BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH —————— —————– ——————– —————— TRẦN THỊ MINH THÙY BIẾN ĐỔI FOURIER VÀ BIẾN ĐỔI LAPLACE LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC VINH - 2009 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH —————— —————– ——————– —————— TRẦN THỊ MINH THÙY BIẾN ĐỔI FOURIER VÀ BIẾN ĐỔI LAPLACE Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học PGS.TS ĐINH HUY HOÀNG VINH - 2009 MỤC LỤC Trang MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chương Biến đổi Fourier 1.1 Các kiến thức chuẩn bị 1.2 Chuỗi Fourier 1.3 Tích phân Fourier 15 1.4 Biến đổi Fourier 19 1.5 Ứng dụng biến đổi Fourier 27 Chương Biến đổi Laplace 31 2.1 Biến đổi Laplace 31 2.2 Tính chất ảnh 34 2.3 Tích chập 39 2.4 Biến đổi Laplace ngược 41 2.5 Ứng dụng biến đổi Laplace 45 KẾT LUẬN 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO 50 LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết toán tử hướng nghiên cứu Giải tích hàm Giải tích phức Khi nghiên cứu phép tính tốn tử người ta đưa khái niệm tính chất biến đổi Fourier biến đổi Laplace Các biến đổi hữu ích việc giải phương trình vi phân, giải phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân, phương trình thường xuất tốn Vật lý, Điện tử, Qua hai phép biến đổi ta chuyển phương trình phức tạp phương trình đơn giản Vì việc tiếp cận tìm hiểu biến đổi Fourier biến đổi Laplace điều bổ ích cần thiết Do chúng tơi chọn đề tài cho luận văn là: "Biến đổi Fourier biến đổi Laplace" Mục đích chúng tơi dựa vào tài liệu tham khảo để tìm hiểu nghiên cứu tính chất biến đổi Fourier biến đổi Laplace với vài ứng dụng chúng Với mục đích đó, luận văn trình bày hai chương Chương Biến đổi Fourier Trong chương này, trước hết chúng tơi trình bày số khái niệm kết cần dùng luận văn, khái niệm tích phân suy rộng, tích phân suy rộng hội tụ tuyệt đối, tích phân hàm biến phức, định lý Cauchy cho miền đơn liên, định lý Morera, chuỗi Laurent, khái niệm điểm bất thường cô lập, thặng dư, Tiếp theo, chúng tơi trình bày số vấn đề chuỗi Fourier phép biến đổi Fourier Chương Biến đổi Laplace Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm, tính chất ứng dụng phép biến đổi Laplace Các kết luận văn chủ yếu có tài liệu tham khảo Chúng tơi tìm hiểu, trình bày theo bố cục Chứng minh chi tiết số kết mà tài liệu chứng minh vắn tắt bỏ qua chứng minh Bên cạnh đó, chúng tơi đưa số kết Định lý 1.4.2, Mệnh đề 1.4.10, Ví dụ 2.1.2 Luận văn thực hoàn thành Trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình, chu đáo nghiêm khắc thầy giáo PGS.TS Đinh Huy Hoàng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nhân đây, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban chủ nhiệm khoa Toán, Ban Chủ nhiệm khoa Sau đại học, tất thầy cô giáo mơn Giải tích giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, bạn bè tạo điều kiện động viên, giúp đỡ tác giả hoàn thành nhiệm vụ suốt thời gian học tập, nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng song luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, kính mong q thầy bạn đọc góp ý để luận văn ngày hồn thiện Vinh, tháng 12 năm 2009 Tác giả CHƯƠNG BIẾN ĐỔI FOURIER 1.1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1.1 Định nghĩa Cho a ∈ R f : [a, +∞)→R hàm khả tích đoạn [a, b] với b ≥ a Khi đẳng thức b F (b) = b≥a f (x)dx, (1) a xác định hàm F : [a, +∞)→R Nếu hàm F (1) có giới hạn I (hữu hạn vơ hạn) b→ + ∞ I gọi tích phân suy rộng b +∞ hàm f [a, +∞) ký hiệu f (x)dx = lim b→∞ a a f (x)dx +∞ Nếu I tồn hữu hạn ta nói tích phân suy rộng f (x)dx hội tụ a +∞ I viết f (x)dx = I a Nếu I không hữu hạn không tồn giới hạn lim F (b) ta nói tích b→∞ +∞ f (x)dx phân kỳ phân suy rộng a Tương tự ta có định nghĩa sau 1.1.2 Định nghĩa Cho f : (−∞, a]→R hàm khả tích đoạn [b, a], b ≤ a Tích phân suy rộng hàm f (−∞, a] giới hạn có a lim a f (x)dx = b→−∞ f (x)dx −∞ b 1.1.3 Định nghĩa Cho f : (−∞, ∞)→R khả tích đoạn hữu hạn Tích phân suy rộng hàm f (−∞, +∞) +∞ a f (x)dx = ∞ +∞ f (x)dx + −∞ f (x)dx a với a ∈ R vế phải có nghĩa +∞ f (x)dx gọi hội tụ tuyệt 1.1.4 Định nghĩa Tích phân suy rộng a +∞ |f (x)|dx hội tụ đối tích phân a +∞ f (x)dx hội tụ tuyệt đối hội tụ Nếu tích phân a 1.1.5 Định nghĩa Cho hàm W = f (z) xác định miền D, nhận giá trị C z0 ∈ D Hàm f gọi giải tích z0 tồn lân cận U z0 cho f khả vi z ∈ U Hàm f gọi giải tích miền D giải tích z ∈ D 1.1.6 Định nghĩa Giả sử γ đường cong R2 (trong C) f : γ→C với f (z) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + iy ∈ γ Ta gọi tích phân f γ biểu thức v(x, y)dx − u(x, y)dy := u(x, y)dx + v(x, y)dy + i γ γ f (z)dz γ 1.1.7 Định lý (Cauchy) Giả sử D miền đơn liên C hàm f giải tích D Khi tích phân f đường cong đóng nằm D 1.1.8 Định lý (Morera) Cho f hàm liên tục miền đơn liên D tích phân f theo đường cong đóng D Khi f hàm giải tích D Giả sử với số nguyên k, fk hàm xác định tập A Ta gọi ∞ fk (z) A tổng hai chuỗi hàm chuỗi hàm k=−∞ −1 ∞ f−k (z) fk (z) = k=−∞ ∞ k=1 fk (z) k=0 Như ∞ −1 ∞ fk (z) = k=−∞ fk (z) + k=−∞ fk (z) k=0 1.1.9 Định lý (Laurent) Cho hàm f giải tích hình vành khăn V = {z ∈ C : r < |z − z0 | < R}, ≤ r < R ≤ ∞ Khi V ta có ∞ ak (z − z0 )k , f (z) = (1) k=−∞ hệ số ak tính theo công thức ak = 2πi f (η) dη, (η − z0 )k+1 Cρ Cρ đường tròn tâm z0 , bán kính ρ với r < ρ < R 1.1.10 Định nghĩa Chuỗi (1) Định lý 1.1.9 gọi khai triển Laurent hay chuỗi Laurent hàm f hình vành khăn {z ∈ C : r < |z − z0 | < R} Trường hợp r = 0, chuỗi (1) hội tụ hình trịn thủng {z ∈ C : < |z − z0 | < R}, ta gọi (1) khai triển Laurent f lân ∞ cận z0 Trường hợp z0 = 0, R = ∞, chuỗi ak z k hội tụ miền k=−∞ |z| > r đến hàm f gọi khai triển Laurent f lân cận ∞ 1.1.11 Định nghĩa Điểm z0 gọi điểm bất thường cô lập hàm f f không xác định z0 xác định giải tích hình trịn thủng < |z − z0 | < R, R > 1.1.12 Định nghĩa Giả sử z0 điểm bất thường cô lập hàm f Khi tồn R > cho f giải tích hình trịn thủng < |z −z0 | < R Ký hiệu Cρ đường trịn tâm z0 , bán kính ρ Ta gọi thặng dư f điểm z0 res[f (z), z0 ] = 2πi f (z)dz, < ρ < R Cρ 1.1.13 Định lý (a) Nếu z0 ∞-điểm đơn hàm f res[f (z), z0 ] = lim (z − z0 )f (z) z→z0 (b) Nếu f (z) = ϕ(z) , ψ(z) ϕ ψ hàm giải tích z0 thỏa mãn ϕ(z0 ) = 0, ψ(z0 ) = 0, ψ (z0 ) = res[f (z), z0 ] = ϕ(z0 ) ψ (z0 ) (c) Nếu z0 ∞- điểm cấp m hàm f dm−1 [(z − z0 )m f (z)] res[f (z), z0 ] = lim (m − 1)! z→z0 dz m−1 1.1.14 Định lý Cho hàm f giải tích miền D trừ số hữu hạn điểm bất thường cô lập z1 , z2 , , zn Khi với chu tuyến γ cho {z1 , z2 , , zn } ⊂ D ⊂ γ có n f (z)dz = 2πi res[f (z), zj ] j=1 γ 1.1.15 Định lý Cho số thực a > hàm f giải tích toàn mặt phẳng trừ hữu hạn điểm bất thường lập có phần thực khác a với lim f (z) = z→∞ Khi với t > ta có a+i∞ I(t) = 2πi n tz res eitz f (z), zj , e f (z)dz = j=1 a−i∞ {z1 , z2 , , zn } tập điểm bất thường lập f (z) có phần thực nhỏ a 1.2 CHUỖI FOURIER 1.2.1 Định nghĩa Ta gọi hàm a0 P (x) = + n (ak coskx + bk sinkx), ∀x ∈ R k=1 đa thức lượng giác, a0 , ak , bk ∈ R, k = 1, 2, 1.2.2 Định nghĩa Giả sử f : [−π, π]→R hàm khả tích Đặt π ak = π f (x) cos kxdx, k = 1, −π π bk = π f (x) sin kxdx, k = 1, 2, (1) −π Ta gọi ak , bk , k = 1, 2, hệ số Fourier hàm f gọi chuỗi a0 + ∞ (ak coskx + bk sinkx) k=1 chuỗi Fourier hàm f Khi ta viết a0 f (x) ∼ + ∞ (ak coskx + bk sinkx) (2) k=1 1.2.3 Nhận xét Nói chung chuỗi Fourier hàm f chưa hội tụ hội tụ chưa biết tổng có hàm f hay khơng? Do có vấn đề đặt với điều kiện chuỗi Fourier hội tụ tới hàm f ? Sau ta giải vấn đề Đặt a0 Sn (f, x) = + n (ak coskx + bk sinkx) k=1 Ta có π Sn (f, x) = 2π n f (u)du + −π k=1 π π f (u)(cos ku cos kx + sin ku sin kx)du −π Chứng minh Vì f (t − T ) = t < T nên đặt t − T = η ta có ∞ ∞ e−pt f (t − T )dt = f (t − T ) e−pt f (t − T )dt T ∞ = e−pT e−pη f (η)dη = e−pT F (p) 2.2.5 Ví dụ Tìm ảnh f (t) = t ∈ [t0 − a, t0 + a] t ∈ / [t0 − a, t0 + a], t0 > a > Giải Ký hiệu h(t) bước nhảy đơn vị (Ví dụ 1.2.6), ta có h(t) p f (t) = h(t − t0 + a) − h(t − t0 − a) Do theo tính chất tuyến tính định lý tịnh tiến gốc f (t) e−pt0 ap 2e−pt0 e−p(t0 −a) e−p(t0 +a) −ap − = (e − e ) = sh(ap) p p p p 2.2.6 Định lý (tịnh tiến ảnh) Nếu f (t) F (p), Rep > α0 với số phức a ta có eat f (t) F (p − a), Rep > α0 + Rea Chứng minh Thật ∞ e−pt f (t)e−(p−a)t dt = F (p − a) eat f (t) 2.2.7 Ví dụ Tìm ảnh eat cos ωt, eat sin ωt, eat tn Giải Theo Ví dụ 2.1.8, Ví dụ 2.2.2 định lý tịnh tiến ảnh ta có eat cos ωt eat sin ωt p−a ; (p − a)2 + ω ω ; (p − a)2 + ω 36 eat tn n! (p − a)n+1 2.2.8 Định lý (đạo hàm gốc) Nếu f (t), f (t), , f (n) (t) hàm gốc, f (t) F (p), Rep > α0 với k = 1, 2, , n ta có f (k) (t) pk F (p) − pk−1 f (0) − pk−2 f (0) − · · · − f (k−1) (0), f (m) (0) = lim f (m) (t) t→0 Chứng minh Ta có ∞ e−pt f (t)dt f (0) = ∞ ∞ e−pt f (t) t=0 e−pt f (t)dt +p = pF (p) − f (0) (1) Vậy công thức với k = Giả sử công thức với k − ≥ f (k−1) (t) pk−1 F (p) − pk−2 f (0) − · · · − f (k−2) (0) Theo (1) ta có f (k) (t) p pk−1 F (p) − pk−2 f (0) − · · · − f (k−2) (0) − f (k−1) (0) = pk F (p) − pk−1 f (0) − · · · − f (k−1) (0), nên công thức với k Theo quy nạp ta có cơng thức với k 2.2.9 Định lý (đạo hàm ảnh) Cho f (t) F (p), Rep > α0 Khi với n ∈ N ta có tn f (t) (−1)n F (n) (p), Rep > α0 Chứng minh Ta nhận xét tn f (t) hàm gốc có cấp tăng với f (t) Do tích phân suy rộng F (p) hội tụ miền Rep ≥ α1 > α0 nên lấy đạo hàm theo p ∞ e−pt (−t)f (t)dt F (p) = 37 −tf (t) Bằng quy nạp ta có hệ thức tn f (t) = (−1)n F (n) (p), Rep > α0 2.2.10 Ví dụ Tìm ảnh t sin ωt, t2 sin ωt Giải Áp dụng Định lý 2.2.9 ta có ω p2 + ω − t sin ωt t sin ωt = 2pω − (p2 + ω )2 2pω ; (p2 + ω )2 6p2 ω − 2ω = (p + ω )2 2.2.11 Định lý (tích phân gốc) Nếu f (t) hàm gốc F (p) t f (u)du hàm gốc t F (p) p f (u)du t f (u)du Với M > α > cho |f (t)| ≤ Chứng minh Đặt ϕ(t) = M eαt với t ≥ ta có t eαu du = |ϕ(t)| ≤ M M M αt (e − 1) < eαt α α Vậy ϕ(t) hàm gốc Giả sử ϕ(t) φ(p) Vì ϕ (t) = f (t) nên theo công thức đạo hàm gốc f (t) = ϕ (t) Từ ϕ(t) φ(p) = pφ(p) − ϕ(0) = pφ(p) = F (p) F (p) p 2.2.12 Định lý (tích phân ảnh) Nếu f (t) ∞ f (t) t F (s)ds, p 38 F (p) f (t) t hàm gốc tích phân lấy theo đường cong nối p với ∞ nằm nửa mặt phẳng hội tụ ảnh hàm gốc f (t) Chứng minh Ta có ∞ ∞ F (s)ds = p  ∞ f (t)e−st dt ds  p  Do F (p) hội tụ nên thứ tự lấy tích phân   ∞ ∞ ∞ ∞ f (t) −pt e dt F (s)ds = f (t) e−st ds dt = t p p f (t) t 2.2.13 Ví dụ Tìm ảnh t sin u du u sin t sit = t p2 +1 Giải Ta có sin t (Ví dụ 2.2.2) Từ theo tích phân ảnh ∞ sint t ds = arctan s s2 + p ∞ = p π − arctan p Theo tích phân gốc ta có sit = π − arctan p p 2.3 TÍCH CHẬP 2.3.1 Định lý 1) Tích chập giao hoán, nghĩa f ∗ g(t) = g ∗ f (t) 2) Nếu f (t) g(t) hàm gốc tích chập ln xác định, ∞ t e−pt f (u)f (t − u)du = f ∗ g(t) = f (u)g(t − u)du 3) Nếu f (t) g(t) hàm gốc f ∗ g(t) hàm gốc 39 Chứng minh 1) Đặt η = t − u ta có ∞ f ∗ g(t) = ∞ f (u)g(t − u)du = − −∞ ∞ g(η)f (t − η)dη −∞ g(η)f (t − η)dη = g ∗ f (t) = −∞ 2) Nếu u > t g(t − u) = 0, f (u)g(t − u) = với u > t Từ ta có điều phải chứng minh 3) Vì f g hàm gốc nên từ 2) suy f ∗ g(t) thỏa mãn điều kiện 1) 2) Định nghĩa 2.1.1 Giả sử f g có số tăng tương ứng α0 , β0 γ0 = max{α0 , β0 } Lấy α > γ0 Khi tồn số M1 , M2 , α1 , α2 cho α > α1 > α0 , a > α2 > β0 |f (t)| ≤ M1 eα1 t , |g(t)| ≤ M2 eα2 t ∀t > Từ ta có t eαu eα(t−u) du |f ∗ g(t)| ≤ M1 M2 t = M1 M2 eαt du αt = M1 M2 te ≤ M1 M2 e(α+1)t ∀t > Do f ∗ g(t) hàm gốc 2.3.2 Định lý (Borel) Nếu f (t) g(t) hàm gốc, f (t) G(p) f ∗ g(t) F (p), g(t) F (p).G(p) Chứng minh Do tích phân tích chập giao hốn theo định lý tịnh tiến gốc g(t − u) e−pu G(p) nên ∞ t f ∗ g(t) = e−pt f (u)g(t − u)du t 40 f (u)g(t − u)du dt ∞ = ∞ ∞ e−pt g(t − u)dt du = f (u) 0 f (u)e−pt G(p)du = F (p).G(p) 2.3.3 Định lý (Duamel) Nếu f (t) g(t) hàm gốc, f (t) g (t) hàm gốc t pF (p)G(p) t f (u)g (t − u)dt = g(0)f (t) + g(0)f (t) + g (u)f (t − u)dt t t g(u)f (t − u)dt = f (0)g(t) + = f (0)g(t) + f (u)g(t − u)dt Chứng minh Ta có pF (p)G(p) = g(0)F (p) + F (p)(pG(p) − g(0)) Theo tính chất tuyến tính cơng thức đạo hàm gốc ta có g(0)F (p) g(0)f (t); pG(p) − g(0) g (t) Từ theo Định lý Borel g(0)f (t) + f ∗ g (t) pF (p)G(p) t f (u)g (t − u)du = g(0)f (t) + Các hệ thức lại nhận tính giao hốn tích chập đổi vai trị f (t) g(t) 2.4 BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC Cho hàm gốc f (t) Theo công thức (1) (phần 2.1) ta tìm ảnh nó, tức biến đổi Laplace thuận Bây ta đưa cơng thức để tìm lại hàm gốc biết ảnh nó, tức biến đổi Laplace ngược 41 2.4.1 Định lý (Mellin) Giả sử F (p) ảnh hàm gốc f (t) với số tăng α0 Khi đó, điểm t mà f (t) liên tục ta có α+ib α+i∞ ept F (p)dp = 2πi f (t) = lim b→∞ 2πi ept F (p)dp, α−i∞ α−ib tích phân lấy theo đường thẳng tùy ý Rep = α > α0 Chứng minh Xét hàm ϕ(t) = f (t)e−αt Với α0 < α1 < α ta có |ϕ(t)| ≤ M e−(α−α1 )t Do ϕ(t) khả tích tuyệt đối R Từ ϕ có biến đổi Fourier ∞ e−2πiλt ϕ(t)dt ϕ(λ) = −∞ Suy ∞ λ ϕ 2π ∞ e−iλt ϕ(t)dt = = −∞ e−iλt e−αt f (t)dt −∞ Đặt p = α + iλ để ý f (t) = ∀t < ta có ∞ λ ϕ 2π e−iλt e−αt f (t)dt = −∞ ∞ e−pt e−pt f (t)dt = F (p) = Theo Định lý 1.3.2, điểm mà f liên tục ϕ liên tục nên ∞ ∞ e2πiλt ϕ(λ)dλ = 2π ϕ(t) = λ 2π eitλ ϕ dλ −∞ −∞ Chú ý đến dp = idλ ta có ∞ f (t) = eαt ϕ(t) = 2π et(α+iλ) ϕ λ 2π dλ −∞ ∞ = 2π ∞ etp F (p)dλ = 2πi −∞ etp F (p)dp −∞ 42 (1) 2.4.2 Định lý Nếu F (p) giải tích C trừ hữu hạn điểm bất thường lim F (p) = F (p) có hàm gốc f (t) với p→∞ α+i∞ f (t) = 2πi n pt res[ept F (p), pk ], e F (p)dp = (2) k=1 α+i∞ {p1 , p2 , , pn } tập hợp điểm bất thường F (p) Chứng minh Vì F (p) giải tích C trừ hữu hạn điểm bất thường p1 , , pn lim F (p) = nên theo Định lý 1.1.14 ta có p→∞ a+i∞ 2πi n res[etp F (p), pj ], e F (p)dp = t ∈ R, t > 0, j=1 a−i∞ a ∈ R a > Đặt f (t) =    2πi a+i∞ etp F (p)dp t > a−i∞  0 t ≤ Theo Định lý 2.4.1 f hàm gốc F (p) 2.4.3 Ví dụ Tìm hàm gốc F (p) = p+1 p2 +2p Giải F (p) có hai cực điểm đơn −2 Theo Định lý 1.1.12 ta có (p + 1)ept res[F (p)e , 0] = lim = ; p→0 p+2 (p + 1)ept res[F (p)ept , −2] = lim = e−2t p→−2 p pt Do theo cơng thức (2) f (t) = 1 −2t + e 2 2.4.4 Định lý Nếu F (p) giải tích ∞ khai triển F (p) lân cận |p| > R ∞ có dạng a1 a2 F (p) = + + ··· = p p 43 ∞ k=1 ak pk F (p) có hàm gốc f (t) với ∞ ak tk−1 (k − 1)! f (t) = k=1 (3) Chứng minh Khi Rep = α ≥ R1 > R tích phân (1) hội tụ nên lấy tích phân số hạng chuỗi α+i∞ f (t) = 2πi α+i∞ F (p)ept dp = 2πi α−i∞ = k=1 Hàm pt e pk k=1 α−i∞ ∞ ∞ α+i∞ ak 2πi ak pk ept dp ept dp pk (4) α−i∞ có cực điểm p = 0, cấp k nên theo công thức thặng dư res ept , = tk−1 ept k (k − 1)! p p=0 = tk−1 (k − 1)! Từ theo Định lý 2.4.2 ta có α+i∞ 2πi ept tk−1 dp = (k − 1)! pk α−i∞ Thay giá trị vào (4) ta có (3) 2.4.5 Ví dụ Tìm gốc F (p) = e p − Giải Ta có khai triển Laurent F (p) ∞ ∞ F (p) = k=1 k!pk nên theo công thức (3) ta có ∞ f (t) = k=1 tk−1 k!(k − 1)! 44 2.5 ỨNG DỤNG CỦA BIẾN ĐỔI LAPLACE 2.5.1 Giải phương trình vi phân tuyến tính hệ số số Cho phương trình vi phân hệ số số a0 y n + a1 y (n−1) + · · · + an−1 y + an y = f (t), a0 = (1) Ta nêu phương pháp sử dụng phép biến đổi Laplace để tìm nghiệm phương trình (1) thỏa mãn điều kiện đầu (n−1) y(0) = y0 ; y (0) = y0 , , y (n−1) (0) = y0 Giả sử f (t) y(t) hàm gốc Đặt y(t) Y (p), f (t) F (p) Theo công thức đạo hàm gốc ta có y (t) pY(p) − y0 y (t) p2 Y(p) − y0 p − y0 (n−1) y (n) (t) pn Y(p) − y0 pn−1 − y0 pn−2 − · · · − y0 Do tính chất tuyến tính phép biến đổi Laplace, từ (1) ta có phương trình ảnh A(p)Y (p) − B(p) = F (p) hay Y (p) = F (p) + B(p) A(p) A(p) =a0 pn + a1 pn−1 + · · · + an (đa thức đặc trưng) B(p) =y0 (a0 pn−1 + a1 pn−2 + · · · + an−1 )+ y (a0 pn−2 + a1 pn−3 + · · · + an−2 + · · · + (n−2) y0 (n−1) (a0 p + a1 ) + y0 a0 Gốc y(t) Y (p) nghiệm cần tìm (n−1) Nếu y0 = y0 = · · · = y0 = B(p) = 0, Y (p) = 45 F (p) A(p) (2) Ký hiệu V (p) = pA(p) ta có Y (p) = pF (p)V (p) Theo cơng thức Duamel, nghiệm phương trình t v(u)f (t − u)du y(t) = f (0)v(t) + t v (u)f (t − u)du, = v(0)f (t) + (3) v(t) V (p) 2.5.1.1 Ví dụ Tìm nghiệm phương trình −y − 2y + y = thỏa mãn điều kiện đầu y(0) = 1, y (0) = 2, y (0) = −2 Giải Ta có y(t) y (t) pY (p) − 1, y (t) p2 Y (p) − p − 2, p3 Y (p) − p2 − 2p + 2, p Y (p), y (t) Ta có phương trình ảnh Y (p3 − 2p2 + p) = + p2 − p Nghiệm phương trình Y (p) = p3 − 5p + = + − p2 (p − 1)2 p p2 p − Mặt khác, theo ví dụ 2.1.7, 2.1.8 ta có p t0 = 1, p2 t, p−1 Do đó, theo tính tuyến tính ảnh ta có Y (p) + 4t − 2et Từ y(t) = + 4t − 2et 46 et 2.5.1.2 Ví dụ Tìm nghiệm phương trình y + y = et thỏa mãn điều kiện y(0) = y (0) = y (0) = Y (p) Ta có A(p) = p3 + p, B(p) = Giải Đặt y(t) Do theo cơng thức Duamel V (p) = 1 1 = 2 = 2− pA(p) p (p + 1) p p +1 t − sin t (theo Ví dụ 2.1.8 2.2.2) Do v(t) = t − sin t Theo cơng thức (3) t (1 − cos u)et−u du y(t) = t t e−u du − = et cos ue−u du 1 = et − e−t − e−t (sin t − cos t) − 2 Vậy ta có nghiệm 1 y(t) = −1 − e−t − (sin t − cos t) 2 2.5.2 Giải hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số số Phương pháp tương tự giải phương trình Ta xét ví dụ 2.5.2.1 Ví dụ Tìm nghiệm hệ phương trình x + 3x + y = y −x+y =0 thỏa mãn điều kiện x(0) = 1, y(0) = Giải Đặt x(t) X(p), y(t) Y (p) Khi đó, theo Định lý đạo hàm gốc ta có x (t) pX(p) − 1, y (t) pY (p) − Áp dụng tính tuyến tính ảnh ta hệ phương trình ảnh (p + 3)X + Y = −X + (p + 1)Y = 47 Giải hệ ta X(p) = Y (p) = p (p+2)2 p+4 (p+2)2 Theo Ví dụ 1.3.7 ta có X(p) = − p + (p + 2)2 Y (p) = + = e−2t + 2te−2t p + (p + 2) e−2t − 2te−2t ; Vậy nghiệm hệ x(t) = (1 − 2t)e−2t y(t) = (1 + 2t)e−2t 2.5.2.2 Ví dụ Tìm nghiệm hệ x − 2y = y + 2x = t thỏa mãn điều kiện x(0) = y(0) = Giải Đặt x(t) X(p), y(t) x (t) Y (p) Khi pX(p), y (t) pY (p), 1 , t p p2 Ta hệ phương trình ảnh pX − 2Y = pY + 2X = p p2 ⇒ X(p) = p2p(p+2 +4) −1 Y (p) = p(p2 +4) Từ x(t) = res[X(p)ept , 0] + res[X(p)ept , 2i] + res[X(p)ept , −2i] e2it e−2it 1 = + − = + sin 2t; 8i 8i y(t) = res[Y (p)ept , 0] + res[Y (p)ept , 2i] + res[Y (p)ept , −2i] 1 e2it e−2it + = − + cos 2t =− + 8 4 Vậy nghiệm hệ x = 12 + sin42t y = − 14 + 14 cos 2t 48 KẾT LUẬN Luận văn đạt kết sau 1) Trình bày khái niệm, tính chất vài ứng dụng biến đổi Fourier biến đổi Laplace 2) Chứng minh chi tiết số kết mà tài liệu tham khảo chúng chứng minh vắn tắt không chứng minh, Định lý 1.2.4, Định lý 1.2.6, Định lý 2.1.3, Định lý 2.3.1 Định lý 2.4.2 3) Đưa chứng minh số kết Định lý 1.4.2, Mệnh đề 1.4.10, Ví dụ 2.1.2 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Văn Ân, Tạ Quang Hải, Đinh Huy Hoàng (1999), Toán cao cấp, tập 3, Nxb Giáo dục [2] Đậu Thế Cấp (2006), Hàm biến phức phép tính tốn tử, Nxb Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh [3] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2001), Hàm biến phức, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội [4] B V Sabat (1974), Nhập mơn giải tích phức, Nxb Đại học Trung học chuyên nghiệp Hà Nội [5] Rienhold Meise and Dietmar Vogt (1997), Introduction to Function Analysis, Clarendon press - Oxford 50 ... cho luận văn là: "Biến đổi Fourier biến đổi Laplace" Mục đích chúng tơi dựa vào tài liệu tham khảo để tìm hiểu nghiên cứu tính chất biến đổi Fourier biến đổi Laplace với vài ứng dụng chúng Với... theo, trình bày số vấn đề chuỗi Fourier phép biến đổi Fourier Chương Biến đổi Laplace Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm, tính chất ứng dụng phép biến đổi Laplace Các kết luận văn chủ... phép biến đổi ta chuyển phương trình phức tạp phương trình đơn giản Vì việc tiếp cận tìm hiểu biến đổi Fourier biến đổi Laplace điều bổ ích cần thiết Do chúng tơi chọn đề tài cho luận văn là: "Biến