TỔNG QUAN
Giới thiệu
Trong những năm gần đây, kết cấu tấm nhiều lớp bằng vật liệu composite đã được ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực như hàng không, hàng hải và xây dựng, nhờ vào tính chất cơ học vượt trội như độ cứng cao so với trọng lượng Điều này đặc biệt quan trọng trong các kết cấu không gian vũ trụ, tàu ngầm và các công trình cao tầng Tuy nhiên, việc đạt được những lợi ích này thường đi kèm với sự phức tạp trong phân tích và mô hình tính toán Do đó, việc phát triển các lý thuyết phân tích phù hợp là cần thiết để dự đoán chính xác ứng xử của tấm ghép nhiều lớp dưới các loại tải trọng khác nhau.
Trong nhiều thập kỷ, phương pháp phần tử hữu hạn đã được công nhận là một công cụ hiệu quả cho việc phân tích các kết cấu tấm, vỏ và tấm composite Tuy nhiên, hiệu quả của phân tích tính toán phụ thuộc vào các yếu tố như mô hình toán học và lưới phần tử, cùng với việc tối ưu hóa tốc độ hội tụ của bài toán Do đó, việc tìm kiếm các phương pháp tính toán hiệu quả và đáng tin cậy trong phân tích là một nhu cầu thiết yếu.
Mục đích của đề tài
Mục đích của nghiên cứu này là kết hợp phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh ES-FEM với phần tử tam giác 3 nút, nhằm khắc phục hiện tượng "shear locking" bằng kỹ thuật nội suy hỗn hợp các thành phần của ten xơ MITC3 Phương pháp này, được gọi tắt là ES-MITC3, sẽ được áp dụng để phân tích ứng xử của tấm composite theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (HSDT).
Tổng quan tình hình nghiên cứu
1.3.1 Về tấm composite nhiều lớp:
Trong vài thập kỷ qua, các nhà khoa học đã nghiên cứu và giới thiệu nhiều lý thuyết để giải quyết ứng xử của tấm composite nhiều lớp, bao gồm lớp tương đương (ESL), zig-zag (ZZ), và lớp thông minh (LW) Lần đầu tiên, Noor đã đưa ra lý thuyết đàn hồi ba chiều (3D) nhằm cải thiện độ chính xác của ứng suất cắt ngang, tuy nhiên, chi phí tính toán tăng lên đáng kể Các lý thuyết tấm nhiều lớp cổ điển (CLPT) dựa trên giả thuyết Kirchhoff cung cấp kết quả hợp lý cho tấm mỏng, nhưng không phù hợp cho tấm dày do bỏ qua các hiệu ứng cắt ngang Để khắc phục điều này, nhiều giả thuyết biến dạng cắt đã được phát triển, trong đó Reissner và Mindlin đã đề xuất lý thuyết cắt biến dạng cắt bậc nhất (FSDT) với giả định ứng suất cắt ngang không đổi Tuy nhiên, các lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (HSDT) do Reddy, Matsunaga, Kant và Swaminathan, cùng Liu et al phát triển đã cải thiện độ chính xác và ổn định của ứng suất cắt ngang mà không cần sử dụng hệ số điều chỉnh biến dạng Nhiều nghiên cứu về lý thuyết biến dạng cắt bậc cao đã ra đời và đạt được những cải tiến đáng kể.
1.3.2 Về phần tử tấm tam giác 3 nút MITC3:
Vào năm 1970, Ahmad, Irons và Zienkiewicz đã giới thiệu một phần tử với tham số C0 độc lập, cho phép nội suy chuyển vị và góc xoay Phần tử này, được biết đến là các phần tử vỏ Reissner/Mindlin, sử dụng các hàm nội suy chỉ cần thỏa mãn điều kiện C0 và xem xét ảnh hưởng của biến dạng cắt Mặc dù có khả năng phân tích vỏ dày, phần tử này gặp phải vấn đề “khóa cắt” khi chiều dày tấm giảm Trong thập kỷ 1970, nhiều nghiên cứu về vỏ dựa vào phương pháp của Ahmad, Irons và Zienkiewicz nhằm khắc phục hiện tượng “khóa cắt” Tuy nhiên, giả thuyết về các dạng năng lượng bằng không đã làm giảm độ tin cậy của các kết quả nghiên cứu này.
Năm 1980, Bathe và Dvorkin đã giới thiệu phương pháp nội suy hỗn hợp các thành phần ten xơ (MITC), giúp giải quyết hiệu quả vấn đề khóa cắt trong các bài toán tấm và vỏ Phương pháp MITC đã chứng minh tính hiệu quả và độ tin cậy cao, đặc biệt là trong việc loại bỏ hiện tượng khóa cắt cho phần tử tứ giác Kỹ thuật này được áp dụng thành công với các phần tử 4 nút và 8 nút (MITC4 và MITC8) Sau đó, Bathe và Bucalem đã mở rộng phương pháp này với các phần tử 9 nút và 16 nút (MITC9 và MITC16).
Ngoài việc thành công trong việc sử dụng các phần tử tứ giác, nghiên cứu và ứng dụng các phần tử tam giác đang được chú trọng Các phần tử tam giác có lợi thế nổi bật trong việc rời rạc hóa hình học của các kết cấu phức tạp.
Do sự không đồng nhất trong hình học và điều kiện biên, cùng với tải trọng bất thường, ứng suất và chuyển vị của cấu trúc tấm vỏ thường thay đổi nhanh chóng, dẫn đến sự tập trung năng lượng biến dạng Để đạt được độ chính xác mong muốn, cần sử dụng một hệ lưới tốt hoặc chức năng nội suy bậc cao Gần đây, Kim và Bathe đã phát triển một phương pháp phần tử hữu hạn với hàm nội suy bậc cao, nhằm nâng cao độ chính xác mà không cần thay đổi hệ lưới, đồng thời giảm ứng suất nhảy giữa các phần tử Một số nghiên cứu gần đây liên quan đến vấn đề này bao gồm các tài liệu [4] [19-22] [30-34].
1.3.3 Về phương pháp phần tử hữu hạn trơn:
Trong nỗ lực cải tiến phương pháp PTHH, tác giả Liu và cộng sự đã áp dụng kỹ thuật làm trơn hóa biến dạng để phát triển công thức CS-FEM cho bài toán 2D trong cơ học vật rắn, nâng cao độ chính xác nhờ sử dụng các phần tử con trong mỗi phần tử Kỹ thuật này cũng được kết hợp với XFEM để giải quyết vấn đề rạn nứt trong cơ học vật rắn liên tục và cấu trúc tấm Một phương pháp khác là NS-FEM, được áp dụng trong phân tích thích nghi, và sau đó, kết hợp NS-FEM với FEM với hệ số tỷ lệ đã dẫn đến sự ra đời của phương pháp PTHH alpha (αFEM), cho kết quả năng lượng biến dạng gần đúng với giải pháp chính xác, sử dụng phần tử tam giác và tứ diện.
Năm 2008, Liu và cộng sự đã giới thiệu phương pháp PTHH trơn thông qua kỹ thuật dựa trên cạnh, gọi là Phương pháp Phần Tử Hữu Hạn Mượt Dựa Trên Cạnh (ES-FEM), nhằm phân tích tĩnh, dao động tự do và dao động cưỡng bức trong cơ học vật rắn hai chiều Kết quả nghiên cứu đã chứng minh rằng phương pháp ES-FEM đạt được nhiều thành tựu ấn tượng trong lĩnh vực này.
Mô hình ES-FEM mang lại kết quả hội tụ nhanh chóng và chính xác hơn so với phương pháp PTHH truyền thống, khi sử dụng phần tử tứ giác 4 nút với số lượng nút tương đương.
Phương pháp này không gặp phải hiện tượng suy biến dạng mode (spurious mode), do đó mang lại lời giải ổn định nhất cho bài toán phân tích dao động tự do.
Phương pháp này cho phép thiết lập trực tiếp mà không cần sử dụng thông số phạt, mang lại hiệu quả tính toán vượt trội so với phương pháp PTHH truyền thống, ngay cả khi số nút khảo sát giữ nguyên.
Phương pháp phần tử hữu hạn trơn đã được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực nghiên cứu, bao gồm phân tích vết nứt, phân tích kết cấu dạng tấm vỏ trong môi trường đa vật lý và phân tích phi tuyến hình học của kết cấu.
CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao
Hình 2.1 minh họa sự khác biệt giữa hình học ban đầu và hình học biến dạng trên một cạnh của tấm, áp dụng các lý thuyết tấm cổ điển (CLPT), biến dạng cắt bậc nhất (FSDT), và biến dạng cắt bậc 3 (TSDT).
Reddy [8] đã xây dựng trường chuyển vị của lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc cao dựa trên hàm xấp xỉ bậc 3 của chuyển vị như sau:
Trong đó: u, v, w: là các chuyển vị theo phương x, y, z
x , y : lần lượt là các góc xoay quanh trục y và trục x (Xem hình 2.2)
và y là các hàm được xác định từ điều kiện ứng suất tiếp thẳng góc bằng 0 ở mặt trên và mặt dưới tấm
Từ quan hệ giữa ứng suất tiếp và biến dạng trượt ta có: xz G xz
Điều kiện (2) tương đương với:
Thay x 0 vào (2.3.1) và (2.3.2) suy ra 4 2
Thực hiện tương tự với phương trình (2.3.3) và (2.3.4) ta có y 0
Thay , , , x y x y vừa tìm được vào (2.1) ta có:
Ta có trường chuyển vị (2.1) được viết lại như sau:
Trường chuyển vị 4 chứa 7 ẩn số độc lập u v w 0 0 0 x y x y cần xác định
d là các chuyển vị màng, w 0 là độ võng,
là các góc xoay quanh trục y, và trục x, x , y T là các hàm độ cong (Hình 2.2)
Hình 2.2 : Các chuyển vị u, v, w và các góc xoay x , y trong tấm
Từ trường chuyển vị (2.4) các biến dạng được xác định như sau:
Biến dạng trong mặt phẳng
Biến dạng ngoài mặt phẳng (biến dạng trượt) xz 2 s s yz
Quan hệ ứnng suất biến dạng trong một lớp composite của vật liệu trực hướng
Ứng suất trong mặt phẳng:
61 62 66 xx xx yy yy xy xy
Ứng suất ngoài mặt phẳng:
Với E1, E2 là các mô đun đàn hồi Young theo phương dọc và phương ngang sợi
ij : là các hệ số Poisson
G ij : là các mô đun đàn hồi trượt
Hình 2.3 : Tấm composite gia cường sợi một phường với hệ tọa độ tổng thể (x,y,z) và hệ tọa độ địa phương (x 1 ,x 2 ,x 3 )
Với lớp thứ k của tấm mối quan hệ giữa ứng suất biến dạng có dạng:
0 0 0 k k k k k xx k k k xx yy yy k k k xy xy k k yz yz xz k xz
4 sin cos sin cos sin 2 2 sin cos cos
Các thành phần nội lực trong tấm được xác định bằng cách lấy tích phân theo chiều dày tấm:
Lực tổng trong mặt phẳng:
N /2 ; xx xx h yy h yy xy xy
Mômen tổng ngoài mặt phẳng:
/2 d ; xx xx h yy h yy xy xy
Lực tổng ngoài mặt phẳng:
Rời rạc tấm bằng phần tử tam giác 3 nút MITC3
2.2.1 Phần tử tam giác 3 nút với phương pháp MITC r s 1
Hình 2.4 : Phần tử tam giác trong hệ tọa độ tự nhiên (a) và hệ tọa độ quy chiếu (b)
Phần tử tấm tam giác 3 nút dạng đẳng tham số được thể hiện như sau Dạng hình học của phần tử có thể viết lại dưới dạng:
Các đại lượng chuyển vị độc lập của phần tử được nội suy theo các chuyển vị nút tương ứng
Vectơ chuyển vị nút phần tử:
Ma trận Jacobi của phép biến đổi tọa độ
Quan hệ giữa các đạo hàm của các hàm N i theo r và s N i ; N i r s
với các đạo hàm theo x và y N i ; N i x y
Từ xấp xỉ (2.20) quan hệ giữa các biến dạng và chuyển vị của phần tử
(2.25) n=3 cho phần tử tam giác 3 nút
Theo phần tử hữu hạn ta có:
Ma trận độ cứng phần tử
( , , , , , ) (1, , , , , ) th , 1, 2,6 h ij ij ij ij ij ij ij h
( , , ) (1, , ) th , 4,5 h s s s ij ij ij ij h
Giải phương trình cân bằng: Kd = F để tìm các chuyển vị (2.34)
Việc chỉ sử dụng phương trình (2.34) để xác định các chuyển vị chỉ áp dụng hiệu quả cho các tấm có bề dày lớn hoặc vừa phải Đối với tấm mỏng, phương pháp này sẽ gây ra hiện tượng "khóa cắt" (Shear locking), làm giảm độ chính xác của kết quả Để khắc phục vấn đề này, cần phải xấp xỉ lại các biến dạng cắt bằng một hàm mới thông qua các "điểm buộc" (tying point) [4].
Hình 2.5 : Cách xác định biến dạng trượt ngang e qt
Theo Lee và Bathe [4] các biến dạng trượt ngoài mặt phẳng trong hệ tọa độ tự nhiên được xấp xỉ lại như sau:
Hình 2.6 : Vị trí các điểm “tying point” cho phần tử tam giác 3 nút
Các điều kiện ràng buộc:
Từ sáu điều kiện trên ta có:
1 rt a e ; b 1 0; c 1 e st (2) e rt (1) e st (3) e rt (3)
2 rt a e ; b 2 c 1 ; c 2 0 (2.40) Biến dạng trượt có thể được viết lại:
Trong đó: c e (2) st e rt (1) e st (3) e (3) rt
Quan hệ giữa các biến dạng cắt và các chuyển vị được viết lại
B k k d=B d r ij ij t n k s s ij ij ij i MITC k h r s
Ma trận độ cứng được viết lại
Với B i B m i B 1 b i B b 2 i ; S i B 0 s i MITC B 1 s i (2.44) 2.2.2 Phương pháp phần tử hữu hạn trơn ES FEM với phần tử MITC3
Trong phương pháp phần tử hữu hạn trơn, biến dạng được làm trơn trên các miền trơn địa phương, giúp tính toán ma trận độ cứng không còn phụ thuộc vào phần tử mà dựa vào các miền này Các miền trơn được thiết lập dựa trên cạnh của phần tử, đảm bảo tính chính xác trong quá trình phân tích.
Với Ned là tổng số cạnh của tất cả các phần tử trong miền khảo sát, phần tử tam giác 3 nút trên miền trơn k liên quan đến cạnh thứ k được hình thành bằng cách kết nối hai nút cuối của cạnh với trọng tâm của phần tử liền kề.
Hình 2.7 Miền trơn k liên kết với cạnh trong ES FEM
Từ việc sử dụng các miền trơn dựa trên cạnh phần tử, các biến dạng trơn
k có thể xác định được từ sự tính toán các biến dạng tương ứng h kết hợp với một thao tác làm trơn trên miền k liên quan đến cạnh thứ k:
Trong đó (x)là một hàm có chức năng làm trơn và thỏa mãn các điều kiện sau [37]: x 0
(2.47) Để đơn giản hàm (x) được chọn là một hàm hằng số theo từng mảng:
là diện tích của miền trơn k (2.49) k 1
N e đối với các cạnh biên k 2
N e đối với các cạnh bên trong
A i là diện tích của phần tử thứ i xung quanh cạnh k
Từ phương trình (51) và (53) biến dạng của phần tử trở thành:
Ma trận chuyển vị và biến dạng trơn được xác định bởi x 1 x k
Đối với phần tử tam giác 3 nút MITC3, hàm dạng là tuyến tính, dẫn đến ma trận biến dạng chuyển vị là hằng số trên phần tử Kết hợp các phương trình từ (2.26) đến (2.30) và (2.51) cho thấy mối liên hệ giữa các yếu tố này.
Trong đó: c là hằng số được xác định tử phương trình (2.8) m
B j ; B b j 1 ; B b j 2 ; B s j MITC 0 3 là các ma trận biến dạng của phần tử thứ j xung quanh cạnh k B m j ; B b j 1 ; B b j 2 được xác định từ (2.26) (2.27) (2.30), B s j MITC 0 3 được xác định từ (2.42) và 0 0 0 1 0 1 0
Ma trận độ cứng phần tử ESMITC3
Với bài toán phân tích tĩnh giải phương trình:
Với bài toán phân tích động giải phương trình:
Trong đó M là ma trận khối lượng tổng thể được ghép từ các ma trận khối lượng phần tử m
CÁC VÍ DỤ SỐ
Phân tích tĩnh
3.1.1 Tấm đồng nhất đẳng hướng
Cho tấm vuông đẳng hướng có kích thước cạnh a = b = L, chiều dày t, mô-đun đàn hồi E = 1092000 và hệ số Possion v = 0.3 Tấm liên kết tựa đơn
(hình 3.1a) hoặc liên kết ngàm (hình 3.1b) trên bốn cạnh biên và chịu tải phân bố đều q = 1
Bài viết này khảo sát sự hội tụ và khả năng khử "hiện tượng khóa cắt" của phần tử ESMITC3 khi chiều dày tấm giảm dần, áp dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (FSDT) với hệ số hiệu chỉnh cắt k=5/6 và lý thuyết biến dạng cắt bậc cao cho tấm composite một lớp (α=0) Để đánh giá khả năng hội tụ của phần tử ESMITC3, nghiên cứu xem xét trường hợp tấm có tỷ lệ t/L = 0,01 và thay đổi số phần tử trên mỗi cạnh của tấm là NxN = 2x2.
4x4, 8x8, 16x16, 32x32 Kết quả độ võng tương đối tại tâm tấm
Khi số phần tử tăng lên, độ võng tại tâm tấm (w c) sẽ hội tụ đến giá trị chính xác, như thể hiện trong hình 3.2 đối với tấm biên ngàm và hình 3.3 cho biên tựa đơn Độ cứng trụ của tấm (D) cũng đóng vai trò quan trọng trong việc xác định độ võng này.
Hình 3.1 Tấm liên kết tựa đơn (a) và tấm liên kết ngàm (b) chịu tải
Hình 3.2 Độ võng tại tâm tấm (t/L=0.01) của các phần tử theo số phần tử trên biên ( Tấm chịu liên kết tựa đơn trên bốn cạnh biên)
Hình 3.3 Độ võng tại tâm tấm (t/L=0.01) của các phần tử theo số phần tử trên biên ( Tấm chịu liên kết ngàm trên bốn cạnh biên)
Biểu đồ hình 3.2 và 3.3 cho thấy rằng phần tử MITC3 và ESMITC3 có khả năng hội tụ tới lời giải chính xác, với phần tử MITC3 được làm trơn ESMITC3 có tốc độ hội tụ nhanh hơn so với các phần tử tam giác ba nút khác, mang lại kết quả ổn định và chính xác hơn Đồng thời, từ biểu đồ cũng cho thấy có thể giải bài toán tấm đồng nhất đẳng hướng từ lý thuyết tấm composite với một lớp duy nhất và góc hướng sợi (α=0), tuy nhiên, sự hội tụ của độ võng chậm hơn so với lý thuyết cắt bậc nhất với hệ số hiệu chỉnh cắt k=5/6.
Khảo sát độ hội tụ của tấm được thực hiện bằng cách sử dụng lưới phần tử NxN = 32x32 để đánh giá khả năng khử hiện tượng khóa cắt của phần tử ESMITC3 Nghiên cứu này tập trung vào việc thay đổi chiều dày tấm t từ 10^-1 đến 10^-4 lần chiều dài tấm, tương ứng với tỷ lệ t/L từ 10^-1 đến 10^-4.
Kết quả độ võng tương đối tại tâm tấm w cho thấy sự giảm dần theo chiều dày tấm, được trình bày chi tiết cho các trường hợp tấm biên ngàm và biên tựa đơn trong bảng 3.1 và bảng 3.2.
B ả ng 3.1: Độ võng tại tâm tấm w w c / (qL /100 ) 4 D với tấm liên kết ngàm 4 cạnh biên theo t/L
B ả ng 3.2: Độ võng tại tâm tấm w w c / (qL /100 ) 4 D với tấm liên kết tựa đơn cạnh biên theo t/L
Bảng 3.1 và bảng 3.2 cho thấy rằng khi thay đổi chiều dày của tấm, kết quả gần với lời giải chính xác, chứng tỏ khả năng khử hiện tượng “khóa cắt” của chúng rất tốt Để so sánh khả năng khử “hiện tượng khóa cắt” của phần tử ESMITC3 với các phần tử khác như MIN3, DSG3, và ESDSG3, có thể tham khảo đồ thị trong hình 3.4 và hình 3.5.
Hình 3.4 Biểu đồ độ võng tại tâm tấm w w c / (qL /100 ) 4 D theo log(L/t) với tấm liên kết ngàm trên 4 cạnh biên
Hình 3.5 Biểu đồ độ võng tại tâm tấm w w c / (qL /100 ) 4 D theo log(L/t) với tấm liên kết tựa đơn 4 cạnh biên
Các đồ thị trong hình 3.4 và hình 3.5 cho thấy phần tử ESMITC3 đạt kết quả tốt hơn và gần với lời giải chính xác hơn so với các phần tử MIN3, DSG3 và ESDSG3.
3.1.2 Tấm composite 4 lớp (0/90/90/0) chịu tải trọng phân bố đều hoặc tải hình sin
Phân tích tấm composite có cạnh vuông a và chiều dày h, được liên kết tựa đơn ở bốn cạnh biên, với cấu trúc 4 lớp vật liệu (0/90/90/0) Các mô đun đàn hồi của vật liệu được xác định là E1 = 25E2 và G12 = G13 = 0.5E2, cho phép đánh giá tính chất cơ học của tấm composite.
G23 = 0.2E2, ν12 = 0.25 Giả thiết các lớp có chiều dày bằng nhau, tấm chịu tải trọng phân bố đều (hình 3.7a) và tải hình sin (hình 3.7b)
Mục đích của việc phân tích bài toán này là kiểm tra khả năng khử
Nghiên cứu về "shear locking" của phần tử đối với tấm composite, đồng thời tiến hành tính toán các giá trị độ võng, ứng suất tiếp và ứng suất cắt trong tấm Kết quả thu được sẽ được so sánh với các phần tử đã công bố trên các tạp chí khoa học để đánh giá hiệu quả của phần tử đối với tấm composite.
Hình 3.6a Tấm composite bốn lớp liên kết tựa đơn với tải trọng phân bố đều
Hình 3.6b Tấm composite bốn lớp liên kết tựa đơn với tải trọng hình sin
Các giá trị không thứ nguyên được xác định như sau:
B ả ng 3.3: Kết quả khảo sát độ võng không thứ nguyên và các ứng suất tấm vuông composite chịu tải phân bố đều.(Trường hợp ứng với hình 3.6a)
Phương pháp w xx yy xy xz yz
Phương pháp w xx yy xy xz yz
Phương pháp w xx yy xy xz yz
Hình 3.7 Biểu đồ ứng suất tiếp xx theo tọa độ z tại vị trí (a/2;b/2)
(Trường hợp tải phân bố đều hình 3.6a)
Hình 3.8 Biểu đồ ứng suất tiếp yy theo tọa độ z tại vị trí (a/2;b/2)
(Trường hợp tải phân bố đều hình 3.6a)
Hình 3.9 Biểu đồ ứng suất cắt xz theo tọa độ z tại vị trí (0;b/2)
(Trường hợp tải phân bố đều hình 3.6a)
Hình 3.10 Biểu đồ ứng suất cắt yz theo tọa độ z tại vị trí (0;a/2)
(Trường hợp tải phân bố đều hình 3.6a)
B ả ng 3.4: Kết quả khảo sát độ võng không thứ nguyên và các ứng suất tấm vuông composite chịu tải hình sin.(Trường hợp ứng với hình 3.6b)
Phương pháp w xx yy xy xz yz
Phương pháp w xx yy xy xz yz
Phương pháp w xx yy xy xz yz
[9] FSDT(NS-DSG3) 0.4950 0.5260 0.2968 0.0225 0.1784 [9]HSDT(NS-DSG3) 0.5089 0.5433 0.3050 0.0234 0.3051 0.1266
Phương pháp w xx yy xy xz yz
[9]RPF-PS-Layerwise 0.4337 0.5382 0.2705 0.0213 0.1780 [9]Elasticity 0.4347 0.5390 0.2710 0.0214 0.3390 [9]FSDT (NS-DSG3) 0.4369 0.5372 0.2716 0.0211 0.2911 [9]HSDT (NS-DSG3) 0.4345 0.5384 0.2706 0.0211 0.3183 0.1183
Hình 3.11 : Biểu đồ ứng suất tiếp xx theo tọa độ z tại vị trí (a/2;0)
(Trường hợp tải hình sin hình 3.6b)
Hình 3.12 : Biểu đồ ứng suất cắt xz theo tọa độ z tại vị trí (0;b/2)
(Trường hợp tải hinh sin hình 3.6b)
Hình 3.13: Biểu đồ ứng suất cắt yz theo tọa độ z tại vị trí (a/2;0)
(Trường hợp tải hình sin hình 3.6b)
Theo kết quả từ bảng 3.3 và bảng 3.4, khi giá trị t/L thay đổi, các phần tử MITC3 và ESMITC3 đều cho kết quả tương đối chính xác so với phần tử 3D Điều này chứng tỏ khả năng khử hiện tượng của các phần tử này.
“shear locking” cho tấm composite của 2 phần tử này
Các giá trị độ võng không thứ nguyên và ứng suất tiếp tính toán được khá chính xác khi so sánh với giải pháp 3D Tuy nhiên, theo các biểu đồ hình 3.13 và 3.14, giá trị ứng suất tiếp vẫn còn chênh lệch đáng kể so với hành vi thực tế của tấm Điều này cho thấy hạn chế của việc áp dụng lý thuyết cắt bậc cao của Reddy.
3.1.3 Tấm composite 16 lớp ((45/90/-45/0) 2 ) sym chịu tải trọng hình sin
Tấm composite trực hướng vuông cạnh a có chiều dày h, được cấu tạo từ 16 lớp ((45/90/-45/0)2) sym, có các mô đun đàn hồi như sau: E1 = 25E2, G12 = G13 = 0.5E2, G23 = 0.2E2, và ν12 = 0.25 Giả thiết các lớp có chiều dày bằng nhau, tấm này chịu tải trọng hình sin.
Hình 3.14 Biểu đồ ứng suất tiếp xx theo tọa độ z tại vị trí (a/2;b/2)
Hình 3.15 Biểu đồ ứng suất tiếp yy theo tọa độ z tại vị trí (a/2;b/2)
Hình 3.16 Biểu đồ ứng suất cắt xz theo tọa độ z tại vị trí (0;b/2)
Hình 3.17 Biểu đồ ứng suất cắt yz theo tọa độ z tại vị trí (a/2;0)
Phân tích dao động tấm
Khảo sát tần số dao động riêng của tấm vuông composite ba lớp
(0, 90, 0) kích thước a=b=L chiều dày t liên kết ngàm trên bốn cạnh biên với các đặc trưng vật liệu như sau:
Tần số khảo sát được xác định bởi:
Kết quả trong bảng 3.5 được so sánh với các giải pháp đã công bố của các tác giả như Liew (p-Ritz, 1996), Zhen và Wanji (Global-local higher-order theory, 2006), Ferreira, A J M & Fasshauer, cùng với Liew, K M., Huang, Y Q., & Reddy, J N Sáu dạng dao động đầu tiên của kết cấu tấm vuông composite 3 lớp [0/90/0] với điều kiện biên ngàm 4 cạnh được trình bày qua hình 3.19 đến 3.23.
B ả ng 3.5: Kết quả phân tích tần số dao động riêng của tấm
[43]Liew 4.447 6.642 7.700 9.185 9.738 [44]Zhen and Wanzi 4.45 6.524 8.178 9.473 9.492 [45]RBF-PS 4.5141 6.508 8.0361 9.3468 9.3929 [9]HSDT(NS-DSG3) 4.4802 6.4046 7.9291 9.1682 9.1763
[43]Liew 7.411 10.393 13.913 15.429 15.806 [44]Zhen and Wanzi 7.484 10.207 14.340 14.863 16.070 [45]RBF-PS 7.4727 10.2544 14.244 14.9363 15.9807
[43]Liew 10.953 14.028 20.388 23.196 24.978 [44]Zhen and Wanzi 11.003 14.064 20.321 23.498 25.350 [45]RBF-PS 10.968 13.9636 20.0983 23.3572 25.0859 [9]HSDT(NS-DSG3) 10.9042 13.8634 19.8429 23.0955 24.8382
[44]Zhen and Wanzi 14.601 17.812 25.236 37.168 38.528 [45]RBF-PS 14.4305 17.3776 24.2662 25.5596 37.7629
Hình 3.18 Dạng dao động riêng của tấm ứng với mode 1
Hình 3.19 Dạng dao động riêng của tấm ứng với mode 2
Hình 3.20 Dạng dao động riêng của tấm ứng với mode 3
Hình 3.21 Dạng dao động riêng của tấm ứng với mode 4
Hình 3.22 Dạng dao động riêng của tấm ứng với mode 5
Hình 3.23 Dạng dao động riêng của tấm ứng với mode 6
Phương pháp “moving least-squares differential quadrature - MLSDQ” của tác giả Liew và cộng sự [46] (2003), là phương pháp
Phương pháp "không lưới - meshless" với hàm xấp xỉ bậc cao mang lại kết quả chính xác nhất Mặc dù phần tử ES-MITC3 chỉ sử dụng phần tử tuyến tính tam giác 3 nút, nhưng kết quả vẫn phù hợp và gần gũi với MLSDQ hơn so với các phương pháp khác như NSDSG3.
