Câu 33: Thể tích – mặt cầu-mặt nón – mặt trụ Có một miếng nhôm hình vuông, cạnh là 3dm, một người dự tính tạo thành các hình trụ không đáy theo hai cách sau: Cách 1: gò hai mép hình vuô[r]
ĐỀ BÀI
CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM, GTLN-GTNN CỦA HÀM SỐ
Tên lửa bay vào không trung với quãng đường được mô tả bằng hàm s(t) = e^(t^2 + 3) + 2t * e^(3t) + 1 (km) Để tính vận tốc của tên lửa sau 1 giây, ta cần tìm đạo hàm của hàm quãng đường theo thời gian.
Một người nông dân có 15.000.000 đồng để xây dựng hàng rào hình chữ E dọc theo một con sông nhằm tạo ra hai khu đất hình chữ nhật để trồng rau Chi phí nguyên vật liệu cho hàng rào song song với bờ sông là 60.000 đồng/mét, trong khi đó, ba mặt hàng rào còn lại có chi phí 50.000 đồng/mét Mục tiêu là tìm diện tích lớn nhất của khu đất được rào.
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”
Gửi đến số điện thoại
Từ một khúc gỗ tròn có đường kính 40 cm, cần chế tạo một chiếc xà có tiết diện ngang hình vuông và bốn miếng phụ màu xám Mục tiêu là tìm chiều rộng x của miếng phụ để tối ưu hóa diện tích sử dụng theo tiết diện ngang, đảm bảo đạt hiệu quả cao nhất trong quá trình sản xuất.
Câu 4: Kỳ thi THPT Quốc gia năm 2016 vừa kết thúc, Nam đỗ vào trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
Kỳ I của năm nhất gần qua, kỳ II sắp đến Hoàn cảnh không được tốt nên gia đình rất lo lắng về việc đóng học phí cho Nam, kỳ I đã khó khăn, kỳ II càng khó khăn hơn Gia đình đã quyết định bán một phần mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 50 m, lấy tiền lo cho việc học của Nam cũng như tương lai của em Mảnh đất còn lại sau khi bán là một hình vuông cạnh bằng chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật ban đầu Tìm số tiền lớn nhất mà gia đình Nam nhận được khi bán đất, biết giá tiền 1m 2 đất khi bán là
Thầy Diêu có kế hoạch xây dựng một bồn hoa hình tròn với đường kính 10m Để tạo ấn tượng, thầy sẽ thiết kế hai hình tròn nhỏ bên trong bồn hoa lớn Đầu tiên, thầy xác định điểm M nằm giữa A và B, sau đó sẽ dựng các đường tròn có đường kính phù hợp.
Trong bài toán này, thầy dự định trồng hoa hồng đỏ trong hai đường tròn nhỏ và hoa hồng trắng ở phần còn lại Giá hoa hồng đỏ là 5.000 đồng, trong khi hoa hồng trắng có giá 4.000 đồng Để trồng mỗi bông hoa, thầy cần ít nhất 0,5 m² Vậy, câu hỏi đặt ra là chi phí thấp nhất để thầy trồng hoa là bao nhiêu?
Để sơn một cái hộp không nắp có đáy hình vuông và thể tích 4 đơn vị, cần tìm kích thước tối ưu của hộp nhằm tiết kiệm lượng sơn nhất Giả sử độ dày của lớp sơn trên bề mặt hộp là đồng đều.
A Cạnh ở đáy là 2 (đơn vị chiều dài), chiều cao của hộp là 1 (đơn vị chiều dài)
B Cạnh ở đáy là 2 (đơn vị chiều dài), chiều cao của hộp là 2 (đơn vị chiều dài)
C Cạnh ở đáy là 2 2 (đơn vị chiều dài), chiều cao của hộp là 0,5 (đơn vị chiều dài)
D Cạnh ở đáy là 1 (đơn vị chiều dài), chiều cao của hộp là 2 (đơn vị chiều dài)
Chiều dài tối thiểu của thang AB cần thiết để tựa vào tường AC và mặt đất BC, đồng thời vượt qua cột đỡ DH cao 4m và cách tường CH 0,5m là một bài toán cần được giải quyết.
Chiều dài tối thiểu của thang AB cần thiết để tựa vào tường AC và mặt đất BC, vượt qua cột đỡ DH cao 4m và cách tường CH 0,5m là một bài toán quan trọng trong hình học.
A Xấp xỉ 5,4902 B Xấp xỉ 5,602 C Xấp xỉ 5,5902 D Xấp xỉ 6,5902
Câu 9: Cho hai vị trí A , B cách nhau 615m , cùng nằm về một phía bờ sông như hình vẽ
Khoảng cách từ điểm A đến bờ sông là 118m, trong khi từ điểm B đến bờ sông là 487m Một người cần đi từ A đến bờ sông để lấy nước và mang về B Đoạn đường ngắn nhất mà người đó có thể đi là từ A đến bờ sông.
A 596, 5m B 671, 4m Đăng ký mua file word trọn bộ chuyên đề
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”
Gửi đến số điện thoại
Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế đã ước tính số người nhiễm bệnh từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là f(t) = 45t² - t³, dựa trên kết quả khảo sát trong 8 tháng qua Tốc độ truyền bệnh, được biểu thị bằng f'(t), cho biết số người nhiễm bệnh mỗi ngày tại thời điểm t Để xác định ngày mà tốc độ truyền bệnh đạt giá trị lớn nhất, cần tìm giá trị cực đại của hàm f'(t).
Câu 11: Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá
Để đạt được thu nhập cao nhất, công ty cần xác định mức giá cho thuê mỗi căn hộ Nếu giá thuê là 2.000.000 đồng một tháng, tất cả các căn hộ sẽ có người thuê Tuy nhiên, nếu tăng giá thuê lên 100.000 đồng, sẽ có 2 căn hộ bị bỏ trống Do đó, công ty cần tính toán mức giá tối ưu để tối đa hóa lợi nhuận từ việc cho thuê.
Trên một đoạn đường giao thông, có hai con đường vuông góc tại điểm O Một địa danh lịch sử tọa lạc tại điểm M, cách đường OE 125 cm và cách đường Ox 1 km Do nhu cầu thực tiễn, người ta dự định xây dựng một đoạn đường thẳng.
AB đi qua vị trí M, biết rằng giá trị để làm 100m đường là 150 triệu đồng
Chọn vị trí của A và B để hoàn thành con đường với chi phí thấp nhất Hỏi chi phí thấp nhất để hoàn thành con đường là bao nhiêu ?
Câu 13: Một chất điểm chuyển động theo phương trình S t 3 9t 2 t 10 trong đó t tính bằng (s) và S tính bằng (m) Thời gian vận tốc của chất điểm đạt giá trị lớn nhất là:
Để tối ưu hóa chi phí di chuyển từ khách sạn A đến hòn đảo C, người đi cần xác định khoảng cách đi bộ tối ưu Khoảng cách từ khách sạn A đến điểm B gần đảo C là 40 km, trong khi khoảng cách từ đảo C đến bờ biển là 10 km Chi phí cho việc di chuyển đường thủy là 5 USD/km và đường bộ là 3 USD/km Để giảm thiểu tổng chi phí, cần tính toán khoảng cách đi bộ hợp lý, sao cho tổng chi phí di chuyển là nhỏ nhất.
Có hai cọc cao 10m và 30m đặt tại hai vị trí A và B, cách nhau 24m Để tìm vị trí tối ưu cho chốt M trên mặt đất, nhằm giảm tổng độ dài của hai sợi dây nối từ M đến đỉnh của hai cọc C và D, cần xác định vị trí M nằm giữa hai chân cột Việc này sẽ giúp tối ưu hóa chiều dài dây cần thiết, tạo ra giải pháp hiệu quả nhất cho bài toán.
CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG HÌNH ĐA DIỆN
Một trang trại chăn nuôi dự định xây dựng hầm biogas có thể tích 12 m³ để chứa chất thải và tạo khí sinh học, với hầm chứa có dạng hình hộp chữ nhật, chiều sâu gấp rưỡi chiều rộng Để tiết kiệm nguyên vật liệu trong thi công, cần xác định kích thước đáy (dài, rộng) của hầm biogas sao cho phù hợp Kích thước tối ưu cho hầm biogas là (dài; rộng - tính theo đơn vị m, làm tròn đến 1 chữ số thập phân sau dấu phẩy).
A Dài 2,42m và rộng 1,82m B Dài 2,74m và rộng 1,71m
C Dài 2,26m và rộng 1,88m D Dài 2,19m và rộng 1,91m
Một hộp đựng chocolate bằng kim loại có thiết kế đặc biệt, với một phần tư thể tích phía trên được phủ lớp bơ sữa ngọt, trong khi phần còn lại chứa chocolate nguyên chất Để xác định thể tích lớn nhất của hộp, ký hiệu x = x0 sẽ được sử dụng, tại đó thể tích chocolate nguyên chất đạt giá trị V0 Nhiệm vụ là tìm ra giá trị V0 này.
Câu 3: Tính thể tích khối rubic mini (mỗi mặt của rubic có 9 ô vuông), biết chu vi mỗi ô (ô hình vuông trên một mặt) là 4cm
Một công ty sản xuất gỗ đang tìm cách thiết kế các thùng đựng hàng hình lăng trụ tứ giác đều không nắp với thể tích 62,5 dm³ Mục tiêu là tối ưu hóa thiết kế để giảm thiểu vật liệu sử dụng, bằng cách làm cho tổng diện tích xung quanh và diện tích mặt đáy của thùng, ký hiệu là S, đạt giá trị nhỏ nhất.
Để xây dựng một hố ga hình hộp chữ nhật với thể tích V m³ và hệ số k (tỉ số giữa chiều cao và chiều rộng đáy), cần xác định các kích thước x (chiều rộng), y (chiều dài) và h (chiều cao) sao cho tiết kiệm nguyên vật liệu nhất Các biến x, y, h đều phải lớn hơn 0 Việc tối ưu hóa kích thước này sẽ giúp giảm thiểu chi phí và tài nguyên sử dụng trong quá trình xây dựng.
Câu 6: Một Bác nông dân cần xây dựng một hố ga không có nắp dạng hình hộp chữ nhật có thể tích
Để tối ưu hóa việc sử dụng nguyên vật liệu khi xây dựng hố ga có thể tích 3200cm³ và tỉ số giữa chiều cao và chiều rộng đáy là 2, cần xác định diện tích đáy hố ga Việc tính toán này sẽ giúp đảm bảo thiết kế hiệu quả và tiết kiệm.
Một công ty Container cần thiết kế một thùng hình hộp chữ nhật không nắp với đáy hình vuông và thể tích 108 m³ Để tối ưu hóa thiết kế, cần xác định kích thước các cạnh của hình hộp và đáy sao cho tổng diện tích xung quanh và diện tích của một mặt đáy là nhỏ nhất.
A Cạnh đáy hình hộp là 3 m, chiều cao là 3 m
B Cạnh đáy hình hộp là 3 m, chiều cao là 6 m
C Cạnh đáy hình hộp là 9 m, chiều cao là 3 m
D Cạnh đáy hình hộp là 6 m, chiều cao là 3 m
Kim tự tháp ở Ai Cập, được xây dựng khoảng 2500 trước công nguyên, là một khối chóp tứ giác đều với chiều cao 154m và độ dài cạnh đáy 270m Thể tích của kim tự tháp này rất ấn tượng, thể hiện sự khéo léo và tinh xảo trong kiến trúc cổ đại.
Do nhu cầu sử dụng nguyên liệu thân thiện với môi trường, một công ty sản xuất bóng tennis đang thiết kế hộp đựng 4 quả bóng tennis có bán kính r Hộp đựng này sẽ có dạng hình hộp chữ nhật và được làm từ giấy cứng, phù hợp với xu hướng bảo vệ môi trường.
Có hai cách để sắp xếp bóng tennis trong hộp: Cách 1 là mỗi hộp chứa 4 quả bóng được đặt dọc, với đáy là hình vuông có cạnh 2r và cạnh bên dài 8r Cách 2 là mỗi hộp chứa 4 quả bóng được xếp theo hình vuông, với đáy là hình vuông có cạnh 4r và cạnh bên dài 2r.
Gọi S 1 là diện tích toàn phần của hộp theo cách 1, S 2 là diện tích toàn phần của hộp theo cách 2 Tính tỉ số 1
Để xây dựng một hố ga hình hộp chữ nhật có thể tích 3 m³, tỉ số giữa chiều cao (h) và chiều rộng đáy (y) là 4 Hố ga chỉ có các mặt bên và mặt đáy, không có mặt trên Để tối ưu hóa việc sử dụng nguyên vật liệu, cần xác định chiều dài đáy (x) sao cho giá trị này gần nhất với yêu cầu thiết kế.
Khi xây dựng hồ nước hình hộp đứng, chủ nhà cần tạo một hồ bằng gạch và xi măng với đáy hình chữ nhật có chiều dài gấp ba lần chiều rộng, không có nắp và chiều cao là h Để tối ưu hóa chi phí xây dựng, cần tính toán chiều cao h sao cho thể tích của hồ đạt 18 cm³.
Người thợ cần thiết kế một bể cá hai ngăn hình hộp chữ nhật không nắp với thể tích 1,296 m³ Để tiết kiệm kính, cần xác định các kích thước a, b, c tối ưu cho bể cá Giả sử độ dày của kính không đáng kể, việc tính toán kích thước hợp lý sẽ giúp giảm thiểu lượng kính sử dụng.
Từ một tấm tôn kích thước 90cm x 3m, người ta chế tạo một máng xối nước với mặt cắt hình thang ABCD Để tối ưu hóa thiết kế, cần tính toán thể tích lớn nhất của máng xối này.
Một người thợ xây cần xây một bể chứa 108m³ nước, với hình dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông và không có nắp Để tối ưu số lượng viên gạch sử dụng, cần xác định chiều dài, chiều rộng và chiều cao của bể Biết rằng thành bể và đáy đều được xây bằng gạch có độ dày đồng nhất, và kích thước viên gạch là như nhau, số viên gạch trên một đơn vị diện tích cũng đồng nhất.
Từ một miếng bìa hình vuông có cạnh 5, người ta cắt 4 góc để tạo ra 4 tứ giác bằng nhau Sau đó, phần còn lại của tấm bìa được gập lại để hình thành một khối chóp tứ giác đều, với cạnh đáy bằng x Khối chóp này có chiều cao là 5.
CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG HÀM SỐ MŨ-LÔGARIT
Để ước tính dân số tỉnh Bắc Ninh vào đầu năm 2025, chúng ta sử dụng công thức S = A e^(N r), trong đó A là dân số năm 2010 (1.038.229 người), S là dân số sau N năm, r là tỷ lệ tăng dân số hàng năm và N là số năm từ 2010 đến 2025 Dân số tỉnh Bắc Ninh vào đầu năm 2015 là 1.153.600 người, cho phép chúng ta tính toán tỷ lệ tăng dân số hàng năm Nếu tỷ lệ này giữ nguyên, chúng ta có thể xác định khoảng dân số tỉnh Bắc Ninh vào đầu năm 2025.
Trong quá trình quang hợp, cây xanh hấp thụ một lượng nhỏ cacbon 14, một đồng vị của carbon Khi một bộ phận của cây chết, quá trình quang hợp ngừng lại, dẫn đến việc không còn hấp thụ thêm cacbon 14 Lượng cacbon 14 còn lại sẽ phân hủy dần và chuyển hóa thành nitơ 14 Công thức tính phần trăm cacbon 14 còn lại trong một bộ phận của cây sau t năm là P(t) = 100 × 0,5^(t/5750)% Qua phân tích mẫu gỗ từ một công trình kiến trúc cổ, người ta xác định lượng cacbon 14 còn lại là 65,21% Từ đó, có thể xác định niên đại của công trình kiến trúc này.
Câu 3: Huyện A có 100 000 người Với mức tăng dân số bình quân 1,5% năm thì sau n năm dân số sẽ vượt lên 130 000 người Hỏi n nhỏ nhất là bao nhiêu?
Một máy tính được lập trình để vẽ chuỗi hình chữ nhật trong góc phần tư thứ nhất của trục tọa độ Oxy, nằm dưới đường cong y = e^(-x) Câu hỏi đặt ra là diện tích lớn nhất của hình chữ nhật có thể được vẽ bằng cách lập trình là bao nhiêu.
Chu kỳ bán rã của chất phóng xạ Plutoni Pu239 là 24.360 năm, và sự phân hủy của nó được tính theo công thức S = A e^(rt), trong đó A là số lượng chất phóng xạ ban đầu, r là tỷ lệ phân hủy hằng năm (r < 0), t là thời gian phân hủy và S là lượng còn lại sau thời gian t Để xác định sau bao lâu 10 gam Pu239 còn lại 1 gam, ta cần tính toán thời gian t tương ứng với sự phân hủy này.
Trong một bản hợp ca, khi mỗi ca sĩ hát với cường độ âm 68dB, mức cường độ âm tổng cộng khi cả ban hợp ca cùng hát đạt 80dB Để tính số ca sĩ trong ban hợp ca, ta sử dụng công thức tính mức cường độ âm L.
I là cường độ âm và I 0 là cường độ âm chu n
Sự tăng trưởng của một loài vi khuẩn có thể được mô tả bằng công thức f(x) = Ae^(rx), trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỷ lệ tăng trưởng (với r > 0), và x là thời gian tính bằng giờ Với số vi khuẩn ban đầu là 1000 con và sau 10 giờ tăng lên 5000 con, câu hỏi đặt ra là bao lâu thì số lượng vi khuẩn sẽ tăng gấp 10 lần so với số lượng ban đầu.
A 5ln 20 (giờ) B 5ln10(giờ) C 10log 10 5 (giờ) D 10log 20 5 (giờ)
Câu 8: Chuyện kể rằng: "Ngày xưa, ở đất nước Ấn Độ có một vị quan dâng lên nhà vưa một bàn cờ có
Trong câu chuyện về 64 ô cờ, nhà vua đã quyết định thưởng cho một vị quan với phần thưởng xứng đáng Vị quan khiêm tốn chỉ xin nhận một số hạt thóc, cụ thể là: ô thứ nhất nhận một hạt, ô thứ hai gấp đôi ô đầu, ô thứ ba gấp đôi ô thứ hai, và tiếp tục như vậy cho các ô sau Ban đầu, nhà vua cảm thấy phần thưởng quá nhỏ bé, nhưng khi những người lính bắt đầu đếm số hạt thóc, ông mới nhận ra giá trị thực sự của phần thưởng này.
Số vi khuẩn số ngày
Số vi khuẩn số ngày
Số vi khuẩn số ngày
Số vi khuẩn số ngày
O sạch đến hạt thóc cuối cùng trong kho gạo của triều đình thì nhà Vua mới kinh ngạc mà nhận ra rằng:
Số hạt thóc mà nhà vua cần để ban cho vị quan là một con số khổng lồ, đến mức nếu gom hết thóc của cả nước cũng không đủ để lấp đầy một bàn cờ chỉ có 64 ô Bạn hãy tính toán xem số hạt thóc này có bao nhiêu chữ số.
Để đạt được tổng số tiền 500 triệu đồng sau ba năm gửi tiết kiệm theo hình thức lãi kép, người gửi cần tiết kiệm một số tiền cố định mỗi tháng là X đồng Số tiền này sẽ được gửi vào ngân hàng với lãi suất 0,8% mỗi tháng trong vòng 36 tháng Tính toán chính xác giá trị của X là cần thiết để đảm bảo mục tiêu tài chính này được thực hiện.
Tên lửa bay vào không trung với quãng đường s(t) (km) được mô tả bởi hàm số s(t) = e^(t^2 + 3) + 2t * e^(3t) + 1 Để tính vận tốc của tên lửa sau 1 giây, ta cần tính đạo hàm của hàm quãng đường theo thời gian Vận tốc sẽ được xác định bằng cách tính giá trị của đạo hàm s'(t) tại t = 1.
Theo dự báo, nếu mức tiêu thụ dầu của nước A không thay đổi, trữ lượng dầu sẽ cạn kiệt sau 100 năm Tuy nhiên, do nhu cầu thực tế, mức tiêu thụ dầu đang tăng lên 4% mỗi năm Vậy, câu hỏi đặt ra là sau bao nhiêu năm thì số dầu dự trữ của nước A sẽ hết?
Câu 12: Số lượng vi khu n ban đầu là 3000 con, và tăng 20% một ngày Đồ thị nào sau đây mô tả hàm số lượng vi khu n sau t ngày?
Câu 13: Tính đến đầu năm 2011, dân số toàn tỉnh Bình Phước đạt gần 905 300, mức tăng dân số là
Tỉnh có tỷ lệ tăng trưởng 1,37% mỗi năm và thực hiện tốt chủ trương đảm bảo 100% trẻ em đúng độ tuổi vào lớp 1 Để chuẩn bị cho năm học 2024-2025, ngành giáo dục cần tính toán số phòng học cần thiết cho học sinh lớp 1, với mỗi phòng học dành cho 35 học sinh Giả sử trong năm sinh của lứa học sinh vào lớp 1 có 2.400 trẻ em tử vong, số trẻ tử vong trước 6 tuổi không đáng kể.
Một nghiên cứu cho thấy rằng một nhóm học sinh được kiểm tra khả năng nhớ danh sách các loài động vật qua từng tháng Công thức tính khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh sau t tháng là M(t) = 75 - 20 ln(t + 1), với t ≥ 0 (đơn vị %) Câu hỏi đặt ra là sau bao lâu nhóm học sinh sẽ nhớ danh sách đó dưới 10%.
Theo dữ liệu từ Facebook, số lượng tài khoản hoạt động đã tăng đáng kể từ tháng 2 năm 2004 Dưới đây là bảng mô tả số lượng tài khoản hoạt động U(x), trong đó x đại diện cho số tháng kể từ tháng 2 năm 2004 Sự gia tăng số lượng tài khoản hoạt động này được ước lượng theo hàm số mũ.
Số tài khoản hoạt động vào đầu tháng 2 năm 2004 là A Để xác định thời gian cần thiết để số tài khoản hoạt động đạt khoảng 194.790 người, chúng ta biết rằng sau hai tháng, số tài khoản này đã đạt 108.160 người.
A 1 năm 5 tháng B 1 năm 2 tháng C 1 năm D 11 tháng
CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG HÌNH NÓN-TRỤ-CẦU
Một xưởng sản xuất đang thiết kế đồng hồ cát bằng thủy tinh có hình trụ, với phần chứa cát là hai nửa hình cầu bằng nhau Bản thiết kế có kích thước cụ thể, cho thấy phần tô màu được làm từ thủy tinh Mục tiêu là xác định lượng thủy tinh cần thiết để sản xuất chiếc đồng hồ cát này, gần nhất với giá trị đã cho.
Khi sản xuất vỏ lon sữa Ông Thọ hình trụ, mục tiêu chính của các nhà sản xuất là tối ưu hóa chi phí, tức là sử dụng nguyên liệu (sắt tây) một cách tiết kiệm nhất Để đạt được điều này, cần tính toán tổng diện tích toàn phần của lon sữa khi biết thể tích của hộp là V cm³.
Từ một tấm kim loại dẻo hình quạt có bán kính R = 5 và chu vi P = 8π + 10, người ta chế tạo các chiếc phễu bằng hai phương pháp khác nhau.
1 Gò tấm kim loại ban đầu thành mặt xung quanh của một cái phễu
2 Chia đôi tấm kim loại thành hai phần bằng nhau rồi gò thành mặt xung quanh của hai cái phễu
Gọi V 1 là thể tích của cái phễu thứ nhất, V 2 là tổng thể tích của hai cái phễu ở cách 2 Tính 1
Một hình nón có thiết diện qua trục tạo thành tam giác đều Tỉ số thể tích giữa khối cầu ngoại tiếp và khối cầu nội tiếp của hình nón này là một vấn đề quan trọng trong hình học.
Câu 5: Có một hộp nhựa hình lập phương người ta bỏ vào hộp đó 1 quả bóng đá Tính tỉ số 1
V1 là thể tích của quả bóng đá, trong khi V2 là thể tích của chiếc hộp chứa bóng Đường tròn lớn trên quả bóng có thể được nội tiếp trong một mặt của hình vuông thuộc chiếc hộp.
Câu 6: Một cái phễu rỗng phần trên có kích thước như hình vẽ Diện tích xung quanh của phễu là:
Câu 7: Một cái phễu có dạng hình nón Người ta đổ một lượng nước vào phễu sao cho chiều cao của lượng nước trong phễu bằng 1
Khi phễu có chiều cao 15cm bịt kín miệng và lộn ngược lên, chiều cao của nước trong phễu sẽ vẫn là 15cm Điều này cho thấy rằng, mặc dù phễu được lộn ngược, nhưng chiều cao của nước không thay đổi do không có lực nào tác động làm nước chảy ra ngoài.
Trong một chiếc hộp hình trụ, có 2016 quả banh tennis được đặt bên trong Đáy của hình trụ có hình tròn lớn bằng đường kính của quả banh, và chiều cao của hình trụ là 2016 lần đường kính của quả banh Gọi V1 là tổng thể tích của 2016 quả banh và V2 là thể tích của khối trụ Tính tỉ số V1/V2.
Câu 9: Từ một nguyên vật liệu cho trước, một công ty muốn thiết kế bao bì để đựng sữa với thể tích
Bao bì có thể được thiết kế theo hai mô hình: hình hộp chữ nhật với đáy vuông hoặc hình trụ Để tiết kiệm nguyên vật liệu, thiết kế hình trụ là lựa chọn tối ưu hơn Kích thước lý tưởng cho mô hình hình trụ nên được xác định dựa trên tỷ lệ giữa chiều cao và đường kính, nhằm tối đa hóa thể tích trong khi giảm thiểu diện tích bề mặt.
A Hình hộp chữ nhật và cạnh bên bằng cạnh đáy
B Hình trụ và chiều cao bằng bán kính đáy
C Hình hộp chữ nhật và cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy
D Hình trụ và chiều cao bằng đường kính đáy
Một công ty sản xuất cốc giấy hình nón có thể tích 27 cm³ cần tìm bán kính đáy r để tối ưu hóa lượng giấy tiêu thụ Để đạt được điều này, cần xác định chiều cao h và bán kính r sao cho lượng giấy sử dụng là ít nhất Việc tối ưu hóa này không chỉ giúp giảm chi phí sản xuất mà còn nâng cao hiệu quả kinh tế cho công ty.
Để tối ưu hóa dung tích chứa nước trong một ly hình cầu tâm O với đường kính 2R, cần xác định bán kính đáy r của hình trụ tròn xoay nội tiếp trong hình cầu Nước chỉ có thể chứa trong hình trụ, vì vậy việc tìm ra giá trị r thích hợp sẽ giúp ly chứa được nhiều nước nhất.
Cho hình chữ nhật ABCD với nửa đường tròn đường kính AB Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD, với AB = 4 và AD = 6 Thể tích V của vật thể tròn xoay khi quay mô hình này quanh trục IJ cần được tính toán.
Trong bài toán này, một chiếc hộp hình trụ chứa ba quả bóng tennis, với đáy hình trụ là hình tròn lớn hơn quả bóng và chiều cao của hình trụ gấp ba lần đường kính quả bóng Gọi S1 là tổng diện tích của ba quả bóng và S2 là diện tích xung quanh của hình trụ Tỉ số giữa diện tích S1 và S2 cần được xác định.
Tổng diện tích xung quanh của ba quả bóng là S 1 3.4 R 2 ( với R là bán kính của khối cầu)
Diện tích xung quanh của hình trụ là: S 2 2 R 3.2R 12 R 2 Từ đây suy ra 1
Để tính tổng diện tích vải cần thiết để làm một cái mũ bằng vải của nhà ảo thuật theo kích thước hình vẽ, bạn cần xác định các kích thước cụ thể của mũ Sau đó, áp dụng công thức tính diện tích cho từng phần của mũ, không bao gồm viền, mép và phần thừa Kết quả sẽ giúp bạn biết được lượng vải cần sử dụng cho sản phẩm này.
Một chiếc chén hình trụ có chiều cao bằng đường kính của quả bóng bàn Khi đặt quả bóng lên chiếc chén, phần bên ngoài của quả bóng có chiều cao bằng 3.
4 chiều cao của nó Gọi V V 1 , 2 lần lượt là thể tích của quả bóng và chiếc chén, khi đó:
Khi thiết kế vỏ lon sữa bò hình trụ, mục tiêu chính là giảm thiểu chi phí nguyên liệu bằng cách tối ưu hóa diện tích toàn phần của hình trụ Để đạt được thể tích khối trụ là 2, cần xác định bán kính đáy sao cho diện tích toàn phần nhỏ nhất.
CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN
Một chiếc khí cầu đứng yên ở độ cao 162 mét so với mặt đất đã được phi công cài đặt chế độ chuyển động đi xuống Vận tốc của khí cầu theo thời gian được mô tả bằng công thức v(t) = 10t - t², với t tính bằng phút và v(t) tính bằng mét/phút Khi khí cầu bắt đầu tiếp đất, vận tốc v của nó sẽ được xác định từ công thức này.
Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian được mô tả bằng công thức \( v(t) = 3t^2 \), trong đó thời gian tính bằng giây và quãng đường tính bằng mét Tại thời điểm \( t = 2s \), vật đã đi được quãng đường 10m Câu hỏi đặt ra là tại thời điểm \( t = 30s \), vật sẽ đi được quãng đường bao nhiêu?
Một công ty đang chịu nợ với tốc độ D(t) (đô la mỗi năm), trong đó D'(t) = 90(1 + 6(t^2) + 12t) Ở năm thứ tư, tổng số nợ của công ty đã lên tới 1.626.000 đô la Cần tìm hàm số biểu diễn tốc độ nợ nần của công ty này.
Câu 4: Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước Gọi h t là thể tích nước bơm được sau t giây
Cho h t ' 3 at 2 bt và ban đầu bể không có nước
Sau 5 giây thì thể tích nước trong bể là 150m 3
Sau 10 giây thi thể tích nước trong bể là 1100m 3
Tính thể tích nước trong bể sau khi bơm được 20 giây
Câu 5: Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước Gọi h t là thể tích nước bơm được sau t giây
Cho h t ' 3 at 2 bt và ban đầu bể không có nước Sau 5 giây thì thể tích nước trong bể là 150m 3 , sau
10 giây thì thể tích nước trong bể là 1100m 3 Tính thể tích của nước trong bể sau khi bơm được 20 giây
Một ca nô đang di chuyển trên hồ Tây với vận tốc 20 m/s thì hết xăng Từ thời điểm đó, ca nô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = -5t + 20, trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc hết xăng Câu hỏi đặt ra là từ lúc hết xăng đến khi ca nô dừng hẳn, nó đã di chuyển được bao nhiêu mét.
Sau khi thả một ít lá bèo vào hồ nước, sau 1 ngày, bèo sẽ phủ kín mặt hồ Mỗi giờ, số lượng lá bèo tăng gấp 10 lần so với giờ trước đó và tốc độ tăng này là không đổi Vậy sau bao lâu thì lá bèo sẽ phủ kín toàn bộ hồ?
Để tính thể tích của một cái chuông có hình dạng như hình vẽ, ta cần biết chiều cao của chuông là 4m và bán kính miệng chuông là 2m Khi cắt chuông theo mặt phẳng qua trục, thiết diện sẽ có đường viền là một phần parabol Sử dụng công thức thể tích cho hình trụ hoặc hình nón tương ứng, ta có thể tính toán thể tích của chuông một cách chính xác.
Một mảnh vườn hình tròn với tâm O và bán kính 6m cần trồng cây trên dải đất rộng 6m xung quanh Để tính chi phí trồng cây, trước tiên cần xác định diện tích dải đất này Diện tích dải đất sẽ là hiệu giữa diện tích hình tròn lớn (bán kính 12m) và diện tích hình tròn nhỏ (bán kính 6m) Sau khi tính toán, diện tích dải đất là 452,39 m² Với kinh phí trồng cây là 70.000 đồng/m², tổng chi phí cần thiết để trồng cây trên dải đất này là khoảng 31.667.000 đồng, được làm tròn đến hàng đơn vị.
Câu 10: Cho mạch điện như hình vẽ dưới Lúc đầu tụ điện có điện tích Q C 0 .
Khi đóng khóa K, tụ điện phóng điện qua cuộn dây L Giả sử cường độ dòng điện tại thời diểm t phụ thuộc vào thời gian theo công thức
Tính điện lượng chạy qua một thiết diện thẳng của dây từ thời điểm bắt đầu đóng khóa K (t = 0) đến t = 6 giây, với tần số góc được xác định bởi công thức I = I₀tQ(ω) (A), trong đó ω (rad/s) là tần số góc và t ≥ 0 có đơn vị là giây (s).
Để kéo căng một chiếc lò xo từ 5 cm đến 10 cm, cần một lực 50 N Để tính công sinh ra khi kéo lò xo từ 10 cm đến 13 cm, ta cần xác định độ dài lò xo và lực tác động trong khoảng này Công thực hiện sẽ được tính dựa trên độ biến dạng của lò xo và lực kéo cần thiết.
Câu 12: Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước Gọi h(t) là thể tích nước bơm được sau t giây
Cho h t ’ 3 at 2 bt và ban đầu bể không có nước Sau 5 giây thì thể tích nước trong bể là 150m 3 Sau
10 giây thì thể tích nước trong bể là 1100m 3 Hỏi thể tích nước trong bể sau khi bơm được 20 giây là bao nhiêu
Một người sở hữu mảnh đất hình tròn có bán kính 5m, dự định trồng cây trên diện tích này Mỗi mét vuông đất trồng cây mang lại thu nhập 100 nghìn đồng Tuy nhiên, để có chỗ cho chồi và dụng cụ, người này đã căng sợi dây dài 6m sao cho hai đầu dây nằm trên đường tròn của mảnh đất Tính toán thu nhập từ việc trồng cây, người này sẽ thu hoạch được bao nhiêu tiền (tính theo đơn vị nghìn đồng và làm tròn phần số thập phân).
Một người đứng trên sân thượng của một tòa nhà cao 262m ném một quả bi sắt theo phương thẳng đứng xuống với vận tốc 20m/s Sau 5 giây, quả bi sắt sẽ cách mặt đất một đoạn Δd bao nhiêu mét, với gia tốc trọng trường được cho là không đổi.
Một vật có hình dáng và kích thước như trong hình vẽ, với đáy là hình tròn bán kính 4 Khi cắt vật thể này bằng các mặt phẳng vuông góc với trục Ox, ta nhận được thiết diện là tam giác đều Thể tích của vật thể này cần được tính toán dựa trên các thông số đã cho.
Khi một chiếc xe đang di chuyển với vận tốc 100 km/h và phanh lại, vận tốc của xe giảm dần theo công thức v(t) = -5000t + 100 (km/h) Để tính khoảng cách xe chạy thêm trước khi dừng lại, chúng ta cần xác định thời gian xe mất để dừng lại và sau đó tính toán khoảng cách dựa trên vận tốc giảm dần.
Câu 17: Khi quan sát một đám vi khu n trong phòng thí nghiệm người ta thấy tại ngày thứ x có số lượng là N x Biết rằng 2000
N x x và lúc đầu số lượng vi khu n là 5000 con Vậy ngày thứ 12 số lượng vi khu n là?
Một vật chuyển động với vận tốc ban đầu 10 m/s và tăng tốc theo công thức a(t) = t + 3t^2 Để tính quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc, ta cần xác định vận tốc và quãng đường tích lũy trong khoảng thời gian này.
Một viên đạn được bắn lên theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu 24,5 m/s và chịu tác động của gia tốc trọng trường 9,8 m/s² Quá trình chuyển động của viên đạn từ lúc bắn lên cho đến khi rơi xuống đất cần được tính toán Để xác định quãng đường viên đạn đi được, ta sẽ áp dụng các công thức vật lý liên quan đến chuyển động thẳng đứng.
CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TẾ KHÁC
Bèo hoa dâu, một loại thực vật thường được sử dụng làm phân bón trong nông nghiệp, đã được các nhà khoa học Việt Nam phát hiện có khả năng chiết xuất chất kích thích hệ miễn dịch và hỗ trợ điều trị ung thư Khi bèo hoa dâu được thả nuôi trên mặt hồ, nếu một người thả 4% diện tích mặt hồ, thì sau mỗi tuần, lượng bèo sẽ tăng gấp ba lần Câu hỏi đặt ra là sau bao nhiêu ngày bèo sẽ phủ kín toàn bộ mặt hồ.
Một đội xây dựng đang hoàn thiện hệ thống 17 cột tròn cho một cửa hàng kinh doanh Mỗi cột được cấu tạo từ bê tông cốt thép, có hình dạng lăng trụ lục giác đều với các cạnh được thiết kế chính xác.
Mỗi cột có chiều cao 390 cm, đường kính đáy 30 cm và được hoàn thiện bằng cách trát thêm vữa tổng hợp với độ dày 14 cm Để tính lượng vữa hỗn hợp cần dùng, ta cần xác định thể tích của lớp vữa xung quanh cột Kết quả tính toán cho thấy lượng vữa cần thiết là một giá trị cụ thể, được làm tròn đến 1 chữ số thập phân.
Câu 3: Số giờ có ánh sáng mặt trời của TPHCM năm không nhuận được cho bởi
y x với 1 x 365 là số ngày trong năm Ngày 25 / 5 của năm thì số giờ có ánh sáng mặt trời của TPHCM gần với con số nào nhất ?
Câu 4: Số lượng của loại vi khu n A trong một phòng thí nghiệm được tính theo công thức
Số lượng vi khuẩn A tại thời điểm t được mô tả bằng công thức s(t) = s(0) * (0.2)^t, trong đó s(0) là số lượng vi khuẩn A ban đầu Sau 3 phút, số lượng vi khuẩn A đạt 625 nghìn con Câu hỏi đặt ra là sau bao lâu, kể từ lúc bắt đầu, số lượng vi khuẩn A sẽ đạt 10 triệu con?
Trong khoảng thời gian từ giây thứ nhất đến giây thứ mười, gia tốc a(t) của vật thể chuyển động được khảo sát và ghi nhận là một hàm số liên tục Để xác định thời điểm vật thể có vận tốc lớn nhất trong khoảng thời gian này, cần phân tích đồ thị của hàm gia tốc a(t) và tìm thời điểm mà gia tốc chuyển từ dương sang âm, vì đó là lúc vận tốc đạt cực đại.
A giây thứ nhất B giây thứ 3 C giây thứ 10 D giây thứ 7
Câu 6: Một điện thoại đang nạp pin, dung lượng nạp được tính theo công thức 0 1 2 3
Thời gian nạp pin (Q t Q e) được tính bằng giờ, với Q0 là dung lượng pin tối đa khi đầy Nếu điện thoại bắt đầu nạp từ mức pin 0%, câu hỏi đặt ra là sau bao lâu sẽ đạt được 90% dung lượng pin? Kết quả cần được làm tròn đến hàng phần trăm.
Hai thành phố A và B được ngăn cách bởi một con sông, với thành phố A cách sông 5 km và thành phố B cách sông 7 km Cây cầu EF được xây dựng bắc qua sông, với tổng chiều dài HE + KF = 24 km Để tối ưu hóa khoảng cách di chuyển từ thành phố A đến thành phố B theo đường AEFB, cần xác định khoảng cách từ cây cầu đến thành phố A sao cho đường đi là ngắn nhất.
Câu 8: Chuyện kể rằng: "Ngày xưa, ở đất nước Ấn Độ có một vị quan dâng lên nhà vưa một bàn cờ có
Trong một câu chuyện thú vị, nhà vua đã hỏi một vị quan về phần thưởng mà ông mong muốn Vị quan chỉ xin một số hạt thóc, với điều kiện số lượng hạt sẽ gấp đôi ở mỗi ô trên bàn cờ 64 ô Ô thứ nhất nhận một hạt, ô thứ hai hai hạt, ô thứ ba bốn hạt, và cứ thế tiếp tục Ban đầu, nhà vua cảm thấy phần thưởng quá khiêm tốn, nhưng khi quân lính vét sạch kho thóc của triều đình, ông mới nhận ra giá trị thực sự của yêu cầu này.
Số thóc mà nhà vua cần để ban cho vị quan là một con số khổng lồ, đến mức nếu gom hết thóc của cả nước cũng không đủ cho một bàn cờ chỉ có 64 ô Bạn hãy tính xem số hạt thóc này có bao nhiêu chữ số.
E coli là vi khuẩn đường ruột gây tiêu chảy và đau bụng dữ dội Mỗi 20 phút, số lượng vi khuẩn E coli tăng gấp đôi, bắt đầu từ 40 vi khuẩn Câu hỏi đặt ra là sau bao lâu số lượng vi khuẩn E coli sẽ đạt 671088640 con?
Một cái tháp hình nón có chu vi đáy là 207,5 m Một học sinh nam, cao 1,66 m, đã đo bóng của mình dài 3,32 m và bóng của cái tháp dài 207,5 m Dựa vào các số liệu này, chúng ta cần xác định chiều cao của cái tháp.
Câu 11: Người ta cần trồng hoa tại phần đất nằm phía ngoài đường tròn tâm gốc tọa độ, bán kính bằng
2 và phía trong của Elip có độ dài trục lớn bằng 2 2 và độ dài trục nhỏ bằng 2 (như hình vẽ) Trong mỗi một đơn vị diện tích cần bón
2 2 1 100 kg phân hữu cơ Hỏi cần sử dụng bao nhiêu kg phân hữu cơ để bón cho hoa?
Bạn A có một đoạn dây dài 20m và chia nó thành hai phần: một phần để uốn thành tam giác đều và phần còn lại để tạo thành hình vuông Để tổng diện tích của hai hình này là nhỏ nhất, cần xác định độ dài của phần dây dùng để tạo tam giác đều.
Bể nước có dung tích 1000 lít được mở vòi cho nước chảy vào từ lúc ban đầu cạn nước Trong giờ đầu, nước chảy vào với vận tốc 1 lít/phút Từ giờ thứ hai trở đi, vận tốc nước chảy vào gấp đôi so với giờ trước đó Câu hỏi đặt ra là sau bao lâu thì bể sẽ đầy nước, và cần tìm kết quả gần đúng nhất cho thời gian này.
Một thanh AB dài 2a được giữ ở góc nghiêng α so với mặt đất, trong đó một đầu tựa vào bức tường thẳng đứng mà không có ma sát Khi thanh được buông, nó sẽ trượt xuống dưới tác động của trọng lực Cần tính toán giá trị của sinα khi thanh rời khỏi bức tường.
Từ một miếng tôn hình bán nguyệt với bán kính R = 3, ta có thể cắt ra một hình chữ nhật có diện tích lớn nhất Diện tích lớn nhất của hình chữ nhật này được xác định thông qua các phép tính hình học và tối ưu hóa.
Câu 16: Người ta tiến hành mạ vàng chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật có nắp Thể tích của hộp là
