Kết luận : Khi điểm M di chuyển trên cung nhỏ AC của đường tròn O thì đường thẳng HK luôn luôn đi qua một điểm cố định I là trung điểm của đoạn thẳng AB..[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KY THỊ TUYẾN SINH LỚP 10 THPT
Thoi gian lam bai: 120 phut
Bài 1 (7,5 điểm)
2-3
va „ 20a =2)
b) Cho a> 0, a # 4 Chứng minh : =]
Bai 2 (2,0 diém)
a) Giai hé phuong trinh :
2x +3y = 24
` =Il
Bai 3 (/,5 diém) Vé do thi của các hàm sô y = “5% và y=x— 4 trên cùng một mặt
phăng tọa độ Gọi A và B là các giao điểm của đô thị hai hàm số trên Tính bán kính của đường tròn ngoại tiêp AOAB, với O là gôc tọa độ.(đơn vị trên các trục tọa độ là centimet)
Bài 4 (0 diém) Cho phuong trinh : x’ + 2(m— 1)x + 4m — 11 = 0, véi m 1a tham sé
Tìm tất cả các gia trị của m để phương trình có hai nghiệm phan biét x, , x thoa man hé
thức : 2(Xị — 1) + (6 — Xo)(X 1X9 + 11)= 72
Bai 5 (/,0 diém) Cạnh huyền của một tam giác vuông bằng 17 em Hai cạnh góc vuông có
độ dài hơn kém nhau 7 cm Tính diện tích của tam giác vuông đó
Bài 6 (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O có AB < AC
Trên cung nhỏ AC lây điểm M khác A thỏa MA < MC Vẽ đường kính MN của đường
tròn (O) và gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên MB, MN
Chứng minh rang :
a) Bốn điểm A,H,K,M cùng nằm trên một đường tròn
b) AH.AK = HB.MK
_ ©) Khi điểm M di động trên cung nhỏ AC thì đường thắng HK luôn đi qua một điểm
cô định
Họ và tên thí sinh : SBD: Phòng thi số :
Trang 2
GƠI Ý & HƯỚNG DẪN
Bài 1 a) A =
b) Với a>0,az 4, ta xét hiệu :
va
4—3
M=
a—4 a—4 a—4
a—2Va+2Va—4 —
a—4
by:
1
2x +3y = 24
2x + 3y = 24
Vậy hệ có nghiệm duy nhất : ” 7
xX =
—l=1-1=0
b) ĐKXĐ : x # 1 Quy đồng và khử mẫu hai về ta được phương trình :
4x(x — 1) +3 =11(x- 1) © 4x’- 15x + 14=0(1) Giai PT (1) c6 x; =2 hay x, = 7/4 déu thoa man DKXD Vay S = {2; 7/4}
Bài 3 Tự lập bảng giá trị của các hàm số và vẽ
Phương trình hoành độ giao diém cua hai đô thị :
1
—sx =x-4 & x’ + 2x — 8 =0 Giai PT 6 X.=2 1
X,=-Ä4 2
y,=-2
"| y,=—8
= Toa dé diém A(2; -2) , diém B(-4; - 8)
Duong thang y = x — 4 cat truc Ox tai diém C(4; 0) (cho y = 0 => x =4)
Ta co hinh vé:
Hinh vé
Theo hinh vé co :
AOAC có | HA | = | HO | = | HC |= 2cm
=> AOAC vuông tại A
—> AOAB vuông tại A
= Cạnh huyền OB là đường kính của đường tròn ngoại tiếp AOAB
Dựa vào AOKB vuông tại K (hình vẽ), dùng
Pitago ta tính được | OB | = 4\5 (cm)
oF = 24/5 (cm)
= Độ dài b.kinh | OI| =
Bài 4 PTcóa=1,b=m—Ivàc=4m- II Ta có A' =mˆ— 6m + 12=(m- 3) + 3
Vì (m — 3)° > 0 với mọi gia tri cua m nén A’ > 0 với mọi giá tri cua m
= PT da cho luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt Vm e R
Trang 3X,+X,=-2(m—]
Theo Vi-ettacó: ‡ ` ˆ ( (a)
X,-x, =4m—I11
Vì xị, x¿ là nghiệm của PT nên thay vào PT đã cho, ta có :
x/ +2(m—I)x,+4m—II=0 x, =-2(m—1)x,- 4m +11
&
x, +2(m—1)x, +4m—-11=0 x, = -2(m—1)x,- 4m +11
Theo bài ta có: = 2(x; — 1)? + (6— x»)(x,x2 + 11) = 72
<> 2(x 7 — 2x, +1) + 6x;x> + 66 - X)x — 11x, =72 (€)
Thay (b) vao (c) duge : (2m + 4)x)x — 11(k,; + x2) = 8m-— 18 (d)
Thay (a) vao (d) tac6: (2m+4)(4m-—11)+22(m- 1)=8m- 18
om +m-—6=0(*)
Giải PT (š) có m = 2 hay m = -3 Vậy m = 2 hay m = - 3 thỏa mãn yêu câu của đê bài
Bài 5
Gọi cạnh góc vuông lớn 1a x(cm) (DK: 7 < x < 17)— cạnh góc vuông nhỏ là (x — 7) (cm)
Theo Pitago ta có x” + (x— 7)“ = 17“ © 2x” — 14x - 240 = 0 (1)
Giải PT (1) được x = 15 (thỏa mãn ĐK - Nhận) hay x = - 8 (không thỏa mẫn ĐK - Loại)
—= Các cạnh góc vuông lần lượt bằng 15(em) và 15 — 7=8(em). -
Vậy diện tích tam giác vuông bằng (8.15) : 2 = 60(cm’) :
a) Ta có AHM = 90° (gt) va AKM = 90” (gt)
Xét tứ giác AHKM có hai đỉnh H và K cùng nhìn cạnh
AM dưới một góc bằng 90” nên tứ giác AHKM nội
tiếp đường tròn đường kính AM
= Bốn điểm A, H, K, M thuộc đường tròn đường
kính AM
b) Xét AAKM va ABHA co AKM = BHA = 90° (gt) (a)
Mat khac, ta c6 BAH +B, = 902 (vì ABAH vuông tai H) | N
oF “¬ 1 “-~ Z^¬ 1 = 1 0 0
va AMN + B,; = 3 (SdAN + sdAM) — 3 SAMN =3 180° = 90
— BAH = AMN = AMK (b)
AK MK
Từ (a) & (b) = AAKM @ ABHA (g-g) > — = Vay AK.AH = BH.MK
c) Gọi I là giao điểm của đường thắng HK và AB
Tứ giác AHMK nội tiếp (cmt) =A, =H, (2 góc nội tiếp cùng chắn cung MK)
Mà H) =1) (đối đỉnh) Do AAKM « ABHA (cm0 =Ã) “Bì (2 góc tương ứng) — —_
=H;= B¡ > AIBH cân tại I = IB =TH (1) Có BAH + Bị = 90”= AHI + H; mà Bị = H;
= BAH = IHA => AIAH can tai I => IA =IH (2)
Từ (1) và (2) > IA = IB = I là trung điểm của AB Do A, B cố định nên điểm I cô định
Kết luân : Khi điểm M di chuyển trên cung nhỏ AC của đường tròn (O) thì đường thăng HK luôn luôn đi qua một điềm cô định I là trung điềm của đoạn thang AB
