c Cần vẽ thêm bao nhiêu tia phân biệt chung gốc O và không trùng với các tia đã vẽ trong hình để tạo thành tất cả 300 góc.. Tính số học sinh khối 6 của trờng đó.[r]
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN -Mơn: Tốn Câu 1: (4,0 điểm).Tính giá trị biểu thức sau: b) B = 23.53 – 3.{539 – [639 – 8.(78 : 76 + 20170)]} a) A = 68.74 + 27.68 – 68 151515 179 161616 1710 c) C = 1500 1616 1600 1717 1 1 1 1 100 d) D = Câu 2: (2,0 điểm) Tìm số nguyên x, biết: a) 2016 : [25 – (3x + 2)] = x x x x x x x x x x 220 b) 10 15 21 28 36 45 55 66 78 39 Câu 3: (3,0 điểm)a)Cho A = 3+32 + 33 + 34 + … + 390 Chứng minh A chia hết cho 11 13 b) Tìm tất cặp số nguyên x, y cho: xy – 2x + y + = Câu 4: (3,0 điểm) a) Tìm số tự nhiên lớn có chữ số, cho chia cho dư chia cho 31 dư 28 4n b) Tìm số nguyên n để phân số 2n có giá trị số nguyên Câu 5: (5,0 điểm) Vẽ hai góc kề bù xOy zOy Vẽ tia Om tia On theo thứ tự tia phân giác góc xOy góc zOy Vẽ tia Om' tia đối tia Om a) Tính số đo góc mOn b) Tính số đo góc kề bù với góc yOm, biết m 'Oz 30 c) Cần vẽ thêm tia phân biệt chung gốc O không trùng với tia vẽ hình để tạo thành tất 300 góc Câu 6: (2,0 điểm) a) Tìm số tự nhiên a b thỏa mãn: (100a + 3b + 1)(2a + 10a + b) = 225 1 1 2017 Chứng minh A b) Cho A = Câu 7: (1,0 điểm) Tớnh chớnh xỏc: 22557788.113399 II Câu (3 điểm) Tìm chữ số tận số sau: a) 572011 b) 931999 Câu (4 điểm) a) Khơng quy đồng tính tổng sau: A = 20 30 42 56 72 90 15 15 7 2006 2006 2005 2005 10 10 b) So sánh: N = 10 M = 10 C©u (4,5 điểm) a) Cho ababab số có sáu chữ số, chứng tỏ số ababab bội 15 12 n+ b) Chứng tỏ 30 n+2 phân số tèi gi¶n c) Chøng tá: S = 16 chia hết cho 33 Câu 4: ( 3,5 điểm) Số häc sinh khèi cđa mét trưêng chưa ®Õn 400 bạn, biết xếp hàng 10; 12; 15 d nhng xếp hàng 11 không d Tính sè häc sinh khèi cđa trêng ®ã Câu (2 im) Cho 2010 đờng thẳng đờng thẳng cắt Không có đờng thẳng đồng quy Tính số giao điểm chúng Câu (3 im) Cho góc xOy góc yOz lµ hai gãc kỊ bï Gãc yOz b»ng 300 a.VÏ tia Om n»m gãc xOy cho xOm = 750; tia On n»m gãc yOz cho yOn = 150 b Hình vẽ có mÊy gãc? c NÕu cã n tia chung gèc th× tạo nên góc? P N Cõu 1: (4,0 điểm) a) A = 68.74 + 27.68 – 68 = 68.(74 + 27 – 1) = 68.100 = 6800 b) B = 23.53 – 3.{539 – [639 – 8.(78 : 76 + 20170)]} B = 8.125 – 3.{539 – [639 – 8.(72 + 1)]}= 1000 – 3.{539 – [639 – 8.(49 + 1)]} B = 1000 – 3.{539 – [639 – 8.50]} = 1000 – 3.{539 – [639 – 400]} B = 1000 – 3.{539 – 239} = 1000 – 3.300= 1000 – 900= 100 c) C = 151515 179 10 161616 17 1500 1616 15.10101 15 16.101 1600 1717 = 16.10101 17 16 17.101 15 15 16 15 15 16 C = 16 17 16 17 = 16 16 17 17 = + 1= 16 1000 1 1 1 1 2 100 = 100 d) D = 15 9999 1.3 2.4 3.5 99.101 (1.2.3 99)(3.4.5 101) 1.101 101 2 2 2 (2.3.4 100).(2.3.4 100) 100 = 100 = = = 100.2 = 200 Câu 2: a) 2016 : [25 – (3x + 2)] = 32.7 x =–3 x x x x x x x x x x 220 b) 10 15 21 28 36 45 55 66 78 39 1 1 1 220 1 1 x 10 15 21 28 36 45 55 66 78 39 1 1 1 1 220 1 2x 12 20 30 42 56 72 90 110 132 156 39 1 1 1 1 220 2x 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10 10.11 11.12 12.13 39 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 220 2x 4 5 6 7 8 9 10 10 11 11 12 12 13 39 1 220 10 220 220 10 2x 2x 2x : 13 39 39 39 39 39 2x 22 x = 11 Câu 3: a) A có 90 số hạng mà 90 nên: A = (3 + 32 + 33 + 34 + 35) + (36 + 37 + 38 + 39 + 310) + … + (386 + 387 + 388 + 389 + 390) A = 3.(1 + + 32 + 33 + 34) + 36.(1 + + 32 + 33 + 34) + … + 386.(1 + + 32 + 33 + 34) A = 3.121 + 36.121 + … + 386.121 = 121(3 + 36 + … + 386)= 11.11(3 + 36 + … + 386) 11 A 11 A có 90 số hạng mà 90 nên: A = (3 + 32 + 33) + (34 + 35 + 36) + … + (388 + 389 + 390) A=3.(1 + + 32)+34.(1 + + 32) +… +388.(1 + + 32)A = 3.13 + 34.13 + … + 388.13 = 13(3 + 34 + … + 388) 11 A 13 b) Ta có: xy – 2x + y + = x(y – 2) + (y – 2) + = – (x + 1)(y – 2) = – = (– 3) = ( – 3).1 Ta có bảng sau: x+1 y–2 x y –3 –1 –3 –4 Câu 4: a) Gọi số cần tìm a ( a N,100 a 999 ) Vì a chia cho dư chia cho 31 dư 28 nên: a 78 a 2831 a 88 a 28 3131 a 18 a 331 a 648 a 6231 a 658 a 6531 Vì (8, 31) = nên a + 65 (8.31) hay a + 65 248 a = 248k – 65 (k N*) Vì a số có chữ số lớn nên k = 4, a = 248.4 – 65 = 927 Vậy số cần tìm 927 4n 4n n(2n 1) 7 n 2n 2n b) Ta có: 2n = 2n 4n Vì n nguyên nên để 2n nguyên 2n nguyên hay 2n – Ư(7) = {–7; –1; 1; 7} 2n {– 6; 0; 2; 8} n {– 3; 0; 1; 4} 4n Vậy với n {– 3; 0; 1; 4} 2n có giá trị số nguyên Câu 5: (5,0 điểm) a) Vì xOy kề bù với zOy nên: xOy + zOy = 1800 Vì tia Om tia phân giác xOy nên: 1 mOy xOy Vì tia On tia phân giác zOy nên: 1 nOy zOy Vì xOy kề bù với zOy nên tia Oy nằm hai tia Ox Oz mà tia Om tia phân giác xOy tia On tia phân giác zOy nên tia Oy nằm hai tia Om On, đó: 1 1 xOy zOy mOy yOn mOn xOy zOy mOn + = + = = mOn 1800 = mOn mOn = 900 b) Vì hai tia Om Om' đối nhau, m 'Oz kề bù với zOm 'Oz zOm m + = 1800 300 + zOm = 1800 zOm = 1500 Vì hai tia Ox Oz đối nhau, zOm kề bù với mOx zOm + mOx = 1800 1500 + mOx = 1800 mOx = 300 Vì tia Om tia phân giác xOy nên: mOy mOx = 300 Vì hai tia Om Om' đối nhau, yOm kề bù với yOm ' yOm + yOm ' = 1800 300 + yOm ' = 1800 yOm ' = 1500 c) Giả sử cần vẽ thêm n tia phân biệt chung gốc O không trùng với tia vẽ hình để tạo thành tất 300 góc Khi tổng số tia gốc O hình n + Cứ tia gốc O tạo với n + tia gốc O lại thành n + góc, mà có n + tia nên tạo thành: (n + 5)(n + 6) góc Vì tia tạo với ngược lại nên góc tính hai lần, suy số góc tạo thành là: n 5 n 6 góc n Vì có 300 góc tạo thành nên: 5 n = 300 (n + 5)(n + 6) = 600 = 24.25 n + = 24 n = 19 100a 3b a 10a b Câu 6: a) Ta có: (100a + 3b + 1)(2a + 10a + b) = 225 (1) 225 lẻ nên lẻ (2) *) Với a = 0: (1) (100.0 + 3b + 1)(20 + 10.0 + b) = 225 (3b + 1)(1 + b) = 225 = 32.52 3b 25 b 8 b Vì 3b + chia cho dư 3b + > + b nên: (3b + 1)(1 + b) = 25.9 *) Với a số tự nhiên khác 0: Khi 100a chẵn, từ (2) 3b + lẻ b chẵn 2a + 10a + b chẵn, trái với (2) nên b Vậy: a = ; b = b) Ta có: 1 1 2017 A = 1 1 1 1 1 (1 3).2 (1 5).3 (1 7).4 (1 2017).1009 2 2 A= 2 2 1 1 1009.2018 = 2.2 3.3 4.4 1009.1009 A = 2.4 3.6 4.8 1 1008.1009 A < 2.2 2.3 3.4 1 1 1 1 1 1008 1009 < 1009 < < A< 2 3 Câu 7: Dùng casio giải đúng- 1điểm II Cõu ỏp ỏn a) Tìm chữ số tận cïng cña sè 572011 XÐt 72011; ta cã: 72011 = (74)502.73 = 2401502 343 Suy ch÷ sè tËn cïng b»ng VËy sè 572011 cã ch÷ sè tËn cïng im 0,5 im 0,5 im 0,5 im Câu b) Tìm chữ số tận số 931999 XÐt 31999; ta cã: 31999 = (34)499 33 = 81499.27 Suy ch÷ sè tËn cïng b»ng VËy sè 31999 có chữ số tận 0,5 im 0,5 điểm 0,5 điểm C©u a) TÝnh A = 20 30 42 56 72 90 1 1 1 = - ( 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10 ) 1 1 1 1 10 ) = -(4 5 6 1 = - ( 10 ) = 20 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm b) So s¸nh 15 8 2006 2006 2006 2005 2005 10 10 10 Xét: N = 10 = 10 15 7 7 2006 2005 2006 2005 2005 10 10 10 và: M = 10 = 10 2006 2005 Ta có: 10 > 10 VËy: N > M 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm C©u a) ababab = ab 10000 + ab 100 + ab = 10101 ab - Do 10101 chia hết ababab chia hết cho hay ababab 0,5 điểm 0,5 điểm bội 0,5 điểm b) Chứng tỏ 12 n+ 30 n+2 phân số tối giản 0,5 im Gọi d ớc chung cđa 12n+1vµ 30n+2 ta cã 5(12n+1)-2(30n+2) =1 chia hÕt cho d d=1 nên 12n+1 30n+2 nguyên tố 0,5 im 12 n+ phân sè tèi gi¶n 0,5 điểm 30 n+2 15 c) Chøng minh: S = 16 chia hÕt cho 33 15 15 Cã S = 16 = (2 ) 0,5 điểm 0,5 điểm 20 15 15 15 = = 2 15 15 = (2 1) = 33 S chia hÕt cho 33 Câu Gọi số học sinh a (a Z*) Ta cã a - BC(10; 12; 15) 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm a - = 60k (k N*) a = 60k + k a 63 123 183 243 303 363 0,5 điểm 423 Ta xem với giá trị k a < 400 vµ a 11 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm điểm 0,5 điểm y 0,5 điểm n b Hình vẽ có 10 góc x z O c Lập luận (từ hình vẽ ta có tia với tia lại tạo thành góc Xét tia, tia với tia lại tạo thành góc Làm nh với tia ta đợc 5.4 góc Nhng góc đà đợc tính lần có tất 5.4 10 gãc) 0,5 điểm 0,5 điểm Trong c¸c gi¸ trị trên, có a = 363 < 400 a 11 Vậy số học sinh cần tìm 363 học sinh Mỗi đờng thẳng cắt 2009 đờng thẳng lại tạo nên 2009 giao điểm Cõu Mà có 2010 đờng thẳng có : 2009 x 2010 giao điểm Nhng giao điểm đợc tính lần số giao điểm thực tế là: (2009 x 2010):2 = 2009 x 1005 = 2019045 giao ®iĨm yOz = 300 Câu a Vẽ đợc góc xOy góc yOz kề bù Vẽ đợc tia Om thỏa mÃn điều kiện m Vẽ đợc tia On thỏa mÃn ®iỊu kiƯn 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm Từ suy tổng quát: với n tia chung gèc cã n( n− ) (gãc) 0,5 điểm