b/ 1,5đ Chứng minh rằng khi điểm A di động trên đường tròn O; r và A≠ E thì đường thẳng CM luôn đi qua một điểm cố định gọi tên điểm cố định là K... Đáp án và biểu điểm chấm Toán 9 Câu [r]
Trang 1Sở GD&ĐT Thừa Thiên - Huế DE THỊ HỌC SINH GIỎI
Trường THCS Nguyên Tri Phuong Môn Toán 9 - Thời gian : 120 phút
œ8
Cau 1/ (1d) Cho x = PP - Bi Chứng minh rằng x là một số
nguyên
Câu 2/ (1,5đ) Chox>0,y>0,t>0
Vxy +1 _Jyt+1_ Vxt +1 hì Chứng minh rằng : Nếu = thì x=y=t hoặc x.y.t =l
Cau 3/(1,5d) Cho đa thức bac hai f(x)= ax + bx + c có nghiệm dương x = m
Ching minh rang da thitc g(x) = cx’? + bx +a (cZ0) cũng có nghiệm dương x = n và
thỏa mãn m+n>2
Câu 4/(2đ) Trong mặt phăng tọa độ Oxy , cho đường thăng d(m) có phương trình :
(m -1)x+ (m -2)y - I=0 (m là tham số)
Tìm m dé khoảng cách từ điểm O đến đường thăng d(m) có giá trị lớn nhất Xác định đường thăng đó
Câu 5/ (4đ) Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R) và (O; r) với R >r Lấy A và E là
hai điểm thuộc đường tròn (O; r), trong đó A di động, E cô định ( với A # E) Qua
E vẽ một đường thăng vuông góc với AE cắt đường tròn (O; R) ở B và C Gọi M là
trung điểm của đoạn thăng AB
a/ (1,58) Chứng minh EB”+EC”+ EA” không phụ thuộc vị trí điểm A
b/ (1,5đ) Chứng minh răng khi điểm A di động trên đường tròn (O; r) và A# E thì
đường thăng CM luôn đi qua một điểm cố định ( gọi tên điểm có định là K )
œ/ (1đ) Trên tia AK đặt một điểm H sao cho AH = = AK Khi A di động trên đường
tron (O:r) thì điểm H di động trên đường nào ? Chứng minh nhận xét đó ?
Trang 2Dap an va biéu diém chầm Toán 9
Cau Nội dung Điểm Câu1
a=il3+,|9+- và b= l|-3+.|9+
Thì a—b =6 va ab = x=a—b>x’ =a°—b —3ab(a—b) 0,25 d
3 2 —
x =6-5x &(x-1)(x° +x+6)=0 0,25 d
Ma x7 +x +6 > O(do ).Suy ra x =1.Vậy xe Z
0,25 d Câu 2 | Từ os nức VỚI dieu kiện do đề bài đã cho suy ra :
1
Ti Fr zy
TIÊN
ý
"mm ak We
AE KIKS) | ons
0) = [Ve YS) [yo —Va] (evn) = I af ZYZXXY IT |
` 4 › |ÄX}y=Z 0.5 d
Từ 3) Hoc sinh chting minh dugc rang ,
xyz=l1 Câu 3 | Ta có: x =m là nghiệm của da thirc f(x)= ax” + bx +¢
S màn “+b m+c =0 (1), ma (1) mm> 0 (gt ee 0,25
()©@a+ +- =0 @a+b(—)+cC)=0 @) 0,25đ
(1,54) Đẳng thức này chứng tỏ rằng x=—— là nghiệm của | ; 0,25d
m
đa thtte g(x) =cx*>+bxt+a=0 Vay x=n= iy 0(dom>0) (3) 0,25 d
m
Ta có m+n =m +-L>2 me (do ) 0,25 d
Câu 4 | Nêu m =l thì d(1) là đường thắng y= -I nên khoảng cách từ O đến d(1) là 1 | 0,254
(2d) Nêu m =2 thì d(2) là đường thăng x = 1 nén khoang cach ttr O dén d(2) 1a 1 q) 0,25d
Trang 3
Néu m #1 va m# 2 thi d(m) cat truc hoanh tai a{ | va cat truc tung tai
mì —
0,25
B (« 5) Goi OH là khoảng cách từ O đến đường thắng AB ta có : m—
1L _— 1 1 › ›
2
OH 2) 2 2
3
Vay OH? <2 @ OH< V2 > OH, nq = V2 khi m => (2) 0,254
Từ (1) và (2) và do 1 < 42 suy ra khoảng cách lớn nhất từ O đến d(m) 1a V2 025đ
°
Khi đó đường thăng d có công thức là x - y- 2 =0 0,25d Cau 5
Câu a Í Gọi G là trung điểm BC thì OG.LBC_ (đi) suy ra
, GB = GC va GE=GD (dl)
và OG là đường trung bình A ADE nên oG=— AE hay AE = 20G 0,25d
Ta cé EB°+EC’= (BG-EG)’+ (GC+ GD)“=(BG-EG)“+(BG+EG)” 0,25d
Suy ra EBˆ+EC”= 2(BG“ +EG”)
Ap dụng định lý Pi ta go vào các tam giác vuông OGE và OGB ta có : 0,25d
OG”+GE”= r” và OG”+GB”= R”
Do đó EB“+EC”+EA”=2(BG” +EG+4OGˆ =2 (BG”+OG”)+2 (EG”+OG”) 0,25d
= 2R’ +2r° ( không đôi)
Trường hợp đặc biệt : `
Câu b Í Hại tam giác ABC và ADE có chung trung tuyến AG nên có chung trọng tâm 8 0,5d (1,5d)
Trang 4
Câu c
(1đ)
Mà tam giác ADE có trung tuyến OE cô định ,
Nên điêm cô định K mà trung tuyên CM của A ABC đi qua chính là trọng
tam cua AADE
Do H thuộc tia AK, ma K la trong tam A ADE va AH = = AK nén H tring
với G ( là trung điểm chung của hai đoạn thắng DE và BC )
Mà AOGE vuông tại E ( chứng minh trên) , O,E cô định (theo gt) )
Vậy khi A di động trên đường tròn (O; r) thì H di động trên đường tròn
0,5d 0,5d
0,5d 0,25d 0,25d