Câu 3.2.11 Chứng minh rằng khi A chuyển động trên cung BC lớn thì bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF không đổi.. Chứng minh rằng tam giác M EF đều.[r]
Lý thuyết
Định lý 1.1.1 Trong một tam giác vuông Bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.
1 Chứng minh bằng đại số.
2 Chứng minh bằng cắt ghép.
3 Chứng minh của tổng thống James A Garfield
Vì tổng diện tích các tam giác bằng diện tích hình thang.
4 Chứng minh của Leonardo da Vinci
6 Chứng minh bằng gấp hình (thông qua một mệnh đề mở rộng.)
Tổng diện tích của các đa giác đồng dạng được xây dựng trên các cạnh vuông của tam giác vuông tương đương với diện tích của đa giác đồng dạng được dựng trên cạnh huyền.
Sigma - MATHS Định lý 1.1.2 (Định lý Pythagore đảo)
Tam giác ∆ABC thỏa mãn BC 2 2 +AC 2 thì tam giác ∆ABC vuông tại A.
BC 2 > A 0 B 2 +AC 2 , BC 2 2 +AC 2 , BC 2 < A”B 2 +AC 2
Bài tập
Câu 1.2.1 (Cửa thiên đường) mô tả một thanh gỗ thần dài 2000m, được buộc chặt ở hai đầu bằng một sợi dây dài 2001m Ai muốn thử thách lòng dũng cảm có thể chui qua khe hở giữa sợi dây và thanh gỗ.
Bao nhiêu người đi dám vượt qua tìm may mắn?
Câu 1.2.2 Chứng minh S CAG =S CHB
Gợi ý: Hai tam giác chồng khít lên nhau.
Câu 1.2.3 Chứng minh diện tích các tam giác sơn màu có diện tích bằng nhau.
Câu 1.2.4 Chứng minh diện tích các hình cùng màu sơn bằng nhau.
Gợi ý: GU.GJ =GD.GQ 0 , QG=GQ 0 , GT =GU.
Trong tam giác vuông ∆ABC, khi vẽ các hình vuông bên ngoài tam giác, ta cần chứng minh rằng các đường thẳng đi qua điểm A vuông góc với BI, điểm B vuông góc với AD, và điểm C vuông góc với AB đồng quy Điều này cho thấy sự liên kết giữa các hình học và tính chất vuông góc trong tam giác vuông, từ đó khẳng định tính chất đồng quy của các đường thẳng này.
Gợi ý: Ba đường cao gặp nhau tại một điểm.
Câu 1.2.6 Chứng minh rằng: diện tích tam giác vuông bằng tổng diện tích hai hình trăng khuyết.
Trong hình chữ nhậtABCD lấy điểm P Chứng minh rằng P A 2 +P C 2 =P B 2 +P D 2
Hãy hạ các đường vuông góc từ điểm P xuống các cạnh của hình Áp dụng định lý Pythagore để tính toán Lưu ý rằng kết quả của bài toán sẽ không thay đổi dù điểm P nằm ở vị trí tổng quát nào.
Câu 1.2.8 Nguời ta muốn đo khoảng cách từ D đến C nhưng không thể nào đến C được Hỏi có thể đo gián tiếp CD không? biết rằng AB = 240m, \DAC C[ = 90 0 ,BAC[ = 60 0 , \ADC = 30 0
Câu 1.2.9 Cho tam giác EDF vuông Vẽ các hình vuông ra phía ngoài Chứng minh rằng:KE =DL.
Câu 1.2.10 Cho các hình vuông như hình vẽ Chứng minh rằng: b = 2d.
Câu 1.2.11 Cho các số a, bthỏa mãn 0< a < b Chứng minh các bất đẳng thức sau: a < 2ab a+b < a+b
Chùm bài toán về định lý Thales
Lý thuyết
Định lý 2.1.1 (Định lý đường trung bình) Cho tam giácABC.
⇒) Đoạn thẳng đi qua trung điểm D của AB và song song với BC thì đi qua trung điểm
⇐) Đoạn thẳng đi qua trung điểm D của AB và trung điểm E của AC thì song song với
BC và bằng nửa BC.
⇒) Qua trung điểm D cua AB, vẽ đường thẳng d 1 song song với BC cắt AC tại E 0 , và d 2 song song với AC cắt BC tại J.
∆ADE 0 = ∆DBJ (g.c.g) ⇒DE =BJ, DJ
Do đó, AD=J E ⇒∆ADE = ∆DE 0 J(c-g-c).
⇐) Lấy trên tia đối của tia ED lấy D 0 sao cho DE =D 0 E ⇒∆AED= ∆D 0 EC.
Khi đó, ADsmall> 0 và D\ 0 CE C[ ⇒CD 0 //BD.
Ta thấy ∆DCD 0 = ∆DCB ⇒DD 0 và DCD\ 0 \⇒DE//BC.
Bổ đề 2.1.1 ( Bổ đề các đoạn thẳng song song) Hai nửa đương thẳngOx, Oy cùng xuất phát từ điểmO Trên nữa đường thẳngOxlấy các điểm A1, A2, A3, , An sao cho
OA 1 =A 1 A 2 = .=An−1A n Trên nửa đường thẳngOylấy các điểmB 1 , B 2 , B 3 , , B n sao cho OB 1 = B 1 B 2 = = Bn−1B n Chứng minh rằng A i B i , (i = 1,2, , n) song song với nhau.
Theo định lý đường trung bình của tam giác, các đoạn thẳng A1B1 sẽ song song với A2B2 Tiếp tục áp dụng cho tam giác C0 với cạnh A1A3, ta có A2B2 song song với A3B3 Quá trình này lặp lại sẽ tạo ra một chuỗi các đoạn thẳng AiBi song song với nhau.
Bổ đề 2.1.2 (Bổ đề hữu tỷ) khẳng định rằng, với góc Oxy, nếu trên cạnh Ox chọn hai điểm A và B, và trên cạnh Oy chọn hai điểm C và D sao cho tỷ lệ OA : OB = m : n = OC : OD, với m, n là các số nguyên dương, thì hai đoạn thẳng AC và BD sẽ song song với nhau.
ChiaOB thành n+m phần, chia OD thànhn+m phần Áp dụng (2.1.1).
Bổ đề 2.1.3 (Bổ đề vô tỷ) (Công nhận không chứng minh)
Cho xOyd Trên cạnh Ox lấy hai điểm A, B và trên cạnh Oy lấy hai điểm C, D sao cho
OA:OB =m :n =OC :OD Khi đó AC//BD.
Chú ý: Muốn chứng minh phải sử dụng công cụ giới hạn.
Bổ đề 2.1.4 (Bổ đề hình bình hành) Cho hình bình hành ABCD Trên cạnh AB và
CD lần lượt lấy hai điểm P và Q sao cho P A : P B = m : n = QC : QD Khi đó
Chứng minh: Định lý 2.1.2 ( Định lý Thales) Các đường thẳng song song chắn hai cát tuyến (đường thẳng) d, d 0 thì tạo ra trên d, d 0 các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
Bài tập
Câu 2.2.1 Cho hình thang cân ABCD.C 0 là điểm tùy ý trênCD Kẻ đường thẳng qua
C 0 và song song với BD cắt AB tại D 0 Chứng minh rằng: AC 0 =B 0 C.
Trong tam giác ABC, M là trung điểm của cạnh BC Từ điểm B và C, ta dựng các đường thẳng song song với AM, cắt AC tại điểm P và AB tại điểm Q Cần chứng minh rằng một số mối quan hệ hình học tồn tại giữa các điểm này.
Gợi ý: Nhân hai vế với AM rồi dùng các đoạn thẳng tỉ lệ trên BC.
Trong tam giác cân ABC với AB = AC, khi kéo dài cạnh BC về phía C và lấy điểm M, đường thẳng đi qua M sẽ cắt AB tại điểm P và cắt AC tại điểm Q Cần chứng minh rằng BM = MC.
CQ không phụ thuộc vào vị trí củaM và đường thẳng d.
Gợi ý: Kẻ AN//d, biến đổi thành tỉ lệ tương đương có mẫu là AN Chỉ ra tỉ lệ cần tìm làBC :AB.
Câu 2.2.4 Cho tam giác ABC có AB > AC M là trung điểm của BC Phân giác góc
A cắt BC tại L Từ M kẻ đường vuông góc với AL cắt AB tại D, cắt AC tại E Chứng minh rằng: a AD= 1
2(AB+AC). b GọiF là trung điểm củaAC Chứng minh rằng: EF = 1
Gợi ý: a.DB =CP(CP//AB).∆P CE cân ⇒CP b.AT = 2.F C, BT = 2.CE ⇒AB= 2.F E
Câu 2.2.5 Cho tam giác ABC D và E nằm lần lượt trên các cạnh AB và AC sao cho
BDGọi P là trung điểm DE, M là trung điểm của BC Chứng minh rằng: P M song song với phân giác góc A.
Gợi ý: BG và DK vuông góc với phân giác góc A, từ đó chỉ ra rằng M, P, U, V tạo thành một hình bình hành Trong bài toán 2.2.6 về đường thẳng Gauss, cho tứ giác toàn phần ABCDEF, cần chứng minh rằng trung điểm của các đường chéo AC, BD, EF nằm trên một đường thẳng g, được gọi là đường thẳng Gauss Tiếp theo, đường thẳng g cắt AD và BC tại các điểm Y và Z, và cần chứng minh rằng AY.
Gợi ý: a LấyE là tâm đồng dạng chiếu các điểm P, Q, R thành G, K, F thẳng hàng. b KẻAL và CK cùng song song vớiBD Sử dụng định lý thales.
Câu 2.2.7 Cho hình bình hànhABCD.P là điểm tronh hình bình hành sao choAP B[+
\CP D= 180 0 Chứng minh rằng góc \P BC =\CDP
Gợi ý: Tịnh tiến P thành X theo −−→
BC Tứ giácDP CX nội tiếp.
Câu 2.2.8 Cho tam giác ABC, O là điểm nằm trong tam giác AO, BO, CO cắt cạnh
BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F Qua O kẻ các đường thẳng song song với BC cắt
D, E lần lượt tại N và M Chứng minh rằng: ON =OM.
Để chứng minh DA là trung tuyến của tam giác HDI, ta vẽ đường thẳng song song với BC qua điểm A Từ đó, ta có tỉ lệ AQ : BC = AH : BD và BC : AP = DC : AI Sử dụng tính đồng dạng của tam giác OPQ và tam giác OBC sẽ giúp củng cố các tỉ lệ này.
Trong tam giác nhọn ABC với đường phân giác AD, gọi M và N lần lượt là hình chiếu của D trên các cạnh AC và AB Giao điểm của BM và CN được ký hiệu là P Cần chứng minh rằng AP vuông góc với BC Bài toán này thể hiện mối liên hệ thú vị giữa đường phân giác và đường cao trong tam giác.
Câu 2.2.10 Các cạnh của tứ giác chia thành ba phần bằng nhau Chứng minh rằng: a Diện tích phần tô xám bằng 1
9 diện tích tứ giác. b Các đoạn thẳng đều bị chia thành ba phần bằng nhau.
Các bài toán bổ sung
Câu 2.3.1 (Định lý Ptoleme) Cho tứ giác lồi ABCD Chứng minh rằng:
Nếu tứ giác ABCD nội tiếp thì AB.CD+BC.AD BD.
Gợi ý Trên AC lấy E sao cho ABE[ \
Cho hình bình hành ABCD, đường tròn (k) cắt các cạnh AB, AD và đường chéo AC tại B0, D0 và C0 Cần chứng minh rằng AB0 AB + AD0 AD = AC Để giải quyết bài toán này, hãy áp dụng định lý Ptoleme cho tứ giác nội tiếp AD0C0B0 và tam giác ADC so với B0D0C0.
Câu 2.3.3 Cho tam giác ABC có 2BC +AC Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp,
O là tâm đường tròn ngoại tiếp Chứng minh rằng: AI⊥OI.
Gợi ý: Sử dụng định lý ptoleme
Câu 2.3.4 Cho hai điểm D và E nằm trên nửa đường tròn đường kính AB Dựng hình bình hànhADCE Chứng minh rằng DE⊥BC.
Gợi ý: Chỉ raE là trực tâm cảu tam giác BCD.
Chùm bài toán về trực tâm
Trong chương này, chúng tôi sẽ khám phá mối quan hệ giữa trọng tâm, trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp, cùng với một số vấn đề liên quan khác.
Mô hình cơ bản
Trong tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O;R), các đường cao AD, BE, CF giao nhau tại điểm H Các đường cao này lần lượt cắt đường tròn tại các điểm P, Q, R Điểm M được xác định là trung điểm của đoạn BC.
Khai thác mô hình
Câu 3.2.1 Chứng minh rằng tứ giác BF EC nội tiếp 1 đường tròn.
Câu 3.2.2 Chứng minh rằng P đối xứng với H quaBC,Q đối xứng với H quaAC
Câu 3.2.3 Chứng minh rằng bán kính các đường tròn ngoại tiếp các∆AHB,∆AHC,∆BHC bằng nhau và bằng bán kính của(O).
Câu 3.2.4 Kéo dài AO cắt đường tròn (O) tại K Chứng minh rằng tứ giác BHCK là hình bình hành.
Câu 3.2.5 Chứng minh rằng K, H, M thẳng hàng.
Câu 3.2.6 Chứng minh rằng : A là điểm chính giữa cung QR.
Câu 3.2.7 Chứng minh rằng: EF//RQ.
Câu 3.2.8 Chứng minh rằng: OA⊥EF.
Trong bài toán này, cho BC là dây cung cố định của đường tròn (O;R), điểm A di chuyển trên đường tròn (O) sao cho tam giác ABC luôn nhọn Đường cao BF và CF được xác định từ các đỉnh B và C Cần chứng minh rằng đường thẳng từ A có một đặc điểm nhất định liên quan đến các điểm B và C trong tam giác ABC.
Câu 3.2.10 (Đường thẳng Euler) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC Chứng minh rằng :H, G, O thẳng hàng ( Đường thẳng đi qua H, G, O gọi là đường thẳng ơle ).
Câu 3.2.11 Chứng minh rằng khi A chuyển động trên cungBC lớn thì bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF không đổi.
Câu 3.2.12 Tìm vị trí của A trên cung BC lớn sao cho (HD.AD) max
Câu 3.2.13 Chứng minh rằng : BH.BE +CH.CF 2
Câu 3.2.14 Chứng minh rằng : AH.AD+BH.BE +CH.CF = AB 2 +BC 2 +AC 2
Câu 3.2.15 Chứng minh rằng H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác EF D.
Câu 3.2.16 Khi góc ABC[ = 60 0 Chứng minh rằng tam giác M EF đều.
Câu 3.2.17 Cho góc BAC[ = 45 0 Tính diện tích tam giác M EF theo R.
Câu 3.2.18 Chứng minh rằng AI
Câu 3.2.19 Đường tròn đường kính AB cắt CF tại A 1 , đường tròn đường kính AC cắt
BE tại A2 Chứng minh rằng: AA1 2.
Câu 3.2.20 Kẻ đường kính BOS từ C kẻCT⊥BS Chứng minh rằng : EF =CT. Câu 3.2.21 Gọi A 3 là trung điểm củaEF Chứng minh rằng : OA.AA 3 =AM.M O.
Câu 3.2.22 Tìm vị trí của Atrên cungBC lớn sao cho :EF +ED+F D đạt giá trị lớn nhất.
4R Câu 3.2.25 Tìm hệ thức giữa tỉ số lượng giác của Bb và Cb đểOH//BC.
Câu 3.2.26 Đường kínhAK cắt EF tại A 4 Chứng minh rằng: Tứ giácF A 4 KBnội tiếp đường tròn.
Câu 3.2.27 Từ A kẻ tiếp tuyến AL, AN đến đường tròn ngoại tiếp tứ giác BF CE Chứng minh rằng : L, H, N thẳng hàng.
Hướng dẫn giải chương 3
Chứng minhBK//HC và BH//KC.
Sigma - MATHS Để ý BHCK là hình bình hành.
Kẻ tiếp tuyến Ax với (O) Chứng minh Ax//EF. Câu 3.2.9. đường thẳng từA vuông góc với F E đi qua O.Câu 3.2.10.
Chứng minh tam giácABC và tam giác AHK có chung đường trung tuyếnAM. Câu 3.2.11.
Chứng minhBE.BH BC, CH.CF CB. Câu 3.2.14. Để ý bài toán trên.
Chứng minhDA và BE là các đường phân giác trong của tam giác EF D.
Ta có ABC[ = 60 0 ⇒ \F EB = 30 0 Mà EM F\ = 2\F EB = 60 0 Hiển nhiên M E = M F nên ∆M EF đều.
Chứng minh∆M EF vuông cân.
Biến đổi bài toán thành DH
CF = 1. Câu 3.2.19. Để ý tới hệ thức lượng trong tam giác vuông.Câu 3.2.20.
Chứng minhF ET C là hình thang cân.
Gọi W, Z tương ứng là hình chiếu của O trên AB, AC Chứng minh 2S ∆ABC OM.BC+OW.AC+OZ.AB.
Câu 3.2.24. Để ý AB.AC = 2R.AD.
Bài toán mở rộng liên quan đến điểm M nằm ngoài đường tròn (O), với hai cát tuyến MB và MC (B nằm giữa M và C) cùng với MA và MD (A nằm giữa M và D) Gọi H là giao điểm của AC và BD M L và M N lần lượt là tiếp tuyến của (O) tại L và N Cần chứng minh rằng ba điểm L, H và N thẳng hàng.
Tài liệu này được thiết kế để hỗ trợ luyện thi, do đó chúng tôi sẽ không phân tích sâu về bài toán dưới góc độ nghiên cứu, nhưng xin gợi ý rằng đây là một đề tài rất thú vị để khám phá.
Chùm bài toán về phương tích
Trong chương này, chúng tôi bắt đầu với bài toán quen thuộc xoay quanh kiến thức về phương tích và một số vấn đề liên quan.
Mô hình cơ bản
Cho đường tròn tâm O và điểm M nằm ngoài đường tròn Vẽ các tiếp tuyến MA, MB và cát tuyến MCD tới đường tròn, trong đó MC < MD và đoạn thẳng d không đi qua tâm O I là trung điểm của đoạn CD, và AB cắt MO tại điểm H.
Khai thác mô hình
Câu 4.2.2 Chứng minh rằng OH.OM+M C.M D=M O 2
Câu 4.2.3 Chứng minh rằng năm điểm M, A, I, O, B thuộc một đường tròn.
Câu 4.2.4 Gọi H 1 là trực tâm ∆M AB Chứng minh rằng độ dài của H 1 A không phụ thuộc vào vị trí của điểmM.
Câu 4.2.5 IM là tia phân giác của AIB.[
Câu 4.2.6 Chứng minh rằng: Tứ giác CHOD nội tiếp một đường tròn.
Câu 4.2.7 HA là tia phân giác của CHD.\
Câu 4.2.8 BI cắt (O) tại Y 0 Chứng minh rằng: AY 0 //M D.
Câu 4.2.9 (Trích đề thi vào 10 Hà Nội, 2013-2014) Kẻ đường thẳng d//M O cắt đường kính AA 0 tại Y Chứng minh rằng: IY //A 0 C.
Câu 4.2.10 E là trung điểm của M A.Gọi W là hình chiếu củaE trên M O.Kẻ W V là
Câu 4.2.11 Gọi J giao điểm của M O với (O) Chứng minh rằng J là tâm đường tròn nội tiếp∆M AB.
Câu 4.2.12 Gọi N là giao điểm của AB và CD Chứng minh rằng: Tứ giác OHN I nội tiếp một đường tròn.
Câu 4.2.14 Tiếp tuyến tại CvàDcủa (O)cắt nhau tạiK TừK kẻ đường thẳng vuông góc với M O cắt (O) tại A và B Chứng minh M A và M B là tiếp tuyến của (O).
Câu 4.2.15 Tiếp tuyến tạiC và Dcủa (O)cắt nhau tại K Chứng minh rằng: A, B, K thẳng hàng.
Câu 4.2.16 M, C, D cố định Đường tròn (O) nhưng luôn qua C và D Chứng minh
A, B luôn chuyển động trên đường tròn cố định.
Câu 4.2.17 Đường thẳng đi quaC và vuông góc vớiOA cắtAB, AD lần lượt tạiA 1 và
Trong bài toán, gọi P là trung điểm của đoạn thẳng MA và E là giao điểm của đường thẳng BP với đường tròn O Tia ME cắt đường tròn O tại điểm F Cần chứng minh rằng tam giác MPE đồng dạng với tam giác BPM và đường thẳng BF song song với đoạn thẳng MA Ngoài ra, bài toán cũng yêu cầu xác định vị trí của điểm M sao cho tứ giác AMBF trở thành hình bình hành.
Câu 4.2.20 Qua (O) kẻ đường thẳng vuông góc với M O cắt M A và M B tại P và Q. Tìm vị trí củaM để diện tích tam giác M P Qnhỏ nhất.
Câu 4.2.21 (Trích đề thi tuyển sinh vào 10 Ninh Bình 2017-2018) Tiếp tuyến tại
M của đường tròn (O) cắt M A và M B tại E và F Chứng minh rằng: P OE[ =OF Q[ và
Câu 4.2.22 AB cắtOE vàOF lần lượt tạiQ 0 vàP 0 Chứng minh rằng: Tâm đường tròn ngoại tiếp∆OEF nằm trên đường thẳng cố định khiC di động trên cungAB.
Hướng dẫn giải chương 4
Lấy O 0 là trung điểm của M O Chứng minh M, A, I, O, B thuộc một đường tròn (O 0 ).
Chứng minhAOBH1 là hình bình hành.
Chứng minhAJ là phân giác của góc M AB\ Câu 4.2.12.
Câu 4.2.13. Để ý tính chất nội tiếp của tứ giácHN IO và tứ giác CHOD. Câu 4.2.14.
Nhận xét rằng, trong bài toán, hai tiếp tuyến tại các điểm C và D của đường tròn (O) cắt nhau tại điểm K Cần chứng minh rằng điểm K luôn nằm trên một đường thẳng cố định, bất kể đường thẳng d có thay đổi như thế nào, miễn là nó thỏa mãn các điều kiện của đề bài.
Chứng minhAI là đường trung bình của ∆CA 2 D
