Trong báo cáo này, nhóm sẽ trình bày về những cơ sở lý thuyết của lực Lorentztrong điện từ trường tình và thực hành ứng dụng phần mềm MATLAB trong giải quyếtbài toán cụ thể. Phần Cơ sở lý thuyết, nhóm đề cập tới các thuộc tính của điện tíchtrong điện trường, từ trường, điện từ trường và các công thức tính toán liên quan. Vềphần MATLAB, nhóm giới thiệu về phần mềm MATLAB và một số hàm, lệnh cơ bản.Đồng thời, nhóm có ứng dụng MATLAB để xử lý một số ví dụ minh họa với hình ảnhđồ thị trực quan sinh động. Từ đó, nhóm đã rút ra kết luận rằng việc sử dụng các phầnmềm như một công cụ hỗ trợ sẽ giúp xử lý các bài toán vật lý một cách nhanh chóngvà khoa học hơn.
CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Điện tích trong điện trường
Khi một điện tích dương q được đưa vào điện trường, trường sẽ tác dụng lên điện tích này một lực F ⃗, được tính bằng công thức F ⃗ = q.E.
Khi một hạt mang điện tích dương q di chuyển vào điện trường giữa hai bản song song của tụ điện, nó chịu tác động của lực điện F ⃗ = q.E ⃗ và trọng lực P ⃗, cả hai đều hướng thẳng đứng xuống dưới Hạt sẽ chuyển động nhanh dần đều theo phương thẳng đứng xuống dưới, trong khi không có lực nào tác động theo phương nằm ngang, dẫn đến chuyển động đều theo phương này Do đó, quỹ đạo chuyển động của hạt mang điện tích dương trong điện trường sẽ là một đường parabol, tương tự như chuyển động của vật thể bị ném ngang trong trường hấp dẫn.
Trong điện trường, hạt mang điện tích âm sẽ di chuyển theo quỹ đạo parabol do lực tác dụng ngược với đường sức Nếu không tính đến trọng lượng, hạt sẽ theo quỹ đạo parabol đơn giản Tuy nhiên, khi xem xét trọng lượng, quỹ đạo có thể thay đổi phụ thuộc vào lực điện và trọng lượng Nếu hai lực này cân bằng, hạt sẽ chuyển động thẳng đều theo phương ngang với vận tốc ban đầu Hiện tượng này được ứng dụng trong việc chế tạo ống tia điện tử, và khi hạt mang điện di chuyển vào điện trường với một góc nhất định, quỹ đạo của nó cũng sẽ là một đường parabol.
Khi khảo sát sự chuyển động của điện tích trong điện trường do một điện tích khác tạo ra, ta coi điện tích này là bất động Lực tương tác giữa các hạt thay đổi theo khoảng cách; khi chúng xa nhau, lực tương tác nhỏ và quỹ đạo cong ít Ngược lại, khi hạt chuyển động lại gần điện tích bất động, lực tương tác tăng lên, làm cho quỹ đạo bị cong nhiều hơn Khi hạt di chuyển ra xa, quỹ đạo lại trở nên ít cong hơn.
Quỹ đạo của hạt là đường hypebol.
Hạt mang điện trong từ trường
Chuyển động của hạt mang điện trong từ trường phức tạp hơn so với trong điện trường, vì từ trường không tác dụng lên điện tích đứng yên Khi điện tích chuyển động với vận tốc 𝑣⃗, nó sẽ chịu tác động của lực Lorentz, được tính bằng công thức 𝐹⃗ = q.[𝑣⃗, 𝐵⃗⃗] Độ lớn của lực Lorentz không chỉ phụ thuộc vào trị số vận tốc mà còn vào hướng của vận tốc.
Hướng của lực Lorentz: vuông góc với 𝑣⃗ và 𝐵⃗⃗
Chiều tuân theo quy tắc bàn tay trái
Khi hạt mang điện chuyển động trong một trường từ đồng nhất và không đổi với vận tốc vuông góc với từ trường, lực Lorentz sẽ không làm thay đổi độ lớn của vận tốc mà chỉ thay đổi phương của vectơ vận tốc Kết quả là hạt sẽ chuyển động theo quỹ đạo tròn đều, với bán kính quỹ đạo được xác định bởi các yếu tố liên quan đến từ trường và vận tốc của hạt.
Vận tốc hạt càng lớn thì bán kính quỹ đạo càng lớn (từ trường khó làm cong quỹ đạo của hạt chuyển động nhanh hơn hạt chuyển động chậm)
Cảm ứng từ càng lớn thì bán kính đường tròn càng nhỏ
Khối lượng hạt càng lớn thì bán kính quỹ đạo của nó càng lớn, vì hạt nặng có quán tính cao, khiến từ trường khó làm cong quỹ đạo Ngược lại, khi độ lớn điện tích tăng lên, bán kính quỹ đạo sẽ giảm.
Vì khối lượng của ion lớn hơn khối lượng của electron nhiều lần, nên các electron quay trong từ trường nhanh hơn nhiều so với các ion
Khi phân tích vận tốc của điện tử trong từ trường, ta chia thành hai phương: phương dọc theo từ trường (vx) và phương vuông góc với từ trường (vy) Trong phương dọc, hạt chuyển động thẳng đều, trong khi ở phương vuông góc, dưới tác dụng của lực Lorentz, hạt chuyển động theo quỹ đạo tròn Kết quả là hạt di chuyển theo đường xoắn ốc, và khoảng cách h mà hạt đi qua dọc theo từ trường sau một vòng trọn vẹn được gọi là bước xoắn, được tính bằng công thức h = 2𝜋𝑚.
Ta thấy, với cùng một giá trị vận tốc vx, bước xoắn của các electron nhỏ hơn nhiều so với bước xoắn của các ion.
Hạt mang điện chuyển động trong điện từ trường
Trong các điều kiện nhất định, tâm của vòng tròn xiclôtron, hay còn gọi là tâm chính, bắt đầu di chuyển theo hướng vuông góc với từ trường Chuyển động này của tâm chính được gọi là sự trôi.
Khi có một điện trường đồng nhất và không đổi vuông góc với từ trường đồng nhất, ta gọi đây là trường giao nhau Giả sử từ trường hướng về phía chúng ta và điện trường dọc theo trục y, khi đặt một điện tích dương ở gốc tọa độ, điện trường sẽ khiến điện tích chuyển động nhanh dần theo trục y Mặc dù từ trường không tác dụng lên điện tích lúc đầu, nhưng khi điện tích bắt đầu di chuyển, từ trường sẽ làm cong quỹ đạo của nó Khi vận tốc hạt tăng, lực Lorentz cũng gia tăng, dẫn đến quỹ đạo bị xoắn lại Cuối cùng, khi lực Lorentz lớn hơn lực tăng tốc của điện trường, chuyển động của hạt sẽ chậm lại và dừng lại sau một khoảng thời gian Kết quả cho thấy quỹ đạo của hạt là đường cong xicloit, phụ thuộc vào vận tốc của hạt tại từng thời điểm.
11 ban đầu và thời gian nó ở điểm đó mà quỹ đạo của nó là đường xiclôit hay đường cong như hình vẽ:
Chuyển động của hạt mang điện trong trường giao là phức tạp, được mô tả bằng đường tròn xiclôit Hạt quay theo xiclôit trong khi tâm của nó di chuyển vuông góc với các vectơ điện trường 𝐸⃗ và từ trường 𝐵⃗, tạo ra hiện tượng trôi Vận tốc trôi không phụ thuộc vào điện tích mà chỉ dựa vào cường độ của điện và từ trường Tuy nhiên, chỉ có hạt mang điện mới có thể chuyển động dưới tác dụng của các trường này, không phải hạt không mang điện.
Khi vận tốc ban đầu của hạt không vuông góc với từ trường, quỹ đạo chuyển động sẽ là đường xoắn quấn quanh đường parabol Đối với electron, chuyển động của chúng diễn ra cùng chiều với hạt mang điện dương, nhưng quỹ đạo của electron sẽ khác với quỹ đạo của các ion dương Cụ thể, electron quay ngược chiều với ion dương và bán kính xiclôtron của electron nhỏ hơn nhiều so với bán kính xiclôtron của ion Khi vận tốc ban đầu của electron và ion vuông góc với hướng từ trường, cả hai sẽ chuyển động về một phía với cùng một vận tốc trôi.
Thuật toán
MATLAB
Giới thiệu về phần mềm Matlab
MATLAB là phần mềm do công ty MathWorks phát triển, cung cấp môi trường tính toán số và lập trình Phần mềm này cho phép thực hiện các phép toán với ma trận, vẽ đồ thị hàm số, biểu đồ thông tin, thực hiện thuật toán, tạo giao diện người dùng và kết nối với các chương trình viết bằng nhiều ngôn ngữ lập trình khác nhau.
Với thư viện Toolbox, MATLAB cho phép mô phỏng tính toán, thực nghiệm nhiều mô hình trong thực tế và kỹ thuật
3.1.1 Thư viện toán học kiểu ký tự (symbolic matlab)
Symbolic MATLAB là một thư viện cung cấp các phép toán ký tự, bổ sung cho môi trường tính số học của MATLAB Thư viện này làm phong phú thêm các kiểu tính toán toán học, cải thiện khả năng tính số học và đồ họa đã có sẵn trong MATLAB.
Symbolic Math Toolbox trong Matlab giới thiệu một kiểu dữ liệu mới gọi là đối tượng Symbolic, là cấu trúc dữ liệu lưu trữ đại diện ký tự sâu cho một biểu tượng Các đối tượng Symbolic được sử dụng để biểu diễn biến, biểu thức và ma trận Symbolic trong Matlab.
Lệnh sym cho phép xây dựng các biến và biểu thức symbolic
>> x = sym(‘x’); y = sym(‘y’) % lệnh này tạo ra x,y là các biến symbolic
Theo quy ước toán học thì biến độc lập thường là các chữ in thường nằm ở cuối bảng chữ cái (ví dụ: x, y, z, t, u, v,…)
3.1.1.4 Lệnh và hàm trong Symbolic Matlab
3.1.1.4.1 Phép đạo hàm Để tính đạo hàm của một biểu thức symbolic ta sử dụng hàm diff()
+ diff(S): Đạo hàm biểu thức symbolic S với biến tự do được xác định bởi hàm findsym(S)
+ diff(S,v) hay diff(S,sym(„v‟)): Đạo hàm biểu thức symbolic S với biến lấy đạo hàm là biến symbolic v nghĩa là thực hiện phép toán dS/dv
+ diff(S,n) : Đạo hàm cấp n biểu thức S, n là số nguyên dương
3.1.1.4.2 Phép tích phân Để tính tích phân của một biểu thức symbolic ta sử dụng hàm int()
+ int(S) : tích phân không xác định của biểu thức symbolic S với biến mặc định xác định bởi findsym
+ int(S, v): Tích phân không xác định của biểu thức symbolic S với biến tích phân v
+ int(S,a,b): Tích phân không xác định của biểu thức symbolic S với biến tự do và cận lấy tích phân từ [a,b]
+ int(S,v,a,b): Tích phân không xác định của biểu thức symbolic S với biến tích phân v và cận lấy tích phân từ [a,b]
3.1.1.4.3 Tìm giới hạn Để tìm giới hạn của một biểu thức symbolic ta sử dụng hàm limit()
+ limit(F, x, a) : Tìm giới hạn của biểu thức F khi x a
+ limit(F, a) : Tìm giới hạn của biểu thức F với biến độc lập
+ limit(F) : Tìm giới hạn của biểu thức F khi a = 0
+ limit(F, x, a, „right‟) hoặc Lim it(F, x, a, „left‟) : Tìm giới hạn phải hoặc bên trái
3.1.1.4.4 Tính tổng của dãy số symbolic Để tính tổng của một biểu thức symbolic ta sử dụng hàm symsum()
+ symsum(S): Tổng của biểu thức symbolic theo biến symbolic k , k được xác định bằng lệnh findsym từ 0 k -1
+ symsum(S,v): Tổng của biểu thức symbolic S theo biến symbolic v,v được xác định từ 0 k - 1
+ symsum(S,a,b), symsum(S,v,a,b): Tổng của biểu thức symbolic S theo symbolic v, v được xác định từ v = s đến v = b
3.1.1.4.5 Tách tử số và mẫu số của một biểu thức symbolic
Biến đổi mỗi phần tử của ma trận A thành dạng hữu tỷ, trong đó tử số và mẫu số là các đa thức nguyên tố tương đối với các hệ số nguyên, được thực hiện bằng cách sử dụng hàm numden(A).
Ta có thể thay thế các biến trong biểu thức bằng các biến hay các số thuộc kiểu khác bởi lệnh subs hoặc lệnh subexpr
Lệnh subs có các dạng sau:
+ subs(S): Thay thế tất cả các biến symbolic trong biểu thức bằng các giá trị có được từ việc gọi hàm hoặc từ Workspace của Matlab
+ subs(S, new): Thay thế biến symbolic tự do trong S bằng new
Hàm subs(S, old, new) cho phép bạn thay thế giá trị old bằng giá trị new trong biểu thức S Trong đó, old có thể là một biến symbolic, một tên biến hoặc một biểu thức sâu ký tự Giá trị new có thể là một biến, một biểu thức symbolic, hoặc một giá trị số.
Sử dụng hàm pretty(S) để hiển thị S dưới dạng dễ đọc hơn như trong quy ước toán học thông thường Ví dụ:
3.1.1.4.7 Giải phương trình đại số
Lệnh solve được sử dụng để giải hệ phương trình đại số với biểu thức symbolic S Khi thực hiện solve(S), hệ thống sẽ tìm các giá trị của biến symbolic trong S, được xác định bởi findsym(S), để làm cho S bằng không Cú pháp của lệnh solve có thể là solve(„PT1‟, „PT2‟, …, „PTn‟).
+ solve(„PT1‟, „PT2‟, …, „PTn‟, „v1, v2,…, vn‟)
Hàm solve(„PT1‟, „PT2‟, …, „PTn‟, „v1‟, „v2‟,…, „vn‟) cho phép giải các phương trình PT, trong đó v1, v2,…, vn đại diện cho các biến hay ẩn Những biến symbolic không được liệt kê trong danh sách đối số sẽ được xem là các tham số.
Hàm dsolve tính toán lời giải symbolic cho các phương trình vi phân thường
Các phương trình được xác định bởi biểu thức symbolic với ký hiệu D đại diện cho đạo hàm d/dt Các ký hiệu D2, D3,…, Dn tương ứng với các đạo hàm bậc 2, 3,…, n.
Vì vây, D2y tương đương với d2 y/dt2
Trong lời giải dsolve thì biến độc lập mặc định là t Lưu ý rằng tên của biến symbolic không được chứa ký tự D
Cú pháp của lệnh dsolve: dsolve(„PT1‟, „PT2‟,…, „PTn‟)
3.1.1.4.9 Biến đổi laplace và laplace ngược
Phép biến đổi laplace của hàm f(t) được định nghĩa như sau:
Biến đổi Laplace của hàm F với biến độc lập mặc định là t được ký hiệu là L = laplace(F), và kết quả trả về là một hàm của s Nếu F = F(s), thì Laplace sẽ trả về một hàm của t, cụ thể là L = L(t) Theo định nghĩa, L(s) được tính bằng tích phân của F(t) nhân với exp(-s*t) từ 0 đến vô cực Ngoài ra, nếu sử dụng cú pháp L = laplace(F,t), thì L sẽ trở thành một hàm của t, thay thế biến mặc định s.
3.1.2.1 Đồ thị tuyến tính Đồ thị tuyến tính là loại đồ thị 2-D dùng các đoạn thẳng nối các điểm dữ liệu lại với nhau để tạo thành một biểu đồ liên tục
Sau đây là các lệnh vẽ đồ thị 2D cơ bản trong Matlab
- Lệnh vẽ Plot: Plot ( tên biến , tên hàm)
% Tạo vecter x từ 0→10 với bước 0.1
>> plot (x,y) % Vẽ hàm y theo biến x
>>grid on % Tạo chia ô cho đồ thị
- Tên biến = linspace ( Điểm đầu, điểm cuối, số điểm cần vẽ )
% vẽ hàm y = e -x sin (x) với x chạy từ 0→50 với số điểm cần vẽ 50 điểm
3.1.2.2 Đồ thị dạng đánh dấu: Đồ thị dạng đánh dấu là loại đồ thị chỉ dùng các điểm như vòng tròn, hình thoi… Thay vì dùng các đoạn thẳng nối lại với nhau
Hình 3.1: Đồ thị tuyến tính
Hình 3.2: Đồ thị y = e -x sin (x) với x chạy từ
0→50 với số điểm cần vẽ 50 điểm
3.1.2.3 Vẽ nhiều đường biểu diễn trên cùng một đồ thị:
Trên cùng một bản đồ, chúng ta có thể vẽ nhiều đồ thị với các dữ liệu và loại đường minh họa khác nhau Matlab sẽ tự động gán màu sắc cho từng dữ liệu để dễ phân biệt Công thức tổng quát để vẽ nhiều đồ thị trên cùng một hệ tọa độ là:
Plot ( tên biến 1, tên hàm1, tên biến 2, tên hàm 2 )
Chú thích và kiểm soát đồ thị:
• title („ Tên tiêu đề đồ thị „);
• text (x,y, „chuối ký tự‟) đưa một chuỗi ký tự vào điểm có toạ độ x,y trên đồ thị;
• gtext(„chuỗi ký tự‟) đưa một chuỗi ký tự được xác định bởi dấu + hay con trỏ chuột;
• legend(„chuỗi 1‟,‟chuỗi 2‟ ) đưa ra màn hình đồ hoạ một khung chú thích bao gồm các chuỗi Vị trí của khung có thể được di chuyển bởi chuột;
• legend off: loại bỏ chức năng legend khỏi màn hình đồ hoạ;
• Grid on: bật chế độ lưới trong màn hình đồ hoạ;
• Grid off: tắt chế độ lưới trong màn hình đồ hoạ;
Hình 3.3: Đồ thị dạng đánh dấu
Hình 3.4: Nhiều đường biễu diễn trên cùng một đồ thị
• Hold on: giữ lại các đồ thị đã vẽ ( dùng để vẽ nhiều đồ thị trên một hệ trục toạ độ);
• Hold off: ngược lại với hold on
Trong Matlab ta có thể chọn đường vẽ và mầu theo 1 trong các kiểu sau
Khi đó ta dùng lệnh: plot (tên biến, tên hàm,’ký hiệu mầu ký hiệu kiểu đường’)
Gán giá trị thanh đo: Ngoài giá trị thanh đo theo mặc định của chương trình, có thể tự chia thang đo theo dữ liệu riêng
>> set(gca,‟Xtick‟,-pi : pi/2 : pi)
>> set(gca,'Xticklabel', '-pi','- pi/2','0',' pi/2','pi' )
Trong bài viết này, chúng tôi giới thiệu ký hiệu màu sắc và kiểu ký hiệu cơ bản: y vàng, m đỏ tươi, o vòng tròn, c xanh, x dấu x, r đỏ, g xanh lá cây, b xanh thẫm, w trắng, k đen Các ký hiệu này bao gồm dấu cộng (+), dấu sao (*), nét liền (-), gạch chấm (.), và gạch gạch ( ).
Bảng 3.1: Ký hiệu đường vẽ trong Matlab
>> set(gca,‟Xtick‟,-pi : pi/2 : pi)
>> set(gca,'Xticklabel', { '-pi','- pi/2','0',' pi/2','pi' )
Loại đồ thị này thường dùng để minh hoạ các số liệu theo dạng thanh, có thể theo trục x hoặc trục y
VD8 : Vẽ biểu đồ khối lượng nhập hàng trong 12 tháng
( 'Th1','Th2','Th3', 'Th4','Th5','Th6','Th7','Th8','Th9','Th10','Th11','Th12' )
Đồ thị tỷ lệ bách phân là công cụ minh họa hiệu quả cho từng loại dữ liệu Trong Matlab, các thành phần dữ liệu sẽ được tô màu khác nhau theo mặc định, giúp người dùng dễ dàng phân biệt và phân tích thông tin.
3.1.2.6 Hiện nhiều đồ thị trong một màn hình
Trong một màn hình đồ thị, có thể cho hiện nhiều đồ thị với mỗi đồ thị là một loại dữ liệu khác nhau.VD :
Hình 3.5: Đồ thị hình thanh
Hình 3.6: Đồ thị hình pie
3.1.2.7 Lệnh stairs Để vễ đồ thị bậc thang
Hình 3.7: Hiện nhiều đồ thị trên một màn hình
Hình 3.8: Đồ thị lệnh stairs
Giải toán bằng sơ đồ khối
Cho electron chuyển động trong từ trường đều, chịu tác dụng của lực Lorenzt 𝐹⃗L có vị trí, vận tốc ban đầu và vector cảm ứng từ 𝐵⃗⃗ đã biết
Yêu cầu : Xác định gia tốc, vận tốc, phương trình chuyển động dạng động học (t), y(t), z(t) của electron Đặt:
𝐵⃗⃗ = ( Bx ; By ; Bz ) qe = -1,6×10 -19 C me = 9,1×10 -31 kg t : thời gian (s)
Công thức lực Lorenzt: FL = q [𝑣⃗ × 𝐵⃗⃗]
Theo đề bài, ta có 𝑣⃗0 là vận tốc ban đầu của electron cũng chính là vân tốc mà electron bắt đầu chuyển động vào từ trường, nên ta có:
Theo đề bài thì electron chuyển động trong từ trường đều, chỉ chịu tác dụng của lực Lorenzt F L , chiếu F L lên hệ tọa độ Oxyz ta có:
➢ Phương trình chuyển động của electron
Hình 3.9: Sơ đồ khối quy trình giải bài toán
Ví dụ
Nhap vao vi tri ban dau cua electron, vitri = [3 1 6]
Nhap vao vecto van toc ban dau cua electron, v = [1 2 5]
Nhap vao vecto cam ung tu, B = [4 3 -2]
Nhap thoi gian de tinh van toc v, t = 5 v = 25930340578027
Nhap vao vi tri ban dau cua electron, vitri = [2 1 3]
Hình 4.1: Đồ thị quỹ đạo electron trong điện từ trường tĩnh với 𝑣⃗ vuông góc 𝐵⃗⃗
Nhap vao vecto van toc ban dau cua electron, v = [3 4 2]
Nhap vao vecto cam ung tu, B = [6 8 4]
Nhap thoi gian de tinh van toc v, t = 5 v = 2251/418
➢ Trường hợp (𝑣⃗ 𝐵⃗⃗) hợp nhau góc 60°
Nhap vao vi tri ban dau cua electron, vitri = [1 1 1]
Nhap vao vecto van toc ban dau cua electron, v = [1 0 -1.732050808]
Nhap vao vecto cam ung tu, B = [1 0 0]
Hình 4.2: Đồ thị quỹ đạo electron trong điện từ trường tĩnh với 𝑣⃗ song song 𝐵⃗⃗
Nhap thoi gian de tinh van toc v, t = 5 v = 1522682029011
Hình 4.3: Đồ thị quỹ đạo electron trong điện từ trường tĩnh với ( 𝑣⃗ 𝐵⃗⃗) hợp nhau góc 60°
