẽ tính xác suất để lấy được một viên bi xanh ở lần thứ nhất và một viên bi trắng ở lần thứ hai Khi lấy viên bi đầu tiên, xác suất để chọn viên bi xanh là 3/5 Sau khi đã lấy một viên bi xanh, bình còn lại sẽ có 4 viên bi, trong đó có 2 viên bi trắng Do đó, xác suất để lấy viên bi trắng ở lần thứ hai là 2/4 Từ đó, xác suất tổng hợp để xảy ra cả hai sự kiện này là (3/5) * (2/4).
Gọi A là biến cố "Lấy được một viên bi xanh ở lần thứ nhất" và B là biến cố "Lấy được một viên bi trắng ở lần thứ hai" Để tính xác suất P(AB), chúng ta sử dụng công thức P(AB) = P(A)P(B|A) Do đó, bước tiếp theo là tính P(A) và P(B|A).
Cả thảy có 3 viên bi xanh trong tổng số 5 viên bi, do đóP(A) = 3
Nếu sự kiện A xảy ra, tức là một viên bi xanh đã được lấy ra trong lần rút đầu tiên, thì trong bình còn lại 4 viên bi, trong đó có 2 viên bi trắng Do đó, xác suất P(B|A) là 2.
Bằng quy nạp, ta có công thức nhân xác suất tổng quát sau: Giả sử n ≥ 2 và
A 1 , A 2 , , A n là các biến cố sao cho P(A 1 A 2 An−1)>0 Khi đó ta có
Dãy phép thử Bernoulli
1.6.1 Định nghĩa dãy phép thử Bernoulli
Trong nhiều bài toán thực tế, chúng ta thường gặp tình huống lặp lại cùng một phép thử nhiều lần, trong đó kết quả của mỗi thử nghiệm có thể dẫn đến một biến cố A nào đó Thay vì quan tâm đến từng kết quả riêng lẻ, chúng ta chú trọng đến tổng số lần xảy ra của biến cố A trong toàn bộ chuỗi thử nghiệm Ví dụ, khi sản xuất hàng loạt một loại chi tiết, chúng ta thường muốn biết tổng số chi tiết đạt tiêu chuẩn trong toàn bộ quá trình Để giải quyết những bài toán này, việc xác định xác suất xảy ra của biến cố A trong một số lần nhất định là rất quan trọng, và điều này trở nên đơn giản hơn khi các phép thử là độc lập với nhau.
Các phép thử được coi là độc lập khi xác suất xảy ra một biến cố trong mỗi phép thử không phụ thuộc vào các biến cố ở các phép thử khác Ví dụ, việc tung đồng xu nhiều lần hoặc lấy sản phẩm từ một lô sản phẩm theo phương thức có hoàn lại đều tạo ra các phép thử độc lập Khi tiến hành n phép thử độc lập, giả sử trong mỗi phép thử chỉ có hai kết quả có thể xảy ra: biến cố A xảy ra hoặc không xảy ra Xác suất để biến cố A xảy ra trong mỗi phép thử là p Dãy phép thử này được gọi là dãy phép thử Bernoulli.
Ta hãy tính xác suất Pn(k;p)của biến cố: "Có đúng k lần (0≤k ≤n) xuất hiện biến cốA trong n phép thử".
Gọi B i 1 i 2 i k là biến cố: " Biến cố A xuất hiện ở đỳng k lần i 1 < i 2
