BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Các bạn cũng có thể tải về tại đây. Có cả File Latex để các bạn tham khảo. file tex đầy đủ đề các bạn tham khảo, chỉnh sửa thoải mái, tham khảo các lênh tex thông thường hay sử dụng khi làm luận văn.
Không gian lồi địa phương
Không gian vector topo
Một topo trênE được gọi làtương thíchvới cấu trúc đại số củaE nếu các phép toán cộng đại số và nhân ngoài
Một không gian vector được gọi là không gian vector topo khi nó kết hợp với một topo tương thích với cấu trúc đại số của nó, trong đó các phép toán như phép cộng và phép nhân với số vô hướng là liên tục theo topo này.
Không gian lồi địa phương
Một không gian lồi địa phương E là không gian vector topo mà tại mỗi điểm P thuộc E có một cơ sở lân cận gồm toàn các tập lồi Định lý 1.1.12 khẳng định rằng nếu P là một họ nửa chuẩn trên không gian vector E, thì tồn tại một topo lồi địa phương yếu nhất trên E để mọi nửa chuẩn trong P đều liên tục Theo định lý 1.1.13, nếu E là không gian lồi địa phương, thì có một họ nửa chuẩn liên tục P trên E sao cho topo sinh bởi P là topo ban đầu, và E sẽ là Hausdorff nếu và chỉ nếu ppxq 0 với mọi p thuộc P kéo theo x0.
Tích tensor xạ ảnh và tích tensor nội xạ
Tích tensor xạ ảnh
Tích tensor xạ ảnh của hai không gian lồi địa phương E và
F được ký hiệu là EbπF, trong khi bao đầy của EbπF theo topo được ký hiệu là EbpπF Nếu U và V là các cơ sở lân cận trong E và F, thì cơ sở lân cận trong EbF sẽ là họ.
B π tΓpU bVq:U PU, V PVu, trong đó ΓpU bVq là bao lồi cân của U bV.
Mệnh đề 1.2.5 ([18]) Cho E, F là các không gian lồi địa phương, U E và V F tương ứng là các lân cận lồi cân
3 củaE, F Khi đó, nửa chuẩn xạ ảnh πU,V kết hợp vớiΓpUbVq trong EbπF được xác định bởi πU,Vpuq inf
Hơn nữa, ta có πU,Vpxbyq pUpxqpVpyq với mọi x PE, mọi yPF.
Tích ε-tensor
Không gian EbF với ε-topo được ký hiệu là EbεF, và EbpεF là bổ sung của EbF theo ε-topo Topo này có một cơ sở gồm các tập.
Mệnh đề 1.2.8 nêu rằng nếu U là lân cận lồi cân của 0 trong không gian PE và V là lân cận lồi cân của 0 trong không gian PF, thì nửa chuẩn nội xạ εU,V trên không gian EbεF kết hợp với U và V được xác định bởi εU,Vpuq sup! với các biến i, x, y, u.
(1.2) Hơn nữa, ta có ε U,V pxbyq p U pxqp V pyq với mọi x P E và yPF.
Giới hạn quy nạp và giới hạn xạ ảnh
Giới hạn quy nạp
Giả sử mỗi uα :Eα ẹE là một ỏnh xạ tuyến tớnh sao cho
Không gian E với topo lồi địa phương mạnh nhất cho phép mọi uα liên tục Khi đó, không gian E cùng với topo này được gọi là giới hạn quy nạp của các không gian lồi địa phương tE α uα P I và các ánh xạ tuyến tính u α.
Một cơ sở U của 0 P E theo topo này được thành lập từ những tập lồi cân U trong E sao cho u α 1 pUq là lân cận của
0PE α với mọi α Nếu giả sử U α là cơ sở lân cận lồi cân của 0 trong Eα với mọi αPI thì một cơ sở lân cận của0PE là họ
B tΓp α P Iu α pV α qq:V α PU α u, trong đóΓp αPIuαpVαqqlà ký hiệu bao lồi cân của αPIuαpVαq trong E.
Giới hạn xạ ảnh
Giả sử mỗi uα : F ẹ Fα là một ỏnh xạ tuyến tớnh và
Topo lồi địa phương yếu nhất trên không gian vector F, cho phép các ánh xạ tuyến tính uα liên tục, được gọi là topo xạ ảnh Không gian vector F kết hợp với topo xạ ảnh này được gọi là giới hạn xạ ảnh của họ tpFα, ταqu và các ánh xạ tuyến tính uα.
Mệnh đề 1.3.8 cho rằng E limindpE α , u α q là giới hạn quy nạp của các không gian lồi địa phương Hausdorff E α Giả sử E α 1 là đối ngẫu của Eα với topo A α -hội tụ Ký hiệu A t α P Iu α pA α q :A α PA α , I hữu hạnu Đối ngẫu E 1 với topo A-hội tụ được xác định là giới hạn xạ ảnh của các E α 1 và các ánh xạ liên hợp u 1 α của u α, tức là rlimindpE α , u α qs 1 limprojpE α 1 , u 1 α q.
Hơn nữa E 1 là không gian Hausdorff.
Một số không gian lồi địa phương quan trọng
Không gian Fréchet và đối ngẫu Fréchet 5
Theo [1], một không gian lồi địa phương metric đầy đủ được gọi là không gian Fréchethay (F)-không gian.
Nếu E và F là các không gian lồi địa phương metric, thì tích tensor EbpπF sẽ tạo thành không gian Fréchet Một không gian lồi địa phương E được gọi là (DF)-không gian hay không gian đối ngẫu Fréchet khi nó thỏa mãn hai tính chất nhất định.
(i) E có hệ cơ sở là dãy gồm toàn các tập bị chặn;
(ii) NếuV E hút mọi tập bị chặn và là giao của dãy các lân cận lồi cân của 0PE thìV cũng là lân cận của 0PE.
Mệnh đề 1.4.9 ([12]) Nếu E vàF là các (DF)-không gian thì
EbπF và EbpπF là các không gian (DF) Nếu tB n u và tD n u là các dãy cơ sở của các tập bị chặn trong E và F, thì dãy tΓpB n bD n qu sẽ trở thành dãy cơ sở của các tập bị chặn trong EbpπF.
Không gian Schwartz và không gian Montel 5
tồn tại lân cận V của 0PE sao cho với mỗiε¡0 tồn tại hữu hạn điểm x 1 , , x n PV để V n i 1px i εUq.
Không gian lồi địa phương E được coi là không gian Schwartz khi và chỉ khi với mỗi không gian định chuẩn F và mỗi APL pE, Fq, tồn tại một lân cận V của 0PE sao cho ApVq hoàn toàn bị chặn trong F.
Theo [11], một không gian nửa Montel có tính phản xạ hoặc có tính thùng hoặc tính tựa thùng được gọi làkhông gian Montel.
Không gian hạch
Một không gian lồi địa phương E được gọi là không gian hạch nếu mọi ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào không gian lồi địa phương F là ánh xạ hạch Đồng thời, không gian lồi địa phương E được xem là đối ngẫu hạch nếu E β 1 là không gian hạch.
Mệnh đề 1.4.15 ([15]) Nếu E là không gian lồi địa phương hạch và F là không gian lồi địa phương tuỳ ý thì
EbεF EbπF,tức là π-topo và ε-topo trùng nhau trên EbF.
Không gian các dãy K¨ othe
Xét một ma trận vô hạnA pai,jqi,j PN thoả mãn
(i)0¤aj,k ¤aj,k 1 với mọij, kPN;
(ii) Với mỗijPNtồn tại kPNsao cho a j,k ¡0.
Với1¤p 8ta xác định không gian các dãy K¨otheΛ p pAq như sau Λ p pAq txPC N : á8 j1 p|xj|aj,kq p 8,@kPNu.
Nếu x px n q P Λ p pAq, y py n q PΛ p pAq và λPK ta xác định các phép toán x y px n y n q và λx pλx n q.
Khi đó Λ p pAqlà một không gian vector metric với cơ sở lân cận của0PΛ p pAq là các tập có dạng
Không gian này trở thành không gian lồi địa phương metric với topo được xác định bởi dãy các nửa chuẩn
Vớip 8ta có Λ 8 pAq txPC N : sup j ¥ 1|x j |a j,k 8,@k¥1u.
Hiển nhiênΛ 8 pAqlà không gian lồi địa phương metric với topo được xác định bởi dãy các nửa chuẩn
Vớip0ta xác định không gian các dãy K¨othe bởi c0pAq txPΛ 8 pAq: lim j ẹ8xjaj,k 0,@kƠ1u.
Không gian này cũng được trang bị topo sinh bởi dãy các nửa chuẩn
Các nửa chuẩn}}ktrên không gian các dãy K¨othe được gọi là các nửa chuẩn chính tắc.
Biểu diễn tensor của không gian các hàm chỉnh hình 9
Không gian các hàm chỉnh hình
Trong mục này, ta luôn giả thiết các không gian lồi địa phương là không gian lồi địa phương phức.
2.1.1 Hàm chỉnh hình - Mầm chỉnh hình
Hàm chỉnh hình là một hàm f : U ẹ F được xác định trong miền U, với điều kiện rằng cho mọi điểm ξ thuộc U, tồn tại một dãy các đa thức thuần nhất Pk thuộc không gian Fpq Đặc biệt, với mọi nửa chuẩn liên tục β thuộc cspFq, luôn có một lân cận V của ξ trong U sao cho giới hạn mlimẹ8sup x P V βrfpxq sẽ tiến tới 0.
Ký hiệuHpU, Fqlà tập hợp tất cả các hàm chỉnh hình từU vào
F; khi F C ta viếtHpUq thay cho HpU,Cq.
Để hàm f :U ẹF chỉnh hỡnh, điều kiện cần và đủ là hàm này phải liên tục (hoặc bị chặn địa phương) Đối với mọi ξ thuộc U, luôn tồn tại một dãy các đa thức thuần nhất P_k thuộc P a p_k E,Fpq, sao cho với mỗi β thuộc cspFq, tồn tại lân cận V của ξ trong U, đảm bảo rằng giới hạn mlimẹ8sup x thuộc V βrfpxq không bằng 0.
Mệnh đề sau đây cho ta biểu diễn vi phân cấp n của hàm chỉnh hình f PHpU, Fqdưới dạng tích phân của f.
Mệnh đề 2.1.3 ([2], Tích phân Cauchy) Cho F tách và f P HpU, Fq, các điểm ξ, x P U và ρ ¡ 0 sao cho ξ λx P U với mọi λPC thoả mãn |λ| ¤ρ Khi đó
Mệnh đề 2.1.4 ([2]) Cho F tách và f P HpU, Fq Nếu α P cspEq, βPcspFq và ξPU, ρ¡0 sao choBα,ρpξq U thì ta có
1 m!dˆ m fpξq α,β ¤ 1 ρ m sup α p x ξ q ρ βrfpxqs với mọi mPN.
NếuE và F là các không gian lồi địa phương vàU E là tập con mở thì để thu được khai triển quanhξ PU cho bởi fpxq á 8 n 0
Trong bài viết này, chúng ta xem xét các hàm chỉnh hình P n pxξq, với x thuộc không gian U và các P n thuộc không gian P Để hàm f là hàm chỉnh hình, cần có điều kiện liên tục cho các P n và chuỗi trên phải thỏa mãn điều kiện φf chỉnh hình Gâteaux với mọi φ thuộc không gian F 1.
Trong không gian U, có 11 điểm hội tụ đều, dẫn đến sự liên tục của hàm f Do đó, một hàm chỉnh hình trên U được định nghĩa là hàm khả vi Gâteaux và liên tục trong không gian này.
ChoE vàF là các không gian lồi địa phương phức và K là tập con compact của E Hai hàm f vàg trên ¤
HpV và Fq được xem là tương đương, ký hiệu là f g, nếu tồn tại một lân cận W của K mà trong đó cả hai hàm f và g đều được xác định và có giá trị bằng nhau, tức là f|W = g|W.
Mỗi phần tử của HpK, Fq được xem như một mầm chỉnh hình trên K Nếu PHpV, Fqv với V mở chứa K, thì ký hiệu f hoặc rfsK đại diện cho lớp tương đương trong HpK, Fq chứa f.
Nếu F là không gian định chuẩn và U là tập con mở của không gian lồi địa phươngE thì ta đặt
H 8 pU, Fq tf PHpU, Fq:}f} }f}U 8u.
Không gian H 8 pU, Fq được xác định là không gian định chuẩn, và nếu F là không gian Banach, thì H 8 pU, Fq sẽ là không gian đầy đủ Dựa trên lớp tương đương này, chúng ta có thể định nghĩa không gian các mầm chỉnh hình bị chặn trên K với giá trị trong F.
2.1.2 Không gian hàm chỉnh hình và mầm chỉnh hình
Trong bài viết này, chúng tôi định nghĩa một số topo phổ biến trên không gian các hàm chỉnh hình HpU, Fq Định nghĩa 2.1.2 nêu rõ rằng, với các không gian lồi địa phương E, F và tập con mở U, topo compact mở τ 0 trên HpU, Fq được sinh bởi các nửa chuẩn p α,K pfq: }f}α,K sup x P K αpfpxqq, trong đó K chạy qua các tập con compact của U và α là các nửa chuẩn liên tục trên F Định nghĩa 2.1.3 chỉ ra rằng, nửa chuẩn p trên HpU, Fq chuyển qua bởi tập con compact K của U nếu với mỗi tập mở V, KV U, tồn tại cpVq ¡0 sao cho ppfq ¤cpVq}f}V cho mọi f P HpU, Fq Cuối cùng, topo τω trên HpU, Fq là topo được sinh bởi các nửa chuẩn p chuyển qua bởi các tập con compact của U.
Nếu E và F là các không gian lồi địa phương phức, và U là tập con mở của E, thì topo Nachbin τ ω trên không gian HpU, Fq được định nghĩa thông qua giới hạn của xạ ảnh rHpU, Fq Cụ thể, giới hạn này được xác định bởi lim proj α P cs p F qrHpU, F α q, τ ω, trong đó cspFq là họ nửa chuẩn liên tục trên F và Fα là không gian Banach tương ứng với α.
Trong không gian lồi địa phương E, cho U là tập con mở và F là không gian định chuẩn, nửa chuẩn p trên HpU, Fq được gọi là τ δ liên tục nếu với mỗi dãy tăng tV n u 8 n 1 của các phủ mở của U, tồn tại số dương n0 và c¡0 sao cho ppfq ¤c}f}V n 0 Topo τ δ trên HpU, Fq là topo lồi địa phương được sinh bởi họ nửa chuẩn τδ-liên tục.
Trong không gian lồi địa phương F, ta định nghĩa rHpU, Fq và τδs limproj α P cs p F qrHpU, Fαq, τδs Định nghĩa 2.1.5 ([8]) chỉ ra rằng nếu U là tập con mở cân của không gian lồi địa phương E và F là không gian Banach, thì ký hiệu τ b là topo trên HpU, Fq được sinh bởi họ nửa chuẩn p.
(2.6) với mọi f ° 8 n 0 d p n f p 0 q n! PHpU, Fq trong đó tB n un chạy trên dãy các tập con bị chặn của U hội tụ tới tập con compact của
U NếuF là không gian lồi địa phương tuỳ ý thì ta định nghĩa rHpU, Fq, τ b s limproj α P cs p F qrHpU, Fαq, τ b s (2.7) trong đó cspFq là họ các nửa chuẩn liên tục trên F và Fα là không gian Banach kết hợp với α.
NếuHpK, Fqlà không gian các mầm chỉnh hình thì ta định nghĩa topo tự nhiên trên HpK, Fq bởi rHpK, Fq, τs limind
Ký hiệuGpUq là không gian các dạng tuyến tínhτ 0 -liên tục trên các tập con bị chặn địa phương của HpUq Dễ thấy rằng
GpUq với topo hội tụ đều trên các tập con bị chặn địa phương của HpUq tạo thành một không gian lồi địa phương Đồng thời, chúng tôi cũng chứng minh rằng họ hàm Delta - Dirac δx:xPUu sinh ra không gian con trù mật trong GpUq.
Ký hiệu δ U : U ẹ GpUq cho bởi δ U pxq δ x thỡ với mỗi f PHpU, Fq luôn tồn tại duy nhất ánh xạ tuyến tính liên tục
J F f PLpGpUq, Fq sao cho δ U pJ F fq f Ánh xạ này thiết lập một đẳng cấu giữaHpU, Fq vàLpGpUq, Fq, tức là
Khi đó, topoβ trên HpU, Fq LpGpUq, Fq được định nghĩa là topo hội tụ đều trên các tập con bị chặn của GpUq.
Từ các định nghĩa và mô tả về các topo, ta có mối quan hệ thứ tự giữa các topo trên không gian HpU, Fq là τ 0 ¤τ ω ¤τ δ và τ 0 ¤τ b ¤β ¤τ δ Hơn nữa, τ 0 và τ b tương đương với việc El là không gian nửa Montel.
Các topo τ 0 , τ b và τ ω trên không gian các đa thức n-thuần nhất liên tục Pp n E, Fq cũng được định nghĩa tương tự Nếu ký hiệu  n,s,π
E là tích tensor xạ ảnh đối xứng n lần của E thì ta thiết lập được đẳng cấu
Hơn nữa, với A là tập con củaE ta có
Bq:B bị chặn trongEu thì ta thu được rPp n Eq, τs p yâ n,s,π
Eq 1 B τ với τ P tτ0, τbu, trong đó p y n,s,πEq 1 B τ được hiểu là không gian p y n,s,π
Eq 1 với topo hội tụ đều trên các tập trongB τ Đối với topo τ ω trên Pp n E, Fq ta có rPp n Eq, τ ω s limind
V P U P V p n Eq trong đó P V p n Eq : tP PPp n Eq :}P}V 8u tP PPp n Eq: }P} Γ p  n,s
Topo mạnh β trên Pp n Eq được định nghĩa là topo hội tụ đều trên các tập con bị chặn của y n,s,π
E Từ đó, dễ thấy rằng τb ¤β trên Pp n Eq và τb β trên Pp n Eq khi và chỉ khi E có pBBqn-tính chất, tức là họ các tập có dạng Γp n,s
Bq với B là tập bị chặn trong E tạo thành cơ sở các tập bị chặn trong tích tensor xạ ảnh đối xứng y n,s,π
Từ các định nghĩa và mô tả về các topo ở trên, ta có τ0 ¤ τ b ¤β ¤τ ω trên Pp n Eq với mọin.
Một số ứng dụng 17
Luật mũ với các topo τ 0 , τ ω
Trong nghiên cứu này, chúng tôi xem xét các đồng nhất thức được gọi là luật mũ Theo Định lý 3.1.1, nếu U và V là các tập con cân mở của các không gian Fréchet E và F, thì với τ P tτ 0 , τ ω u, có thể xác định rằng rHpU Vq, τs rHpU,rHpVq, τsq, τs rHpUq, τspbπrHpVq, τs nếu một trong các điều kiện sau đúng.
(i) EP pQN oq, F P pQN oq;
(ii) F là không gian hạch.
Trường hợp (i) là kết quả của Boyd [4]. Để chứng minh trường hợp (ii) của Định lý 3.1.1 ta cần một số kết quả bổ trợ sau đây.
Bổ đề 3.1.2 nêu rằng cho hai dãy không gian Banach E limind n En và F limind m Fm, chúng là các giới hạn quy nạp chính quy Đồng thời, các ánh xạ hạch F m ệF m 1 được xác định với mọi m ≥ 1.
Bổ đề 3.1.3 ([17]) Cho K vàL tương ứng là các tập compact trong các không gian Fréchet E và F Giả sử F là không gian hạch Khi đó
Sự trùng nhau của các topo τ 0 , τ b , τ ω trên không
trên không gian các hàm chỉnh hình Định lý 3.2.1 ([17]) Cho E là không gian Fréchet thoả mãn điều kiện trù mật Khi đó, các điều kiện sau tương đương:
(ii) E có tính chất pBBq 8 vàE b 1 có tính chất địa phương hoá mạnh;
(iii) τ b τ ω trên Pp n E, Fq với mọi không gian lồi địa phương hạch đầy đủ F;
(iv) τ b τ ω trên HpK, Fq với mọi K cân compact trong E và mọi không gian lồi địa phương hạch đầy đủ F;
(v) τb τω trên HpU, Fq với mọi U cân mở trong E và mọi không gian lồi địa phương hạch F.
Hệ quả 3.2.2 ([17]) Cho E là không gian Fréchet thoả mãn điều kiện trù mật Khi đó, nếu E có phân tích T-Schauder và
K, U E lồi T-bất biến thì các khẳng định trong Định lý 3.2.1 đúng. Định lý 3.2.3([17]) Cho Elà không gian Fréchet Montel Khi đó, các khẳng định sau tương đương:
(ii) E có tính chất pBBq 8 ;
(iii) τ0 τω trên Pp n E, Fq với mọi không gian lồi địa phương hạch đầy đủ F;
(iv) τ 0 τ ω trên HpK, Fq với mọiK cân compact trong E và mọi không gian lồi địa phương hạch đầy đủ F;
(v) τ 0 τ ω trên HpU, Fq với mọi U mở cân trong E và mọi không gian lồi địa phương hạch đầy đủ F.
Hệ quả 3.2.4 ([17]) Giả sửE là không gian Fréchet - Montel. Khi đó, nếuE là T-không gian hoặcE là không gian Hilbert thì các khẳng định trong Định lý 3.2.3 đúng.
Giả sử A pai,jq là ma trận K¨othe với mỗi tập vô hạn I N và mỗi n P N, tồn tại k P N thoả mãn inftaj,na j,k 1 : j P Iu 0 Theo Định lý 27.9 trong tài liệu [13], không gian các dãy K¨othe Λ p pAq là không gian Montel, do đó Λ p pAq cũng là không gian Fréchet - Montel Theo Hệ quả 27.6 trong [13], không gian Λ p pAq có pBBq 8 tính chất Điều này cho thấy Λ p pAq thoả mãn Định lý 3.2.3, nhưng không thể là không gian Hilbert.
Hilbert là không gian hữu hạn chiều, nhưng điều này là không khả thi Theo Định lý 3.2.5, nếu E là không gian Fréchet Schwartz, thì một trong các điều kiện tương đương sau đây là đúng.
(i) τ 0 τ ω trên Pp n E, Fq với mọi không gian lồi địa phương hạch đầy đủ F;
(ii) τ 0 τ ω trênHpK, Fqvới mọi tậpK cân compact trongE và mọi không gian lồi địa phương hạch đầy đủF;
(iii) τ0 τω trên HpU, Fq với mọi tập U cân mở trong E và mọi không gian lồi địa phương hạch đầy đủ F.
Tính chất (QNo) và (QNo)’ trên không gian các hàm (mầm) chỉnh hình
Định lý 3.3.1 khẳng định rằng nếu U là tập con mở cân của không gian E P pQN oq, thì rHpU, Fq, τs thỏa mãn pQN oq 1 với mọi (DFN)-không gian F Định lý 3.3.2 chỉ ra rằng nếu K là tập con cân compact của không gian Fréchet Schwartz E P pQN oq, thì rHpK, Fq, τωs cũng thỏa mãn pQN oq 1 với mọi (DFN)-không gian F Cuối cùng, Định lý 3.3.3 đề cập đến trường hợp E là không gian Fréchet và F là (DFN)-không gian.
(i) Nếu E b 1 P pQN oq thìrH b pE, Fq, τ b s P pQN oq;
(ii) Nếu E co 1 P pQN oq thìrHpE, Fq, τ 0 s P pQN oq.
Luận văn tập trung vào việc khám phá các biểu diễn tensor của không gian hàm (mầm) chỉnh hình giá trị vector, đồng thời ứng dụng các biểu diễn này để giải quyết các vấn đề liên quan đến sự trùng nhau của các topo trong không gian hàm (mầm) chỉnh hình Luận văn đã đạt được một số kết quả quan trọng trong lĩnh vực này.
Bài viết trình bày hệ thống kiến thức cơ bản về không gian vector topo và không gian lồi địa phương, cùng với một số lớp không gian lồi địa phương quan trọng Ngoài ra, bài viết cũng khám phá các kiểu tích tensor và tính chất của chúng trên các lớp không gian quan trọng này.
Bài viết này mô tả chi tiết các topo phổ biến trên không gian các hàm (mầm) chỉnh hình giá trị vector và trên không gian các đa thức thuần nhất liên tục Đồng thời, nó cũng chỉ ra thứ tự của các topo này trong các không gian tương ứng, giúp người đọc hiểu rõ hơn về cấu trúc và tính chất của các không gian toán học này.
Trong bài viết này, chúng tôi trình bày các biểu diễn tensor của không gian các hàm chỉnh hình giá trị vector, bao gồm các dạng rHpU, Fq, τs rHpUq, và τspbπF Các ký hiệu τ thuộc tập hợp tτ0, τω, τδu được mô tả chi tiết trong Định lý 2.2.1 và Định lý 2.2.4.
Mở rộng một số kết quả từ không gian các hàm (mầm) chỉnh hình giá trị vô hướng sang không gian các hàm (mầm) chỉnh hình giá trị vector.
[1] Thái Thuần Quang (2011), Bài giảng không gian vector topo, Trường Đại học Quy Nhơn.
[2] Barraoso, J A (1985), Introduction to Holomorphy, Else- vier Science Publishers B.V.
[3] Boland, P (1975), “Holomorphic functions on nuclear spaces”,Trans Amer Math Soc.,209, 275-281.
[4] Boyd, C (2000), “Exponential law for the Nachbin ported topology”,Canad Math Bull.,43(2), 138-144.
[5] Boyd, C., and Peris, A (1996), “A projective description of the Nachbin-ported topology”,J of Math Anal and Appl.,
[6] Bonet, J., Doma´nski, P., and Mujica, J (1994), “complete spaces of vector-valued holomorphic germs”,math scand.,
[7] Difant, A., and Maestre, M (1993), “Property (BB) and holomorphic functions on Fréchet - Montel spaces”, Math. Proc Cambridge Philos Soc.,115, 303-313.
