Để tìm GTLN - GTNN của hàm số bằng phương pháp miền giá trị của hàm số, ta sử dụng một trong các cách sau.. Cách 1: Áp dụng cho những hàm số có thể biến đổi được về một hàm số chức một h[r]
Phần lý thuyết
Định nghĩa 1.1.1 Giả sử f(x) là hàm số xác định trên miền D.
1) Ta nói M là giá trị lớn nhất của f(x) trên D, nếu đồng thời thỏa mãn hai điều kiện sau: a) f(x) ≤ M, với mọi x ∈ D. b) Tồn tại x 0 ∈ D, sao cho f(x 0 ) =M.
Lúc đó, ta kí hiệu
2) Ta nói m là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên D, nếu đồng thời thỏa mãn hai điều kiện sau: a) f(x) ≥ m, với mọi x ∈ D. b) Tồn tại x 0 ∈ D, sao cho f(x 0 ) =m.
Lúc đó, ta kí hiệu m = min x∈D f(x).
* Lưu ý: Cho tam thức bậc hai f(x) = ax 2 +bx+ c Khi đó.
Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
Phương pháp miền giá trị của hàm số
* Phương pháp. Để tìm GTLN - GTNN của hàm số bằng phương pháp miền giá trị của hàm số, ta sử dụng một trong các cách sau.
Cách 1: Áp dụng cho những hàm số có thể biến đổi được về một hàm số chức một hàm sinX hoặc cosX.
- Biến đổi hàm số về dạng y = A+BsinX hoặc y = A+BcosX hoặc y = A+Bsin 2 X hoặc y = A+Bcos 2 X
- Suy ra maxx∈ R y = M và min x∈ R y = m
Cách 2:Áp dụng cho những hàm số có thể biến đổi được về một hàm số chức hai hàm sinX và cosX.
- Biến đổi hàm số về dạng y = AsinX + BcosX +C
- Suy ra maxx∈ R y = M và min x∈ R y = m
Cách 3: Áp dụng cho những hàm số dạng y = A1sinX +B1cosX +C1
- Biến đổi hàm số về dạng AsinX +BcosX = C
- Sử dụng điều kiện phương trình có nghiệm là
- Suy ra maxx∈ R y = M và min x∈ R y = m
Cách 4: Áp dụng cho những hàm số dạng y = a 1 x 2 +b 1 x+c 1 b 2 x+ c 2 hoặc y = b 1 x+c 1 a 1 x 2 + b 1 x+c 1 hoặc y = a 1 x 2 +b 1 x+c 1 a 2 x 2 +b 2 x+c 2
- Tìm miền xác định của hàm số.
- Biến đổi hàm số về dạng Ax 2 +Bx+C = 0
- Sử dụng điều kiện phương trình có nghiệm là
- Suy ra maxx∈ R y = M và min x∈ R y = m
Bài toán 1.1 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau. y = 2x 2 + 7x+ 23 x 2 + 2x+ 10
Ta có x 2 + 2x+ 10 6= 0 với mọi x ∈ R nên. y = 2x 2 + 7x+ 23 x 2 + 2x+ 10 ⇔y(x 2 + 2x+ 10) = 2x 2 + 7x+ 23.
+ Nếu y 6= 0 thì (1) có nghiệm khi ∆ ≥0
Kết hợp lại ta thấy (1) có nghiệm khi 3
Bài toán 1.2 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau. y = 3 x−1 + 3 −x−1
Phương trình (1) trở thành t 2 −3yt+ 1 = 0 (2)
Phương trình (2) nếu có nghiệm thì có hai nghiệm cùng dấu (vì ac >0) Để phương trình (1) có nghiệm thì (2) phải có ít nhất một nghiệm dương.
Do đó để (1) có nghiệm thì (2) có hai nghiệm dương. hay
Do đó dấu "=" xảy ra khi x = 0.
3 tại x = 0Bài toán 1.3 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau. a)y = 2 + 3 cosx b)y = 3−4 sin 2 xcos 2 x c)y = 1 + 4 cos 2 x
Lời giải. a)Tập xác định D = R Với mọi x ∈ R, ta có
Vậy maxx∈ R y = 5 tại x= 2kπ, k ∈ Z minx∈ R y = −1 tại x = (2k + 1)π, k ∈ Z b) y = 3−4 sin 2 xcos 2 x = 3−(2 sinxcosx) 2 = 3−sin 2 2x. Tập xác định D = R Với mọi x ∈ R, ta có
3 Tập xác định D = R Với mọi x ∈ R, ta có
Tập xác định D = R Với mọi x ∈ R, ta có
Bài toán 1.4 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau. a)y = √
Lời giải. a)Tập xác định D = R. y = √
Bài toán 1.5 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau. a)y = sin 2x+ 2√
Lời giải. a)Tập xác định D = R. y = sin 2x+ 2√
2 nên sinx−cosx+ 3 6= 0 với x ∈ R Tập xác định D = R Với mọi x ∈ R, ta có y = sinx+ cosx−1 sinx−cosx+ 3.
⇔(y −1) sinx−(y + 1) cosx = −(3y + 1) Để tồn tại x thì
Bài 1 Tìm GTLN - GTNN của hàm số. a) y = x 2 +x+ 2 x 2 −x+ 2 b) y = x+ 1 x 2 −x+ 1
Bài 2 Tìm GTLN - GTNN của hàm số. a) y = 3−2 sin 2x b) y = 2 cos 2x− π
3 cos 2x+ 1 d) y = 2 sin 2 x−cos 2x e) y = 3−4 sin 2 xcos 2 x f) y = 2√ cosx−1−3
Bài 3 Tìm GTLN - GTNN của hàm số. a) y = (2−√
3) sin 2x+ cos 2x b) y = (sinx−cosx) 2 + 2 cos 2x+ 3 sinxcosx c) y = (sinx−2 cosx)(2 sinx+ cosx)−1
Bài 4 Tìm GTLN - GTNN của hàm số. a) y = sinx+ cosx sinx+ 1 b) y = 1 + sinx
2 + cosx c) y = sinx+ cosx sinx−sinx+ 3 d) y = cosx+ 2 sinx+ 3
2 cosx−sinx+ 4 e) y = 2 cosx+ sinx+ 3 cosx+ 2 sinx+ 3 f) y = 2 sinx+ cosx+ 1 sinx−2 cosx+ 3 Bài 5 Tìm GTLN - GTNN của hàm số. a) y = 2 + cosx sinx+ cosx−2 b) y = sinx+ 2 cosx+ 1 sinx+ cosx+ 2
Phương pháp bất đẳng thức
* Bất đẳng thức Cô-si.
Cho số không âm a1, a2, , an Khi đó, ta có a1 +a2 + +an n ≥ √ n a 1 a 2 a n
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a 1 = a 2 = = a n
* Bất đẳng thức Bu-nhia-côp-xki.
Cho hai bộ số a 1 , a 2 , , a n và b 1 , b 2 , , b n tùy ý Khi đó a 2 1 +a 2 2 + +a 2 n b 2 1 +b 2 2 + +b 2 n ≥(a 1 b 1 +a 2 b 2 + +a n b n ) 2
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a 1 b1
(với quy ước nếu b i = 0 thì a i = 0).
Bài toán 1.6 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau. y = √ x−2 +√
Theo bất đẳng thức côsi, với hai số dương A, B ta được 2√
Bài toán 1.7 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau. y = √ x+ 3 +√
Suy ra y ≥ 3 ( vì y ≥0,∀x ∈ [−3; 6]). Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có y 2 = √ x+ 3 +√
Bài toán 1.8 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau. y = 3 x−1 + 3 −x−1
Tập xác định D = R. Áp bất đẳng thức côssi ta có
3 Dấu "=" xảy ra ⇔3 x−1 = 3 −x−1 ⇔ x = 0 Vậy minx∈ R y = 2
3 tại x = 0 Không tồn tại GTLN.
Bài toán 1.9 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau. y = 2x 2 + 7x+ 23 x 2 + 2x+ 10
(vì theo bất đẳng thức côsi, ta có (x+ 1) 2 + 9 ≥ 2p9(x+ 1) 2 = 6|x+ 1|) Suy ra
Bài toán 1.10 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau. y = √
Theo bất đẳng thức Bunhiakôpski ta có
Bài toán 1.11 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau. y = sinx+ 2 cosx+ 1 sinx+ cosx+ 2
Vì sinx+ cosx+ 2 > 0 với mọi x ∈ R Nên y = sinx+ 2 cosx+ 1 sinx+ cosx+ 2
⇔ (y −1) sinx+ (y −2) cosx= 1−2y Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakôpski ta được
Vậy maxx∈ R y = 1 tại x = k2π, k ∈ Z minx∈ R y = −2 tại x = π +α+k2π, k ∈ Z với sinα = 3
Bài 1 Tìm GTLN - GTNN của hàm số. a)y = √ x+ 2 +√
Phương pháp chiều biến thiên của hàm số
1 Tìm GTLN - GTNN của hàm số trên một đoạn:
* Phương pháp: Để tìm GTLN - GTNN của hàm số trên [a;b] ta thực hiện các bước sau.
- Giải phương trình y 0 = 0 Giả sử x 1 ;x 2 ; ;x n là các nghiệm của y 0 trên [a;b].
- Khi đó x∈[a;b]max y = max{f(a);f(x 1 );f(x 2 ); ;f(x n );f(b)} x∈[a;b]min y = min{f(a);f(x 1 );f(x 2 ); ;f(x n );f(b)}
Bài toán 1.12 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau. a) y = x 3 + 6x 2 + 9x+ 4 trên [-2;2] b) y = x 4 −2x 2 + 4 trên [-3;0] c) y = −x 3 + 3x 2 −4x+ 3 trên [0;2] d) y = 2x+ 1 x+ 1 trên [0;5] e) y = x 2 −5x+ 4
Vậy x∈[−2;2]max f(x) = 54 tại x = 2 x∈[−2;2]min f(x) = 0 tại x = −1 b) y = f(x) = x 4 −2x 2 + 4 trên [-3;0]
Vậy max x∈[−3;0]f(x) = 67 tại x = −3 min x∈[−3;0]f(x) = 3 tại x = −1 c) y = f(x) = −x 3 + 3x 2 −4x+ 3 trên [0;2]
Vậy x∈[0;2]max f(x) = 3 tại x = 0 x∈[0;2]min f(x) = −1 tại x = 2 d) y = f(x) = 2x+ 1 x+ 1 trên [0;5]
Vậy x∈[1;4]max f(x) = 0 tại x = 1 hoặc x = 4 x∈[1;4]min f(x) = −1 tại x = 3 f) y = f(x) = x 2 + 2x−5 x−1 trên [2;4]
Bài toán 1.13 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau. y = |24x 3 −162x 2 + 324x−192| trên
8 Suy ra min x∈[ −1; 5 2] y = 0 tại x = 2 hoặc x = 19−√
Bây giờ ta đi tìm GTLN.
Bài toán 1.14 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau. a) y = √ x−2 +√
4−x b) y = x 2 −ln(1−2x) trên [-2;0] c) y = xe x trên [-2;2] d) y = sin 2x−x trên h−π
2 tại x = 2 và x = 4 min x∈[2;4]y = 2 tại x = 3 b) y = x 2 −ln(1−2x) trên [-2;0]
Vậy max x∈[−2;0]f(x) = 4−ln 5 tại x = −2 x∈[−2;0]min f(x) = 1
2 c) y = xe x trên [-2;2] y 0 = e x + xe x y 0 = 0 ⇔e x +xe x = 0 ⇔ e x (1 +x) = 0 ⇔ e x = 0(vn) x = −1
Khi đó y(−2) = −2e −2 ;y(−1) = −1 e; y(2) = 2e 2 Vậy max x∈[−2;2]y = 2e 2 tại x = 2 x∈[−2;2]min y = −2e −2 tại x = −2 d) y = sin 2x−x trên h
Vậy x∈[−2;2]max y = −1 tại x = 0 min x∈[−2;2]y = 2−e 2 tại x = 2 f) y = e x cosx trên h 0; π 2 i
Ta có y 0 = e x cosx−e x sinx = e x (cosx−sinx) y 0 = 0 ⇔ e x (cosx−sinx) = 0 ⇔ e x = 0(vn) cosx−sinx = 0
Bài toán 1.15 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau. a) y = x+√
2 tại x = 1 x∈[−1;2]min y = 0 tại x = −1 c) y = ln 2 x x trên [1;e 3 ]
Ta có y 0 x.2 lnx.1 x −ln 2 x x 2 = 2 lnx−ln 2 x x 2 y 0 = 0 ⇔ 2 lnx−ln 2 x = 0 ⇔ lnx = 0 ⇒ x = 1 lnx = 2 ⇒ x = e 2
Khi đó y(1) = 0;y(e 2 ) = 4 e 2 ;y(e 3 ) = 9 e 3 Vậy x∈[1;emax 3 ]y = 4 e 2 tại x = e 2 x∈[1;emin 3 ]y = 0 tại x = 1
Bài toán 1.16 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau. y = x 6 + 4(1 −x 2 ) 3 với x ∈ [−1; 1]
Lời giải. Đặt t= x 2 , thì 0 ≤t ≤ 1 Khi đó. y = x 6 + 4(1−x 2 ) 3 = t 3 + 4(1 −t) 3 = −3t 3 + 12t 2 −12t+ 4
Bài toán 1.17 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau. y = cosx+ 1
Bài toán 1.18 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau. a) y = sinx+ 1 sin 2 x+ sinx+ 1 b) y = sinx+ cosx+ sinxcosx c) y = sin 4 x+ cos 4 x+ sinxcosx+ 1. d) y = √ x+ 1−√
Lời giải. a)y = sinx+ 1 sin 2 x+ sinx+ 1 Đặt: t = sinx với −1 ≤t ≤ 1.
Bài toán chuyễn về tìm GTLN - GTNN của hàm số y = t+ 1 t 2 +t+ 1 trên [−1; 1] y 0 = −t 2 −2t (t 2 +t+ 1) 2 y 0 = 0 ⇔ −t 2 −2t = 0 ⇔ t = 0 t = −2 (loại)
3 Vậy maxx∈ R y = 1 tại x = kπ minx∈ R y = 0 tại x = −π
2 +k2π b) y = sinx+ cosx+ sinxcosx Đặt t= sinx+ cosx = √
Ta quy về bài toán tìm GTLN - GTNN của hàm số y = 1
Ta quy về bài toán tìm GTLN - GTNN của hàm số y = −1
2 q (x+ 1)(3−x) = 4−t 2 Theo bất đảng thức côsi ta có
Ta quy về bài toán tìm GTLN - GTNN của hàm số y = t 2
Bài 1 Tìm GTLN - GTNN của hàm số sau.
Bài 2 Tìm GTLN - GTNN của hàm số sau. a) y = x 3 −6x 2 + 9x trên [0;4] b) y = −x 2 + 4x+ 1 trên [-1;3] c) y = x+√
Bài 3 Tìm GTLN - GTNN của hàm số sau. a) y = 5 sinx−cos 2x b) y = cos 2 x+ 4 cosx c) y = cos 2x+ 4 cosx+ 1 d) y = 2 cos 3 x− 9
2 cosx trên [0; π 2 ] f) y = 3 sinx−4 sin 3 x trên [− π 2 ; π 2 ] g) y = 2 sinx−1 sinx+ 2 h) y = 2 sin 2 x−cosx+ 1
Bài 4 Tìm GTLN - GTNN của hàm số sau. a) y = x+ sinx trên [0;π] b) y = 2 sinx−1 trên [0;π] c) y = 6 cos 2 x+ cos 2 2x d) y = 2 sin 2 x+ 3 sin 2x−4 cos 2 x e) y = 2 sinx+ sin 2x trên [0; 3π 2 ] f) y = sin 3 x−3 sinx+ 1 g) y = sinx+ 1 sin 2 x+ sinx+ 1 h) y = cos 2 x−5 cosx+ 3 cosx−6 Bài 5 Tìm GTLN - GTNN của hàm số sau. a) y = (4 sinx−3 cosx) 2 −(4 sinx−3 cosx) + 1 b) y = 126x 4 −398x 3 + 27x 2 + 96x+ 52 trên [− 1 2 ; 2] c) y = √
Bài 6 Tìm GTLN - GTNN của hàm số sau. a) y = 3x+√
Bài 7 Tìm GTLN - GTNN của hàm số sau. a) y = (3−x)√ x 2 + 1 trên [0; 2] b) y = x 3 −3x 2 −9x+ 5 trên [−2; 2] c) y = x+ 2√ x trên [0; 4] d) y = x 2 + 16 x trên [ 1 3 ; 1] e) y = x 2 −3x x+ 1 trên [0; 3] f) y = 1 +√
Bài 8 Tìm GTLN - GTNN của hàm số sau. a) y = 2 sinx+ 3 sinx+ 1 trên [0; π 2 ] b) y = √
2 Tìm GTLN - GTNN của hàm số trên một khoảng:
* Phương pháp: Để tìm GTLN - GTNN của hàm số trên (a;b) ta thực hiện các bước sau.
- Giải phương trình y 0 = 0 Giả sử x 1 ;x 2 ; ;x n là các nghiệm của y 0 trên (a;b).
- Dựa vào bảng biến thiên, suy ra max x∈(a;b)y; min x∈(a;b)y
Bài toán 1.19 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau. a) y = x 4 +x 2 −2 b) y = x 3 −3x 2 + 3x+ 2 c) y = x 2 +x−1 x−1 trên
Vậy hàm số không tồn tại GTLN - GTNN. c) y = x 2 +x−1 x−1 trên
Không tồn tại GTLN. d) y = x 2 −x−6 x−2 trên (−∞; 1]
Vậy max x∈(−∞;1]y = 6 tại x = 1 Không tồn tại GTNN trên (−∞; 1] e) y = 3x 2 + 3
2 Bài toán 1.20 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau. y = 4px 2 −2x+ 3 + 2x−x 2
Bài toán 1.21 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau. a) y = x 2
2 tại x = −1 Không tồn tại GTLN
Bài toán 1.22 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau. y = x 2 −2x+ 2017 x 2
2017 tại x = 2017 Không tồn tại GTLN
Bài toán 1.23 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau. y = 3 x−1 + 3 −x−1
(Áp dụng công thức a m+n = a m a n và a −n = 1 a n ) Đặt 3 x = t với t > 0.
Hàm số trở thành y = 1 3 t+ 1 t với t > 0 y 0 = 1 3
3 tại x = 0 Không tồn tại GTLN
Bài 1 Tìm GTLN - GTNN của hàm số. a) y = √ x+ 2 +√
Bài 2 Tìm GTLN - GTNN của hàm số. a) y = (3−x)√ x 2 + 1 b) y r x+ 1 x với x > 0 c) y = −x+√
Bài 3 Tìm GTLN - GTNN của hàm số. a) y = −2x 2 + 8x+ 1 b) y = 4x 3 −3x 4 c) y = 3x 2 + 6x−2 d) y = 2x 4 + 3x 2 −3 e) y = (x+ 2) 2 x f) y = x+ 1
Một số bài có tham số
Bài toán 1.24 Tìm tất cả giá trị m để hàm số y = x 3 + (m 2 + 1)x+m+ 1 đạt GTLN bằng 5 trên đoạn [0; 1]
Suy ra hàm số luôn đồng biến trên [0; 1]
Bài toán 1.25 Tìm tất cả giá trị m để hàm số y = mx+ 1 x−m đạt GTLN bằng −2 trên đoạn [1; 2]
Do đó hàm số luôn nghịch biến trên đoạn [1; 2]
Bài toán 1.26 Tìm tất cả giá trị m để hàm số y = 2x+m −1 x+ 1 đạt GTNN bằng 1 trên đoạn [1; 2]
+ Nếu −m + 3 > 0 ⇔ m < 3 thì hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác đinh nên x∈[1;2]min y = y(1) ⇔ 1 = m + 1
+ Nếu −m+ 3 < 0 ⇔m > 3 thì hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác đinh nên min x∈[1;2]y = y(2) ⇔1 = m+ 3
3 ⇔m = 0 (loại) Vậy với m = 1 thì hàn số đạt GTNN bằng 1 trên [1; 2]
Bài toán 1.27 Tìm tất cả giá trị m để hàm số y = x−m 2 +m x+ 1 đạt GTNN bằng −2 trên đoạn [0; 1]
Do đó hàm số luôn đồng biến trên đoạn [0; 1] nên x∈[0;1]min y = y(0) ⇔ −2 = −m 2 +m ⇔m 2 −m−2 = 0 ⇔ m = −1 m = 2
Bài toán 1.28 Biết rằng GTLN của hàm số y = ln 2 x x trên [1;e 3 ] bằng
M = m e n , trong đó m, n là những số tự nhiên Tính S = m 2 + 2n 3
Ta có y 0 = 2 lnx−ln 2 x x y 0 = 0 ⇔ 2 lnx−ln 2 x = 0 ⇔ lnx = 0 lnx = 2 ⇔ x = 1 x = e 2
Bài toán 1.29 Xác định a và b để hàm số y = ax+b x 2 + 1 đạt giá trị lớn nhất bằng 4, giá trị nhỏ nhất bằng −1
Theo giả thuyết ta có
Bài 1 Tìm giá trị m để hàm số a) y = x−m 2 x+ 1 trên [1; 2] đạt GTNN bằng 0 b) y = 1
3x 3 −mx 2 + (2m 2 −2m + 3)x+ 1 trên [1; 3] đạt GTNN bằng 11
3 c) y = 2mx+ 1 m−x trên [2; 3] đạt GTLN bằng −1
3 d) y = −x 3 −3mx 2 + 2 trên [0; 3] đạt GTNN bằng 2 e) y = 2x−m x+ 1 trên [0; 1] đạt GTLN bằng 1 f) y = x+ m 2 +m x−1 trên [2; 8] đạt GTNN bằng 8 g) y = x−m 2 x+ 8 trên [0; 3] đạt GTLN bằng −2 h) y = 2x−m x+ 1 trên [0; 1] đạt GTLN bằng 1 i) y = 4x 2 −4ax+a 2 −2a đạt giá trị nhỏ nhất trên [-2;0] bằng 2
