- Dễ chứng minh AHB BFA 90 , suy ra: H và F thuộc đường tròn đường kính AB quỹ tích cung chứa góc Vậy tứ giác ABHF nội tiếp đường tròn đường kính AB - M là trung điểm của BC gt, suy ra[r]
Trang 1TRƯỜNG PTDTBT KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn thi: Toán
Thời gian làm bài:120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2,0 điểm).
a) Giải hệ phương trình:
2x y 1
x y 1
b) Rút gọn biểu thức:
2
1 a
1 a
(với a 0; a 1 )
Bài 2: (2,0 điểm).
Cho phương trình: x22(1 m)x 3 m 0 , m m là tham số
a) Giải phương trình với m = 0
b) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
c) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm đối nhau
Bài 3: (2,0 điểm).
Một tàu hoả đi từ A đến B với quãng đường 40 km Khi đi đến B, tàu dừng lại 20 phút rồi đi tiếp 30 km nữa để đến C với vận tốc lớn hơn vận tốc khi đi từ A đến B là 5 km/h Tính vận tốc của tàu hoả khi đi trên quãng đường AB, biết thời gian kể từ khi tàu hoả xuất phát từ A đến khi tới C hết tất cả 2 giờ
Bài 4: (3,0 điểm).
Cho tam giác ABC (AB <AC) có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O; R) Vẽ đường cao
AH của tam giác ABC, đường kính AD của đường tròn Gọi E, F lần lượt là chân đường vuông
góc kẻ từ C và B xuông đường thẳng AD M là trung điểm của BC
a) Chứng minh các tứ giác ABHF và BMFO nội tiếp
b) Chứng minh HE // BD
c) Chứng minh: ABC
AB AC BC S
4R
(SABClà diện tích tam giác ABC)
Bài 5: (1,0 điểm).
Cho a, b, c là các số lớn hơn 1 Chứng minh:
12
1 1 1
Hết
Trang 2
HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1: (2,0 điểm)
a) Ta có:
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x; y) = (0; 1) (1 điểm)
b) Với a 0, a 1) Ta có:
P =
2
1
a
=
2
2
1
1
a
a
(1 điểm)
Bài 2: (2,0 điểm)
a) Thay m = 0 vào phương trình đã cho ta được: x2 + 2x – 3 = 0
Ta có a + b + c = 1 + 2 – 3 = 0, phương trình có hai nghiệm là: x1 = 1; x2 = -3
Vậy m = 0 phương trình có hai nghiệm là: x1 = 1; x2 = -3 (1 điểm)
b) Ta có: ’ = (1 – m)2 – 1(-3 + m) = m2 – 2m + 1 + 3 – m
= m2 – 3m + 4 =
2
m
> 0 với mọi giá trị m Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m (0.5 điểm)
c) Vì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m
Nên phương trình có hai nghiệm đối nhau khi: x1 + x2 = 0
Hay : 0 x 1x2 2(1 m) m 1
Vậy phương trình (1) có hai nghiệm đối nhau khi m = 1 (0.5 điểm)
Bài 3: (2,0 điểm).
Gọi vận tốc tàu hoả khi đi trên quãng đường AB là x (km/h; x>0) 0,5đ
Thời gian tàu hoả đi hết quãng đường AB là
40
x (giờ)
Thời gian tàu hoả đi hết quãng đường BC là
30 5
x (giờ)
Theo bài ta có phương trình:
2
0,5đ
Biến đổi pt ta được: 2
Trang 340 ( )
Vận tốc của tàu hoả khi đi trên quãng đường AB là 40 km/h
0,5đ
Bài 4: (3,0 điểm).
a) Chứng minh các tứ giác ABHF và BMFO nội tiếp
- Dễ chứng minh AHB BFA 90 o, suy ra:
H và F thuộc đường tròn đường kính AB (quỹ tích cung chứa góc)
Vậy tứ giác ABHF nội tiếp đường tròn đường kính AB
- M là trung điểm của BC (gt), suy ra: OMBC
khi đó: BFO BMO 90 o nên M, F thuộc đường tròn đường kính OB(quỹ tích cung chứa góc)
Vậy tứ giác BMOF nội tiếp đường tròn đường kính OB b) Chứng minh HE // BD
Dễ chứng minh tứ giác ACEH nội tiếp đường tròn đường kính AC, suy ra:CHE CAE (=
1
2sđ
CE)
Lại có: CAE CAD CBD (=
1
2sđCD) nên CHE CBD và chúng ở vị trí so le trong
suy ra: HE // BD
c) Chứng minh: ABC
AB AC BC S
4R
(SABClà diện tích tam giác ABC)
Ta có:
ABC
S BC AH BC AB sin ABC
Mặt khác: trong tam giác ABD có: ABD 90 o(nội tiếp chắn nửa đường tròn)
nên AB ADsin D 2R sin ACB
Tương tự cũng có: AC 2R sin ABC và BC 2R sin BAC
Khi đó; AB AC BC 8R sin BAC sin CBA sin ACB 3 (1)
ABC
S BC AB sin ABC 2R sin BAC 2R sin ACB sin CBA 2R sin BAC sin CBA sin ACB
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
ABC
AB AC BC 4R
Vậy ABC
AB AC BC
S
4R
D E
F
M H
C B
A
O
Trang 4Bài 5: (1,0 điểm).
Với a, b, c là các số lớn hơn 1, áp dụng BĐT Cô-si ta có:
2
1
a
2
1
b
2
1
c
a (3)
0,25đ
Từ (1), (2) và (3) suy ra
12
- - Hết