Chiều của đa tạp afin

Tập đại số

Hình học đại số là một lĩnh vực toán học kết hợp giữa đại số và hình học, sử dụng đồ thị của các phương trình để mô tả các hình học Để hiểu rõ về khái niệm tập đại số, trước tiên cần xem xét một số ví dụ cụ thể.

Trong mặt phẳng, các hình học cơ bản được thể hiện qua các đường cong, thường được xác định bởi đồ thị của một phương trình hai ẩn số f(x, y) = 0, trong đó hàm f(x, y) thường là một đa thức hai biến Ví dụ, phương trình tổng quát của một đường thẳng có dạng nhất định.

0 ax by c   , trong đó các hệ số a b, không đồng thời bằng không; còn ph-ơng trình tổng quát của một đ-ờng cong bậc hai có dạng

0 , dx ey f ax bxy cy     trong đó a b c, , không đồng thời bằng không

2) Trong không gian, các mặt cong th-ờng đ-ợc xác định bởi đồ thị của một ph-ơng trình ba ẩn số f x y z  , ,   0

Một mặt phẳng trong không gian được xác định bởi phương trình tuyến tính ax + by + cz + d = 0, với a, b, c không đồng thời bằng không Tuy nhiên, không phải mọi hình học trong không gian đều có thể được mô tả bởi một phương trình duy nhất Khác với đường thẳng trong mặt phẳng, đường thẳng trong không gian được xác định bởi hệ hai phương trình tuyến tính.

 Điều này ứng với việc đ-ờng thẳng này là giao của 2 mặt phẳng của 2 ph-ơng trình tuyến tính trên

Các hình hình học trong không gian n-chiều có thể được xem như các tập nghiệm của hệ phương trình n ẩn số Quan niệm này, mặc dù không hoàn toàn chính xác, mang lại lợi ích lớn trong việc nghiên cứu mối quan hệ giữa các hình hình học Nhờ đó, chúng ta có thể áp dụng các công cụ đại số để phân tích các hình hình học một cách hiệu quả.

Một ví dụ về mệnh đề hình học là khi một đường thẳng cắt một đường cong bậc hai, nó có thể giao nhau ở nhiều nhất hai điểm Tập hợp các giao điểm giữa đường thẳng và đường cong bậc hai chính là tập nghiệm của một hệ hai phương trình có dạng cụ thể.

0 ax by c dx exy fy gx hy i

Giả sử a0(a b, không đồng thời bằng không) Từ ph-ơng trình thứ nhất ta cã

Sử dụng biểu thức để thay x vào phương trình thứ hai, ta sẽ thu được một phương trình bậc hai của y, có tối đa hai nghiệm Mỗi nghiệm y tương ứng với một nghiệm duy nhất x, do đó hệ phương trình ban đầu có nhiều nhất hai nghiệm.

Thông thường, các đa thức được nghiên cứu thường có hệ số là số hữu tỷ, số thực hoặc số phức Tuy nhiên, có thể mở rộng phạm vi nghiên cứu bằng cách xem xét các hệ phương trình đa thức với hệ số thuộc một trường nhất định, trong đó các nghiệm cũng thuộc trường đó.

1.1.2 Định nghĩa tập đại số

Không gian Đề các K^n được định nghĩa là không gian affine n chiều trên trường K, nơi K là một trường có vô hạn phần tử Tập nghiệm của một hệ phương trình đa thức n ẩn số với các hệ số trong K được gọi là một tập đại số trong không gian A K^n.

1.1.2.2 Một số ví dụ về tập đại số

Ví dụ 1 Không gian A K n là một tập đại số trong A K n vì nó là tập nghiệm của ph-ơng trình 00

Ví dụ 2 Tập hợp chỉ gồm một điểm  1, , n A K n là một tập đại số trong A K n vì nó là tập nghiệm của hệ ph-ơng trình

Ví dụ 3 Tập rỗng  cũng là một tập đại số vì nó là tập nghiệm của ph-ơng tr×nh 1 0

Trong không gian afin 1-chiều A 1 K, các tập đại số chỉ có thể là A 1 K, các tập con hữu hạn của A 1 K, hoặc tập rỗng Điều này xuất phát từ việc tập nghiệm của một đa thức f một biến chỉ có thể là A 1 K nếu f là đa thức không, một tập hữu hạn trong A 1 K nếu f có bậc d-ơng, hoặc tập rỗng nếu f là một phần tử khác không trong A 1 K.

Từ nay về sau ta sẽ ký hiệu K là một tr-ờng và K x   là vành đa thức n biến K x  1, ,x n trên tr-ờng K.

1.1.3 Định nghĩa Cho S là một tập hợp các đa thức trong K x   Ta gọi hệ ph-ơng trình  f x ( )  0 | f  S là hệ ph-ơng trình của S Tập

Tập nghiệm của S trong A Kn, ký hiệu là V(S), được định nghĩa là tập hợp các α thuộc A Kn sao cho f(α) = 0 với mọi f thuộc S Nếu S chỉ chứa một đa thức f, thì ký hiệu V(f) được sử dụng và được gọi là một siêu mặt.

Ví dụ 2 Nếu f a 0 a x 1   a x n n thì V f   là một siêu phẳng trong A K n vì sau một phép biến đổi toạ độ ta có thể giả sử f x n

Khi đó V f      a 1 , , a n   A K n | a n  0 có thể đồng nhất với không gian A K n  1

Ví dụ 3 Nếu S  x 1a 1, ,x n a n  thì V f   chỉ gồm một điểm

Ví dụ 4 V K x       vì không có điểm A K n nào là nghiệm của hệ ph-ơng tr×nh 1 0

1.1.5 Các tính chất cơ bản của tập đại số

1.1.5.1 Bổ đề Cho S 1 và S 2 là hai tập hợp tuỳ ý trong A K n Nếu S 1 S 2 thì

Chứng minh Do S 1 S 2 nên mọi nghiệm của S 1 cũng là nghiệm của S 2 Điều này có nghĩa là V S   1 V S   2

1.1.5.2 Định lý Cho S  K x   Gọi I    S là iđêan sinh bởi S Khi đó

Chứng minh Do I S nên V I    V S   Đảo lại, nếu   V S   và f h f 1 1  h f r r là một tổ hợp tuyến tính của các đa thức f 1 , , f r S thì f   h 1     f 1    h r     f r  0 do f 1      f r   0 Từ đây ta suy ra   V I   Do đó V S    V I  

Suy ra điều phải chứng minh

1.1.5.3 Bổ đề Hợp của một hệ hữu hạn các tập đại số là một tập đại số

Chứng minh Ta chỉ cần chứng minh hợp của hai tập đại số là một tập đại số

Cho S 1 và S 2 là hai tập hợp tuỳ ý trong K x   Gọi T là tập các đa thức có dạng fg, với f S 1 và gS 2 Ta sẽ chứng minh rằng

Do mọi nghiệm của S 1 hoặc S 2 cũng là nghiệm của T nên

V S V S V T Đảo lại, giả sử  là nghiệm của T Nếu  không là nghiệm của S 1 thì ta có một đa thức f S 1 sao cho f     0 Do f      g   fg     0 với mọi gS 2 nên g     0 Vì vậy,

Chú ý rằng hợp của một tập vô hạn các tập đại số không nhất thiết tạo thành một tập đại số Ví dụ, tập hợp chỉ chứa một phần tử a thuộc K là một tập đại số, nhưng mọi tập con thực sự của K có vô hạn phần tử lại không thể là một tập đại số.

1.1.5.4 Bổ đề Giao của một hệ tuỳ ý các tập đại số là một tập đại số

Chứng minh Cho   S i i  I là một hệ các tập đa thức trong K x   Đặt i i I

Ta sẽ chứng minh rằng

Thật vậy, do S i   S, i I nên theo Bổ đề 1.1.5.1 ta có

 Đảo lại, nếu  là một nghiệm của S i với mọi iI thì  cũng là nghiệm của S

 Suy ra điều phải chứng minh

1.1.5.5 Hệ quả Cho V  A K n và W  A K m là những tập đại số tuỳ ý Tích Đêcác V W A K n m  cũng là một tập đại số

Chứng minh Tr-ớc tiên ta thấy rằng

Bây giờ ta chỉ cần chỉ ra rằng V A K m và A K n W là những tập đại số trong n m

A K  Giả sử V  V S   với S là một tập các đa thức trong vành đa thức n biến

K x Nếu ta coi S là một tập đa thức trong một vành đa thức m+n biến

K x y thì ta có thể xét tập nghiệm của S trong A K n m  Gọi tập nghiệm này là U

Chúng ta nhận thấy rằng V × A K m = U, do đó V × A K m là một tập đại số trong A K n m + Tương tự, A K n × W cũng được chứng minh là một tập đại số trong A K n m + Điều này dẫn đến kết luận cần chứng minh.

Bổ đề 1.1.1.3 và Bổ đề 1.1.5.4, cùng với Ví dụ 1 và Ví dụ 3 trong Mục 1.1.2.2, chứng minh rằng chúng ta có thể thiết lập một cấu trúc tôpô cho không gian afin A K n, trong đó các tập đóng được xác định là các tập đại số trong A K n.

Tôpô Zariski trên không gian đại số A K n được định nghĩa bởi các tập đóng, mà các tập này là các tập đại số Trong đó, tập mở của A K n chính là phần bù của một tập đại số.

1.1.6.2 Ví dụ Ta có thể mô tả tôpô Zariski trên không gian afine 1 chiều A 1 K , với K là tr-ờng đóng đại số nh- sau:

Tập Z là đóng trong A 1 K khi và chỉ khi Z chứa hữu hạn điểm, hoặc Z bằng A 1 K, hoặc Z là tập rỗng Điều này xuất phát từ việc Z là tập đại số, dẫn đến sự tồn tại của một lý thuyết iđêan I trong K[x] sao cho Z bằng V(I) Vì K[x] là vành chính, nên tồn tại một hàm f thuộc K[x] với Z bằng f.

Z V f , giả sử deg f r, ta có phân tích f x    xa 1  xa 2   xa r 

Ta sẽ chỉ ra Z V f    a 1, ,a r  suy ra Z r

Tập đại số bất khả quy

Khi nghiên cứu tập nghiệm của hệ phương trình đa thức, người ta thường tìm cách đơn giản hóa bằng cách phân tích thành các hệ phương trình đa thức nhỏ hơn Về mặt hình học, điều này đồng nghĩa với việc chia nhỏ một tập đại số thành các tập đại số nhỏ hơn Nếu một tập đại số không thể phân tích thành hợp của hai tập đại số nhỏ hơn, thì nó được gọi là tập bất khả quy.

Tập đại số V trong A K n được gọi là bất khả quy nếu nó không thể phân tích thành hợp của hai tập đại số nhỏ hơn Cụ thể, nếu V có thể được biểu diễn dưới dạng V = V1 ∪ V2 với V1 và V2 là các tập đại số, thì phải có một trong hai trường hợp: V1 = V hoặc V2 = V.

1.2.2 Ví dụ Các tập đại số sau là các tập bất khả quy:

2) a) Các tập chỉ gồm một điểm A K n b) Tập A 1 K là bất khả quy Vì nếu A 1 K V 1 V 2 với V 1  A K 1 và V 2  A 1 K suy ra V 1  ,V 2   Vô lý vì A 1 K   Vậy A 1 K là bất khả quy

Chú ý rằng phần bù của một tập đại số nhỏ hơn trong một tập đại số là một tập mở khác rỗng theo tôpô Zariski Do đó, tính bất khả quy của một tập đại số có thể được đặc trưng bởi tính chất giao của hữu hạn các tập mở khác rỗng, và kết quả là một tập mở khác rỗng.

Cho R là một vành giao hoán và P là một iđêan của R P đ-ợc gọi là iđêan nguyên tố nếu PR và a b, R mà abP thì aP hoặc bP

1.2.3 Bổ đề Cho I là iđêan trong vành giao hoán R Khi đó I là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi nếu I I 1 I 2 thì I I 1 hoặc I I 2

Chứng minh () Suy trực tiếp từ Định lý tránh nguyên tố

() Chứng minh bằng phản chứng

Giả sử I không nguyên tố Khi đó tồn tại x y, I sao cho xyI Xét các iđêan

Vì x y, I nên I 1 I và I 2  I Ta sẽ chứng minh I I 1 I 2 suy ra mâu thuẫn nên I là nguyên tố

Ng-ợc lại, giả sử gI 1 I 2 Khi đó tồn tại n 1 sao cho g n 1    I x , Và tồn tại n 2 sao cho g n 2    I y , Đặt r max n n 1, 2  ta có g r      I x , I y , suy ra g 2 r  g g r r     I x I y , ,  I 2  xI  yI    xy   I I , Do đó g  I

Vậy I I 1 I 2 Suy ra điều phải chứng minh

Mọi tập đại số có thể được phân tích thành hợp của một số hữu hạn các tập đại số bất khả quy không bao nhau, và các tập bất khả quy trong phân tích này được xác định một cách duy nhất.

Gọi M là tập hợp các tập đại số trong A K n không thể phân tích thành hợp của một số hữu hạn các tập bất khả quy Nếu M khác rỗng, tồn tại một tập đại số nhỏ nhất V Nếu V không phải là tập đại số nhỏ nhất, thì nó sẽ phân tích thành hợp của một số hữu hạn các tập bất khả quy trong M, điều này mâu thuẫn với cách xây dựng M V không thể là tập bất khả quy, vì nếu V bất khả quy, thì V = V sẽ tạo thành một sự phân tích, điều này là vô lý Do đó, ta có thể viết V = V1 V2, trong đó V1 và V2 là những tập đại số thực sự chứa trong V.

Từ tính chất nhỏ nhất của V, chúng ta nhận thấy rằng V1 và V2 có thể phân tích thành hợp của một số hữu hạn các tập bất khả quy Do đó, V cũng là hợp của một số hữu hạn các tập bất khả quy, điều này mâu thuẫn với giả thiết V thuộc M Vì vậy, M phải là tập rỗng, điều này dẫn đến một kết luận vô lý Do đó, có thể khẳng định rằng mọi tập đại số đều có khả năng phân tích thành hợp của một số hữu hạn các tập bất khả quy.

V V V W W là hai sự phân tích một tập đại số V thành hợp các tập bất khả quy không bao nhau Với mọi i1, ,r ta có

Do V i là tập bất khả quy nên ta phải có V i V i V j với một chỉ số j nào đó

Mỗi tập đại số V_i đều xuất hiện trong W_1, , W_s, dẫn đến mối quan hệ V_i = V_t và V_i = W_j cho mỗi chỉ số t nào đó Điều này chứng tỏ rằng mọi tập đại số W_j cũng xuất hiện trong các tập đại số khác.

V V Vậy hai tập đại số  V 1 , , V r  và  W 1, ,W s  phải bằng nhau Suy ra điều phải chứng minh

Chú ý rằng định lý này mở rộng khái niệm về việc mọi đa thức có thể phân tích thành tích của các đa thức bất khả quy Trong đại số, một iđêan được coi là bất khả quy nếu nó không phải là giao của một số hữu hạn các iđêan lớn hơn.

Các tập bất khả quy được xác định trong quá trình phân tích một tập đại số V thành hợp các tập bất khả quy, và chúng được gọi là các thành phần bất khả quy của V.

Mỗi tập đại số bất khả quy chỉ có một thành phần bất khả quy là chính nó

Có thể đặc tr-ng các thành phần bất khả quy nh- sau

1.2.5 Hệ quả Các thành phần bất khả quy của một tập đại số V chính là các tập bất khả quy lớn nhất trong V

Giả sử V = V₁ ∪ ∪ Vᵣ là sự phân tích duy nhất của V thành hợp của một số hữu hạn các tập bất khả quy không bao nhau Đối với mọi tập bất khả quy không rỗng W trong V, ta có

Theo tính chất của sự phân tích V thành hợp của một số hữu hạn các tập bất khả quy không bao nhau, W phải nằm trong một tập V i nào đó Điều này cho thấy mỗi tập V i là một tập bất khả quy lớn nhất trong V Nếu W là một tập bất khả quy lớn nhất trong V, từ điều kiện W ⊆ V i, ta có thể suy ra được

W V i Vậy  V 1 , , V r  chính là tập các bất khả quy lớn nhất trong V

Chú ý rằng các thành phần bất khả quy không đồng nghĩa với các thành phần liên thông trong một tập đại số Để minh chứng cho điều này, chúng ta chỉ cần đưa ra một ví dụ về một tập bất khả quy mà không liên thông.

Đường hyperbol V được định nghĩa bởi phương trình xy - 1 = 0 trong không gian R², và nó là một tập đại số có hai thành phần liên thông Vì V không thể được biểu diễn dưới dạng hợp của hai đường thẳng, nên đa thức xy - 1 không thể phân tích thành tích của hai đa thức bậc nhất, điều này cho thấy rằng xy - 1 là một đa thức bất khả quy.

Không gian tôpô noether

(i) Không gian tôpô X đ-ợc gọi là không gian tôpô Noether nếu mọi dãy giảm các tập con đóng của X :

Y    Y Y đều dừng, tức là tồn tại nN sao cho Y n Y n  1  

(ii) Không gian tôpô X đ-ợc gọi là tựa compact nếu T là một tập con của X và i i

 ,với U i là các tập mở trong X thì    I , I   sao cho

1.3.2 Bổ đề Cho X là một không gian tôpô Khi đó các phát biểu sau là t-ơng đ-ơng:

(i) X là không gian tôpô Noether

(ii) Mọi tập khác rỗng các tập con đóng của X đều có phần tử cực tiểu

(iii) Mọi dãy tăng các tập con mở trong X đều dừng

(iv) Mọi tập khác rỗng các tập con mở của X đều có phần tử cực đại

Chúng ta sẽ chứng minh rằng nếu giả sử tồn tại một họ rỗng các tập con đóng của X không có phần tử cực tiểu, thì sẽ có ít nhất một tập con Y1 thuộc họ đó Tuy nhiên, vì giả sử không có phần tử cực tiểu, nên sẽ tồn tại một tập con Y2 khác cũng thuộc họ, dẫn đến mâu thuẫn.

Tập con Y1 chứa thực sự tập con Y2, và nếu đã có một tập con Yi mà không có phần tử cực tiểu, thì tồn tại một tập con Yi+1 sao cho Yi chứa thực sự Yi+1 Điều này dẫn đến việc hình thành một dãy giảm không dừng các tập con đóng của ∑.

Y    Y Y Y   Điều này là mâu thuẫn với giả thiết X là không gian tôpô Noether Suy ra điều phải chứng minh

Bằng cách lấy phần bù của các tập đóng giảm Y1, Y2, , chúng ta có thể tạo ra một dãy tăng các tập con mở trong không gian X Tính chất của phần bù cho thấy rằng mọi dãy tăng các tập con mở trong X đều sẽ dừng lại.

Theo cách xây dựng dãy tăng các tập con mở của không gian X, ta luôn có một dãy dừng các tập con mở trong X Để chứng minh rằng dãy dừng này có phần tử cực đại, ta sử dụng phương pháp phản chứng Giả sử tồn tại một tập T không rỗng các tập con mở của X mà không có phần tử cực đại, từ đó có thể xây dựng một dãy tăng các tập con mở không dừng, điều này mâu thuẫn với nhận xét trước đó Do đó, trong tập T phải tồn tại ít nhất một phần tử cực đại, từ đó suy ra điều cần chứng minh.

Để chứng minh rằng không gian tôpô X là không gian Noether, ta cần chỉ ra rằng trong X tồn tại một dãy giảm các tập con đóng mà dãy này dừng lại Theo giả thuyết, mọi tập con mở khác rỗng đều có phần tử cực đại, từ đó suy ra rằng mọi tập con đóng khác rỗng cũng sẽ có phần tử cực tiểu Xét tập hợp các tập con đóng \( \{ Y_j \}_{j=0}^{\infty} \), theo lý luận trên, tập hợp này phải có phần tử cực tiểu Giả sử phần tử cực tiểu đó là \( Y_n \), điều này dẫn đến \( Y_n = Y_j \) với mọi \( j \leq n \).

Y  Y là dãy dừng Suy ra X là không gian tôpô Noether

1.3.3 Bổ đề Cho f  K x   , ký hiệu D f  A V f K n |   là một tập mở trong n

A K Cho U là một tập mở trong A K n Khi đó tồn tại hữu hạn các đa thức

U D f D f Chứng minh Vì U là tập mở trong A K n nên tồn tại tập đại số Y trong A K n sao cho U  A K n |Y Do Y là tập đại số nên tồn tại iđêan I  K x   sao cho

Y V I Mặt khác K x   là vành Noether nên I hữu hạn sinh, tức tồn tại hữu hạn đa thức f 1, , f m K x   sao cho I  f 1, , f n 

1.3.4 Định lý Trong không gian tôpô Noether X , mọi tập con đóng khác rỗng Y đều có thể phân tích thành hợp của các tập con đóng bất khả quy:

Các tập đóng Y i trong phân tích này được xác định một cách duy nhất Để chứng minh điều này, trước tiên chúng ta cần chứng minh sự tồn tại của phân tích Y.

Giả sử  là tập hợp các tập con đóng khác không của  không thể phân tích thành hợp của một số hữu hạn các tập con đóng bất khả quy Nếu  khác rỗng, từ đó suy ra không gian Noether X có một phần tử nhỏ nhất Y Từ cách xây dựng , có thể khẳng định rằng Y không bất khả quy.

Y là một tập hợp mà Y1 và Y2 là các tập con đóng thật sự của Y Theo tính chất nhỏ nhất của Y, Y1 và Y2 có thể được phân tích thành hợp của một số hữu hạn các tập con đóng bất khả quy Điều này dẫn đến mâu thuẫn với giả thiết Y nằm trong tập hợp .

Vậy  phải rỗng Suy ra mọi tập con đóng Y đều có thể phân tích thành hợp của một số hữu hạn các tập con bất khả quy: Y Y 1 Y r

Ta sẽ chứng minh sự phân tích trên là duy nhất

Giả sử Y = Y1 Yr và W = W1 Ws là hai sự phân tích của một tập con đóng Y không bao nhau Khi đó, W1 ⊆ Y, tức là W1 = (W1 Yi) Tuy nhiên, W1 là bất khả quy, do đó W1 ⊆ Yi với mỗi chỉ số i Nếu chọn i = 1, ta có W1 ⊆ Y1.

Lý luận t-ơng tự ta có Y 1 W j với mỗi chỉ số j, vậy nếu ta lấy j1thì Y 1 W 1

Và nh- vậy thì Y 1 W 1 Điều này chứng tỏ mọi tập đóng Y i đều xuất hiện trong

W i và ng-ợc lại Vậy hai tập  Y 1, ,Y r  và  W 1, ,W s  phải bằng nhau

1.3.5 Định lý Không gian afine A K n với tôpô Zariski là không gian tôpô Noether và tựa compact

Chứng minh Giả sử   Y i i |  là một tập khác rỗng các tập đóng (tức là các tập đại số ) trong A K n Theo Bổ đề 1.1.7, tồn tại các iđêal

I trong K x   sao cho Y i V I   Y i , i Đặt   I Y i | i Suy ra    và là tập các iđêan trong K x   Theo định lý cơ sở Hibert, tồn tại một phần tử cực đại trong , chẳng hạn là

I Do đó V I   Y i Y i là phần tử cực tiểu trong  vậy A K n là không gian tôpô Noether

Tiếp theo ta chứng minh A K n là không gian tựa compact Cho T  A K n và i i

 , U i mở trong A K n với mọi i, tồn tại f ij , j1, ,n i , sao cho

Xét các iđêan I sinh bởi các đa thức f ij ,  i j , j1, , n i  Do I hữu hạn sinh nên tồn tại g 1, ,g m I I,  g 1, ,g m  Ta có:

Suy ra tồn tại I  , I   sao cho

Vậy A K n là không gian tựa compact.

Iđêan liên kết

Trong Mục 2, chúng ta đã phân tích tập nghiệm của một hệ phương trình đa thức Tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét tập hợp các đa thức có nghiệm là một tập điểm đã được đề cập trước đó.

1.4.1 Định nghĩa Cho V là một tập điểm tuỳ ý trong A K n Ta ký hiệu I V là tập hợp các đa thức triệt tiêu trên V , nghĩa là

Có thể thấy ngay rằng f  g I V nếu f g, I V và hf I V nếu f I h V , K x  

Vì vậy, I v là một iđêan trong K x   và đ-ợc gọi là iđêan liên kết của V

Xác định ý tưởng I V cho một tập điểm V là một thách thức, vì đây là bài toán hình học liên quan đến việc tìm kiếm các siêu mặt đi qua tập hợp điểm V.

1.4.2 Các ví dụ minh họa

1 I   K x   vì tập rỗng nằm trong tập nghiệm của mọi đa thức của K x  

Bằng cách thực hiện phép biến đổi tọa độ với y 1 = -x 1 + a 1, , y n = x n - a n, chúng ta có thể giả thiết rằng α = (0, , 0) Mục tiêu là chứng minh rằng I α = (y 1, , y n) Trước hết, mọi đa thức f thuộc K y [1, , y n] có thể được viết dưới dạng f = f y 1 1 + + f y n n + a, trong đó f 1, , f n là các đa thức trong vành đa thức K y [1, , y n] và a thuộc K.

Nếu f     0 thì a  0 và do đó f  f y 1 1  f y n n  y 1, ,y n  Đảo lại, nếu f  y 1, ,y n  thì f có thể viết d-ới dạng f  f y 1 1   f y n n Suy ra f     0

Chúng ta có thể thấy rằng chỉ có phương trình 0 = 0 có tập nghiệm là A K n, vì nếu f ≠ 0 thì V(f) ≠ A K n Nếu bậc của f là 0, tức là f thuộc K, thì V(f) sẽ rỗng nếu f khác 0 Giả sử bậc của f lớn hơn 0.

Nếu n1 thì f chỉ có hữu hạn nghiệm Do K là một tr-ờng vô hạn nên

Nếu \( f \) không bằng \( K \) và \( n > 1 \), ta có thể giả định rằng bậc của \( f \) là \( \deg(f) \) theo \( n \) Khi đó, \( f \) có thể được biểu diễn dưới dạng \( f = g_0 + g_1 x^n + + g_d x^{n^d} \), với \( g_0, g_1, , g_d \) thuộc \( K[x] \) và \( g_d \neq 0 \) Sử dụng phương pháp quy nạp theo \( n \), ta có thể giả định rằng

V g  A  Chọn các số a 1 , ,a n  1 K sao cho g d  a 1, ,a n  1 0 Khi đó

 1, , n 1, n  f a a  x là một đa thức một biến có bậc d-ơng Do đó

 1, , n 1, n  0 f a a  x  chỉ có hữu hạn nghiệm Suy ra V f   A K n

4 I V   f nếu V  V f   là tập nghiệm của một đa thức bậc nhất Đa thức f có dạng :

0 1 1 n n a a x  a x với a 1 , ,a n không đồng thời bằng không Giả sử a n 0 bằng phép biến đổi toạ độ y 1 x 1 , ,y n  1 x n  1 ,y n a 0 a x 1 1   a x n n , ta có f  y n Khi đó

V    a 1 , , a n   A K n | a n  0  Để chứng minh I V   y n ta chỉ cần chứng minh I V   y n Ta có thể viết mọi đa thức f trong vành đa thức K y  1, ,y n  d-ới dạng f gy n h với

Nếu f I V thì h a  1, ,a n  1 0 với mọi  a 1, ,a n  1 K n  1 Suy ra h0 Vì vËy, f  gy n   y n

5 I V   x 3  y 2  nếu V là tập nghiệm của đ-ờng cong x 3  y 2 0 trong A K 2

Ta chỉ cần chứng minh I V   x 3  y 2  Tr-ớc tiên, ta thấy mọi đa thức

  , f K x y đều có thể viết d-ới dạng

 3 2  f g x y hyr, víi h r ,  K x   TiÕp theo ta cã

Nếu f thuộc không gian I V, thì f(a) = 0 cho mọi a thuộc K, dẫn đến h(a)2 + r(a) = 0 Đặt p(t) = h(t)2 + r(t) Phương trình p(t) = 0 có vô hạn nghiệm, do đó đa thức p phải đồng nhất bằng không Hơn nữa, h(t)2 và r(t) là tổ hợp tuyến tính của các hạng tử chứa các luỹ thừa chẵn và lẻ của t trong p(t).

0 r và h0 Từ đây suy ra f  g x  3  y 2    x 3  y 2 

6 I V xy1 nếu V là tập nghiệm của đ-ờng cong xy 1 0 trong A K 2 Ta chỉ cần chứng minh I V xy1 Thật vậy, cho f là một đa thức tuỳ ý trong

K x y Nếu d là bậc của f theo x thì ta có thể viết đa thức y d f d-ới dạng

Trong bài toán này, ta có phương trình \(y f d = xy - g + h\) với \(h \in R\) Nếu \(f \in I V\), thì \(y f d\) triệt tiêu trên \(V\), dẫn đến \(h\) cũng triệt tiêu trên \(V\) Điều này chỉ có thể xảy ra khi \(h = 0\), từ đó ta có \(y f d = (xy - 1)g + h\) Vì \(xy - 1\) bất khả quy, nên \(f\) chia hết cho \(xy - 1\), suy ra \(f \in xy - 1\).

Quan hệ giữa các iđêan dạng I V cũng phản ánh phần nào các quan hệ tập hợp của các tập đại số t-ơng ứng.

1.4.3 Bổ đề Cho V và W là hai tập tuỳ ý trong A K n Khi đó ta có :

(i) Nếu f I W thì f     0 với mọi   W Do V  W nên f     0 với mọi

(ii) Do V W V W, nên I V W  I I V , W Do đó I V I W I V W  Đảo lại, nếu

V W f I I thì f     0 với mọi   V và   W Do đó f     0 với mọi

Chú ý Ta luôn có I V I W I V W  Nh-ng thông th-ờng thì I V I W I V W  kể cả khi V và W là những tập đại số

Ví dụ Cho V là đ-ờng thẳng x0 và W là đ-ờng cong x 3 y 2 0 Trong mặt phẳng K 2 Ta có I V   x và I W   x 3  y 2  Do đó

Mọi đa thức f  I V I W đều có thể viết d-ới dạng

Ta có thể giả thiết h không chứa biến x hay h  K y   Khi đó hoặc là bậc của f theo y lớn hơn 1 hoặc là chia hết cho x Vì vậy, y I V I W

Mặt khác, do V W    0,0 nên I V W    x y , Suy ra I V I W I V W 

1.4.4 Bổ đề Cho V  V S   là một tập đại số trong A K n Ta có:

(i) Do V là tập nghiệm của S nên các đa thức của S triệt tiêu trên V Theo định nghĩa của I V thì S I V

(ii) Do S I V nên V I   V V Đảo lại, nếu V thì f     0 với mọi f I V Do đó V I   V Suy ra V V I   V Vậy V I   V V

Bổ đề trên cho ta thấy nếu V là một tập đại số thì I V là tập đa thức lớn nhất xác định V

1.4.5 Hệ quả Cho V và W là hai tập đại số trong A K n Ta có V W khi và chỉ khi I V I W

Chứng minh Suy trực tiếp từ Bổ đề 1.4.4, (ii)

Các iđêan I V lập thành một lớp iđêan đặc biệt của vành đa thức K x   Ta có thể mô tả lớp iđêan này với khái niệm sau

1.4.6 Định nghĩa Với mỗi iđêan I của vành R ta ký hiệu

Dễ thấy I là một iđêan của R và đ-ợc gọi là căn của I Rõ ràng I  I Nếu I  I thì I đ-ợc gọi là một iđêan căn

1.4.7 Ví dụ Nếu iđêan I đ-ợc sinh ra bởi một đa thức f , có nghĩa là

I  f , thì ta có thể dễ dàng xác định khi nào I là một iđêan căn Giả sử

1 m r m r f g g với g 1 g r là những đa thức bất khả quy Đặt hg 1 g r Ta có

Thật vậy, do h m    f với m đủ lớn nên h ( )f , dẫn đến h ( )f Đảo lại, nếu g m    f thì g m  pg 1 m 1 g r m r

Suy ra g phải chia hết cho g 1 g r , có nghĩa là g    h

1.4.8 Mệnh đề I V là một iđêan căn

Chứng minh Ta cần chứng minh I V  I V Dõ ràng I V  I V Ng-ợc lại, giả sử f  I V Khi đó  m N sao cho f m I V do đó f m     0 với mọi

V Suy ra f I V V× vËy I V  I V Nh- vËy I V  I V

1.4.9 Định lý Giả sử K là một tr-ờng đóng đại số Cho I là một iđêan tuỳ ý trong K x   và V  V I   Ta có

Chứnh minh Theo Mệnh đề 1.4.8 thì I  I V Ng-ợc lại, cho f là một đa thức tuỳ ý trong I V Ta xét iđêan J  I x, n  1 f 1 trong vành đa thức

K x x x  Nếu J K x  1, ,x x n , n  1  thì J sẽ có nghiệm trong A K n  1 theo định lý nghiệm của Hilbert Giả sử  a 1, ,a a n , n  1 A K n  1 là một nghiệm của J Đặt   a 1, ,a n  Ta có a n  1 f    1 0và  là một nghiệm của I.

Do   V I    V và f I V nên f     0 dẫn đến   1 0 là một điều vô lý Vậy ta phải có J K x  1, ,x x n , n  1  Do đó ta có thể viết

I  g h x  n  1 f 1, với g là một đa thức nằm trong iđêan sinh bởi I trong K x  1, ,x x n , n  1  Giả sử bậc của g theo x n  1 là d ta có thể coi f g d là một đa thức của

1, , n , n 1 x x yx  f Do đó ta có thể viết f g d u y    1 v u x  n  1 f  1 v, víi vI Tõ ®©y suy ra

 1 1     1 1  d d d n n f  f g f h x  f   f h u x  f  v Đẳng thức này đúng với mọi giá trị của x n  1 Vì các đa thức f và v không chứa biến x n  1 nên nếu ta đặt 1 1 x n

  f thì ta sẽ nhận đ-ợc f d  v I Suy ra f  I Do đó I V  I Vậy ta có điều phải chứng minh

Một iđêan I trong K[x] được gọi là iđêan nguyên tố nếu từ điều kiện fg ∈ I suy ra được f ∈ I hoặc g ∈ I Ví dụ, iđêan 0 là iđêan nguyên tố trong K[x]; iđêan (h) sinh bởi một đa thức bất khả quy h cũng là iđêan nguyên tố Nếu fg ∈ (h), thì fg = ah với a ∈ K[x] Do mọi đa thức đều có thể phân tích duy nhất thành tích của các đa thức bất khả quy, nên f hoặc g phải chia hết cho h, dẫn đến f ∈ (h) hoặc g ∈ (h) Lưu ý rằng một iđêan nguyên tố I luôn là một iđêan căn, vì nếu f^m ∈ I thì theo định nghĩa của iđêan nguyên tố, ta phải có f ∈ I.

Ta có thể nhận biết một tập đại số có bất khả quy hay không thông qua tính chất của iđêan liên kết nhờ định lý sau

1.4.10 Định lý Một tập đại số V là bất khả quy khi và chỉ khi I V là iđêan nguyên tố

Chứng minh Giả sử V là một tập đại số bất khả quy và fgI V Đặt

Suy ra V I   V J    V Mặt khác, do

IJ I I f I g gf I nên V I   V J  V IJ  V I   V V Vì vậy

Do V là tập bất khả quy nên V  V I   hay V  V J   Suy ra I  I V hay

Giả sử I dẫn đến I I V hoặc J I V, điều này có nghĩa là f thuộc I V hoặc g thuộc I V Nếu I V là một iđêan nguyên tố và V không phải là tập bất khả quy, thì V có thể biểu diễn dưới dạng V V V, với V và V là các tập đại số con thực sự của V Các iđêan liên kết của V 1 và V 2 được ký hiệu là I 1 và I 2, trong đó I 1 bao gồm I V và I 2 thuộc V theo Bổ đề 1.1.5.1 Hơn nữa, I 1 và I 2 không bằng I V Chọn f thuộc I 1 và g thuộc I 2 sao cho tích fg không thuộc I V, từ đó suy ra fg thuộc I I 1 2.

Do đó I I 1 2 I V theo Bổ đề 1.4.4(i) Suy ra fgI V Điều này là vô lý vì I V là một iđêan nguyên tố Vậy V phải là tập bất khả quy

Ví dụ Không gian A K n là một tập bất khả quy vì I K n 0 và 0 là một iđêan nguyên tố

Mối tương ứng giữa các tập đại số và các iđêan căn không phải lúc nào cũng là tương ứng 1-1 Không phải iđêan nguyên tố nào cũng là iđêan liên kết I V của một tập đại số V trong A K n Để làm rõ nhận xét này, ta sẽ xem xét một ví dụ cụ thể.

Ví dụ Ta xét iđêan I   x 2  1  trong R x   Do x 2  1 không có nghiệm trong R nên x 2 1 không thể phân tích đ-ợc thành tích hai đa thức bậc nhất

Suy ra x 2 1 là đa thức bất khả quy và do đó I là một iđêan nguyên tố Nếu

I I V với một tập V trong K n thì ta phải có V  V I     Điều này vô lí vì

Trong trường hợp I không thể là iđêan liên kết của bất kỳ tập đại số nào, nếu K là một trường hữu hạn, chúng ta có thể tìm thấy những đa thức khác không trong K[x] triệt tiêu trên toàn bộ A^n Điều này cho thấy sự phong phú của các đa thức trong không gian đại số.

K  a a Đặt f  x 1a 1   x n a n  Rõ ràng f 0 và f có tập nghiệm là toàn bộ A K n

CHƯƠNG 2 Chiều của đa tạp afin

Trong chương này, chúng ta sẽ khám phá "độ lớn" của tập nghiệm của hệ phương trình đa thức đã được đề cập trong Chương I K sẽ được giả định là trường đóng đại số nếu không có thông tin nào khác.

Chiều Krull của vành

2.1.1 Định nghĩa Giả sử R là một vành giao hoán, có đơn vị ; M là một

R – môđun Một iđêan nguyên tố P của R đ-ợc gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại xM sao cho:

P Ann R x  a R ax Tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M đ-ợc ký hiệu là Ass M R (hoặc

AssM nếu ta không để ý đến vành R)

2.1.2 Ví dụ Giả sử P là iđêan nguyên tố của vành R Xét vành th-ơng R P nh- là R – môđun Khi đó P là một iđêan nguyên tố liên kết của môđun

R P ThËt vËy, víi x x p  R P, xR x, P Ta cã

Từ chứng minh trên ta còn suy ra P là iđêan nguyên tố liên kết duy nhất của môđun R P/ Do đó Ass R P R  /   P

2.1.3 Định nghĩa Cho R là vành giao hoán Một dãy các iđêan nguyên tố của R: P 0   P 1 P n đ-ợc gọi là một xích nguyên tố có độ dài n

Cho p là một iđêan nguyên tố của R Độ cao của p, ký hiệu ht(p), được xác định là chặn trên của độ dài tất cả các xích nguyên tố với P n = P, tức là ht(p) = sup{độ dài xích nguyên tố với P n = P}.

(ii) Chặn trên của độ dài tất cả xích nguyên tố trong R đ-ợc gọi là chiều Krull của vành R, ký hiệu là dimR Vậy:

(iii) Cho M là R - môđun Khi đó dim  R Ann M / R  đ-ợc gọi là chiều Krull của R-môđun M và ký hiệu là dim R M hoặc (dimM nếu ta không để ý đến vành R)

Nh- vậy dimR có thể vô hạn do ht p   có thể vô hạn và dimM dimR

 Từ dãy iđêan nguyên tố:     0  x 1  x x 1, 2    x 1, ,x n , suy ra

Từ định nghĩa ta có ngay hệ quả sau:

2.1.5 Hệ quả (i) Ký hiệu    R là tập tất cả các iđêan cực đại của R Khi đó

(ii) Nếu RS I là vành th-ơng của vành S nào đó thì

2.1.6 Chú ý (i) Cho M là R-môđun Khi đó dim M Max  dim R P P i | i AssM 

Giả sử R là một vành Noether và I là một iđêan của R Theo Định lý phân tích nguyên sơ Lasker, vì R là vành Noether, nên tồn tại một phân tích nguyên sơ thu gọn cho iđêan I.

I là I   q 1 q n , với q i là p i - nguyên sơ và Ass R I  p p 1, 2, ,p n 

Do đó, theo (i), ta có

Cho K là một trường và B là một miền nguyên, đồng thời B là K-đại số hữu hạn sinh Khi đó, chiều của B tương đương với chiều của trường các thương K(B) của B.

K Ngoài ra, đối với các iđêan nguyên tố p trong B thì dim / dim height p B p B.

Chiều của đa tạp afin

Trong Mục 1.1.6, Ch-ơng 1 ta đã trang bị một tôpô cho không gian afin n

A K và tôpô này đ-ợc gọi là tôpô Zariski

Đa tạp afin được định nghĩa là tập đóng bất khả quy của A K n với tôpô cảm sinh Trong khi đó, tập con mở của đa tạp afin được gọi là đa tạp giả afin.

Chiều của không gian tôpô X, ký hiệu là dimX, được định nghĩa là cận trên của tất cả các số tự nhiên n, với điều kiện tồn tại một chuỗi.

V   V V các tập con đóng bất khả quy phân biệt

Chiều của đa tạp afin hoặc tập đại số được xác định trong không gian tôpô, mở rộng khái niệm không gian tuyến tính Do đó, chiều của tập đại số V I   phản ánh độ lớn của tập hợp không điểm này.

2.2.3 Ví dụ 1 Chiều của không gian A 1 là 1 Thật vậy, tập con đóng bất khả quy trong A 1 là toàn bộ không gian và những điểm đơn lẻ trong A 1

2 Chiều của một tập hữu hạn trong A n bằng 0

Nếu I là một ý tưởng đơn thức, thì tập đại số V(I) có thể được chứng minh là hợp của một số hữu hạn không gian con afin, với chiều lớn nhất trong các không gian con afin này Do đó, trong trường hợp này, khái niệm chiều (tổ hợp) tương đương với chiều trong hình học giải tích.

Vành tọa độ của tập đại số V, ký hiệu là K[V], được định nghĩa là vành thương K[x]/IV, trong đó IV là lý thuyết iđêan liên kết của V trong A^n.

2.2.5 Ví dụ Cho V  1, , n   Khi đó vành tọa độ:

Thật vậy, ta xác định đồng cấu vành  : K x    K nh- sau: với mỗi đa thức

 1 1  1  n n  n f , f f  x  h   x  h a a K ta xác định  f a f Khi đó là toàn cấu và   x 1  1 , ,x n  n I V

2.2.6 Định lý Giả sử V là tập đại số trong không gian afin A K n Khi đó, chiều của V bằng chiều của vành toạ độ K V  

Chứng minh rằng iđêan liên kết I_V của V, một tập đại số trong không gian A K^n, tương ứng với iđêan nguyên tố của A = K[x_1, , x_n] chứa I_V Tập con đóng bất khả quy của V tương ứng với iđêan nguyên tố của K(V) Chiều của V được xác định bởi độ dài chuỗi dài nhất của các tập con đóng bất khả quy trong V, tương đương với độ dài chuỗi dài nhất các iđêan nguyên tố trong hệ thống này.

K V Suy ra chiều của V bằng chiều của vành toạ độ K V  

2.2.7 Mệnh đề Chiều của A K n là n

Chứng minh Ta có chiều của vành đa thức K x  1, ,x n  là n, nên theo Mệnh đề 2.1.5 thì ta suy ra đ-ợc chiều của A K n là n

2.2.8 Mệnh đề Nếu Y là đa tạp giả afin thì dimY dimY

Nếu Z 0 ⊆ Z 1 ⊆ ⊆ Z n là một dãy các tập con đóng phân biệt của Y, thì dãy này cũng là một dãy các tập con đóng phân biệt của Y, từ đó suy ra rằng dimY ≤ dimY Đặc biệt, vì dimY là hữu hạn, chúng ta có thể chọn một dãy cực đại Z 0 ⊆ Z 1 ⊆ ⊆ Z n với n = dimY Trong trường hợp Z 0 là một điểm P, dãy P = Z 0 ⊆ Z 1 ⊆ ⊆ Z n sẽ là dãy cực đại Nếu P tương ứng với một lý do cực đại m của vành tọa độ A(Y), thì Z i tương ứng với lý do nguyên tố nằm trong m, do đó ht(m) = n.

Mặt khác, do P là một điểm trong không gian afin, A Y m    K Hơn nữa,

  dim dim n A Y  Y Nh- vËy, dimY dimY

2.2.9 Định lý Một đa tạp Y trong A K n có chiều là n1 nếu và chỉ nếu nó là tập không điểm V f   của một đa thức bất khả quy khác hằng trong

Chứng minh Nếu f là một đa thức bất khả quy, chúng ta có thể thấy đ-ợc

V f là một đa tạp Iđêan sinh bởi nó là một iđêan nguyên tố p    f Do đó

Đa tạp V f có chiều n-1, trong khi đó, một đa tạp tương ứng với iđêan nguyên tố có độ cao 1 Vành đa thức A là miền nhân tử hoá duy nhất, dẫn đến việc p là iđêan chính được sinh bởi đa thức bất khả quy f Do đó, ta có Y = V f.

Sự phân tích nguyên sơ của iđêan đơn thức trong vành đa thức

2.3.1 Định nghĩa Cho I là iđêan của vành đa thức K x  1, ,x n  Khi đó I đ-ợc gọi là iđêan đơn thức nếu I đ-ợc sinh bởi các đơn thức

2.3.2 Mệnh đề Giả sử m, n là hai đơn thức không chứa biến chung và

1, 2, , r m m m là các đơn thức khi đó:

Chứng minh rằng bao hàm thức “” là đúng Tiếp theo, ta sẽ chứng minh bao hàm thức ngược lại “” Giả sử f thuộc vào các tập hợp m1, m2, ,mr và m1, m2, ,mn, và u là đơn thức có mặt trong biểu diễn chính tắc của f.

Do f  m m 1, 2, ,m m r , , và f  m m 1, 2, ,m n r ,  nên có hai khả năng xảy ra:

(i) Tồn tại m i nào đó  1   i r  sao cho u chia hết cho m i Khi đó ta có

(ii) u không chia hết cho m i , với mọi i1, ,r Khi đó u chia hết cho m và n Do m n, nguyên tố cùng nhau nên u chia hết cho mn Từ đó ta suy ra u m m 1, 2, ,m mn r , 

Nh- vậy, cả hai khả năng trên ta đều có f  m m 1, 2, ,m mn r ,  Vậy bổ đề đ-ợc chứng minh

2.3.3 Chú ý Cho I là iđêan đơn thức của vành đa thức K x  1, ,x n  Khi đó: (i) I là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi I sinh bởi các biến;

(ii) I là iđêan bất khả quy khi và chỉ khi I sinh bởi luỹ thừa các biến;

I là một lý thuyết nguyên sơ khi và chỉ khi tồn tại một tập con biến Y, sao cho các đơn thức sinh tối thiểu của I chỉ chứa các biến trong Y Đối với mỗi biến x thuộc Y, điều này đảm bảo rằng cấu trúc của I được xác định rõ ràng và chính xác.

Y chứa một luỹ thừa nào đó của x.

Mét sè vÝ dô

2.4.1.Ví dụ 1 Cho V là tập đại số trong A K 3 sao cho iđêan liên kết của V là

I V  x x x x x  R K x x x Khi đó vành tọa độ của V là

K V K x x x I áp dụng Định lý 2.2.6 ta có:

Theo Chó ý 2.1.6, tr-íc hÕt ta t×m Ass K x x x  1, 2, 3  I V áp dụng Mệnh đề 2.3.2, ta có

 Đặt q 1   x x 1 , 2 2  ; q 2   x x 1 2 , 2  ; q 3   x x x 1 2 , 2 2 , 3  Khi đó q q q 1 , 2 , 3 là các iđêan nguyên sơ với q 1  x x 1, 2  p 1; q 2  x x 1, 2  p 2; q 3  x x x 1, 2, 3  p 3

Do đó, I   q 1 q 2 q 3 là một sự phân tích nguyên sơ của iđêan I, nhưng sự phân tích này không thu gọn vì q 1  q 2  x x 1, 2  Khi đặt q 1 '   q 1 q 2   x x x x 1 2 , 1 2 , 2 2 , ta có q 1 '   x x 1 , 2  Do đó, I   q 1 ' q 3 là một sự phân tích thu gọn của I, và từ đó suy ra Ass R  R I V   P P 1, 3  Cuối cùng, đặt AR I V, A là R-môđun, theo Chú ý 2.1.6.

 Vậy dimA1 Do đó dim V dim   V dim R I V 1

2.4.2 Ví dụ 2 Cho V là tập đại số trong A K 3 sao cho iđêan liên kết của V là

I V  x x x x x x  R K x x x Khi đó vành tọa độ của V là

K V K x x x I áp dụng Định lý 2.2.6 ta có:

Theo Chó ý 2.1.6, tr-íc hÕt ta t×m Ass K x x x  1, 2, 3  I V áp dụng Mệnh đề 2.3.2, ta có

   x 1  x x 1 2 , 2  Đặt q 1    x 1 ; q 2   x x 1 2 , 2  Khi đó q q 1 , 2 là các iđêan nguyên sơ với:

Do đó I V  q 1 q 2 là một sự phân tích nguyên sơ của iđêan I

Hơn nữa ta có Ass R  R I V   P P 1, 2  Đặt AR I , A là R-môđun Theo Chú ý 2.1.6, ta có:

VËy dimA2 Suy ra dim V dim   V dim R I V 2

2.4.3 Ví dụ 3 Cho V là tập đại số trong A K 3 sao cho iđêan liên kết của V là

I V  x x x x x x  R K x x x Khi đó vành tọa độ của V là

K V K x x x I áp dụng Định lý 2.2.6 ta có:

Theo Chó ý 2.1.6, tr-íc hÕt ta t×m Ass K x x x  1, 2, 3  I V áp dụng Mệnh đề 2.3.2, ta có

Đặt q 1   x x 1 , 2  ; q 2   x x 2 , 3 4  ; q 3   x x 2 2 , 3  ; q 4   x x 1 , 3  Khi đó q q q q 1 , 2 , 3 , 4 là các iđêan nguyên sơ với:

Do đó I    q 1 q 2 q 3 q 4 là một sự phân tích nguyên sơ của iđêan I

Hơn nữa ta có Ass R  R I V   P P P 1, 2, 4  Đặt AR I V , A là R-môđun Theo Chú ý 2.1.6, ta có:

VËy dimA1 Suy ra dim V dim   V dim R I V 1

2.4.4 Ví dụ 4 Cho V là tập đại số trong A K 3 sao cho iđêan liên kết của V là

I V  x x x x x x x x x  R K x x x Khi đó vành tọa độ của V là

K V K x x x I áp dụng Định lý 2.2.6 ta có:

Theo Chó ý 2.1.6, tr-íc hÕt ta t×m Ass K x x x  1, 2, 3  I V áp dụng Mệnh đề 2.3.2, ta có:

Khi đó q q q 1 , 2 , 3 là các iđêan nguyên sơ với:

Vậy I      q 1 q 2 q 3 q 4 q 5 q 6 là một sự phân tích nguyên sơ của iđêan I Chú ý rằng sự phân tích này là không thu gọn vì q 3  q 5  q 6  x x 2, 3  Đặt:

Ta có q 1 '  x x 2, 3  Khi đó I   q 1 q 2 q 1 ' là một sự phân tích thu gọn của I Hơn nữa ta có Ass R  R I V  P P P 1, 2, 3  Đặt AR I V , A là R-môđun Khi đó ta có:

Vậy dimA1 Do đó dim V dim   V dim R I V 1

Tóm lại, trong luận văn này, chúng tôi đã hoàn thành đ-ợc những việc sau:

1 Tìm hiểu khái niệm tập đại số, tập đại số bất khả quy

2 Tìm hiểu khái niệm iđêan liên kết

3 Tìm hiểu về mối liên hệ giữa iđêan liên kết và tập đại số

4 Tìm hiểu về chiều của đa tạp afin.