Nội dung nghiên cứu
Cơ sở khoa học của đề tài
I.1 Cơ sở lý luận của đề tài.
I.1.1 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:
( H là hình chiếu của M lên (P) )
I.1.2 Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song:
I.1.3 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:
I.1.4 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
( chéo nhau; là đoạn vuông góc chung)
Dựa trên hệ thống kiến thức đã trình bày, ta rút ra kết luận quan trọng rằng mọi loại khoảng cách trong không gian có thể được quy về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
I.2 Cơ sở thực tiễn của đề tài.
Dưới sự lãnh đạo của Ban giám hiệu, đội ngũ giáo viên luôn nỗ lực đổi mới phương pháp giảng dạy để nâng cao chất lượng giáo dục cho học sinh Nhà trường không chỉ chú trọng truyền thụ tri thức mà còn phát triển năng lực tư duy, giúp học sinh chuẩn bị hành trang vững chắc cho tương lai Tuy nhiên, hình học không gian, đặc biệt là bài toán tính khoảng cách, vẫn là môn học khó khăn đối với nhiều học sinh, nhất là những em trung bình và yếu Khi gặp khó khăn trong việc giải quyết bài toán, nhiều học sinh thường nản lòng và bỏ qua Thống kê kết quả trước khi dạy đề tài này ở hai lớp trong năm học 2020-2021 cho thấy rõ thực trạng này.
Năm học Lớp Sĩ số Số học sinh giải được trước khi thực hiện đề tài
Trước thực trạng hiện nay, tôi cho rằng cần hướng dẫn học sinh tìm kiếm giải pháp khác dựa trên kiến thức từ sách giáo khoa Bên cạnh việc cung cấp tri thức, tôi cũng chú trọng rèn luyện kỹ năng giải toán, nâng cao năng lực và phát triển tư duy cho học sinh Điều này không chỉ giúp học sinh học tốt môn học này mà còn tạo nền tảng vững chắc cho các kiến thức khác.
Các sáng kiến và giải pháp để giải quyết vấn đề
Để giải một bài toán hình học không gian, học sinh cần thực hiện các bước quan trọng như đọc kỹ đề bài, phân tích giả thiết, và vẽ hình chính xác Ngoài ra, việc xác định các yêu cầu bổ sung như điểm phụ và đường phụ (nếu cần) cũng rất cần thiết để hỗ trợ quá trình giải toán.
Trong hệ thống bài tập và thực tiễn, "Bài toán về khoảng cách" có thể được phân chia thành nhiều dạng cụ thể như: khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng song song, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Khi chuyển sang hình thức thi trắc nghiệm, bài tập khó nhất thường là các bài về hình không gian do thời gian làm bài bị hạn chế, chỉ còn 1/10 so với trước Việc sử dụng máy tính hay các thủ thuật loại trừ đáp án nhiễu gần như không hiệu quả Học sinh vẫn phải giải bài giống như bài tự luận Để đáp ứng hình thức kiểm tra mới, giáo viên cần hướng dẫn học sinh nắm vững nội dung trọng tâm và bài toán mấu chốt, từ đó có thể giải quyết các bài toán nhỏ khác Sử dụng sơ đồ tư duy sẽ giúp tạo ra lời giải ngắn gọn, logic và nhanh chóng.
II.1 SỬ DỤNG BÀI TOÁN GỐC ĐỂ TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN.
Trong toán học, việc tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là một vấn đề cơ bản và quan trọng Tất cả các bài toán tính khoảng cách khác đều có thể được quy về bài toán này.
II.1.1 Phương pháp giải toán: Để giải quyết một bài toán về khoảng cách trong không gian nói chung theo định hướng này ta cần giải quyết được 3 bước sau: a) Bước 1: (Đối với các bài toán yêu cầu tính các loại khoảng cách)
“Chuyển đổi” khoảng cách cần tính về theo khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Trong bước này nhất thiết phải đạt được hai yêu cầu sau:
Để thực hiện việc chuyển đổi trong toán học, giáo viên cần hướng dẫn học sinh lựa chọn điểm và mặt phẳng phù hợp Điều này đòi hỏi học sinh phải nắm vững lý thuyết và có khả năng tư duy linh hoạt Trong một số trường hợp, học sinh có thể cần sáng tạo ra những yếu tố mới, như vẽ thêm đường hay mặt, để giải quyết bài toán hiệu quả.
Để giải bài toán về khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, việc chọn "điểm" và "mặt phẳng" phù hợp là rất quan trọng Điều này ảnh hưởng trực tiếp đến khả năng tìm ra lời giải hoàn chỉnh cho bài toán Bài toán cơ bản được đặt ra là "Tìm khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng P".
Xác định điểm H là hình chiếu của M lên mặt phẳng (P), từ đó đi đến kết luận:
Trong bước này khó khăn lớn nhất là xác định vị trí điểm H, khi đó giáo viên cần lưu ý cho học sinh một số kiến thức sau:
1 (Hệ quả 1- Định lí 1-Bài: Hai mặt phẳng vuông góc-Trang 109-SGK HH11)
2 (Định lí 2-Bài trên) c) Bước 3:
Sử dụng các giả thiết của bài toán và kiến thức về hình học phẳng, đặc biệt là các hệ thức trong tam giác, chúng ta có thể tính toán độ dài đoạn MH Từ kết quả này, chúng ta sẽ rút ra được những kết luận quan trọng liên quan đến bài toán.
Khi việc tính khoảng cách từ M đến P gặp khó khăn, có thể xem xét phương pháp gián tiếp bằng cách tính khoảng cách từ một điểm N nào đó đến P Phương pháp này sẽ mang lại kết quả mong muốn nếu đáp ứng đủ các điều kiện cần thiết.
- Có thể xác định được tỉ lệ giữa khoảng cách từ M và N đến (P), nghĩa là xác định được số , sao cho:
- Việc tính là có thể thực hiện được.
II.1.2 Các bài tập minh họa.
Để giúp học sinh tiếp cận kiến thức một cách tự nhiên và hiệu quả, quan điểm giảng dạy nên đi từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp Bắt đầu với các bài toán gốc và bài toán cơ bản sẽ tạo nền tảng vững chắc, giúp học sinh tự tin giải quyết các bài toán khó hơn và rèn luyện khả năng ứng biến trong các tình huống mới Phương pháp này không chỉ tăng cường hứng thú học tập mà còn phát triển năng lực tư duy cho các em Dựa trên thực tiễn giảng dạy, tôi đã hệ thống hóa các bài tập thành hai dạng chính, từ đó tạo ra một lộ trình học tập hiệu quả.
+) Dạng 1: Gồm các bài tập “cơ bản” (chỉ cần thực hiện hai bước 2 và 3)
+) Dạng 2: Gồm các bài tập cần cả 3 bước như đã nêu
Bài 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm là O Cạnh bên SA vuông góc với đáy và Tính khoảng cách: a Từ điểm A đến mặt phẳng (SBD). b Từ điểm O đến mặt phẳng (SCD).
Lời giải: a Từ giả thiết của bài toán ta có
, gọi là hình chiếu của
Xét tam giác SAO (vuông tại A), ta có:
Từ (1) và (2), suy ra: b (Sử dụng phương pháp gián tiếp)
Gọi K là hình chiếu của A lên SD, tương tự trên ta có:
Xét tam giác SAD (vuông tại A), ta có:
Nhận xét: Qua bài toán 1 ta có thể rút ra một số nhận xét sau:
Để xác định hình chiếu của điểm A lên mặt phẳng (P), trước tiên cần tìm mặt phẳng (Q) chứa điểm A và vuông góc với (P) Giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) sẽ cho ta điểm H, là hình chiếu của A lên mặt phẳng (P).
NX2) Giả sử và Khi đó, nếu thì (
NX3) Nếu có đường thẳng , thỏa mãn: khi đó ta có cách xác định hình chiếu của điểm A lên (P) như sau:
+) Dựng B là hình chiếu của A lên b.
+) Dựng H là hình chiếu của A lên SB.
Suy ra: H là hình chiếu của A lên (P).
Giáo viên nên chú trọng vào việc giúp học sinh nhận diện "dấu hiệu" của NX3, vì đây là một công cụ hữu ích, thường xuyên được áp dụng trong các bài toán khoảng cách, đặc biệt là trong các đề thi THQG trong những năm gần đây.
Bài 2 Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’, có đáy là hình vuông, tam giác A’AC vuông cân, A’C = a Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD’) theo a
Theo giả thiết, ta có: mà , gọi H là hình chiếu của A lên A’B thì Vậy:
Mặt khác tam giác A’AC vuông cân, A’C = a, nên
Xét tam giác A’AB (vuông tại A), ta có:
Bài 3 Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, , M là trung điểm của BC và Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC) theo a.
Từ giả thiết, suy ra là tam giác đều, do M là trung điểm của BC ⇒
Gọi H là hình chiếu của A lên SM thì:
Dễ thấy, vuông cân tại A, nên:
Nhận xét : Trong bài này ta chọn khoảng cách cần tính từ A đến (SBC) là để “lợi dụng” giả thiết , đây là dấu hiệu của NX3 ở trên.
Bài 4 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AB, góc giữa đường thẳng A’C và mặt đáy bằng Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC’A’) theo a.
Gọi M là trung điểm của AB, N là hình chiếu của M lên AC, H là hình chiếu của M lên
Mặt khác, theo giả thiết:
Xét tam giác A’MN (vuông tại M), ta có:
