Dấu hiệu Phương pháp • Tích của đa thức hoặc lũy thừa Khai triển • Tích của hàm mũ Khai triển theo công thức nũ • Chứa căn thức Chuyễn về lũy thừa • Tích lượng giác bậc môt Biến đổi tích[r]
Những điều cần nhớ và công thức lượng giác
Hệ thức liên hệ các hàm số lượng giác
• cotx= cosx sinx, ∀x6=kπ • sin 2 x= (1 + cosx)(1−cosx), ∀x∈R
Công thức cộng, công thức nhân đôi, nhân ba
• cos(x+y) = cosxcosy−sinxsiny • cos 2x= cos 2 x−sin 2 x
• sin(x−y) = sinxcosy−cosxsiny • sin 2x= 2 sinxcosx
(sinx) 0 = cosx (sinu) 0 =u 0 cosu (cosx) 0 =−sinx (cosu) 0 =−u 0 sinu
1.1.4 Bảng nguyên hàm cơ bản.
Z tan(ax+b).dx=−1 aln|cos(ax+b)|+C
Z cot(ax+b).dx= 1 aln|sin(ax+b)|+C
Tích phân họ nhàsin mang dấu trừ
Z dx sin 2 xdx=−cotx+C Tích phân họ nhàcos mang dấu cộng
Z dx cos 2 xdx = tanx+C 1.1.5 Tính chất:
Z f(u(x)).u 0 (x)dx=F(u(x)) +C Định nghĩa 1.1.1 1 Nếu hàm số f(x) có nguyên hàm F(x) trên khoảng (a;b) thì trên khoảng đó nó có vo số nguyên hàm.
2 Hai nguyên hàm bất kì của cùng một hàm số cho trên khoảng (a;b) là sai khác nhau một hằng số cộng.
Tức là: Nếu F 1 (x) và F 2 (x) lafhai nguyên hàm của hàm sốf(x)thì
F 1 (x) =F 2 (x) +C 1 , trong đó C 1 là hằng số nào đó hay
F 2 (x) =F 1 (x) +C 2 , trong đó C 2 là hằng số nào đó
• Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) và G(x) là một nguyên hàm của hàm số g(x) thì hàm số F(x) +G(x)là một nguyên hàm của hàm số f(x) +g(x).
• NếuF(x)là một nguyên hàm của hàm số f(x)thì kF(x) là một nguyên hàm của hàm số của kf(x).
• NếuF(x)là một nguyên hàm của hàm sốf(x)thì F(y(t))là một nguyên hàm của hàm sốf(y(t)).y 0 (t), trong đó ta giả thuyết rằng các hàm sốf(y(t)), y 0 (t)vàF(y(t))đều xác định.
+ Đặt biệt: Nếu y(t) = at+b, a 6= 0 và nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thì 1 aF(at+b) là một nguyên hàm của hàm số f(at+b).
Ví dụ 1.1.2 Ta có F(x) =e x là một nguyên hàm của hàm số f(x) = e x
+ Hàm số G(t) =F(2t+ 1) =e 2t+1 là một nguyên hàm của hàm số g(t) =f(2t+ 1) =e 2t+1 (2t+ 1) 0 = 2e 2t+1
+ Hàm số H(t) =F(t 2 −1) =e t 2 −1 là một nguyên hàm của hàm số h(t) =f(t 2 −1) =e t 2 −1 (t 2 −1) 0 = 2te t 2 −1
Ví dụ 1.1.3 Ta có F(x) = sinxlà một nguyên hàm của hàm số f(x) = cosx.
+ Hàm số G(t) =F(3t+ 2) = sin(3t+ 2). là một nguyên hàm của hàm số g(t) =f(3t+ 2) = cos(3t+ 2).(3t+ 2) 0 = 3 cos(3t+ 2).
+ Hàm số G(t) =F(2t 2 + 3) = sin(2t 2 + 3). là một nguyên hàm của hàm số g(t) = f(2t 2 + 3) = cos(2t 2 + 3).(2t 2 + 3) 0 = 4tcos(2t 2 + 3).
Bảng nguyên hàm cơ bản
Z tan(ax+b).dx=−1 aln|cos(ax+b)|+C
Z cot(ax+b).dx= 1 aln|sin(ax+b)|+C
Tích phân họ nhàsin mang dấu trừ
Z dx sin 2 xdx=−cotx+C Tích phân họ nhàcos mang dấu cộng
Tính chất
Z f(u(x)).u 0 (x)dx=F(u(x)) +C Định nghĩa 1.1.1 1 Nếu hàm số f(x) có nguyên hàm F(x) trên khoảng (a;b) thì trên khoảng đó nó có vo số nguyên hàm.
2 Hai nguyên hàm bất kì của cùng một hàm số cho trên khoảng (a;b) là sai khác nhau một hằng số cộng.
Tức là: Nếu F 1 (x) và F 2 (x) lafhai nguyên hàm của hàm sốf(x)thì
F 1 (x) =F 2 (x) +C 1 , trong đó C 1 là hằng số nào đó hay
F 2 (x) =F 1 (x) +C 2 , trong đó C 2 là hằng số nào đó
• Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) và G(x) là một nguyên hàm của hàm số g(x) thì hàm số F(x) +G(x)là một nguyên hàm của hàm số f(x) +g(x).
• NếuF(x)là một nguyên hàm của hàm số f(x)thì kF(x) là một nguyên hàm của hàm số của kf(x).
• NếuF(x)là một nguyên hàm của hàm sốf(x)thì F(y(t))là một nguyên hàm của hàm sốf(y(t)).y 0 (t), trong đó ta giả thuyết rằng các hàm sốf(y(t)), y 0 (t)vàF(y(t))đều xác định.
+ Đặt biệt: Nếu y(t) = at+b, a 6= 0 và nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thì 1 aF(at+b) là một nguyên hàm của hàm số f(at+b).
Ví dụ 1.1.2 Ta có F(x) =e x là một nguyên hàm của hàm số f(x) = e x
+ Hàm số G(t) =F(2t+ 1) =e 2t+1 là một nguyên hàm của hàm số g(t) =f(2t+ 1) =e 2t+1 (2t+ 1) 0 = 2e 2t+1
+ Hàm số H(t) =F(t 2 −1) =e t 2 −1 là một nguyên hàm của hàm số h(t) =f(t 2 −1) =e t 2 −1 (t 2 −1) 0 = 2te t 2 −1
Ví dụ 1.1.3 Ta có F(x) = sinxlà một nguyên hàm của hàm số f(x) = cosx.
+ Hàm số G(t) =F(3t+ 2) = sin(3t+ 2). là một nguyên hàm của hàm số g(t) =f(3t+ 2) = cos(3t+ 2).(3t+ 2) 0 = 3 cos(3t+ 2).
+ Hàm số G(t) =F(2t 2 + 3) = sin(2t 2 + 3). là một nguyên hàm của hàm số g(t) = f(2t 2 + 3) = cos(2t 2 + 3).(2t 2 + 3) 0 = 4tcos(2t 2 + 3).
Một số phương pháp tìm nguyên hàm
Phương pháp biến đổi sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản
Bài toán 1.2.1 Tìm một nguyên hàmF(x) của hàm số. a) f(x) = cosx+ sinx sao cho F(0) = 1. b) f(x) = cos 2x+ sin 3xsao cho F(0) = 1.
Lời giải. a)f(x) = cosx+ sinx sao cho F(0) = 1.
F(x) Z f(x)dxZ (cosx+ sinx)dx= sinx−cosx+C
Do đóF(x) = sinx−cosx+ 2 là nguyên hàm cần tìm. b)f(x) = cos 2x+ sin 3x sao cho F(0) = 1.
3 là nguyên hàm cần tìm.
Bài toán 1.2.2 Tìm nguyên hàmF(x) của hàm sốf(x)sau. a) f(x) =x 5 biết F(1) = 1. b) f(x) = (2x−1) biết F(1) = 1.
6 là nguyên hàm cần tìm. b)f(x) = (2x−1) 5 biết F(1) = 1
12 là nguyên hàm cần tìm.
Bài toán 1.2.3 Tìm nguyên hàmF(x) của hàm sốf(x)sau. a) f(x) =x+ 1
2 là nguyên hàm cần tìm. b)f(x) = x 2 +1
4 là nguyên hàm cần tìm.
Bài toán 1.2.4 Tìm nguyên hàmF(x) của hàm sốf(x)sau. a) f(x) = 1
Do đóF(x) = 2√ x+ ln|x| −1là nguyên hàm cần tìm. b)f(x) = 1
5 là nguyên hàm cần tìm.
Bài toán 1.2.5 Tìm nguyên hàmF(x) của hàm sốf(x)sau. a) f(x) = 1 x + 2 3x biết F(1) = 3. b) f(x) = 1
F(x) Z f(x)dxZ 1 x+ 2 3x dxZ 1 x + 8 x dx= ln|x|+ 8 x ln 8 +C
Do đóF(x) = ln|x|+ 8 ln 8 + 3− 8 ln 8 là nguyên hàm cần tìm. b)f(x) = 1
3 ln 2 là nguyên hàm cần tìm.
Bài toán 1.2.6 Tìm nguyên hàmF(x) của hàm sốf(x)sau. a) f(x) = 3e x + 1 cos 2 x biết F(0) = 1. b) f(x) = 3e 2x+1 + 1 cos 2 (3x) biết F(0) = 1.
Do đóF(x) = 3e x + tanx−2là nguyên hàm cần tìm. b)f(x) = 3e 2x+1 + 1 cos 2 (3x) biết F(0) = 1.
2 là nguyên hàm cần tìm.
Bài toán 1.2.7 Tìm nguyên hàmF(x) của hàm sốf(x)sau. a) f(x) =x+ tanx biết F(π) = 1. b) f(x) =x+ tan 3x biết F(π) = 1. a)f(x) = x+ tanx biết F(π) = 1.
2 là nguyên hàm cần tìm. b)f(x) = x+ tan 3xbiết F(π) = 1.
2 là nguyên hàm cần tìm.
Bài toán 1.2.8 Tìm nguyên hàmF(x) của hàm sốf(x)sau. a) f(x) =√ x+ 1 x 3 biết F(1) = 1. b) f(x) =√
6 là nguyên hàm cần tìm. b)f(x) = √
6 là nguyên hàm cần tìm.
* Một số bài toán biến đổi sử dụng bảng nguyên hàm.
Z cosx.cos 2xdx Lời giải.
Phương pháp đổi biến (Vi phân)
Trước hết ta tìm hiểu về vi phân Ta có công thức. d(f(x)) = f 0 (x).dx
* Một số cách viết thông dụng.
Cách viết vi phân Cách áp dụng công thức
Z sin n x.cosxdxZ sin n x.d(sinx) = sin n+1 x n+ 1 +C
Z tan n x dx cos 2 x Z tan n x.d(tanx) = tan n+1 x n+ 1 +C
Z ln n x x dxZ ln n x.dx x Z ln n x.d(lnx) = ln n+1 x n+ 1 +C
•d(sin 2 x) = (sin 2 x) 0 dx= 2.(sinx) 0 sinxdx= 2 cosxsinxdx= sin 2xdx
•d(cos 2 x) = (cos 2 x) 0 dx= 2.(cosx) 0 cosxdx=−2 sinxcosxdx=−sin 2xdx
•d(ax n +b) = (ax n +b) 0 dx=anx n−1 dx⇒x n−1 dx= 1 and(ax n +b)
* Bây giờ ta sử dụng công thức sau đây tìm nguyên hàm.
Z (3 tanx−2) 6 cos 2 x dxLời giải.
Z sin 3 xcos 2 xdx Lời giải.
Z sinx cos 5 xdx Lời giải.
Z tan 3 x cos 4 xdxZ tan 3 x 1 cos 2 x dx cos 2 x Z tan 3 x 1 cos 2 x.d(tanx)
Z tan 3 x.(1 + tan 2 x).d(tanx) Z (tan 3 x+ tan 5 x)d(tanx)
* Một số bài toán giải bằng cách đặt t
* Bây giờ ta sử dụng công thức sau đây tìm nguyên hàm.
Z dx x(2 lnx+ 3)dx Lời giải.
Z sin 2x cosx+ 1dx Lời giải. a)
Z sin 2x cosx+ 1dxZ 2 sinxcosx cosx+ 1 dx= 2
Z sinxcosx+ sinx−sinx cosx+ 1 dx
Z sinx(cosx+ 1)−sinx cosx+ 1 dx= 2
Z dx sinxdxZ sinxdx sin 2 x dxZ sinxdx
Z dx cosxdxZ cosxdx cos 2 x dxZ cosxdx
* Bây giờ ta sử dụng công thức sau đây tìm nguyên hàm.
Bài toán 1.2.47 Tìm a) x dx b) 2 cosxdx
* Bây giờ ta sử dụng công thức sau để tìm nguyên hàm.
Z e x (x+ 1) cos(xe x )dxLời giải.
* Bây giờ ta sử dụng công thức sau để tìm nguyên hàm.
Z cos 2x cos 2 xsin 2 xdx Lời giải.
Z dx cos 2 xsin 2 (tanx) Lời giải.
* Bây giờ ta sử dụng công thức sau để tìm nguyên hàm.
Bài 1 Tìm các nguyên hàm sau.
Z e 2 ln x+1 x dxBài 2 Tìm các nguyên hàm sau.
1 +√ e x −1dx Bài 3 Tìm các nguyên hàm sau.
Z(x−1) 2 (x+ 2) 21 dxBài 4 Tìm các nguyên hàm sau.
* Một số bài toán dạng
Z sin m xcos n xdx Phương pháp
1) Nếu ít nhất một trong hai số m hay n lẻ
• m,n đều lẻ thì + m>n đặt t = sinx + m6n đặt t = cosx + m=n sử dụng công thức hạ bậc
2) m,n chẵn (m, n >0) dùng công thức hạ bậc sin 2 x= 1−cos 2x
* Cách 1: Đặt:t = sinx⇒dt= cosxdx
Z sin 2 xcosxdxZ sin 2 xd(sinx) = sin 3 x
* Cách 1: Đặt:t = cosx⇒dt=−sinxdx
Z sin 4 xcos 5 xdxZ sin 4 xcos 4 x.cosxdxZ sin 4 x(1−sin 2 x) 2 cosxdx
* Cách 1: Đặtt = sinx⇒dt= cosxdx
Z sin 4 x(1−sin 2 x) 2 cosxdxZ t 4 (1−t 2 ) 2 dtZ t 4 (1−2t 2 +t 4 )dt
Z sin 4 x(1−sin 2 x) 2 cosxdxZ sin 4 x(1−sin 2 x) 2 d(sinx)
Z sin 7 xcos 3 xdxZ sin 7 xcos 2 x.cosxdxZ sin 7 x(1−sin 2 x) cosxdx
* Cách 1: Đặtt = sinx⇒dt= cosxdx Do đó
Z sin 7 x(1−sin 2 x) cosxdxZ t 7 (1−t 2 )dtZ (t 7 −t 9 )dt
Z sin 7 x(1−sin 2 x) cosxdxZ sin 7 x(1−sin 2 x)d(sinx)
* Một số bài toán biến đổi hàm lượng giác.
2 (hoặc đặt x=|a|cost với 06t6π) Khi đó
√a 2 −x 2 =p a 2 −a 2 sin 2 t=|a|cost b) Nếu hàmf(x)chứa √ a 2 +x 2 thì Đặtx=|a|tant với −π
2 (hoặc đặt x=|a|cott với 0< t < π) Khi đó
√a 2 +x 2 =√ a 2 +a 2 tan 2 t = |a| cost c) Nếu hàmf(x)chứa √ x 2 −a 2 thì Đặtx= |a| sint với t∈h
√x 2 −a 2 r a 2 sin 2 t −a 2 = |a| cost d) Nếu hàmf(x)chứa (1 +x 2 ) k thì Đặtx= tant với −π
2 (hoặc đặt x= cott với 0< t < π) Khi đó
(1 +x 2 ) k = (1 + tan 2 t) k = 1 cos 2k t e) Nếu hàmf(x)chứa ra+x a−x hoặc ra−x a+x thì Đặtxos 2t với 062t6π hay 06t6 π
dx=−2asin 2t ra+x a−x ra+acos 2t a−acos 2t r1 + cos 2t
1−cos 2t =√ cot 2 t = cott f) Nếu hàm f(x)chứa p
1−x 2 dxZ costcostdtZ cos 2 tdtZ 1 +cos2t
√1−x 2 dxZ sin 2 tcostdt cost Z sin 2 tdtZ 1−cos 2t
Suy ra sin 4t= 2 sin 2tcos 2t= 2.2x
1−x 2 dxZ cost.cost.dtZ cos 2 tdt
1−x 2 x 2 dxZ cost sin 2 t.costdtZ cot 2 t.dtZ 1 sin 2 t −1 dt =−cott−t+C
1−x 2 Z costdt sintcost Z sintdt sin 2 t Z sintdt
dx=−cost sin 2 tdt x√ x 2 −1 = 1 sint r 1 sin 2 t −1 = 1 sint r1−sin 2 t sin 2 t = cost sin 2 t
Z dx x√ x 2 −1 Z −cost sin 2 tdt cost sin 2 t
dx= dt cos 2 t x√ x 2 + 1 = tant√ tan 2 t+ 1 = tant 1 cost = sint cos 2 t Khi đó
Z dx x√ x 2 + 1 Z dt cos 2 t sint cos 2 t
1−cos 2t rcos 2 t sin 2 t = cost sint
dx= dt cos 2 t = (1 +tan 2 t)dt x 2 + 1 = tan 2 t+ 1
Z dx x 2 + 1 Z (1 +tan 2 t)dt tan 2 t+ 1 Z dt=t+C
Z sin 2 t.costdt Z sin 2 t.costdt Đặtu= sint⇒du= costdt
* Một số bài toán dạng
Z R(sinx; cosx)dxgiải bằng phương pháp đặtt= tanx
2 Bài toán loại này ta biến đổi bằng cách đặtt= tanx
* Một số dấu diệu nhận biết
•R(−sinx; cosx) =−R(sinx; cosx) Đặt t= cosx
•R(sinx;−cosx) =−R(sinx; cosx) Đặt t= sinx
•R(−sinx;−cosx) = R(sinx; cosx) Đặt t= tanx
Bài toán 1.2.72 Tìm a) dx sinx b) dx
Z dx sinxcos 3 x Z 2dx sin 2xcos 2 x Z 2dx sin 2x(1 + tan 2 x) Đặt:t = tanx
1.2.3 Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.
Với P(x) là đa thức bậc n
−Z b) cos√ xdx Đặtt =√ x⇒t 2 =x⇒2tdt=dx
(x+ sin 2 x) cosxdxZ (xcosx+ sin 2 xcosx)dx
Mà1 + sin 2x= (sinx+ cosx) 2 = 2 sin 2 x+π 4
Do bài toán 1.2.80 trang 44 ta có
Z sin(lnx)dx=xsin(lnx)dx−
=xsin(lnx)dx−J XétJ Z cos(lnx)dx Đặt
J Z cos(lnx)dx=xcos(lnx) +
I Z sin(lnx)dx =xsin(lnx)dx−J
=xsin(lnx)dx− xcos(lnx) +
=xsin(lnx)dx−xcos(lnx)−
=xsin(lnx)dx−xcos(lnx)−I
2[sin(lnx)dx−cos(lnx)] +C
Với P(x) là đa thức bậc n
Sử dụng kết quả bài toán 1.2.89 trang 51
1 ln 2 x − 1 lnx dxZ dx ln 2 x −
1 ln 2 x − 1 lnx dxZ dx ln 2 x−
Bài 1 Tìm a) (2x+ 5) lnxdx b) lnx x 5 dx c)
Z e ax+b sin(ax+b) cos(ax+b) dx Với P(x) là đa thức bậc n
u=e ax+b dv " sin(ax+b) cos(ax+b)
(x+e x ) sinxdxZ (xsinx+e x sinx)dxZ xsinxdx+
Mà kết quả bài toán 1.2.89 trang 51 có
Và kết quả bài toán 1.2.77 trang 42
Lời giải. a)I Z e 2x cos 2xdx Đặt
2e 2x sin 2x−J XétJ =R e 2x sin 2xdx Đặt
2.1 Những điều cần nhớ. Định nghĩa 2.1.1 Cho hàm số y=f(x)liên tục trên [a;b] và có một nguyên hàm F(x) thì tích phân từ a đến b là số thực F(b)−F(a)
u = − cot u + C 23 Bài toán sử dụng công thức
Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần
Với P(x) là đa thức bậc n
−Z b) cos√ xdx Đặtt =√ x⇒t 2 =x⇒2tdt=dx
(x+ sin 2 x) cosxdxZ (xcosx+ sin 2 xcosx)dx
Mà1 + sin 2x= (sinx+ cosx) 2 = 2 sin 2 x+π 4
Do bài toán 1.2.80 trang 44 ta có
Z sin(lnx)dx=xsin(lnx)dx−
=xsin(lnx)dx−J XétJ Z cos(lnx)dx Đặt
J Z cos(lnx)dx=xcos(lnx) +
I Z sin(lnx)dx =xsin(lnx)dx−J
=xsin(lnx)dx− xcos(lnx) +
=xsin(lnx)dx−xcos(lnx)−
=xsin(lnx)dx−xcos(lnx)−I
2[sin(lnx)dx−cos(lnx)] +C
Với P(x) là đa thức bậc n
Sử dụng kết quả bài toán 1.2.89 trang 51
1 ln 2 x − 1 lnx dxZ dx ln 2 x −
1 ln 2 x − 1 lnx dxZ dx ln 2 x−
Bài 1 Tìm a) (2x+ 5) lnxdx b) lnx x 5 dx c)
Z e ax+b sin(ax+b) cos(ax+b) dx Với P(x) là đa thức bậc n
u=e ax+b dv " sin(ax+b) cos(ax+b)
(x+e x ) sinxdxZ (xsinx+e x sinx)dxZ xsinxdx+
Mà kết quả bài toán 1.2.89 trang 51 có
Và kết quả bài toán 1.2.77 trang 42
Lời giải. a)I Z e 2x cos 2xdx Đặt
2e 2x sin 2x−J XétJ =R e 2x sin 2xdx Đặt
Những điều cần nhớ
Định nghĩa 2.1.1 Cho hàm số y=f(x)liên tục trên [a;b] và có một nguyên hàm F(x) thì tích phân từ a đến b là số thực F(b)−F(a)
