Tổng quan
Lý do thực hiện và tầm quan trọng của đề tài
Ngày nay, ngành công nghiệp ô tô đang phát triển mạnh mẽ cùng với sự tiến bộ của nền kinh tế xã hội Ô tô đã trở thành phương tiện thiết yếu trong đời sống, tạo ra mạng lưới vận chuyển người và hàng hóa toàn cầu Tại Việt Nam, nhu cầu sử dụng xe tải lớn và xe đầu kéo rơ-moóc ngày càng gia tăng, do đó việc trang bị và cập nhật tài liệu kỹ thuật cho các loại xe này là rất quan trọng Điều này góp phần nâng cao hiệu quả sử dụng và khai thác phương tiện giao thông.
Hiện nay, tài liệu cho ngành cơ khí ô tô còn hạn chế, chủ yếu là hướng dẫn sử dụng hoặc lý thuyết chung, thiếu vắng tài liệu cụ thể về kết cấu xe Đặc biệt, tài liệu chuyên sâu về hệ thống phanh xe kéo rơ-moóc gần như không có, gây khó khăn trong việc cải tạo hoặc thiết kế mới hệ thống này Do đó, việc bổ sung tài liệu chuyên ngành về ô tô là rất cần thiết, giúp hoàn thiện hệ thống lý thuyết cho các nhà nghiên cứu.
Với hai nhu cầu đã nêu, tôi quyết định chọn đề tài "Nghiên cứu mô hình hóa và động lực học của hệ thống phanh khí nén trên rơ-móoc nhiều cầu" Tôi hy vọng nghiên cứu này sẽ góp phần đáp ứng những yêu cầu thiết thực trong lĩnh vực này.
Mục tiêu của đề tài
Với yêu cầu nội dung của đề tài, mục tiêu cần đạt được sau khi hoàn thành đề tài như sau:
Nắm vững lý thuyết về hệ thống phanh khí nén là điều cần thiết, bao gồm hiểu rõ cấu tạo và nguyên lý hoạt động của các chi tiết, bộ phận trong hệ thống này.
Mô hình hóa các chi tiết, bộ phận trong hệ thống phanh khí nén để phục vụ cho việc tính toán động lực học hệ thống phanh khí nén
Đưa ra phương pháp tính toán động lực học dẫn động phanh khí nén trên quan điểm mô hình hóa
Tính toán động lực học dẫn động phanh khí nén trên rơ-mooc nhiều cầu
Từ đó xác định được vị trí bố trí các chi tiết, bộ phận trong hệ thống phanh rơ-móoc để đạt được hiệu quả phanh tốt nhất.
Kết qua ̉ nghiên cứu trong và ngoài nước
Hệ thống phanh khí nén là một cấu trúc phức tạp, chịu ảnh hưởng bởi nhiều yếu tố như kích thước ống dẫn, chất lượng lưu thông khí, mật độ và áp suất của dòng khí Đến nay, vẫn chưa có công thức toán học nào có thể mô tả chính xác quá trình lưu thông không khí trong hệ thống này.
Việc tính toán động lực học của hệ thống phanh khí nén cần dựa trên kết quả từ các nghiên cứu cơ bản về hệ thống khí nén Nhiều nhà khoa học, như Metlyuk N.F, đã thực hiện các nghiên cứu quan trọng về hệ thống này và đạt được những thành tựu đáng chú ý.
Gertz E.V, Idelchyk I.E,PogorelovV.I, VytkovG.A, GlickmanB.F, RyzhykhL.O,
Các nhà khoa học Metlyuk N.F và Gertz E.V đã phát triển một phương pháp tính toán động lực học cho hệ thống khí nén thông qua việc mô hình hóa các chi tiết bộ phận trong hệ thống Phương pháp này giúp cải thiện hiệu suất và độ chính xác trong việc phân tích các yếu tố ảnh hưởng đến hoạt động của hệ thống khí nén.
Sử dụng phương pháp mô hình hóa, các cụm van và đường ống được chuyển đổi thành sơ đồ khối tương đương, bao gồm một thể tích và một cản trở tập trung, thường được gọi là tiết lưu hoặc lỗ tiết lưu.
Hình 1.1:Sơ đồ khối phương pháp mô hình hóa
Sử dụng lý thuyết mạch điện để nghiên cứu và tính toán các mạch dẫn động khí nén là một phương pháp hiệu quả, dựa trên nguyên tắc rằng "Hai hệ thống vật lý được coi là tương đương khi chúng được biểu diễn bằng cùng một hệ phương trình vi phân." Phương pháp này giúp tối ưu hóa thiết kế và hoạt động của các hệ thống khí nén, nâng cao hiệu suất và độ tin cậy trong ứng dụng thực tiễn.
Ta có thể nhận ra rằng các đại lượng vật lý trong hệ thống điện và hệ thống khí nén có sự tương đương với nhau, cụ thể:
Khối lượng khí nén 𝑚 tương đương với điện tích 𝑞;
Áp suất khí nén 𝑝 tương đương với điện áp 𝑢;
Lưu lượng khối lượng khí nén tại một thời điểm tức thời 𝑑𝑚
𝑑𝑡 tương đương với cường độ dòng điện𝑖 = 𝑑𝑞
Thể tích 𝑉 bình chứa tương đương với điện dung tụ điện 𝐶;
Cản trở lưu thông của dòng khí tương đương với điện trở 𝑅 của mạch điện
Hệ thống điện và hệ thống khí nén tương đương về mặt vật lý, cho phép áp dụng các định luật mạch điện để phát triển phương trình vi phân cho mạch khí nén Các nhà khoa học đã sử dụng định luật Kiếc sốp I, hay còn gọi là định luật điểm nút, để diễn giải trong bối cảnh mạch khí nén.
“Tổng đại số các lưu lượng tức thời của dòng khí tại điểm nút thì bằng không”
𝑑𝑡 : lưu lượng tức thời của dòng khí tại điểm nút r 1
Từ phương trình vi phân 1.1, các nhà khoa học có thể tính được thời gian truyền năng lượng khí nén trong hệ thống đường ống
Các nhà khoa học đã sử dụng các kết quả nghiên cứu cơ bản để phân tích và tính toán động lực học của nhiều loại mạch dẫn động phanh trên ô tô Dưới đây là một số kết quả nghiên cứu tiêu biểu.
1 Alexander Kramskoy, “Improvement of calculation and dynamics air brake on vehicles”Kharkiv State road - Transport University, 2006 Đề tài gồm bốn phần:
- Phần thứ nhất tác giả trình bày các xu hướng chính của hệ thống phanh khí nén
- Phần thứ hai: trình bày các giả thiết cơ bản khi mô hình hóa động lực học dẫn động phanh khí nén
- Phần thứ ba: mô hình hóa động lực học dẫn động phanh khí nén trên xe КrAZ-
- Phần thứ tư: sử dụng phần mềm Matlab để tính toán động lực học dẫn động phanh khí nén, sau đó đưa ra kết luận
Hình 1.2: Mô hình hóa hệ thống phanh khí nén
2 A.L Bondarenko, “The mathematical models of pneumatic brake drive of car of КrAZ-6510”Ukraina – 2008
Trong bài viết này, tác giả phân tích động lực học của hệ thống phanh khí nén trên xe КrAZ-6510, đồng thời xem xét tính năng của hệ thống chống hãm cứng khi phanh (ABS) (hình 1.3).
- Tác giả đã nghiên cứu lý thuyết mô hình hóa của Hertza E.V và Metlyuk N.F
- Mô hình hóa động lực học dẫn động phanh khí nén trên xe КrAZ-6510
- Tính toán động lực học dẫn động phanh khí nén trên xe КrAZ-6510 (có tính đến ABS) theo phương pháp Hertza E.V và Metlyuk N.F
- Phân tích, nhận xét kết quả đạt được
Hình 1.3: Mô hình hóa hệ thống phanh khí nén trên xe КрАЗ-6510
3 S.I Poseur, GS.TS L.O Red, GS.TS A.N Krasyuk, Mathematical modelof electronic circuit-pneumatic brakeactuators with proportional modulators, Moscow, tháng 4 năm 2009 Ở đề tài này các tác giả đưa ra mô hình tính toán động lực học dẫn động phanh điện – khí nén, qua đó đánh giá được hiệu suất, chất lượng của modul tỷ lệ (trong phần dẫn động điện)
Hình 1.4: Sơđồ hệ thống phanh điện – khí nén.
3 Modul tỉ lệ (bộ điều biến)
6 Ống dẫn khí nén Để tính toán động lực học khí nén trong mô hình này các tác giả đã sử dụng phương pháp mô hình hóa của GS.Metlyuk, mô hình như sau:
Hình 1.5:Sơ đồ mô hình hóa dẫn động khí nén
1: Modul tỉ lệ 2: Đường ống dẫn 3: Bầu phanh p 0 : Áp suất bình khí nén p 1 : Áp suất bên trong modul tỉ lệ p 2 : Áp suất đường ống p 3 : Áp suất tại bầu phanh V 1 : Thể tích modul tỉ lệ
V 2 : Thể tích đường ống V 3 : Thể tích bầu phanh
Các tác giả đã phát triển một mô hình tính toán dựa trên mô hình ban đầu, cho phép xác định biểu đồ thay đổi áp suất theo thời gian Qua đó, họ có thể đánh giá hiệu suất và chất lượng của Modul tỉ lệ một cách chính xác.
4 Zbigniew Kulesza, Franciszek Siemieniako, Modeling the air brake system equipped with the brake and relay valves,Bialystok University of
In their 2010 study, the authors from the Faculty of Mechanical Engineering's Department of Automatics and Robotics present a mathematical model for a pneumatic braking system, focusing on two commonly encountered types of valves: the dual brake valve and the relay valve.
Hình 1.6:Sơđồ hệ thống phanh khí nén
1, 15: Nguồn cung cấp khí nén 2, 16: Van an toàn
3: Bình khí nén mạch I 4: Bình chứa mạch II
5, 6, 8, 9, 10, 14, 18, 20, 21: Ống dẫn 7: Van phanh kép
11, 13, 22, 23: Bầu phanh 17: Bình khí nén van relay
Mô hình trong Hình 1.5 đại diện cho đặc trưng của hầu hết các xe tải nặng, nơi các tác giả áp dụng phương pháp mô hình hóa để tính toán động lực học của hệ thống phanh khí nén.
Tác giả đã phát triển phương trình và hệ phương trình vi phân mô tả áp suất trong hệ thống, sử dụng phần mềm Matlab để xây dựng thuật toán kết hợp với các thông số mô hình nhằm xác định thể tích, đường kính bầu phanh và độ cứng lò xo Nghiên cứu này có ứng dụng quan trọng trong thiết kế hệ thống phanh cho xe tải nặng và xe đầu kéo.
Hươ ́ ng nghiên cứu
Nghiên cứu các cơ sở lý thuyết về hệ thống phanh khí nén
Nghiên cứu phương pháp mô hình hóa dẫn động phanh khí nén
Kết hợp kiến thức lý thuyết về hệ thống phanh khí nén với mô hình hóa, bài viết trình bày phương pháp tính toán động lực học cho hệ thống phanh khí nén trên rơ-móoc nhiều cầu Phương pháp này giúp tối ưu hóa hiệu suất phanh và đảm bảo an toàn trong vận tải.
Lý thuyết về hệ thống phanh khí nén trên ô tô
Các định luật về khí nén
Động lực học dẫn động phanh khí nén
Lý thuyết về mô hình hóa dẫn động phanh khí nén
1.4.3.1 Nghiên cứu lý thuyết về hệ thống phanh khí nén
Nghiên cứu tổng quan về hệ thống phanh khí nén
Tìm hiểu cấu tạo và nguyên lý hoạt động của các bộ phận
Nghiên cứu động lực học dẫn động phanh khí nén
1.4.3.2 Nghiên cứu phương pháp mô hình hóa dẫn động phanh khí nén
Các giả thiết để áp dụng phương pháp mô hình hóa
Mô hình hóa dẫn động phanh khí nén
Mô hình tính toán trong hệ thống phanh khí nén
1.4.3.3 Nghiên cứu phương pháp tính toán động lực học dẫn động phanh khí nén trên rơ-móoc nhiều cầu
Nghiên cứu các mô hình tính toán dựa trên phương pháp mô hình hóa
Phương pháp mô hình hóa được áp dụng để tính toán động lực học của hệ thống phanh khí nén trên rơ-moóc, nhằm nâng cao hiệu quả phanh và đảm bảo tính đồng bộ trong quá trình phanh của hệ thống.
Giới hạn đề tài
Đề tài nghiên cứu phương pháp tính toán động lực học dẫn động phanh khí nén, tập trung vào động lực học truyền động khí nén trong hệ thống phanh mà không xem xét động lực học khi phanh ô tô Nội dung chủ yếu mang tính lý thuyết, đề xuất phương pháp mô hình hóa và áp suất tập trung tại điểm nút Do kinh phí hạn chế, chưa thể xây dựng mô hình thực tế để kiểm nghiệm Phần tính toán động lực học dẫn động phanh rơ-moóc nhiều cầu chỉ tập trung vào trường hợp tăng áp suất phanh khi phanh gấp, vì đây là tình huống nguy hiểm nhất, yêu cầu sự đồng bộ trong phanh giữa các cầu xe.
Cơ sở lý thuyết
Cơ sở lý thuyết về hệ thống phanh khí nén
2.1.1 Vài nét về vấn đề an toàn giao thông và sự cần thiết của hệ thống phanh trên ô tô:
Giao thông vận tải, đặc biệt là giao thông đường bộ, đóng vai trò quan trọng trong nền kinh tế toàn cầu, với ô tô đảm nhận vận chuyển khoảng 2/3 lượng hàng hóa và hành khách hàng năm ở nhiều quốc gia, bao gồm cả những nước công nghiệp phát triển như Mỹ, Đức, Nga và Nhật Bản.
Sự gia tăng nhanh chóng về số lượng xe cộ và tốc độ lưu thông trên các tuyến đường công cộng đã dẫn đến nhu cầu cấp thiết về an toàn giao thông Để nâng cao năng suất vận chuyển và giảm thiểu tai nạn, việc chú trọng vào các biện pháp đảm bảo an toàn là rất quan trọng Việc cải thiện an toàn giao thông không chỉ giúp giảm thiểu rủi ro mà còn bảo vệ tính mạng và tài sản của người tham gia giao thông.
Chất lượng và tình trạng kỹ thuật của các hệ thống điều khiển ô tô, đặc biệt là hệ thống phanh, đóng vai trò quan trọng trong việc đảm bảo an toàn khi xe hoạt động trên đường Hệ thống phanh ảnh hưởng trực tiếp đến sinh mạng con người và hàng hóa, do đó, việc duy trì tình trạng kỹ thuật của hệ thống phanh ở mức tốt nhất là vô cùng cần thiết.
Các quốc gia phát triển đều áp dụng tiêu chuẩn nghiêm ngặt cho hệ thống phanh ô tô nhằm đảm bảo an toàn giao thông Với sự gia tăng tốc độ và mật độ ô tô trên đường, các tiêu chuẩn này sẽ ngày càng khắt khe hơn trong tương lai Hệ thống phanh ô tô hiện đại cần đáp ứng các yêu cầu an toàn chuyển động cao nhất.
2.1.2 Yêu cầu của hệ thống phanh khí nén:
Bài viết này bắt nguồn từ các tiêu chuẩn quốc gia về an toàn giao thông, trong đó nổi bật là quy định N o -13 EU 00N của Hội đồng Kinh tế Châu Âu, tiêu chuẩn F18-1969 của Thụy Điển và tiêu chuẩn FM VSS-121 Những tiêu chuẩn này đóng vai trò quan trọng trong việc đảm bảo an toàn cho các phương tiện giao thông.
Mỹ đã đặt ra những yêu cầu quan trọng về chất lượng hệ thống phanh cho các xe hiện đại, trong đó hệ thống phanh ô tô phải đạt được tiêu chuẩn cao để đảm bảo an toàn và hiệu suất hoạt động.
- Quãng đường phanh ngắn nhất khi phanh đột ngột
- Phanh êm dịu trong mọi trường hợp, bảo đảm sự ổn định khi phanh
- Thời gian chậm tác dụng (còn gọi là thời gian phản ứng) nhỏ
- Cơ cấu phanh thoát nhiệt tốt
Phân bố mô men phanh giữa các bánh xe cần tuân thủ mối quan hệ giữa trọng lượng bám và hệ số bám của bánh xe với mặt đường, đảm bảo hiệu quả phanh ở mọi cường độ Việc điều chỉnh tự động lực phanh theo tải trọng và sử dụng thiết bị chống hãm cứng bánh xe là rất quan trọng để tối ưu hóa hiệu suất phanh.
- Có độ tin cậy cao (sử dụng dẫn động phanh nhiều mạch độc lập, nâng cao độ bền các chi tiết trong hệ thống phanh)
- Có hệ thống tự kiểm tra, chẩn đoán các hư hỏng một cách kịp thời
Cũng từ những tiêu chuẩn trên, các phương tiện vận tải ô tô cần phải được trang bị các hệ thống phanh bao gồm:
- Hệ thống phanh công tác (hoặc phanh chính và thường gọi là phanh chân), có tác dụng trên tất cả các bánh xe
- Hệ thống phanh dự phòng
- Hệ thống phanh dừng và hệ thống phanh phụ trợ (phanh chậm dần)
Hệ thống phanh khí nén được thiết kế với tính năng an toàn đặc biệt, yêu cầu ít nhất hai mạch độc lập để dẫn động phanh Cụ thể, một mạch có thể dẫn động cho cầu trước, một mạch cho cầu sau, và một mạch cho phanh dừng Điều này đảm bảo rằng nếu một mạch gặp sự cố, mạch còn lại vẫn duy trì hiệu quả phanh tối thiểu là 30% so với hệ thống hoàn chỉnh Theo tiêu chuẩn Thụy Điển, yêu cầu này thậm chí còn cao hơn, với giá trị tối thiểu là 50%.
Hệ thống phanh khí nén yêu cầu bình chứa có dung tích đủ lớn để thực hiện hiệu quả 5 lần phanh liên tiếp ngay cả khi máy nén khí không hoạt động Mỗi mạch dẫn động cần có bình chứa riêng biệt, mặc dù nguồn năng lượng chung cho toàn hệ thống Điều này đảm bảo rằng nếu một mạch dẫn động gặp sự cố, nguồn năng lượng chung vẫn có thể cung cấp năng lượng cho các mạch khác hoạt động bình thường.
Hệ thống phanh dự phòng là thiết yếu để dừng ô tô khi hệ thống phanh chính gặp sự cố Hệ thống này có thể được thiết kế riêng biệt hoặc tích hợp vào hệ thống phanh chính hoặc phanh dừng, nhưng vẫn phải đảm bảo chức năng dừng xe an toàn.
Hệ thống phanh dừng cần đảm bảo khả năng dừng và đỗ xe an toàn trên dốc Dẫn động phanh dừng có thể sử dụng nhiều loại năng lượng khác nhau, nhưng bộ phận tạo ra mô men phanh để giữ xe đứng yên phải hoạt động hoàn toàn bằng cơ khí và không phụ thuộc vào hệ thống phanh chính.
Hệ thống phanh chậm dần, hay còn gọi là phanh phụ trợ, giúp duy trì ô tô ở tốc độ ổn định và điều chỉnh tốc độ một cách độc lập hoặc phối hợp với phanh chính, nhằm giảm tải cho hệ thống phanh chính.
Khi sử dụng rơ-moóc, ô tô kéo cần trang bị thiết bị bảo vệ chống tụt áp suất khí nén hoặc thủy lực để đảm bảo an toàn, phòng trường hợp đường ống kết nối giữa ô tô kéo và rơ-moóc bị hỏng.
Khi xe đang di chuyển mà moóc kéo bị đứt, hệ thống phanh chính của rơ-moóc cần phải tự động dừng rơ-moóc một cách hiệu quả, đảm bảo không dưới tiêu chuẩn quy định cho xe đoàn tương ứng.
- Trên rơ-moóc cũng cần trang bị cơ cấu phanh dừng để hãm rơ-móc khi nó tách ra khỏi đầu kéo
Mài mòn của má phanh cần được điều chỉnh để đảm bảo hiệu suất an toàn, có thể thực hiện bằng hệ thống điều chỉnh tay hoặc tự động Theo tiêu chuẩn Thụy Điển, việc bù đắp mài mòn này phải thông qua hệ thống điều chỉnh tự động hoặc có tín hiệu cảnh báo khi khe hở giữa má phanh và tang phanh tăng lên.
Cơ sở lý thuyết về mô hình hóa
Trong nghiên cứu động lực học của hệ thống dẫn động bằng khí nén, việc thiết lập các phương trình toán học là cần thiết Tuy nhiên, do tính chất phức tạp của các hiện tượng trong hệ thống và sự phụ thuộc vào nhiều yếu tố như kích thước ống dẫn, tính chất dòng chảy và mật độ áp suất của khí, chưa có biểu thức toán học chính xác để mô tả quá trình lưu thông của khí Do đó, các phương pháp tính toán gần đúng thường được áp dụng, kèm theo các công thức tính bổ sung dựa trên hệ số thực nghiệm.
Hiện nay, có nhiều phương pháp tính toán dẫn động phanh khí nén, mỗi phương pháp đều có những ưu và nhược điểm riêng Trong khuôn khổ luận văn này, tôi xin giới thiệu một phương pháp tính toán áp suất tập trung tại điểm nút cho mạch dẫn động khí nén Phương pháp này không chỉ đạt độ chính xác cần thiết mà còn rất thuận tiện cho việc tính toán cả với các mạch dẫn động đơn giản lẫn những mạch có cấu trúc phức tạp.
2.2.1 Sự tương đương giữa đại lượng điện và khí nén:
Việc tính toán động lực học trong hệ thống phanh khí nén gặp nhiều khó khăn, do đó giáo sư Metlyuk và các đồng sự người Nga đã áp dụng lý thuyết mạch điện để nghiên cứu và tính toán cho các mạch dẫn động khí nén Phương pháp này dựa trên nguyên tắc rằng hai hệ thống vật lý được coi là tương đương khi chúng được biểu diễn bằng cùng một hệ thống phương trình vi phân.
Sự tương đương giữa các đại lượng mạch điện với mạch dẫn động khí nén được cho trong bảng 2.1
- Khối lượng khí nén 𝑚 tương đương với điện tích 𝑞
- Áp suất khí nén 𝑝 tương đương với điện áp 𝑢
- Lưu lượng khối lượng tại một thời điểm 𝑑𝑚
𝑑𝑡tương đương với cường độ dòng điện 𝑖 = 𝑑𝑞
- Thể tích 𝑉 bình chứa tương đương với điện dung tụ điện 𝐶
- Cản trở lưu thông của dòng khí tương đương với điện trở 𝑅 của mạch điện
Bảng 2.1: Sự tương đương giữa điện và khí nén:
Kí hiệu và biểu thức toán học Đơn vị đo và kí hiệu Điện Khí nén Điện Khí nén
Máy phát điện và acquy i (A) Q (m 3 /s)
2.2.2 Phương trình lưu lượng tại điểm nút:
Hệ thống điện và khí nén có sự tương đương, cho phép áp dụng phương pháp nghiên cứu và tính toán mạch điện vào mạch dẫn động khí nén.
Sử dụng sơ đồ mạch điện để minh họa các mạch dẫn động khí nén, bao gồm nguồn khí nén, đường ống dẫn và các tổn hao áp suất trong hệ thống.
Sử dụng lý thuyết mạch điện để tính toán mạch khí nén là một phương pháp hiệu quả Định luật Kiếc Sốp I, hay còn gọi là định luật điểm nút, là một trong những định luật quan trọng trong tính toán mạch điện, và có thể áp dụng tương tự trong hệ thống khí nén.
“Tổng đại số các lưu lượng tức thời của dòng khí tại một điểm nút thì bằng không”
Lưu lượng tức thời của dòng khí tại điểm nút được ký hiệu là dt, với dấu (+) khi dòng khí nén chảy vào và dấu (-) khi dòng khí nén chảy ra Số nhánh của các mạch giao nhau tại một nút được ký hiệu là i.
Khi xác định các điểm nút, cần lưu ý rằng chúng được tách biệt bởi các phần tử như tiết lưu và khối lượng quán tính Trong quá trình lưu thông, các phần tử này sẽ tạo ra sự tụt áp khác nhau.
Các điểm nút có thể có hoặc không có dung tích Đối với các nút có dung tích, cần bổ sung lưu lượng từ dung tích vào tổng lưu lượng của các nhánh tại điểm nút để đảm bảo tính chính xác trong tính toán.
Trong hệ thống dẫn động khí nén thực tế, mọi nút đều có dung tích do tại các điểm nối giữa hai, ba hoặc nhiều mạch nhánh thường tồn tại một dung tích nhất định.
Vì vậy phương pháp áp suất tập trung điểm nút đối với tất cả các nút của mạch khí nén có thể phát biểu như sau:
Tổng đại số hàm lưu lượng của tất cả các phần tử kết nối với điểm nút được biểu thị bằng hàm khí động học của dung tích nút, phản ánh sự biến đổi trạng thái khí trong dung tích đó.
2.2.3 Phương trình lưu lượng của dòng khí qua lỗ tiết lưu:
Quá trình lưu thông khí qua các cơ cấu và cụm van trong hệ thống dẫn động khí nén rất phức tạp Để tính toán động lực học của các cơ cấu và cụm van, người ta thường thay thế chúng bằng các phần tử lý tưởng hóa, nhằm mô phỏng gần đúng quá trình lưu thông khí trong các kết cấu thực tế.
Khi thay thế các kết cấu phức tạp với nhiều van và đường ống có tiết diện lưu thông khác nhau, chúng ta thường sử dụng cản trở tập trung tương đương trong sơ đồ tính toán Khái niệm này được biết đến như lỗ tiết lưu hoặc tiết lưu.
Hình 2.20.Tiết lưu và kí hiệu
Lưu lượng khối lượng tức thời (gọi tắt là lưu lượng) của khí nén qua lỗ tiết lưu được thể hiện bằng phương trình sau:
Nhân và chia vế phải của phương trình (3.1) cho 𝑓 𝑉 ∗ ta được:
- 𝑚 𝐷 : Lưu lượng tức thời đi qua tiết lưu
- 𝑓 𝑐 𝑣à 𝑓 : diện tích mặt cắt ngang của tiết lưu (đơn vị m 2 )
- 𝑣 1 : Vận tốc đầu ra của tiết lưu (đơn vị m/s)
- 𝑣 𝐾𝑃 : Vận tốc tới hạn 𝑣 𝐾𝑃 = 𝑘𝑅𝑇 (đơn vị m/s)
- 𝜌 0 𝑣à 𝜌 1 : Mật độ không khí ở đầu vào và đầu ra của tiết lưu (đơn vị kg/m 2 )
- 𝑇 : Nhiệt độ tuyệt đối của khí nén ở phía trước van tiết lưu (đơn vị 0 K)
- 𝑘 : Hệ số mũ đoạn nhiệt k = 1.4
- 𝑢 𝜍 : Hàm tốc độ dòng chảy
- 𝜑 𝜍 : Hàm tốc độ dòng chảy
- 𝜍 : Đại lượng không thứ nguyên 𝜍 = 𝑃 1
- 𝑝 0 : Áp suất khí nén tại đầu vào của tiết lưu (đơn vị Pa)
- 𝑝 1 : Áp suất khí nén tại đầu ra của tiết lưu (đơn vị Pa)
Tốc độ dòng khí 𝑣 1 có thể đạt giá trị tối đa 𝑣 1𝑚𝑎𝑥 hoặc tốc độ tới hạn 𝑣 𝐾𝑃 tương ứng với một giá trị 𝜍 xác định Khi mức độ áp suất 𝑝 1 tăng lên hoặc 𝑝 0 giảm xuống, giá trị 𝜍 sẽ tăng và dẫn đến sự giảm tốc độ 𝑣 1 Quy luật giảm tốc độ 𝑣 1 được mô tả bởi hàm 𝑢 𝜍.
Hàm𝜑 𝜍 biểu thị quy luật thay đổi lưu lượng dòng khí qua tiết lưu, phụ thuộc và hệ số áp suất 𝜍
Quá trình nhiệt động học trong các kết cấu khí nén rất phức tạp, dẫn đến việc chưa có hàm lưu lượng khí động học nào phản ánh chính xác tổn thất khí nén thực tế Do đó, trong tính toán, người ta phải sử dụng các công thức gần đúng Sự khác biệt giữa công thức tính toán và thực tế được điều chỉnh bằng hệ số lưu lượng 𝜇, xác định qua thực nghiệm cho từng kết cấu cụ thể Nhiều nhà khoa học đã đề xuất các công thức để xác định hàm lưu lượng này.
Các phương pháp tính toán
Sau khi mô hình hóa các cụm van và đường ống trong hệ thống phanh khí nén, chúng ta có thể thiết lập hệ phương trình vi phân bậc nhất mô tả áp suất theo thời gian Có nhiều phương pháp giải hệ phương trình vi phân này, bao gồm phương pháp Cauchy, Euler và Runge-Kutta, mỗi phương pháp có phạm vi ứng dụng và độ sai số khác nhau Hiện nay, nhờ vào sự hỗ trợ của máy tính, các bài toán vi phân thường được giải quyết bằng phần mềm MATLAB, mặc dù các thuật toán của phần mềm này vẫn dựa trên các phương pháp giải cổ điển.
Bài toán Cauchy là một khái niệm cơ bản trong lý thuyết phương trình vi phân, bao gồm tất cả các phương trình và hệ phương trình vi phân có thể được chuyển đổi thành dạng bài toán Cauchy.
Bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân cấp 1 được mô tả như sau:
Hãy tìm hàm y=y(x) thỏa mãn:
𝑦(𝑥 0 ) = 𝑦 0 (2.25) Điều kiện (2.25) được gọi là điều kiện ban đầu hay điều kiện Cauchy
Tương tự, bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân cấp n được mô tả như sau:
Hãy tìm hàm𝑦 = 𝑦(𝑥) thỏa mãn: y (n) = f(x,y,y',y (2) , ,y (n-1) ) (2.26) y(x 0 ) =α 0 , y'(x 0 ) =α 1 , y (2) (x 0 ) = α 2 , , y (n-1) (x 0 )=α n-1 (2.27) Trong đó f() là một hàm đã biết của n+1 đối số x,y,y',y (2) , ,y (n-1) ; x 0 , b, α0, α 1, , α n-1 lànhững số cho trước
(2.24) còn được mở rộng cho hệ thống các phương trình vi phân cấp một với bài toán Cauchynhư sau: y 1 ' = f 1 (x,y 1 , y 2 , , y n ) y 2 ' = f 2 (x,y 1 , y 2 , , y n )
𝑓 = [𝑓 1 , 𝑓 2 , , 𝑓 𝑛 ] 𝑇 Bài toán (2.28) có thể viết gọn hơn dưới dạng vectơ như sau:
Ghi chú Phương trình vi phân cấp n có thể đưa về hệ các phương trình vi phân cấp một bằng phép biến đổi
Có hai nhóm phương pháp để giải các phương trình vi phân thường: Phương pháp tìm nghiệm chính xác, trong đó sử dụng tích phân trực tiếp để xác định dạng tổng quát của nghiệm, sau đó áp dụng điều kiện ban đầu để tìm nghiệm riêng cần thiết.
Phương pháp tìm nghiệm gần đúng dựa trên điều kiện ban đầu cho phép áp dụng cho nhiều loại phương trình vi phân hơn so với phương pháp trực tiếp, do đó được sử dụng rộng rãi trong thực tiễn Ƣu điểm của phương pháp này là tính linh hoạt và khả năng giải quyết các bài toán phức tạp một cách hiệu quả.
Phương pháp bài toán Cauchy là một kỹ thuật hữu ích để giải các phương trình vi phân đơn giản, bao gồm phương trình vi phân có biến phân ly độc lập và phương trình đẳng cấp 1.
Với các phương trình vi phân phức tạp, việc tìm nghiệm chính xác cho vế phải f(x,y) với dạng bất kỳ là rất khó khăn Phương pháp giải gần đúng thường quá phức tạp Do đó, phương pháp bài toán Cauchy chỉ được áp dụng cho các bài toán vi phân đặc biệt trong toán học.
Cách giải gần đúng (2,29) là tìm các giá trị gần đúng y i của giá trị đúng y(x i ) tại các điểm x i , i = 0,1,2, n, trong đó a = x 0 < x 1 < < x n = b x i = x 0 + ih, i=0,1, ,n-1
Ta đã biết y 0 =α 0 , ta sẽ lần lượt xác định y 1 tại x 1 , rồi y 2 tại x 2 , và nói chung từ giá trị gần đúng y i tại x i ta sẽ tính y i+1 tại x i+1
Phương pháp Euler và một số phương pháp khác sẽ được trình bày dựa trên giả thiết mà không thể kiểm tra một cách tổng quát.
Giả thiết rằng bài toán (2.29) có nghiệm duy nhất y = y(x), x∈ [a,b], a = x 0 , và nghiệm y(x) đủ trơn, nghĩa là nó có đạo hàm đến cấp đủ cao
Ta khai triển Taylo nghiệm y(x) của (2.29) tại x i
2! 𝑦 ′′ 𝑐 𝑖 , 𝑐 𝑖 ∈ (𝑥 𝑖 , 𝑥) (2.30) Thay x = x i+1 = x i + h, y'(x i ) = f(x i ,y(x i )) vào đẳng thức trên ta có
Bỏ qua số hạng cuối cùng bên phải, đồng thời thay các giá trị đúng y(x i+1 ), y(x i ), f(x,y(x i ))bằng các giá trị xấp xỉ y i+1 , y i , f(x,y i ) vào (2.31) ta có
Với giá trị y 0 = y(x 0 ) = α 0 ban đầu (như vậy y 0 là giá trị đúng của y(x 0 )), ta có thể tính tiếp các giá trị y i , i =1,2, , n
Công thức Euler (2.32) cho phép tính toán y i+1 dựa trên giá trị y i mà không cần giải phương trình Phương pháp Euler là một trong những phương pháp hiện đại, mang lại nhiều ưu điểm trong việc giải quyết các bài toán.
Có thể giải được các phương trình vi phân phức tạp bằng phương pháp tìm nghiệm gần đúng
Phương pháp Euler có độ chính xác không cao do sai số lớn, vì vậy việc tính toán và đánh giá các sai số là cần thiết để cải thiện kết quả.
Sai số địa phương của phương pháp Euler là:
2!𝑦 ′′ 𝑐 𝑖−1 = 𝑂 ℎ 2 (2.33) Người ta chứng minh được rằng: sai số của phương pháp Euler tại điểm xi là:
Khi h tiến tới 0, giá trị y i sẽ tiến gần tới y(x i ) tại mọi điểm x i cố định, cho thấy M là hằng số không phụ thuộc vào h Tuy nhiên, việc xác định giá trị M rất phức tạp Trong thực hành, quá trình tính toán thường được chia thành nhiều bước, trong đó khoảng cách giữa các điểm xi và x i+1 ở bước tiếp theo sẽ là nửa khoảng cách của bước trước, tức là ℎ 𝑘+1 = ℎ 𝑘 /2 Lần đầu tiên, khoảng cách được đặt là ℎ = 𝑏−𝑎.
Tại lần thứ 0 với n+1 điểm chia, lần thứ k+1 sẽ có n.2^(k+1) + 1 điểm chia Trong số điểm chia này, có n.2^k + 1 điểm chia trùng với lần thứ k, bao gồm các điểm 0, 2, 4, , n.2^(k+1) Tại những điểm chia này, giá trị xấp xỉ của y_i tại lần thứ k là y_i(k), trong khi ở lần thứ k+1, giá trị xấp xỉ tại vị trí này là y_{2i}(k+1) Ta sẽ xem xét đại lượng này.
Và sẽ dừng quá trình tính toán nếu maxdiff nhỏ hơn giá trị ε khá nhỏ cho trước
Phương pháp Runge-Kutta là một kỹ thuật hiệu quả với độ chính xác cao, vượt trội hơn so với phương pháp Euler Để phát triển các công thức Runge-Kutta chính xác hơn, người ta sử dụng khai triển Taylor của nghiệm y(x) tại điểm x_i với nhiều số hạng hơn Mặc dù việc xây dựng công thức Runge-Kutta trong trường hợp tổng quát khá phức tạp, trong bài viết này, chúng ta sẽ chỉ tập trung vào trường hợp đơn giản nhất.
Trở lại bài toán Cauchy 2.24 ta xét khai triển Taylor của nghiệm đúng y(x):
2 𝑓 𝑥 ′ 𝑥 𝑖 , 𝑦 𝑖 + 𝑓 𝑦 ′ 𝑥 𝑖 , 𝑦 𝑥 𝑖 𝑦 ′ 𝑥 𝑖 + 𝑂(ℎ 3 ) (2.37) Để tránh tính trực tiếp 𝑓 𝑥 ′ 𝑥 𝑖 , 𝑦 𝑖 và 𝑓 𝑦 ′ 𝑥 𝑖 , 𝑦 𝑥 𝑖 , Runge và Kutta đã làm như sau: Đặt
𝑘 2 (𝑖) = ℎ𝑓 𝑥 𝑖 + 𝛼ℎ, 𝑦 𝑖 + 𝛽𝑘 1 (𝑖) và chọn α, β, r 1 , r 2 sao cho khai triển theo lũy thừa của h của y i+1 xác định bởi (3.36) trùng nhau đến 3 số hạng đầu của vế phải công thức (3.37)
Dùng công thức Taylor của hàm hai biến, ta có:
Do đó 2.38 được viết dưới dạng:
So sánh các hệ số lũy thừa của ℎ trong 2.37 và 2.40 ta có
𝛼𝑟 1 + 𝛽𝑟 2 = 1/2 Đây là một hệ thống 3 phương trình, 4 ẩn số nên là một hệ vô định Ta xét một vài họ nghiệm đơn giản
(1) r 1 = 0, r 2 =1, α = β = 1/2 Khi đó (2.38) và (2.39) có dạng
(2) r 1 = r 2 = 1/2 , α = β = 1 Khi đó (2.38) và (2.39) có dạng
Công thức tính toán tiếp theo là 𝑦 𝑖+1 = 𝑦 𝑖 + 1/2(𝑘 1 𝑖 + 𝑘 2 𝑖 ), với i = 0,1,…,n-1 Trong quá trình thiết lập các công thức (2.38) và (2.39), chúng ta đã bỏ qua số hạng O(h 3 ) trong khai triển Taylor Điều này cho phép chúng ta chứng minh rằng sai số tại điểm x i sẽ thỏa mãn một số điều kiện nhất định.
Trong đó M là hằng số không phụ thuộc h
Vậy các phương pháp Runge-Kutta trên đây có độ chính xác cấp hai
Nếu bỏ qua số hạng O(h^4) trong khai triển Taylor của y(x i+1) tại x i, ta sẽ thu được công thức Runge-Kutta với độ chính xác cấp ba.
Trong đó M là hằng số không phụ thuộc h
𝑦 𝑖+1 = 𝑦 𝑖 + 1/6(𝑘 1 𝑖 + 4𝑘 2 𝑖 + 𝑘 3 (𝑖) ), i = 0,1,…,n-1 (2.43) Nếu bỏ qua số hạng O(h 5 ) thì ta nhận được công thức Runge-Kutta có độ chính xác cấp 4:
Công thức Runge-Kutta 𝑦 𝑖+1 = 𝑦 𝑖 + 1/6(𝑘 1 𝑖 + 2𝑘 2 𝑖 + 2𝑘 3 𝑖 + 𝑘 4 (𝑖)) được ưa chuộng nhờ độ chính xác cao và tính đơn giản Tuy nhiên, việc xác định hằng số M để đánh giá sai số của phương pháp này khá phức tạp Do đó, người ta thường áp dụng phương pháp "tính 2 lần" để xác định sai số một cách hiệu quả.
