(Luận văn thạc sĩ) phân tích kết cấu tấm nhiều lớp bằng lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc cao (HSDT) dùng phần tử tấm MITC3 kết hợp kỹ thuật làm trơn nút

TỔNG QUAN

Giới thiệu

Trong lĩnh vực xây dựng dân dụng hiện nay, các vật liệu chính như gỗ, đá và cát đang được khai thác từ thiên nhiên, nhưng nguồn tài nguyên này có nguy cơ cạn kiệt và không bền vững Do đó, việc tìm kiếm các vật liệu mới có khả năng cung cấp bền vững hơn là rất cần thiết Tấm nhiều lớp composite nổi lên như một lựa chọn thay thế tiềm năng cho các vật liệu truyền thống này.

Tấm nhiều lớp composite, được phát triển bởi các nhà khoa học, đã trở thành vật liệu phổ biến trong nhiều lĩnh vực kỹ thuật như hàng không vũ trụ, hàng hải và cơ sở hạ tầng dân dụng Với đặc tính cơ học vượt trội, chúng có độ cứng cao nhưng trọng lượng nhẹ, điều này đặc biệt quan trọng trong các kết cấu chịu tải trọng lớn.

Để khai thác hiệu quả các tấm composite nhiều lớp, cần phát triển các lý thuyết phân tích phù hợp nhằm dự đoán chính xác ứng xử tĩnh học và động học của chúng dưới tác động của các loại tải trọng khác nhau Tuy nhiên, việc đạt được những đặc tính cơ học đặc biệt của vật liệu composite thường đi kèm với sự phức tạp trong các phương pháp phân tích, mô hình và tính toán.

Phương pháp phần tử hữu hạn (PP PTHH) là một công cụ tính toán số phổ biến, đã được ứng dụng hiệu quả trong phân tích các kết cấu tấm composite trong nhiều năm qua Mặc dù PP PTHH mang lại kết quả chính xác, nhưng độ tin cậy của các kết quả này còn phụ thuộc vào nhiều yếu tố như mô hình toán học và loại phần tử được sử dụng Do đó, việc phát triển các phương pháp tính toán hiệu quả và đáng tin cậy trong phân tích kết cấu tấm composite nhiều lớp là một nhu cầu thiết yếu.

Tổng quan tình hình nghiên cứu

Các nhà khoa học đã nghiên cứu và phát triển lý thuyết để giải quyết bài toán tấm composite nhiều lớp, trong đó Noor đã đề xuất lý thuyết đàn hồi 3 chiều (3D) nhằm cải thiện độ chính xác của ứng suất cắt ngang Lý thuyết 3D mô phỏng mỗi lớp như một vật thể 3D, giúp cải thiện đáng kể độ chính xác này Tuy nhiên, chi phí tính toán cao của lý thuyết 3D đã dẫn đến việc giới thiệu các lý thuyết lớp tương đương (ESL), bao gồm lý thuyết tấm nhiều lớp cổ điển (CLPT), lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc 1 (FSDT) và lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc cao (HSDT), nhằm khắc phục các hạn chế của những lý thuyết trước đó.

Lý thuyết tấm nhiều lớp cổ điển (CLPT) dựa trên giả định Love-Kirchhoff, bỏ qua biến dạng cắt ngoài mặt phẳng, trong khi lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc 1 (FSDT) lại tính đến biến dạng cắt Tuy nhiên, độ chính xác của FSDT phụ thuộc vào các hệ số điều chỉnh lực cắt Hơn nữa, việc áp dụng lý thuyết FSDT cho tấm hỗn hợp nhiều lớp thường không mang lại kết quả thỏa đáng.

Những hạn chế của FSDT có thể khắc phục bằng cách sử dụng lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc cao (HSDT) được phát triển bởi Reddy [5], Matsunaga

Các lý thuyết biến dạng cắt bậc cao, như của Kant và Swaminathan, Liu và cộng sự, không yêu cầu các hệ số điều chỉnh lực cắt, mang lại ứng suất cắt ngang chính xác và ổn định hơn.

Các công thức phần tử hữu hạn trong lý thuyết biến dạng cắt bậc cao thường yêu cầu hàm xấp xỉ liên tục bậc cao, gây khó khăn trong việc xây dựng hàm xấp xỉ Để giải quyết vấn đề này, Shankara và Iyengar [9] đã đề xuất một hình thức tính mới cho HSDT, chỉ yêu cầu hàm xấp xỉ dạng tham số C 0 (C 0 -HSDT) Trong C 0 -HSDT, hai biến độc lập được thêm vào để biểu diễn đạo hàm của chuyển vị.

1.2.2 Công thức phần tử hữu hạn cho tấm

Do hạn chế của các phương pháp giải tích, các phương pháp số như phương pháp phần tử hữu hạn (FEM), phương pháp phần tử biên (BEM) và phương pháp không lưới đã được phát triển Liu và cộng sự gần đây đã phát triển phương pháp biến dạng trơn (NS-FEM) nhằm nâng cao hiệu quả tính toán của FEM truyền thống bằng cách xấp xỉ trường biến dạng tại nút của phần tử H Nguyen – Xuan và cộng sự đã mở rộng ứng dụng NS-FEM vào phân tích tĩnh tấm đồng nhất đẳng hướng bằng cách kết hợp NS-FEM với phần tử tấm khử khóa cắt theo kỹ thuật DSG3.

Bathe và Dvorkin đã phát triển kỹ thuật khử khóa cắt MITC (mixed interpolation tensorial components) bên cạnh phương pháp khử khóa cắt DSG3, dựa trên nội suy hỗn hợp các thành phần tensor biến dạng cắt Phương pháp MITC đã đạt được thành công lớn trong việc áp dụng cho các loại phần tử tứ giác như MITC4, MITC8, MITC9 và MITC16.

[16], dùng để phân tích kết cấu tấm/vỏ đồng nhất hoặc nhiều lớp

Kỹ thuật MITC đã được mở rộng thành công cho các phần tử tam giác 3 nút (MITC3) và 6 nút (MITC6), bên cạnh việc phát triển cho các phần tử tứ giác Các phần tử tam giác mang lại lợi thế đáng kể trong việc rời rạc hóa các hình học phức tạp của kết cấu tấm nhiều lớp.

Mục đích của đề tài

Mục đích của nghiên cứu này là phân tích tĩnh tấm composite nhiều lớp bằng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao, sử dụng phần tử tấm 3 nút được làm trơn Phương pháp này kết hợp kỹ thuật khử khóa cắt MITC3 để nâng cao độ chính xác trong phân tích.

Nét mới của đề tài

Phát triển phần tử tấm NS-MITC3 cho bài toán tấm composite nhiều lớp sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao.

Các lý thuyết cần nghiên cứu

+ Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao;

+ Lý thuyết phần tử hữu hạn trơn NS-MITC3;

+ Phát triển phần tử NS-MITC3 cho tấm composite dùng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao.

Phương pháp tiếp cận và giải bài toán

Nghiên cứu lý thuyết và lập trình tính toán bằng Matlab nhằm giải các ví dụ số để đánh giá kết quả và so sánh với các phương pháp đã công bố trước đó Qua đó, rút ra nhận xét về hiệu quả của phần tử NS-MITC3 khi áp dụng vào bài toán tấm composite.

Nhiệm vụ và giới hạn của đề tài

Nhiệm vụ của đề tài là xây dựng cơ sở lý thuyết phần tử hữu hạn kết hợp kỹ thuật làm trơn nút cho bài toán tấm composite nhiều lớp Đề tài sẽ lập trình, tính toán và phân tích một số bài toán tĩnh liên quan đến tấm composite, đồng thời so sánh kết quả nhận được với các kết quả đã công bố trước đây Cuối cùng, đề tài sẽ đưa ra nhận xét và đánh giá hiệu quả đạt được, với giới hạn vật liệu làm việc là đàn hồi tuyến tính và biến dạng bé.

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao

Hình 2.1 minh họa hình học ban đầu và hình học biến dạng tại một cạnh của tấm, áp dụng các lý thuyết tấm cổ điển (CLPT), biến dạng cắt bậc nhất (FSDT) và biến dạng cắt bậc 3 (TSDT).

Reddy [5] đã xây dựng trường chuyển vị của lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc cao như hình 2.1, dựa trên hàm xấp xỉ bậc 3 của chuyển vị như sau:

, , u v w : là các chuyển vị theo phương x, y, z

   x , y : lần lượt là các góc xoay quanh trục y và trục x

   và  y là các hàm được xác định từ điều kiện ứng suất tiếp thẳng góc bằng 0 ở mặt trên và mặt dưới tấm

Từ quan hệ giữa ứng suất tiếp và biến dạng trượt ta có: xz G xz τ γ ;τ yz G γ yz

   γ γ Điều kiện (2.2) tương đương với:

Thay  x 0 vào (2.3.a) và (2.3.b) suy ra 4 2

 Thực hiện tương tự với phương trình (2.3.c) và (2.3.d) ta có y 0

 Thay     x , y , x , y vừa tìm được vào (2.1) ta có:

Ta có trường chuyển vị (2.1) được viết lại như sau:

Trường chuyển vị (2.4) chứa 7 ẩn số độc lập

Trong bài viết này, các ký hiệu u v 0, 0 đại diện cho các chuyển vị màng, w 0 biểu thị độ võng, và các góc xoay quanh trục y và trục x được ký hiệu là θ x, θ y Bên cạnh đó, các hàm độ cong với chiều dương qui ước được định nghĩa bởi các ký hiệu β x, β y như được mô tả trong Hình 2.2.

Hình 2.2 Các chuyển vị u v w, , và các góc xoay   x , y trong tấm

Từ trường chuyển vị (2.4) các biến dạng được xác định như sau:

Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng trong một lớp composite của vật liệu trực hướng

 Ứng suất trong mặt phẳng:

 Ứng suất ngoài mặt phẳng:

Với E 1, E 2 là các mô đun đàn hồi Young theo phương dọc và phương ngang sợi

 ij : là các hệ số Poisson

G ij : là các mô đun đàn hồi trượt

Hình 2.3 Tấm composite gia cường sợi một phương với hệ tọa độ tổng thể (x,y,z) và hệ tọa độ địa phương (x 1 ,x 2 ,x 3 )

Với lớp thứ k của tấm mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng có dạng:

0 0 0 k k k k k xx xx k k k yy yy k k k xy xy k k yz yz xz k k xz

4 sin cos sin cos sin 2 2 sin cos cos

Các thành phần nội lực trong tấm được xác định bằng cách lấy tích phân theo chiều dày tấm:

 Lực tổng trong mặt phẳng:

/2 /2 xx xx h yy h yy xy xy

 Mômen tổng ngoài mặt phẳng:

/2 d xx xx h yy h yy xy xy

/2 d xx xx h yy yy h xy xy

 Lực cắt ngoài mặt phẳng:

Trong đó các thành phần A B D E F H ij , ij , ij , ij , ij , ij của ma trận

A,B, D,E,F, H được xác định như sau:

( , , , , , ) (1, , , , , ) , 1, 2,6 h ij ij ij ij ij ij ij h

Và các thành phần A B D ij s , ij s , ij s của ma trận A B D s , s , s được xác định

Rời rạc tấm bằng phần tử tam giác 3 nút MITC3

2.2.1 Phần tử tam giác 3 nút với kỹ thuật khử khóa cắt MITC3

Hình 2.4 Phần tử tam giác trong hệ tọa độ địa phương

Các đại lượng chuyển vị độc lập của phần tử được nội suy theo các chuyển vị nút tương ứng như sau:

Trong đó, N i là các hàm dạng được định nghĩa như sau:

N = -r - s; N2 = r; N3 = s Trong đó, r và s là các trục tọa độ tự nhiên của phần tử (Hình 2.4) Chuyển vị uI và vI lần lượt tương ứng với chuyển vị theo trục x và y do biến dạng màng tại nút thứ I Chuyển vị wI đại diện cho chuyển vị theo trục z tại nút thứ I, trong khi các góc xoay θxI và θyI thể hiện góc xoay quanh trục y và trục x tại nút thứ I của phần tử.

Thế xấp xỉ (2.19) vào công thức biến dạng (2.6 - 2.8), (2.10 – 2.11) ta được:

I  u v w I I I     xI yI xI yI I  d là vectơ nút phần tử

Hình 2.5 Phần tử tam giác trong hệ tọa độ toàn cục

Nếu 1 phần tử có các tọa độ nút trong hệ trục oxy lần lượt là (x 1, y 1 ), ( x 2, y 2 ), ( x 3, y 3 )

Và đặt: a = x 2 – x 1 , b = y 2 – y 1 , c = y 3 – y 1 , d = x 3 – x 1 Các ma trận quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị nút phần tử có thể viết lại ở dạng tường minh như sau:

Từ quan hệ biến dạng và chuyển vị nút phần tử, theo công thức phần tử hữu hạn ta làm được ma trận độ cứng phần tử như sau:

Giải phương trình cân bằng: Kd = F để tìm các chuyển vị (2.29)

Khi áp dụng phương trình (2.26) để tìm chuyển vị, chỉ có hiệu quả với các tấm có bề dày lớn hoặc vừa phải Đối với tấm mỏng, phương pháp này sẽ gặp phải hiện tượng "khóa cắt" (Shear locking), dẫn đến kết quả không chính xác Để khắc phục vấn đề này, kỹ thuật MITC3 được sử dụng để cải thiện độ chính xác trong tính toán.

15 biến dạng cắt bằng hàm mới thông qua những “điểm buộc” (tying point) [35], như hình 2.6

Hình 2.6 e rt (1) , e (2) st , e là các điểm buộc (tying point) qt (3) của phần tử tam giác 3 nút

Do đó, ε được xấp xỉ lại theo kỹ thuật MITC3 như sau: s

Và Β s I MITC 0  3 có thể triển khai ở dạng tường minh như sau:

Ae d a A - e ac d bc c(b+c) bd a bc b c b c b (b+c) (b+c) ad a ac b ad d bd c a (a+d) - (a+d) d (a+d) + (a+d)

Và ma trận độ cứng của phần tử MITC3 cho tấm composite nhiều lớp dùng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao là:

2.2.2 Phương pháp phần tử hữu hạn trơn NS-FEM với phần tử MITC3

Trong phương pháp phần tử hữu hạn trơn, biến dạng được làm trơn trên các miền địa phương, giúp tính toán ma trận độ cứng không còn phụ thuộc vào phần tử mà dựa trên các miền con Các miền con này được xây dựng dựa trên các nút của các phần tử.

Chia miền bài toán thành N e phần tử tam giác Xét miền trơn  k được giới hạn bởi đường  ( ) k quanh nút k sao cho:

Tổng số nút N_n của tất cả các phần tử trên miền khảo sát được xác định Đối với phần tử tam giác 3 nút trong miền trơn Ω_k, nút thứ k được tạo ra bằng cách kết nối tuần tự từ giữa cạnh điểm đến trọng tâm của hình tam giác, xung quanh các nút như hình 2.7.

Hình 2.7 Lưới tam giác 3 nút và làm trơn các phần tử; Miền trơn  k

Từ việc sử dụng các miền trơn dựa trên nút phần tử, các trường biến dạng được xấp xỉ lại trên miền nút phần tử như sau:

 (2.35) Để đơn giản, hàm (x) được chọn là một hàm hằng số trên miền nút phần tử:

    là diện tích của miền trơn  k (2.37) k

N e là số các phần tử kết nối với nút k

Diện tích của phần tử thứ i xung quanh nút k được ký hiệu là A_i Đối với phần tử tam giác 3 nút MITC3, hàm dạng có tính tuyến tính Do đó, ma trận chuyển vị biến dạng là hằng số trên phần tử.

Trong đó: c là hằng số được xác định từ phương trình (2.8) m

B i ; B b i 1 ; B b i 2 ; B s i MITC  0 3 ; B i s 1 là các ma trận biến dạng của phần tử thứ i xung quanh nút k và được xác định từ (*), (**), (***), (2.30a) và (2.25)

Vì vậy ma trận độ cứng phần tử NS-MITC3

Tấm bốn lớp [0 0 90 0 90 0 0 0 ] vuông chịu tải hình sin và tải phân bố đều

Xét tấm hình vuông bốn lớp với cạnh a và chiều dày h, tấm này chịu tải phân bố và tải hình sin như thể hiện trong hình 3.1 và 3.2 Tỉ số chiều dài trên bề dày được phân tích cho các trường hợp a/h = 4, 10, 20, 100 đối với tải hình sin và a/h = 5, 10, 20 cho tải phân bố đều.

Hình 3.1 Tấm composite bốn lớp liên kết tựa đơn với tải trọng phân bố đều a z y x h/2 h/2

Hình 3.2 Tấm composite bốn lớp liên kết tựa đơn với tải trọng hình sin Đặt trưng vật liệu của 1 lớp composite

Tấm được mô hình hóa và rời rạc bằng NxN phần tử tam giác, với N 20 là số phần tử trên mỗi cạnh tấm

Các kết quả tính toán của chuyển vị và ứng suất được chuẩn hóa thành các đại lượng không thứ nguyên như sau:

Bảng 3.1 trình bày kết quả tính toán chuyển vị và ứng suất không thứ nguyên của tấm chịu tải phân bố đều bằng phần tử NS-MITC3 Kết quả này được so sánh với giải pháp phân tích theo FSDT, cũng như với một số phương pháp phần tử hữu hạn khác dựa trên lý thuyết HSDT và FSDT, phương pháp không lưới theo FSDT và HSDT, và lý thuyết đàn hồi 3D.

Bảng 3.2 trình bày sự so sánh giữa kết quả tính toán tấm chịu tải trọng hình sin bằng phần tử NS-MITC3 với các phương pháp giải đàn hồi 3D, phần tử hữu hạn, phương pháp chuỗi FSM của Akhras và cộng sự, RBF-PS dựa trên lớp thông minh do Ferreira và cộng sự phát triển, cùng với phần tử NS-DSG3 của Chiến và cộng sự.

Bảng 3.1 Sự phân bố ứng suất dưới tải phân bố đều với a/h = 5, 10, 20 dựa trên HSDT và FSDT (trường hợp hình 3.1) a/h Phương pháp w  xx  yy  xy  xz  yz

Sự phân bố các ứng suất không thứ nguyên như xx, yy, xz, và yz theo chiều dày của tấm khi tấm chịu tải phân bố đều được minh họa trong hình 3.3.

Hình 3.3 Biểu đồ ứng suất tiếp  xx theo tọa độ z tại vị trí (a/2;b/2)

(Trường hợp tải phân bố đều)

 yy (a/2;b/2) Hình 3.4 Biểu đồ ứng suất tiếp  yy theo tọa độ z tại vị trí (a/2;b/2)

(Trường hợp tải phân bố đều)

 xz (0;b/2) Hình 3.5 Biểu đồ ứng suất cắt  xz theo tọa độ z tại vị trí (0;b/2)

(Trường hợp tải phân bố đều)

 yz (0;a/2) Hình 3.6 Biểu đồ ứng suất cắt  yz theo tọa độ z tại vị trí (0;a/2)

(Trường hợp tải phân bố đều)

Bảng 3.2 Sự phân bố ứng suất dưới tải trọng hình sin với a/h = 4, 10,

20, 100 dựa trên HSDT và FSDT (trường hợp hình 3.2) a/h Phương pháp w  xx  yy  xy  xz  yz

Hình 3.7, 3.8, 3.9 biểu diễn quan hệ giữa ứng suất không thái nguyên

   và chiều dày tấm khi tấm chịu tải trọng hình sin

HSDT-NSMITC3 HSDT-NSDSG3 [ 20 ] HSDT-ESMITC3 [31]

 xx (a/2;0) Hình 3.7 Biểu đồ ứng suất tiếp  xx theo tọa độ z tại vị trí (a/2;0)

HSDT-NSMITC3 HSDT-NSDSG3 [ 20 ] HSDT-ESMITC3 [31]

 xz (0;b/2) Hình 3.8 Biểu đồ ứng suất cắt  xz theo tọa độ z tại vị trí (0;b/2)

HSDT-NSMITC3 HSDT-NSDSG3 [ 20 ] HSDT-ESMITC3 [31]

 yz (a/2;0) Hình 3.9 Biểu đồ ứng suất cắt  yz theo tọa độ z tại vị trí (a/2;0)

Kết quả từ bảng 3.1 và 3.2 cho thấy phần tử NS-MITC3 có khả năng tạo ra kết quả tương đối tốt khi giá trị a/h thay đổi, so với giải pháp đàn hồi và các phương pháp RBF-PS-Layerwise [26], phần tử NS-DSG3 [20], và 3D-FEM Điều này chứng minh khả năng khử hiện tượng khóa cắt (shear locking) của phần tử NS-MITC3 đối với tấm composite nhiều lớp Hình 3.3 và 3.4 minh họa sự phân bố ứng suất dọc theo chiều dày của tấm.

3.5, 3.6 (tải phân bố) và hình 3.7, 3.8, 3.9 (tải sin)) cho thấy kết quả của phần tử NS-MITC3 tương đương so với kết quả của các phương pháp vừa nêu ở trên.

Tấm composite 16 lớp ((45 0 /90 0 /-45 0 /0 0 ) 2 ) sym chịu tải trọng hình sin

Phân tích tấm composite vuông cạnh a với chiều dày h tựa đơn xung quanh và 16 lớp ((45/90/-45/0) 2 ) sym cho thấy các đặc trưng vật liệu như sau: E 2 = 1, E 1 = 25E 2, G 12 = G 13 = 0.5E 2, G 23 = 0.2E 2, và ν 12 = 0.25 Giả định rằng các lớp có chiều dày bằng nhau, tấm này chịu tải trọng hình sin.

Trong nghiên cứu này, phần tử NS-MITC3 được so sánh với các phần tử ES-MITC3 của Nguyễn Hòa, 3D FEM của J.R Xiao và đồng sự, cùng với ES-DSG3 của Loc V Tran và đồng sự Kết quả so sánh được trình bày thông qua các biểu đồ ứng suất trong hình 3.10, 3.11, 3.12 và 3.13.

 xx (a/2; b/2) Hình 3.10 Biểu đồ ứng suất tiếp  xx theo tọa độ z tại vị trí (a/2;b/2)

Hình 3.11 Biểu đồ ứng suất tiếp  yy theo tọa độ z tại vị trí (a/2;b/2)

HSDT-NSMITC3 HSDT-ESMITC3 [31] HSDT-ESDSG3 [34]

 xz (0; b/2) Hình 3.12 Biểu đồ ứng suất cắt  xz theo tọa độ z tại vị trí (0;b/2)

Hình 3.13 Biểu đồ ứng suất cắt  yz theo tọa độ z tại vị trí (a/2;0)

Các kết quả của ứng suất tiếp và ứng suất cắt hiển thị trên biểu đồ hình

3.10, 3.11, 3.12, 3.13 cho thấy phần tử NS-MITC3 cho kết quả tương tự với các phần tử ES-MITC3, phần tử ES-DSG3.

Tấm composite vuông 02 lớp [0 0 / 90 0 ] không đối xứng

Trong ví dụ này, phần tử NS-MITC3 được sử dụng để phân tích tĩnh tấm composite vuông [0 0 / 90 0 ] cạnh a không đối xứng

Vật liệu được cho như sau:

E 2 = 1, E 1 = 25E 2 , G 12 = G 13 = 0.5E 2 , G 23 = 0.2E 2 , ν 12 = 0.25 Điều kiện biên của tấm được cho với gối tựa đơn:

0; 0; y 0; y 0 v w     tại x0; xa; Tải trọng tác dụng lên tấm là tải sin

Chuyển vị và các ứng suất tại tâm tấm được chuẩn hóa theo các giá trị:

Độ võng và các ứng suất của tấm được xác định dựa trên tỉ lệ chiều dài so với chiều dày, với các giá trị a/h là 4, 10, 20 và 100 Kết quả tính toán được thể hiện trong bảng 3.3.

Bảng 3.3 Độ võng lệch tâm và các ứng suất của tấm composite 02 lớp với gói tựa đơn chịu tải trọng hình sin a/h Phương pháp w  x  y  xy

Phân tích cho thấy phần tử NS-MITC3 đạt kết quả tương đương với lời giải đàn hồi, chứng minh tính chính xác của nó khi chiều dày của tấm composite hai lớp giảm dần.

Hình 3.14 Phân bố ứng suất  x theo chiều dày tấm của phần tử NS – MITC3

Hình 3.15 Phân bố ứng suất  xy theo chiều dày tấm của phần tử NS – MITC3

Kết quả từ biểu đồ ứng suất tiếp và ứng suất cắt trong hình 3.14 và 3.15 cho thấy rằng khi chiều dày tấm thay đổi (a/h thay đổi), các ứng suất vẫn gần như tương đồng Điều này chứng tỏ rằng phần tử NS-MITC3 có khả năng khử hiện tượng "khóa cắt" một cách hiệu quả.

Tấm composite không đối xứng [45 0 / -45 0 ] 4 với gối tựa đơn chịu tải trọng hình sin hoặc phân bố đều

Trong nghiên cứu này, phần tử NS-MITC3 được áp dụng để thực hiện phân tích tĩnh cho tấm composite vuông 08 lớp với cấu trúc [45 0 / -45 0 ] 4 và cạnh a không đối xứng Tấm được đặt trong điều kiện biên với gối tựa đơn.

0; 0; y 0; y 0 u  w     tại x0; xa; Chuyển vị và các ứng suất được chuẩn hóa theo các giá trị:

2 ; 2 xz xz yz yz h h qa qa

3.4.1 Trường hợp chịu tải trọng hình sin

Sử dụng vật liệu được cho như sau:

Tải trọng tác dụng lên tấm là tải sin

Độ võng và các ứng suất của tấm được tính toán dựa trên tỷ lệ chiều dài so với chiều dày, với hai giá trị a/h là 10 và 100 Kết quả tính toán được thể hiện trong Bảng 3.4.

Bảng 3.4 Độ võng lệch tâm và các ứng suất của tấm composite 08 lớp

[45 0 /-45 0 ] 4 với gối tựa đơn chịu tải trọng hình sin a/h Phương pháp w  xx  yy  xy  xz  yz

Kết quả tính toán của phương pháp NS-MITC3 với lưới NxN = 16x16 phần tử trên mỗi cạnh tấm cho thấy sự phù hợp gần gũi với giải pháp đàn hồi và phương pháp phần tử hữu hạn dựa trên lý thuyết 3D.

NS-MITC3 (24x24) NS-MITC3 (16x16) HSD4 [29]

Hình 3.16 Phân bố ứng suất tiếp  x dưới tải hình sin của tấm 8 lớp [45 0 / -45 0 ] 4 với tỉ lệ a/h = 10

Biểu đồ ứng suất tiếp  x được hiển thị trong Hình 3.16 cho phần tử NS-MITC3 với lưới 16x16 và 24x24 cho thấy sự gần gũi với kết quả của 3D-FEM [33] và HSA4 [29] hơn so với HSD4 [29].

NS-MITC3 (24X24) NS-MITC3 (16X16) HSD4 [29]

Hình 3.17 Phân bố ứng suất cắt  xz dưới tải hình sin của tấm 8 lớp [45 0 / -45 0 ] 4 với tỉ lệ a/h 0

Biểu đồ ứng suất cắt  xz trong hình 3.17 chỉ ra sự khác biệt giữa HSD4 với NxN = 16 và các phần tử khác Để cải thiện HSD4, phần tử HSA4 với NxN = 32 đã được giới thiệu, cho thấy kết quả gần gũi với nghiên cứu của Kand và Pandya.

[33] Phần tử NS-MITC3 với NxN = 16 và NxN = 24 vẫn cho kết quả gần với kết quả hiển thị của Kant and Pandya [33] và HSA4

3.4.2 Trường hợp chịu tải trọng phân bố

Sử dụng vật liệu được cho như sau:

Tải trọng tác dụng lên tấm là tải phân bố

Độ võng của tấm được tính toán dựa trên tỉ lệ chiều dài so với chiều dày, với các giá trị a/h lần lượt là 4, 10, 20 và 100 Kết quả tính toán được thể hiện trong Bảng 3.5.

Bảng 3.5 Độ võng lệch tâm của tấm composite 08 lớp [45 0 / -45 0 ] 4 với gối tựa đơn chịu tải phân bố a/h HSA4

Hình 3.18 Phân bố ứng suất tiếp  x chịu tải phân bố theo chiều dày tấm của phần tử NS-MITC3 (NxN = 16x16)

Hình 3.19 Phân bố ứng suất cắt  xz chịu tải phân bố theo chiều dày tấm của phần tử NS-MITC3 (NxN = 16x16)

Hình 3.20 Phân bố ứng suất tiếp  x chịu tải phân bố theo chiều dày tấm của phần tử NS-MITC3 (NxN = 24x24)

Hình 3.21 Phân bố ứng suất cắt  xz chịu tải phân bố theo chiều dày tấm của phần tử NS-MITC3 (NxN = 24x24)

Khi chiều dày tấm giảm theo tỷ lệ, giá trị độ võng của a/h = 10, a/h = 20 và a/h = 100 trở nên gần nhau Biểu đồ cho thấy rằng tấm càng mỏng sẽ cho ra kết quả hiển thị các đường phân bố ứng suất tương đương nhau.

Bài viết đã giới thiệu công thức phần tử hữu hạn NS-MITC3, ứng dụng trong phân tích tấm composite nhiều lớp dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc cao Kết quả số liệu cho thấy phần tử NS-MITC3 hiệu quả trong việc khử hiện tượng khóa cắt, đồng thời mang lại kết quả tính toán độ võng và ứng suất tương đương với các loại phần tử khác.

Khi kết hợp phần tử NS-MITC3 với lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc cao HSDT, cụ thể là hàm bậc 3 của Reddy, đã cho kết quả chính xác hơn về độ võng, ứng suất tiếp và ứng suất cắt của tấm composite nhiều lớp, cả đối xứng và không đối xứng Kết quả cho thấy các ứng suất theo chiều dày của tấm là những đường cong, chứng minh rằng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao HSDT mô tả ứng suất cắt thực tế hơn so với lý thuyết tấm nhiều lớp cổ điển (CLPT) và lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc nhất FSDT.

Phần tử NS-MITC3 kết hợp với lý thuyết biến dạng cắt bậc cao mang lại kết quả khả quan về độ võng và ứng suất Tuy nhiên, có sự chênh lệch giữa các đường hiển thị khi so sánh với kết quả từ giải pháp 3D Do đó, việc cải thiện phần tử NS-MITC3 là cần thiết để đạt được kết quả gần hơn với giải pháp 3D.

[1] A.A Khdeir, L Librescu, Analysis of symmetric cross-ply laminated elastic plates using a higher-order theory, Compos Struct 9 (1988) 189–213

[2] N.J Pagano, Exact solutions for rectangular bidirectional composites and sandwich plates, J Compos Mater 4 (1970) 20–34

[3] A.K Noor, Free vibration of multilayered composite plates, AIAA J.11 (1973)1038–1039

[4] A.K Noor, Stability of multilayered composite plates, Fibre Sci Technol 8

[5] J.N Reddy, Mechanics of Laminated Composite Plates – Theory and Analysis, CRC Press, New York, 1997

[6] H Matsunaga, Vibration and stability of cross-ply laminated composite plates according to a global higher-order plate theory, Compos Struct 48 (2000) 231–244

[7] T Kant, K Swaminathan, Analytical solutions for free vibration of laminated composite and sandwich plates based on a higher order refined theory, Compos Struct 53 (2001)73–85

[8] L Liu, L.P Chua, D.N Ghista, Mesh-free radial basis function method for static, free vibration and buckling analysis of shear deformable compositelaminates, Compos Struct 78 (2007) 58–69

[9] C.A Shankara, N.G.R Iyengar, AC 0 element for the free vibration analysis of laminated composite plates, J Sound Vib 191 (1996) 721–738

[10] G.R Liu, T Nguyen-Thoi, H Nguyen-Xuan, K.Y Lam, A node-based smoothed finite element method (NS-FEM) for upper bound solutions to solid mechanics problems, Comput Struct 87 (2009) 14–26

[11] H Nguyen-Xuan, T Rabczuk, N Nguyen-Thanh, T Nguyen-Thoi, S Bordas, A node-based smoothed finite element method with stabilized discrete shear gap technique for analysis of Reissner–Mindlin plates, Comput Mech 46 (2010) 679–

[12] K.U Bletzinger, M Bischoff, E Ramm, A unified approach for shear-locking free triangular and rectangular shell finite elements, Comput Struct 75 (2000) 321–

[13] Bathe KJ, Dvorkin EN A formulation of general shell elements – the use of mixed interpolation of tensorial components Int J Numer Meth Eng 1986; 22: 697–

[14] Dvorkin EN, Bathe KJ A continuum mechanics based four-node shell element for general nonlinear analysis Eng Comput 1984;1: 77–88

[15] Bathe et al Towards improving the MITC9 shell element Comput Struct 2003;81:477–89

[16] Bucalem ML and Bathe KJ Higher-order MITC general shell elements Int J Numer Meth Eng 1993;36:3729–54

[17] J.N Reddy, Mechanics of Laminated Composite Plates and Shells: Theory and Analysis, second ed., CRC Press, London, 2004.

[18] J Belinha, L.M.J.S Dinis, Analysis of plates and laminates using the element-free Galerkin method, Compos Struct 84 (2006) 1547–1559

[19] J.R Xiao, D.F Gilhooley, R.C Batra, J.W Gillespie, M.A McCarthy, Analysis of thick composite laminates using a higher-order shear and norm al deformable plate theory (HOSNDPT) and a meshless method, Composites: Part

In 2012, Chien H Thai, Loc V Tran, Dung T Tran, T Nguyen-Thoi, and H Nguyen-Xuan conducted a study in Vietnam focusing on the analysis of laminated composite plates Their research utilized higher-order shear deformation plate theory alongside the node-based smoothed discrete shear gap method to enhance the understanding of the mechanical behavior of these materials.

[21] J.N Reddy, A simple higher-order theory for laminated composite plates, J Appl Mech 51 (1984) 745–752

[22] G Akhras, M.S Cheung, W Li, Static and vibrations analysis of anisotropic laminated plates by finite strip method, Int J Solids Struct 30 (22 ) (1993) 3129–

[23] G Akhras, M.S Cheung, W Li, Finite strip analysis for anisotropic laminated composite plates using higher-order deformation theory, Comput Struct 52 (3)

[24] Ferreira AJM Analysis of composite plates using a layerwise theory and multiquadrics discretization Mech Adv Mater Struct 2005;12:99–112

[25] Neeraj Grover, D.K Maiti, B.N Singh A new inverse hyperbolic shear deformation theory for static and buckling analysis of laminated composite and sandwich plates Composite Structures 95 (2013) 667–675

[26] A.J.M Ferreira, G.E Fasshauer, R.C Batra, J.D Rodrigues, Static deformations and vibration analysis of composite and sandwich plates using a layerwise theory and RBF-PS discretizations with optimal shape parameter, Compos Struct 86 (2008) 328–343

[27] A cell-based smoothed three-node Mindlin plate element (CS-FEM-MIN3) based on the C0-type higher-order shear deformationfor geometrically nonlinear analysis of laminated composite plates

[28] Kant T, Swaminathan K Estimation of transverse/interlaminar stresses in laminated composites- a selective review and survey of current developments Compos Struct 2000; 49: 65- 75 343

[29] Sang Jin Lee* and Ha Ryong Kim, ADOPT Research Group, Department of Architectural Engineering, Gyeongsang N a-tional University , Republic of Korea Received 01 Mar 2012 In revised form 05 Aug 2012

[30] Latheswary S, Valasrajan KV, Rao YVKS Behavior of laminated composite plates using higher order shear deformation theory IE(I) J- AS 2004;85:10- 17

[31] Nguyễn Hòa Kết hợp phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh ES-MITC3, sử dụng lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc cao (HSDT)

[32] Liu, G.R., Dai, K.Y., Nguyen-Thoi T., A smoothed finite element method for mechanics problems, Computational Mechanics 39(6) (2007) 859–877

[33] Kant T, Pandya BN A simple finite element formulation of a higher order theory of unsymmetrically lami-nated composite plates Compos Struct 1988 ; 9 : 215

The Edge-based smoothed discrete shear gap method (ES-DSG) utilizes C0-type Higher-order shear deformation theory to effectively analyze laminated composite plates This innovative approach, developed by Loc V Tran, T Nguyen-Thoi, Chien H Thai, and H Nguyen-Xuan, is detailed in the journal Mechanics of Advanced Materials and Structures The ES-DSG method enhances the accuracy of structural analysis in composite materials, making it a significant advancement in the field of mechanics.

[35] Phill-Seung Lee, Klaus-Jurgen Bathe Development of MITC isotropic triangular shell finite elements Computers and Structures 82 (2004) 945–962

[36] Reissner, E (1945), “The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic plates”, J Appl Mech., 12, pp 69–76

[37] Mindlin, R.D (1951), “Influence of rotatory inertia and shear in flexural motions of isotropic elastic plates”, J Appl Mech., 18, pp 31–38

[38] J.S Chen, C.T Wu, S Yoon, Y You, A stabilized conforming nodal integration for Galerkin mesh-free methods, Int J Numer Methods Eng 50 (2001)

[39] Hyeong-Min Jeon, Phill-Seung Lee, Klaus-Jürgen Bathe The MITC3 shell finite element enriched by interpolation covers.Computers and Structures 134 (2014) 128–