Hàm sóng và toán tử trong cơ học lượng tử

Néi dung Ch-ơng I: Hàm sóng 1.1 Hàm sóng cuả vật chất

Biểu thức

Theo giả thuyết De Broglie, các vi hạt không chỉ có tính chất hạt mà còn có tính chất sóng, thể hiện sự lưỡng tính sóng-hạt của chúng Do đó, cần mô tả các hạt vi mô như một "sóng" Khi giải phương trình lan truyền sóng cơ học tại một điểm M cách xa nguồn O một đoạn r = OM, biểu thức sóng sẽ có dạng đặc trưng cho sóng phẳng đơn sắc.

 ) = A sin (t - k r ) (1.1) Véctơ sóng k đ-ợc xác định theo véctơ đơn vị của ph-ơng truyền sóng: k 

Ph-ơng trình này giúp ta xác định biểu thức dao động do sóng truyền từ nguồn O truyền đến vị trí M ( r = OM ) vào thời điểm t

Để xác định biểu thức của một hàm sóng cho một hạt tự do, cần xem xét hạt này không tương tác với bất kỳ hạt nào khác và không chịu ảnh hưởng của bất kỳ trường lực nào.

Xét hạt tự do có khối l-ợng nghỉ m, ứng với sóng phẳng De Broglie có tần số góc  và véctơ sóng k :

Mặt khác một sóng phẳng có tần số góc  và véctơ sóng k có thể biểu diễn bằng hàm phức:

Trạng thái của hạt tự do có thể biểu diễn bởi một hàm  ( r ,t) đ-ợc gọi là hàm sóng của hạt:

Hàm sóng của hạt không tự do hoặc trong môi trường của các vật khác có dạng phức tạp hơn Trạng thái của hạt vi mô hoặc hệ hạt tại thời điểm t được biểu diễn bởi hàm sóng  (r, t), đây là nội dung chính của tiên đề.

Một số ví dụ về hàm sóng

Ví dụ 1: Hàm sóng của một hạt chuyển động tự do trong hố thế 1 chiều có bề rộng

Ví dụ 2: Hàm sóng mô tả trạng thái của dao động tử điều hoà :

Trong đó : H n (  ) : đa thức Hermite,

ý nghĩa thống kê của hàm sóng…

Xét điểm M xác định bằng bán kính véctơ r  OM và một phần tử thể tích dV bao quanh ®iÓm M

Nếu gọi dw là xác suất tìm thấy hạt trong thể tích dV và

0 lim  dV dV dw tiến tới một giá trị xác định, gọi là mật độ xác suất

0 lim  dV dV dw = ( r , t ) dV dw    

Theo Born, bình phương môđun của hàm sóng tỷ lệ thuận với mật độ xác suất của việc tìm thấy hạt tại một thời điểm xác định, được biểu diễn bởi véctơ tia r.

Khi đó xác suất tìm thấy hạt trong phần tử thể tích dV là: dw =  (r ,t)dV = ( r , t ) 2 dV (1.4)

Hàm sóng  (r, t) không đại diện cho một sóng thực tế trong không gian, mà chỉ cung cấp xác suất để tìm thấy hạt ở một trạng thái cụ thể Vì vậy, hàm sóng này mang tính chất thống kê.

Nguyên lý chồng chất

Trong cơ học l-ợng tử, nguyên lý chồng chất đ-ợc phát biểu một cách tổng quát nh- sau:

Nếu hệ lượng tử có thể tồn tại trong các trạng thái lượng tử được mô tả bởi các hàm sóng như  1 ( ) x,  2 ( ) x, …,  n ( ) x, thì trạng thái của hạt có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các hàm sóng này.

Xác suất n tìm thấy hệ ở trạng thái  n (x) là  n = C n 2

Vậy ph-ơng trình mà hàm sóng thoả mãn phải là ph-ơng trình tuyến tính

Một hạt tự do có thể tồn tại trong nhiều trạng thái năng lượng khác nhau, ví dụ như E1 với hàm sóng ψ1(x) và E2 với hàm sóng ψ2(x) Theo nguyên lý chồng chất, trạng thái tổng quát của hạt có thể được biểu diễn bằng hàm sóng ψ(x), cho phép hạt đồng thời hiện diện trong các trạng thái năng lượng khác nhau.

Nh-ng ở trạng thái này năng l-ợng của hạt có giá trị không xác định: hoặc bằng E 1 hoặc bằng E2.

Chuẩn hoá hàm sóng

Trạng thái của hạt tự do được mô tả bởi hàm sóng, trong đó hệ số  0 không phản ánh tính chất vật lý của hạt Do đó,  0 có thể nhận bất kỳ giá trị nào tùy ý Chúng ta quy ước giá trị của  0 để thuận tiện cho việc tính toán.

Điều kiện chuẩn hoá, được biểu diễn bằng công thức (1.7), liên quan đến tích phân trên toàn bộ thể tích mà hạt có thể tồn tại Ý nghĩa vật lý của điều kiện này là xác suất tìm thấy hạt trong toàn bộ thể tích đó là 1.

Hàm sóng  (r ,t) d-ới dấu tích phân chuẩn hoá là hàm sóng chuẩn hoá, với hàm sóng này xác suất tìm thấy hạt trong thể tích dV là: dw =  ( r , t ) 2 dV (1.8)

Nếu hạt chuyển động theo một chiều thì hàm sóng có dạng  ( x , t ) Xác suất tìm thấy hạt trong khoảng từ x đến x+ dx là: dw =  ( , ) x t 2 dx (1.9)

Trong tr-ờng hợp  (r ,t) ch-a chuẩn hoá thì: dw  r t dV dV t r

Giả sử hệ có N hạt t-ơng tác với nhau theo một định luật nào đó Hàm sóng của hệ có dạng:

Xác suất để tìm thấy hệ hạt sao cho tại thời điểm t, hạt thứ nhất nằm trong thể tích dV1, hạt thứ hai nằm trong thể tích dV2, và tiếp tục như vậy cho đến hạt thứ n, được biểu diễn bằng dw ~ (r, r, , r n, t dV1 dV2 dVn).

 1 (1.11) Điều kiện chuẩn hoá hàm sóng của hệ là:

Không gian cho các biến số tích phân trong (1.12) sẽ là không gian cấu hình 3N chiÒu.

Điều kiện của hàm sóng

Trong cơ học lượng tử, hàm sóng ψ(r, t) cần tuân thủ một số điều kiện quan trọng Đầu tiên, hàm sóng phải có giới nội, vì nếu không thì tích phân không xác định, dẫn đến mâu thuẫn với ý nghĩa xác suất Thứ hai, hàm sóng phải là đơn trị, để mỗi trạng thái chỉ có một xác suất tìm thấy hạt duy nhất, tránh mâu thuẫn với lý thuyết xác suất Thứ ba, hàm sóng cần liên tục, điều này đảm bảo rằng mật độ xác suất ρ = ψ² cũng là một hàm liên tục Cuối cùng, đạo hàm bậc nhất của hàm sóng cũng phải liên tục để đảm bảo tính khả thi trong mô hình lượng tử.

Sự biến đổi trạng thái theo thời gian…

1.2.1 Ph-ơng trình Schrodinger phụ thuộc thời gian

Sự biến đổi của hàm sóng mô tả trạng thái của hạt theo thời gian đ-ợc biểu diễn bởi ph-ơng trình Schrodinger phụ thuộc thời gian

Ph-ơng trình này có dạng: i t t r

Phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian, được biểu diễn bằng H   ( r , t ) (1.13), áp dụng cho bất kỳ hạt vi mô nào Phương trình này được công nhận như một tiên đề trong cơ học lượng tử.

Hàm sóng  ( r , t ) là nghiệm của ph-ơng trình (1.13) cũng mang tính chất chung và thoả mãn điều kiện tiêu chuẩn: đơn trị, liên tục và hữu hạn

Nếu chúng ta biết trạng thái của hệ lượng tử tại một thời điểm nhất định (t = t0), thì theo phương trình (1.13), có thể xác định hàm sóng ở một thời điểm khác sau đó (t > t0) Điều này thể hiện nguyên lý nhân quả trong cơ học lượng tử.

1.2.2 Mật độ xác suất và mật độ dòng xác suất

Theo cách giải thích của Born:  ( r , t ) ~  ( r , t ) 2 , mật độ xác suất phụ thuộc thời gian nên có dòng hạt l-u thông trong không gian

Từ ph-ơng trình Schrodinger phụ thuộc thời gian có thể dẫn ra ph-ơng trình liên tục có dạng:

 ( *       * ) gọi là véctơ mật độ dòng xác suất

Véctơ j đại diện cho hướng chuyển động của hạt, với độ lớn tương ứng với xác suất hạt đi qua một đơn vị diện tích vuông góc với j trong một khoảng thời gian nhất định.

Phương trình liên tục thể hiện định luật bảo toàn xác suất, hay còn gọi là bảo toàn số hạt Xác suất tìm thấy hạt trong thể tích dV được tính bằng tích phân ∫ρ dV Độ biến thiên xác suất được quy về đơn vị thời gian.

 n (1.15) Trong đó j n là hình chiếu của j theo ph-ơng pháp tuyến vuông góc với diện tích S

Vậy xác suất toàn phần để tìm thấy hạt trong không gian không phụ thuộc vào thời gian

Trạng thái dừng là trạng thái có năng l-ợng không phụ thuộc thời gian tức là:

Trạng thái dừng của hạt tự do có năng l-ợng E và xung l-ợng xác định biểu diễn bởi hàm sóng có dạng:

Còn đối với hạt bất kỳ có năng l-ợng E, trạng thái dừng đ-ợc biểu diễn bởi hàm sóng  ( r , t ) là nghiệm của ph-ơng trình Schrodinger phụ thuộc thời gian i ( , ) r t t

Biểu thức của hàm sóng mô tả trạng thái dừng của một hạt ở trạng thái dừng có dạng:

Khi không xác định trước năng lượng của hạt, ta có thể coi hàm sóng  (r, t) là nghiệm của phương trình Schrödinger cho hạt chuyển động trong trường ngoài không phụ thuộc thời gian.

Trong đó E n là các giá trị riêng khả dĩ của năng l-ợng

Ngoài ra ta có thể chứng minh đ-ợc rằng ở trạng thái dừng mật độ xác suất và mật độ dòng xác suất không phụ thuộc thời gian

Ch-ơng II: Toán tử 2.1 Định nghĩa và các tính chất của toán tử

Toán tử là một thực thể toán học khi tác dụng lên một hàm bất kỳ thì biến nó thành một hàm khác

Ta nói toán tử   tác dụng lên hàm  (x )cho hàm  ( x )

 Một số toán tử th-ờng gặp : a Toán tử đạo hàm: dx

2.1.2 Toán tử tuyến tính Định nghĩa: Toán tử   đ-ợc gọi là toán tử tuyến tính nếu nó thoả mãn hệ thức sau:

Trong đó C 1 , C2 là hai số phức tuỳ ý,  1 ,  2 là các hàm bất kỳ

  ,   = là toán tử tuyến tính

  = không phải là toán tử tuyến tính

2.1.3 Các phép tính trên toán tử

Cho hai toán tử   và   , hàm số  bất kỳ Nếu xảy ra hệ thức:

 (  +   ) =    +    thì   +   =   đ-ợc gọi là toán tử tổng của hai toán tử   và  

 (  -   ) =    -    thì   -   =   đ-ợc gọi là toán tử hiệu của hai toán tử   và  

Tổng và hiệu của hai toán tử có tính chất: giao hóan, kết hợp…

 (    ) =   (  ) thì (    )=  đ-ợc gọi là tích của hai toán tử   và  

Tích của hai toán tử không có tính chất giao hoán:         

 Giao hoán tử: Phép tính đ-ợc kí hiệu:    -    = [  ,  ] đ-ợc gọi là giao hoán tử của hai toán tử

Một số tính chất của giao hoán tử:

+ Nếu   và   giao hoán thì [  ,  ] = 0 hay     =    

Hàm riêng và trị riêng của toán tử

Xét một toán tử   và hàm sóng  (x ), nếu toán tử   tác dụng lên hàm sóng

 bằng hằng số a nhân với chính hàm sóng đó:

Nếu \( \hat{A} \phi(x) = a \phi(x) \) (2.1), thì \( a \) được gọi là trị riêng của toán tử \( \hat{A} \) tương ứng với hàm riêng \( \phi(x) \) Trị riêng của một toán tử có thể là giá trị gián đoạn hoặc liên tục, và số lượng trị riêng có thể là hữu hạn hoặc vô hạn Các trị riêng này tạo thành một tập hợp được gọi là phổ của các trị riêng.

Mỗi toán tử th-ờng có nhiều trị riêng và mỗi trị riêng lại có thể có nhiều hơn một hàm riêng Khi đó (2.1) có thể viết:

Các hàm riêng tuân theo ph-ơng trình (2.2) phải thoả mãn một số điều kiện sau:

 Hàm  (x )đơn trị trong toàn miền biến thiên của x

 Hàm  (x ) và đạo hàm bậc nhất theo toạ độ x x

  ( ) phải liên tục với mọi giá trị của x ngoại trừ một số điểm đặc biệt

Ví dụ: Tìm phổ trị riêng của toán tử   = - i dx d Theo ph-ơng trình (2.2) ta có:

Khi a là số phức (giả sử a = i) thì  n (x )= Ce   x sẽ không hữu hạn khi x 

Nếu thêm vào điều kiện: “ H¯m riêng  n (x ) tuần hoàn trong khoảng (0, L) thì a n chỉ có những giá trị xác định Lúc đó hàm riêng tuần hoàn sẽ là

  hay Ce ia n 0  Ce ia n L

Toán tử écmit

Theo tiên đề 1: Mỗi biến số động lực L đ-ợc biểu diễn bằng một toán tử tuyến tính xác định

Giả sử hệ ở trạng thái mô tả bởi hàm sóng  ( r ,t), biến số động lực A đ-ợc biểu diễn bởi toán tử  

Phép đo các đại lượng vật lý cung cấp giá trị thực cho các toán tử tương ứng, cho thấy rằng những toán tử này phải là toán tử écmit Điều này đảm bảo rằng các đại lượng vật lý luôn được mô tả bằng các số thực.

 Toán tử liên hợp écmit:

Giả sử có toán tử   xác định trong không gian Hilbert H,  là hàm xác định trong

H Khi đó:    cũng xác định trong H

Ta lập tích trong   m    n , giả sử có toán tử khác, kí hiệu

H sao cho thoả mãn tính chất :

Giả sử (2.3) đúng với mọi  m và  n trong không gian H, thì

 gọi là liên hợp écmit của  

 =   , nghĩa là với mọi  m và  n trong không gian H mà trong đó toán tử

  xác định thì ta có:

    m n     m     n (2.4) thì toán tử   gọi là toán tử écmit

Dựa vào định nghĩa trên ta có thể xem xét một toán tử nào đó có phải là écmit hay không

 d không phải là toán tử écmit

  = i dx d là toán tử écmit

2.3.2.TÝnh chÊt Để xét các tính chất của toán tử écmit ta coi rằng phổ của toán tử là gián đoạn a Trị riêng của toán tử écmit là số thực

Với toán tử   ,   n là hàm riêng,   a n là trị riêng, ta có ph-ơng trình trị riêng:

Vì   là toán tử écmit:

So sánh (2.6) và (2.7) ta đ-ợc: a n  a * n b Hàm riêng của toán tử écmit trực giao với nhau

Vì   là toán tử écmit:

* ý nghĩa của những hàm riêng trực giao:

Về mặt toán học, các hàm riêng của một toán tử được xem như những véctơ cơ sở trong không gian Hilbert.

Khi đo đại lượng vật lý L trong các trạng thái được biểu diễn bởi những hàm riêng của một toán tử L, chúng ta sẽ thu được các giá trị khác nhau tùy thuộc vào trạng thái cụ thể.

L n ở trạng thái  n và giá trị L m ở trạng thái  m

Trong tr-ờng hợp các hàm riêng đã đ-ợc chuẩn hoá, nghĩa là:

Thì hệ hàm riêng  n là trực chuẩn và ta có hệ thức:

Trong cơ học l-ợng tử cũng có tr-ờng hợp một trị riêng a n ứng với một hoặc nhiều

Các hàm riêng  n suy biến bội k không còn tuân theo hệ thức (2.10) Tuy nhiên, thông qua phương pháp trực giao hoá, chúng ta có thể chứng minh rằng các hàm suy biến vẫn có tính trực giao với nhau.

Các hàm riêng của toán tử Écmit luôn tạo thành một hệ trực giao và đủ Điều này có nghĩa là bất kỳ hàm f(x) nào cũng có thể được khai triển thành tổ hợp tuyến tính của các hàm riêng φn(x) tương ứng với toán tử Écmit.

Trong đó, C i là các hằng số, được gọi là hệ số phân tích hay hệ số khai triển của hàm f(x) Tổng này được tính cho tất cả các hàm riêng của toán tử.

Các hàm riêng  1 ,  2 ,  n tạo nên không gian Hilbert N chiều Khi N  ta có không gian Hilbert vô hạn chiều

2.3.2.Tr-ờng hợp các toán tử có phổ liên tục

Trong tr-ờng hợp phổ liên tục, các tính chất của toán tử écmit vẫn đ-ợc nghiệm đúng nh-ng đ-ợc phát biểu nh- sau:

Ph-ơng trình (2.2) có dạng:

Trong đó a có giá trị liên tục và là số thực, đ-ợc dùng làm chỉ số ở hàm riêng t-ơng ứng

Tính chất thứ 2 với hệ thức (2.10) bây giờ có dạng:

Và sự chuẩn hoá các hàm riêng với hệ thức (2.11) có dạng:

Nh- vậy các hàm riêng ứng với phổ liên tục sẽ đ-ợc chuẩn hoá về hàm delta Đirăc:

Trong đó  ( a  a ' ) là hàm delta Đirăc đối số (a-a ' ) Hệ thức (2.15) là ph-ơng trình biểu diễn tính trực chuẩn của hàm riêng của toán tử có phổ liên tục

Nếu ta phân tích một hàm f(x) bất kỳ thành tổ hợp tuyến tính của các hàm riêng thì (2.12) đ-ợc viết lại: f ( x )   C a  a ( x ) dx (2.16)

Hệ thức (2.16) là ph-ơng trình biểu diễn tính đủ của hệ các hàm riêng

Chú ý: Nếu xét trong không gian 3 chiều, đối số x phải hiểu là bán kính véctơ

( x y z r r  , còn dx sẽ là dV = dx.dy.dz

Mối quan hệ giữa hàm sóng và toán tử

3.1 Trị trung bình trong phép đo một biến số động lực

Hệ thống ở trạng thái được mô tả bởi hàm sóng , trong đó biến số động lực L được biểu diễn bằng toán tử L  Giá trị trung bình của biến số động lực L được xác định thông qua công thức cụ thể.

L  L =   L   dx (3.1) ý nghĩa vật lý của giá trị trung bình của BSĐL L, L :

BSĐL L được xác định qua một thí nghiệm đo lường Các trạng thái đầu  (r, 0) là giống nhau Sau khi thực hiện N lần đo tại thời điểm t, ta thu được tập hợp giá trị L i (i = 1, 2,…N) với xác suất tương ứng p i.

Trị trung bình của BSĐL L tính theo hệ số phân tích C i là:

Trị trung bình của BSĐL L tính theo hàm sóng  và toán tử L  :

Tích phân lấy trong toàn miền xác định của hàm sóng Khi hàm sóng  đã chuẩn hoá thì hệ thức (3.3) có dạng giống nh- (3.1).

Hệ số phân tích

Khi hệ ở trạng thái được mô tả bởi hàm sóng ψ(r, t), xác suất Wk để phép đo biến số động lực A có giá trị ak được tính bằng bình phương môđun của Ck.

W k = C k 2 với C k là hệ số khia triển hàm sóng  theo hàm riêng của L 

Tr-ờng hợp gián đoạn:

Tr-ờng hợp liên tục:

Khi   có phổ liên tục thì mật độ xác suất để đ-ợc giá trị a mà tiên đề 3 cho biết sẽ là:

Xác suất nằm trong khoảng: 0  W k  1

- Khi W k =   a   2 = 1     k : đại l-ợng A đo đ-ợc chính xác

- Khi W k = 0  không đo đ-ợc giá trị a k

Nguyên lý t-ơng ứng và dạng các toán tử khác

Cơ học cổ điển được xem là trường hợp giới hạn hoặc trường hợp riêng của cơ học lượng tử Trong lĩnh vực này, các biến số động lực được liên kết với nhau thông qua những công thức đã được xác định rõ ràng.

Trong cơ học lượng tử, các biến số động lực được biểu diễn qua các toán tử, tuân theo nguyên lý tương ứng Nguyên lý này khẳng định rằng các toán tử trong cơ học lượng tử phải thỏa mãn các hệ thức tương tự như các biến số động lực trong cơ học cổ điển.

Xét thành phần trên trục x của toán tử toạ độ

Từ ph-ơng trình trị riêng của toán tử: x    x  áp dụng tính chất của hàm delta Đirăc: x  ( x )  0, có thể viết:

Ph-ơng trình (3.4) là ph-ơng trình trị riêng của toán tử x  có hàm riêng  ( x  x 0 ) Từ (3.4) ta thấy trị riêng của x  là một đại l-ợng liên tục

Một hạt vi mô có năng l-ợng E, xung l-ợng , chuyển động tự do có trạng thái đ-ợc biểu diễn bởi sóng phẳng:

Xét toán tử p  x biểu diễn hình chiếu xung l-ợng trên trục x, p x có giá trị xác định Toán tử p  x có dạng sao cho thoả mãn ph-ơng trình trị riêng: p  x  (x)= p x  (x) (3.5)

Khi đó   x sẽ có dạng: p  x = - i x

  (3.6) T-ơng tự các thành phần trên trục y và z là: i y p y

 Chuẩn hoá hàm sóng và áp dụng tính chất của hàm  ta đ-ợc;

Vậy hàm riêng của p  x là: x i e x x

Trong cơ học cổ điển, năng l-ợng của hạt biểu diễn qua động năng và thế năng

Theo nguyên lý t-ơng ứng thì trong cơ học l-ợng tử, toán tử năng l-ợng có dạng:

Biểu thức của toán tử Hamilton có thể áp dụng cho trường hợp hạt chuyển động trong trường ngoài không dừng, tức là khi thế năng là hàm của lực V(x,y,z,t) Hàm này liên hệ mật thiết với lực tác dụng lên hạt thông qua một biểu thức cụ thể.

Các biểu thức (3.8) và (3.9) không phù hợp với trường hợp hạt chuyển động trong trường lực phụ thuộc vào vận tốc, chẳng hạn như hạt mang điện di chuyển trong từ trường.

Dù trong hệ toạ độ nào, trong tr-ờng lực nào ta đều có thể viết ph-ơng trình Schrodinger d-ới cùng một dạng:

Các ph-ơng trình (3.10) cũng đúng cho hệ N hạt, nh-ng trong tr-ờng hợp đó toán tử Haminton có dạng:

Các bài toán trong cơ học lượng tử chủ yếu khác nhau ở dạng của toán tử Hamilton, đặc biệt là ở dạng của toán tử thế năng và các điều kiện biên Toán tử Hamilton được xác định dựa trên bản chất của hạt và cách thức tương tác của chúng với trường.

3.3.5 Toán tử mô men xung l-ợng

Trong cơ học cổ điển mô men xung l-ợng L đ-ợc định nghĩa nh- sau:

Trong đó r là véctơ tia nối từ gốc toạ độ đến vị trí của hạt

Các thành phần hình chiếu của L lên các trục toạ độ:

Theo nguyên lý t-ơng ứng, trong cơ học l-ợng tử, toán tử mô men xung l-ợng đ-ợc định nghĩa:

Ba thành phần của toán tử véctơ

Ph-ơng trình trị riêng : L  z  (  )  L z  (  ) hay  (  )  (  )

Nghiệm của ph-ơng trình là:  (  )  Ce  i L z  (3.11)

Do điều kiện đơn trị của hàm sóng:  (  )   (   2  ) nên

Từ đó suy ra rằng: z 2 1 i L e   e i 2 m   1s

Vậy trị riêng của toán tử L  z là: L z = m  với m = 0,  1 ,  2…

Thay L z vào (3.11), hàm riêng của L  z là:

 (  )  Ce  i L z  = Ce i m  áp dụng điều kiện trực chuẩn để tìm C:   m  m '    mm '

Vậy hàm riêng của L  z là: 

Sự đo chính xác đồng thời hai biến số động lực

3.4.1 Khái niệm hàm riêng chung

Theo tiên đề 3, nếu biến số động lực A ở trạng thái    a thì ta đ-ợc giá trị a với xác suất bằng 1

Nếu ta đo biến số động lực B ở trạng thái    b thì chắc chắn ta sẽ đo đ-ợc giá trị là b

Nếu hai toán tử \( A \) và \( B \) có hàm riêng chung, tức là \( \psi \equiv \psi_a \equiv \psi_b \), thì các biến số động lực tương ứng với chúng có thể xác định giá trị đồng thời Điều này có nghĩa là khi hai toán tử chia sẻ hàm riêng, các biến số động lực mà chúng mô tả sẽ được đo lường đồng thời.

3.4.2 Điều kiện để đo chính xác đồng thời hai biến số động lực

Có thể chứng minh rằng để hai biến số động lực được đo chính xác đồng thời, các toán tử biểu diễn chúng cần phải giao hoán với nhau.

ThËt vËy: Điều kiện cần ( a   b   c thì [   ,   ]  0)

Gọi  c (x ) là hàm riêng chung của   và   ta có:

 a ( x )   b ( x )   c ( x ) (3.12) Ph-ơng trình trị riêng của   và   là:

Tác dụng toán tử   lên 2 vế của (3.13) và   lên 2 vế của (3.14) và kết hợp với (3.12) ta đ-ợc:

Hay     -    = 0  [   ,   ]  0 Điều kiện đủ ([   ,   ]  0 thì  a   b  ) Đặt  a   Ta có ph-ơng trình trị riêng:

Tác dụng toán tử   lên 2 vế của (3.15), ta đ-ợc:

   cũng là hàm riêng của toán tử   ứng với trị riêng a Ph-ơng trình (3.16) trở thành:

So sánh (3.15) và (3.17) ta đ-ợc:

Hệ thức bất định Heisenberg

Trong cơ học lượng tử, trạng thái của hệ được mô tả bởi hàm sóng ψ(x), trong khi hai biến số động lực L và M được thể hiện qua các toán tử L̂ và M̂ Khi hai toán tử này giao hoán, ta có thể đo chính xác đồng thời các giá trị của L và M Ngược lại, nếu L̂ và M̂ không giao hoán, việc đo đồng thời các giá trị này sẽ không chính xác.

Vậy khi L  và M  không giao hoán, nếu ta tiến hành đo đồng thời thì độ chính xác đạt đến mức nào?

Vì L  và M  biểu diễn hai biến số động lực nên chúng là các toán tử écmit Ta sẽ chứng minh đ-ợc:

Trong bài viết này, chúng ta xem xét công thức [L ∧ , M ∧ ] = i R ∧, trong đó R ∧ là toán tử écmit L và M đại diện cho giá trị trung bình của hai biến số động lực L và M Độ lệch của L và M so với giá trị trung bình được xác định dựa trên công thức này.

Ta sẽ tính đ-ợc: [   L ,   M ]  [ L  , M  ]  i   Để tìm mối liên hệ giữa L  và M  , ta xét:

Từ tính chất écmit của các toán tử L  và M  ta có thể đ-a  (  )về dạng:

Khai triển tích hai toán tử và nhóm các số hạng cần thiết ta sẽ đ-ợc:

Ta thấy rằng đại l-ợng trong ngoặc d-ới dấu tích phân là một toán tử Giả sử hàm sóng  ( x ) đã chuẩn hoá thì:

 L M (3.18) Đó chính là hệ thức bất định Heisenberg cho các đại l-ợng vật lý L và M không đo đ-ợc chính xác đồng thời

 ta sẽ chứng minh đ-ợc: [ , x p x ] i

Toạ độ x và hình chiếu xung lượng p x không thể đo đạc chính xác cùng lúc Khi thực hiện đo đồng thời hai đại lượng này, độ chính xác cần tuân thủ theo hệ thức nhất định.

 x p x (3.19) ý nghĩa của hệ thức bất định Heisenberg:

Mối liên hệ giữa các sai số khi đo đồng thời hai đại lượng vật lý được thể hiện qua các toán tử không giao hoán.

Việc không thể xác định chính xác đồng thời nhiều đại lượng vật lý không phải do giới hạn của con người, mà là do bản chất của đối tượng vi mô Điều này phản ánh tính chất đặc thù của thế giới vi mô, nơi mà hạt vi mô có lưỡng tính sóng hạt và không có quỹ đạo xác định, khác với hạt vĩ mô có quỹ đạo rõ ràng Khi tiến hành đo một đại lượng vật lý, ít nhất một photon cần được tác động vào hệ, dẫn đến sự nhiễu loạn Trong hệ vĩ mô, nhiễu loạn này không đáng kể và có thể bỏ qua, nhưng trong hệ vi mô, sự nhiễu loạn trở nên quan trọng và có ảnh hưởng rõ rệt.

Ph-ơng trình Schrodinger

3.6.1 Ph-ơng trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian

Xét hạt chuyển động trong tr-ờng thế có thế năng phụ thuộc vào toạ độ V  V (r )

Hạt có năng l-ợng E và hàm sóng phụ thuộc toạ độ là  E (r )

Ph-ơng trình trị riêng của toán tử năng l-ợng   là:

(3.20) Nếu hạt chuyển động trên trục x, hàm thế năng có dạng V ( x ) thì (3.20) có dạng:

Ph-ơng trình (3.20) là ph-ơng trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian Đó là ph-ơng trình vi phân có đạo hàm riêng hạng hai tuyến tính

Hàm sóng  (r ) là nghiệm của ph-ơng trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian phải thoả mãn các điều kiện: đơn giá, liên tục và hữu hạn

3.6.2 Một số bài toán a) Hạt chuyển động trong hố thế có bề sâu vô hạn

Xét tr-ờng hợp một hạt có khối l-ợng m, chuyển động tự do trong một “giếng thế một chiều” có bề rộng a (hình1) Hàm thế nă ng có dạng:

Ta thấy ngoài giếng thế V(x) =  nên

 , hạt không tồn tại ở ngoài giếng thế Vậy ta chỉ xét hạt trong giÕng thÕ (0 < x < a)

Ph-ơng trình Schrodinger có dạng:

Giải ph-ơng trình (3.21) ta có nghiệm là:

Do hàm sóng là liên tục nên ta có điều kiện biên là:

Từ điều kiện biên:  ( 0 )  0  B  0 và  ( a )  0  A sin k n a  0

Năng l-ợng của hạt đ-ợc xác định bằng biểu thức sau:

Hệ thức (3.23) thể hiện đặc trưng của vi hạt, cho thấy năng lượng của hạt chuyển động trong hố thế có giá trị gián đoạn, tỷ lệ với bình phương các số nguyên Hiện tượng này trong cơ học lượng tử được gọi là lượng tử hóa năng lượng.

Hàm sóng (3.22) có thể viết lại d-ới dạng: x a

Xác định hệ số A từ điều kiện chuẩn hoá:  n  n  1

Vậy hàm sóng ứng với hạt có năng l-ợng E n là:

   Hàm sóng và năng l-ợng ứng với n=1, 2, 3 (hình 2):

Nhận xét: Phổ hàm riêng và trị riêng rời rạc b) Dao động tử điều hoà một chiều

Nhiều hệ vật lý có thể được xem như được cấu tạo từ vô số dao động tử điều hòa với các tần số khác nhau.

Trạng thái của dao động tử trong tr-ờng thế năng có dạng V(x) 2 kx 2

, toán tử năng l-ợng có dạng:

Giải ph-ơng trình (3.25) bằng ph-ơng pháp đại số: a Toán tử sinh – toán tử huỷ Định nghĩa: ( )

  a a nên a  không phải là toán tử écmit

Từ [ x  , p  ]  i  ta có thể chứng minh đ-ợc:

Từ (3.26) và (3.27), toán tử toạ độ và toán tử xung l-ợng có dạng:

Thay (3.28) vào (3.24), toán tử năng l-ợng có dạng:

Vậy bài toán tìm trị riêng của   trở về tìm trị riêng của toán tử:

 a (3.31) Giả sử  n là hàm riêng của toán tử   ứng với trị riêng n:

Xét tác động của   lên ( a   n ) và kết hợp với (3.28), (3.31):

 a   n là hàm riêng của   ứng với trị riêng (n-1)

Do đó: a  đ-ợc gọi là toán tử huỷ

Chứng minh t-ơng tự ta đ-ợc:

  a  n (3.36)  a    n là hàm riêng của toán tử   ứng với trị riêng n + 1, nghĩa là:

  a gọi là toán tử sinh b Trị riêng của dao động tử điều hoà

Do   là tổng bình ph-ơng của 2 toán tử écmit nên trị trung bình của H không âm: < H >  0 (3.39)

Xét ở thái riêng  n và kết hợp với (3.30):

Mà trị trung bình của H đ-ợc xác định bởi biểu thức:

Từ (3.41) mọi trạng thái riêng của toán tử   tức là của toán tử   ứng với trị riêng n  -

1 phải bằng 0 Với dao động tử điều hoà những trạng thái nh- thế không tồn tại Điều kiện này đ-ợc đảm bảo nếu đặt: a   0 = 0 (3.42)

Ta sẽ thấy ph-ơng trình (3.42) có một nghiệm tầm th-ờng đối với  0

 a  0 = 0 = 0  0 (3.43)  Trị riêng của   ứng với hàm riêng  0 = 0

Trị riêng của   ứng với hàm riêng  1 là 1 T-ơng tự, dựa vào (3.37) ta chứng minh đ-ợc chỉ số n đánh dấu hàm riêng  n là số nguyên

Trị riêng năng l-ợng của dao động tử điều hoà là:

Nh- vậy năng l-ợng của dao động tử có những giá trị gián đoạn (khác với cơ học cổ điển), giá trị nhỏ nhất bằng   o

1 Các mức năng l-ợng cách đều nhau khoảng cách giữa các mức là   o

1 c Hàm riêng của dao động tử điều hoà Đặt: 2 ( m 0 ) 2 x 2 2 x 2

Ph-ơng trình Schrodinger (3.25) trở thành:

Trạng thái cơ bản của dao động tử điều hoà  0 thoả mãn: a   0 = 0

   0 = 0 (3.48) Ph-ơng trình (3.47) có nghiệm:

Dựa vào hàm riêng (3.50) ta suy ra các trạng thái riêng con lại:

Vậy trạng thái riêng thứ n là:

Nhận xét: Toán tử vi phân bậc n (

  a ) n tác động lên hàm mũ 2

 2 e  sẽ cho ta cùng một hàm mũ đó và nhân với một đa thức bậc n theo 

Hàm riêng của dao động tử điều hoà là:

 n (  )gọi là đa thức écmit, là nghiệm của ph-ơng trình écmit:

Dạng cụ thể của đa thức ecmit

Trong khuôn khổ khoá luận này chúng tôi đã:

1 Trình bày biểu thức hàm sóng của hạt vi mô, ý nghĩa thống kê của hàm sóng, nguyên lý chồng chất trạng thái, chuẩn hoá hàm sóng, các điều kiện mà hàm sóng phải thoả mãn, sự phụ thuộc thời gian của hàm sóng

2 Tìm hiểu các vấn đề liên quan đến toán tử nói chung, toán tử écmit nó riêng

(định nghĩa, tính chất cho cả hai tr-ờng hợp toán tử có phổ gián đoạn và liên tôc)

3 Tìm hiểu mối liên hệ giữa hàm sóng và toán tử thông qua các vấn đề: trị trung bình của biến số động lực, hệ số phân tích, từ nguyên lý t-ơng ứng đ-a ra dạng t-ờng minh của các toán tử (toạ độ, xung l-ợng, năng l-ợng và mô men xung l-ợng),sự đo chính xác đồng thời hai biến số động lực, hệ thức bất định

4 Trình bày một số bài toán áp dụng ph-ơng trình Schrodinger không phụ thuộc thêi gian.