ĐỘNG HỌC ĐIỂM
Trong động học điểm, chúng ta nghiên cứu chuyển động của một điểm trong một hệ quy chiếu cụ thể Để mô tả các đặc trưng của chuyển động một cách rõ ràng và ngắn gọn, phương pháp véc tơ được áp dụng Để thuận tiện cho việc tính toán, các phương pháp tọa độ như tọa độ Đềcác, tọa độ tự nhiên và véc tơ cũng được sử dụng.
Xét điểm M chuyển động trong hệ quy chiếu Oxyz (Hình 1.1)
Vị trí của điểm M được xác định bởi véc tơ r OM Điểm M chuyển động, do đó
r thay đổi theo thời gian:
Phương trình (1.1) được gọi là phương trình chuyển động của điểm M dạng véc tơ
Chú ý rằng điểm M chuyển động liên tục, ở mỗi thời điểm, điểm M chiếm một vị trí xác định và có hướng chuyển động xác định
Do đó r (t ) là một hàm liên tục, đơn trị
Quỹ đạo của một điểm trong không gian quy chiếu được xác định bởi tập hợp các vị trí của điểm đó Phương trình tham số của quỹ đạo được biểu diễn qua phương trình (1.1).
Chuyển động thẳng xảy ra khi quỹ đạo là đường thẳng, trong khi chuyển động cong xuất hiện khi quỹ đạo là đường cong Thông thường, tên của chuyển động sẽ được đặt theo tên của đường cong quỹ đạo.
Một trong những đặc trưng cơ bản của chuyển động của điểm là khái niệm vận tốc trong một hệ quy chiếu đã chọn Để xây dựng khái niệm này, giả sử tại thời điểm t, điểm ở vị trí M được xác định bởi vector r OM Tại thời điểm khác t1 = t + ∆t, điểm ở vị trí M1 được xác định bởi vector r 1 OM 1 Như vậy, sau khoảng thời gian ∆t, điểm đã dịch chuyển một đoạn nhất định.
Vận tốc của điểm ở thời điểm t được xác định như sau:
Vận tốc của một điểm được xác định là đạo hàm bậc nhất theo thời gian của véc tơ định vị của điểm đó Véc tơ vận tốc hướng theo tiếp tuyến với quỹ đạo tại điểm M, chỉ về phía chuyển động Đơn vị đo vận tốc là mét trên giây, ký hiệu là m/s.
Giả sửở thời điểm t, điểm ở vị trí M, có vận tốc là v Sang thời điểm t1 = t +
Trong khoảng thời gian ∆t, điểm ở vị trí M1 có vận tốc v 1, và sau thời gian này, vận tốc của điểm sẽ biến thiên một đại lượng v v 1 v Gia tốc trung bình của điểm trong khoảng thời gian ∆t, tính từ thời điểm t, được xác định bằng công thức a tb v / t Véc tơ gia tốc a tb hướng dọc theo véc tơ biến thiên vận tốc v (Hình 1.3).
Gia tốc của điểm ở thời điểm t được xác định như sau:
Gia tốc của một điểm được xác định là đạo hàm bậc nhất theo thời gian của véc tơ vận tốc, đồng thời cũng là đạo hàm bậc hai theo thời gian của véc tơ định vị Đơn vị đo lường gia tốc là mét trên giây bình phương, ký hiệu là m/s².
1.1.1 4 Nhận xét về một vài tính chất của chuyển động
Trong việc đánh giá chuyển động thẳng và chuyển động cong của một điểm, ta cần lưu ý rằng khi điểm di chuyển theo đường thẳng, véc tơ vận tốc luôn giữ nguyên phương Điều này dẫn đến việc véc tơ vận tốc và véc tơ gia tốc có cùng phương, từ đó suy ra rằng véc tơ vận tốc và véc tơ gia tốc có thể bằng không.
Khi điểm chuyển động cong, véc tơ vận tốc thường thay đổi cả về hướng lẫn trị số Các véc tơ vận tốc và véc tơ gia tốc không cùng phương, do đó cần có tiêu chuẩn để nhận xét về sự chuyển động này.
Chuyển động ẳng Chuyển động v a th cong
Chuyển động được đánh giá qua tiêu chuẩn tính đều và tính biến đổi Chuyển động được coi là đều khi vận tốc v không thay đổi Ngược lại, chuyển động nhanh dần hoặc chậm dần xảy ra khi vận tốc tăng lên hoặc giảm đi theo thời gian.
Chú ý rằng, sự thay đổi của v 2 đặc trưng cho sự thay đổi của giá trị v của vận tốc Ta có:
Từ đó rút ra tiêu chuẩn nhận xét:
Chuyể động đều ể động ến đổi v a n
Trong trường hợp thứ 2, nếu v a > 0 thì chuyển động là nhanh dần v a < 0 là chuyển động chậm dần
Vị trí của điểm M được xác định bằng ba tọa độ x, y, z của điểm ở trong hệ tọa độ Đề các vuông góc Oxy (Hình 1.4)
Khi điểm M chuyển động x, y, z biến đổi liên tục theo thời gian Vậy các phương trình chuyển động có dạng: x=x(t); y = y(t); z = z(t) (1.4)
Theo công thức (1-2) ta có:
Chiếu đẳng thức lên ba trục tọa độ, ta nhận được:
z dt v dz dt y v dy dt x v x dx y z (1.5)
Dựa vào các biểu thức (1.5), ta có thể xác định dễ dàng độ lớn và các cosin chỉ
k dt j dz dt i dy dt k dx z j y i dt x d dt r v d ( )
Tương tựnhư xác định các biểu thức thành phần vận tốc, từ công thức (1.3) ta có:
Từ đó nhận được hình chiếu của gia tốc a trên các trục tọa độ:
z dt v dv dt y v dv dt x a x dv x y y z z
Từ (1.6) ta cũng có thểxác định dễdàng độ lớn và các cosin chỉphương của a:
Ví dụ 1.1 Chuyển động của điểm M ở trong mặt phẳng Oxy được xác định bởi phương trình:
Để xác định phương trình quỹ đạo, độ lớn của vận tốc và gia tốc của điểm M tại thời điểm t1 = π/2ω, ta cần sử dụng các hằng số dương b, d, ω Tiếp theo, chúng ta sẽ tìm phương trình đường đầu mút của véc tơ vận tốc để phân tích chuyển động của điểm M.
Để xác định phương trình quỹ đạo, chúng ta cần loại bỏ tham số thời gian t trong các phương trình chuyển động Trong trường hợp này, từ các phương trình chuyển động, ta có thể suy ra rằng b t = x.
Do tính chất sin 2 t cos 2 t 1 , nên ta có phương trình quỹ đạo:
Vậy quỹđạo là một đường elip với các bán trục b và d (Hình 1.5)
Từ phương trình (1.7) ta tính các đạo hàm theo t:
Hình 1.5 Ở thời điểm t = π/2ω, điểm M ở vị trí M1 (x1 = b; y1 = 0) và các hình chiếu vận tốc và gia tốc của nó có dạng:
Để vẽ đường đầu mút véc tơ vận tốc, hay còn gọi là đường đầu tốc, chúng ta cần lựa chọn trên mặt phẳng vận tốc hệ trục vuông góc 01x1y1 Cụ thể, các công thức tương ứng là: t d v t b v x 1 = x = ω cos(ω) và y 1 = y = -ω sin(ω).
Khử t từ các phương trình tham số của đường đầu mút véc tơ vận tốc, ta nhận được phương trình:
Phương trình đường đầu mút véc tơ vận tốc dạng tọa độ được biểu diễn bằng d y b x (1.8) Trong hình 1.5, các điểm M’ 0, M’ và M’ 1 nằm trên đường đầu mút véc tơ vận tốc tương ứng với các điểm M0.
1.1.3 Phương pháp toạđộ tự nhiên
Phương pháp tọa độ tự nhiên được sử dụng khi quỹ đạo chuyển động của điểm đã được xác định Giả sử quỹ đạo (C) của điểm trong một hệ quy chiếu không gian đã được biết, ta chọn một điểm O trên quỹ đạo làm điểm gốc và xác định chiều dương Vị trí của điểm M được xác định bởi độ dài đại số cung OM = s, và khi điểm M chuyển động, giá trị của s sẽ thay đổi theo thời gian.
Biểu diễn quy luật chuyển động của điểm M dọc theo quỹ đạo gọi là phương trình chuyển động của điểm dạng tọa độ tự nhiên
ĐỘNG HỌC VẬT RẮN TUYỆT ĐỐI
1.2.1 Các chuyển động cơ bản của vật rắn
Chuyển động tịnh tiến của vật rắn là chuyển động mà mỗi đoạn thẳng thuộc vật luôn luôn song song với vịtrí ban đầu của nó
Chuyển động của thùng xe trên đoạn đường thẳng và chuyển động của thanh truyền AB trong cơ cấu bốn khâu với các tay quay O1A và O2B bằng nhau đều là chuyển động tịnh tiến.
Chú ý: Không có khái niệm điểm chuyển động tịnh tiến Khi vật rắn chuyển động tịnh tiến, các điểm thuộc vật có thể chuyển động không thẳng, không đều
2 Khảo sát chuyển động của vật Định lí Khi vật rắn chuyển động tịnh tiến, quỹđạo, vận tốc, gia tốc các điểm của vật rắn như nhau tại cùng một thời điểm
Chứng minh Lấy hai điểm A, B bất kỳ thuộc vật các véc tơ định vị của chúng thỏa mãn điều kiện (Hình 1.11)
Đối với một vật rắn bất kỳ, véctơ chuyển động AB có độ lớn không thay đổi và hướng đi cũng ổn định trong chuyển động tịnh tiến, do đó AB = const.
Phương trình (1.12) chỉ ra rằng vị trí của điểm B là vị trí của điểm A sau khi trượt một véctơ hằng AB Khi sự dịch chuyển này diễn ra, quỹ đạo của điểm A sẽ trùng khớp với quỹ đạo của điểm B, và những quỹ đạo này được gọi là quỹ đạo như nhau.
Do AB =const nên đạo hàm đẳng thức
(1.12) theo thời gian, ta có: dt r d dt r d B A
Theo định lý đã nêu, việc nghiên cứu chuyển động tịnh tiến của vật rắn có thể được đơn giản hóa thành việc khảo sát chuyển động của một điểm bất kỳ trên vật rắn đó Phương pháp khảo sát chuyển động của điểm đã được trình bày chi tiết trong chương trước.
1.2.1.2 Chuyển động quay của vật rắn quanh trục cố định
Chuyển động của vật rắn với hai điểm cố định tạo ra một trục cố định đi qua hai điểm đó, được gọi là chuyển động quay quanh một trục cố định Trục này được xác định là trục quay của vật.
Trên hình 1.12a cho ta mô hình không gian của vật rắn quay quanh một trục cố z
16 định Giao giữa vật rắn quay và mặt phẳng vuông góc với trục quay cho ta mô hình phẳng như hình vẽ 1.12b
2 Khảo sát chuyển động của vật a Phương trình chuyển động
Chúng ta thiết lập quy ước một chiều quay dương quanh trục Mặt phẳng P0 được cố định qua trục, trong khi mặt phẳng P là động và gắn chặt với vật rắn Góc giữa mặt phẳng P0 và mặt phẳng P được xác định trong quá trình này.
Vị trí của vật rắn được xác định bởi góc quay giữa mặt phẳng P và mặt phẳng P0 Khi vật quay, góc quay này sẽ thay đổi theo thời gian.
Phương trình (1.13) là phương trình chuyển động của vật rắn quay quanh một trục cố định
Vị trí của vật rắn quay quanh một trục cố định được xác định bởi góc quay φ Vì vậy, vật rắn này có một bậc tự do.
Góc quay có thể dương hoặc âm tùy thuộc vào chiều quay đã chọn, thường được quy ước là dương khi vật quay ngược chiều kim đồng hồ và âm khi quay cùng chiều kim đồng hồ Góc quay được đo bằng radian (rad) Để mô tả chuyển động quay của vật rắn quanh trục cố định, người ta sử dụng các khái niệm về vận tốc góc và gia tốc góc.
dt d (1.14) gọi là vận tốc góc của vật
Như thế vận tốc góc là đạo hàm bậc nhất theo thời gian của góc quay Dấu của
cho biết chiều quay của vật quanh trục Nếu .
> 0 thì tăng theo thời gian và vật rắn quay theo chiều dương Ngược lại nếu < 0 thì vật quay theo chiều âm
Giá trị tuyệt đối của vận tốc góc (ω) cho biết tốc độ của chuyển động quay; giá trị càng lớn, vật quay càng nhanh Đơn vị đo vận tốc góc là radian trên giây (rad/s), và cũng có thể sử dụng đơn vị 1/s để biểu thị vận tốc góc.
Trong kỹ thuật người ta hay sử dụng đơn vị vòng/phút để tính tốc độ góc Do 1
17 vòng = 2rad, 1 phút `s nên ta dễ dàng thiết lập hệ thức liên hệ giữa hai loại đơn vị: s rad n n
Ví dụ: n = 9000 vòng/ph thì 300 rad/s c Gia tốc của vật Đại lượng
Gia tốc góc của vật được đo bằng radian/giây², ký hiệu là rad/s² Ngoài ra, gia tốc góc cũng có thể được tính bằng đơn vị 1/s².
Gia tốc góc biểu thị sự thay đổi của vận tốc góc theo thời gian Khi = 0, vận tốc góc là hằng số, cho thấy chuyển động quay đều Ngược lại, khi khác 0, chuyển động quay sẽ thay đổi Nếu vận tốc góc tăng theo thời gian, vật rắn sẽ quay nhanh dần; nếu giảm, vật rắn sẽ quay chậm dần Sự biến đổi của vận tốc góc được thể hiện qua giá trị của ², do đó, để xác định tính chất của chuyển động quay, ta cần xem xét dấu của đạo hàm ² theo thời gian.
2 dt d Ta có kết luận:
Khi =0: Vật rắn quay đều;
. >0: Vật rắn quay nhanh dần;
.