giaovienvietnam.com TÍCH PHÂN Khái niệm tích phân • Cho hàm số f liên tục K a, b ∈ K Nếu F nguyên hàm f K thì: F(b) – F(a) b gọi tích phân f từ a đến b kí hiệu ∫ f (x)dx a b ∫ f (x)dx = F(b) − F(a) a • Đối với biến số lấy tích phân, ta chọn chữ khác thay cho x, tức là: b b b a a a ∫ f (x)dx = ∫ f (t)dt = ∫ f (u)du = = F(b) − F(a) • Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục không âm đoạn [a; b] diện tích S hình b thang cong giới hạn đồ thị y = f(x), trục Ox hai đường thẳng x = a, x = b là: Tính chất tích phân S = ∫ f (x)dx a a • • • ∫ f ( x ) dx = a b a a b ∫ f (x)dx = −∫ f (x)dx b b a a ∫ kf (x)dx = k ∫ f (x)dx b • • (k: const) b b ∫ [ f (x) ± g(x)]dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g(x)dx a a a b c b a a c ∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx b • Nếu f(x) ≥ [a; b] ∫ f (x)dx ≥ a • Nếu f(x) ≥ g(x) [a; b] Phương pháp tính tích phân b b a a ∫ f (x)dx ≥ ∫ g(x)dx a) Phương pháp đổi biến số b u (b) a u (a) ∫ f [ u(x)] u '(x)dx = ∫ f (u)du đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục K, y = f(u) liên tục hàm hợp f[u(x)] xác định K, a, b ∈ K b) Phương pháp tích phân phần Nếu u, v hai hàm số có đạo hàm liên tục K, a, b ∈ K thì: b b ∫ udv = uv a − ∫ vdu a b a giaovienvietnam.com VẤN ĐỀ LÝ THUYẾT Câu A y = f ( x) Cho hàm số b a a b é ù a; b liên tục ë û Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? ò f ( x) dx = ò f ( x) dx b b a a B ò f ( x) dx = 2ò f ( x) d( 2x) C Câu đúng? y = f ( x) Cho hàm số a b ò f ( x) dx =- ò f ( x) dx b a a b ò f ( x) dx =- 2ò f ( x) dx D a B a A a liên tục ¡ ¡ Trong khẳng định sau, khẳng định a ò f ( x) dx= b a ò f ( x) dx= ò f ( x) dx =- C a D a a ò f ( x) dx = f ( a) a Câu đúng? y = f ( x) , y = g( x) Cho hàm số b A é ù a; b liên tục ë û Trong khẳng định sau, khẳng định b b ò éëêf ( x) + g( x) ùûúdx = ò f ( x)dx + ò g( x) dx a a a b b b a a a ò f ( x) g( x) dx = ò f ( x) dx.ò g( x) dx B b b b C a a y = f ( x) Câu Cho hàm số sau, khẳng định đúng? A C a D b c a a b ò f ( x) dx = ò f ( x) dxò f ( x) dx c b c a a b ò f ( x) dx = ò f ( x) dx- ò f ( x) dx Cho b a a ∫ f ( x)dx = ∫ f ( y)dy ∫ f ( x)dx = C a a b ò g( x) dx a B D c b c a a b ò f ( x) dx = ò f ( x) dx + ò f ( x) dx c b b a a c ò f ( x) dx = ò f ( x) dx + ò f ( x) dx f ( x ) g ( x) , hai hàm số liên tục ¡ Chọn mệnh đề sai mệnh đề sau: b a ò f ( x) dx liên tục ¡ a, b, cỴ ¡ thỏa mãn a< b< c Trong khẳng định c Câu A ò g( x) dx = b ò kf ( x) dx = ò f ( kx) dx f ( x) b b b ∫ ( f ( x) + g ( x) ) dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx B a a a b b b D a a a ∫ ( f ( x) g ( x) ) dx = ∫ f ( x)dx ∫ g ( x)dx giaovienvietnam.com Câu Giả sử hàm số thực tùy ý Khi đó: f ( x) liên tục khoảng K a, b hai điểm K , k số a ò f ( x) dx = (I) a a b ò f ( x) dx = ò f ( x) dx (II) b a b b ò k f ( x) dx = kò f ( x) dx a (II) a Trong ba cơng thức trên: A Chỉ có (I) sai C Chỉ có (I) (II) sai Câu B Chỉ có (II) sai D Cả ba Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? ò dx = A - b b b ò f1 ( x) f2 ( x) dx = ò f1 ( x) dx.ò f2 ( x) dx B a a a b C Nếu f ( x) liên tục khơng âm đoạn [ a;b] ị f ( x) dx ³ a a D Nếu Câu ò f ( x) dx = 0 f ( x) hàm số lẻ Hãy chọn mệnh đề sai đây: 1 ò x dx ³ ị x dx A 0 x B Đạo hàm F ( x) = ò dt 1+ t F / ( x) = ( x > 0) 1+ x a C Hàm số f ( x) liên tục [- a; a] b D Nếu Câu hàm f ( x) liên tục ¡ Cho hàm f ( x) f ( x) c a b a [ a; b ] [ a; b] Mệnh đề ? A a ∫ f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a ) c ò f ( x) dx + ò f ( x) dx = ò f ( x) dx ∫ kf ( x ) dx = k ( F ( b ) − F ( a ) ) B b - a hàm liên tục đoạn b a a ò f ( x) dx = 2ò f ( x) dx F ( x) với a < b nguyên hàm giaovienvietnam.com y = f ( x) C.Diện tích S hình phẳng giới hạn đường thẳng x = a; x = b ; đồ thị hàm số S = F ( b) − F ( a) trục hồnh tính theo cơng thức b ∫ D a f ( x + 3) dx = F ( x + 3) b ∀x ∈ [ a ; b ] Ta có: a f ( x) , g ( x) Câu 10 Cho hai hàm định sau đây: (1) b ∫ a đồng biến liên tục [a; b] Với a < b Khi đó, xét khẳng b b a a f ( a ) dx ≤ ∫ f ( x ) dx ≤ ∫ f ( b ) dx b (2) ∫ f ( x ) dx ≤ f ( b ) a b f ( x0 ) = f ( x ) dx b − a ∫a x ∈ [ a; b ] (3) Tồn cho Các khẳng định khẳng định là: A.Chỉ (1) (2) B.Chỉ (2) (3) (3) Câu 11 Hãy chọn mệnh đề sai đây: A C.Chỉ (1) (3) D.Cả (1), (2) ò x dx ³ ò x dx 0 x B Đạo hàm F ( x) = ò dt 1+ t F / ( x) = ( x > 0) 1+ x a C Hàm số f ( x) liên tục [- a; a] a ị f ( x) dx = 2ò f ( x) dx - a b D Nếu f ( x) liên tục ¡ c c ị f ( x) dx + ò f ( x) dx = ò f ( x) dx a b a  f ( x ) f ( x ) ≥ g ( x ) max  f ( x ) , g ( x )  =   g ( x ) g ( x ) ≥ f ( x ) Câu 12 Ta định nghĩa: f ( x ) = x2 g ( x ) = 3x − Cho Như ∫ max [ f ( x), g ( x)]dx bằng: 2 ∫ x dx A B ∫ x dx + ∫ ( 3x − ) dx Câu 13 Cho A - ò f ( t) dt = - Giá trị Câu 14 Cho hàm f liên tục ¡ thỏa mãn Tính b , ta C D.15 ò f ( u) du là: C d c ∫ ( 3x − ) dx B - I = ò f ( x) dx ò f ( x) dx = 1 d D c ò f ( x) dx = 10, ò f ( x) dx = 8, ò f ( x) dx = a b a A I = - B I = giaovienvietnam.com C I = D I = - Câu 15 Cho hai hàm số f ( x) g ( x) liên tục đoạn [0; 1], có ∫ f ( x ) dx = ∫ g ( x ) dx = −2 I = ∫  f ( x ) − 3g ( x )  dx Tính tích phân A −10 B 10 D −2 C.2 Câu 16 Cho hàm số A f ( x) I = Câu 17 Cho ò f ( x) dx= liên tục ¡ cho B I =- C I = b b a a a b I = ∫ f ( x) dx, J = ∫ f ( u) du, K = ∫ f ( t ) dt I = K A B I = J I = ò2 f ( x) dx Tính D I =- Khẳng định sau đúng? C K = J D I = J = K Câu 18 Cho hàm số f ( x) [ 1;2] , f ( 1) =1 f ( 2) =2 Tính có đạo hàm đoạn A I = I = ∫ f ′ ( x ) dx C I = B I = −1 D I= f ( 0) = f '( x ) Câu 19 Nếu A.3 , liên tục B.9 ∫ f ' ( x ) dx = giá trị C.10 f ( 3) là: D.5 ff( 1) = 12, Câu 20 Nếu '( x) liên tục A 29 ò f '( x) dx = 17 B Giá trị 10 f ( x) P = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx A 10 Câu 22 Biết ∫ 0;10 liên tục  thỏa mãn f ( x ) dx = 3; B −4 ∫  f ( x ) − g ( x )  dx = 3; Câu 23 Cho A I = −5 −2 Câu 24 Cho hàm số , −2 B I = −3 f ( x) , g( x) Giá trị D ∫  f ( x ) + g ( x )  dx = C I = ∫ f ( x)dx = ∫ f (t )dt = −4 f ( x) dx = 7, ∫ f ( x) dx = B I = 2 ∫ D C A I = −2 bằng: C 19 10 Câu 21 Cho hàm số f ( 4) Tính I = ∫ f ( x ) dx D I = Tính I = ∫ f ( y )dy C I = é1;6ù liên tục ë ûsao cho D I = ò f ( x) dx = 3, ị f ( x) dx =- Tính I = ò f ( x) dx A I = B I =- ? C I =1 D I =- giaovienvietnam.com f ( x) , g( x) Câu 25 Cho hàm số 4 2 ò f ( x) dx =- 2, ò g( x) dx = liên tục ¡ cho Tính I = ịé f x - g( x) ù dx ê ú ë( ) û I = A f ( x) Câu 26 Cho g ( x) số lẻ Biết ∫ f ( x ) dx = B I =- C I =- hai hàm số liên tục [ −1,1] ∫ f ( x ) dx = 10 ∫ g ( x ) dx = hàm số chẵn, g ( x) hàm Mệnh đề sai? ∫ g ( x ) dx = 14 B −1 ∫  f ( x ) + g ( x )  dx = 10 C −1 ∫  f ( x ) − g ( x )  dx = 10 D −1 Câu 27 Cho biết f ( x) 1 A −1 D I = 4 ò f ( x) dx = - 2, ò f ( x) dx = 3, ò g( x) dx = 1 Khẳng định sau sai? 4 ò éëf ( x) + g( x) ùûdx = 10 A ò f ( x) dx = B 3 ò f ( x) dx = - C ò éë4 f ( x) - D Câu 28 Cho hàm số giá trị biểu thức f ( x) liên tục đoạn [0; 6] thỏa mãn P = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx B P = 16 A P = f ( x ), g ( x ) Câu 29 Cho 6 3 ∫ f ( x)dx = 3; ∫ f ( x)dx = 7; ∫ g ( x)dx = hàm số liên C A 15 thỏa ln e6 ∫ [4 f ( x) − g ( x)]dx = 16 D B ∫ [2f ( x) − 1]dx = 16 Câu 30 Biết [ 2;6] 14 B 15 ∫ f ( t ) dt = Tính ∫ f ( u ) du 17 C 15 − Tính D P = 10 ∫ [3 f ( x) − 4]dx = ∫ f ( x ) dx = đoạn 3 ∫ f ( x ) dx = Hãy tìm mệnh đề KHƠNG ∫ [3g ( x) − f ( x)]dx = ln e tục f ( x ) dx = 10 C P = A ∫ 2g( x) ù ûdx = - 16 D 15 − mãn giaovienvietnam.com ∫ f ( x ) dx = Câu 31 Giả sử f ( x) ∫ f ( t ) d t + ∫ f ( t ) dt C 0 B p 0 ∫ a ò f ( x) dx = 2ò f ( x) dx - a ò f ( sin x) dx = pò f ( sin x) dx D a p Tính D A I = I = ∫ f (3x )dx B I = 36 C I = D I = f ( x) ò f ( x) dx = ò f ( x) dx 0 f ( x)dx = 12 Câu 34 Cho hàm số A 10 có nguyên hàm ¡ Mệnh đề đúng? ò f ( x) dx = ò f ( 1- x) dx Câu 33 Cho Tổng B Câu 32 Cho hàm số C ∫ f ( z ) dz = A 12 A ∫ liên tục ¡ B 20 f (x)dx = 10 I= Tính f (3x − 1)dx ∫1 C D 30 Câu 35 Cho hàm số A f ( x) liên tục ¡ ∫ f (2x − 1)dx = 3 ∫ f (x + 1)dx = ∫ f (x + 1)dx = − B −1 −1 Đẳng thức sau ∫ f (x + 1)dx = −6 C −1 D ∫ f (x + 1)dx = −1 Câu 36 Cho ∫ f ( x) dx = 16 A I = 32 Tính tích phân I = ∫ f ( 2x) dx B I = Câu 37 Cho tích phân I = ∫ f (x)dx = A B C I = 16  x K = ∫ f  ÷dx 2  Tính tích phân C Câu 38 Nếu f ( x) liên tục A D I = − D 2 ò f ( x) dx = 10 , ị f ( 2x) dx B 29 bằng: C 19 D b Câu 39 Cho f hàm số liên tục đoạn éa; bù ë û thỏa mãn ò f (x)dx= a Tính b I = ò f (a+ b- x)dx a A I =7 B I = a+ b- C I = 7- a- b D I = a+ b+7 giaovienvietnam.com Câu 40 Cho ò f ( x) dx = 10 A 32 Khi ị éë25 f ( x) ù ûdx B 34 C 36 Câu 41 Cho biết bằng: ù A = òé ë3 f ( x) + 2g( x) ûdx = 1 A ∫ 1 D D C ∫ f ( x)dx = 15 −1 A P = 15 ò f ( x) dx B.10 Câu 43 Cho biết Giá trị Tính A.5 C - I = ∫ f (1 − x)dx f ( x )dx = D 40 ù B = òé ë2 f ( x) - g( x) ûdx = - B Câu 42 Cho bằng: Tính giá trị P = ∫  f ( − 3x ) +  dx B P = 37 C P = 27 D P = 19 Câu 44 Cho f ,g ∫  f ( x ) − g ( x )  dx = A.8 Câu 45 Cho hàm số A −1 hai hàm liên tục [ 1;3] ∫  f ( x ) + 3g ( x )  dx = 10 thỏa: ∫  f ( x ) + g ( x )  dx Tính B.9 f ( x) C.6 D.7 1 ∫ 3 − f ( x )  dx = liên tục đoạn [0; 1] có B.2 C.1 Tính ∫ f ( x ) dx D −2 Câu 46 Cho f ,g ∫ 2 f ( x ) − g ( x )  dx = A.8 hai hàm liên tục [ 1;3] ∫  f ( x ) + 3g ( x )  dx = 10 thỏa: ∫  f ( x ) + g ( x )  dx Tính B.9 C.6 D.7 giaovienvietnam.com VẤN ĐỀ TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ ĐA THỨC, PHÂN THỨC, CĂN THỨC ĐA THỨC Câu 47 Cho A I= ∫ f ( x ) dx = 2020 Tính 43573 I= B I = ∫ ( 3x − ) − f ( x )  dx   53673 C I= 89720 27 D I= 18927 20 k Câu 48 Để ò( k - 4x) dx = 6- 5k A k = giá trị k là: B k = C k = D k = C b= b= D b Câu 49 Giá trị b để A b= b= b= ò( 2x - 6) dx = ? B b= b= b= x Câu 50 Cho F ( x) = ò( t2 + t) dt 1 A Giá trị nhỏ B Câu 51 Giả sử định sau: ∫ x ( 1− x) 19 dx = A a − b < a b F ( x) đoạn C - [- 1;1] là: D a (với b phân số tối giản) Chọn khẳng định sai khẳng B 3a + b = 423 C a + b > 450 D a + b = 421 Câu 52 Cho I = ∫ x(x − 1)5 dx u = x − Chọn khẳng định sai khẳng định sau: giaovienvietnam.com 1 13 I= 42 B I = ∫ x(1 − x) dx A  u6 u5  I= + ÷  0 C D a + − 2a C − 2a D I = ∫ (u + 1)u 5du Câu 53 Tính tích phân sau: I = ∫ x a − x dx 2a − A Cả đáp án B I = ∫ (x + 1)2 dx Câu 54 Bài toán tính tích phân −2 bạn Minh Hiền giải theo ba bước sau: bước I Đặt ẩn phụ t = (x + 1) , suy dt = 2(x + 1)dx dt dt = dx ⇒ = dx 2( x + 1) t bước II Từ suy Đổi cận x t −2 1 4 t I = ∫ (x + 1) dx = ∫ dt = t = 3 −2 12 t bước III Vậy Bạn Minh Hiền giải hay sai? Nếu sai sai từ bước nào? A Sai từ Bước I B Sai Bước III C Sai từ Bước II D Bài giải x Câu 55 Tìm giá trị lớn A f ( x) đoạn đoạn f ( x) = C x ∫ ( 4t − 8t ) dt [ 0;6] Tính M − m Câu 57 Tính tích phân ∫ ( x + 1) C.16 kết  1  22017  + + ÷  2020 2019 2018  A   22018  + + ÷  2020 2019 2018  C Câu 58 Giả sử ∫ x ( 1− x) 2a − b bằng: A 2017 Câu 59 Tích phân: a ∫ x − dx 33 22018 B 2018  4  22018  + + ÷  2020 2019 2018  D ( 1− x) dx = B 2018 D.9 x2017dx 2017 D Gọi m, M giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn B.12 [ −1;1] − B Câu 56 Cho hàm số hàm số A.18 G ( x ) = ∫ ( t + t ) dt a ( 1− x) − b b +C với a, b số nguyên dương Tính C 2019 D 2020 giaovienvietnam.com π Câu 289 Cho tích phân sau đây? A −4 < a + b < −2 Câu 290 Cho tích phân khoảng sau đây? ∫ ( sin x cos 5x − cos x ) dx = a + b.π B −2 < a + b < −1 π ∫ ( cos ) B −3 < a + b < −1 π  x ∫  cos x + cos Câu 291 Cho tích phân khoảng sau đây? C −1 < a + b < x.sin x − + cos x dx = a + b A −5 < a + b < −3 A −3 < a < −2 Khi giá trị a + b thuộc khoảng D < a + b < Khi giá trị a + b thuộc C −1 < a + b < D < a + b <  x ÷dx = a + bπ + c ln  Khi giá trị S = a + b + c thuộc B −2 < a < −1 C −1 < a < D < a < π  sin x + sin x sin x  + dx = a + b ln cos x + ÷ + 3cos x  Câu 292 Cho tích phân Khi giá trị a thuộc ∫  khoảng sau đây? A −5 < a < −2 B −2 < a < π Câu 293 Cho tích phân sau đây?  cos x ∫  sin x + − cos A −5 < b < −2 C < a < D < a <  x ÷dx = a + b ln  Khi giá trị b thuộc khoảng B −2 < b < C < b < D < b < 10 π  cos x sin x  +  ∫0  ( sin x − cos x + 3) + cos x dx = a + b ln  Câu 294 Cho tích phân  Khi giá trị a thuộc khoảng sau đây? A −3 < a < −2 B −2 < a < −1 C −1 < a < D < a < π  4sin x sin x cos x + cos x  ∫0  + cos x − sin x + ÷ dx = a + b ln Câu 295 Cho tích phân Khi giá trị a thuộc khoảng sau đây? A −4 < a < B < a < π Câu 296 Cho tích phân khoảng sau đây? A −7 <  ∫  tan x + ( − tan x ) a < −4 b B −4 < p Câu 297 Tính tích phân A I = n- C < a <  dx = a + b.π cos x  a < −1 b C −1 < a ) cos x x C 2π xdx , khẳng định đúng: y′ = D D π sin x x giaovienvietnam.com π A ∫ sin π C ∫ sin π xdx > ∫ cos xdx B Không so sánh xdx < π ∫ cos π xdx D h( x) = Câu 342 Cho hàm số ∫ sin π xdx = ∫ cos xdx sin x a cos x b cos x h(x) = + 2 (2 + sin x) Tìm a, b để (2 + sin x) + sin x tính I= ∫ h(x)dx − π A a = -4 b = 2; I = 2ln2 - C a = b = 4; I = 2ln2 - B a = b = -2; I = 2ln2 - D a = -2 b = 4; I = ln2 - x g(x) = Câu 343 Cho ∫ cos tdt A g '(x) = sin(2 x ) Hãy chọn khẳng định khẳng định sau: B g '(x) = cos x C g '(x) = sin x g '(x) = D cos x x π cot x I=∫ dx π π cot x x ∀x ∈  ;  ≤ ≤ π   π x π Gọi Câu 344 Biết Kết luận sau ? ≤I≤ A 12 Câu 345 Cho f (x) = 1 ≤I≤ B ( a − b ) sin x + b sin x 1 ≤I≤ C với a,b số thực Tìm nguyên hàm F(x) f(x) biết  π  π  π F  ÷ = ; F  ÷ = 0; F  ÷ = 4 6 3 F( x) = ( tanx-cotx ) − A C F( x) = ≤I≤ D 12 B ( tanx-cotx ) + D F( x) = ( tanx+cotx ) − F( x ) = ( tanx+cotx ) + π 2a ∫0 x sin ( ax ) dx a ≠ Câu 346 Với Giá trị tích phân π π 1 + 2 A a B a C a e2020 2020 ∫1 cos(ln x).dx = − + m.e Câu 347 Tích phân Khi giá trị m: A m=− B m < C m = π π + 2a D a D m < −1 Câu 348 Hàm số y = tan 2x nhận hàm số nguyên hàm? A tan 2x + x tan 2x − x B C tan 2x − x tan 2x + x D giaovienvietnam.com π a ∫ cos x dx = Câu 349 BIết: Mệnh đề sau đúng? A a số chẵn B a số lớn C a số nhỏ Câu 350 Tìm khẳng định sai khẳng định sau π π A x ∫0 sin dx = 2∫0 sin xdx π B Câu 351 Giả sử − I = ∫ sin 3x sin 2xdx = a + b 2 1 0 − C I = ∫ sin 2x.esin x dx Câu 352 Cho tích phân e , đó, giá trị a + b là: B π dx = − ∫ sin(1 − x)dx = ∫ sin xdx D π −x π π π   ∫0 sin  x + ÷ dx = ∫0 cos  x + ÷ dx C A ∫e D a số lẻ 10 D :.một học sinh giải sau: x =0⇒t =0 π x = ⇒ t = ⇒ I = t.e t dt ∫0 Bước 1: Đặt t = sin x ⇒ dt = cos xdx Đổi cận:  u=t du = dt ⇒  t t dv = e dt   v=e Bước 2: chọn 1 0 ⇒ ∫ t.e t dt = t.e t − ∫ et dt = e − e t = 0 I = ∫ t.e dt = t Bước 3: Hỏi giải hay sai? Nếu sai sai đâu? A Bài giải sai từ bước C Bài giải hoàn toàn a Câu 353 Biết a= ∫ (4sin x − )dx = π a= B Bài giải sai từ bước D Bài giải sai bước giá trị a ∈ (0; π) là: π A B Câu 354 Trong đẳng thức sau, đẳng thức sai? A π 0 ∫ sin xdx = ∫ dx π C B π C D Câu 355 Tìm khẳng định sai khẳng định sau: A C π x ∫0 sin dx = 2∫0 sin xdx 0 D π π 0 π π ∫ sin xdx = ∫ cos tdt π B ∫ sin(1 − x)dx = ∫ sin xdx π ∫ sin xdx = ∫ sin tdt ∫ sin xdx = ∫ sin ( 2x + 1) d sin ( 2x + 1) π a= ∫ (1 + x) x dx = 0 D ∫x −1 2019 (1 + x)dx = 2021 a= π giaovienvietnam.com π Câu 356 Cho tích phân sin x I=∫ − 2α cos x + α , với α > I bằng: A α B 2α a C π sin x ∫ sin x + cos x dx = Câu 357 Cho π A π B Giá trị a π I1 = ∫ cos x 3sin x + 1dx Câu 358 Cho Phát biểu sau sai? A I1 = 14 B ; π C π sin 2x I2 = ∫ dx (sinx + 2) I1 > I Câu 359 Giá trị trung bình hàm số m( f ) = α D y = f ( x) π D 3 I2 = ln + 2 C m( f ) [ a; b ] , kí hiệu D Đáp án khác tính theo cơng thức b f ( x ) dx b − a ∫a Giá trị trung bình hàm số A π B π f ( x ) = s inx [ 0; π] là: C π f (x) liên tục ¡ thỏa mãn Câu 360 Cho hàm số ò D π f ( x) x π dx = ò f (sin x).cos x.dx= Tính tích phân I = ị f (x)dx A I =2 B I = C I = D I =10 π Câu 361 Cho hàm số f (x) liên tục ¡ tích phân ị f (tan x)dx = x2 f (x) ò x2 +1 dx = Tính tích phân I = ị f (x)dx A I = B I =2 C I = Câu 362 Cho ∫ f ( x ) dx = I= A I= Tính tích phân π 12 ∫ I= A cos x I= B ò f (x)dx = 2020 2020 B Tính tích phân I= 2021 dx I= C π Câu 363 Cho f ( tan x ) I =ò D I =1 I= D f (tan 2x) dx 1+ 4cos 4x C I= 2021 D I= 2020 giaovienvietnam.com 2 Câu 364 Cho A ò f (x)dx= I = π ò f (2x)dx= 10 Tính B I = I = ị cos xf (sin x)dx C I =13 π π Câu 365 Cho tích phân I = ∫ cos x f ( sin x ) dx = A K = −8 D I = 23 Tính tích phân K = ∫ sin x f ( cos x ) dx C K = B K = D K = 16 Câu 366 Cho hàm y = f ( x) số liên tục R, thỏa mãn ∫ f ( x ) dx = Tính π I = ∫ ( tan + 1) f ( tan x ) dx A I = B I = −1 Câu 367 Cho hàm số I= y = f ( x) C I= liên tục R thỏa mãn π π I =− 4 D f ( x ) + f ( − x ) = + cos x Tính π ∫ f ( x ) dx − π A I = −1 Câu 368 Biết B I = hàm số π  y = f x+ ÷ 2  C I = −2 hàm số D I = chẵn đoạn  π π  − ;  π π  I = ∫ f ( x ) dx f ( x ) + f  x + ÷ = sin x + cos x 2  Tính A I = B I = C I= D I = −1 x2 Câu 369 Cho hàm số A f ( ) = 123 f ( 4) = ( 0; +∞ ) liên tục thỏa ∫ f ( t ) dt = x.cos π x f ( 4) = B f ( x) Câu 370 Cho hàm số A f ( x) f ( x) thỏa mãn B ∫ t dt = x.cos π x Tính f ( ) = −1 π  G '  ÷ = −1 A   G ( x ) = ∫ t.cos ( x − t ) dt π  G ' ÷= B   π  G ' ÷  2 Tính Câu 372 Cho hàm số ( x > ) Tính G '( x) f ( 4) D f ( 4) = π  G ' ÷= C   x2 G ( x ) = ∫ cos t dt f ( 4) f ( 4) = C x Câu 371 Cho hàm số f ( 4) = C Tính D f ( ) = 12 π  G ' ÷= D   G ' ( x ) = x cos x A G ' ( x ) = cos x − B G ' ( x ) = x.cos x C giaovienvietnam.com G ' ( x ) = cos x D Câu 373 Cho hàm số F ( x) = x ∫ sin t dt F '( x) ( x > ) Tính sin x B x A sin x 2sin x x C D sin x a  π 3π  cos ( x + a ) dx = sin a a∈ ;  ∫  2  Câu 374 Nếu a số thỏa mãn điều kiện sau: thì: A a = π B a = π C a = π D a = 2π x2 Câu 375 Cho hàm số A f ( 4) = y = f ( x) liên tục R thỏa mãn B Câu 376 Cho hàm số y = f ( x) f ′ ( 2) ( f ( 2) ) = f ( 4) = f ( x) thỏa mãn ∫ ∫ f ( t ) dt = x cos ( π x ) C A B C f ′ ( ) ( f ( ) ) = − 2π f ′ ( ) ( f ( ) ) = 2π − f ( x) D π  f  ÷ = 2π f ' ( x ) = + cos x thỏa mãn điều kiện   Mệnh đề f ( 0) = π B f ( x) = 2x − f ( 4) = 2 f ′ ( ) ( f ( ) ) = −1 Câu 377 Cho hàm số sai? D Mệnh đề đúng? C t dt = x cos ( π x ) A f ( 4) = f ( 4) Tính f ( x ) = 2x + sin x +π  π f  − ÷= D   sin x +π π f (x) liên tục ¡ thỏa mãn: Câu 378 Cho hàm ∫ f (3x) = ∫ f (sin x)cos xdx = Tính tích I = ∫ f (x)dx phân A I = B I = C I = 8/3 D I = - y = cos x có đạo hàm liên tục K (K khoảng, đoạn nửa khoảng ¡ ) f (x)sin xdx = − f (x)cos x + ∫ cos x.π xdx y = f (x) Câu 379 Cho hàm số thỏa mãn hệ thức hàm số sau πx f (x) = lnπ A x π f (x) = − lnπ ∫ Hỏi B f (x) = −π x ln π C f (x) = π x ln π hàm số D Câu 380 Cho hàm số I= f ( x) giaovienvietnam.com liên tục R thoả mãn f ( x) + f ( − x) = + 2cos2x, ∀x∈ ¡ 3π − ∫π f ( x ) dx Tính A I = −6 B I = D I = C I = −2 VẤN ĐỀ TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ ĐẶC BIỆT a + Nếu f (x ) hàm lẻ liên tục đoạn [ − a, a ] : I= ∫ f ( x ) dx = −a a + Nếu f (x ) hàm chẵn liên tục đoạn [ − a, a ] thì: I= + Nếu f (x ) hàm chẵn liên tục xác định R thì: a ∫ f ( x ) dx = 2∫ f ( x )dx −a I= α f ( x) dx = ∫−α a x + ∫0 f ( x ) dx π [ 0, π ] Chứng minh : Bài toán : Cho hàm số f ( x ) liên tục α ∫ x f ( sin x ) dx = π π f ( sin x ) dx ∫0 Nếu hàm số f ( x ) liên tục, xác định , tuần hồn R có chu kì T , ta ln có: T T ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx − T Chú ý: + Nếu f(x) liên tục f (a + b − x) = f (x) f (a + b − x) = − f (x) đặt: t = a + b – x Đặt biệt: a + b = π đặt t = π – x a + b = 2π đặt t = 2π – x Câu 381 Cho f ( x) hàm số chẵn ò f ( x) dx = a - Chọn mệnh đề đúng: giaovienvietnam.com A ò f ( x) dx = - a ò f ( x) dx = 2a B - 3 C ò f ( x) dx = a - ò f ( x) dx = a D Câu 382 Cho f ( x) hàm số lẻ ò f ( x) dx = - Giá trị B - A ò f ( x) dx Câu 383 Cho hàm số chẵn A.3 là: D - C f ( x) ò f ( x) dx = - Giá trị B ò f ( x) dx là: - D - C Câu 384 Cho A.0 f ( x) hàm lẻ, liên tục R Khi B -6 ∫ f ( x) dx −3 có giá trị bằng? C.6 D.9 −3 Câu 385 Cho A.0 f ( x) hàm chẵn, liên tục R B −6 ∫ f ( x) dx = Khi ∫ f ( x) dx C có giá trị bằng? D Câu 386 Cho y = f ( x) ∫ f ( −2 x ) dx = A I = 11 hàm số chẵn, có đạo hàm đoạn [ −6; 6] Biết ∫ f ( x ) dx = −1 ∫ f ( x ) dx Tính −1 B I = C I = D I = 14 π Câu 387 Tính tích phân A I= sin2018 x dx 2018 x + cos2018 x sin I=∫ π π B α I =∫ dx + tan x I= Câu 388 Cho tích phân C I= π α sin x dx cosx + sin x J =∫ I= D  π α ∈  0; ÷   , khẳng định sai với α A C cos x dx cosx + sin x I =∫ I = ln + tan α B I − J = ln sin α + cosα D I + J = α p Câu 389 Cho A C I n = ũ cosn xdx , n ẻ Ơ , n ³ Khẳng định sau đúng? In = n- I n n- B In = n- I n n- D In = π n- I n n- I n = 2I n- giaovienvietnam.com π Câu 390 Đặt A C I n = ∫ sin n xdx I n +1 < I n Khi đó: B I n +1 ≥ I n D π Câu 391 Biết cos x ∫ + 3− x dx = m −π I= Tính giá trị I n +1 = I n π cos x ∫ + 3x dx −π π + m B π − m D A π − m C π + m x2 ∫ x dx = −a e + , a ∈ ¡ I n +1 > I n a Câu 392 Biết A T= Tính giá trị biểu thức 10 B 10 T =− D I n = ∫ x ( − x ) dx n (1) ( n + 1) với n (2) Jn > ( n + 1) với n (3) In ≤ J n = ( n + 1) In ≤ J n = ∫ x ( − x ) dx n B.(1) (2) D.cả (1) (3) x2 Câu 394 Cho biết Xét câu: với n A (1) C.Tất sai A −2 a T= C T = Câu 393 Cho T = a+ x ∈ ( 0; +∞ ) ∫ f ( t ) dt = x B −8 − 5x2 Tính C f ( 4) = ? 1 T = Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn , n ∈ ¥ * n + Câu 395 Rút gọn biểu thức: 2n 2n − T= T = n +1 n +1 n +1 A B T = C D D T= 2n +1 − n +1 ... (x2) = 3x Tính tích phân Câu 192 Cho 1 I= I =- 2 A B Câu 193 Bạn Minh Hiền tính tích phân dx 1+ ex C I =2 sau: x e dx x e ( 1+ e ) x e 1 I =∫ -2 -1 O -1 I = ò f (x)dx VẤN ĐỀ TÍCH PHÂN CỦA HÀM... x + Câu 90 Tích phân Khi giá trị S = a + b thuộc khoảng sau đây? A −8 < S < −3 B −3 < S < C < S < D < S < 12 ∫ Câu 91 Cho tích phân ?  A a + b = B a − 2b = Câu 92 Cho tích phân  ∫ ... + b ln x − Câu 96 Cho tích phân Khi giá trị a thuộc khoảng sau đây? ∫ A −5 < b < −3 a B Câu 97 Cho tích phân < ( a.b ) < 10 ∫x x a − ln dx = +1 b B ∫ Câu 98 Cho tích phân khoảng sau đây? Câu