Toán tử compact trong không gian hilbert

Toán tử compact giữa các không gian định chuẩn

Một số khái niệm và tính chất cơ bản

Trong phần này, chúng tôi trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản, cùng với các công thức áp dụng cho toàn bộ luận văn Những khái niệm và tính chất này đã được nêu rõ trong các tài liệu tham khảo liên quan.

Trong suốt luận văn, ký hiệu K đại diện cho trường vô hướng, có thể là R hoặc C Dãy (x n) hoặc (x n) có số hạng tổng quát là x n Cần lưu ý rằng "ánh xạ" và "toán tử" mang cùng một nghĩa trong ngữ cảnh này.

1.1.1 Định nghĩa (i) Giả sử E là một K-không gian vectơ Một chuẩn trên E là một hàm x 7→ kxk từ E vào R thỏa mãn các điều kiện sau với mọi x, y thuộc E, mọi λ thuộc K.

(1) kxk ≥ 0,kxk = 0 nếu và chỉ nếu x = 0;

(ii) Không gian tuyến tínhE cùng với một chuẩn trên nó được gọi là không gian định chuẩn.

1.1.2 Định nghĩa Không gian định chuẩn E được gọi là không gian Banach nếu mọi dãy Cauchy trong E đều hội tụ.

1.1.3 Định lý Giả sử f là một ánh xạ tuyến tính từ không gian định chuẩn

E vào không gian định chuẩn F Khi đó các mệnh đề sau là tương đương (a) f là liên tục đều;

(d) f bị chặn, tức là tồn tại số k > 0sao cho kf(x)k ≤ kkxk với mọi x ∈ E.

1.1.4 Mệnh đề Giả sử E và F là các không gian định chuẩn trên cùng một trường K Ký hiệu L(E, F) là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F L(E,F) là không gian vectơ con của K-không gian vectơ L(E, F) tất cả các ánh xạ tuyến tính từ E vào F Với mỗi f ∈ L(E, F), đặt kfk= inf{k :kf(x)k ≤ kkxk với mọi x ∈ E} (1)

1.1.5 Bổ đề 1) Nếu f ∈ L(E, F) thì kfk= sup x∈E x6=0 kf(x)k kxk = sup x∈E kxk≤1 kf(x)k = sup x∈E kxk=1 kf(x)k.

2) Công thức (1) xác định một chuẩn trên L(E,F).

1.1.6 Chú ý (i) Từ công thức (1) ở Mệnh đề 1.1.4, mọi f ∈ L(E, F) có kf(x)k ≤ kfk.kxk, ∀x ∈ E.

(ii) Nếu f là ánh xạ tuyến tính từ E vào F và k là hằng số thỏa mãn kf(x)k ≤ kkxk, ∀x ∈ E thì f là liên tục và kfk ≤ k.

1.1.7 Định lý Nếu F là không gian Banach thì không gian L(E,F) là Banach.

1.1.8 Định nghĩa Không gian con thực sự H của không gian định chuẩn

E được gọi là siêu phẳng trong E nếu F là một không gian con của E chứa

1.1.9 Định lý H là siêu phẳng của E nếu và chỉ nếu H = f −1 (0) với một phiếm hàm tuyến tính nào đó f ∈ E ∗ = L(E,K), f 6= 0 Phiếm hàm f gọi là phương trình của siêu phẳng H Nếu g là một phương trình khác của H thì tồn tại α ∈ K sao cho g = αf.

1.1.10 Định lý (Riesz) Một không gian định chuẩn E là compact địa phương nếu và chỉ nếu nó có chiều hữu hạn.

1.1.11 Định nghĩa Một tập con A của không gian định chuẩn E được gọi là toàn vẹn nếu tập tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu hạn của A trù mật trong E, có nghĩa là nếu ký hiệu spanA = {x ∈ E : ∃a 1 , , a n ∈ A, n ∈ N với x n

P i=1 α i a i } thì spanA = E Ta nói rằng dãy (a n ) ⊂ E là toàn vẹn nếu tập các phần tử của dãy là toàn vẹn.

1.1.12 Định nghĩa Giả sử E là một không gian định chuẩn trên trường

K E ∗ = L(E,K) là không gian liên hợp của E.

(i) Tôpô yếu nhất trên E để các ánh xạ f ∈ E ∗ liên tục được gọi là tôpô yếu trên E.

Để ánh xạ f liên tục tại điểm x ∈ E, điều kiện cần và đủ là các tập dạng ∪(f, x, ε) = {y ∈ E : |f(y) − f(x)| < ε} phải là tập mở Gọi σ là tôpô yếu trên E, thì σ được sinh bởi họ các tập này, tức là tôpô bao gồm tất cả các hợp tùy ý của các giao hữu hạn của các tập đã nêu.

W ∈ σ nếu và chỉ nếu mọi x ∈ W tồn tại hữu hạn hàm f 1 , , f n ∈ E ∗ và ε > 0 sao cho U(f 1 , f 2 , , f n , x, ε) ⊂W, ở đây

Dãy (x n ) ∈ E được gọi là hội tụ yếu đến x ∈ E, ký hiệu là x n −→ w x, khi mọi lân cận yếu U của x tồn tại một chỉ số n 0 sao cho x n thuộc U với mọi n ≤ n 0 Cụ thể, x n −→ w x nếu với mọi hàm f 1 , f 2 , , f p thuộc E ∗ và ε > 0, có một số n 0 sao cho x n nằm trong lân cận U(f 1 , f 2 , , f p , x, ε) với mọi n ≥ n 0.

1.1.13 Bổ đề Dãy (x n ) trong không gian định chuẩn E hội tụ yếu đến x ∈ E nếu và chỉ nếu f(x n )→f(x) với mọi f ∈ E ∗

1.1.14 Mệnh đề Nếu E, F là hai không gian định chuẩn và f ∈ L(E, F) thì f là ánh xạ liên tục yếu.

1.1.15 Định nghĩa Giả sử E là không gian Banach trên K Ký hiệu L(E) = L(E, E) là không gian Banach các toán tử liên tục trong E với chuẩn của ánh xạ tuyến tính liên tục L(E) không chỉ là không gian Banach mà còn là đại số với phép nhân là phép hợp thành thỏa mãn kg.fk ≤ kgkkfk, g, f ∈ L(E). Đại số như vậy gọi là đại số Banach Đại số này có phần tử đơn vị là toán tử đồng nhất 1 E

Phần tử f ∈ L(E) gọi là khả nghịch nếu tồn tại g ∈ L(E) sao cho gf f g = 1 E

Tập G(E) các phần tử khả nghịch của L(E) là tập các tự đẳng cấu của E.

1.1.16 Định nghĩa Giả sử D là tập mở trong trường K và f : D→E là hàm trênD với giá trị trong không gian Banach E trên trường K Hàm f gọi là giải tích trên D nếu với mọi λ 0 ∈ D tồn tại r > 0 sao cho f(λ) ∞

Rừ ràng nếu f : D→E là giải tớch thỡ à.f :D→K là giải tớch với mọi à ∈ E ∗

1.1.17 Định nghĩa Giả sử E là không gian Banach và f ∈ L(E) Ta nói λ ∈ K là giá trị chính quy của f nếu λ−f khả nghịch, ở đây viết λ−f thay cho λ1 E −f.

Trong trường hợp ngược lại ta nói λ là giá trị phổ của f.

Ký hiệu S(f) và σ(f) lần lượt là tập tất cả các giá trị chính quy và phổ của f.

1.1.18 Định lý Giả sử E là không gian Banach trên trường K Khi đó phổ σ(f) của mọi f ∈ L(E) là tập compact và hàm R(f) : λ 7→ (λ−f) −1 là giải tích trên S(f) Ngoài ra nếu K = C thì σ(f) 6= ∅.

(ii) d(λ, σ(f)) ≥ k(λ−f 1 ) −1 k,với λ ∈ S(f), trong đó d(λ, σ(f)) = inf{|λ−z| : z ∈ σ(f)}.

1.1.20 Định nghĩa Giả sử E, F là hai không gian định chuẩn và A ∈ L(E, F) Ta xác định ánh xạA 0 : F ∗ →E ∗ bởi công thức (A 0 (f)(x)) = f(A(x)) với mọi f ∈ F ∗ và với mọi x ∈ E Ánh xạ A 0 được gọi là ánh xạ đối ngẫu hay liên hợp của A.

Ta chứng minh được A 0 là tuyến tính liên tục và kA 0 k = kAk.

1.1.21 Mệnh đề ChoE là không gian Banach, A∈ L(E) Khi đó σ(A) σ(A 0 ).

1.1.22 Mệnh đề Giả sử M là không gian con của không gian định chuẩn

E và x ∈ E với δ = d(x, M) = inf{kx−yk : y ∈ M}, khi đó tồn tại f ∈ E ∗ thỏa mãn kfk = 1, f(x) = δ và f

Toán tử compact giữa các không gian định chuẩn

Mục này sẽ trình bày khái niệm và một số tính chất của ánh xạ compact giữa các không gian định chuẩn.

1.2.1 Định nghĩa Giả sử E và F là các không gian định chuẩn Ánh xạ (toán tử) tuyến tính f : E→F được gọi làtoán tử compact nếu ảnh f(B) của hình cầu đơn vị đóngB trong E là compact tương đối trong F, nghĩa là f(B) là tập compact.

1.2.2 Nhận xét Mọi toán tử compact đều liên tục.

Chứng minh Vì f là toán tử compact nên f(B) là tập compact Do đó f(B) bị chặn, tức là tồn tại hằng số k sao cho kyk ≤ k,∀y ∈ f(B).

Từ đó suy ra kf(x)k ≤ k, ∀x ∈ E,kxk = 1.

Với mọi x ∈ E mà x 6= 0 từ bất đẳng thức trên ta có kf(x)k = kxk. f x kxk

Kết hợp với kf(0)k = 0 ta có kf(x)k ≤ kkxk, ∀x ∈ E.

1.2.3 Định lý Nếu f là toán tử tuyến tính liên tục từ không gian định chuẩn E vào không gian định chuẩn F thì các mệnh đề sau đây là tương đương

(ii) Nếu A là tập hợp bị chặn trong E thì f(A) là tập compact tương đối trong F;

(iii) Nếu (x n ) là dãy bị chặn trong E thì tồn tại dãy con (x n k ) để dãy (f(x n k )) hội tụ trong F.

Để chứng minh rằng f(A) là tập compact tương đối, giả sử f là ánh xạ compact và A là tập bị chặn trong E Từ giả thiết, vì A bị chặn, nên tồn tại một số nguyên n ∈ N sao cho A nằm trong B[0, n], tức là A ⊂ B[0, n] = nB[0,1].

Vì f(A) ⊂ nf(B) và nf(B) là tập compact tương đối, nên suy ra f(A) cũng là tập compact tương đối Giả sử điều kiện (ii) được thỏa mãn và (x_n) là dãy bị chặn trong E Chúng ta cần chứng minh rằng tồn tại dãy con (x_n_k) để dãy (f(x_n_k)) hội tụ trong F Đặt A = {x_n : n = 1, 2, } Vì (x_n) là dãy bị chặn, nên A cũng bị chặn, từ đó dẫn đến f(A) là tập compact tương đối.

Nếu (f(x n )) ⊂ f(A) compact tương đối, thì tồn tại một dãy con (f(x n k )) của (f(x n )) hội tụ Dễ dàng nhận thấy rằng (x n k ) là dãy con của (x n ) Giả sử (iii) được thỏa mãn, có nghĩa là nếu (x n ) là dãy bị chặn trong E, thì tồn tại dãy con (x n k ) để (f(x n k )) hội tụ trong F Để chứng minh f là compact, ta chọn dãy (y n ) ⊂ f(B) và dãy (x n ) ⊂ B sao cho f(x n ) = y n với mọi n Vì (x n ) bị chặn, nên tồn tại dãy con (x n k ) để (f(x n k )) hội tụ, từ đó suy ra f(B) là compact tương đối.

1.2.4 Mệnh đề Giả sử E, F là hai không gian định chuẩn K(E,F) là tập tất cả các ánh xạ compact từ E vào F Khi đó, với phép cộng hai hàm và phép nhân vô hướng với một hàm thông thường, K(E,F) là không gian tuyến tính trên trường K.

Giả sử f và g là hai hàm trong K(E, F), ta cần chứng minh rằng f + g là compact và αf là compact với mọi α ∈ K Giả sử (x_n) là dãy bị chặn trong E Do (x_n) bị chặn và f là ánh xạ compact, theo Định lý 1.2.3, tồn tại dãy con (x_nk) của (x_n) để (f(x_nk)) hội tụ Vì (x_nk) cũng bị chặn và g là ánh xạ compact, tồn tại dãy con (x_nkl) của (x_nk) để (g(x_nkl)) hội tụ Dãy (x_nkl) là dãy con của (x_n), do đó (f(x_nkl)) cũng hội tụ vì (f(x_nk)) đã hội tụ.

((f +g)(x n k )) = (f(x n kl) +g(x n kl)) = (f(x n kl)) + (g(x n kl)) hội tụ Do đó f +g là ánh xạ compact.

Đối với mọi α ∈ K và mọi hàm f ∈ K(E, F), nếu dãy (x n) bị chặn trong không gian E, thì tồn tại một dãy con (x n k) sao cho (f(x n k)) hội tụ Từ đó, ta suy ra rằng ((αf)(x n k)) = (αf(x n k)) hội tụ Do đó, hàm αf được xác định là ánh xạ compact Giả sử f : E→F là một toán tử tuyến tính liên tục giữa hai không gian Banach E và F.

(i) Nếu f compact thì f chuyển mọi dãy hội tụ yếu trong E thành dãy hội tụ (mạnh) trong F;

(ii) Nếu E phản xạ và f chuyển mọi dãy hội tụ yếu thành dãy hội tụ thì f compact.

Chứng minh (i) Giả sử f : E→F compact và (x n ) ⊂ E hội tụ yếu tới x.

Do f liên tục yếu, (f(x n )) hội tụ yếu tới f(x) Nếu f(x n ) 6→f(x) thì tồn tại ε > 0 và dãy con (x n k ) sao cho kf(x n k )−f(x)k ≥ ε, k ≥ 1.

Hàm số f(x n k) hội tụ tới y, và vì f(x n k) hội tụ yếu tới f(x), ta có f(x) = y Khi k đủ lớn, ta có kf(x n k) − f(x)k < ε Ngược lại, điều kiện kf(x n k) − f(x)k ≥ ε với mọi k ≥ 1 không thỏa mãn Do đó, dãy (f(x n)) hội tụ tới f(x).

(ii) Suy từ Định lý 1.2.3 và Định lý về tính compact yếu của hình cầu đơn vị đóng trong E

1.2.6 Định lý Giả sử G −→ g E −→ f F −→ h H là một dãy các không gian định chuẩn và các ánh xạ tuyến tính liên tục Khi đó nếu f compact thì h◦f ◦g compact.

Gọi B là hình cầu đơn vị trong G Do g liên tục, hình ảnh g(B) sẽ bị chặn trong E Theo Định lý 1.2.3, vì f là compact, nên f(g(B)) cũng là một tập compact tương đối trong F Cuối cùng, nhờ h liên tục, ta có h◦f◦g(B) là tập compact tương đối trong.

1.2.7 Hệ quả Nếu E là không gian định chuẩn và f ∈ L(E) là toán tử compact thì g◦f và f ◦g là compact với mọi g ∈ L(E).

Chứng minh Với h là ánh xạ đồng nhất i E từ E lên E; áp dụng Định lý 1.2.6, ta có E −→ g E −→ f E −→ i E E, i E , g, f ∈ L(E), f compact Do đó i E ◦f ◦g = f ◦g là compact.

Tương tự E −→ i E E −→ f E −→ g E, g, f, i E ∈ L(E), f compact Do đó g.f.i E = gf là compact.

1.2.8 Định lý.NếuE là không gian định chuẩn vàF là không gian Banach thì K(E, F) là không gian con đóng của L(E, F).

Chứng minh Dễ thấy K(E, F) là không gian con của L(E, F) Điều này được suy ra từ Mệnh đề 1.2.4 Bây giờ ta sẽ chứng minh K(E, F) đóng trong L(E, F).

Giả sử (f n ) ⊂ K(E, F), f n →f ∈ L(E, F), nghĩa là kf n −fk→0khi n→∞. Khi đó, với mọi ε > 0, tồn tại n 0 ∈ N, với mọi n ≥ n 0 ta có kf n −fk < ε

Chúng ta cần chứng minh rằng f thuộc K(E, F), tức là f(B) phải compact tương đối Để làm điều này, do f(B) nằm trong F đầy đủ, chúng ta cần chứng minh rằng f(B) hoàn toàn bị chặn Vì f n 0 là ánh xạ compact, nên f n 0(B) là compact tương đối trong F đầy đủ Do đó, f n 0(B) hoàn toàn bị chặn Với mọi ε > 0, tồn tại các điểm x1, , xn thuộc B sao cho f n 0(B) nằm trong n.

B(f(x j ), ε) Thật vậy, với mọi x ∈ B (với mọi y = f(x) ∈ f(B)) thì f n 0 (x) ∈ f n 0 (B), theo (2) tồn tại j 0 ∈ {1, , n} sao cho f n 0 (x) ∈ B f n 0 (x j 0 ), ε 3 suy ra kf n 0 (x)−f n 0 (x j 0 )k < ε

B(f(x j ), ε) Do đó f(B) là tập bị chặn trong F Từ F đầy đủ suy ra f(B) compact tương đối hay f là ánh xạ compact.

1.2.9 Hệ quả Nếu F là không gian Banach thì K(E, F) Banach.

Chứng minh Theo Định lý 1.1.7, L(E, F) là không gian Banach, lại theo Định lý 1.2.8, K(E, F) là không gian con đóng của L(E, F), ta có K(E, F) là Banach khi F là không gian Banach

1.2.10 Định lý Giả sử f : E→F là toán tử compact giữa các không gian Banach Khi đó R(f) là không gian con khả ly của F, trong đó ta viết f(E) thay cho R(f).

Chứng minh Giả sử B E = B[0,1] = {x ∈ E : kxk ≤ 1} Vì f(B E ) compact nên khả ly Do đó f(nB E ) = nf(B E ) khả ly với mọi n ≥ 1 Vì vậy f(E) ∞

1.2.11 Định nghĩa Toán tử tuyến tính f : E→F giữa các không gian vectơ gọi là hữu hạn chiều nếu f(E) là không gian con hữu hạn chiều của F. Nếu E, F là không gian định chuẩn thì f ∈ L(E, F) được gọi là toán tử hữu hạn chiều nếu f(E) là không gian con hữu hạn chiều của F.

1.2.12 Định lý Giả sử f : E→F là toán tử tuyến tính liên tục giữa các không gian Banach Khi đó f là hữu hạn chiều nếu và chỉ nếu f có thể viết dưới dạng f(x) n

Để chứng minh điều kiện đủ là hiển nhiên, ta xem xét toán tử tuyến tính liên tục hữu hạn chiều f: E→F Mục tiêu là chứng minh rằng f có thể được biểu diễn dưới dạng f(x) n.

X j=1 f j (x)y j , x ∈ E, thật vậy, giả sử (y j ) n j=1 là cơ sở của f(E) Như vậy mọi y ∈ f(E) viết được duy nhất dưới dạng y Pn j=1 g j (y)y j , ở đây g j là dạng tuyến tính trên f(E).

Suy ra g j là liên tục Khi đó g j có thể mở rộng tới dạng tuyến tính liên tục h j trên F Khi đó f j = f 0 (h j ), j = 1,2, , ta có f(x) n

1.2.13 Mệnh đề.Giả sử E, F là hai không gian định chuẩn, f ∈ L(E, F). Khi đó, nếu E hoặc F là không gian hữu hạn chiều thì f là ánh xạ compact.

Chứng minh (i) Giả sử E là không gian hữu hạn chiều, F là không gian định chuẩn và f ∈ L(E, F) Ta cần chứng minh f là ánh xạ compact.

B gọi là hình cầu đơn vị đóng trong E, với B = B[0,1], do đó B là tập đóng và bị chặn Vì B là tập con của E, mà E là không gian hữu hạn chiều, nên B là compact Hàm f liên tục nên f(B) cũng là tập compact Do đó, f(B) là tập đóng và suy ra f(B) = f(B)-compact.

Vậy f là ánh xạ compact.

Giả sử F là không gian hữu hạn chiều và E là không gian định chuẩn với f ∈ L(E, F), ta cần chứng minh rằng f là ánh xạ compact, tức là f(B) compact Vì f liên tục, tồn tại hằng số α sao cho kf(x)k ≤ αkxk với mọi x ∈ E Do đó, với x ∈ B, ta có kf(x)k ≤ αkxk ≤ α, cho thấy f(B) bị chặn Hơn nữa, f(B) là tập đóng, do đó f(B) vừa đóng vừa bị chặn trong không gian F hữu hạn chiều, dẫn đến kết luận rằng f(B) là compact.

Vậy f là ánh xạ compact

1.2.14 Hệ quả Mọi ánh xạ hữu hạn chiều giữa các không gian định chuẩn đều là ánh xạ compact.

1.2.15 Mệnh đề Nếu E là không gian định chuẩn vô hạn chiều thì ánh xạ đồng nhất i : E→E là tuyến tính liên tục nhưng không compact.

Chứng minh (i) Chứng minh i tuyến tính Thật vậy, với mọi α, β ∈ K với mọi x, y ∈ E, ta có i(αx+βy) = αx+βy = αi(x) +βi(y).

Phổ của toán tử compact

Trong mục này ta sẽ trình bày một số đặc trưng của phổ của các toán tử compact.

1.3.1 Định lý Giả sử E là không gian Banach, A ∈ L(E) là toán tử compact và λ ∈ K, λ 6= 0 Khi đó N λ = ker(A− λ) và R λ = R(A −λ) lần lượt là các không gian con hữu hạn chiều và không gian con đóng của E với đối chiều hữu hạn, trong đó ta viết R(A−λ) thay cho (A−λ)(E).

Để chứng minh rằng dimN λ < +∞, ta ký hiệu B λ là hình cầu đơn vị trong không gian N λ Vì A(B λ ) = λB λ và A là một ánh xạ compact với λ khác 0, nên B λ là compact tương đối trong N λ Theo Định lý Riesz 1.1.10, điều này dẫn đến kết luận dimN λ < +∞.

(ii) Bởi (i), N λ có cơ sở e 1 , , e n Do Định lý Hahn - Banach tồn tại f 1 , , f n ∈ E ∗ sao cho f i (e j ) =δ ij

Như vậy dạng x 7→ P n j=1 f j (x)e j xác định ánh xạ tuyến tính liên tục P từ

E lên N λ Hiển nhiên P 2 = P Và do đó E = M ⊕ R(P) = M ⊕ N λ với

Để chứng minh rằng R λ là tập đóng, ta cần kiểm tra tính đóng của (A − λ)(M) Điều này có thể thực hiện bằng cách chứng minh tồn tại một hằng số r > 0 sao cho kAy − λyk ≥ rkyk với mọi y thuộc M, trong đó Ay được hiểu là A(y).

Thật vậy, giả sử (y n ) ⊂ M và ((A−λ)y n ) hội tụ tới y ∈ E Do k(A−λ)y n −(A−λ)y m k= k(A−λ)(y n −y m )k

≥ rky n −y m k, ∀n, m ≥ 1, nên dãy (y n ) là Cauchy Và vì vậy (y n ) hội tụ tới x ∈ M Ta có y = lim n→∞(A−λ)y n = (A−λ)x ∈ (A−λ)(M).

Giả sử mọi r > 0 đều không thỏa mãn (∗) Như vậy với mọi n ≥ 1 ta tìm được y n ∈ M,kyk = 1 sao cho k(A−λ)y n k ≤ 1 n.

Do đó(A−λ)y n →0khin→∞ Vì (y n )bị chặn nên tồn tại dãy con(z n ) ⊂ (y n ) sao cho Az n →z 0 , khi n→∞.

Mặt khác do λ 6= 0 và n→∞lim [A(z n )−λz n ] = 0, dãy (z n ) hội tụ tới y 0 = z λ 0 ∈ M.

Ay 0 −λy 0 = lim n→∞(Az n −λz n ) = 0, và do đó y 0 ∈ M ∩N λ = {0} Ta gặp mâu thuẫn vì ky 0 k = lim n→∞kz n k = 1 6= 0.

Tính đóng của M và tính chất của R λ đã được chứng minh Để hoàn tất chứng minh định lý, chúng ta cần chứng minh rằng R λ có đối chiều hữu hạn Điều này được suy ra từ (i) và các hệ thức liên quan.

(E\R λ ) 0 ∼= R 0 λ = N(A 0 −λ) và từ tính compact của A 0

1.3.2 Định nghĩa Giả sử A ∈ L(E) với E là không gian Banach, số λ ∈ K gọi là giá trị riêng của A nếu tồn tại x ∈ E, x 6= 0 sao cho Ax = λx. Phần tử x như vậy gọi là vectơ riêng của A.

1.3.3 Nhận xét (i) Mọi giá trị riêng của A là giá trị phổ của nó và nếu dimE 0 tập {λ ∈ σ(A) : |λ| ≥ r} là hữu hạn Nếu không tồn tại r > 0 và dãy (λ n ) ⊂ σ(A) sao cho |λ n | ≥ r, ∀n≥ 1 và λ n 6= λ m , ∀n 6= m.

Theo Hệ quả 1.3.5, mỗi giá trị riêng λ n của ma trận A tương ứng với một vectơ riêng x n trong không gian E, với điều kiện kxk = 1 Đối với mọi n ≥ 1, ta có Ax n = λ n x n Do λ n khác λ m khi n khác m, nên dãy các vectơ riêng (x n) là độc lập tuyến tính Giả sử rằng sự độc lập tuyến tính của x 1, , x n đã được chứng minh, ta xem xét trường hợp n+1.

Bằng cách nhân hai vế của đẳng thức đầu tiên với λ n+1 rồi trừ đi đẳng thức thứ hai ta được n+1

Nếu x₁, , xₙ là các vectơ độc lập tuyến tính và λₙ₊₁ − λⱼ ≠ 0 với 1 ≤ j ≤ n, thì ta có αⱼ = 0 với 1 ≤ j ≤ n Điều này dẫn đến αₙ₊₁ xₙ = 0, và vì xₙ ≠ 0, ta suy ra αₙ₊₁ = 0 Đối với mọi n ≥ 1, ký hiệu Xₙ là không gian sinh bởi x₁, , xₙ Do dãy (xₙ) độc lập tuyến tính, ta có

Theo Mệnh đề 1.1.22 với mọi n ≥ 1 tồn tại f ∈ E ∗ , f x n = 0,kf x n+1k = 1. Như vậy tồn tại y n+1 ∈ X n+1 sao cho ky n+1 k ≤ 1, f(y n+1 ) ≥ 1

Do (A−λ n+1 )x n+1 = 0 nên (A−λ n+1 )y n+1 ∈ X n Giả sử n > m tùy ý Vì y m ∈ X m nên Ay m ∈ X m ⊂X n−1 và do đó x = (A−λ n )y n −Ay m ∈ X n−1

Mặt khác kAy n −Ay m k= kλ n y n + (A−λ n )y n −Ay m k

2. Điều này chứng tỏ dãy (Ay n ) không có thể có một dãy con hội tụ Tuy nhiên vì(y n ) bị chặn và A compact, dãy (Ay n ) bắt buộc phải có một dãy con hội tụ Ta gặp mâu thuẫn và định lý được chứng minh

1.3.7 Mệnh đề ([4]) Giả sử E là không gian Banach có chiều vô hạn và

(1) 0 ∈ σ(A);σ(A) ⊂ [m, M] với m = inf{(Ax|x) : kxk = 1}, M sup{(Ax|x) : kxk = 1};

(2) Mỗi λ ∈ σ(A)\{0} là giá trị riêng của A và tương ứng không gian riêng

(3) Có dãy hội tụ về không (λ n ) n∈ N trong K sao cho σ(A) = {0} ∪ {λ n : n∈ N};

(4) Với mọi λ ∈ K\{0} ta có dimN(λI −A) = codimR(λI −A); đặc biệt có giả thuyết Fredholm sau λI −A là toàn ánh nếu và chỉ nếu λI −A là đơn ánh.

1.3.8 Bổ đề ([4]) Giả sử E là không gian Banach có chiều vô hạn và

A∈ K(E) Khi đó, với mỗi λ ∈ σ(A)\{0} tồn tại các không gian con bù tôpô

N λ và R λ của E, các ánh xạ từ (λI − A) vào chính nó thỏa mãn các điều kiện sau

R λ là một phép đẳng cấu của R λ

Thêm nữa, σ(A) là đóng và 0∈ σ(A) và σ(A) ⊂ {λ ∈ K : |λ| ≤ kAk}.

Toán tử compact giữa các không gian Hilbert

Không gian Hilbert

Mục này trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản về không gian Hilbert mà chúng cần dùng về sau.

2.1.1 Định nghĩa Một tích vô hướng trên một không gian vectơ E trên trường K là ánh xạ (.|.) : E ×E→K với các tính chất sau

(3) (x|x) ≥ 0 với mọi x ∈ E và (x|x) = 0 khi và chỉ khi x= 0.

Hàm (.|.) thỏa mãn tính chất (1), (2) và

(3’) (x|x) ≥ 0 với mọi x ∈ E; được gọi là một nửa tích vô hướng trên E.

2.1.2 Bổ đề ([4]) Nếu E là K-không gian vectơ và (.|.) là nửa tích vô hướng trên E, thì ta định nghĩa kxk := p

(1) kx+yk 2 = kxk 2 + 2Re(x|y) +kyk 2 với mọi x, y ∈ E;

(3) kk : E→R+ là nửa chuẩn trên E;

(4) Nếu (.|.) là tích vô hướng, thì kk là một chuẩn trên E với mỗi y ∈

E, φ(y) := (.|y) là một dạng tuyến tính liên tục trên E.

2.1.3 Định nghĩa Một không gian vectơ E trên trường K cùng với một tích vô hướng xác định trên nó được gọi là một không gian tiền Hilbert Trên

E xác định một chuẩn kxk = p

(x|x), chuẩn này được gọi là chuẩn sinh bởi tích vô hướng trên E.

Một không gian tiền Hilbert đầy đủ với chuẩn sinh bởi tích vô hướng được gọi là một không gian Hilbert.

2.1.4 Chú ý Nếu (.|.) là tích vô hướng trên E thì

2.1.5 Bổ đề ([4]) Trên mọi không gian tiền Hilbert, các mệnh đề sau luôn đúng với mọi x, y ∈ E

(1) kx+ yk 2 +kx−yk 2 = 2(kxk 2 + kyk 2 ) (đẳng thức hình bình hành).

(2) (x|y) = 1 4 (kx+yk 2 − kx−yk 2 ) + 4 i (kx+iyk 2 − kx−iyk 2 ), nếu K = C

4(kx+yk 2 − kx−yk 2 ) nếu K = R

2.1.6 Bổ đề ([4]) (Bất đẳng thức Cauchy - Schwartz).Nếu E là một không gian tiền Hilbert thì |(x|y)| ≤ kxk.kyk, với mọi x, y ∈ E.

2.1.7 Định lý (Pythagore) Nếu x và y là hai vectơ trực giao trong không gian tiền Hilbert thì kx+yk 2 = kxk 2 + kyk 2

2.1.8 Định nghĩa (i) Giả sử A ⊂ không gian tiền Hilbert E A được gọi là hệ trực giao nếu 0 ∈/ A và với mọi x, y ∈ A mà x 6= y thì x⊥y;

(ii) Giả sử M ⊂ không gian tiền Hilbert Đặt

M ⊥ = {x ∈ E :x⊥M}, gọi M ⊥ là phần bù trực giao của M.

2.1.9 Định lý (Riesz) Nếu E là một không gian tiền Hilbert thì ánh xạ x→(x|a) với a ∈ E là phiếm hàm tuyến tính liên tục, có chuẩn là kak Ngược lại, nếu E là không gian Hilbert thì mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên

E tồn tại duy nhất a ∈ E sao cho f(x) = (x|a) với mọi x ∈ E.

2.1.10 Định nghĩa (i) Giả sử A ⊂ không gian Hilbert E A được gọi là hệ trực chuẩn nếu A là hệ trực giao và kak = 1 với mọi a ∈ A.

(ii) A được gọi là cơ sở trực chuẩn nếu A là hệ trực chuẩn và A toàn vẹn. 2.1.11 Nhận xét (i) Nếu A là hệ trực giao thì

B = n 1 kak.a : a ∈ Ao là hệ trực chuẩn.

(ii) Giả sử A = {a 1 , a 2 , } ⊂ không gian Hilbert E Khi đó A là hệ trực chuẩn khi và chỉ khi

|x n | 2 < ∞o là không gian Hilbert với tích vô hướng

X n=1 x n y n ; x = (x n ), y = (y n ) ∈ l 2 Tích vô hướng này sinh ra chuẩn kxk X ∞ n=1

2.1.12 Bổ đề ([1]) Giả sử (e i ) là một dãy trực chuẩn trong không gian Hilbert E Khi đó

|(x|e i )| 2 ≤ kxk 2 với mọi x ∈ E (bất đẳng thức Bessel).

2.1.13 Định lý ([1]) Giả sử không gian Hilbert E có một cơ sở trực chuẩn đếm được (e n ) Khi đó

(x|e i )(y|e i ) với mọi x ∈ E, y ∈ E (Đẳng thức Parseval).

2.1.14 Chú ý Giả sử hệ trực chuẩn (e i ) i∈I trong không gian tiền Hilbert

E là hữu hạn Ánh xạ p: x→P i∈I

(x|e i )e i là một phép chiếu trực giao trong E vớiR(p) =span{e i : i ∈ I} Hơn nữa, với mọi(λ i ) i∈I trongK I :

2.1.15 Mệnh đề ([4]) Với mọi hệ trực chuẩn (e i ) i∈I trong không gian tiền Hilbert E, các mệnh đề sau tương đương

(1) span{e i :i ∈ I} là trù mật trong E;

|(x|e i )| 2 , với mỗi x ∈ E (Đẳng thức Parseval).

Nếu I = N thì (1) - (3) tương đương với

2.1.16 Mệnh đề ([4]) Mọi hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert E có thể được mở rộng thành cơ sở trực chuẩn của E Đặc biệt, mọi không gian Hilbert không tầm thường đều có cơ sở trực chuẩn.

2.1.17 Định nghĩa.Giả sửE, F là hai không gian Hilbert vàA ∈ L(E, F). Khi đó, với mỗi y ∈ F, phiếm hàm tuyến tính x 7→ (Ax|y) là liên tục Do đó theo Định lý Riesz tồn tại duy nhất phần tử A ∗ y ∈ E sao cho

(Ax|y) = (x|A ∗ y), với mọi x ∈ E. Ánh xạ A ∗ : F→E được xác định như trên được gọi là ánh xạ liên hợp củaA.

Ta chứng minh được A ∗ ∈ L(F, E) và kA ∗ k = kAk.

Toán tử A ∈ L(E) được gọi là tự liên hợp nếu A = A ∗

2.1.18 Mệnh đề ([4]) Giả sử E, F và G là các không gian Hilbert Khi đó

(1) Ánh xạ A 7→A ∗ đẳng cự, phản tuyến tính từ L(E, F) vào L(E, F);

(3) kA ∗ Ak= kAk 2 với mỗi A ∈ L(E, F);

2.1.19 Mệnh đề([4]) Giả sử E và F là các không gian Hilbert Các mệnh đề sau là tương đương với A ∈ L(E, F)

2.1.20 Bổ đề Giả sử A là toán tử liên hợp trong không gian Hilbert E. Khi đó

Chứng minh (1) Vì A là toán tử tự liên hợp nên với mỗi x ∈ E ta có

|(Ax|x)| ≤ sup kxk=1 kAxkkxk = kAk. Để chứng minh kAk ≤ C ta chú ý rằng từ A ∗ = A, với mọi x ∈ E, y ∈ E, ta có

Từ đó suy ra rằng

Nếu bây giờ cố định x, y ∈ E, cùng với kxk ≤ 1 và kyk ≤ 1, λ∈ K đã chọn sao cho kλk = 1 và |(Ax|y)| = Re(Ax|λy), thì nó được suy ra từ Bổ đề 2.1.5 (1).

2.1.21 Mệnh đề ([4]) Cho không gian Hilbert E A ∈ L(E), phép chiếu của A trong E là trực giao nếu và chỉ nếu nó là toán tử tự liên hợp.

Toán tử compact trên không gian Hilbert với cơ sở trực chuẩn đếm được

Trong mục này, chúng ta sẽ trình bày một số tính chất của toán tử compact xác định trên không gian Hilbert với cơ sở trực chuẩn đếm được.

2.2.1 Bổ đề Nếu E là không gian Hilbert với cơ sở trực chuẩn {e n : n 1,2, } thì e n −→ w 0.

Theo Định lý Riesz, nếu f thuộc không gian E ∗, thì tồn tại một phần tử a trong không gian E sao cho f(x) = (x|a) với mọi x trong E Điều này chứng minh rằng dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian Hilbert luôn có thể được biểu diễn thông qua một phần tử cụ thể trong không gian đó.

Mặt khác, vì {e n : n = 1,2, } là cơ sở trực chuẩn nên

|(e n |a)| 2 = kak 2 , tức là chuỗi số

|(e n |a)| 2 = kak 2 hội tụ Do đó

Từ đó suy ra f(e n ) = (e n |a)→0 = f(0) khi n→∞.

2.2.2 Định lý Giả sử E là không gian Hilbert với cơ sở trực chuẩn {e n : n= 1,2, } và F là không gian định chuẩn Khi đó nếu f ∈ L(E, F) là ánh xạ compact thì f(e n )→0 ∈ F.

Chứng minh Với mỗi ϕ ∈ F ∗ , vì f ∈ L(E, F) nên ϕf ∈ E ∗ Theo Bổ đề 2.2.1, e n −→ w 0 nên ϕ(f(e n )) = (ϕf)(e n )→0.

Do đó, theo Bổ đề 1.1.13 ta có f(e n ) −→ w 0.

Giả sử (f(e n )) không hội tụ tới 0 ∈ F Khi đó tồn tại ε 0 > 0 và dãy con (f(e n k )) của (f(e n )) sao cho

Trong không gian F, với (f(e n k )) ∈/ B(0, ε 0 ) cho mọi n k, và B(0, ε 0 ) là hình cầu mở tâm 0 với bán kính ε 0, ta có thể thấy rằng f là ánh xạ compact Đồng thời, dãy (f(e n k )) bị chặn với kf(e n k )k ≤ kfk cho mọi n k Theo Định lý 1.2.3, tồn tại một dãy con (f(e n k 0)) của dãy (f(e n k )) sao cho dãy này hội tụ về y ∈ F.

Vì mỗi dãy hội tụ trong không gian định chuẩn là hội tụ yếu nên f(e n k 0 ) −→ w y.

Từ F với tôpô yếu là T 2 -không gian và theo chứng minh trên f(e n ) −→ w 0 suy ra y = 0, tức là f(e n k 0)→0 Điều này mâu thuẫn với hệ thức (1).

2.2.3 Mệnh đề Giả sử E là không gian Hilbert khả li có cơ sở trực chuẩn{e n : n = 1,2, } và F là không gian Banach Nếu f là ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F thỏa mãn

P n=1 kf(e n )k< ∞ thì f là ánh xạ compact.

Chứng minh Với mỗi n = 1,2, ta xác định ánh xạ f n : E→F bởi công thức f n (x) n

(x|e k )f(e k ), x ∈ E f n là ánh xạ tuyến tính Thật vậy, với mọi x, y ∈ E, với mọi α, β ∈ K ta có f n (αx+βy) n

Với mọi x ∈ E ta có kf n (x)k ≤ n

Ánh xạ f n là một ánh xạ liên tục, và theo định nghĩa của f n, không gian f n (E) là một không gian con hữu hạn chiều của F Do đó, dựa vào Mệnh đề 1.2.13, chúng ta có thể kết luận rằng f n là một ánh xạ compact.

Vì không gian F là không gian Banach, để chứng minh ánh xạ f là compact, theo Định lý 1.2.8, ta cần chứng minh rằng dãy (f n) hội tụ tới f trong không gian L(E, F) Cụ thể, với mỗi x ∈ E, dãy {e n : n = 1, 2, } là cơ sở trực chuẩn của E, do đó ta có x ∞.

Vì f là ánh xạ tuyến tính liên tục nên f(x) ∞

P k=1 kf(e k )k hội tụ và k(x|e k )f(e k )k ≤ kxkke k kkf(e k )k = kxkkf(e k )k, ∀k = 1,2,

P k=n+1 kf(e k )k là phần dư của chuỗi hội tụ

2.2.4 Định lý Giả sử (α n ) là một dãy số bị chặn và f : l 2 →l 2 là ánh xạ được xác định bởi f((x n )) = (α n x n ), (x n ) ∈ l 2 Khi đó α n →0 khi và chỉ khi f là ánh xạ compact.

Chứng minh Điều kiện cần Giả sử α n →0, đầu tiên ta chứng minh f là ánh xạ tuyến tính liên tục Thật vậy, với mọi x = (x n ), y = (y n ) thuộc l 2 và với mọi α, β ∈ K ta có f(αx+βy) = (α n (αx n +βy n )) = (α n αx n +α n βy n )

Suy ra f tuyến tính. Để chứng minh f liên tục ta chứng minh f bị chặn, nghĩa là tồn tại hằng số k sao cho kf(x)k ≤ kkxk = k v u u t

|x n | 2 , x = (x n ) ∈ l 2 Với mọi x = (x n ) ∈ l 2 , ta có kf(x)k v u u t

|α n | hữu hạn (do (x n ) bị chặn) Suy ra f liên tục.

Bây giờ ta chứng minh f là ánh xạ compact Với mỗi n = 1,2, ta xác định ánh xạ f n : l 2 →l 2 với f n (x) = (α 1 x 1 , , α n x n ,0,0, ), x = (x k ) ∈ l 2

Tương tự như với hàm f, ta có thể chứng minh rằng f n là ánh xạ tuyến tính liên tục Hơn nữa, f n (E) là không gian con hữu hạn chiều của l 2, do đó f n là ánh xạ compact Như đã chứng minh trong Mệnh đề 2.2.3, vì l 2 là không gian Banach, để chứng minh f compact, chúng ta chỉ cần chỉ ra rằng f n hội tụ về f trong L(l 2, l 2) Cụ thể, với mọi ε > 0, do α k → 0, tồn tại n 0 ∈ N sao cho

Vì ε > 0 tùy ý nên kf n − fk→0 khi n→∞, tức là f n →f, chứng tỏ rằng f là ánh xạ compact Để chứng minh điều kiện đủ, giả sử f là ánh xạ compact nhưng dãy (α n) không hội tụ tới 0 Khi đó, sẽ tồn tại một ε 0 > 0 sao cho với mỗi n ∈ N, luôn có một k n ∈ N.

Không mất tính tổng quát có thể giả thiết k 1 < k 2 <

Ta xét dãy (e k n ) trong l 2 với e k n = (0, ,0,1,0,0, ), trong đó 1 là số hạng thứ k n ;n= 1,2,

Vì ke k n k= 1 với mọi n nên (e k n ) là dãy bị chặn Do đó theo Định lý 1.2.3 tồn tại dãy con (f(e k n 0 )) của (f(e k n )) sao cho f(e k n 0 )→y ∈ l 2

Mặt khác, vì {e n : n = 1,2, } với e n = (0, ,0,1,0,0, ),1 ở vị trí thứ n là cơ sở trực chuẩn trong l 2 nên theo Mệnh đề 2.2.2, f(e n )→0 Do đó f(e k n 0 )→0. Điều này mâu thuẫn với kf(e k n )k= |α k n 0 | > ε, ∀k n

2.2.5 Bổ đề Giả sử H là không gian Hilbert Các mệnh đề sau là tương đương với mọi toán tử tự liên hợp A ∈ L(H).

(2) Với mọi hệ trực chuẩn đếm được (e j )j ∈ N trong H ta có j→∞lim (Ae j |e j ) = 0.

(3) Với mỗi ε > 0, tồn tại một phép chiếu trực giao P trong H có số đối chiều hữu hạn sao cho kP APk ≤ ε.

Chứng minh rằng từ (1) suy ra (2), A(U) là một không gian compact với U = {x ∈ H : kxk ≤ 1} Nếu (e_j) là một hệ trực chuẩn trong H, thì {ee_j : j ∈ N} cũng thuộc C(A(U)) và đáp ứng giả thuyết của Định lý Azela - Ascoli Theo Bất đẳng thức Hölder, dãy (ee_j) hội tụ từng điểm về 0, do đó (ee_j) là dãy hội tụ về 0 trong C(A(U)) Kết quả là lim j→∞(Ae_j |e_j) = 0.

Giả sử (3) không đúng, sẽ tồn tại một ε 0 > 0 sao cho với mọi phép chiếu trực giao P trong không gian H với codimR(P) < ∞, ta có kP APk > ε 0 Từ đó, chúng ta có thể xây dựng một hệ trực chuẩn (e j ) j∈ N trong không gian H.

Đối với mọi j ∈ N, ta có |(Ae j |e j )| > ε 0, dẫn đến kAk > ε 0 Theo Bổ đề 1.3.8, tồn tại một vector e 1 ∈ H với ke 1 k = 1 và |(Ae 1 |e 1 )| > ε 0 Đồng thời, tồn tại một hệ trực chuẩn {e 1 , , e n } trong H với |(Ae j |e j )| > ε 0 cho 1 ≤ j ≤ n, cho thấy P là phép chiếu trực giao từ H lên span{e 1 , , e n } Do đó, codimR(P) < ∞, dẫn đến kP APk > ε 0 Theo Mệnh đề 1.3.7, P AP là toán tử tự liên hợp và ánh xạ R(P) là ánh xạ đồng nhất Cuối cùng, từ Bổ đề 1.3.8, ta có e n+1 ∈ R(P) với ke n+1 k = 1.

Khi đó {e 1 , , e n+1 } là một hệ trực chuẩn trong H với |(Ae j |e j )| > ε 0 , mọi

(3) ⇒(1) Chọnε > 0, tùy ý, chọn P như trong (3) Khi đó đặt Q := I−P là phép chiếu trực giao trong F(H), và

Từ cách chọn P, thì kA−(P AQ+QA(P +Q))k = kP APk ≤ ε.

Vì P AQ+ QA(P + Q) là phép chiếu trực giao trong F(H), nên ta có được

Biểu diễn Schmidt và toán tử Hilbert - Schmidt

Trong phần này, chúng ta sẽ khám phá phép biểu diễn Schmidt của toán tử compact và mối liên hệ giữa toán tử compact, toán tử hạch và toán tử Hilbert-Schmidt trong không gian Hilbert.

Từ nay về sau, nếu không giải thích gì thêm H, G, F, dùng ký hiệu các không gian Hilbert có chiều vô hạn trên trường K.

2.3.1 Bổ đề Giả sử A ∈ L(H) là toán tử compact tự liên hợp Khi đó kAk hoặc −kAk là giá trị riêng của A.

Chứng minh không mất tính tổng quát với giả thiết kAk > 0 Theo Bổ đề 2.1.20, ta có thể giả định rằng kAk = sup{(Ax|x) : kxk ≤ 1} Nếu không, ta xem xét trường hợp -A Khi đó, tồn tại một dãy (x_n) với n thuộc N.

H sao cho kAk = lim n→∞(Ax n |x n ) và kx n k ≤ 1 với mọi n∈ N.

Vì A là compact nên ta có thể chọn (x n ) n∈ N sao cho (Ax n ) n∈ N hội tụ Khi đó (Ax n − kAkx n ) n∈ N là dãy hội tụ về 0 vì

0 ≤ kAx n − kAkx n k 2 = kAx n k 2 −2kAk(Ax n |x n )

Từ đó suy ra tồn tại x 0 := lim n→∞x n và

= kAkx 0 , x 0 6= 0, bởi vì (Ax 0 |x 0 ) =kAk > 0 Vậy kAk là giá trị riêng của A

2.3.2 Mệnh đề Giả sử A ∈ L(H) là toán tử compact tự liên hợp và (λ n ) n∈ N 0 là một dãy các giá trị riêng của A Khi đó, (λ n ) n∈ N 0 là một dãy số thực hội tụ về 0 và tồn tại một hệ trực chuẩn (e n ) n∈ N 0 sao cho A ∞

(λ n (.|e n )e n là chuỗi hội tụ ở trong L(H) với chuẩn của toán tử tuyến tính liên tục.

Theo Mệnh đề 1.3.7, mỗi giá trị riêng λ ∈ σ(A)\{0} của ma trận A có thể được chứng minh Nếu chọn x trong N(λI − A) với kxk = 1, ta có λ = (λx|x) = (Ax|x) là số thực, điều này dẫn đến việc σ(A) ⊂ R Do đó, dãy số (λ n ) n∈ N 0 hội tụ về 0 Với λ, ν thuộc σ(A)\{0} và x ∈ N(λI−A), y ∈

Bởi vì với x ∈ N((λI −A) 2 ) ta có k(λI −A)xk 2 = ((λI −A)x|(λI −A)x) = (x|(λI −A) 2 x) = 0.

Từ đó suy ra N((λI −A) 2 ) =N(λI −A) Vì vậy N λ = N(λI −A).

Chọn cơ sở trực chuẩn hữu hạn của N(λI−A) = N λ và sắp xếp chúng theo thứ tự giảm dần theo |λ|, ta thu được một hệ trực chuẩn (e n ) n∈ N với N = {0, , n 0 } hoặc N = N 0, tùy thuộc vào việc σ(A) là hữu hạn hay vô hạn Hơn nữa, với mỗi n ∈ N, ta có Ae n = λ n e n.

(x|e n )e n Khi đó P là phép chiếu trực giao của H lên H 0 : span{e n : n∈ N} Với x ∈ H 0 ⊥ ta có

Như vậy Ax ∈ H 0 ⊥ Do đó A

H 0 ⊥ là compact tự liên hợp trong H 0 ⊥ và 0 là một giá trị riêng của nó Theo Bổ đề 2.3.1 ta có kA

Với N = N 0 là sự hiểu diễn đã chọn Nếu N = {0, , n 0 } thì λ n = 0 với n > n 0 và ta được phép biểu diễn theo Mệnh đề 2.1.16.

Từ Định lý Pythagoras và Bất đẳng thức Bessel, với mỗi x ∈ H và k ∈ N, thì

Vì (λ n ) n∈N 0 là dãy hội tụ về 0 nên chuỗi đã cho hội tụ theo chuẩn của toán tử tuyến tính liên tục.

2.3.3 Mệnh đề Với mỗi A∈ K(H, G) tồn tại dãy (S n ) n∈N 0 trong [0,∞], giảm hội tụ tới 0 và các hệ trực chuẩn (e n ) n∈N 0 trong H,(f n ) n∈N 0 trong G sao cho

S n (.|e n )f n là chuỗi hội tụ theo chuẩn của toán tử tuyến tính liên tục.

Chứng minh Vì A compact nên A ∗ A là toán tử compact tự liên hợp với λ ∈ σ(A ∗ A)\{0} và x thuộc N(λI −A ∗ A) Với kxk = 1, thì λ = (λx|x) = (A ∗ Ax|x) = (Ax|Ax) ≥ 0.

Như vậy, theo Mệnh đề 1.3.7, σ(A ∗ A) bị chứa trong [0,kAk 2 ] Theo Mệnh đề 2.3.2, tồn tại một dãy hội tụ về 0, giảm dần (S n ) n∈N 0 và hệ trực chuẩn (e n ) n∈N 0 trong H sao cho

Cho n ∈ N 0 với S n > 0, ta xác định f n := S n −1 Ae n Khi đó với n, m ∈

Nếu N = {n∈ N 0 : S n > 0} là tập hữu hạn thì ta mở rộng hệ trực chuẩn (f n ) n∈ N thành hệ trực chuẩn (f n ) n∈N trong G Với y ∈ H, y⊥e n mọi n ∈ N 0 , theo (1) ta có kAyk 2 = (Ay|Ay) = (A ∗ Ay|y) = 0.

Như vậy, từ sự xác định của (f n ) n∈N 0 trong mỗi trường hợp, với mỗi x ∈ H, ta có

Như trong chứng minh Mệnh đề 2.3.2 ta có được chuỗi

S n (.|e n )f n hội tụ theo chuẩn của toán tử tuyến tính liên tục

2.3.4 Định nghĩa Nếu A ∈ K(H, G), thì ta gọi phép biểu diễn của A trong Mệnh đề 2.3.3 là phép biểu diễn Schmidt của A.

2.3.5 Hệ quả Mọi toán tử compact A : H→G là giới hạn trong L(H, G) của một dãy các toán tử hữu hạn chiều, có nghĩa là K(H, G) = F(H, G),trong đó F(H, G) là không gian các toán tử hữu hạn chiều từ H vào G.

Chứng minh Giả sử A có biểu diễn Schmidt là

Theo Định lý 1.2.12, A n thuộc F(H, G) với mọi n = 0, 1, 2, và theo Mệnh đề 2.3.3, (A n) hội tụ tới A trong L(H, G) Do đó, A cũng thuộc F(H, G), dẫn đến kết luận K(H, G) ⊂ F(H, G) Theo Mệnh đề 1.2.13, ta có F(H, G) ⊂ K(H, G), từ đó suy ra F(H, G) = K(H, G) Dấu "=" cuối cùng được xác nhận từ G Banach và Định lý 1.2.8, kết luận rằng K(H, G) = F(H, G).

Chú ý rằng nếu E là không gian Banach, phát biểu trong Hệ quả 2.3.5 không còn đúng trong trường hợp tổng quát Năm 1973, Enflo đã chứng minh sự tồn tại của không gian Banach E sao cho F(E) khác K(E).

S n (.|e n )f n là phép biểu diễn Schmidt của

Nếu A thuộc K(H, G), thì hai hệ trực chuẩn (e_n) n∈N₀ và (f_n) n∈N₀ không phải là duy nhất Tuy nhiên, dãy (S_n) n∈N₀ được xác định một cách duy nhất Khẳng định này được rút ra từ Mệnh đề 2.3.2 và (S_n)² n∈N.

0 là dãy các giá trị riêng đơn điệu giảm của toán tử compact tự liên hợp

Ta gọi(S n ) n∈N 0 làdãy các số kỳ dị của toán tử compactAvà viết (S n (A)) n∈N 0 2.3.7 Bổ đề Với mọi A ∈ K(H, G) và mọi n∈ N 0 thì

Chứng minh Từ Bất đẳng thức Bessel, với mỗi n∈ N 0 và x ∈ H, ta có

Bây giờ chứng minh S n ≤ α n (A), với B ∈ L(H, G) và dimR(B) ≤ n Thật vậy, giới hạn của B lên span{e 0 , , e n } có hạt nhân không tầm thường. Như vậy tồn tại y n

P j=0 ξ j e j với kyk = 1 và B y = 0 Bây giờ theo Định lý Pythagore thì kA−Bk 2 ≥ k(A−B)yk 2 = kAyk 2 k n

2.3.8 Mệnh đề Các số kỳ dị của các toán tử compact giữa các không gian Hilbert có các tính chất sau

(1) (S n (A)) n∈N 0 là dãy giảm dần về 0, với S 0 (A) =kAk, với mỗi A trong K(H, G).

(6) S n (SAT) ≤ kSkS n (A)kTk, với mọi n ∈ N 0 và mọi S ∈ L(G, H), A ∈ K(F, G), T ∈ L(E, F).

Chứng minh (1) Từ Bổ đề 2.3.7 suy ra rằng, với mỗi A ∈ K(H, G) ta có

S n (A) ≤ S n+1 (A) với mọi n = 0,1, Do đó (S n (A)) n∈N 0 giảm dần về 0. Cũng theo 2.3.7 ta có

(2) Với mỗi A ∈ K(H, G) và với mỗi λ ∈ K, λ 6= 0, theo Bổ đề 2.3.7 ta có

(3) Giả sử m = 0,1,2, và A ∈ L(H, G) với dimR(A) ≤ m Khi đó, theo Mệnh đề 1.2.13, A ∈ K(H, G) Theo Bổ đề 2.3.7 ta có

S n (.|e n )f n là phép biểu diễn Schmidt của A thì A ∗ ∞

S n (.|f n )e n là phép biểu diễn Schmidt của A ∗ Từ đó ta có (4).

(5) Nếu A, B ∈ K(H, G), m, n ∈ N0 và ε > 0 cho trước thì từ Bổ đề 2.3.7 suy ra tồn tại A 0 , B 0 ∈ L(H, G) với dimR(A 0 ) ≤ m, dimR(B 0 ) ≤ n, sao cho kA−A 0 k ≤ S m (A) + ε

Vì dimR(A 0 +B 0 ) ≤ m+n nên theo Bổ đề 2.3.7 ta có

Do ε > 0 bất kỳ nên từ bất đẳng thức trên suy ra (5).

(6) Cho n ∈ N 0 và ε > 0, chọn A 0 như trong chứng minh của (5) Khi đó dimR(SA 0 T) ≤ m, vì thế từ Bổ đề 2.3.7 ta có

S m (SAT) = kSAT −SA 0 Tk ≤ kSkkA−A 0 kkTk

(7) Giả sử A ∈ K(F, G), B ∈ K(E, F) và n ∈ N0 Với ε > 0, tồn tại

A 0 ∈ L(F, G) với dimR(A 0 ) ≤ n và kA−A 0 k ≤ S n (A) +ε Tương tự tồn tại

B 0 ∈ L(E, F) với dimR(B 0 ) ≤ n và kB −B 0 k ≤ S n (B) +ε Từ

(A−A 0 )(B −B 0 ) = AB−A 0 (B −B 0 )−AB 0 , và dim(A 0 (B −A 0 ) +AB 0 ) ≤ 2n, suy ra rằng

Vì ε > 0, bé tùy ý nên ta có điều phải chứng minh

2.3.9 Định nghĩa.Giả sửE, F là hai không gian định chuẩnA ∈ L(E, F).

A được gọi là toán tử hạch nếu tồn tại dãy (a n ) ⊂ E ∗ ,(y n ) ⊂F sao cho

2.3.10 Định nghĩa Giả sử A ∈ K(H, G) A được gọi là toán tử Hilbert - Schmidt nếu

(S n (A)) 2 < ∞, trong đó (S n (A)) n là dãy các số kỳ dị của A.

2.3.11 Nhận xét Giả sử A ∈ K(H, G) có biểu diễn Schmidt như trong Mệnh đề 2.3.3

Khi đó, nếu A là toán tử Hilbert - Schmidt thì P n,m

Chứng minh Với mỗi x ∈ H ta có

Sau đây ta sẽ nghiên cứu mối quan hệ giữa các lớp ánh xạ compact, hạch, Hilbert - Schmidt giữa các không gian Hilbert.

2.3.12 Định lý Giả sử E, F là hai không gian Hilbert và A ∈ L(E, F). Khi đó

1) Nếu A là toán tử hạch thì A là ánh xạ compact.

2) Nếu A là ánh xạ compact và

S n (A) < ∞ thì A là toán tử hạch và là toán tử Hilbert - Schmidt.

Chứng minh 1) Vì A là toán tử hạch nên tồn tại dãy (a n ) trong E ∗ và dãy

Với mỗi n = 1,2, ta xác định ánh xạ A n : E→F bởi

Từ các a k ∈ E ∗ suy ra A n tuyến tính liên tục Mặt khác dimA n (E) ≤ n Do đó A n là ánh xạ hữu hạn chiều Theo Mệnh đề 1.2.14, A n là ánh xạ compact.

P k=n+1 ka k k.ky k k là phần dư của chuỗi hội tụ

P n=1 ka n k.ky n k Từ đó suy ra kA−A n k→0, tức là A n →A Mặt khác {A n } ⊂ K(E, F) và K(E, F) đóng trong L(E, F) nên A ∈ K(E, F).

∞, tức là A là toán tử Hilbert - Schmidt Giả sử A có biểu diễn Schmidt là

S n (A)(x|e n )f n , x ∈ E, (1) trong đó (e n ),(f n ) lần lượt là cơ sở trực chuẩn trong E, F. Đặta n (x) = (x|e n ), x ∈ E, n = 0,1, Khi đó theo Định lý Riesza n ∈ E ∗ và ka n k = ke n k= 1 với mọi n Đặt y n = S n (A)f n , n = 0,1, ta có(y n ) ⊂F và ky n k= S n (A) Do đó

Kết hợp với (1) ta kết luận được A là ánh xạ hạch

2.3.13 Mệnh đề Với mọi ánh xạ tuyến tính liên tục A : H→G thì các mệnh đề sau tương đương

1) Tồn tại một cơ sở trực chuẩn (e i ) i∈I của H sao cho P i∈I kAe i k 2 < ∞;

2) Với mọi cơ sở trực chuẩn (ξ j ) j∈J của H, thì P j∈J kAξ j k 2 < ∞;

3) A là một toán tử Hilbert - Schmidt.

Chứng minh 1) ⇒ 2) Giả sử (e i )i ∈ I thỏa mãn 1) và giả sử (f l ) l∈L là một cơ sở trực chuẩn của G Khi đó, theo Mệnh đề 2.1.15 (3) ta có

Nếu (ξ j ) j∈J là một cơ sở trực chuẩn tùy ý của H thì tương tự như trên ta có

2) ⇒ 3) Nếu (e i ) i∈I là một cơ sở trực chuẩn của H và M là một tập con hữu hạn trong I thì định nghĩa P M := P i∈M

(.|e i )e i Khi đó, từ Mệnh đề 2.1.15, Bất đẳng thức H¨older và chú ý 2.1.14 k(A−AP M )xk = kA(I −P M )xk

Từ P i∈I kAe i k 2 < ∞ suy ra A thuộc F(H, G) Do đó A là toán tử compact và vì vậy có sự biểu diễn Schmidt

S n (.|x n )f n , (3) trong đó (x n ) n∈N 0 là hệ trực chuẩn trong H còn (f n ) n∈N 0 là hệ trực chuẩn trong G Từ Mệnh đề 2.1.16 có một cơ sở trực chuẩn (ξ j ) j∈J của H chứa hệ trực chuẩn (x n ) n∈N 0 Khi đó

Do đó S n (A) ∈ l 2 và như vậy A ∈ S 2 (H, G).

3) ⇒ 1) Nếu A ∈ S 2 (H, G) thì A có phép biểu diễn Schmidt như trong công thức (3) Như đã thấy ở trên thì 1) được suy ra từ công thức (4)

2.3.14 Hệ quả Nếu A : H→G là một toán tử Hilbert - Schmidt thì với mỗi cơ sở trực chuẩn (e i ) i∈I của H thỏa mãn điều kiện v 2 (A) 2 ∞

Trong trường hợp đặc biệt, v 2 là chuẩn trên S 2 (H, G).

Trong bài viết này, chúng ta sẽ chứng minh rằng đẳng thức được hình thành từ (1) và (4) trong Mệnh đề 2.3.13 Bằng cách lấy M = ∅ trong bất đẳng thức (2), chúng ta có thể đạt được bất đẳng thức cần chứng minh, từ đó giúp quá trình chứng minh trở nên dễ dàng hơn.

Giả sử H và G là khả ly và (e k ) k∈N ,(f j ) j∈N tương ứng là các cơ sở trực chuẩn trong H và G Nếu A∈ L(H, G) thì từ Mệnh đề 2.1.15 ta có

Các hệ số của Ax tương ứng với (f j ) j∈N có thể được xác định từ các hệ số của x tương ứng với (e k ) k∈N thông qua các giá trị của ma trận vô hạn a j,k = (Ae k |f j ), với j, k thuộc tập hợp N.

Ta gọi (a j , k) j,k∈N là ma trận của ánh xạ A tương ứng với các cơ sở trực chuẩn (e k ) k∈N và (f j ) j∈N

Từ đó, theo Mệnh đề 2.1.15 thì

Kết hợp với Hệ quả 2.3.14 ta đạt được Mệnh đề sau.

2.3.15 Mệnh đề Nếu H và G là tách được thì A ∈ L(H, G) là toán tử Hilbert - Schmidt nếu và chỉ nếu ma trận (a j,k ) j,k∈N của A tương ứng với các cơ sở trực chuẩn tùy ý là bình phương khả tổng, có nghĩa là nếu và chỉ nếu P j,k∈N

|a j,k | 2 hội tụ Trong trường hợp này v 2 (A) 

2.3.16 Hệ quả A ánh xạ tuyến tính A : l 2 →l 2 là toán tử Hilbert - Schmidt nếu và chỉ nếu tồn tại ma trận (a j,k ) j,k∈N với P j,k∈N

Chứng minh Nếu A có dạng như trên thì A ∈ L(l 2 ) Khi đó theo Bất đẳng thức Cauchy - Schwartz ta có kAxk 2 ≤

Kết luận được rút ra từ Mệnh đề 2.3.15 Để kết thúc phần này, chúng ta sẽ trình bày một định lý, có thể coi đây là ví dụ minh họa cho một số khái niệm đã được đề cập.

2.3.17 Định lý Giả sử (α n ) n là dãy số bị chặn và A : l 2 →l 2 là ánh xạ được cho bởi

1) α n →0 khi và chỉ khi A là toán tử compact và dãy các số kỳ dị của A là(α n ) n

|α n | < ∞ thì A là toán tử hạch.

|α n | 2 < ∞ khi và chỉ khi A là toán tử Hilbert - Schmidt.

Chứng minh 1) Phần đầu của 1) là nội dung của Định lý 2.2.4 Bây giờ ta chỉ cần chứng minh rằng nếu A compact thì (S n (A)) = (α n ) Thật vậy, theo giả thiết ta có

|α j | 2 |x n | 2 →0 khin→∞ vì (α n ) bị chặn và

|x n | 2 hội tụ Từ đó suy ra

Vì (e n ) n là cơ sở trực chuẩn của l 2 nên từ (1) suy ra dãy các số kỳ dị của

|a n | < ∞ Theo chứng minh trong 1) ta có

X n=1 α n (x|e n )e n , x ∈ l 2 (1) Với mỗi n = 1,2, đặt y n = α n e n và xác định ánh xạ a n : l 2 →l 2 , với a n (x) = (x|e n ), x ∈ l 2

Khi đó, (y n ) n ⊂ l 2 ,ky n k = |a n | và theo Định lý Riesz thì a n ∈ l 2 ∗ ,ka n k ke n k= 1 với n = 1,2, Do đó

Từ (1) và (2) suy ra A là toán tử hạch.

|α n | 2 < ∞ Khi đó α n →0 Do đó theo 1) thì A compact và (S n (A)) n = (α n ) n

Theo Định nghĩa 2.3.10, A là toán tử Hilbert - Schmidt.

Ngược lại, giả sử A là toán tử Hilbert - Schmidt Khi đó A là toán tử compact Do đó α n →0 Theo 1) thì (α n ) n = (S n (A)) n