KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN
1 Khái niệm về hình đa diện
Hình lăng trụ và hình chóp là những hình không gian được tạo thành từ một số hữu hạn đa giác Các đa giác này có những đặc điểm quan trọng: a) Hai đa giác phân biệt chỉ có thể không giao nhau, có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung; b) Mỗi cạnh của một đa giác là cạnh chung của đúng hai đa giác Mỗi đa giác được coi là một mặt của hình đa diện (H), và các đỉnh, cạnh của chúng được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện (H).
Người ta gọi các hình đó là hình đa diện
Hình đa diện, hay còn gọi là đa diện (H), là một hình được hình thành từ một số hữu hạn các đa giác, đáp ứng hai tính chất cơ bản Mỗi đa giác trong cấu trúc này được gọi là mặt của đa diện, trong khi các đỉnh và cạnh của đa giác lần lượt được gọi là đỉnh và cạnh của đa diện.
2 Khái niệm về khối đa diện
Khối đa diện là không gian được bao bọc bởi một hình đa diện, bao gồm cả hình đó Để tìm hiểu thêm, bạn có thể đăng ký tại Zalo 0383572270 Thích Học Chui hoặc truy cập vào trang web http://thichhocchui.xyz/.
Các điểm không thuộc khối đa diện được gọi là điểm ngoài, trong khi các điểm thuộc khối đa diện nhưng không nằm trong hình đa diện giới hạn được gọi là điểm trong Tập hợp các điểm trong tạo thành miền trong, còn tập hợp các điểm ngoài hình thành miền ngoài khối đa diện.
Mỗi đa diện (H) phân chia không gian thành hai miền không giao nhau: miền trong và miền ngoài Trong đó, chỉ có miền ngoài chứa hoàn toàn một đường thẳng d nào đó.
Khối đa diện (H) là hợp của hình đa diện (H) và miền trong của nó.
HAI HÌNH BẲNG NHAU
1 Phép dời hình trong không gian và sự bằng nhau giữa các khối đa diện.
Trong không gian quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M’ xác định duy nhất được gọi là một phép biến hình trong không gian.
Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm tùy ý.
Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình.
Phép dời hình là quá trình biến một đa diện H thành đa diện H' bằng cách chuyển đổi các đỉnh, cạnh và mặt của H thành các phần tương ứng của H' Cụ thể, phép dời hình tịnh tiến theo vector v r sẽ biến điểm M thành M’ sao cho M' = M + v r.
Phép đối xứng qua mặt phẳng (P) là một phép biến hình đặc biệt, trong đó mọi điểm thuộc mặt phẳng (P) sẽ được giữ nguyên, trong khi điểm M không thuộc (P) sẽ được biến đổi thành điểm M’ Điều kiện quan trọng là mặt phẳng (P) phải là mặt phẳng chung trực của đoạn thẳng MM’.
Nếu một hình biến hình (H) trở lại chính nó qua phép đối xứng qua mặt phẳng (P), thì mặt phẳng (P) được gọi là mặt phẳng đối xứng của (H) Bên cạnh đó, phép đối xứng tâm O là phép biến hình mà điểm O trở thành chính nó, trong khi điểm M khác O sẽ biến thành điểm M’ sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng MM’.
Nếu phép đối xứng tâm O biến hình (H) thành chính nó, thì O được gọi là tâm đối xứng của (H) Đường thẳng d biến điểm thuộc d thành chính nó và biến điểm M không thuộc d thành điểm M', với d là trung trực của đoạn MM' Phép đối xứng qua đường thẳng d còn được gọi là phép đối xứng qua trục d.
Nếu phép đối xứng qua đường thẳng d biến hình (H) thành chính nó thì d được gọi là trục đối xứng của (H).
Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.
Hai đa diện được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình đa diện này thành hình đa diện kia
Hai tứ diện có các cạnh tương ứng bằng nhau thì bằng nhau.
PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP KHỐI ĐA DIỆN
Nếu khối đa diện (H) là hợp của hai khối đa diện (H1) và (H2) mà không có điểm chung, thì khối đa diện (H) có thể được chia thành hai khối đa diện (H1) và (H2) Điều này có nghĩa là chúng ta có thể lắp ghép hai khối đa diện (H1) và (H2) để tạo thành khối đa diện (H).
Mặt phẳng BDD’B’ cắt khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ tạo ra thiết diện hình chữ nhật BDD’B’ Thiết diện này chia khối lập phương thành hai phần, mỗi phần kết hợp với hình chữ nhật BDD’B’ tạo thành hai khối lăng trụ: ABD.A’B’D’ và BCD.B’C’D’ Do đó, mặt phẳng (P) chia khối lập phương thành hai khối lăng trụ khác nhau.
Tương tự trên ta có thể chia tiếp khối trụ ABD.A’B’D’ thành ba khối tứ diện: ADBB’, ADB’D’ và
AA’B’D’ Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ tại Zalo 0383572270 Thích Học Chui
Nhận xét: Một khối đa diện bất kì luôn có thể phân chia được thành các khối tứ diện.
KHỐI ĐA DIỆN LỒI
Khối đa diện (H) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của (H) luôn thuộc
(H) Khi đó đa diện giới hạn (H) được gọi là đa diện lồi (Hình 2.1).
Một khối đa diện được coi là lồi khi miền trong của nó luôn nằm về một phía đối với mỗi mặt phẳng cắt qua một mặt của khối.
Công thức ƠLE: Trong một đa diện lồi nếu gọi Đ là số đỉnh, C là số cạnh, M là số mặt Đ-C+M=2
KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU
Khối tư diện đều có các mặt là tam giác đều, với mỗi đỉnh chung cho ba mặt Tương tự, khối lập phương cũng có cấu trúc đặc biệt với các mặt vuông.
Khối đa diện đều là những hình khối lồi có các đặc điểm nổi bật Mỗi mặt của khối này là một đa giác đều với p cạnh, và mỗi đỉnh của nó là điểm chung của đúng q mặt Các khối đa diện đều có hình dạng đối xứng và cấu trúc đồng nhất, tạo nên sự hấp dẫn trong hình học.
Khối đa diện đều như vậy được gọi là khối đa diện đều loiaj {p;q}
Các mặt của khối đa diện đều là những đa giác đều và bằng nhau Chỉ có năm loại khối đa diện đều, bao gồm các loại {3,3}, {4,3}, {3,4}, {5,3}, và {3,5} Để tìm hiểu thêm về các khối đa diện như khối lập phương, khối tám mặt đều, khối mười hai mặt đều, và khối hai mươi mặt đều, hãy đăng ký tại [thichhocchui.xyz](http://thichhocchui.xyz/) hoặc liên hệ qua Zalo 0383572270.
Năm khối đa diện đều
Tứ diện đều Khối lập phương
Khối mười hai mặt đều
Khối hai mươi mặt đều
Hai khối đa diện đều có cùng số mặt và có cạnh bằng nhau thì bằng nhau.
Hai khối đa diện đều có cùng số mặt thì đồng dạng với nhau.
Bảng tóm tắt của năm loại khối đa diện đều Khối đa diện đều
Khối Mười Hai Mặt Đều 20 30 12 {5, 3}
Khối Hai Mươi Mặt Đều 12 30 20 {3, 5} Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ tại Zalo 0383572270 Thích Học Chui
Câu 1: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A Chỉ có năm loại hình đa diện đều.
B Hình hộp chữ nhật có diện tích các mặt bằng nhau là hình đa diện đều
C Trọng tâm các mặt của hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều
D Hình chóp tam giác đều là hình đa diện đều.
Trong không gian ba chiều, tồn tại đúng năm khối đa diện đều lồi, được coi là các khối đa diện duy nhất mà tất cả các mặt, cạnh và góc ở đỉnh đều bằng nhau.
Tứ diện đều Khối lập phương
Khối mười hai mặt đều
Khối hai mươi mặt đều => A đúng
+ Hình chóp tam giác đều là hình tứ diện đều → D đúng
+ Hình hộp chữ nhật có diện tích các mặt bằng nhau là khối lập phương → B đúng
+ Trọng tâm các mặt của hình tứ diện đều không thể là các đỉnh của một hình tứ diện đều → C sai.
Câu 2: Hình đa diện nào dưới đây không có tâm đối xứng?
A Tứ diện đều B Bát diện đều C Hình lập phương D Lăng trụ lục giác đều
Câu 3: Khái niệm nào sau đây đúng với khối chóp?
A là hình có đáy là một đa giác và các mặt bên là các tam giác có chung một đỉnh
B là phần không gian được giới hạn bởi hình chóp và cả hình chóp đó
C là phần không gian được giới hạn bởi hình chóp
D là khối đa diện có hình dạng là hình chóp
Nhiều độc giả có thể nhầm lẫn giữa hình chóp và khối chóp, vì vậy cần phân biệt rõ ràng giữa hai khái niệm này Hình chóp là một đối tượng hình học hai chiều, trong khi khối chóp là một đối tượng ba chiều Việc phân biệt hình đa diện và khối đa diện cũng rất quan trọng để hiểu rõ hơn về các khái niệm này.
Hình đa diện là một cấu trúc hình học được hình thành từ một số lượng hữu hạn các đa giác, với hai đặc điểm chính: Thứ nhất, bất kỳ hai đa giác nào trong hình đều không có điểm chung, hoặc chia sẻ một đỉnh, hoặc có một cạnh chung Thứ hai, mỗi cạnh của các đa giác chỉ là cạnh chung của đúng hai đa giác.
Khối đa diện là không gian được bao bọc bởi một hình đa diện, bao gồm cả hình đó Trong các đáp án, ý A định nghĩa hình chóp, ý B mô tả khối chóp, trong khi ý C là mệnh đề thiếu và ý D là sai.
Câu 4: Mỗi đỉnh của một hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ tại Zalo 0383572270 Thích Học Chui
Hướng dẫn giải bài tập khối đa diện đều được thực hiện theo lý thuyết trong sách giáo khoa Để hiểu rõ hơn, các em có thể tham khảo thêm các dạng toán liên quan trong sách hình học lớp 12, cụ thể là các bài tập 1, 2, 3, 4 trang 25 và bài 5, 6 trang 26.
Câu 5: Hãy chọn cụm từ (hoặc từ) cho dưới đây để sau khi điền nó vào chỗ trống mệnh đề sau trở thành mệnh đề đúng:
“Số cạnh của một hình đa diện luôn……….số đỉnh của hình đa diện ấy”
A nhỏ hơn B nhỏ hơn hoặc bằng C lớn hơn D bằng
Câu 6: Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng ?
A Tồn tại một đa diện đều có 2 mặt là 2 đa giác không bằng nhau.
B Nếu hình chóp tứ giác S.ABCD là hình chóp đều thì nó cũng là đa diện đều.
C Nếu một đa diện mà mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh chung của đúng 3 mặt thì tổng số đỉnh của nó phải là số chẵn.
D Nếu lăng trụ tam giác ABC A B C ’ ’ ’ là lăng trụ đều thì nó cũng là đa diện đều.
Hướng dẫn giải: Đa diện đều có tất cả các mặt là các đa giác bằng nhau
Không tồn tại đa diện đều có 5 và 6 đỉnh, do đó chóp S.ABCD và lăng trụ ABC A B C ’ ’ ’ không thể là đa diện đều.
Nếu mỗi đỉnh của đa diện là đỉnh chung của đúng 3 mặt, thì nó cũng sẽ là đỉnh chung của đúng 3 cạnh Giả sử số đỉnh của đa diện là n, thì số cạnh của nó sẽ phải là 3.
2 n (vì mỗi cạnh được tính 2 lần), do đó n chẵn.
Câu 7: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD Nhận định nào sau đây không đúng :
A Hình chóp S.ABCD có các cạnh bên bằng nhau
B Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng đáy là tâm của đáy.
D Hình chóp có các cạnh bên hợp với mặt phẳng đáy một góc.
Hình chóp đa giác đều là một hình chóp có đáy là một đa giác đều, với hình chiếu của đỉnh xuống đáy trùng với tâm của đáy Cụ thể, hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD, và hình chiếu của đỉnh S xuống đáy chính là tâm của hình vuông ABCD.
Trong không gian hai vectơ \( \mathbf{u} \) và \( \mathbf{v} \), với điểm M bất kỳ, ảnh của M qua phép biến hình \( T_{\mathbf{u}} \) được gọi là \( M_1 \), và ảnh của \( M_1 \) qua phép biến hình \( T_{\mathbf{v}} \) là \( M_2 \) Do đó, phép biến hình chuyển điểm M thành điểm \( M_2 \) được xác định bởi quá trình này.
A Phép tịnh tiến theo vectơ u v r r B Phép tịnh tiến theo vectơ u r
C Phép tịnh tiến theo vectơ r v D Một phép biến hình khác
Theo định nghĩa phép tịnh tiên vectơ Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ tại Zalo 0383572270 Thích Học Chui
� �� r r uuuuur r uuuuur uuuuuur r r uuuuur r r uuuuuur r u v
Như vậy, phép biến hình biến điểm M thành đểm M 2 là phép tịnh tiến theo vectơ u v r r
Câu 9: Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến một đường thẳng thành chính nó?
Câu 10: Trong không gian cho hai đường thẳng a và b song song với nhau Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng a thành đường thẳng b?
Câu 11: Trong không gian cho (P) và (Q) là hai mặt phẳng song song Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau
A Không có phép tịnh tiến nào biến (P) thành (Q)
B Có duy nhất một phép tịnh tiến biến (P) thành (Q)
C Có đúng hai phép tịnh tiến biến (P) thành (Q)
D Có vô số phép tịnh tiến biến (P) thành (Q)
Câu 12 : Trong không gian cho hai tam giác ABC và A’B’C’ bằng nhau (
AB A B AC A C BC B C ) Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau
A Không thể thực hiện một phép tịnh tiến nào biến tam giác này thành tam giác kia
B Tồn tại duy nhất một phép tịnh tiến nào biến tam giác này thành tam giác kia
C Có nhiều nhất hai phép tịnh tiến nào biến tam giác này thành tam giác kia
D Có thể thực hiện vô số phép tịnh tiến biến tam giác này thành tam giác kia
Để thực hiện phép tịnh tiến biến tam giác ΔABC thành ΔA'B'C', cần đảm bảo rằng hai tam giác ABC và A'B'C' nằm trên hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau, với điều kiện rằng AB = A'B' và AC = A'C'.
Khi đó phép tịnh tiến theo vectơ u r uuuur A A ' biến A B C' ' ' thànhABC và phép tịnh tiến theo vectơ
' r uuuur v A A biến A B C' ' ' thành ABC Như vậy chỉ có hai phép tịnh tiến biến tam giác này thành tam giác kia
Câu 13: Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC
Phép tịnh tiến theo vectơ 1
2 r uuur u AD biến tam giác 'IA J thành tam giác Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ tại Zalo 0383572270 Thích Học Chui
C KDC với K là trung điểm của A’D’ D DC’D’
Gọi T là phép tịnh tiến theo vectơ 1
Hai mặt phẳng α và β song song với nhau Cho điểm M bất kỳ, M1 là ảnh của M qua phép đối xứng Đα, và M2 là ảnh của M1 qua phép đối xứng Đβ Phép biến hình f = Đα ° Đβ biến điểm M thành M2.
A Một phép biến hình khác B Phép đồng nhất
C Phép tịnh tiến D Phép đối xứng qua mặt phẳng
Gọi I, J lần lượt là trung điểm của
MM IM M J IJ u (Không đổi)
Vậy M 2 là ảnh của M qua phép tịnh tiến u r
Câu 15: Trong không gian một tam giác đều có mấy mặt phẳng đối xứng?
Trong không gian, tam giác đều ABC có bốn mặt phẳng đối xứng, bao gồm ba mặt phẳng trung trực của các cạnh và một mặt phẳng chứa tam giác ABC.
Câu 16: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A’B’C’D’ có các kích thước là a, b, c a b c Hình hộp chữ nhật này có mấy mặt đối xứng
Hình hộp chữ nhật ABCD A’B’C’D’ có 3 mặt đối xứng, đó là các mặt phẳng trung trực AB, AD, Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ tại Zalo 0383572270 Thích Học Chui
Câu 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với (ABCD) Hình chóp này có mặt đối xứng nào?
A Không có B SAB C SAC D SAD
Trong hình học, nếu BD là đoạn thẳng với O là trung điểm của BD, thì mặt phẳng SAC sẽ là mặt phẳng trung trực của BD Điều này cho thấy SAC là mặt đối xứng của hình chóp, và đây là mặt phẳng duy nhất trong trường hợp này.
LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1) Nếu khối chóp đã cho có chiều cao h và diện tích đáy B thì thể tích tính theo công thức V 1B.h
Để tính thể tích của khối chóp khi chưa biết chiều cao, cần xác định vị trí chân đường cao trên đáy Đối với chóp có cạnh bên vuông góc với chiều cao, cạnh bên sẽ là cạnh chính Nếu chóp có hai mặt bên vuông góc với đáy, giao tuyến của hai mặt bên sẽ tạo ra đường cao Trong trường hợp chóp có mặt bên vuông góc với đáy, chiều cao sẽ là chiều cao của mặt bên đó Chóp đều có chiều cao hạ từ đỉnh đến tâm của đa giác đáy Cuối cùng, hình chiếu vuông góc của một đỉnh lên mặt đáy sẽ thuộc cạnh mặt đáy của đường cao, từ đỉnh tới hình chiếu.
Chú ý: Các công thức tính diện tích đáy a) Tam giác:
S 1 bc sin A 1 ca.sin B 1 ab sin C
ABC vuông tại A: 2S AB.AC BC.AH
4 b) Hình vuông cạnh a: S = a 2 (a: cạnh hình vuông) c) Hình chữ nhật: S = a.b (a, b: hai kích thước) d) Hình bình hành ABCD: S = đáy cao = AB.AD.sinBAD� e) Hình thoi ABCD: S AB.AD.sinBAD� 1AC.BD
2 f) Hình thang: S 1 2 a b h (a, b: hai đáy, h: chiều cao) g) Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc: S 1AC.BD
2 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ tại Zalo 0383572270 Thích Học Chui
Câu 1: Thể tích (cm 3 ) khối tứ diện đều cạnh bằng 2
Gọi cạnh tứ diện đều là a Dễ dàng tinh được V = a 3 2
Câu 2: Thể tích của khối bát diện đều cạnh a là:
Thề tích của khối chóp tứ giác đều có các cạnh bằng a có thể tích là V1 3 2
Mà thể tích của khối bát diện đều bằng 2V1 Do đó thể tích khối bát diện đều là V= 3 2 a 3 Chọn đáp án A.
Kim tự tháp Kê-ốp ở Ai Cập, được xây dựng khoảng 2500 năm trước Công nguyên, là một công trình kiến trúc vĩ đại với chiều cao 147m và cạnh đáy dài 230m Đây là một khối chóp tứ giác đều, và để tính thể tích V của khối chóp này, bạn có thể áp dụng công thức tính thể tích cho chóp tứ giác đều.
+ Thể tích của kim tự tháp Kê - ốp là 1.147.230 2 2592100 3
Để tính thể tích của hình chóp tứ giác đều S.ABCD với cạnh đáy bằng a và các cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 độ, ta áp dụng công thức tính thể tích hình chóp Thể tích V được tính bằng công thức V = (1/3) * diện tích đáy * chiều cao Diện tích đáy của hình chóp là a^2, và chiều cao có thể được xác định dựa trên góc 60 độ Từ đó, ta có thể tính được thể tích của khối chóp S.ABCD.
Gọi H là giao điểm của AC và BD Do S.ABCD là chóp đều nên SO (ABCD)
Theo giả thiết ta có SAO SBO SCO SDO� � � � 60 0
Trong tam giác OBS ta có tan 60 0 2 3 6
V S SO a a a Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ tại Zalo 0383572270 Thích Học Chui
Câu 5: Một khối chóp tam giác đều có cạnh bên bằng b, chiều cao h Khi đó thể tích khối chóp là:
Gọi M là trung điểm BC của hinh chóp S.ABC và H là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC) Khi đó AH= b 2 h 2 ,
2 b h Gọi x là cạnh của tam giác đều ABC suy ra
Diện tích tam giác ABC:
Câu 6: Tính thể tích của khối chóp S.ABCD có tất cả các cạnh bằng 1.
Gọi O là tâm của ABCD, ta có 1 1 1 2
Câu 7: Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên tạo với đáy một góc 60 0 Thể tích của khối chóp đó bằng:
Câu 8: Cho hình chóp tam giác đều S.ABCD, cạnh đáy bằng a Mặt bên tạo với mặt đáy một góc 60 0
Tính thể tích V của hình chóp S.ABC
Gọi các điểm như hình vẽ Theo đề suy ra SIA� 60 0
A H Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ tại Zalo 0383572270 Thích Học Chui
Để tính thể tích V của tứ diện AMNP trong hình chóp tứ giác đều S ABCD với cạnh AB bằng a và SA bằng a√2, ta xác định M, N, P là trung điểm của các cạnh SA, SB và CD Việc tính toán thể tích sẽ dựa trên các thông số đã cho và vị trí của các điểm trung gian.
Gọi O là tâm của đáy ABCD Tính được SO= 6
8 3SO AB Chọn đáp án
Câu 10: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
60 0 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD
Gọi O là tâm hình vuông ABCD, M là trung điểm CD Khi đó
SO là đường cao hình chóp, góc SMO là góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp.
OM a SO OM a Suy ra
Câu 11: Khối chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a.
Khi đó độ dài đường cao h của khối chóp là:
Chọn đáp án B. Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ tại Zalo 0383572270 Thích Học Chui
Câu 12: Cho tứ diện đều ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA
Cho biết diện tích tứ giác MNPQ bằng 1, tính thể tích tứ diện ABCD
Ta chứng minh được MNPQ là hình vuông, suy ra cạnh tứ diện bằng 2, 2 2
Câu 13: Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau, đường cao của một mặt bên là a 3
Tính thể tích V khối chóp đó.
Gọi các đỉnh của hình chóp tứ giác đều như hình vẽ bên và đặt cạnh bằng AB2x Khi đó SO x 2,OH x suy ra
V SO AB Chọn đáp án B.
Để tạo ra một hình chóp tứ giác đều từ một tấm tôn hình vuông có cạnh dài 1 + √3, người ta tiến hành cắt tấm tôn thành các tam giác cân bằng nhau.
MAN NBP PCQ QDM sau đó gò các tam giác ABN BCP CDQ DAM, , , sao cho bốn đỉnh M N P Q , , , trùng nhau(hình vẽ)
Biết rằng, các góc ở đỉnh của mỗi tam giác cân là 150 0 Tính thể tích V của khối chóp đều tạo thành.
+ �AMN DMQ� 15 0 ��AMD60 0 �MAD đều
Vì vậy hình chóp tứ giác đều tạo thành có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng MA
+ Dễ dàng chứng minh được rằng: Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ tại Zalo 0383572270 Thích Học Chui
“Một khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng x thì có thể tích là 3 2
Trong cuộc thi làm đồ dùng học tập, bạn Bình lớp 12S2 trường THPT Trưng Vương đã sáng tạo ra một hình chóp tứ giác đều từ một tấm tôn vuông MNPQ với cạnh a Bạn đã cắt tấm tôn thành các tam giác cân MAN, NBP, PCQ, và QDM, sau đó gò các tam giác ANB, BPC, CQD, và DMA để bốn đỉnh M, N, P, Q trùng nhau Hình chóp này có thể tích lớn nhất được xác định từ các thông số trên.
Gọi cạnh hình vuông ABCD là x thì đường cao mặt bên là: SM= 2
a x suy ra chiều cao của phối chóp SO 1 2
6x a ax lập bbt suy ra V lớn nhất tại x = 2 2
Câu 16: Cho hình chóp lục giác đều SABCDEF có SA5;AB3 Tính thể tích khối chóp SABCDE.
Lục giác ABCDEF là một lục giác đều, được hình thành từ 6 tam giác đều AOB sắp xếp theo chiều kim đồng hồ Chúng ta cần xác định hai yếu tố quan trọng liên quan đến cấu trúc và tính chất của lục giác này.
Chiều cao (để ý tam giác AOB đều nên OA AB 3):
h SO SA OA Diện tích để ý diện tích ngũ giác ABCDE bằng 5 lần diện tích tam giác AOB nên ta có:
N M Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ tại Zalo 0383572270 Thích Học Chui
Để tính thể tích của khối tám mặt đều (khối octahedron) được tạo ra từ việc gọt mô ôt khối lập phương, trước tiên cần biết rằng các đỉnh của khối octahedron là các tâm của các mặt của khối lập phương Nếu cạnh của khối lập phương là a, thể tích của khối tám mặt đều sẽ được tính bằng công thức V = (1/3) * a^3.
Dựng được hình như hình bên
+ Thấy được thể tích khối cần tính bằng 2 lần thể tích của hình chóp S.ABCD
+ Nhiê ôm vụ bây giờ đi tìm thể tích của S.ABCD
+ ABCD là hình vuông có tâm O đồng thời chính là hình chiếu của S lên mă ôt đáy
SO ; BD cạnh của hình lâ ôp phương a Suy ra các cạnh của hình vuông 2
Câu 18: Cho hình chóp đều S ABC có đáy cạnh bằng a, góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng
ABC bằng 60� Gọi A � , B � , C � tương ứng là các điểm đối xứng của A, B, C qua S Thể tích của khối bát diện có các mặt ABC , A B C���, A BC� , B CA� , C AB� , AB C��, BA C��, CA B�� là
Cách 1: Ta tính thể tích khối chóp S ABC: Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ tại Zalo 0383572270 Thích Học Chui
Gọi H là tâm tam giác ABC đều cạnh a 3
CH Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng 60 0
Cách 2: Ta có thể tích khối chóp S ABC là:
Diện tích tam giác SBC là: 2 39
Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC là:
Tứ giác BCB C' ' là hình chữ nhật vì có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
Thể tích khối 8 mặt cần tìm là: V 2 1 3 d A SBC , S BCB C ' ' 2 a 3 3 3
Cách 3 (Tham khảo lời giải của Ngọc HuyềnLB).
Thể tích khối bát diện đã cho là 2 ' ' ' 2.4 ' 8 8.1
Ta có: � SA ABC ; SAG � 60 0 Xét SGA vuông tại G:
AG Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ tại Zalo 0383572270 Thích Học Chui
Chọn đáp án A. Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ tại Zalo 0383572270 Thích Học Chui
HÌNH CHÓP CÓ MỘT CẠNH VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY
Câu 1: Cho tứ diện ABCD có các cạnh BA, BC, BD đôi một vuông góc với nhau:
BA = 3a, BC = 2a Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AD Tính thể tích khối chóp
Khối chóp C BDNM có CB là đường cao nên có thể tích
+ Tứ giác BDNM là hình thang vuông tại B, M do MN là đường trung bình của tam giác ABD nên có diện tích:
Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình cữ nhật, SA vuông góc với mặt đáy (ABCD),
AB a AD a Góc giữa cạnh bên SB và mặt phẳng (ABCD) bằng 45 0 Thể tích hình chóp
Câu 3: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA a và vuông góc với đáy, M là trung điểm của SD Thể tích khối chóp MACD là:
Hướng dẫn giải: Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ tại Zalo 0383572270 Thích Học Chui của khối chóp MACD là:
Câu 4: Cho hình chóp S.ABC có AB a BC a , 3,AC a 5 và SA vuông góc với mặt đáy, SB tạo với đáy góc 45 0 Thể tích của khối chóp S.ABC là:
SB tạo với đáy góc 45 0 nên SA AB a Áp dụng công thức Hê rông, có
(sử dụng máy tính để tính biểu thức trong dấu căn)
Để tính thể tích của hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình vuông cạnh 1 và cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), ta cần biết chiều cao của hình chóp Với SC = 5, ta có thể xác định chiều cao từ đỉnh S đến mặt phẳng đáy ABCD Thể tích của hình chóp được tính bằng công thức: V = (1/3) * diện tích đáy * chiều cao Diện tích đáy ABCD là 1, do đó thể tích khối chóp S.ABCD là V = (1/3) * 1 * 5 = 5/3.
Hướng dẫn giải: Đường chéo hình vuông AC 2
Xét tam giác SAC, ta có SA SC 2 AC 2 3
Chiều cao khối chóp là SA 3
Diện tích hình vuông ABCD là S ABCD 1 2 1
Thể tích khối chóp S.ABCD là:
Hình chóp S.ABC có đáy ABC là một tam giác vuông tại A với các cạnh AB = a và AC = a² Đỉnh S nằm vuông góc với mặt phẳng đáy Góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt đáy là 30 độ Thể tích của hình chóp S.ABC cần được tính toán theo các thông số đã cho.
BC 2 = AB 2 + AC 2 BC 2 = a 2 2 a 2 � BC = a 3
AH BC AB AC AH AB AC
Góc tạo bởi (SBC) và (ABC) là góc SHA
Câu 7: Cho hình chóp S.ABC có SA3a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Tam giác ABC có
AB BC , góc �ABC120 0 Tính thể tích khối chóp đã cho.
Câu 8: Cho hình chop S.ABCD có SC(ABCD), đáy ABCD là hình thoi có cạnh bằng a 3và
ABC Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng 45 0 Tính theo a thể tích khối chop S ABCD.
C H Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ tại Zalo 0383572270 Thích Học Chui
Câu 9: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh AB a AD a , 2,
SA ABCD góc giữa SC và đáy bằng 60 0 Thể tích hình chóp S.ABCD bằng:
Theo bài ra ta có, SA ABCD , nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD).
��SC ABCD � SC AC SCA
Xét ABC vuông tại B, có
Xét SAC vuông tại A, có SA ABCD � SA AC
SCA SA AC SCA AC a a
AC Vậy thể tích hình chóp S.ABCD là:
Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi tâm O, AB a 5;AC4 ,a SO2 2a Gọi
M là trung điểm SC Biết SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp M.OBC
Hướng dẫn giải: Để tính được thể tích của khối hình chóp M.OBC ta cần tính được diện tích đáy OBC và khoảng cách từ M đến đáy.
Kẻ MH / / SO H � OC , vì SO ABCD � MH ABCD � MH OBC
Nên d M OBC ; MH Áp dụng định lý Ta lét vào tam giác SOC ta có:
Do AC BD nên O AB 2 AO 2 5 a 2 2 a 2 a
S OBC OB OC a a a Thể tích khối chóp cần tính là
V MH S a a a Chọn đáp án C. Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ tại Zalo 0383572270 Thích Học Chui
Câu 11: Hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh AB a A , Da 2, SA ABC D góc giữa SC và đáy bằng 60 0 Thể tích hình chóp S.ABCD bằng:
SA ABCD nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD).
Xét ABC vuông tại B, có
Xét SAC vuông tại A, SA ABCD � SA AC
Ta có: tan SA � tan tan 600 3 3 3
SCA SA AC SCA AC a a
AC Vậy thể tích hình chóp S.ABCD là
Để tính thể tích V của hình chóp S.ABCD, với đáy ABCD là hình vuông cạnh a và cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, ta cần biết rằng góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là 45 độ và SC = 2a Thể tích của hình chóp được tính bằng công thức V = (1/3) * diện tích đáy * chiều cao Diện tích đáy ABCD là a², và chiều cao h có thể được xác định từ SC và góc 45 độ.
Vì SA ABCD nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD).
� SC ABCD SC AC SCA
Tam giác SAC vuông tại A nên:
Câu 13: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh BC = a 2, cạnh bên
Khối chóp S.ABC có mặt đáy ABC và đỉnh S vuông góc với mặt phẳng đáy Mặt bên SBC tạo với mặt đáy một góc 45 độ Thể tích của khối chóp này phụ thuộc vào cạnh a Để biết thêm chi tiết, bạn có thể truy cập vào trang web [thichhocchui.xyz](http://thichhocchui.xyz/) hoặc liên hệ qua Zalo số 0383572270.
* Ta có : AB = a 3, (SBC) � (ABC) = BC
Gọi M là trung điểm BC
AM BC ( vì ABC cân tại A)
((SBC),(ABC)) ( SM AM, )SMA45 o
* ABC vuông cân tại A có,BC = a 2 � AB = BC = a và
* SAM vuông tại A có AM= 2
Câu 14: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC cân tại A
Để tính thể tích của khối chóp SABC, ta cần xác định các góc mà cạnh bên SB tạo với mặt phẳng đáy và mặt phẳng trung trực của cạnh BC, cụ thể là 30 độ và 45 độ Khoảng cách từ điểm S đến cạnh BC được ký hiệu là a Việc áp dụng các công thức hình học liên quan sẽ giúp chúng ta tìm ra thể tích chính xác của khối chóp này.
Ta có SA ABC nên AB là hình chiếu của SB trên mặt phẳng ABC � SBA � 30 0 Gọi G là trung điểm BC, ta có ��� � �
BC SA là mặt phẳng trung trực của BC và
SM là hình chiếu của SB trên SAM � � BSM 45 0 � SBC vuông cân tại S Ta có
SM BC d SM a SB SC a BC a
Tam giác SBA vuông tại A, ta có sin 30 0 2
Trong tam giác vuông SAM, ta có:
C A Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ tại Zalo 0383572270 Thích Học Chui
Hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông ABCD với cạnh bằng a và tâm O Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và có độ dài SA = 2a Điểm I là trung điểm của SC, còn điểm M là trung điểm của DC Cần tính thể tích của khối chóp I OBM.
Tính thể tích của khối chóp I OBM:
Câu 16: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAD = 120 0 , SA vuông góc với
(ABCD) Gọi M, I lần lượt là trung điểm của BC và SB, góc giữa SM và (ABCD) bằng 60 0 Khi đó thể tích của khối chóp IABCD bằng
Ta có SA( ABCD ) nên AM là hình chiếu của SM trên mặt phẳng ( ABCD )
ABCcó AB BC a và �ABC 60 0 nên ABCđều.
Mà M là trung điểm của BC nên 3 3
AM Thể tích khối chóp I.ABCD là
Chọn đáp án B. Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ tại Zalo 0383572270 Thích Học Chui
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, với SA vuông góc mặt phẳng (ABCD) và góc giữa SC và mặt phẳng (SAB) là 30 độ Trung điểm của SA được gọi là M, và mặt phẳng (P) đi qua M, vuông góc với SC Mặt phẳng (P) cắt các cạnh SB, SC, SD tại các điểm N, E, F.
Tính theo a thể tích khối chóp S.MNEF.
Từ giả thiết ta có: ���� � � 30 0
BC SA là góc giữa SC với mp (SAB)
Từ đó: SBBC.cot 30 0 a 3, SA SB 2 AB 2 a 2
SB P tại E nên thể tích khối chóp S.MNEF được xác định bởi: 1
Do SA AC và SAAC a 2, nên SAC vuông cân tại A
MN SBC MN NE MN SB
MN BC do BC SAB
Hoàn toàn tương tự ta cũng có MFEF và
Chọn đáp án B. Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ tại Zalo 0383572270 Thích Học Chui
HÌNH CHÓP CÓ MẶT VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY