Các khái niệm cơ bản của lý thuyết ổn định
Xét hệ phương trình vi phân:
Véc tơ trạng thái của hệ được ký hiệu là x(t) ∈ R, trong đó hàm véc tơ f: R + ⊗ R n → R n được xác định trước Hàm f(t, x) là hàm liên tục theo thời gian t và có đạo hàm riêng cấp 1 liên tục theo các biến x 1, x 2, , x n.
Nghiệm của hệ được gọi là ổn định theo Liapunov khi t → +∞ nếu với mọi ε > 0 và t0 ≥ 0, tồn tại δ = δ(ε, t0) sao cho bất kỳ nghiệm y(t) nào của hệ thỏa mãn điều kiện ||y(0) - x(0)|| < δ thì sẽ thỏa mãn bất đẳng thức ||y(t) - x(t)|| < ε cho mọi t ≥ t0.
Nghiệm x(t) của hệ gọi là không ổn định theo Liapunov nếu∀ > 0và t0 ≥ 0 sao cho ∀δ > 0, tồn tại nghiệm y(t) của hệ vào thời điểm t1 > t0 thỏa mãn ky 0 −x 0 k < δ nhưng ky(t)−x(t)k ≥ Định nghĩa 1.1.3.
Nghiệm x(t) của hệ gọi là ổn định tiệm cận theo Liapunov nếu nó ổn định và ∃δ > 0 sao cho với ky 0 −x 0 k < δ thì lim t→∞ ky(t)−x(t)k = 0. Định nghĩa 1.1.4.
Bằng cách sử dụng phép biến đổi z = x−y, chúng ta có thể chuyển đổi hệ (1.1) thành hệ mới ˙ z = g(t, z), với g(t, z) = f(t, y+z)−f(t, y) Rõ ràng rằng g(t,0) = 0 và hệ này cho nghiệm tầm thường z ≡ 0, do đó nó được gọi là hệ quy đổi.
Nghiệm tầm thường x ≡ 0 được xem là ổn định nếu với mọi ε > 0 và t0 ≥ 0, tồn tại một δ = δ(ε, t0) sao cho bất kỳ nghiệm y(t) nào của hệ thỏa mãn điều kiện ||y(t0)|| < δ thì sẽ dẫn đến ||y(t)|| < ε cho mọi t ≥ t0.
Nghiệm tầm thường x ≡ 0 của hệ được xem là ổn định tiệm cận theo Liapunov nếu nó ổn định và tồn tại δ > 0 sao cho mọi nghiệm y(t) với ky(t₀)k < δ sẽ có giới hạn lim t→∞ ky(t)k = 0.
Hệ (1.1) được gọi là ổn định mũ với số mũ là δ nếu ∃M > 0, δ > 0 sao cho mọi nghiệm x(t) của hệ với x(t 0 ) = x 0 thỏa mãn kx ( t)k 0 bất kỳ, ta xét nghiệm y(t) = z(t) - z(t).
2 Rõ ràng ky(t 0 )k = δ 2 < δ và vì z(t) không bị chặn nên y(t) không bị chặn trên [t 0 ;∞) Do đó với cố định, ∃t 1 > t 0 sao cho ky(t 1 )k >
Nghiệm tầm thường y ≡ 0 không ổn định, điều này mâu thuẫn với giả thiết hệ ổn định Do đó, mỗi nghiệm y = y(t) của hệ bị chặn trên khoảng [t 0 ;∞) Để đảm bảo điều kiện đủ, giả sử nghiệm bất kỳ của hệ bị chặn trên khoảng này, ta có ma trận cơ bản hóa X(t) = [x ik (t)] bao gồm các hàm giới nội, dẫn đến tồn tại M > 0 sao cho kX(t)k ≤ M, với mọi t ∈ [t 0 ;∞).
Mặt khỏc, với mỗi nghiệm x(t) của hệ ta cú y(t) = X(t) ãy(t 0 ) Suy ra ky(t)k = kX(t)ãy(t0)k ≤ kX(t)k ∗ ky(t 0 )k ≤ Mky(t 0 )k<
Khi ky(t 0 )k ≤ M = δ, chọn δ = M Như vậy, nghiệm tầm thường y ≡ 0 ổn định Do đó hệ (1.4) ổn định.
Hệ vi phân tuyến tính không thuần nhất ổn định có thể dẫn đến các nghiệm đồng thời giới nội hoặc không giới nội Đối với hệ vi phân phi tuyến, tính ổn định không thể suy ra từ tính giới nội của các nghiệm Định lý 1.3.2 chỉ ra rằng điều kiện cần và đủ để hệ vi phân tuyến tính thuần nhất ổn định tiệm cận là tất cả các nghiệm phải thỏa mãn lim t→∞ kx(t)k = 0.
Để chứng minh, giả sử hệ (1.4) ổn định tiệm cận, điều này dẫn đến nghiệm tầm thường z0 ≡ 0 cũng ổn định tiệm cận Từ đó, có thể suy ra rằng mọi nghiệm z(t) với kz(t0)k < δ sẽ có giới hạn lim t→∞ kz(t)k = 0.
Giả sử y(t) là một nghiệm bất kỳ của hệ với điều kiện ban đầuy(t 0 ) y 0 ,(ky(t 0 )k) 6= 0) Đặtz(t) = ky(t y(t)
2 thì nghiệm z(t) cũng là nghiệm của hệ và thỏa mãn lim t→∞ kz(t)k= 0.
Do đó limt→∞ky(t)k= limt→∞k ky(t δ/2 0 )k z(t)k = 0. Điều kiện đủ:
Giả sử nghiệm y(t) bất kỳ của hệ thỏa mãn lim t→∞ ky(t)k = 0, suy ra với T đủ lớn (T > t0) thì nghiệm y(t) bị chặn trên [T;∞).
Hàm véc tơ y(t) liên tục trên khoảng [t0, T] nên bị chặn trong đoạn này, dẫn đến nghiệm bị chặn trên [t0; ∞) Điều này chứng tỏ hệ thống ổn định, với nghiệm tầm thường z0 ≡ 0 cũng ổn định Kết hợp với giả thiết lim t→∞ ky(t)k = 0, ta có thể kết luận rằng nghiệm tầm thường z0 ≡ 0 ổn định tiệm cận, từ đó khẳng định hệ thống đã cho là ổn định tiệm cận.
Lưu ý rằng, trong hệ vi phân phi tuyến, điều kiện tất cả các nghiệm tiến gần đến không khi n → ∞ không đủ để đảm bảo rằng các nghiệm là ổn định tiệm cận.
Ví dụ: Xét phương trình vi phân: ˙ x(t) = a(t)x, ∀ t ≥ 0, trong đó a(t) : R + → R là hàm liên tục.
Nghiệm x(t) của hệ với điều kiện ban đầu x(t 0 ) = x 0 cho bởi x(t) = x 0 e
Hệ thống được coi là ổn định nếu tích phân Rt t 0 a(τ)dτ ≤ à(t 0 ) < +∞ Hệ thống ổn định đều khi số à(τ) là hằng số không phụ thuộc vào t0 Hệ thống được xem là ổn định tiệm cận nếu lim t→∞ Rt t 0 a(τ)dτ = −∞.
Ổn định của hệ tuyến tính dừng
Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất được mô tả bởi phương trình ˙x(t) = Ax(t) với A là ma trận hằng Theo Định lý 1.4.1, hệ vi phân này ổn định khi và chỉ khi tất cả các nghiệm đặc trưng λj của ma trận A có phần thực không dương Đặc biệt, các nghiệm có phần thực bằng không phải có ước cơ bản đơn để đảm bảo tính ổn định của hệ thống.
Chứng minh Điều kiện đủ : Từ (1.5) ta suy ra: x x ˙ = A Lấy tích phân 2 vế ta được: lnx = At+C
Vì x(0) = x0 nên e c = x0 Do đó x = x0e A t là nghiệm của hệ đã cho.
Ta cần chứng minh mọi nghiệm của hệ bị chặn Thật vậy, giả sử λ 1 , λ 2 , , λ m≤n là các giá trị riêng của ma trận A, trong đó λ j = a j +ib j , j = 1,2, , m, a j 6= 0; λ k = ib k , k = m+ 1, , r.
Tồn tại ma trận không suy biến T sao cho ma trận T −1 AT có dạng chéo B = diag(J(λ 1), , J(λ r)) Do đó, ma trận T e Bt T −1 có dạng T diag(e J (λ 1 t), , e J (λ r t)) T −1 Từ đó, x(t) được biểu diễn là e At x 0 = T e Bt T −1, suy ra x(t) = T diag(e J (λ 1 t), , e J (λ r t)) T −1 x 0.
Vì Reλ j ≤ 0, ∀j = 1, , r nên kx(t)k < ∞ Do đó mọi nghiệm của hệ (1.5) bị chặn. Điều kiện cần : Giả sử hệ (1.5) ổn định, ta cần chứng minh Reλj ≤
0, ∀ j = 1, , r Vì hệ (1.5) ổn định nên nghiệm x(t) bị chặn, tức là : kx(t)k < ∞, ∀ t≥ 0
Bây giờ ta cần phải chứng minh với q = ib q , α q = 0 thì λ q có ước cơ bản đơn Gọi J q (λ q ) là ô Jordan của λ q cấp α q , ta có: e J q (λ q )t = e α q t
Do đó ke J q (λ q )t k → ∞ khi t → ∞ nếu αq ≥2.
Giả sử α q ≥ 2 ta chỉ ra nghiệm của hệ (1.5) không bị chặn Thật vậy, xét ma trận:
Do đó M(t) là ma trận nghiệm của (1.5) Mặt khác kM(t)k → ∞ khi t→ ∞ nên M(t) không bị chặn.
(VkM(t)k = kTkkM(t)kkT −1 k ≥ kT M(t)T −1 k = ke J(λ q )t k → ∞).
Theo định lý 1.4.2, hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.5) sẽ ổn định tiệm cận nếu và chỉ nếu tất cả các nghiệm λ j của phương trình đặc trưng của ma trận A có phần thực âm Do đó, điều kiện α q ≤ 1 hay α q có ước cơ bản đơn là cần thiết để đảm bảo tính ổn định của hệ thống.
Chứng minh Ta có mọi nghiệm x(t) của phương trình (1.5) đều có dạng x(t) = T diag(e J 1 (λ 1 )t , , e J n (λ n )t )T −1 x 0 , trong đó T là ma trận không suy biến và e J q (λ q )t = e α q t
Hệ (1.5) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi: t→∞lim x(t) = 0 ⇔ lim t→∞kx(t)k = 0. Điều này tương đương với lim t→∞ e λ q t = 0, ∀ λ q ∈ λ(A)
Hệ (1.5) được coi là ổn định mũ nếu và chỉ nếu phần thực của tất cả các giá trị riêng của ma trận A đều âm, tức là Reλ < 0, ∀λ ∈ λ(A) Điều này có thể được chứng minh bằng cách xem xét mọi nghiệm của hệ (1.5), có dạng: x(t) = T diag(e J 1 (λ 1 )t , , e J n (λ n )t )T −1 x 0.
Nên ta có: kx(t)k ≤ Pq k=1
Vì Reλ k < 0, nên kx(t)k sẽ tiến tới 0 khi t tiến tới vô cùng, chứng tỏ hệ (1.5) ổn định mũ Điều kiện cần cho tính ổn định này là mọi nghiệm x(t) với x(t 0) = x 0 của hệ phải thỏa mãn kx(t)k ≤ àkx 0 ke −δ(t−t 0) với à > 0 và δ > 0 Giả sử tồn tại λ 0 ∈ λ(A) sao cho Reλ 0 ≥ 0, khi đó véc tơ riêng x0(t) = x0e λ 0 t dẫn đến kx 0(t)k = kx 0 ke Reλ 0 tiến tới vô cùng khi t tiến tới vô cùng, điều này mâu thuẫn với giả thiết ban đầu Do đó, định lý được chứng minh.
Đối với hệ vi phân tuyến tính thuần nhất, các mệnh đề sau là tương đương: i) Hệ ổn định mũ, ii) Hệ ổn định tiệm cận, và iii) Tất cả giá trị riêng của ma trận A đều có phần thực âm.
Ví dụ: Xét tính ổn định của hệ
# Các giá trị riêng của ma trận A là λ(A) −2,−3 đều có Reλ(A) < 0 Do đó hệ đã cho ổn định mũ.
Phương pháp hàm Liapunov
Phương pháp này được sử dụng để giải quyết các bài toán ổn định của hệ phương trình vi phân, đặc biệt là các hệ phi tuyến, mà không cần tìm nghiệm riêng hay nghiệm tổng quát Thay vào đó, chúng ta chỉ cần xác định các hàm đặc biệt theo biến t và x, gọi là hàm Liapunov Tính ổn định của hệ sẽ được kiểm tra trực tiếp thông qua dấu của đạo hàm toàn phần theo vế phải của hệ phương trình đã cho.
Cho hàm số V = V(t, x) liên tục theo t và x trong miền Z0 (0,+∞)×(kxk < h).Hàm V(t, x) được gọi là hàm xác định dương trong
Hàm V(t, x) được gọi là hàm xác định dương trong Z 0 nếu tồn tại hàm ω(x) với kxk < h sao cho V(t, x) ≥ ω(x) > 0 với kxk 6= 0 và V(t, 0) = ω(0) = 0 Ngược lại, hàm V(t, x) được gọi là hàm xác định âm trong Z 0 nếu tồn tại hàm ω(x) với kxk < h sao cho V(t, x) ≤ ω(x) < 0 với kxk 6= 0 và V(t, 0) = ω(0) = 0.
Hàm V(t, x) gọi là hàm số có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi x →0 nếu với t0 ∈ (0,+∞), ∀ > 0, ∃δ = δ() > 0 sao cho khi kxk < δ thì
Chú ý: Nếu V(x) là hàm liên tục, không phụ thuộc vào tvà V(0) = 0 thì V(x) sẽ có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi x → 0. Định nghĩa 1.5.3.
Cho hệ vi phân quy đổi: ˙ x(t) =g(t, x), (1.6) trong đó g(t, x) liên tục theo t và có đạo hàm riêng theo x1, x2, , xn trong miền D = (0,+∞) × (kxk < h) Khi đó hàm số dV dt = ∂V ∂t +
Đạo hàm toàn phần theo t của hàm V(t, x) được ký hiệu là ∂t Theo định lý 1.5.1 (Liapunov về sự ổn định), nếu tồn tại một hàm xác định dương V(t, x) cho hệ quy đổi (1.6) và đạo hàm dV/dt không dương, thì nghiệm tầm thường x ≡ 0 (0 < t < ∞) của hệ này sẽ ổn định theo Liapunov khi t tiến tới vô cùng.
Chứng minh Vì V(t, x) là hàm xác định dương nên tồn tại hàm ω(x) liên tục sao cho V(t, x) ≥ω(x) > 0 với kxk 6= 0 và V(t,0) = ω(0) = 0. Với 0 < ≤ h ta có mặt cầu S = kxk = là tập compact trong R n
Do đó ω(S ) là tập compact trong R Suy ra ω(S ) là tập bị chặn Do đó
Mặt khácV(t, x)liên tục theoxvàV(t,0) = 0nên với t0 ∈ (0, ), ∃δ < sao cho 0≤ V(t 0 , x(t 0 )) ≤ α khi kx(t 0 )k< δ.
Giả sử nghiệm tầm thường x ≡ 0 không ổn định Khi đó với nghiệm x(t)bất kỳ mà cókx(t 0 )k < δ thì tồn tại thời điểmt1 > t0 đểkx(t 1 )k =
Do đó : ω(x(t 1 )) ≥ α Ngoài ra theo giả thuyết dV dt ≤ 0, ta có hàm
V(t, x(t)) không tăng Từ đó suy ra : α > V(t 0 , x(t 0 )) ≥ V(t 1 , x(t 1 )) ≥ ω(x(t 1 )) ≥ α, điều này vô lý Như vậy nghiệm tầm thường x ≡ 0 ổn định.
Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất dx/dt = A(t)x(t) với A(t) và x(t) liên tục trên [0,∞) sẽ có tất cả các nghiệm ổn định nếu tồn tại một hàm xác định dương V(t, x) có đạo hàm dV/dt ≤ 0 Theo định lý Liapunov về sự ổn định tiệm cận, nếu tồn tại một hàm xác định dương V(t, x) có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi x → 0 và đạo hàm toàn phần theo t là âm, thì nghiệm tầm thường x ≡ 0 sẽ ổn định tiệm cận.
Theo định lý (1.5.1), nghiệm x ≡ 0 của hệ (1.6) được chứng minh là ổn định Để xác định tính ổn định tiệm cận của nghiệm này, cần chứng minh rằng với mọi nghiệm x(t) bất kỳ của hệ, giới hạn khi t tiến tới vô cùng của x(t) là 0 Đặt V(t) = V(t, x(t)), với điều kiện dV/dt < 0, ta suy ra V(t) là hàm giảm Do đó, giới hạn khi t tiến tới vô cùng của V(t) sẽ bằng α, với α ≥ 0.
Ta chứng minh α = 0 Thật vậy, giả sử α > 0, khi đó tồn tại β > 0 sao cho kx(t)k ≥ β, ∀t ≥ t 0 nào đó (vì nếu điều này không đúng thì
∃{t k } : tk → ∞ và limt k →∞x(tk) = 0 Dãy {t k } như trên là tìm được.
Nếu không bị chặn, tồn tại một dãy con hội tụ {tk}, và do tính liên tục của x(t), ta có lim k→∞ x(tk) = x(T) Kết quả là x(T) = 0, điều này mâu thuẫn với việc x(t) là nghiệm không tầm thường trên khoảng (0,∞).
Khi x → 0, V(t, x) có giới hạn vô cùng bé bậc cao, dẫn đến V(t, x) → 0 và lim t k →∞ x(t k ) = 0, từ đó suy ra t klim→∞V(t k ) = lim t k →∞V(t k , x(t k )) = 0 Điều này mâu thuẫn với giả thiết α > 0, vì vậy tồn tại β > 0 sao cho kx(t)k ≥ β, ∀t ≥ t 0 Hơn nữa, do V˙ (t, x) âm nên tồn tại ω 1 (x) phù hợp.
V˙(t, x) ≤ −ω1(x) < 0 với kxk ≠ 0 và V˙(t, 0) = −ω1(x) = 0 Do nghiệm x ≡ 0 ổn định nên bị chặn trên (t0, ∞) Đặt γ := inf β≤kxk≤h ω1(x), γ tồn tại vì hàm ω1(x) liên tục trên tập đóng và bị chặn Do đó, với t ≥ t0, ta có những kết luận quan trọng về sự ổn định và tính chất của hàm ω1(x).
Khi t đủ lớn, bất đẳng thức ≤ V(t 0 )−γ(t−t 0 ) < 0 xảy ra, điều này mâu thuẫn với giả thiết V(t, x) dương Do đó, giả sử α > 0 là không đúng, dẫn đến α = 0 và suy ra lim t→∞ V(t, x) = 0 Tiếp theo, chúng ta chứng minh rằng lim t→∞ x(t) = 0, tức là với bất kỳ ε > 0, cần chứng minh kxk < ε cho mọi t ≤ T nào đó Vì V(t, x) dương, tồn tại hàm ω(x) sao cho V(t, x) ≥ ω(x) > 0 với kxk ≠ 0 Đặt l = inf β≤kxk≤h ω(x).
Vì lim t→∞ V(t, x) = 0 nên tồn tại T ≥ t nào đó sao cho V(t, x(t)) < l. Mặt khác do V(t, x(t)) giảm nên V(t, x(t)) < l,∀t ≥ T.
Chúng ta sẽ chứng minh rằng kxk < ,∀t ≥ T bằng phương pháp phản chứng Giả sử tồn tại một thời điểm t1 trong khoảng (T,+∞) sao cho kx(t1)k ≥ Khi đó, ta có L > V(t1, x(t1)) > ω(x(t1)), điều này dẫn đến mâu thuẫn với giả thiết ban đầu Do đó, ta kết luận rằng lim t→∞ x(t) = 0, và định lý đã được chứng minh.
Ma trận hằng A được gọi là ma trận Hurwitz hay ổn định nếu tất cả các giá trị riêng của A có phần thực âm Theo Định lý 1.5.3, ma trận A ổn định khi và chỉ khi tồn tại nghiệm là ma trận đối xứng, xác định dương H cho phương trình A T H + HA = −G, với G là ma trận đối xứng, xác định dương.
Để chứng minh điều kiện đủ, giả sử phương trình (LE) có nghiệm là ma trận H đối xứng và xác định dương với G > 0 cũng là ma trận đối xứng Chọn một nghiệm bất kỳ x(t) của hệ phương trình x(t) = ˙Ax(t) với t ≥ 0, điều kiện ban đầu là x(t₀) = x₀ Chúng ta sẽ xem xét hàm Liapunov để phân tích tính ổn định của hệ thống.
Vì hàm V(x(t)) được xác định dương và dV/dt < 0, theo định lý Liapunov, hệ thống này ổn định tiệm cận Do đó, phần thực của các nghiệm đặc trưng của ma trận A đều âm.
Ma trận A được coi là ổn định khi tất cả các giá trị riêng của nó đều có phần thực âm Để kiểm tra điều kiện này, ta xem xét phương trình ma trận với một ma trận G đối xứng và xác định dương.
Nhận thấy hệ có một nghiệm riêng là Z(t) = e A T t Ge At Đặt X(t) Rt t 0Z(s)ds.
Vì ma trận ổn định nên tích phân H = Rt t 0Z(s)ds = Rt t 0e A T s Ge As ds lớn hơn 0 cho mọi x, và điều này được thể hiện qua tích phân Rt t 0 < Ge A T t x, e At x > dt.
Do G > 0 và e At không suy biến nên < Hx, x >> 0 với mọi x 6= 0.
Do đó H xác định dương Định lý được chứng minh xong.
Ổn định của hệ thống tuyến tính không dừng
Xét hệ vi phân tuyến tính có dạng ˙x(t) = A(t)x(t) với t ≥ 0 Định lý 1.6.1 khẳng định rằng nếu A(t) = A + C(t), trong đó A là ma trận ổn định và C(t) là hàm khả tích trên R+ với kC(t)k ≤ a, với a > 0, thì hệ này sẽ ổn định mũ khi a > 0 đủ nhỏ.
Chứng minh Với A(t) = A + C(t) hệ (1.7) có dạng: x = Ax(t) +C(t)x(t), t ≥ 0.
Do đó nghiệm của hệ với x(t0) = x0 cho bởi: x(t) = e
Vì ma trận A ổn định nên hệ x = Ax(t), t ≥ 0 là ổn định mũ Do đó theo định nghĩa ∃à > 0, δ > 0 sao cho ke At k ≤ àe −δt , ∀t≥ 0.
Ta có: kx(t)k ≤ kx 0 kke A(t−t 0 ) k+
Z t t 0 àakx(s)ke δ(s−t 0 ) ds). Áp dụng bất đẳng thức Gronwall dạng tích phân: “Nếu u(t) ≤ C +
”, với u(t) = e δ(t−t 0 )kx(t)k , C = àkx 0 k, a(s) = àa, ta cú: e δ(t−t 0 ) kx(t)k ≤ àkx 0 k ∗ Rt t 0àakx(s)ke δ(s−t 0 ) ds), ∀t ≥ t 0 Hay e δ(t−t 0 ) kx(t)k ≤ àkx 0 k ∗ e àa(t−t 0 ) , ∀t ≥ t 0 Do đú kx(t)k ≤ àkx 0 k ∗ e (àa−δ)(t−t 0 ) , ∀t ≥ t 0 Chọn a < à δ khi đú hệ ổn định.
Ví dụ: Xét hệ phương trình vi phân:
Ma trận A được xác định là ổn định với các giá trị riêng λ(A) = −1/2 và −1/3, trong khi hàm C(t) khả tích trên R + và có giới hạn kC(t)k ≤ 1/4 Để đảm bảo hệ thống ổn định mũ, ta chọn a = 1 và δ = 1/2, thỏa mãn điều kiện 1/4 = a < aδ Theo Định lý 1.6.2, đối với hệ (1.7) với ma trận A(t) liên tục theo t, cần có các số M > 0, δ > 0, K > 0 sao cho: i) kA(s)t k ≤ Ke −δt cho mọi t, s ≤ 0 và ii) sup t∈ R + kA(t)k ≤ M.
Khi đó hệ ổn định mũ nếu M < 2K δ
Chứng minh Ta viết lại hệ dưới dạng tương đương: ˙ x(t) = A(t 0 )x(t) + (A(t)−A(t 0 ))x(t), t ≥ t 0
Nghiệm x(t) với x(t0) = x0 cho bởi x(t) = x0e A(t 0 )(t−t 0 ) + Rt t 0(A(s) − A(t 0 ))x(s)e A(t 0 )(t−s) ds.
Ta có kx(t)k ≤ Kke −δ(t−t 0 )kx 0 k k+
2KMkx(s)ke δ(s−t 0 ) ds), áp dụng bất đẳng thức Gronwall dạng tích phân: Với u(t) =e δ(t−t 0 )kx(t)k ,
C = Kkx 0 k và a(s) = 2KM, ta có: e δ(t−t 0 ) kx(t)k ≤ Kkx 0 k ∗
Nếu chọn M < 2K δ, ta có kx(t)k ≤ Kkx0k ∗ e−β(t−t0) với ∀t ≥ t0, β δ − 2KM > 0, do đó hệ thống ổn định mũ Theo Định lý 1.6.3, nếu tồn tại giới hạn lim t→∞ A(t) = A∞ và A∞ là ma trận ổn định, thì hệ ˙x(t) = (A∞ + B(t))x(t) sẽ ổn định tiệm cận nếu lim t→∞ kB(t)k = 0.
Chứng minh Nghiệm của hệ (1.8) với x(t 0 ) = x 0 là x(t) =x 0 e A(t 0 )(t−t 0 ) +
Vì ma trận A ∞ ổn định nên hệ x(t) =˙ A ∞ x(t) cũng ổn định, do đó theo định nghĩa ∃à > 0, δ > 0 sao cho ke A ∞ t k ≤ àe −δt , ∀t > 0.
Ta đánh giá: kx(t)k ≤ àke −δ(t−t 0 )kx 0 k k+
Z t t 0 àkB(s)kkx(s)ke δ(s−t 0 ) ds). Áp dụng bất đẳng thức Gronwall dạng tích phân: Vớiu(t) =e δ(t−t 0 )kx(t)k ,
C = àkx 0 kvàa(s) = àkB(s)k, ta cú:e δ(t−t 0 ) kx(t)k ≤ àkx 0 k∗e δ(t−t 0 ) e
Do đú 0 ≤ kx(t)k ≤ àkx 0 k ∗ e (àa−δ)(t−t 0 ) e
Vì lim t→∞ kB(t)k = 0 nên với = 2M δ , ,∃T > 0 sao cho kB(s) ≤ δ
Do đó theo nguyên lý kẹp thì lim t→∞ kx(t)k= 0 Mặt khác hệ x(t) =˙
A ∞ x(t) ổn định, nên hệ đã cho ổn định tiệm cận.
BÀI TOÁN SO SÁNH TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH CHỊU NHIỄU NHỎ 26
Số mũ đặc trưng Liapunov
Giá trị X[f] ∈ R xác định bởi X[f] = lim t→∞ 1 t ln|f(t)| được gọi là số mũ đặc trưng Liapunov của hàm f(t).
2.1.1 Các tính chất của số mũ đặc trưng
Có 4 tính chất: i) X[f] = X[|f|] ii) X[cf] = X[f] iii) Nếu |f(t)| ≤ |F(t)| trên (T,∞), T ∈ R thì X[f] = X[F] iv) Bất kỳ dãy tk → ∞ ta có: limt k →∞ 1 t kln|f(tk)| ≤ X[f].
2.1.2 Số mũ đặc trưng của nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyến tính
Hệ vi phân tuyến
Chứng minh Giả sử X(t) là nghiệm không tầm thường của (2.4) Với mọi t, t0 ∈ (a,∞), ta có
Vậy kX(t)k ≤ kX(t 0 )k+Rt t 0 kA(t 1 )kkX(t 1 )kdt 1 áp dụng bổ đề Gsonwall – Bellman ta có: kX(t0)ke − R t t 0 kA(t 1 )kdt 1
≤ kX(t)k ≤ kX(t0)ke R t t 0 kA(t 1 )kdt 1
Do X(t) là nghiệm không tầm thường nên X(t 0 ) 6= 0.
Phổ của hệ vi phân tuyến tính được định nghĩa là tập hợp tất cả các số mũ đặc trưng khác ±∞ của các nghiệm Theo định lý 2.1.2, phổ của hệ tuyến tính thuần nhất với ma trận liên tục bị chặn chỉ chứa một số hữu hạn các phần tử λ1 < λ2 < < λm, với m ≤ n Định lý 2.1.3 chỉ ra rằng nếu {λ1, λ2, , λm} là phổ của hệ với A(t) bị chặn và max 1≤k≤m λk < 0, thì hệ này
Để chứng minh tính ổn định tiệm cận của hệ (2.4), đặt α = max 1≤k≤m λk Vì α < 0, tồn tại một số dương nhỏ ε sao cho α + ε < 0 Giả sử Y(t) là nghiệm bất kỳ của hệ phương trình này Do X[Y] < α + ε, ta có ||Y(t)|| = 0(e^(α + ε)t) khi t tiến tới vô cực Do đó, ||Y(t)|| tiến về 0 khi t tiến tới vô cực, từ đó suy ra rằng hệ (2.4) là ổn định tiệm cận.
Vì ma trận A là ổn định nên tích phân:
Đối với hàm Z(s) và điều kiện Z t t 0 e A T t Ge At ds < ∞, chúng ta xác định rằng G có tính đối xứng, do đó H cũng sẽ có tính đối xứng Hơn nữa, khi tích phân hai vế của hệ phương trình từ t 0 đến t, ta nhận được biểu thức Z(t) − G A T X(t) + X(t)A, với điều kiện ∀t ≥ t 0.
Khi t tiến tới vô cùng, Z(t) cũng tiến tới vô cùng và A ổn định, từ đó ta có −G A T H + HA Do đó, các ma trận đối xứng H và G thỏa mãn phương trình (LE) Chúng ta chỉ cần chỉ ra rằng H là ma trận xác định dương.
Hx, x >= Rt t 0 < Ge A T t x, e At x > dt Do G >0 và e At không suy biến nên
< Hx, x >>0 với mọi x 6= 0 Do đó H xác định dương ĐPCM.
Chú ý: Nếu hệ (2.4) có ma trận hằng A(t) ≡ A thì các số mũ đặc trưng của các nghiệm không tầm thường chính là phần thực của nghiệm đặc trưng của A.
So sánh tốc độ phát triển của các hệ động lực học
Gọi (Ω,F, t ≥ 0, P) là một nhóm ngẫu nhiên cơ bản thỏa mãn các điều kiện cơ bản, trong khi (W t , t ≥ 0) là một quá trình Wiener d- chiều xác định trên (Ω,F, t ≥ 0, P) Bài viết này sẽ xem xét một hệ ngẫu nhiên được mô tả bởi công thức đã nêu.
dXt = a(t, Xt, ω)dt+A(t, Xt, ω)dWt
Trong bài viết này, chúng ta xem xét hai quá trình ngẫu nhiên a(t, x) và A(t, x) được định nghĩa trên không gian R^d và ma trận cỡ d×d Cả hai quá trình này đều thích ứng theo F_t và thỏa mãn điều kiện a(t, 0) ≡ 0 và A(t, 0) ≡ 0 với xác suất P gần như chắc chắn.
Giả sử rằng với mọi x ∈ R d, công thức 2.5 có một nghiệm mạnh duy nhất Theo định nghĩa cổ điển về tính ổn định theo nghĩa Lyapunov, gọi X(t, x, ω) là nghiệm của 2.5 bắt đầu từ x tại t = 0 Từ công thức 2.6, ta có X ≡ 0 là nghiệm của 2.5.
Nghiệm tầm thường X ≡0 là ổn định nếu với mọi > 0, ta có x→0limP sup
Việc xác định tính ổn định của một hệ thống yêu cầu so sánh nghiệm của nó với hàm hằng, cụ thể là xét điều kiện sup 0≤t 0, trong đó (t) = ∞ cho mọi t > 0 Tuy nhiên, định nghĩa này không cung cấp thông tin về thời điểm nghiệm X(t, x) tiến tới vô cùng hoặc không Do đó, cần mở rộng lớp hàm được xem xét để hiểu rõ hơn về diễn biến của hệ thống.
Dựa vào công thức 2.5, chúng ta xét phương trình sau:
dYt = b(t, Yt, ω)dt+B(t, Yt, ω)dWt
(2.8) trong đób(t, y)và B(t, y)cũng thỏa mãn các giả thuyết giống như a(t, x) và A(t, x), đó là: b(t,0) ≡0, B(t,0) ≡0, ∀t ≥ 0 P −a.s (2.9)
Chúng ta viết Y(t, y) là nghiệm của 2.8 bắt đầu từ y và t= 0.
Gọi C là tập các hàm dương và liên tục trên [0,∞) vào R + và M là một tập con của C. Định nghĩa 2.2.2.
Nghiệm tầm thường X ≡ 0 của hệ 2.5 là ổn định hơn so với nghiệm
Trong lớp so sánh M, Y ≡ 0 của hệ 2.8 nếu với mọi q ∈ M, điều kiện limy→0P (|Y(t, y)| ≤ q t , ∀ t ≥0) = 1 dẫn đến x→0limP (|X(t, x)| ≤ q t , ∀ t≥ 0) = 1 Định nghĩa 2.2.2 mở rộng định nghĩa cổ điển về tính ổn định Theo đó, định lý 2.2.1 khẳng định rằng hệ 2.5 là ổn định nếu nó ổn định hơn hệ tầm thường.
Nếu 2.5 ổn định hơn 2.12, thì 2.5 sẽ ổn định vì tất cả nghiệm của 2.12 đều là hàm hằng Ngược lại, giả sử 2.5 ổn định và q ∈ C Nếu inf0≤t 1 : |Y(t)| ≤ qt ⇒ |X(t) ≤ qt| tức hệ (A) ổn định hơn hệ (B).
Hệ tuyến tính đều
Mục này trình bày khái niệm "hệ đều" như đã nêu trong tài liệu [3] Chúng ta xem xét hệ phương trình tuyến tính dZ t = A t Z t dt + B t Z t dW t, với điều kiện Z 0 = z ∈ R d Ở đây, A t và B t là hai quá trình ngẫu nhiên có giá trị trong tập hợp các ma trận kích thước d×d, đáp ứng các điều kiện nhất định.
= 1; ∀ T > 0. Điều kiện này đảm bảo cho sự tồn tại của nghiệm mạnh của 2.13 Gọi
Z(t, z) là nghiệm của 2.13 bắt đầu từ z Chúng ta gọi λ[z] là lũy thừa Lyapunov của Z(t, z) và được định nghĩa như sau: λ[z] = lim sup t→∞
Trong trường hợp tồn tại giới hạn của 1 t ln|Z(t, z)|, chúng ta nói rằng Z(t, z) có một lũy thừa chính xác Phổ Lyapunov của nghiệm trong phương trình 2.13 chứa n biến ngẫu nhiên, được ký hiệu là λ 1 ≤ λ 2 ≤ ≤ λ n.
Hệ 2.13 được gọi là hệ đều nếu tồn tại một hệ cơ bản các nghiệm Z(t) thỏa mãn véc tơ cột của Z(t) có lũy thừa chính xác và nhận các giá trị λ i , i = 1,2, , d trong 2.15.
Chúng ta so sánh lớp M chứa các phần tử q ∈ C và có giới hạn chính xác t→∞lim
Chúng ta nói hệ 2.5 là hoàn toàn ổn định hơn 2.12 trong M nếu điều kiện 2.11 được thay bằng: Tồn tại q ∗ ∈ M thỏa mãn q¯ ∗ < q¯và x→0limP (|X(t, x)| ≤ q t ∗ , ∀t ≥ 0) = 1.
Chúng ta thấy hệ 2.5 là hoàn toàn ổn định hơn hệ 2.12 trên M nếu và chỉ nếu 2.5 là lũy thừa ổn định.
Bổ đề 2.3.1 (Bất đẳng thức Bihari) Giả sử u(t) ≥0, f(t) ≥0, ∀t ≥ t 0 , u(t), f(t) ∈ C[t 0 ,+∞) (tức các hàm liên tục ∀t ≥ t 0 ) và thoả mãn bất đẳng thức. u(t) ≤ C +
Z t t 0 f(s)Φ(u(s))ds, trong đó C là hằng số, Φ(u) là hàm không giảm, liên tục, dương với
Khi đó nếu Rt t 0 f(s)ds < Ψ(u−0), (t≥ t 0 ) thì ta có: u(t) ≤ Ψ −1 [
Z t t 0 f(s)ds], với Ψ −1 (u) là hàm ngược của hàm Ψ(u).
Hệ quả 2.3.1 Nếu Φ(u) = u ta có bất đẳng thức Growwall.
Hệ quả 2.3.2 Nếu Φ(u) = u m , (m > 0, m 6= 1): Tức nếu thoả mãn u(t) ≤c+
Định lý 2.3.1 khẳng định rằng nếu hệ thống 2.13 được mô tả bởi phương trình dZ t = A t Z t dt + B t Z t dW t với điều kiện Z 0 = z ∈ R d là đều và hoàn toàn ổn định hơn hệ thống 2.17, thì hệ bị nhiễu dX t = [A t X t + f(t, X t )]dt + B t X t dW t với X 0 = x ∈ R d cũng sẽ hoàn toàn ổn định hơn hệ 2.17 Trong đó, hàm f(t, x) là hàm Lipschitz địa phương thỏa mãn các điều kiện với các hằng số α > 1 > β > 0.
Chứng minh Các bước chứng minh chính:
Ta sẽ chứng minh định lý qua các bước sau:
Để xác định mối liên hệ giữa Xt và Zt, bước đầu tiên là phân tích sự tương đồng trong phương trình vi phân của chúng Chúng ta sẽ chứng minh rằng phương trình 2.18 là tương đương với
• Bước 2: Dựa vào định nghĩa số mũ Lyapunov của Zt, ta sẽ chứng minh, với mọi γ ≥ 0 sẽ có một biến ngẫu nhiên N thỏa mãn
Kết hợp với mối liên hệ giữa Xt và Zt trong Bước 1, ta có:
Để chứng minh rằng λ d ≤ q¯ ∗ < q¯, chúng ta sử dụng định nghĩa về tính ổn định của các hệ 2.13 và 2.17, với giả thiết rằng hệ 2.13 ổn định hơn hệ 2.17 Trong đó, q¯ và q¯ ∗ là các số mũ Lyapunov tương ứng của q t và q t ∗.
Bước 4: Sử dụng bất đẳng thức Bihari trong 2.22 để xác định mối liên hệ giữa |X t| và (λ d, γ) khi t đủ lớn Kết hợp với kết quả từ Bước 3, chúng ta sẽ chứng minh được mối quan hệ giữa |X t| và q Từ đó, có thể kết luận rằng hệ thống bị nhiễu X t ổn định hơn Y t.
Chứng minh Các bước chứng minh cụ thể:
Ta sẽ chứng minh 2.18 là tương đương với
Thật vậy, ta có: dZ t = A t Z t dt+B t Z t dW t , Z 0 = z ∈ R d ,
⇒ dln(Z t ) =A t dt+B t dW t , Z 0 = z ∈ R d (2.23) Tương tự ta có: dln(Xt) =Atdt+ f(t, X t )
Lấy 2.24 trừ đi 2.23 ta có: dln
• Bước 2: Từ giả thuyết về tính đều của 2.13, chúng ta có thể tìm ra được một hệ cơ bản các nghiệm của 2.13, gọi là Z(t) Đặt: Φ(t) = Z(t) exp (−λ d t), ta có: t→∞lim
Vì vậy, với mọi γ ≥ 0, ta sẽ chọn được T đủ lớn để cho:
≤ exp ((λ d +γ)t−(λ d −γ)s), ∀ t, s ≥T. Đặt N = sup 0≤t,s≤T | Z (t)Z(s) −1 | exp((λ d +γ)t−(λ d −γ)s) Ta có biến ngẫu nhiên N thỏa mãn:
Kết hợp kết quả này với mối liên hệ giữa X t và Z t trong Bước 1, ta có:
Để chứng minh rằng λ d ≤ q¯ ∗ < q¯, chúng ta sẽ sử dụng định nghĩa về tính ổn định của các hệ 2.13 và 2.17, cùng với giả thiết rằng hệ 2.13 ổn định hơn hệ 2.17 Trong đó, q¯ và q¯ ∗ là các số mũ Lyapunov tương ứng với q t và q t ∗.
Bởi vì 2.13 là hoàn toàn ổn định hơn 2.17, tồn tại q ∗ ∈ M, q¯ ∗ < q¯ và z→0limP (|Z(t, z)| ≤ q t ∗ , ∀ t≥ 0) = 1, (2.25) trong đó q¯≡ lim t→∞ 1 t ln|q t | và q¯ ∗ ≡ lim t→∞ 1 t ln|q t ∗ | Ta có thể viết lại 2.25 như sau: z→0limP t→∞lim
⇔ lim z→0P (λ d ≤ q ∗ , ∀ t ≥ 0) = 1. Điều này dẫn đến λ d ≤ q¯ ∗ < q¯.
Vì vậy, tùy theo dấu của λ d , chúng ta có thể chọn γ trong bất đẳng thức 2.21 để cho
Bước 4: Chúng ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Bihari để phân tích mối quan hệ giữa |X t| và (λ d, γ) khi t đủ lớn Kết hợp với kết quả từ Bước 3, chúng ta sẽ chỉ ra mối liên hệ giữa |X t| và q.¯.
Từ đó ta kết luận hệ bị nhiễu X t là ổn định hơn Y t
Chúng ta xem xét hai trường hợp là λ d ≥ 0 và λ d < 0, trong đó mỗi trường hợp sẽ có lựa chọn λ tương ứng như đã trình bày ở Bước 3 Đồng thời, chúng ta cũng xác định |f(t, Xt)] ≤ K|x| 1−β hoặc |f(t, Xt)] ≤ K|x| α để thuận tiện cho việc áp dụng bất đẳng thức Bihari Đối với trường hợp λd ≥ 0, từ các công thức 2.20 và 2.21, chúng ta có thể rút ra những kết luận quan trọng.
Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Bihari như sau: Nếu u(t) ≤ c+
1−m 1 , (0< m < 1), vớiu(t) = e −(λ d +γ)t Xt,c = N| x z |,f(t) = KN exp ([(2−β)γ −βλd]s) và m = 1−β.
Vì vậy, tồn tại biến ngẫu nhiên M để cho:
< q¯dựa vào cách chọn γ ở Bước 3.
Vì thế, với mọi > 0 cố định, từ 2.3 (*), sẽ tồn tại biến ngẫu nhiên
Mặt khác, trong khoảng [0, T 1 ], nghiệm X(t, x) phụ thuộc liên tục vào điều kiện ban đầu của x, khi đó, ta có thể chọn δ >0 thỏa mãn
(2.27) Kết hợp 2.26 và 2.27 ta có
P (|X(t, x)| ≤q t , ∀t ≤ 0)≥ 1−, khi |x|< δ. Điều này có nghĩa là 2.18 ổn định hơn 2.17. b) Với λd < 0 Ta chọn |f(t, Xt)] ≤ K|x| α và chứng minh tương tự.
Sử dụng hệ quả của bất đẳng thức Bihari như sau: Nếu u(t) ≤ c+
[1 −(m−1)c m−1 Rt t 0f(s)ds] 1−m 1 Chúng ta có:
Sử dụng lập luận tương tự như trên, ta kết luận rằng với mọi >0, tồn tại δ >0 để cho nếu |x| < δ ta có
Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Hệ quả 2.3.3 (Xem [3], trang 267) Nếu mũ Lyapunov cao nhất của2.13 là âm thì hệ bị nhiễu 2.18 là ổn định.
Luận văn đã thu được các kết quả chính sau đây:
1 Trình bày có hệ thống khái niệm và tính chất cơ bản về tính ổn định (theo nghĩa Liapunov) của hệ phương trình vi phân Gồm các nội dung:
- Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính.
2 Trình bày khái niệm và các tính chất của số mũ đặc trưng Liapunov. Trình bày ứng dụng của số mũ đặc trưng Liapunov để nghiên cứu tính ổn định của hệ thống tuyến tính không dừng.
3 Trình bày nội dung của bài toán so sánh tính ổn định của các hệ động lực tuyến tính với nhiễu nhỏ gồm có:
- Đặt bài toán so sánh tốc độ phát triển của các hệ động lực.
Giả sử hệ phương trình dXt = AtXtdt + BtXtdWt (2.13) có tính đều và ổn định chặt hơn hệ dYt = a(t, Yt)dt + σ(t, Yt)dWt (2.17) Khi đó, hệ bị nhiễu nhỏ dXt = (AtXt + f(t, Xt))dt + BtXtdWt ổn định chặt hơn hệ (2.17).
Hướng phát triển nghiên cứu:
Tác giả xin đề cập một số hướng nghiên cứu trong tương lai:
Luận văn mới chỉ ra kết luận cho hệ bị nhiễu từ hệ (2.13), với đặc điểm là các tham số A t và B t không phụ thuộc vào Xt Việc tổng quát hóa bài toán bằng cách cho phép At và B t phụ thuộc vào Xt sẽ mở ra nhiều ứng dụng hơn.
• Kết quả chính của luận văn phụ thuộc vào điều kiện nhiễu f(t, X t ) bị giới hạn bởi Kmin |x| α ,|x| 1−β
Giới hạn này có thể được nới lỏng thêm nữa bởi vì một số bất đẳng thức được dùng trong các bước chứng minh chưa hoàn toàn chặt.