Giúp học sinh giải tốt các bài toán phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit có chứa tham số

Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Giúp học sinh giải tốt các bài toán phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit có chứa tham số với mục tiêu giúp các em có đủ tự tin chinh phục các bài toán phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit có chứa tham số trong kỳ thi THPT Quốc Gia sắp tới.

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH TÁC GIẢ

- Họ và tên: Trần Văn Miễng Nam, nữ: Nam

- Nơi thường trú: Ấp Phú Bình, xã Phú An, huyện Phú Tân, tỉnh An Giang

- Đơn vị công tác: Trường THPT Nguyễn Chí Thanh

- Chức vụ hiện nay: Tổ trưởng tổ Toán – Tin

- Trình độ chuyên môn: Đại học sư phạm Toán

- Lĩnh vực công tác: Toán học.

SƠ LƯỢC ĐẶC ĐIỂM TÌNH HÌNH ĐƠN VỊ

Tình hình đơn vị

Trường THPT Nguyễn Chí Thanh, nằm ở ấp Phú Hiệp, thị trấn Chợ Vàm, huyện Phú Tân, tỉnh An Giang, là một trường công lập được thành lập vào năm 1995 và trực thuộc sự quản lý của Sở Giáo dục và Đào tạo An Giang Trong năm học 2018 – 2019, trường có 22 lớp với tổng số 835 học sinh Cơ sở vật chất của trường được đầu tư khang trang, đáp ứng nhu cầu dạy và học, và trong năm học này, trường đã xây thêm phòng học và phòng bộ môn nhằm hướng tới việc đạt chuẩn quốc gia vào năm 2019.

Thuận lợi và khó khăn

- Được sự quan tâm và chỉ đạo của các cấp lãnh đạo, nhất là Ban Giám Hiệu của trường nên việc thực hiện nhiệm vụ được thuận lợi

- Cơ sở vật chất của nhà trường khang trang, đảm bảo cho hoạt động dạy và học

- Đa số phụ huynh có quan tâm đến việc học tập của con em mình

- Học sinh có định hướng tương lai nghề nghiệp, học là để lập thân, lập nghiệp nên có động cơ học tập đúng đắn

- Bản thân cá nhân có tinh thần cầu tiến và ham học hỏi b Khó khăn

- Do chất lượng đầu cấp (lớp 10) còn thấp nên cũng ảnh hưởng đến chất lượng dạy và học

- Còn một bộ phận học sinh mất căn bản, lười học nên rất khó khăn trong việc tiếp thu kiến thức mới

- Do đổi mới hình thức kiểm tra và đánh giá và trắc nghiệm khách quan nên đòi hỏi người học phải có kiến thức toàn diện hơn.

Tên sáng kiến

“ GIÚP HỌC SINH GIẢI TỐT CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT CÓ CHỨA THAM SỐ”.

MỤC ĐÍCH YÊU CẦU

Thực trạng ban đầu trước khi áp dụng sáng kiến

Môn toán trong chương trình giáo dục trung học phổ thông đóng vai trò quan trọng, giúp học sinh phát triển tư duy logic và khả năng suy luận Học tốt toán không chỉ hỗ trợ trong việc học các môn khoa học tự nhiên khác mà còn yêu cầu học sinh phải chăm chỉ, có năng lực tư duy và áp dụng phương pháp học đúng đắn.

Trong quá trình học tập, học sinh tiếp thu nhiều kiến thức, trong đó phương trình và bất phương trình là trọng tâm của chương trình học, chiếm thời lượng lớn trong giảng dạy Tuy nhiên, học sinh thường gặp khó khăn khi giải toán, mặc dù chương trình hiện tại đã giảm nhẹ Nhiều sai sót cơ bản như sai về phép biến đổi tương đương, điều kiện và kỹ năng tính toán thường xuất hiện Ngoài ra, học sinh còn phải đối mặt với các bài toán có chứa tham số, loại bài toán khó hơn nhiều so với việc giải phương trình và bất phương trình thông thường Mặc dù sách giáo khoa đã giảm tải các bài toán này, chúng vẫn đóng vai trò quan trọng trong các kỳ thi, đặc biệt là thi học sinh giỏi và thi THPT Quốc Gia Để giải được các bài toán có tham số, học sinh cần nắm vững các dạng phương trình và bất phương trình, có kỹ năng tính toán tốt và khả năng tổng hợp kiến thức từ nhiều phần khác nhau, điều này giải thích vì sao nhiều học sinh không thể giải được loại bài toán này.

Khi giao bài tập về giải phương trình và bất phương trình mũ, lôgarit có chứa tham số, học sinh thường gặp khó khăn và phản ánh rằng họ không biết cách giải Điều này không chỉ là thách thức đối với học sinh mà cũng là nỗi trăn trở của giáo viên, bởi vì các bài toán này yêu cầu tư duy cao và khả năng vận dụng kiến thức Giáo viên cần linh hoạt trong việc giao bài tập phù hợp với trình độ của từng học sinh để nâng cao hiệu quả giảng dạy Thêm vào đó, việc nhớ nhiều công thức liên quan đến hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit cũng là một trở ngại lớn Việc giải quyết các bài toán này luôn là mối quan tâm hàng đầu của giáo viên, đặc biệt là trong bối cảnh chuẩn bị cho kỳ thi THPT Quốc Gia.

Sự cần thiết phải áp dụng sáng kiến

Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit là nội dung quan trọng trong chương trình toán trung học phổ thông, đặc biệt trong chương II, Giải tích lớp 12 Kiến thức này liên quan chặt chẽ đến các môn khoa học tự nhiên như Lý, Hóa, và Sinh, giúp học sinh cải thiện khả năng học tập Tuy nhiên, chương này có nhiều dạng toán khó, nhất là các bài toán giải phương trình và bất phương trình mũ, lôgarit có chứa tham số, đòi hỏi tư duy cao và thường gặp trong kỳ thi THPT Quốc Gia Nhiều học sinh gặp khó khăn do chưa nắm vững phương pháp giải, điều này ảnh hưởng đến kết quả học tập và tương lai của các em Để giúp học sinh vượt qua khó khăn này, tôi đã viết đề tài “Giúp học sinh giải tốt bài toán phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit có chứa tham số”, với hy vọng giúp các em tự tin chinh phục các bài toán trong kỳ thi sắp tới.

Nội dung

3.1 Tiến trình và thời gian thực hiện

SKKN này được thực hiện trong năm học 2018 – 2019

Trước khi dạy các phương pháp cho học sinh, giáo viên cần trang bị cho các em những công thức, kết quả thường dùng và các suy luận chưa được đề cập trong sách giáo khoa Qua kinh nghiệm giảng dạy, để giải quyết hiệu quả các bài toán, phương pháp đồ thị và kiến thức về nghiệm của phương trình bậc hai là rất quan trọng Do đó, giáo viên nên cung cấp cho học sinh một nền tảng kiến thức vững chắc, bao gồm "Bảy phần kiến thức cơ bản".

Trong kiến thức cơ bản về toán học, cần nắm vững các công thức liên quan đến hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit Bên cạnh đó, việc hiểu rõ các công thức đạo hàm và quy tắc xét dấu của đa thức cũng rất quan trọng Những kiến thức này là nền tảng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong lĩnh vực toán học.

 Kiến thức cơ bản 2: Cho phương trình bậc hai ax 2 bx c 0, với a0

 Phương trình có hai nghiệm phân biệt   0

 Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt 1 2

 Phương trình có hai nghiệm trái dấu ac0

 Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu 0

 Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt 1 2

 Kiến thức cơ bản 3: Cho tam thức bậc hai f x( )ax 2 bx c , với a0

 Tam thức có hai nghiệm phân biệt x x 1 , 2 thỏa x 1   x 2 a f ( ) 0

 Tam thức có hai nghiệm phân biệt x x 1 , 2 thỏa  

 Tam thức có hai nghiệm phân biệt x x 1 , 2 lớn hơn số  

 Tam thức có hai nghiệm phân biệt x x 1 , 2 nhỏ hơn số  

 Kiến thức cơ bản 4: Số nghiệm của phương trình ( )f x  g x( ) (với xD) bằng với số giao điểm của đồ thị hàm số y f x( ) và yg x( ) trên miền D

 Kiến thức cơ bản 5: Bất phương trình f x( )g x( ) nghiệm đúng  x D  Đồ thị hàm số y f x( ) luôn nằm trên đồ thị hàm số yg x( ) trên miền D

 Kiến thức cơ bản 6: Bất phương trình f x( )g x( ) có nghiệm x D

 Đồ thị hàm số y f x( ) có nằm trên đồ thị hàm số yg x( ) trên miền D

 Kiến thức cơ bản 7: Các phép biến đổi tương đương thường dùng

Giải phương trình và bất phương trình có tham số có nhiều dạng từ cơ bản đến phức tạp Bài viết này chỉ tập trung vào các dạng thường gặp trong các kỳ thi, không nhằm mục đích cung cấp kiến thức quá hàn lâm Để truyền đạt hiệu quả cho học sinh, giáo viên nên phân loại các dạng bài Theo kinh nghiệm cá nhân, có năm dạng thường gặp mà giáo viên nên chú ý.

Dạng 1: Tìm điều kiện để PT mũ và PT lôgarit có nghiệm

Dạng 2: Tìm điều kiện để PT mũ và PT lôgarit có nghiệm trên miền D cho trước

Dạng 3: Tìm điều kiện để PT mũ và PT lôgarit có nghiệm và các nghiệm của PT thỏa điều kiện cho trước

Dạng 4: Tìm điều kiện để BPT mũ và BPT lôgarit nghiệm đúng với   x D

Dạng 5: Tìm điều kiện để BPT mũ và BPT lôgarit có nghiệm x  D

Sau đây chúng ta vào nội dung cụ thể của từng dạng

3.2.1 CÁC BÀI TOÁN VỀ PT MŨ VÀ PT LÔGARIT CÓ CHỨA THAM SỐ

A Dạng 1: Tìm điều kiện để PT mũ và PT lôgarit có nghiệm

 Phương pháp : Ta thường sử dụng 2 phương pháp sau đây

 Phương pháp 1: Dùng kiến thức về PT bậc hai

- Đặt ẩn phụ từ PT đã cho (thường là PT bậc hai)

- Sử dụng kiến thức về nghiệm của PT bậc hai để giải theo ycbt

 Phương pháp 2: Phương pháp đồ thị

- Từ PT đã cho biến đổi về dạng f x( )g m( ) (1), với m là tham số thực

- Số nghiệm của PT (1) bằng với số giao điểm của đường thẳng yg m( ) và đồ thị hàm số y f x( ) Ta lập BBT để thấy số giao điểm

 Thí dụ 1 : Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình

4 x 2 2m x   m 2 0 có hai nghiệm phân biệt

- Bài này giải được bằng kiến thức về PT bậc hai và phương pháp đồ thị

- Tuy nhiên, sử dụng kiến thức về PT bậc hai nhẹ nhàng hơn

 Giải: Đặt t  2 x , điều kiện t0 PT đã cho trở thành t 2  2 mt    m 2 0 (1) ycbt  PT (1) có hai nghiệm dương phân biệt

Học sinh có kiến thức vững về phương trình bậc 2 sẽ thấy bài toán này rất đơn giản Khi giải trắc nghiệm, không cần phải đặt ẩn phụ, chỉ cần nhận diện phương trình đã cho là phương trình bậc 2 theo ẩn.

2 x , ta giải sẽ nhanh hơn

 Thí dụ 2: Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình

2 2 log2 3 2 0 log x m x m  có hai nghiệm phân biệt

- Tuy nhiên, sử dụng kiến thức về PT bậc hai sẽ nhanh hơn

 Giải : Điều kiện x0, đặt tlog 2 x PT đã cho trở thành t 2 2mt3m 2 0 (1) ycbt  PT (1) có hai nghiệm phân biệt

Học sinh cần nắm vững bản chất bài toán và kiến thức về phương trình bậc hai để giải quyết bài toán một cách hiệu quả Phương trình đã cho có thể được xem là phương trình bậc hai với ẩn là log2 x, do đó, việc đặt ẩn phụ là không cần thiết.

 Thí dụ 3: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của m để phương trình

 2  3   x   2 3  x  m có hai nghiệm phân biệt Hỏi tập S có bao nhiêu số nguyên dương nhỏ hơn 2019?

- Sử dụng kiến thức về PT bậc hai nhẹ nhàng hơn Xem ẩn là  2  3  x

 Thí dụ 4: Gọi S là tập hợp các giá trị thực của m để phương trình 9 x 3 x  1  m 0 có nghiệm Hỏi tập S có bao nhiêu số nguyên dương nhỏ hơn 2019?

- Tuy nhiên sử dụng phương pháp đồ thị dễ dàng hơn

 Giải: Đặt t3 x , điều kiện t0 PT đã cho trở thành t 2  3t m ycbt  Đồ thị hàm số y t 2 3t và ym có điểm chung trên miền t0

Lập BBT của hàm số y t 2 3t Ta có y     2t 3 0, t 0

Dựa vào BBT, ta tìm được m0 

Học sinh cần nắm vững phương pháp đồ thị để giải bài toán hiệu quả, bởi nếu không, việc áp dụng kiến thức về phương trình bậc hai sẽ trở nên phức tạp hơn do phải xem xét nhiều trường hợp và đưa ra nhiều điều kiện khác nhau.

 Thí dụ 5: Gọi S là tập hợp các giá trị thực của m để phương trình m 16 x  2.81 x  5.36 x có nghiệm duy nhất Hỏi tập S có bao nhiêu số nguyên lớn hơn 2019?

- Tuy nhiên sử dụng phương pháp đồ thị dễ dàng hơn nhiều

    , điều kiện t0 PT đã cho trở thành m   5 t 2 t 2 ycbt đường thẳng ym và đồ thị hàm số y 5t 2t 2 có 1 điểm chung duy nhất trên miền t0 Lập BBT của hàm số y 5t 2t 2 , 5 2 0 5 y     t t 2 t 0 5

Dựa vào BBT, ta tìm được m0 hoặc 25 m 8 

 Thí dụ 6: Hỏi có bao nhiêu số thực nguyên m để phương trình

  2   log 2 x 1 log mx8 có hai nghiệm thực phân biệt ?

- Giải bằng kiến thức PT bậc hai khó hơn sử dụng phương pháp đồ thị

           ycbt Đường thẳng ym cắt đồ thị hàm số

 tại 2 điểm phân biệt trên miền x1 Lập BBT của hàm số

Dựa vào BBT, ta tìm được 4 m 8 

Trong chương trình hiện hành, học sinh sẽ gặp khó khăn khi áp dụng kiến thức về phương trình bậc hai Tuy nhiên, nếu thành thạo phương pháp đồ thị, bài toán sẽ trở nên dễ dàng hơn Ví dụ, trong đề thi năm 2017, câu 31, yêu cầu tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 4x - 2x + 1 = m có hai nghiệm thực phân biệt Các đáp án được đưa ra là A m ∈ (-∞; 1), B m ∈ (0; +∞), C m ∈ (0; 1] và D m ∈ (0; 1) Bài toán này có thể giải bằng ba phương pháp: kiến thức về phương trình bậc hai, phương pháp đồ thị và máy tính Casio, trong đó sử dụng kiến thức về phương trình bậc hai sẽ giúp giải nhanh gọn hơn.

Chúng ta chọn đáp án D Cách thứ hai là sử dụng phương pháp đồ thị Đặt t = 2x với điều kiện t > 0, phương trình đã cho trở thành m = -2t + t² Đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = -2t + t² tại hai điểm phân biệt Lập bảng biến thiên của hàm số y = -2t + t², với y' = -2 + 2t Khi t = 0 và t = 1, ta có y' = 0 và y' > 0 cho t > 1.

Dựa vào BBT, ta tìm được 0 m 1 

 Lời bình : Rõ ràng, nếu học sinh được trang bị đủ phương pháp thì sẽ làm tốt được câu hỏi này

 Thí dụ 8: (Đề của Bộ năm 2018, Câu 42, Mã Đề 103)

Cho phương trình 7 x  m log7  xm  với m là tham số Có bao nhiêu giá trị nguyên của

 25; 25  m  để phương trình đã cho có nghiệm

- Bài này khó, học sinh phải có kiến thức tổng hợp mới tìm ra lời giải

- Ta dùng PP đồ thị kết hợp với ẩn phụ để giải

 Giải: Điều kiện: xm Đặt 7   log 7 7 7

Do hàm số f x( )7 x x đồng biến trên nên (1)  t x Từ đó ta có

 Đường thẳng ym và đồ thị hàm số y x 7 x có điểm chung trên

Lập BBT của hàm số yg x( ) x 7 , x y 1 7 ln 7 x    0 x log7  ln 7 x 0 x  x 0  y  0  y g x( 0 )

Dựa vào BBT, ta được mg x( 0)g log (ln 7)7  0.856 

B Dạng 2: Tìm điều kiện để PT mũ và PT lôgarit có nghiệm trên miền D

- Ta cũng dùng 2 phương pháp như dạng 1 Đó là PP đồ thị và dùng kiến thức về

- Tuy nhiên khi đặt ẩn phụ chú ý điều kiện của ẩn phụ Đặt tu x x( ),   D t ?

 Thí dụ 9: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình 2 x (2m).4 x 8 x 0 có nghiệm thuộc khoảng   0;1 ?

- Bài này giải được bằng PP đồ thị và kiến thức nghiệm PT bậc hai

- Dùng PP đồ thị sẽ dễ hơn Chú ý khi đặt t  2 , x x    0;1 Tìm tập giá trị của t ?

 Giải: Đặt t  2 , x x    0;1   t   1; 2 PT đã cho trở thành

        ycbt Đường thẳng y 2 m và đồ thị hàm số

Lập BBT của hàm số

Dựa vào BBT, ta được 3 1

 Thí dụ 10: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m để phương trình

4 log x log x m 0 có nghiệm thuộc khoảng  0;1 Hỏi tập S có bao nhiêu số nguyên lớn hơn 2019

- Bài này dùng phương pháp đồ thị kết hợp với ẩn phụ

- Chú ý khi đặt tlog2 x x,  0;1 Tìm tập giá trị của t ?

4 log x log x  m 0 log xlog x m 0 Đặt tlog2 x x,  0;1   t  ;0 PT đã cho trở thành m  t 2 t ycbt đường thẳng ym và đồ thị hàm số y  t 2 t có điểm chung trên miền t0

Lập BBT của hàm số 2 1

Dựa vào BBT, ta tìm được 1 m 4 

Ta chọn đáp án A  Thí dụ 11: Hỏi có bao nhiêu số thực nguyên m để phương trình

Bài toán 3 log x + 1 log + x - 2m - = 1 0 có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [1; 3] Để giải quyết, chúng ta áp dụng phương pháp đồ thị kết hợp với việc đặt ẩn phụ Cần chú ý rằng khi đặt t = log3 x, với x thuộc [1; 3], ta sẽ tìm được tập giá trị của t.

Ta có 1 x 3 3  0 log 3 x 3 Đặt t 1 log 2 3 x x, 1;3 3  t  1;2

PT đã cho trở thành t 2   t 2 2m ycbt Đường thẳng y2m và đồ thị hàm số y   t 2 t 2 có ít nhất một điểm chung trên miền 1 t 2 Lập BBT của hàm số y    t 2 t 2, y   2 t     1 0, t   1; 2 t 1 2 y  y 4

0 Dựa vào BBT, ta tìm được 02m   4 0 m 2 

 Thí dụ 12: Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên m để phương trình

2 0 x x x e  e  e   m có 3 nghiệm phân biệt thuộc khoảng   ln 2;  

- Bài này dùng phương pháp đồ thị kết hợp với đặt ẩn phụ

- Chú ý khi đặt t  e x , x    ln 2;    Tìm tập giá trị của t ?

2 te x x    t   PT đã cho trở thành t 3 6t 2   9t m ycbt Đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số y t 3 6t 2 9t tại 3 điểm phân biệt trên miền 1 t  2 Lập BBT của hàm số 3 2 2 1

Dựa vào BBT, ta có 25 25

 Thí dụ 13: (Đề thử nghiệm của Bộ năm 2017, Câu 20, Mã Đề 01)

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình 6 x    3 m  2 x   m 0 có nghiệm thuộc khoảng   0;1

- Bài này dùng phương pháp đồ thị hoặc sử dụng bấm máy tính casio

- Tuy nhiên, học sinh biết cách giải vẫn tốt hơn

 ycbt Đường thẳng ym và đồ thị hàm số 6 3.2

 có điểm chung trên miền

Nếu đạo hàm không đổi dấu, chúng ta có thể suy luận trực tiếp mà không cần lập bảng biến thiên (BBT) Điều này dựa vào tính chất của hàm đồng biến và nghịch biến để tìm ra đáp số một cách hiệu quả.

C Dạng 3: Tìm điều kiện để PT mũ và PT lôgarit có nghiệm và các nghiệm của

PT thỏa điều kiện cho trước

 Phương pháp : Có hai phương pháp hay dùng

 Phương pháp 1: Dùng kiến thức về PT bậc hai

- Đặt ẩn phụ từ đề bài , thường là PT bậc hai

- Biết sử dụng định lý Viét, so sánh nghiệm với 1 số,…để giải theo ycbt

 Phương pháp 2: Sử dụng phương pháp đồ thị

- Từ PT đã cho biến đổi về dạng f x( )g m( ) (1), với m là tham số thực

- Số nghiệm của PT (1) bằng với số giao điểm của đường thẳng yg m( ) và đồ thị hàm số y f x( ), với xD

 Thí dụ 14: Cho phương trình 4 x m.2 x  1 2m0 ( m là tham số thực) có hai nghiệm thực phân biệt x x 1 , 2 thỏa x 1 x 2 4 Hỏi mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng ?

- Xác định bài toán có 2 ĐK : Có 2 nghiệm phân biệt và ĐK x 1 x 2 4

- Biết sử dụng định lý Viét cho ĐK x 1 x 2 4

PT đã cho trở thành t 2 2mt2m0

 Thí dụ 15: Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình

3 3 log x(m2) log x3m 1 0 có hai nghiệm phân biệt sao cho x x 1 2 27

- Xác định bài toán có 2 ĐK : Có 2 nghiệm phân biệt và ĐK x x 1 2 27

- Biết sử dụng định lý Viét cho ĐK x x 1 2 27

 Giải: Đặt tlog 3 x PT đã cho trở thành t 2 (m2)t3m 1 0 (1)

1 2 27 log3 1 log3 2 3 1 2 3 x x   x  x    t t , với t t 1 , 2 là nghiệm của PT (1)

 Thí dụ 16: Biết tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình

 5  2   x  4 5  2  x  m có hai nghiệm âm phân biệt là khoảng   a b ; Tính a  b

Bài này giải được bằng 2 PP : Dùng kiến thức PT bậc 2 và PP đồ thị

Cách 1 : Dùng PP đồ thị

PT đã cho trở thành 4 t m

 t , với t1 ycbt Đường thẳng ym cắt đồ thị hàm số 4 y t

  t tại 2 điểm phân biệt trên miền

1 t Lập BBT của hàm số

4 Dựa vào BBT, ta tìm được 4 m 5 

Cách 2 : Dùng kiến thức PT bậc hai Đặt t   5  2  x , do x    0 t 1

PT đã cho trở thành 4 2

 t     (1) ycbt PT (1) có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn 1

 Thí dụ 17: Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m để phương trình

2 2 log 2( 1)log 5 0 m x m x  m có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 1 Hỏi tập S có bao nhiêu số nguyên nhỏ hơn 2019?

- Bài này giải được bằng 2 PP : Dùng kiến thức PT bậc 2 và PP đồ thị

- Tuy nhiên, giải bằng kiến thức PT bậc hai dễ và gọn hơn

 Giải: Đặt tlog 2 x, với ĐK 0   x 1 t 0

PT đã cho trở thành mt 2 2(m1)t  m 5 0 (1) ycbt PT(1) có hai nghiệm âm phân biệt

 Lời bình: Học sinh không biết điều kiện 2 nghiệm dương của PT bậc hai thì khó tìm được lời giải

 Thí dụ 18: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 25 x 2.10 x m 2 4 x 0 có hai nghiệm trái dấu

- Tuy nhiên, giải bằng kiến thức PT bậc hai dễ và gọn hơn

PT đã cho trở thành t 2  2t m 2 0 (1) ycbt PT (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa 0  t 1 1 t 2

 Lời bình: Học sinh không biết điều kiện so sánh nghiệm của PT bậc hai với 1 số thì khó tìm được lời giải

 Thí dụ 19: (Đề tham khảo của Bộ năm 2018, Câu 34, Mã Đề 001)

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình

- Tuy nhiên, giải bằng PP đồ thị dễ và gọn hơn

  , do x  0 t 1 PT đã cho trở thành t 2   2t 2 m ycbt Đường thẳng y 2 m và đồ thị hàm số y t 2 2t có điểm chung trên miền 1 t Lập BBT của hàm số y f t( ) t 2 2 , t y    2t 2 0, t 1

 Lời bình: Học sinh biết PP đồ thị sẽ dễ tìm lời giải cho câu hỏi này

3.2.2 CÁC BÀI TOÁN VỀ BPT MŨ VÀ BPT LÔGARIT CÓ CHỨA THAM SỐ

D Dạng 4: Tìm điều kiện để BPT mũ và BPT lôgarit nghiệm đúng với mọi xD

 Phương pháp 1: Sử dụng dấu tam thức bậc hai

- Đặt ẩn phụ từ đề bài, thường là dạng BPT bậc hai

- Dùng dấu tam thức bậc hai để giải điều kiện của bài toán đã cho

 Phương pháp 1: Phương pháp đồ thị

- Biến đổi BPT đã cho về dạng g m( ) f x( ) có nghiệm với mọi xD

- ycbt  Đường thẳng yg m( ) nằm trên đồ thị hàm số y f x( ) trên miền D

 Thí dụ 20: Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình log 2 x3logx m 0 nghiệm đúng với mọi x0

- Bài này giải được bằng 2 PP : Dùng tam thức bậc 2 và PP đồ thị

- Dùng tam thức bậc hai dễ và gọn hơn

Cách 1 : Dùng kiến thức tam thức bậc hai Đặt tlogx, do x  0 t

Cách 2 : Dùng PP đồ thị Đặt tlogx, do x  0 t BPT đã cho trở thành m  t 2 3t ,  t ycbt Đường thẳng ym không nằm dưới đồ thị hàm số y  t 2 3t trên

Lập BBT của hàm số 2 3

Dựa vào BBT, ta tìm được 9 m 4 

 Thí dụ 21: Hỏi có bao nhiêu số nguyên m nhỏ hơn 2019 để bất phương trình 9 x ( 1)3 x 2 1 0 m  m    m với mọi x

- Bài này giải bằng PP tam thức bậc rất khó

- Dùng PP đồ thị dễ và gọn hơn

 Giải: Đặt t3 x ,x  t 0 BPT trở thành mt 2 9(m1)t    m 1 0, t 0

  ycbt Đường thẳng ym nằm trên đồ thị hàm số 2 9 1

  trên miền t 0 Lập BBT của hàm số

Dựa vào BBT, ta tìm dược 1 m 2019 

Ta chọn đáp án C  Thí dụ 22: Có bao nhiêu số nguyên dương m để bất phương tình 2

Bài toán 3 3 log x m log x m 150 nghiệm đúng với mọi x   9;81  yêu cầu phân tích và giải quyết Phương pháp giải bằng tam thức bậc rất khó, do đó, việc sử dụng phương pháp đồ thị sẽ dễ dàng và hiệu quả hơn Đặt t log3 x, với x nằm trong khoảng 9;81, ta có t thuộc 2; 4 Bất phương trình đã cho trở thành t 2  mt   m 15    0, với t trong khoảng 2; 4.

15, 2; 4 1 m t t t       , ycbt  Đường thẳng ym không nằm trên đồ thị hàm số

Dựa vào BBT, ta được m6 

 Thí dụ 23: Hỏi có bao nhiêu số nguyên m lớn hơn 2019 để bất phương trình

  , do x    0 t  0;1  BPT đã cho trở thành 2 m  2 m 1  1 t 0

 , ycbt Đường thẳng y2m nằm dưới đồ thị hàm số

 trên miền 0 t 1 Lập BBT của hàm số

Dựa vào BBT, ta tìm được 1

Ta chọn đáp án A  Thí dụ 24: (Đề tham khảo của Bộ năm 2019, Câu 39, Mã Đề 001)

Cho hàm số y f x( ) Hàm số y f x( ) có bảng biến thiên như sau x  3 1 

Bất phương trình ( )f x e x m đúng với mọi x    1;1  khi và chỉ khi

- Bài này dạng BPT nghiệm đúng với mọi xD

- Bài này không quá khó, ta dùng PP đồ thị để giải

( ) x ( ) x , 1;1 f x e  m f x e m   x ycbt Đường thẳng y m luôn nằm trên đồ thị hàm số g x( ) f x( )e x với mọi

 1;1  x  Lập BBT của hàm số g x( ) f x( )e g x x , ( )  f x( )e x Từ giả thiết ta có

Dựa vào BBT, ta được 1

E Dạng 5: Tìm điều kiện để BPT mũ và BPT lôgarit có nghiệm xD

 Phương pháp 1: Sử dụng dấu tam thức bậc hai

- Đặt ẩn phụ từ đề bài, thường là dạng BPT bậc hai

- Dùng dấu tam thức bậc hai để giải điều kiện của bài toán đã cho

 Phương pháp 1: Phương pháp đồ thị

- Biến đổi BPT đã cho về dạng g m( ) f x( ) có nghiệm xD

- ycbt  đường thẳng yg m( ) có nằm trên đồ thị hàm số y f x( ) trên miền D

 Thí dụ 25: Hỏi có bao nhiêu số nguyên m nhỏ hơn 2019 để bất phương trình

 Giải: Đặt t2 x , có điều kiện t 0 BPT đã cho trở thành t 2 2mt 3 2m0 2 2 3

 ycbt Đường thẳng y2m có nằm trên đồ thị hàm số

2 Dựa vào BBT, ta tìm được 2m  2 m 1 

 Thí dụ 26: Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình

2 2 log 2x2(m1)log x 2 0 có nghiệm x thuộc khoảng  2;  

- Bài này giải bằng PP tam thức bậc hai rất khó

      ycbt Đường thẳng ym có nằm trên đồ thị hàm số

  trên miền 1 t  2 Lập BBT của hàm số

Dựa vào BBT, ta tìm được 3 m 4 

 Thí dụ 27: Tìm tập hợp các giá trị của tham số m để bất phương trình

- Bài này giải bằng PP tam thức bậc hai rất khó

     ycbt Đường thẳng ym có nằm dưới đồ thị hàm số y  5x 4 trên miền x 2 Lập BBT của hàm số y  5x 4,y     5 0, x 2 x 2  y  y

Dựa vào BBT, ta tìm được m6 

 Thí dụ 28: Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để bất phương trình 2 x 3 1  x m.3 x có nghiệm x thuộc đoạn   0;1

- Bài này không giải được bằng PP tam thức bậc hai

- Ta dùng PP đồ thị rất hiệu quả và gọn gàng

          ycbt Đường thẳng ym không nằm trên đồ thị hàm số 2 1

3 3 9 x x y         nghịch biến trên đoạn   0;1 Ta có BBT x 0 1 y y

4 1 Dựa vào BBT, ta được m4 

 Thí dụ 29: (Đề Bộ năm 2017, câu 42, mã đề 103)

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình log 2 2 x2log 2 x3m 2 0 có nghiệm thực

- Bài này giải bằng 3 cách: PP đồ thị, PP tam thức bậc hai và bấm máy tính

- Dùng PP tam thức dễ và gọn hơn

Cách 1 : Dùng kiến thức tam thức bậc hai

Xem BPT đã cho là BPT bậc hai

Dễ thấy nếu  0 thì không thỏa đề bài

Cách 2 : Dùng phương pháp đồ thị Đặt tlog 2 x, do x  0 t

BPT trở thành t 2  2t 3m  2 0 3m   t 2 2t 2 ycbt Đường thẳng y3m có nằm dưới đồ thị hàm số y   t 2 2t 2, t Lập BBT của hàm số y   t 2 2t 2,y     2t 2 0 t 1

Dựa vào BBT, ta có 3m  3 m 1 

Nếu học sinh nắm vững các phương pháp giải toán, tôi tin rằng các em sẽ giải quyết tốt các bài toán tương tự Với sự tự tin này, các em có thể dễ dàng hoàn thành các bài tập tiếp theo.

Câu 1 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

Câu 2 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 16 x 2(m3)4 x 3m 1 0 có nghiệm

Câu 3 Tìm tham số thực m để phương trình log 2 2 x2(2m1)log 2 x m  7 0 có hai nghiệm phân biệt x x 1 , 2 thỏa mãn x x 1 2 2

Câu 4 Tìm tham số thực m để phương trình 9 x 4.3 x   m 1 0 có hai nghiệm thực phân biệt thỏa mãn x 1 x 2 1

Câu 5 Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình 4 x m.2 x 2m 5 0 có hai nghiệm trái dấu

Câu 6 Có bao nhiêu giá trị nguyên m thuộc đoạn   20; 2018  để phương trình

Câu 7 Biết phương trình log 2 3 x m log 3 x 1 0 có nghiệm duy nhất nhỏ hơn 1 Giá trị m thuộc đoạn nào dưới đây?

Câu 8 (Câu 34, mã đề 101, đề chính thức của Bộ năm 2018)

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho phương trình

16 x m.4 x  5m 450 có hai nghiệm phân biệt Hỏi S có bao nhiêu phần tử ?

25 x m.5 x  7m  7 0 có hai nghiệm phân biệt Hỏi S có bao nhiêu phần tử ?

4 x m.4 x  2m  5 0 có hai nghiệm phân biệt Hỏi S có bao nhiêu phần tử ?

 20;20  m  để phương trình đã cho có nghiệm

Câu 13 Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình

 5 1   x  2 m  5 1   x  2 x có nghiệm duy nhất Hỏi tập S có bao nhiêu số nguyên lớn hơn số2020

Câu 14 Gọi S là tập hợp các số nguyên dương của tham số m sao cho bất phương trình

4 x m.2 x   m 15 0 có nghiệm với mọi x thuộc đoạn   1; 2 Tính số phần tử của tập S?

Câu 15 Tìm tập hợp các giá trị của tham số thực m để bất phương trình

Câu 16 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình

2 2 log 7x 7 log mx 4xm với mọi x

Câu 20 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình log2 x m logx  m 3 0 có nghiệm x    1; 

3.3 Những đợn vị, cá nhân tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu

Giáo viên dạy toán khối 12 của Trường THPT Nguyễn Chí Thanh trong năm học

SKKN này phù hợp cho tất cả học sinh THPT và giáo viên giảng dạy trực tiếp Để đạt hiệu quả cao, cần đảm bảo những điều kiện nhất định.

Tạo ra một môi trường học tập thoải mái và vui vẻ là rất quan trọng, giúp giảm áp lực cho học sinh Việc động viên, khích lệ các em, đặc biệt là những học sinh yếu kém, sẽ góp phần nâng cao tinh thần học tập và sự tự tin của các em.

Luôn kiên nhẫn trong việc truyền đạt phương pháp giải toán và rèn luyện bài tập cho học sinh, giúp các em nắm vững kiến thức và phát triển kỹ năng một cách hiệu quả.

 Chủ động trao đổi với giáo viên về những phần kiến thức đã hỏng để giáo viên kịp thời bổ sung vá lại những chổ hỏng cho các em

 Chăm chỉ, kiên nhẫn trong học tập, dành nhiều thời gian để giải bài tập.

HIỆU QUẢ ĐẠT ĐƯỢC

Trước khi áp dụng sáng kiến, nhiều học sinh gặp khó khăn trong việc giải các bài toán phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit có tham số Các em thường không nhận thức được sự đa dạng của các phương pháp giải và không biết lựa chọn phương pháp nào phù hợp cho từng bài toán.

Sau khi áp dụng sáng kiến, hầu hết học sinh đã nắm vững kiến thức cơ bản và biết cách lựa chọn phương pháp giải toán hợp lý cho từng bài toán Các em không còn lo sợ mà thay vào đó là sự tự tin và niềm đam mê học toán ngày càng tăng Học sinh đã biết suy nghĩ, nhận dạng vấn đề và thực hiện các bước cần thiết để hoàn thành bài toán một cách hiệu quả.

Tính hiệu quả của sáng kiến được đánh giá qua kết quả bài làm của học sinh, đặc biệt là việc giải các câu hỏi trong đề thi của Bộ năm 2017 – 2018 và đề kiểm tra Các câu hỏi được lựa chọn cho bài làm có thời gian 30 phút.

Câu 1 (Câu 39, Mã đề 101, đề chính thức của Bộ năm 2017)

Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình log 3 2 x m log 3 x2m 7 0 có hai nghiệm thực x x 1 , 2 thỏa mãn x x 1 2 81

Câu 2 (Câu 45 , mã đề 003, đề tham khảo của Bộ năm 2017)

Hỏi có bao nhiêu giá trị m nguyên trong đoạn   2017; 2017  để phương trình

    log mx 2log x1 có nghiệm duy nhất ?

Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình 9 x 2.3 x  1  m 0 có hai nghiệm phân biệt x x 1 , 2 thỏa mãn x 1 x 2 1

9 x m.3 x  3m 750 có hai nghiệm phân biệt Hỏi S có bao nhiêu phần tử ?

Câu 6 (Đề kiểm tra 1 tiết, giải tích 12, năm học 2018 – 2019)

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình

3 3 log x(m1)log x4m 1 0 có nghiệm thực

Sau khi học sinh lớp 12C7 (lớp khá, sỉ số 35) tiếp cận và làm bài, kết quả đạt được trong năm học 2018 – 2019 rất khả quan.

MỨC ĐỘ ẢNH HƯỞNG

Sáng kiến kinh nghiệm này được thiết kế cho học sinh lớp 12 trên toàn quốc, nhằm giúp cải thiện kỹ năng giải toán Tuy nhiên, do sự đa dạng của các dạng toán, giáo viên và học sinh cần kiên nhẫn trong quá trình dạy và học để đạt hiệu quả tốt nhất.

Giáo viên cần lựa chọn nội dung giảng dạy phù hợp với năng lực của học sinh, đặc biệt là đối với những em có học lực trung bình và yếu, không nên dạy toàn bộ các dạng toán trong đề tài này Đối với các lớp có nhiều học sinh khá và giỏi, giáo viên nên khuyến khích các em tham gia tích cực hơn trong quá trình học tập.

Các em nên nắm vững các phương pháp và dạng toán liên quan đến tham số trong phương trình (PT) và bất phương trình (BPT) mũ và lôgarit, với tỷ lệ làm đúng đạt 77,14%, 74,28%, 85,71%, 71,42%, 17,14% và 88,57%.

Để học sinh nắm vững các dạng toán, việc rèn luyện là rất cần thiết Ngoài giờ học chính thức, các tiết học tự chọn và buổi học trái buổi là thời gian lý tưởng để giáo viên dạy về phương trình và bất phương trình có tham số Học sinh lớp 12 cần thường xuyên ôn tập trong suốt năm học để đạt hiệu quả cao.

Định dạng
Số trang	37
Dung lượng	1,32 MB