ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ———————o0o——————– SITPHACHANH PHANITSAVONG ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI ÁNH XẠ CO GERAGHTY HỮU TỈ TRONG KHÔNG GIAN b2 -METRIC LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2021 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ———————o0o——————– SITPHACHANH PHANITSAVONG ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI ÁNH XẠ CO GERAGHTY HỮU TỈ TRONG KHÔNG GIAN b2 -METRIC Ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Phạm Hiến Bằng THÁI NGUYÊN - 2021 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng tơi hướng dẫn PGS.TS Phạm Hiến Bằng Các tài liệu luận văn trung thực Các kết luận văn chưa công bố luận văn Thạc sĩ tác giả khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực Luận văn cảm ơn thông tin trích dẫn Luận văn rõ nguồn gốc Tác giả SITPHACHANH PHANITSAVONG Xác nhận Khoa chuyên môn Xác nhận Người hướng dẫn khoa học PGS.TS Trần Nguyên An PGS.TS Phạm Hiến Bằng i LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp xin cảm ơn Thầy hướng dẫn hiệu kinh nghiệm trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo - Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập nghiên cứu khoa học Bản luận văn chắn không tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ tơi thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Tháng 04 năm 2021 Tác giả ii Mục lục LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii Mục lục iii MỞ ĐẦU Chương Các kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian b2 -metric 1.2 Sự hội tụ không gian b2 -metric 1.3 Ánh xạ co kiểu Geraghty suy rộng Chương Định lí điểm bất động ánh xạ co Geraghty hữu tỉ không gian b2 -metric 11 2.1 Điểm bất động điều kiện co kiểu Geraghty hữu tỉ loại I, II, III 11 2.2 Kết sử dụng hàm so sánh 24 2.3 Kết ánh xạ co yếu hầu tổng quát 31 KẾT LUẬN 39 Tài liệu tham khảo 40 iii MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Năm 1973, M A Geraghty [5] nghiên cứu điểm bất động không gian metric loại ánh xạ đặc biệt, gọi ánh xạ kiểu Geraghty, mở rộng nguyên lý ánh xạ co Banach Vào năm 2014, Z Mustafa [6] giới thiệu khơng gian b2 -metric, tổng qt hóa hai khơng gian 2-metric b-metric Từ người ta bắt đầu quan tâm nghiên cứu điểm bất động loại không gian đạt nhiều kết quan trọng Gần có nhiều tác giả đạt số kết điểm bất động điều kiện co khác không gian b2 -metric, có điều kiện kiểu Geraghty, điều kiện có sử dụng hàm so sánh điều kiện co yếu hầu tổng quát Năm 2019, R.Jala; Shahkoohi and Z Bagheri [9] định nghĩa khái niệm ánh xạ (ψ, ϕ)s,a -co hầu tổng quát đạt số kết điểm bất động ánh xạ kiểu Các kết đạt mở rộng kết Ciric cộng [2] không gian b2 -metric Theo hướng nghiên cứu này, chọn đề tài: “Định lí điểm bất động ánh xạ co Geraghty hữu tỉ không gian b2 -metric” Ý nghĩa thời sự: Đề tài có ý nghĩa thời sự, nhiều nhà tốn học ngồi nước quan tâm nghiên cứu Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Mục đích luận văn nghiên cứu trình bày số kết điểm bất động ánh xạ co kiểu Geraghty suy rộng không gian b2 -metric Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp giải tích hàm Bố cục luận văn Nội dung đề tài viết chủ yếu dựa tài liệu [6] [9], gồm 41 trang, có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày lại số khái niệm, ví dụ khơng gian b-metric, khơng gian 2-metric, không gian b2 -metric Sự hội tụ không gian b2 -metric Định nghĩa ánh xạ co kiểu Geraghty suy rộng loại I, II, III, hàm so sánh, ánh xạ co yếu hầu tổng quát để phục vụ cho việc nghiên cứu chương Chương 2: Là nội dung đề tài, trình bày số kết điểm bất động ánh xạ co kiểu Geraghty suy rộng loại I, II, III Một số kết sử dụng hàm so sánh, số kết ánh xạ co yếu hầu tổng qt Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt Chương Các kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian b2-metric Định nghĩa 1.1.1 ([1]) Cho X tập không rỗng s ≥ số thực Một hàm d : X × X → R+ gọi b-metric X với x, y, z ∈ X, điều kiện sau thỏa mãn: (b1 ) d(x, y) = ⇔ x = y, (b2 ) d(x, y) = d(y, x), (b3 ) d(x, z) ≤ s[d(x, y) + d(y, z)] Cặp (X, d) gọi không gian b-metric Định nghĩa 1.1.2 ([4]) Cho X tập không rỗng d : X → R ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau: (1) Với cặp điểm phân biệt x, y ∈ X, tồn điểm z ∈ X cho d(x, y, z) = (2) Nếu có hai ba điểm x, y, z trùng nhau, d(x, y, z) = (3) Tính đối xứng: d(x, y, z) = d(x, z, y) = d(y, x, z) = d(y, z, x) = d(z, x, y) = d(z, y, x), với x, y, z ∈ X (4) Bất đẳng thức hình hộp chữ nhật: d(x, y, z) ≤ d(x, y, t) + d(y, z, t) + d(z, x, t), với x, y, z, t ∈ X Khi d gọi 2-metric tập X cặp (X, d) gọi không gian 2-metric Năm 2014, Mustafa cộng [6] giới thiệu cấu trúc không gian metric tổng quát, gọi không gian b2 -metric, tổng qt hóa khơng gian 2-metric Định nghĩa 1.1.3 ([6]) Cho X tập không rỗng, s ≥ số thực d : X → R ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau: (1) Với cặp điểm phân biệt x, y ∈ X, tồn điểm z ∈ X cho d(x, y, z) = (2) Nếu có hai ba điểm x, y, z trùng nhau, d(x, y, z) = (3) Tính đối xứng: d(x, y, z) = d(x, z, y) = d(y, x, z) = d(y, z, x) = d(z, x, y) = d(z, y, x), với x, y, z ∈ X (4) Bất đẳng thức kiểu hình hộp chữ nhật: d(x, y, z) ≤ s[d(x, y, t) + d(y, z, t) + d(z, x, t)], với x, y, z, t ∈ X Khi d gọi b2 -metric X (X, d) gọi không gian b2 -metric với tham số s Ví dụ 1.1.4 Cho X = [0, +∞) d(x, y, z) = [xy + yz + zx]p x = y = z = x, d(x, y, z) = trường hợp khác, p ≥ số thực Khi (X, d) khơng gian b2 -metric với s = 3p−1 Ví dụ 1.1.5 Cho d : R3 → [0, +∞) ánh xạ xác định d(x, y, z) = min{|x − y|, |y − z|, |z − x|} Khi d 2-metric R dp (x, y, z) = [ min{|x − y|, |y − z|, |z − x|}]p , b2 -metric R với s = 3p−1 Định nghĩa 1.1.6 Một quan hệ hai tập X gọi quan hệ thứ tự phận thỏa mãn ba tính chất: phản xạ, phản đối xứng bắc cầu Kí hiệu quan hệ thứ tự phận x y y x ta nói hai phần tử x y so sánh với Tập X khác rỗng, có quan hệ thứ tự phận gọi tập thứ tự phận kí hiệu (X, ) Định nghĩa 1.1.7 Cho X tập khác rỗng Khi (X, d, ) gọi không gian b2 -metric thứ tự phận d b2 -metric tập thứ tự phận (X, ) Định nghĩa 1.1.8 Cho X tập thứ tự Một phần tử a ∈ X gọi phần tử bé X a x với x ∈ X Tập X gọi tập thứ tự tốt phận khác rỗng có phần tử bé Định nghĩa 1.1.9 Cho (X, ) tập thứ tự phận f : X → X tự ánh xạ Ánh xạ f gọi không giảm với x, y ∈ X, x y ⇒ f x f y 1.2 Sự hội tụ không gian b2-metric Định nghĩa 1.2.1 ([6]) Cho {xn } dãy không gian b2 -metric (X, d) M (xmi , xni −1 , a)   d(x ,f x ,a)d(x ,f x ,a)   mi mi ni −1 ni −1    d(xmi , xni −1 , a),  , 1+d(f xmi ,f xni −1 ,a) = max d(xmi ,f xmi ,a)d(xni −1 ,f xni −1 ,a)       1+d(xmi ,xni −1 ,a)   d(x ,a,x )d(x ,a,x )   m n m +1 n −1 i i   i i  d(xmi , xni −1 , a),  , 1+d(xmi +1 ,xni ,a) = max d(xmi ,xmi +1 ,a)d(xni −1 ,xni ,a)       1+d(xmi ,xni −1 ,a) lim sup M (xmi , xni −1 , a) ≤ ε i→∞ Bây giờ, từ (2.10) ta có sd(xmi +1 , xni , a) = sd(f xmi , f xni −1 , a) ≤ sα(d(xmi , xni −1 , a))d(f xmi , f xni −1 , a)ψ(M (xmi , xni −1 , a)) Một lần nữa, từ (2.12) cho i → ∞, ta nhận ε=s ε ≤ s lim sup d(xmi +1 , xni , a) s i→∞ ≤ s lim sup α(xmi , xni −1 , a)d(f xmi , f xni −1 , a) i→∞ ≤ ψ(ε) < ε điều mâu thuẫn Vậy {xn } dãy b2 -Cauchy X Do đó, dãy {xn } b2 -hội tụ đến z ∈ X, tức là, limn d(xn , z, a) = với a ∈ X Bước III: Bây ta z điểm bất động f Sử dụng bất đẳng thức hình chữ nhật, ta d(z, f z, a) ≤ sd(z, f z, f xn ) + sd(f xn , f z, a) + sd(f xn , z, a) Cho n → ∞ sử dụng tính liên tục f, ta d(z, f z, a) ≤ Do đó, ta có f z = z Vậy z điểm bất động f 27 Ví dụ 2.2.2 Cho X = [0, +∞) d(x, y, z) = [xy + yz + zx]2 x = y = z = x, d(x, y, z) = trường hợp cịn lại Khi d b2 -metric X với hệ số s > Xét ánh xạ f : X → X xác định f (x) = 14 ln(x + 1) hàm ψ ∈ Ψ xác định ψ(t) = 14 t, t ≥ Dễ thấy f hàm tăng ≤ f (0) = Với cặp x, y ∈ X so sánh với nhau, sử dụng định lí giá trị trung bình, ta có d(f x, f y, a) = ln(x + 1) 41 ln(y + 1) + 14 ln(y + 1)a + 41 ln(x + 1)a ≤ 41 [xy + ya + ax]2 ≤ 14 d(x, y, a) = ψ(d(x, y, a)) ≤ ψ(M (x, y, a)) Theo Định lí 2.2.1, f có điểm bất động Định lí 2.2.3 ([9]) Với giả thiết Định lí 2.2.1, bỏ qua tính b2 -liên tục f Giả sử dãy {xn } X với α(xn , xn+1 , a) ≥ n ∈ N ∪ {0} xn → x n → +∞, ta có α(xn , x, a) ≥ với n ∈ N ∪ {0} Khi f có điểm bất động Chứng minh Theo chứng minh Định lí 2.2.1, ta xây dựng dãy tăng {xn } X cho xn → z ∈ X Bây giờ, ta z = f z Theo (2.10), ta có sd(f z, xn , a) = sd(f z, f xn−1 , a) (2.13) ≤ sα(z, xn−1 , a)d(f z, f xn−1 , a)ψ(M (z, xn−1 , a)), M (z, xn−1 , a) = max        d(z, xn−1, a), d(z,f z,a)d(xn−1,f xn−1,a) ,  1+d(f z,f xn−1 ,a)    d(z,f z,a)d(xn−1 ,f xn−1 ,a) 1+d(z,xn−1 ,a)    Cho n → ∞, ta nhận lim sup M (z, xn−1 , a) = n→∞ 28 (2.14) Lấy giới hạn n → ∞ (2.13) sử dụng Bổ đề 1.2.4 (2.14) ta nhận s d(z, f z, a) ≤ s lim sup d(xn , f z, a) s n→∞ ≤ s lim sup α(xn−1 , z, a)d(xn , f z, a) n→∞ ≤ lim sup ψ(M (z, xn−1 , a)) = n→∞ Suy d(z, f z, a) = 0, tức là, f z = z Hệ 2.2.4 Cho (X, d) không gian b2 -metric đầy đủ, f : X → X ánh xạ α : X × X × X → [0, ∞) hàm cho f 2-α-chấp nhận giả sử sα(x, y, a)d(f x, f y, a) ≤ rM (x, y, a), ≤ r < M (x, y, a) = max d(x, y, a), d(x, f x, a)d(y, f y, a) d(x, f x, a)d(y, f y, a) , + d(x, y, a) + d(f x, f y, a) Giả sử với x, y, a ∈ X (i) f liên tục, hoặc, (ii) Nếu {xn } dãy cho xn → x n → ∞ α(xn , xn+1 , a) ≥ 1, α(xn , x, a) ≥ Nếu tồn x0 ∈ X cho α(x0 , f x0 , a) ≥ 1, f có điểm bất động Hệ 2.2.5 ([10]) Cho (X, ) tập thứ tự phận giả sử tồn b2 -metric d X cho (X, d) không gian b2 -metric đầy đủ Cho f : X → X ánh xạ tăng cho tồn phần tử x0 ∈ X với x0 f (x0 ) Giả sử sd(f x, f y, a) ≤ β(d(x, y, a))M (x, y, a), M (x, y, a) = max d(x, y, a), d(x, f x, a)d(y, f y, a) d(x, f x, a)d(y, f y, a) , + d(x, y, a) + d(f x, f y, a) Giả sử 29 (i) f liên tục, (ii) Nếu {xn } dãy không giảm cho xn → x n → ∞, x f x Khi f có điểm bất động Lấy β(t) = r, ≤ r < 1s , ta có hệ sau Hệ 2.2.6 ([10]) Cho (X, ) tập thứ tự phận giả sử tồn b2 -metric d X cho (X, d) không gian b2 -metric đầy đủ Cho f : X → X ánh xạ tăng cho tồn phần tử x0 ∈ X với x0 f (x0 ) Giả sử sd(f x, f y, a) ≤ rM (x, y, a), M (x, y, a) = max d(x, y, a), d(x, f x, a)d(y, f y, a) d(x, f x, a)d(y, f y, a) , + d(x, y, a) + d(f x, f y, a) Giả sử (i) f liên tục, (ii) Nếu {xn } dãy không giảm cho xn → x n → ∞, x f x Khi f có điểm bất động Hệ 2.2.7 ([10]) Cho (X, ) tập thứ tự phận giả sử tồn b2 -metric d X cho (X, d) không gian b2 -metric đầy đủ Cho f : X → X ánh xạ tăng cho tồn phần tử x0 ∈ X với x0 f (x0 ) Giả sử sd(f x, f y, a) ≤ αd(x, y, a)+β d(x, f x, a)d(y, f y, a) d(x, f x, a)d(y, f y, a) +γ , + d(x, y, a) + d(f x, f y, a) với x, y, a ∈ X, α, β, γ ≥ ≤ α + β + γ < 1s Giả sử (i) f liên tục, hoặc, (ii) Nếu {xn } dãy không giảm cho xn → x n → ∞, x f x Khi f có điểm bất động Hệ 2.2.8 ([10]) Cho (X, ) tập thứ tự phận giả sử tồn b2 -metric d X cho (X, d) không gian 30 b2 -metric đầy đủ Cho f : X → X ánh xạ tăng tồn phần tử x0 ∈ X với x0 f (x0 ) Giả sử cho sd(f x, f y, a) ≤ ψ(M (x, y, a)), M (x, y, a) = max d(x, y, a), d(x, f x, a)d(y, f y, a) d(x, f x, a)d(y, f y, a) , + d(x, y, a) + d(f x, f y, a) Giả sử (i) f liên tục, (ii) Nếu {xn } dãy không giảm cho xn → x n → ∞, x f x Khi f có điểm bất động 2.3 Kết ánh xạ co yếu hầu tổng quát Định lí 2.3.1 ([9]) Cho (X, ) tập thứ tự phận giả sử tồn b2 -metric d X cho (X, d) không gian b2 -metric đầy đủ Cho f : X → X ánh xạ liên tục, không giảm Giả sử f thỏa mãn điều kiện (1.9), với x, y, a ∈ X, x, y so sánh với Nếu tồn x0 ∈ X cho x0 f x0 , f có điểm bất động Chứng minh Bắt đầu với x0 cho, ta định nghĩa dãy {xn } ⊂ X cho xn+1 = f xn , với n ≥ Vì x0 f x0 = x1 f khơng giảm, nên ta có x1 = f x0 x2 = f x1 , qui nạp ta x0 x1 ··· xn xn+1 ··· Nếu xn = xn+1 với n ∈ N đó, xn = f xn xn điểm bất động f Vậy, ta giả sử xn = xn+1 , với n ∈ N Theo (1.9), ta có ψ(d(xn , xn+1 , a)) ≤ ψ(sd(xn , xn+1 , a)) = ψ(sd(f xn−1 , f xn , a)) ≤ ψ(Ma (xn−1 , xn )) − ϕ(Ma (xn−1 , xn )) + Lψ(Na (xn−1 , xn )), 31 (2.15) Ma (xn−1 , xn ) = max = max     d(xn−1, xn    , a), d(xn−1,f xn−1,a)d(xn,f xn,a) ,  1+d(f xn−1 ,f xn ,a)    d(xn−1 ,f xn−1 ,a)d(xn ,f xn ,a) 1+d(xn−1 ,xn ,a)     d(x , x , a), d(xn−1,xn,a)d(xn,xn+1,a) ,        d(xn−1 ,f xn−1 ,a)d(xn ,f xn ,a)    n−1 n 1+d(xn ,xn+1 ,a) 1+d(xn−1 ,xn ,a)    ≤ max{d(xn−1 , xn , a), d(xn , xn+1 , a)} Nếu max{d(xn−1 , xn , a), d(xn , xn+1 , a)} = d(xn , xn+1 , a), Na (xn−1 , xn )    d(xn−1 , f xn−1 , a), d(xn−1 , f xn , a),  =  d(x , f x , a), d(x , f x , a)  n n−1 n (2.16) n = min{d(xn−1 , xn , a), d(xn−1 , xn+1 , a), 0, d(xn , xn+1 , a)} = 0, từ (2.15)-(2.16) tính chất ψ ϕ, ta nhận ψ(d(xn , xn+1 , a)) d(xn−1 , f xn−1 , a)d(xn , f xn , a) ≤ ψ max d(xn−1 , xn , a), + d(xn−1 , xn , a)      d(xn−1 , xn , a), d(xn−1 ,f xn−1 ,a)d(xn ,f xn ,a) ,  1+d(f xn−1 ,f xn ,a) − ϕ max  d(x ,f x ,a)d(x ,f x ,a) n n  n−1 n−1  1+d(xn−1 ,xn ,a)  (2.17)         d(xn−1 , f xn−1 , a)d(xn , f xn , a) , + d(f xn−1 , f xn , a) d(xn−1 , f xn−1 , a)d(xn , f xn , a) + d(xn−1 , xn , a) max d(xn−1 , xn , a), < max{d(xn−1 , xn , a), d(xn , xn+1 , a)} 32 Khi theo (2.17) ta có max{d(xn−1 , xn , a), d(xn , xn+1 , a)} = d(xn , xn+1 , a), ψ(d(xn , xn+1 , a)) < ψ(d(xn , xn+1 , a)), điều mâu thuẫn Nếu max{d(xn−1 , xn , a), d(xn , xn+1 , a)} = d(xn−1 , xn , a), ψ(d(xn , xn+1 , a)) < ψ(d(xn−1 , xn , a)) Do đó, {d(xn , xn+1 , a) : n ∈ N ∪ {0}} dãy không giảm số dương Từ đó, tồn r ≥ cho lim d(xn , xn+1 , a) = r n Cho n → ∞ (2.17), ta ψ(r) ≤ ψ max r, r.r r.r , 1+r 1+r − ϕ max r, r.r r.r , 1+r 1+r ≤ ψ(r) Suy ϕ max r, r.r r.r , 1+r 1+r = 0, suy r = Vậy, ta có lim d(xn , xn+1 , a) = 0, n (2.18) với a ∈ X Tiếp theo, ta {xn } dãy b2 -Cauchy X Thật vậy, giả sử {xn } không dãy b2 -Cauchy Khi tồn a ∈ X ε > mà ta tìm hai dãy {xmi } {xni } {xn } cho ni số nhỏ mà ni > mi > i, d(xmi , xni , a) ≥ ε (2.19) Điều có nghĩa d(xmi , xni −1 , a) < ε (2.20) Sử dụng (2.20) lấy giới hạn i → ∞, ta lim sup d(xmi , xni −1 , a) ≤ ε n→∞ 33 (2.21) Mặt khác, ta có d(xmi , xni , a) ≤ sd(xmi , xni , xmi +1 ) + sd(xni , a, xmi +1 ) + sd(a, xmi , xmi +1 ) Sử dụng (2.18), (2.19) lấy giới hạn i → ∞, ta ε ≤ lim sup d(xmi +1 , xni , a) s n→∞ (2.22) Sử dụng bất đẳng thức hình chữ nhật, ta có d(xmi +1 , xni −1 , a) ≤ sd(xmi +1 , xni −1 , xmi )+sd(xni −1 , a, xmi )+sd(a, xmi +1 , xmi ), d(xmi , xni , a) ≤ sd(xmi , xni , xni −1 ) + sd(xni , a, xni −1 ) + sd(a, xmi , xni −1 ) Lấy giới hạn i → ∞ bất đẳng thức trên, sử dụng (2.18) (2.21), ta nhận lim sup d(xmi +1 , xni −1 , a) ≤ εs (2.23) n→∞ Tương tự, lấy giới hạn i → ∞ bất đẳng thức thứ hai trên, sử dụng (2.18) (2.20), ta lim sup d(xmi , xni , a) ≤ εs (2.24) n→∞ Từ (1.9), ta có ψ(sd(xmi +1 , xni , a)) = ψ(sd(f xmi , f xni −1 , a)) ≤ ψ(Ma (xmi , xni −1 )) − ϕ(Ma (xmi , xni −1 )) (2.25) + Lψ(Na (xmi , xni −1 )), Ma (xmi , xni −1 )   d(x ,f x ,a)d(x ,f x ,a)   mi mi ni −1 ni −1    d(xmi , xni −1 , a),  , 1+d(xmi ,xni −1 ) = max d(xmi ,f xmi ,a)d(xni −1 ,f xni −1 ,a)       1+d(f xmi ,f xni −1 )   d(x ,x ,a)d(x ,x ,a)   mi mi +1 ni −1 ni   d(xmi , xni −1 , a),  , 1+d(xmi ,xni −1 ) = max d(xmi ,xmi +1 ,a)d(xni −1 ,xni ,a)       1+d(xmi +1 ,xni ) 34 (2.26)    d(xm , f xm , a), d(xm , f xn −1 , a),  i i i i Na (xmi , xni −1 ) =  d(x  ni −1 , f xmi , a), d(xni −1 , f xni −1 , a) (2.27)    d(xm , xm +1 , a), d(xm , xn , a),  i i i i = =0  d(x ,x , a), d(x , x , a)  ni −1 mi +1 ni −1 ni Lấy giới hạn i → ∞ (2.26) (2.27) sử dụng (2.18), (2.21), (2.23) (2.24), ta nhận lim sup Ma (xmi −1 , xni −1 ) = max lim sup d(xmi , xni −1 , a), 0, n→∞ ≤ ε n→∞ Vậy ta có lim sup Ma (xmi −1 , xni −1 ) ≤ ε (2.28) lim sup Na (xmi , xni −1 ) = (2.29) n→∞ n→∞ Bây giờ, lấy giới hạn i → ∞ (2.24) sử dụng (2.22), (2.28) (2.29) ta có ψ s· ε ≤ ψ s lim sup d(xmi +1 , xni , a) s n→∞ ≤ ψ lim sup Ma (xmi , xni −1 ) − lim inf ϕ (Ma (xmi , xni −1 )) n→∞ n→∞ ≤ ψ(ε) − ϕ lim inf Ma (xmi , xni −1 ) , n→∞ điều kéo theo ϕ lim inf Ma (xmi , xni −1 ) = n→∞ Do lim inf Ma (xmi , xni −1 ) = 0, điều mâu thuẫn với (2.19) Vậy n→∞ {xn+1 = f xn } dãy b2 -Cauchy X Vì X khơng gian b2 -đầy đủ, nên tồn u ∈ X cho xn → u n → ∞, tức là, lim xn+1 = lim f xn = u n n 35 Bây giờ, giả sử f liên tục Sử dụng bất đẳng thức hình chữ nhật, ta d(u, f u, a) ≤ sd(u, f u, f xn ) + sd(f u, a, f xn ) + sd(a, u, f xn ) Cho n → ∞ ta d(u, f u, a) ≤ s lim d(u, f u, f xn ) + s lim d(f u, a, f xn ) + s lim d(a, u, f xn ) n→∞ n→∞ n→∞ = Suy f u = u Do đó, u điểm bất động f Định lí 2.3.2 ([9]) Với giả thiết Định lí 2.3.1, bỏ qua tính liên tục f Giả sử với {xn } dãy khơng giảm X cho xn → x ∈ X, có xn x, với n ∈ N Khi f có điểm bất động X Chứng minh Bằng cách tương tự chứng minh Định lí 2.3.1, ta xây dựng dãy tăng {xn } X cho xn → u, với u ∈ X Sử dụng giả thiết X, ta có xn u, với n ∈ N Ta f u = u Theo (1.9), ta có ψ(sd(xn+1 , f u, a)) (2.30) = ψ(sd(f xn , f u, a)) ≤ ψ(Ma (xn , u)) − ϕ(Ma (xn , u)) + Lψ(Na (xn , u)), Ma (xn , u) d(xn , f xn , a)d(u, f u, a) d(xn , f xn , a)d(u, f u, a) , + d(xn , u, a) + d(f xn , f u, a) d(xn , xn+1 , a)d(u, f u, a) d(xn , xn+1 , a)d(u, f u, a) , , = max d(xn , u, a), + d(xn , u, a) + d(xn+1 , f u, a) = max d(xn , u, a), Na (xn , u) = min{d(xn , f xn , a), d(xn , f u, a), d(u, f xn , a), d(u, f u, a)} = min{d(xn , xn+1 , a), d(xn , f u, a), d(u, xn+1 , a), d(u, f u, a)}, 36 (2.31) Na (xn , u) → 0, Ma (xn , u) → Lấy giới hạn i → ∞ (2.30) sử dụng Bổ đề 1.2.4 (2.31), ta ψ(d(u, f u, a)) = ψ s · d(u, f u, a) s ≤ ψ s lim sup d(xn+1 , f u, a) n→∞ ≤ ψ lim sup Ma (xn , u) − lim inf ϕ(Ma (xn , u)) n→∞ n→∞ Do đó, ψ(d(u, f u, a)) = 0, suy d(u, f u, a) = Cho n → ∞, ta nhận d(u, f u, a) ≤ s lim d(u, f u, f xn )+s lim d(f u, a, f xn )+s lim d(a, u, f xn ) = n n n→∞ Do f u = u Vậy u điểm bất động f Hệ 2.3.3 Cho (X, ) tập thứ tự phận giả sử tồn b2 -metric d X cho (X, d) không gian b2 -metric đầy đủ Cho f : X → X ánh xạ liên tục không giảm Giả sử tồn k ∈ [0, 1) L ≥ cho d(f x, f y, a) ≤ k d(x, f x, a)d(y, f y, a) d(x, f x, a)d(y, f y, a) max d(x, y, a), , s + d(x, y, a) + d(f x, f y, a) L + min{d(x, f x, a), d(y, f x, a)}, s với x, y, a ∈ X x, y so sánh với Nếu tồn x0 ∈ X cho x0 f x0 , f có điểm bất động Chứng minh Kết suy từ Định lí 2.3.1 cách lấy ψ(t) = t ϕ(t) = (1 − k)t, với t ∈ [0, +∞) Ví dụ 2.3.4 Cho X = [0, +∞) d(x, y, z) = [xy + yz + zx]2 x = y = z = x, d(x, y, z) = trường hợp cịn lại Khi d b2 -metric X với hệ số s > Xét ánh xạ f : X → X xác định 37 f (x) = 16 xe−x hàm β xác định β(t) = 14 Định nghĩa ánh xạ α : X × X × X → [0, ∞) sau   x y y x α(x, y, a) =  trường hợp khác Vì x0 f (x0 ), nên theo định nghĩa α, ta có α(x0 , f x0 , a) ≥ với a ∈ X Nếu α(x, y, a) ≥ 1, ta kết luận x y y x Vì f khơng giảm, nên ta suy f x f y f y f x Theo định nghĩa α, ta có α(f x, f y, a) ≥ Vậy, f 2-α-chấp nhận Vì f liên tục, nên điều kiện Hệ 2.3.3 xảy f có điểm bất động, dễ thấy f hàm tăng ≤ f (0) = Với x, y ∈ X so sánh với nhau, sử dụng định lí giá trị trung bình, ta có d(f x, f y, a) = ≤ −x2 −y 16 xe 16 ye 16 [xy + −y a 16 y e + −x2 a 16 xe + ya + ax]2 ≤ 18 d(x, y, a) ≤ 41 d(x, y, a) = β(d(x, y, a))d(x, y, a) ≤ β(d(x, y, a))M (x, y, a) Vậy, theo Định lí 2.1.1, f có điểm bất động 38 KẾT LUẬN Luận văn trình bày: - Một số khái niệm, ví dụ khơng gian b-metric, khơng gian 2-metric, không gian b2 -metric Sự hội tụ không gian b2 -metric Định nghĩa ánh xạ co kiểu Geraghty suy rộng loại I, II, III, hàm so sánh, ánh xạ co yếu hầu tổng quát Giới thiệu ánh xạ co Geraghty cổ điển mở rộng Mustafa ánh xạ kiểu Geraghty - Một số kết điểm bất động ánh xạ co kiểu Geraghty suy rộng loại I, II, III (Định lí 2.1.1, Định lí 2.1.2, Định lí 2.1.3 Định lí 2.1.4) - Một số kết điểm bất động sử dụng hàm so sánh (Định lí 2.2.1, Định lí 2.2.3 Hệ 2.2.4, 2.2.5, 2.2.6, 2.2.7, 2.2.8) - Một số kết ánh xạ co yếu hầu tổng quát (Định lí 2.3.1 Định lí 2.3.2 Hệ 2.3.3) 39 Tài liệu tham khảo [1] Czerwik, S., (1993),“Contraction mappings in b-metric space”, Acta Math Inf Univ Ostrav., 1, pp 5-11 [2] Ciri c, L., Abbas, M., Saadati, R., Hussain, N., (2011), “Common fixed points of almost generalized contractive mappings in ordered metric spaces”, Applied Math Comput., 217, pp 5784-5789 [3] Duki c, D., Kadelburg, Z., Radenovi c, S., (2011), “Fixed points of Geraghty-type mappings in various generalized metric spaces”,Abstr Appl Anal., Article ID 561245, 13 pages [4] Ga ăhler, V.S., (1963/1964), 2-metrische Raăume und ihre topologische Struktur, Math Nachr., 26, pp 115-118 [5] Geraghty, M., (1973), “On contractive mappings”, Proc Amer Math Soc., 40 pp 604-608 [6] Mustafa, Z., Parvaneh, V., Roshan, J.R., Kadelburg, Z (2014), “b2Metric spaces and some fixed point theorems”, Fixed Point Theory Appl [7] Roshan J.R., Parvaneh, V., Sedghi, S., Shobkolaei, N., Shatanawi, W., (2013), “Common fixed points of almost generalized (ψ, ϕ)s − contractive mappings in ordered b-metric spaces”, Fixed Point Theory Appl., 2013:159 [8] Shahkoohi R.J., Razani, A., (2014), “Some fixed point theorems for rational Geraghty contractive mappings in ordered b-metric spaces”, J Inequal Appl., 2014:373 40 [9] Shahkoohi, R.J., Bagheri, Z., (2019), “Rational Geraghty contractive mappings and fixed point theorems in ordered b2 -metric spaces”, Saha Comm in Math Anal (SCMA) Vol 13 No 1, 179-212 [10] Zabihi, F., A.Razani, A., (2014), “Fixed point theorems for Hybrid Rational Geraghty contractive mappings in ordered b-metric spaces”, Journal of Applied Mathematics, Article ID 929821, pages 41 ... y)) + Lψ(Na (x, y)), với x, y, a ∈ X 10 (1.9) Chương Định lí điểm bất động ánh xạ co Geraghty hữu tỉ không gian b2- metric 2.1 Điểm bất động điều kiện co kiểu Geraghty hữu tỉ loại I, II, III Kết... Chương Định lí điểm bất động ánh xạ co Geraghty hữu tỉ không gian b2 -metric 11 2.1 Điểm bất động điều kiện co kiểu Geraghty hữu tỉ loại I, II, III... bất động ánh xạ co kiểu Geraghty suy rộng loại I, II, III (Định lí 2.1.1, Định lí 2.1.2, Định lí 2.1.3 Định lí 2.1.4) - Một số kết điểm bất động sử dụng hàm so sánh (Định lí 2.2.1, Định lí 2.2.3