UỐN NGANG VÀ UỐN DỌC ĐỒNG THỜI
Khái niệm chung
Trong môn sức bền vật liệu 1, khi nghiên cứu thanh chịu lực phức tạp, chúng ta giả định rằng biến dạng do các tác dụng thành phần là nhỏ và độc lập, cho phép áp dụng phương pháp cộng tác dụng Tuy nhiên, trong thực tế, khi thanh bị uốn ngang đồng thời với kéo (nén) và có độ mảnh lớn, các tác dụng này sẽ ảnh hưởng lẫn nhau, do đó nguyên lý độc lập tác dụng không thể áp dụng trong trường hợp này.
Khi tính toán độ cong của thanh bị uốn, cần xem xét ảnh hưởng của lực kéo (nén) đối với mômen uốn và lực cắt Chương này tập trung vào thanh có độ mảnh tương đối lớn, chịu uốn ngang phẳng và nén đúng tâm ở đầu thanh, tức là uốn ngang và uốn dọc đồng thời Lực uốn ngang khiến thanh bị cong về một phía, trong khi lực nén ở đầu thanh tạo ra mômen phụ, làm tăng mômen uốn tại các mặt cắt ngang, dẫn đến thanh chịu lực bất lợi hơn so với giả thiết thanh thẳng Ngược lại, nếu lực ở đầu thanh là lực kéo, mômen phụ sẽ làm giảm mômen do uốn ngang Do đó, trong chương này, chúng ta chỉ xem xét trường hợp lực ở đầu thanh là lực nén.
Thanh chịu uốn ngang và uốn dọc đồng thời chịu tác động của các lực gây ra uốn theo phương vuông góc với trục thanh và uốn dọc trục, như thể hiện trong hình 1.1a.
Hình 1.1 Dầm chịu uốn ngang uốn dọc đồng thời
Các thành phần nội lực của thanh chịu uốn ngang và uốn dọc đồng thời
Thanh AB chịu tác động của các lực ngang R1, R2, R3 và lực uốn dọc P, dẫn đến sự biến dạng của thanh Khi các lực này tác động, thanh sẽ chuyển động cho đến khi đạt được vị trí cân bằng, tạo thành đường cong A.
Để xác định nội lực trong kết cấu, ta sử dụng phương pháp mặt cắt Cụ thể, xét mặt cắt (1.1) như hình 1.1b, chúng ta sẽ viết phương trình cân bằng tại điểm tâm O của mặt cắt.
- y 0 là độ võng ban đầu tại đầu tự do, do các lực dọc và lực ngang gây ra;
- yz là độ võng tại mặt cắt đang xét Đặt: M * x R z 1
Biểu thức mômen (1.1) có thể viết dưới dạng: M x M * x P y ( z y 0 )(1.2) Với: - M x * : Mômen uốn do thành phần lực ngang gây ra uốn ngang phẳng;
- M x : Mômen của cả hệ gồm lực dọc P và lực ngang Ri
Mômen M x trong phương trình (1.2) là do lực ngang tạo ra, trong khi P y z y 0 là mômen từ lực dọc Lượng mômen này gia tăng nhanh chóng khi cả lực dọc và lực ngang đều tăng, dẫn đến việc bài toán này được xác định là bài toán uốn ngang và uốn dọc đồng thời Bài toán này có hai điểm khác biệt so với các nghiên cứu trước đây.
1- Chuyển vị có ảnh hưởng đến trị số của nội lực (vì nó làm dời chuyển điểm đặt lực khá lớn);
2- Nội lực không tỷ lệ bậc nhất với ngoại lực vì y(z) là hàm của P và R1, R2, R3 nên số hạng thứ hai trong phương trình (1.2) không tỷ lệ bậc nhất với P được z
Hình 1.2 Các thành phần nội lực trên mặt cắt
Lực dọc ở các mặt cắt không còn giữ giá trị không đổi và bằng lực P do sự xoay của các mặt cắt Tuy nhiên, lực dọc tính toán vẫn gần đúng với giá trị lực P, vì vậy người ta vẫn coi lực dọc là tương đương với lực P.
Trên mỗi mặt cắt, ứng suất pháp do lực dọc NZ và mômen uốn M(z) gây ra có giá trị tuyệt đối lớn nhất tại thớ biên chịu nén bằng:
Lưu ý rằng việc tính toán uốn ngang và uốn dọc chỉ được thực hiện đồng thời khi tỷ số chiều dài trên chiều cao (l/h) của dầm dài lớn hơn 12, trong đó h là chiều cao mặt cắt ngang của dầm và l là chiều dài của dầm.
Như vậy, uốn ngang uốn dọc đồng thời trong bài toán phẳng trong mặt phẳng (zOy) có 3 thành phần nội lực: M x , Q y , N z
Phương trình vi phân đường đàn hồi của thanh chịu uốn ngang và uốn dọc đồng thời
Đường đàn hồi của dầm, được giới thiệu trong chương về thanh chịu uốn, là đường cong phản ánh hình dạng của dầm sau khi chịu tác động của ngoại lực, như minh họa trong hình 1.3.
Thay biểu thức (1.2) ta được:
Ta thành lập phương trình vi phân của mômen uốn bằng cách đạo hàm hai lần liên tiếp phương trình (1.2) ta được:
2 2 2 x x z d M d M d y dz dz P dz (1.6) Trong chương uốn ta có mối liên hệ vi phân giữa lực phân bố, lực cắt và mômen như sau: 2 2 x x
Hình 1.3 Đường đàn hồi của dầm
EJ Phương trình (1.8) có thể được viết lại: d M 2 2 x 2 x
Công thức (1.9) là phương trình vi phân không thuần nhất của thanh chịu uốn ngang và uốn dọc đông thời Nghiệm của phương trình có hai nghiệm phân biệt: y y z y * z (1.10)
- y z A.sinzB.coszC z Dlà nghiệm phương trình thuần nhất;
-y * z là nghiệm riêng của phương trình có vế phải.
Tính độ võng của thanh chịu uốn ngang uốn dọc đồng thời bằng phương pháp gần đúng
Giả sử có hai dầm giống nhau đặt trên hai gối tựa, có chiều dài l và chịu tải trọng đối xứng Một dầm chỉ chịu tải trọng các lực ngang, trong khi dầm còn lại ngoài lực ngang còn có lực dọc P tác dụng vào đầu khớp di động Đường đàn hồi của hai dầm có tính chất đối xứng và có thể được mô tả như dạng hình sin Dựa trên các yếu tố này, phương trình đường đàn hồi của hai dầm được thiết lập như sau.
Hình 1.4 Độ võng của dầm chịu uốn
là biểu thức ơle đã gặp trong chương uốn dọc thanh thẳng nên ta có:
Vậy biểu thức (1.11) là công thức xác định chuyển vị của hệ thanh chịu uốn ngang và uốn dọc đồng thời
+ y*z: Độ võng do lực ngang R gây ra uốn ngang Được xác định trong môn sức bền vật liệu 1 (phương pháp tích phân, phương pháp năng lượng…);
: Lực tới hạn trong công thức ơle về ổn định của thanh chịu nén đúng tâm
Lưu ý rằng khi thay đổi dạng liên kết ở hai đầu thanh, các hệ số tính toán trong chương ổn định SB1 sẽ bị ảnh hưởng Cần phân biệt rõ ràng giữa lực tới hạn P0 th trong uốn dọc (ổn định) và lực tới hạn Pth trong uốn ngang cũng như uốn dọc đồng thời.
Lực tới hạn trong thanh chịu nén đúng tâm P 0 th trong ổn định được tính theo
Jmin (mặt cắt có mômen quán tính nhỏ nhất)
Hình 1.5 Các dạng liên giữa hai đầu thanh và hệ số liện kết
Lực tới hạn trong thanh chịu uốn ngang và uốn dọc Pth được xác định dựa trên mặt chứa mômen Ví dụ, khi MX(z) nằm trong mặt phẳng yOz, ta sử dụng mômen quán tính Jx đối với trục Ox.
Ứng suất và bài toán kiểm tra bền
1.5.1 Công thức tính ứng suất
Từ công thức (1.2) thay vào biểu thức (1.3) ta có một cách tính ứng suất: x x * z 0 max x x
Công thức (1.12) cho phép xác định ứng suất bằng cách tính toán Mx thông qua phương pháp mặt cắt, được biết đến là phương pháp gần đúng thứ nhất.
Lấy đạo hàm hai vế của phương trình (1.13) nhân vào 2 vế với một lượng
Theo phương trình vi phân đường đàn hồi thì ta được:
Theo công thức (1.2) (phương pháp gần đúng 1) ta có:
M M P y y Đạo hàm (1.10), ta được công thức gần đúng để tính lực cắt Q(z)
Thay biểu thức (1.10) vào biểu thức (1.2) trên ta có thể tính ứng suất:
(1.16) Công thức (1.16) xác định ứng suất thông qua việc xác định Mx theo phương trình của độ võng, ta gọi là phương pháp gần đúng thứ hai
1.5.2 Điều kiện bền Để kiểm tra bền cho thanh chịu uốn ngang uốn dọc đồng thời ta cũng so sánh giữa ứng suất lớn nhất tính được trong thanh với ứng suất cho phép của vật liệu theo biểu thức (1.17) như sau:
Từ hai cách tính ứng suất theo phương pháp như trên ta có hai phương pháp so sánh:
- Theo phương pháp gần đúng thứ nhất: max x * x z 0 x x
- Theo phương pháp gần đúng thứ hai: max 1 * max
Khi bài toán có xét đến hệ số an toàn n (hệ số tải trọng) thì công thức kiểm tra bền có dạng:
- Theo phương pháp gần đúng thứ nhất: max * max * max
- Theo phương pháp gần đúng thứ hai: max * max
Cũng giống như trong các bài toán thanh chịu kéo (nén) đúng tâm hay thanh chịu uốn thuần túy thì ta cũng có 4 dạng bài toán chính như sau:
- Bài toán kiểm tra bền;
- Bài toán chọn kích thước mặt cắt;
- Bài toán xác định hệ số tải trọng cho phép (n);
- Bài toán tìm tải trọng
Sau đây là một số ví dụ điển hình để biết cách vận dụng công thức và tính toán:
Ví dụ
Ví dụ 1.1: Xét một dầm có mặt cắt ngang hình vuông, chịu lực như hình 1.6a Với giá trị E = 10^4 MPa và M = 10^3 kN/cm^2, nhiệm vụ là xác định độ võng của dầm.
C và xác định ứng suất lớn nhất trong dầm?
1 Xác định độ võng tại C Để xác định độ võng tại C ta áp dụng công thức (1.11): pth
- Tìm các thông số với:
+ Mômen quán tính đối với trục ox:
+ Mômen chống uốn của mặt cắt ngang:
Hình 1.6 Biểu đồ mô men uốn tính chuyển vị
+ Diện tích mặt cắt ngang: F = 8,5 × 8,5 = 72,25 (cm 2 )
+ Chiều dài đoạn thanh: l = b + a = 3,9 (m) = 390 (cm)
+ Dạng liên kết hai đầu thanh một đầu gối cố định: 1
Vậy lực tới hạn được xác định theo công thức ơle:
- Xác định độ võng tại C do các thành phần lực ngang gây ra, ta sử dụng phương pháp năng lượng, nhân biểu đồ Verexeghin
Vậy xác định độ võng tại C khi có cả lực dọc trục:
Qua trên ta thấy khi có sự tham gia của lực dọc thì độ võng của dầm lớn hơn khi không có lực dọc tham gia (bài toán uốn)
- Theo phương pháp gần đúng thứ nhất biểu thức (1.12) ứng suất nén lớn nhất:
Vẽ biểu đồ mômen uốn do các thành phần lực ngang gây ra như hình 1.6b từ biểu đồ ta được: Mmax * = 0,43 (kN.m) = 43 (kN.cm)
Ta có độ võng ban đầu y0 = 0 (cm)
- Theo phương pháp gần đúng thứ hai biểu thức (1.16) ứng suất nén lớn nhất:
Ví dụ 1.2: Cho dầm có tiết diện mặt cắt ngang hình chữ nhật bxh, b = 2 cm, h = 2b, chịu tác dụng của lực như hình vẽ 1.7 Cho E 2.10 7 N/cm 2 , [σ] = 24 kN/cm 2
Hãy xác định hệ số an toàn n và hệ số an toàn về ổn định kođ = ?
1 Xác định hệ số an toàn về ổn định k ođ
Theo chương ổn định của thanh chịu nén đúng tâm trong giới hạn đàn hồi trong môn sức bền vật liệu 1 ta có:
+ Mô men quán tính nhỏ nhất:
+ Lực tới hạn tính trong thanh chịu nén đúng tâm:
+ Lực tới hạn trong thanh chịu uốn ngang và uốn dọc đồng thời:
Vậy hệ số an toàn về ổn định: 5,850
Hình 1.7 Biểu đồ mô men uốn của dầm có lực phân bố đều
2 Xác định hộ số an toàn n Để xác định hệ số an toàn ta nên đi từ công thức (1.19) xác định ứng suất theo phương pháp gần đúng thứ hai xác định sơ bộ hệ số n, vì trong công thức tính theo phương pháp gần đúng thứ nhất còn phải tính độ võng rất phức tạp mà hai phép tính cho kết quả tương đương:
Trước tiên ta xác định mômen do lực ngang gây ra bằng cách vẽ biểu đồ mômen uốn ta được: M * x = ql 2 /8 = 16,875 (kN.m)
Giải bất phương trình ta tìm được n ≤ 0,074 và n ≥ 603,47 với n ≠ 2,32.
THANH CONG PHẲNG
Khái niệm chung
Trong các kết cấu, bên cạnh thanh có trục thẳng, còn có thanh cong với trục là đường cong Chương này tập trung nghiên cứu thanh cong có các đặc điểm như mặt cắt có một trục đối xứng, trục thanh nằm trong mặt phẳng đối xứng, và ngoại lực cũng nằm trong mặt phẳng đó Thanh cong này có độ cong không đổi, ví dụ như móc cần trục, các vòng xích, vành bánh xe, và cầu vòm.
Trong chương uốn ngang phẳng, việc tính toán chưa xem xét đến độ cong của trục thanh, mặc dù các thanh có cùng vật liệu, liên kết và mặt cắt nhưng độ cong khác nhau sẽ ảnh hưởng đến khả năng chịu lực Độ bền của thanh được đặc trưng bởi tỷ số R0/h, trong đó R0 là bán kính cong của trục thanh tại mặt cắt có chiều cao h.
Người ta phân thanh cong thành:
- Thanh có độ cong lớn khi tỷ số bán kính chính khúc của trục R0 và chiều cao mặt cắt h nhỏ hơn 10 (R0/h ≤ 10);
Khi tỷ số (R0/h) lớn hơn hoặc bằng 10, thanh sẽ có độ cong nhỏ, và sự phân bố ứng suất trên mặt cắt ngang tương tự như thanh thẳng, cho phép tính toán như một thanh thẳng.
Nội lực trong thanh cong phẳng
Như ta đã biết trong mặt phẳng có 3 thành phần nội lực chính, ta xét trong mặt phẳng (y0z) thì có Nz, Mx, Qy
Hình 2.1 Ứng dụng của thanh cong a) b) c) d)
Dấu của các thành phần nội lực được mô tả trên hình vẽ 2.2 và ta có quy ước được thể hiện như trên hình 2.2 như sau:
+ Lực dọc trục Nz là dương khi có chiều hướng ra ngoài mặt cắt;
Lực cắt Qy có dấu dương khi quay theo chiều kim đồng hồ và gặp trục oy, trong khi chiều ngược lại sẽ có dấu âm.
+ Mômen uốn Mx mang dấu dương khi chúng làm cho thanh cong có xu hướng cong hơn và ngược lại là âm;
+ Biểu đồ vẽ phần dương ở phía ngoài, phần âm vẽ vào bên trong của trục thanh; + Biểu đồ có đánh dấu dương (+) hoặc âm (-);
+ Phải vẽ đường kẻ dóng song song với bán kính của thanh
Ví dụ 2.1: Vẽ biểu đồ nội lực cho thanh cong phẳng, chịu lực tập trung P tại đầu tự do như hình 2.3a
Hình 2.2 Các thành phần nội lực trên mặt cắt của thanh cong
Hình 2.3 Vẽ điểu đồ nội lực của thanh cong
Thanh cong AB chỉ chịu một lực tập trung tại đầu tự do B nên ta chỉ cần dùng một mặt cắt (1.1) đi qua tâm C của thanh cong như hình 2.3b
Xét mặt cắt (1.1) (0 ≤ 𝜑 ≤ 𝜋) tách ra như hình 2.4
- Lập PTCB và PT mômen tại O: z
- Kết quả vẽ biểu như hình 2.3 c, d, e
- Lập bảng: Theo tính chất φ (rad) (Nz) (Qy) (Mx)
Để xác định các giá trị nội lực cho thanh cong phẳng như hình 2.5, ta thực hiện các bước tương tự như trước đó Kết quả thu được cho thấy các thành phần nội lực có sự phân bố cụ thể, từ đó giúp hiểu rõ hơn về hành vi của thanh trong điều kiện chịu lực.
Hình 2.4 Các thành phần nội lực trên mặt cắt
Hình 2.5 Thanh cong chịu tác dụng của lực phân bố đều
Để xác định các giá trị nội lực cho thanh cong phẳng như trong hình 2.5, chúng ta thực hiện quy trình tương tự như trước đó Kết quả thu được cho thấy các thành phần nội lực như sau:
Hệ thanh thẳng và thanh cong có tiết diện hình tròn chịu lực với các thông số P = 6 kN, q = 2 kN/cm, chiều dài ρ = 20 cm, mô men M = 140 kN.cm, và độ cứng E = 2.10^4 kN/cm² cùng đường kính D = 6 cm Cần vẽ biểu đồ nội lực cho hệ thống này để phân tích ứng suất và biến dạng.
Hình 2.6 Lực phân bố không đều theo phương pháp tuyến
Hình 2.7 Kết quả vẽ biểu đồ nội lực
Bài giải: Để vẽ biểu đồ nội lực ta cần tìm giá trị nội lực theo từng đoạn mặt cắt
Lập phương trình cân bằng tĩnh học và phương trình mômen tại 0:
Lập bảng: φ Nz Qy Mx
Biểu thức các thành phần nội lực:
Kết quả vẽ biểu đồ như hình (2.7d, e, f) z 0 ρ /2 ρ
Ứng suất trong thanh cong chịu kéo (nén) (N Z ≠ 0)
Thanh cong chịu kéo (nén) đúng tâm khi trên mọi mặt cắt ngang chỉ tồn tại
1 thành phần nội lực dọc trục Nz như hình 2.8
2.3.2 Ứng suất Để xác định ứng suất ta xét thanh cong chịu lực kéo Nz, việc xác định sự phân bố của ứng suất trên mặt cắt ngang, ta vẫn sử dụng giả thiết mặt cắt phẳng, tức là mặt cắt ngang phẳng trước và sau khi thanh biến dạng vẫn phẳng và quay chung quanh tâm chính khúc của thanh Do đó, ứng suất sinh ra trên mặt cắt là ứng suất pháp phân bố đều trên mọi điểm như hình 2.8 a) Xác định mối quan hệ giữa biến dạng và ứng suất
Xét một đoạn thanh cong có chiều dài ở trục là ds tương ứng với góc ở tâm là dφ Đoạn thanh bị kéo bởi lực dọc trục N như hình 2.9
Trước khi chịu lực có chiều dài đoạn dây cung hình 2.8:
Sau khi chịu lực kéo Nz thì thanh bị giãn ra một đoạn:
Vậy độ dãn tỷ đối của thớ ds d const ds d
Theo định luật Hooke biến dạng dài thì ta có:
(2.1) b) Xét mối quan hệ giữa ứng suất và nội lực N
Xét mặt cắt và điểm N thuộc mặt cắt, ta lấy vi phân vô cùng bé thì nội lực tại điểm đang xét là σ.dF ta có:
Hình 2.9 Đoạn thanh cần xét ứng suất
Hình 2.8 Nội lực trên mặt cắtngang
Thế biểu thức (2.2) vào biểu thức (2.1) ta được công thức tính ứng suất cho thanh cong chịu kéo (nén) đúng tâm như sau :
- Nz là lực dọc trục;
- F là diện tích mặt cắt ngang
Khi thanh thành công bị kéo hoặc nén dọc theo trục, ứng suất pháp sẽ phân bố đều trên mặt cắt ngang, tương tự như thanh thẳng đã được nghiên cứu trong môn sức bền vật liệu 1.
Ứng suất trong thanh cong chịu uốn thuần túy
Thanh cong phẳng chịu uốn thuần túy khi trên mọi mặt cắt ngang chỉ tồn tại 1 thành phần mômen uốn Mx (hoặc My) như hình 2.10 r t h r
Hình 2.11 Đoạn thanh cần xét ứng suất r 0 r th
Hình 2.10 Nội lực trong thanh chịu uốn
2.4.2 Xác định ứng suất Để nghiên cứu ứng suất trên mặt cắt ngang của thanh cong bị uốn thuần túy, ta vẫn sử dụng giả thiết mặt cắt ngang phẳng và giả thiết về các thớ dọc như đã nêu ở sức bền 1 như sau:
- Mặt cắt ngang phẳng trước và sau biến dạng mặt cắt ngang của thanh vẫn phẳng và vuông góc với trục thanh;
- Trong quá trình biến dạng các thớ dọc vẫn song song với trục cong của thanh, không ép lên nhau và cũng không tách xa nhau
Theo giả thiết 1, trên mặt cắt ngang của thanh chỉ có ứng suất pháp mà không có ứng suất tiếp Điều này cho thấy mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng cần được xem xét kỹ lưỡng.
Xét một đoạn thanh cong chịu uốn thuần túy có chiều dài ds và góc ở tâm dφ, nội lực trên mặt cắt ngang được biểu diễn bằng mômen uốn Mx Hình 2.11 minh họa biến dạng của đoạn thanh này.
Trước khi chịu lực tác dụng có chiều dài đoạn dây cung:
Sau khi chịu lực tác dụng thanh uốn cong một đoạn và biến dạng:
(1 ). th th nn r r d r d mn rd r d
Đặt: y + r0 = r (thớ đang xét ứng suất)
(2.3) b) Tìm mối quan hệ giữa mômen uốn M x với ứng suất σ
Xét mặt cắt tròn như trên hình 2.10
Theo định luật Hooke ta có biến dạng trên một đơn vị chiều dài tại mỗi mặt cắt là không đổi: ds d const ds d
Nội lực tại điểm N: Đưa về tâm 0, ( )
( ) z x y dN dF dM dF y dM dF x
Lấy tích phân trên toàn mặt cắt ta được các giá trị:
Vậy biểu thức (2.4) là biểu thức tính bán kính cong của thớ trung hòa Mômen quay xung quanh trục ox:
Chú ý: Ta có mômen tĩnh của toàn bộ mặt cắt so với điểm C hay so với trục trung hòa: x c
Thay biểu thức (2.4) vào biểu thức (2.3) ta được công thức xác định ứng sất trên thanh cong chịu uốn thuần túy được biểu thức (2.6):
- r: Bán kính cong tới điểm tính ứng suất;
- a: Khoảng cách từ trọng tâm mặt cắt ngang tới đường trung hòa a = r – rth;
- rth: Bán kính cong của thớ trung hòa xác định theo công thức tổng quát (2.4).
Xác định bán kính chính khúc của lớp trung hòa
Để áp dụng công thức tính ứng suất pháp (2.6), cần xác định bán kính cong của thớ trung hòa Đối với mặt cắt bất kỳ, công thức (2.4) sẽ được sử dụng để tính toán.
Sau đây, ta sẽ tính rth cho một số mặt cắt đơn giản thường gặp:
2.5.1 Tính r th cho mặt cắt ngang là hình thang
Giả sử với hình thang với đáy b2, đáy nhỏ b1; chiều cao h như hình 2.12
Tại bán kính r cần tính ứng suất, chúng ta xác định một dải phân tố diện tích dF theo phương ngang, với chiều dài và chiều rộng lần lượt là br và dr.
Từ việc xác định ứng suất trên mặt cắt ngang của thanh cong chịu uốn thuần túy, ta có thể rút ra công thức để xác định bán kính chính khúc của thớ trung hòa.
Diện tích trên phân tố cắt dFdr b r trong đó 1 2 2 1 1 r 2 b b r r b b h
Vậy ta được biểu thức (2.7) là công thức xác định bán kính cong của mặt cắt ngang hình thang cân
- r1: Bán kính lớn nhất (cao nhất) của thanh cong;
- r2: Bán kính nhỏ nhất (thấp nhất) của thanh cong
- b1: bề rộng đỉnh của hình thang;
- b2: bề rộng đáy của hình thang;
- h: chiều cao hình thang r 2 r th r 0 r r 1 b 2 b 1 b dr h y x
Hình 2.12 Mặt cắt tiết diện hình thang
2.5.2 Tính r th cho mặt cắt ngang là hình chữ nhật
Giả sử hình chữ nhật có chiều cao là h, bề rộng b như hình 2.13 khi đó ta có bề rộng đỉnh và bề rộng đáy bằng nhau ta có b1 = b2
= b, vậy hình chữ nhật là trường hợp đặc biệt của hình thang cân nên ta chứng minh tương tự chỉ việc thay vào công thức (2.6) ta được:
Vậy biểu thức (2.8) là công thức xác định bán kính cong của mặt cắt hình chữ nhật
2.5.3 Tính r th cho mặt cắt ngang là hình tam giác
Trong tam giác cân, khi bề rộng đỉnh bằng không (b1 = 0) và b2 = b, ta nhận thấy đây là trường hợp đặc biệt của hình thang cân Thay vào biểu thức (2.7), ta có thể rút ra các kết luận quan trọng về đặc điểm của hình học này.
2.5.4 Tính r th cho mặt cắt ngang là hình tròn
Từ công thức (2.4) tổng quát xác định bán kính chính khúc của thớ trung hòa:
Diện tích phần tách phân tố của hình tròn dF = br.dr = d 2 /2 cos 2 φ.dφ, trong đó (
. d b r ; 2 2) thay vào biểu thức trên và tính ta được:
Biểu thức (2.10) là công thức xác định bán kính trung hòa của mặt cắt ngang có tiết diện hình tròn r 2 r th r 0 r r 1 b 1 b r dr h y x
Hình 2.13 Mặt cắt tiết diện hình chữ nhật r 2 r th r 0 r r 1 b 2 b r dx h y x
Hình 2.14 Mặt cắt tiết diện hình tam giác dF
Hình 2.15 Mặt cắt tiết diện hình tròn
2.5.5 Tính r th cho mặt cắt ngang là hình vành khăn
Cho hình vành khăn như hình
2.16, có đường kính ngoài là D, chiều dày là t
Diện tích hình vành khăn
+ Với t là chiều dày ta tính được bán kính trung bình của mặt cắt ngang
+ rt b: Bán kính trung bình tb 2 r D t
- Xét một vi phân diện tích tạo bởi bề dày hình vành khăn và hai bán kính hợp nhau một góc dφ là: dF t r d tb
Bán kính cong nằm trong vi phân diện tích dF: r r 0 r tb cos
Khi đó thay vào biểu thức (2.4) ta có:
Thực hiện phép tính ở mẫu số:
Thay vào biểu thức trên ta xác định công thức tính bán kính cong của thớ trung hòa với tiết diện mặt cắt ngang hình vành khăn: r th r 0 2 r tb 2 (2.11)
2.5.6 Tính r th theo phương pháp gần đúng Đối với những mặt cắt có hình dạng đặc biệt, nếu tính rth theo công thức (2.4) thì phải thực hiện một phép tính tích phân khá khó khăn Khi đó, ta có thể tính rth theo cách gần đúng như sau:
Chia mặt cắt thành nhiều dải diện tích ∆Fi song song với trục x giúp xác định khoảng cách từ trọng tâm của mỗi dải đến tâm cong một cách dễ dàng Giả sử diện tích được chia thành n dải, khoảng cách từ trọng tâm mỗi dải đến tâm cong lần lượt là r1, r2,…, rn Như vậy, tích phân trong công thức (2.4) có thể được tính gần đúng bằng cách sử dụng các giá trị này.
Hình 2.16 Mặt cắt tiết diện hình vành khăn Để cho việc tính toán được thuận tiện, người ta lập bảng
Tính cho một số mặt cắt ngang thường gặp
Các bảng tra có trong các sổ tay kỹ thuật cho ta các hệ số k
Mặt cắt ngang của các loại cấu trúc được xác định bởi tỷ số r0/s, trong đó s là khoảng cách từ trọng tâm mặt cắt ngang đến thớ trong cùng, và r0 là bán kính cong của trục thanh.
Trong thực tế kỹ thuật ta dùng công thức gần đúng: r th k r 0 (2.12)
- k: Là hệ số phụ thuộc tỷ số: r0/s (k tra bảng tra bảng phần phụ lục 01);
- S: Là khoảng cách từ thớ thấp nhất tới trọng tâm mặt cắt
Theo bảng, tỷ số r0/S càng lớn thì hệ số k càng gần 1, cho thấy đường trung hòa gần sát với trọng tâm mặt cắt ngang Điều này cho phép tính toán đối với thanh cong tương tự như thanh thẳng, từ đó có thể áp dụng công thức tính cho thanh thẳng.
Thanh cong chịu lực phức tạp
Trong bài toán phẳng, nếu mặt cắt ngang có sự hiện diện của cả ba thành phần nội lực chính: lực dọc trục Nz, lực cắt Qy và mômen uốn Mx, thì được gọi là thanh chịu lực phức tạp.
Khi tính toán ứng suất toàn phần trong thanh, chúng ta áp dụng nguyên lý cộng tác dụng để có được kết quả gần đúng Thành phần mômen uốn và lực dọc trục gây ra ứng suất pháp đều nằm trong cùng một mặt phẳng, vì vậy ta sử dụng phép cộng tác dụng để xác định ứng suất.
Còn thành phần lực cắt Qy gây ra ứng suất tiếp tính theo công thức Jurapxki của thanh thẳng:
Hình 2.17 Chia mặt cắt thành nhiều dải diện tích ∆F i
Khi tính toán thanh cong, ảnh hưởng của lực cắt thường không đáng kể so với lực dọc và mômen uốn Do đó, trong các phép tính sau này, chúng ta sẽ bỏ qua lực cắt và thành phần ứng suất tiếp Công thức tổng quát để tính ứng suất trên thanh cong phẳng chịu lực phức tạp được thể hiện qua biểu thức (2.13).
Hệ thanh gồm BC là thanh cong và CA là thanh thẳng, với tiết diện mặt cắt ngang hình tròn có đường kính D = 3 cm, chịu tải trọng P = 6 kN và q = 2 kN/cm Thông số chiều dài là = 20 cm, mô men M = 140 kN.cm, và mô đun đàn hồi E = 2.10^4 kN/cm^2 Cần xác định ứng suất lớn nhất cho thanh cong, bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt.
1 Kết quả vẽ biểu đồ như hình (2.6) ta đã tính toán ở trên
Ta có kết quả vẽ biểu đồ Nz và vẽ biểu đồ Mx như hình 2.19
Hình 2.19 Kết quả vẽ biểu đồ nội lực của thanh cong
Hình 2.18 Hệ thanh cong và thanh thẳng
2 Xác định ứng suất lớn nhất cho thanh cong
- Nhìn trên biểu đồ ta thấy mặt cắt nguy hiểm tại điểm C có các giá trị nội lực lớn nhất:
Mx max = - P ρ = - 120 (kN.cm), Nz max = P = 6 (kN)
- Vẽ mặt cắt thể hiện r1, r2, r0, a, s, r điểm nguy hiểm trên mặt cắt là những điểm nằm phía trong điểm C thể hiện trên hình 2.20
- Khi đó bán kính cong của thớ nguy hiểm tại C là: r = ρ - D/2 = 18,5 cm
- Xác định rth: Vì thanh cong có mặt cắt
Ngang hình tròn nên ta sử dụng công thức (2.10)
- Vậy khoảng cách a: a = r0 - rth = 20 - 19,972 = 0,0282 (cm)
- Xác định ứng suất pháp áp dụng công thức (2.13) thanh cong phẳng chịu lực phức tạp
Chuyển vị của thanh cong
Nghiên cứu cho thấy khi xác định ứng suất trong thanh cong, ảnh hưởng của độ cong là yếu tố quan trọng cần xem xét, trong khi đó, khi tính toán biến dạng, có thể bỏ qua yếu tố này trong nhiều trường hợp Dựa trên cơ sở đó, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp năng lượng để nghiên cứu chuyển vị của các mặt cắt thanh cong.
Xét một đoạn thanh dài ds hình
2.21, trên các mặt cắt ngang có các nội lực Nz, Qy, Mx
Thế năng biến dạng của đoạn thanh bằng công của tất cả các lực này sinh ra
Hình 2.21 Các thành phần nội lực
Hình 2.20 Mặt cắt tiết diện hình tròn
Cũng như trong trường hợp dầm phẳng, ở đây ta cũng bỏ qua công do lực cắt Qy
Do không tính đến ảnh hưởng của độ cong của thanh, đường trung hòa sẽ đi qua trọng tâm mặt cắt Khi cắt mặt cắt 1.1 và 2.2 dưới tác dụng của mômen uốn M, các trọng tâm O1 và O2 không dịch chuyển Vì vậy, công của lực dọc trục Nz không phụ thuộc vào mômen uốn Mx, tức là công do Nz và công do Mx là độc lập với nhau Tương tự như sức bền 1, công thức Mohr cũng có thể được áp dụng để xác định chuyển vị của thanh cong.
Viết phương trình tính chuyển vị theo phương pháp năng lượng (Mohr) tổng quát:
-N m , M m là các giá trị của nội lực tìm được trên từng đoạn mặt cắt do ngoại lực gây ra;
N k và M k là giá trị nội lực xác định tại từng đoạn mặt cắt, do các ngoại lực như lực tập trung Pk hoặc mômen tập trung Mk tác động Các giá trị này được tính toán khi cần xác định chuyển vị thẳng hoặc góc xoay tại điểm cụ thể.
Vậy để tìm được chuyển vị ta phải thực hiện tính tích phân trên từng đoạn theo biến góc φ
Ví dụ 2.6: Cho thanh cong tiết diện hình tròn có đường kính d = 4 cm chịu lực như hình vẽ 2.22 Xác định chuyển vị thẳng và chuyển vị góc tại điểm B?
Bài giải: a) Để xác định chuyển vị thẳng tại điểm B ta sử dụng công thức Mohr, tại
B đặt một lực tập trung trạng thái Pk = 1 đv như hình 2.22b
Hình 2.22 Tính chuyển vị của thanh cong
- Ta xác định các giá trị của nội lực Nm, Mm do ngoại lực P bằng mặt cắt ta có:
Nm = - Psinφ; Mm = PR.sinφ với biến (0 ≤ φ ≤ π/2)
- Ta xác định các giá trị nội lực Nk, Mk do ngoại lực Pk = 1 bằng mặt cắt ta có:
Nk = - 1sinφ; Mk = R.sinφ với biến (0 ≤ φ ≤ π/2) Đưa các giá trị vào công thức tính chuyển vị ở trên ta được:
b) Để xác định chuyển vị góc tại điểm B ta sử dụng công thức Mohr, tại B đặt một lực tập trung trạng thái Mk = 1 đv như hình 2.22c
- Ta xác định các giá trị nội lực Nm, Mm do ngoại lực P bằng mặt cắt ta có:
Nm = - Psinφ; Mm = PR.sinφ với biến (0 ≤ φ ≤ π/2)
- Ta xác định các giá trị nội lực Nk, Mk do ngoại lực Mk = 1 bằng mặt cắt ta có:
Nk = 0; Mk = 1 với biến (0 ≤ φ ≤ π/2) Đưa các giá trị vào công thức ta được:
TÍNH ĐỘ BỀN THEO TRẠNG THÁI GIỚI HẠN
Khái niệm về trạng thái giới hạn
3.1.1 Khái niệm chung Ở các chương trên, khi phân tích sự làm việc của một thanh hay hệ thanh ta đã hạn chế vật liệu chỉ làm việc trong giới hạn đàn hồi Đó là sự phân tích đàn hồi Chỉ cần một điểm của hệ đạt đến giới hạn chảy thì hệ được coi là đạt đến trạng thái giới hạn, gọi là trạng thái giới hạn đàn hồi Tải trọng hay tham số của tải trọng tương ứng với trạng thái này gọi là tải trọng hay tham số tải trọng giới hạn đàn hồi
Trong nhiều trường hợp, khi hệ đã đạt đến giới hạn chảy, nó vẫn có khả năng chịu lực thêm, mặc dù đã xuất hiện biến dạng dẻo Hệ chỉ được coi là bị phá hủy khi không thể chịu thêm lực và tiếp tục bị biến dạng Phân tích sự làm việc của vật liệu trong giai đoạn này được gọi là phân tích dẻo, với trạng thái giới hạn tương ứng được gọi là trạng thái giới hạn dẻo Ở các phần tiếp theo, chúng ta sẽ tiến hành phân tích dẻo để xác định trạng thái giới hạn cho các thanh chịu kéo, nén, uốn và xoắn thuần túy, từ đó đưa ra điều kiện bền cần thiết.
- σo, τ0 là những giới hạn nguy hiểm (có thể là giới hạn chảy đối với vật liệu dẻo và giới hạn bền đối với vật liệu giòn);
- n là hệ số an toàn
Khi thanh làm việc dưới trạng thái chịu lực phức tạp, cần tính giá trị ứng suất tương đương theo một thuyết bền nhất định và so sánh với ứng suất cho phép [σ] Phương pháp này được gọi là tính toán độ bền theo ứng suất cho phép (ƯSCP) Hệ số an toàn trong công thức (3.1) thể hiện khả năng dự trữ chịu lực của vật liệu, đồng thời xem xét các yếu tố ảnh hưởng đến độ bền như đã đề cập trong chương về kéo và nén đúng tâm Hệ số an toàn cũng phản ánh mức dự trữ và khả năng chịu lực của kết cấu, với n là hệ số an toàn chung cho ứng suất và tải trọng bên ngoài trong các bài toán đã nghiên cứu.
Khi tính toán độ bền bằng ứng suất cho phép, chỉ cần một điểm hoặc một mặt cắt có ứng suất đạt đến giới hạn nguy hiểm σo là kết cấu được coi là nguy hiểm và không còn sử dụng được Phương pháp này, được gọi là tính toán trong miền đàn hồi, giả định rằng vật liệu làm việc trong trạng thái đàn hồi Tuy nhiên, trong thực tế, đối với các kết cấu bằng vật liệu dẻo, ngay cả khi ứng suất ở một số điểm đạt đến giới hạn chảy, kết cấu vẫn có thể chịu lực thêm Do đó, phương pháp ƯSCP không phản ánh đầy đủ khả năng chịu lực của kết cấu và không tiết kiệm vật liệu trong nhiều trường hợp thực tế.
Theo phương pháp ƯSCP, dầm được coi là ở trạng thái nguy hiểm khi ứng suất tại các mép trên hoặc dưới của mặt cắt đạt đến giới hạn chảy, trong khi các điểm khác gần trục trung hòa ứng suất vẫn còn thấp Điều này cho thấy dầm vẫn có khả năng chịu lực thêm mà không bị phá hủy trong nhiều trường hợp.
Với cách nhìn nhận như vậy, song với phương pháp ƯSCP người ta đưa ra phương pháp tính theo trạng thái giới hạn hay tải trọng phá huỷ
3.1.2 Phương pháp tính theo trạng thái giới hạn
Tính theo trạng thái giới hạn (TTGH) là phương pháp phân tích kết cấu cho đến khi phá hủy hoàn toàn, giúp tận dụng tối đa khả năng của vật liệu và tiết kiệm chi phí Tuy nhiên, phương pháp này có thể dẫn đến biến dạng quá lớn, vượt quá giới hạn cho phép, do đó cần chú trọng đến biến dạng trong quá trình sử dụng Đối với các chi tiết máy yêu cầu biến dạng nhỏ, phương pháp TTGH không phù hợp và cần áp dụng phương pháp ƯSCP Ngoài ra, TTGH cũng không được sử dụng cho các bài toán ứng suất thay đổi theo thời gian.
Quy luật phân bố ứng suất trên mặt cắt của thanh chịu uốn được đánh giá thông qua phương pháp TTGH, với điều kiện bền được xác định bằng cách so sánh hệ số an toàn và hệ số an toàn cho phép.
- Pgh: Giá trị giới hạn lớn nhất mà kết cấu chịu được;
- P: Tải trọng thực tế tác dụng lên kết cấu;
- [n]: Hệ số an toàn cho phép, phụ thuộc vào nhiều yếu tố và được xác định trước (thường được cho trong các sổ tay kĩ thuật)
Cách tính theo TTGH dựa trên giả thiết về mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng Từ biểu đồ thí nghiệm kéo vật liệu dẻo, người ta cho rằng khi đạt đến giới hạn chảy, vật liệu sẽ hoạt động trong giai đoạn chảy kéo dài mà không có giai đoạn củng cố, đồng thời xem giới hạn chảy và giới hạn tỉ lệ là một.
Sự lý tưởng hóa trong cơ học vật liệu có cơ sở thực tế khi giai đoạn chảy thường lớn gấp 10 đến 20 lần so với giai đoạn tỷ lệ Biểu đồ đàn hồi dẻo lý tưởng, mà thép tương đối phù hợp, được gọi là sơ đồ Prandt.
Theo sơ đồ, trong giai đoạn đầu, khi ứng suất nhỏ hơn giới hạn chảy σch, vật liệu hoạt động hoàn toàn đàn hồi và tuân theo định luật Hooke, kết thúc tại điểm A (σch, εch) Sau đó, vật liệu chuyển sang trạng thái chảy dẻo, ứng suất tăng lên và giữ hằng số, trong khi biến dạng tại vị trí nguy hiểm nhất của kết cấu gia tăng Hiện tượng này bắt đầu tại một điểm và lan rộng ra các khu vực khác của kết cấu cho đến khi nó bị phá hủy hoàn toàn hoặc biến dạng toàn cục Khi đó, kết cấu được xem là đã đạt đến trạng thái giới hạn.
Hình 3.2 Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng với trạng thái giới hạn này của kết cấu được gọi là tải trọng giới hạn và kí hiệu là
Đôi khi, người ta bỏ qua giai đoạn đàn hồi vì cho rằng nó quá ngắn so với giai đoạn chảy dẻo, dẫn đến việc áp dụng biểu đồ cứng dẻo lý tưởng (hình 3.2c) Trong tính toán theo TTGH, ngoài việc sử dụng biểu thức (3.2), có thể áp dụng các phương pháp so sánh khác để đạt được kết quả chính xác hơn.
n (3.3) Trong đó: [P] gọi là tải trọng cho phép
Trạng thái giới hạn của kết cấu là khi kết cấu không còn khả năng chịu lực Tải trọng lớn nhất dẫn đến trạng thái này được gọi là tải trọng phá hoại (Pph).
Sau đây là cách tính cho một số thanh chịu các dạng trạng thái chịu lực tính trong trạng thái giới hạn chảy.
Tính thanh chịu kéo (nén) theo trạng thái giới hạn chảy
Hệ dây tĩnh định trong hình 3.3 gồm hai dây có cùng tiết diện F và cùng môđun đàn hồi E Nhiệm vụ là xác định lực Pgh cần thiết để hai dây đạt đến trạng thái chảy dẻo.
Để xác định nội lực trong hai dây OA và OB, ta cần tách nút O và áp dụng hai phương trình chiếu lên hai trục, từ đó có thể xác định nội lực một cách chính xác theo các phương trình cân bằng tĩnh học.
- Tìm lực P để các dây OA, OB vẫn đảm bảo điều kiện bền (tính theo trạng thái đàn hồi) là: max
Hình 3.3 Nội lực trong hệ dây tĩnh định
- Tính theo TTGH chảy thì ứng suất trong dây tính bằng biểu thức (a) có dạng:
Nếu cũng dùng một hệ số an toàn n như nhau thì tải trọng lớn nhất tác dụng lên hệ kết hợp biểu thức (3.2) cũng sẽ là:
Khi kết hợp biểu thức (b) và (d), ta nhận thấy rằng trong bài toán tĩnh định về kéo (nén) đúng tâm, giá trị lực lớn nhất tính theo phương pháp ƯSCP và theo TTGH là giống nhau Điều này dễ hiểu vì ứng suất trong dây là hằng số và đều tiến tới giới hạn chảy cùng lúc.
Dầm tuyệt đối cứng AB được liên kết với hai dây tròn và chịu tác dụng của lực P, như thể hiện trong hình vẽ 3.4a Các dây này có ứng suất chảy khác nhau, lần lượt được xác định trong bài viết.
, ch 2 250 KN/cm 2 Tiết diện: F1 = 12 cm 2 , F2 = 16 cm 2 , l1 = 1 m, l2
= 2 m Xác định Pgh, để 2 dây chịu kéo đạt đến trạng thái chảy dẻo?
Trước tiên ta xác định nội lực trong dây 1 và dây 2 ta phân tích lực cho hệ như hình 3.4b ta có:
Hình 3.4 Xác định nội lực trong hệ dây
Lập phương trình cân bằng hình chiếu và phương trình mômen đối với điểm A:
Nhận xét ta thấy giá trị N1 > N2 Vậy thanh 1 đạt đến trạng thái giới hạn chảy trước thanh 2:
Do đó, tiếp tục tăng lực P để dây 2 cũng đạt đến trạng thái giới hạn chảy:
N N F Khi đó lực Pgh cần tìm:
Vậy P gh 10000 (kN) thì cả hai thanh đều đạt đến trạng thái giới hạn chảy
Ví dụ 3.3: Xét một hệ dây siêu tĩnh gồm 3 dây nối với nhau (hình 3.5a)
Để tính lực Pgh cần thiết để ba dây (1), (2) và (3) đạt đến trạng thái giới hạn chảy, ta biết rằng chúng có diện tích giống nhau là F và môđun đàn hồi E, cùng với ứng suất giới hạn chảy giống nhau Do đó, lực Pgh có thể được xác định dựa trên các yếu tố này.
Trước hết ta phải giải bài toán siêu tĩnh này để tìm giá trị nội lực trong các dây (1), (2), (3)
Hình 3.5 Thành phần nội lực của dây trong hệ siêu tĩnh
Để xác định nội lực trong các dây, ta tách nút B ra và xét sự cân bằng tại nút B bằng cách sử dụng hai phương trình hình chiếu lên trục Bx và By.
Hệ hai phương trình (a) với 3 ẩn cho thấy đây là bài toán siêu tĩnh bậc 1, vì vậy cần khử siêu tĩnh bằng cách tìm thêm một phương trình bổ sung, dựa vào phương trình tương thích biến dạng (b) Khi chịu lực P, điểm B sẽ chuyển dời đến điểm B′ Từ B, hạ đường vuông góc xuống D B′ tại K và A B′ tại I (xem hình 3.5a) để tính toán.
Về biến dạng ta có thể tính được:
Thay các đại lượng này vào phương trình (b), (a) ta được các giá trị:
Dựa vào giá trị nội lực của ba dây, chúng ta nhận thấy rằng nội lực ở dây (2) lớn hơn Do đó, khi tăng lực P, dây (2) sẽ đạt đến trạng thái chảy dẻo trước tiên.
Theo TTGH, tải trọng P gây ra ứng suất trong dây (2) đạt đến giới hạn chảy, nhưng chưa thể xem là tải trọng giới hạn Mặc dù ứng suất trong dây đã tăng cao, nhưng vẫn cần xem xét các yếu tố khác để xác định tải trọng giới hạn chính xác.
Khi dây (2) đạt đến giới hạn chảy σch, nó không thể chịu thêm tải, trong khi dây (1) và (3) vẫn dưới giới hạn chảy và có thể tiếp tục gánh thêm tải khi lực P tăng Kết cấu chỉ được xem là bị phá hủy khi tất cả ba dây đều chịu ứng suất đạt đến giới hạn chảy σch.
Vậy ta tìm được Pgh là:
Ta chia cả tử và mẫu cho cos 2 α và lấy gần đúng ta được:
Vậy với lực P gh ch F.(12cos) sẽ làm cho cả 3 dây đều đạt đến trạng thái chảy dẻo
Kiểm tra bền theo phương pháp TTGH cho một thanh bị ngàm chặt ở hai đầu, chịu lực P dọc trục với các thông số: F = 4 cm, P = 85 kN, σch = 21 kN/cm² và hệ số an toàn cho phép [n] = 1,8.
Giá trị lực P sẽ biến thành lực P gh khi cả hai đoạn AB và BC cùng chảy dẻo, tức là NA, NB đều đạt đến giá trị chảy dẻo:
Bằng phương pháp mặt cắt thông thường ta xét sự cân bằng như trên hình
Suy ra: P gh 2. ch F2.21.4 168 (kN)
Theo điều kiện bền theo TTGH tính hệ số an toàn n là:
Mặc dù giá trị n lớn hơn hệ số an toàn cho phép, nhưng vẫn nằm trong giới hạn cho phép không quá 5%, do đó thanh vẫn hoạt động đảm bảo điều kiện bền theo tiêu chuẩn thiết kế.
Tính dầm chịu uốn theo trạng thái giới hạn chảy
3.3.1 Thanh chịu uốn thuần túy
Theo định nghĩa, thanh uốn thuần tuý chỉ có mômen uốn là thành phần nội lực duy nhất trên mặt cắt Trong giai đoạn đầu, vật liệu hoạt động trong miền đàn hồi, với phân bố ứng suất theo chiều cao mặt cắt là bậc nhất, đạt cực đại ở các mép trên và dưới Giá trị mômen tại thời điểm này là Mxdh, được tính toán theo công thức cụ thể.
Hình 3.7 Quy luật phân bố ứng suất chảy trên mặt cắt chịu uốn
Hình 3.6 Hệ thanh siêu tĩnh
Tương tự như các bài toán trên với n là hệ số an toàn thì mômen cực đại có thể có trong giới hạn đàn hồi là:
Theo phương pháp ƯSCP, khi mômen nội lực đạt giá trị [Mx]dh, kết cấu được coi là bị phá huỷ Nếu tiếp tục tăng tải trọng, mômen nội lực sẽ gia tăng và ứng suất chảy σch sẽ tiếp tục phát triển vào đường trung hoà Sự phát triển miền chảy dẻo có thể làm cho σch lan tỏa toàn bộ mặt cắt, lúc này mômen nội lực được gọi là mômen dẻo Md Trong trạng thái toàn bộ mặt cắt chịu chảy dẻo, mặt cắt sẽ chia thành hai vùng chảy dẻo với giá trị tuyệt đối là σch, bao gồm một vùng chịu kéo và một vùng chịu nén, khác với trường hợp chịu kéo hoặc nén hoàn toàn trên một mặt cắt.
Để xác định mômen uốn Md, ta lấy mômen đối với trục x1 Giới hạn chảy yêu cầu tất cả các điểm trên mặt cắt phải đạt trạng thái phá hủy, tức là tất cả các điểm nằm trong miền chảy, lúc này ngoại lực được xác định theo biểu thức (3.6).
( ) ( ) ( ) ( ) ( k n ) gh ch ch ch ch ch x x ch d k n k n
- Wd: Mômen chống uốn ở trạng thái dẻo;
- S k x: Mômen tĩnh ở vùng chịu kéo: S x ydF ;
- S n x: Mômen tĩnh ở vùng chịu nén
Bài toán đặt ra là xem xét thanh dễ bị chảy trước, sau đó tăng ngoại lực để các thanh còn lại cũng đạt đến trạng thái chảy dẻo.
Chú ý: Công thức xác định W d mômen chống uốn ở trạng thái dẻo của một số hình đối xứng qua trục ox
1/ Mặt cắt hình chữ nhật có tiết diện b×h:
S S ydFb W d S k S n bh 4 2 2/ Đối với mặt cắt hình tròn:
Đối với các tiết diện hình chữ T và I, do trục trung hòa không đối xứng qua trục ox, cần xác định trọng tâm và thực hiện các phép tính cụ thể Ví dụ dưới đây sẽ minh họa cho quá trình này.
Để xác định giá trị mômen Mdh theo phương pháp ƯSCP và mômen giới hạn Md tác dụng lên dầm công xôn AB với tiết diện mặt cắt ngang hình chữ T như hình 3.8a, ta có σch = 32 kN/cm² và hệ số an toàn n = 1,85.
1) Trước hết chúng ta xác định trọng tâm C của mặt cắt ngang hình chữ T (xem hình 3.8b) và mômen quán tính chính trung tâm Jx rồi tìm mômen chống uốn ở trạng thái đàn hồi Wdh, theo tuần tự đã gặp trong các chương đặc trưng hình học của mặt cắt và chương uốn trong sức bền vật liệu 1
Mặt cắt đã cho bao gồm tổng diện tích của hai hình chữ nhật: hình chữ nhật đầu tiên có tiết diện 6 x 1 cm² với trọng tâm tại C1(0; 0), và hình chữ nhật thứ hai có tiết diện 1 x 4 cm² với tọa độ trọng tâm C2.
(0; 3,5) từ đó ta xác định được trọng tâm C của toàn hình chữ T:
Vậy trọng tâm C (0; 1,4) có trục X cách mép dưới là 4,4 cm, từ đó ta tìm được kết quả mômem quán tính của mặt cắt ngang:
Hình 3.8 Dầm công xôn chịu uốn thuần túy
Vậy mômen chống uốn đối với trục CX cách xa nhất là những điểm ở mép dưới của mặt cắt:
J (cm 3 ) Nhìn vào biểu đồ mômen uốn như hình 3.8a, ta xác định mômen uốn trong giai đoạn đàn hồi: 32 10,85 187,67
Sau khi xác định trục trung hòa CX, phần dưới của mặt cắt ngang sẽ là vùng chịu kéo, trong khi phần trên là vùng chịu nén Tiếp theo, chúng ta cần tính toán mômen đàn hồi dẻo của mặt cắt ngang.
Wd = SK + Sn = Fk.yck + Fn ycn = 4,4×1× 2,2 + 1×1,6×0,3 + 4×1×2,1 = 19,36 (cm 3 )
Mômen uốn trong giai đoạn chảy dẻo:
Kết quả tính toán cho thấy rằng trong giới hạn chảy dẻo, kết cấu có khả năng chịu đựng ngoại lực lớn hơn nhiều so với giai đoạn đàn hồi Vì vậy, khi tính toán với vật liệu dẻo, cần chú ý tận dụng tính chất này để nâng cao giá trị sử dụng.
3.3.2 Thanh chịu uốn ngang phẳng (khớp dẻo)
Trong bài toán uốn thuần tuý, mômen nội lực là hằng số và các mặt cắt của kết cấu là bằng nhau, dẫn đến tải trọng giới hạn cũng đồng nhất Tuy nhiên, trong bài toán uốn ngang phẳng, lực cắt Qy xuất hiện và mômen nội lực Mx thay đổi, thường chỉ đạt giá trị lớn nhất tại một vài mặt cắt tùy theo tải trọng tác dụng Xem xét một dầm chịu lực đơn giản, tại tiết diện nơi đặt lực, mômen uốn nội lực Mx đạt giá trị lớn nhất, được tính toán cụ thể tại đó.
Quá trình hình thành và phát triển biến dạng dẻo tại điểm đặt lực diễn ra như sau:
1- Giai đoạn đàn hồi: Cùng với lực P tăng lên thì giá trị Mxmax cũng tăng lên cho đến khi Mxmax = Mdh, ứng với giới hạn đàn hồi và lúc này sự chảy dẻo bắt đầu xuất hiện ở các cạnh của mặt cắt đó xa trục trung hoà nhất (hình
2- Giai đoạn đàn dẻo: Khi
Khi Mmax lớn hơn Mdh, biến dạng dẻo sẽ lan dần vào bên trong tiết diện chịu lực Khi toàn bộ tiết diện này đạt trạng thái chảy dẻo, các mặt cắt lân cận sẽ tiếp tục gia tăng mômen và đạt tới giới hạn đàn hồi.
Mdh, cứ tiếp tục tăng lực P thì trên thanh sẽ hình thành 1 vùng dẻo (xem hình 3.9c)
3- Lực giới hạn và khớp dẻo: Khi tại mặt cắt chịu mômen nội lực đạt đến giá trị giới hạn Mxmax = Md (mômen lớn nhất làm cho cả mặt cắt bị chảy dẻo)
Miền chảy dẻo sẽ lan rộng sang các mặt cắt lân cận, tạo thành một vùng chảy dẻo Tại vị trí đặt lực P, mặt cắt sẽ bị chảy dẻo hoàn toàn và hình thành một khớp dẻo khi P đạt giá trị tới hạn Lúc này, dầm trở thành một cơ cấu hay hệ biến hình Về mặt cơ học, dầm hoạt động với khớp dẻo tương tự như khớp thật, nhưng vẫn có những điểm khác biệt.
- Tại khớp thật của kết cấu, mômen uốn bằng không, còn tại “khớp dẻo” thì mômen uốn khác không và bằng mômen uốn chảy dẻo Md;
- Ở mặt cắt ngang tại khớp thật có thể xoay theo hai chiều (hình 3.10a) Còn ở “khớp dẻo” mặt cắt chỉ xoay theo thớ căng của mômen (hình 3.10b), tức là tại
“khớp dẻo” chỉ cho phép mở về một phía
Hình 3.9 Quá trình hình thành khớp dẻo
Tính thanh tròn chịu xoắn theo trang thái giới hạn
Khi một thanh tròn chịu xoắn, trong giai đoạn đàn hồi, biểu đồ ứng suất trên mặt cắt phân bố theo bậc nhất theo bán kính Thanh đạt đến giới hạn đàn hồi khi τmax = τch.
Sự phân bố ứng suất được biểu diễn trên hình 3.15a
Hình 3.15 Quy luật phân bố ứng suất chảy trên mặt cắt của thanh chịu xoắn
Khi mômen xoắn tăng, vùng chảy dẻo ở vành trong và ngoài của vật liệu sẽ mở rộng, trong khi lõi đàn hồi thu hẹp lại Khi toàn bộ mặt cắt đã đạt trạng thái chảy dẻo, mômen xoắn đạt giới hạn dẻo Đối với vật liệu dẻo lý tưởng, khi tải trọng tiếp tục tăng, vùng dẻo không chỉ gia tăng ở chu vi mà còn lan sâu vào lõi, dẫn đến ứng suất chảy xuất hiện ở các điểm bên trong Sự phát triển của vùng chảy dẻo sẽ tiếp tục đến trung tâm mặt cắt, khiến ứng suất tại mọi điểm đạt đến giới hạn chảy dẻo τch Khi đó, mômen xoắn nội lực đạt đến giới hạn, được gọi là mômen xoắn dẻo Để tính giá trị này, chúng ta thực hiện như thường lệ.
Xét trong trạng thái chảy, mặt cắt tiết diện hình tròn như hình 3.16
Với tiết diện hình vành khăn:
Để xác định ngoại lực giới hạn cho phép của dầm chịu xoắn có mặt cắt ngang hình vành khăn dưới tác dụng của lực M = 5.m (kN.cm), với ứng suất cắt cho phép ch = 3 kN/cm² và mô đun đàn hồi G = 8.10^6 kN/cm², cần tính toán đến trạng thái chảy dẻo của thanh.
1 Xác định phản lực hai đầu ngàm Mz A, Mz B
Phương trình cân bằng tĩnh học mômen xoắn đối với trục Oz ta được:
Hình 3.16 Mặt cắt tiết diện hình tròn
Bài toán có một phương trình nhưng hai ẩn, do đó được coi là bài siêu tĩnh bậc một Để giải quyết vấn đề siêu tĩnh, chúng ta sẽ sử dụng một mô hình bền vững với chiều giả định như trong hình vẽ 3.17b.
Khi đó góc xoay thực tế của đầu B khi có ngàm so với đầu A phải bằng không, ta được phương trình biến dạng:
2 Từ đó ta vẽ biểu đồ mômen xoắn Mz như hình 3.17c
→ Mặt cắt nguy hiểm M z max 65m(kN.cm)
Đó chính là giá trị ngoại lực cần tính để đoạn ống đạt đến trạng thái giới hạn chảy
Hình 3.17 Tính toán cho hệ chịu xoắn siêu tĩnh m