Kiến thức chuẩn bị
Nhóm, nhóm con, nhóm hữu hạn
1.1.1 Định nghĩa Tập hợpG cùng phép toán hai ngôi được gọi là nhóm nếu
(i) Phép toán có tính chất kết hợp, nghĩa là (ab)c = a(bc), với mọi a, b, c thuộc G;
(ii) Phép toán có phần tử đơn vị;
(iii) Mọi phần tử của G đều khả nghịch.
1.1.2 Đẳng cấu Hai nhóm Gvà G 0 được gọi là đẳng cấu nếu tồn tại ánh xạ một - một ϕ từ G lên G 0 bảo toàn phép toán trên chúng, nghĩa là ϕ(ab) =ϕ(a).ϕ(b) với mọi a, b thuộc G.
Ta sẽ dùng ký hiệu G ∼= G 0 để chỉ hai nhóm G và G 0 đẳng cấu với nhau.
1.1.3 Nhóm con Giả sử H là một tập con khác rỗng của nhóm G thỏa mãn điều kiện: với mọi a, b thuộc H, ta đều có ab ∈ H thì H được gọi là một bộ phận ổn định của nhóm G Khi đó, phép toán hai ngôi trên G cảm sinh một phép toán hai ngôi trên H Nếu H cùng với phép toán cảm sinh là một nhóm, thì H được gọi là nhóm con của G Chẳng hạn, tập hợp {−1,1} là nhóm con của nhóm nhân Q ∗ , nhưng không phải là nhóm con của nhóm cộng các số nguyên.
1.1.4 Nhóm hữu hạn Định nghĩa Một nửa nhóm hoặc một nhóm G được gọi là hữu hạn nếu có hữu hạn phần tử Khi đó, số các phần tử trong G được gọi là cấp của G.Giả sử G có n phần tử Khi đó, cấp của G được ký hiệu là |G| = n.
1.1.5 Định nghĩa Cho V, V 0 là hai không gian véctơ trên trường K Ánh xạ f :V→V 0 được gọi là ánh xạ tuyến tính nếu hai tiên đề sau đây được thỏa mãn
1.1.6 Mệnh đề Nếu f : V→V 0 là ánh xạ tuyến tính thì
(a) f(θ) = θ 0 , (θ, θ 0 tương ứng là phần tử không của V, V 0 )
Chứng minh (a) Ta có 0θ = θ, do đó f(θ) =f(0, θ) = f(0θ) = 0f(θ) = θ 0 (b) Vì −x = (−1)x nên ta có f(−x) =f[(−1)x] = (−1)f(x) = −f(x).
Mêtric, không gian mêtric tuyến tính
Giả sử X là một không gian tuyến tính trên trường Φ, có thể là trường thực hoặc trường phức Các kết quả được trình bày sẽ áp dụng cho cả hai trường này, trừ khi có chỉ định cụ thể về trường cơ sở.
1.2.1 Định nghĩa Hàm ρ : X ×X→R được gọi là mêtric trên X nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) ρ(x, y) ≥ 0 và ρ(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y;
Không gian tuyến tính X với một mêtric ρ được gọi là không gian mêtric tuyến tính khi các phép toán cộng và nhân với vô hướng là liên tục theo tôpô sinh bởi mêtric ρ.
- Mêtric ρ(x, y) được gọi là bất biến nếu ρ(x+y, y+z) = ρ(x, y) với mọi x, y, z ∈ X.
Ta nói rằng lân cận U của θ trong không gian mêtric tuyến tính X là cân nếu với mọi a ∈ Φ mà |a| ≤ 1 ta có aU ⊂ U.
1.2.2 Định nghĩa Hai mêtric ρ(x, y) và ρ 0 (x, y) được gọi là tương đương nếu các tôpô sinh ra bởi các mêtric tương ứng là trùng nhau.
1.2.3 Định nghĩa Giả sử E là tập con của không gian mêtric tuyến tính
(a) Tập E được gọi là bị chặn nếu với mỗi lân cận U của điểm θ tồn tại một số t sao cho E ⊂ tE;
(b) Tập E được gọi là hoàn toàn bị chặn nếu với mỗi lân cận U của điểm θ trong X có một tập con hữu hạn F của X sao cho E ⊂ F + U.
1.2.4 Mệnh đề Trong không gian mêtric tuyến tính, một lân cận W của θ bao giờ cũng chứa một lân cận U của chính nó.
Giả sử W là một lân cận bất kỳ của θ trong không gian mêtric tuyến tính X Nhờ tính liên tục của phép nhân với vô hướng, tồn tại một lân cận V của θ và một số ε > 0 sao cho với mọi a ∈ Φ mà |a| ≤ ε, ta có aV ⊂ W.
|a|≤ε aV thì U là một lân cận của θ và U ⊂ W
1.2.5 Định lý ([1]) Giả sử X là không gian mêtric tuyến tính với mêtric ρ(x, y) Khi đó, có một mêtric bất biến ρ 0 (x, y) tương đương với mêtric xuất phát ρ(x, y).
1.2.6 Định nghĩa (a) Không gian mêtric X với mêtric bất biến xác định trên nó được gọi là một F ∗ -không gian;
(b) Hàm thực k • k :X→R được gọi là một F-chuẩn trên X nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) kxk ≥ 0 và kxk = 0 khi và chỉ khi x = 0;
(ii) kaxk = |a|kxk với mọi a ∈ φ, |a| = 1;
(iii) kx+yk ≤ kxk+kyk với mọi x, y ∈ X;
1.2.7 Nhận xét (a) Giả sử ρ(x, y) là một mêtric bất biến trên X Đặt kxk = ρ(x, θ) Khi đó, kxk là một F-chuẩn trên X;
(b) Hai F-chuẩn là tương đương khi và chỉ khi hai mêtric bất biến tương ứng là tương đương;
Giả sử X là một F∗-không gian và Y là một không gian con tuyến tính của X, thì Y cũng trở thành một F∗-không gian F-chuẩn của Y được thu được bằng cách thu hẹp F-chuẩn trên X xuống Y.
Các tính chất cơ bản của toán tử tuyến tính
Giả sử X và Y là hai F∗-không gian với các F-chuẩn k•k X và k•k Y tương ứng Chúng ta sẽ sử dụng ký hiệu k•k để chỉ các F-chuẩn trên mà không gây nhầm lẫn.
1.3.1 Định nghĩa - Giả sử D là một không gian con của X. Ánh xạ A: D→Y được gọi là toán tử cộng tính nếu
- Nếu A thỏa mãn thêm điều kiện
(2) A(tx) = tAx với mọi x ∈ D và với mọi vô hướng t thì A được gọi là toán tử tuyến tính.
- Nếu toán tử tuyến tính A là ánh xạ liên tục thì A được gọi là toán tử tuyến tính liên tục.
1.3.2 Mệnh đề Nếu X và Y là các không gian tuyến tính thực thì mỗi toán tử cộng tính liên tục là một toán tử tuyến tính liên tục.
Chứng minh Vì A là toán tử cộng tính nên ta có A(nx) = nAx với mọi n∈ N Từ đó ta có A(x) =A n 1 x
1 nA(x) Vì thế, với mọi số hữu tỉ r tùy ý ta có A(rx) = rAx.
Giả sử ε là một số dương tùy ý và t là một số thực bất kỳ, tính liên tục của toán tử A cùng với phép nhân vô hướng cho thấy tồn tại một số hữu tỉ r sao cho kA(t−r)xk < ε.
Vì thế ktA(x)−A(tx)k ≤ k(t−x)A(x)k+krA(x)−A(rx)k+kA(rx−tx)k < ε
Vì ε bé tùy ý từ đó suy ra A(tx) =tA với mọi vô hướng t
1.3.3 Định nghĩa Giả sử X là không gian mêtric tuyến tính, tập con B của X được gọi là bị chặn nếu với lân cận bất kỳ U của 0tồn tại một số b sao cho B ⊂ bU.
- Dãy {x n } được gọi là bị chặn nếu tập hợp {x n , n ∈ N} là một tập bị chặn.
1.3.4 Mệnh đề Tập B là tập bị chặn nếu với mỗi dãy bất kỳ các vô hướng {t n } với t n →0 và với mỗi dãy bất kỳ các phần tử {x n } của B, dãy {t n x n } hội tụ tới 0.
Toán tử tuyến tính A : X → Y từ F ∗ -không gian X vào F ∗ -không gian Y được coi là bị chặn khi nó ánh xạ các tập hợp bị chặn thành các tập hợp bị chặn.
1.3.5 Định lý ([1]).Giả sử X và Y là hai F ∗ -không gian, toán tử tuyến tính A ánh xạ X vào Y là bị chặn khi và chỉ khi nó liên tục.
1.3.6 Định nghĩa Tập tất cả các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào
1.3.7 Định nghĩa Một tập hợp con A của không gian mêtric tuyến tính
E được gọi là một tập hợp hút nếu với mọi x ∈ E tồn tại λ > 0 sao cho x ∈ àA với mọi à thỏa món |à| ≥ λ.
1.3.8 Định nghĩa Một tập hợp con A của không gian mêtric tuyến tính
E được gọi là tập hợp đóng nếu với mọi dãy {x n } nằm trongA sao cho x n →x khi n→∞ thì x ∈ A.
1.3.9 Định nghĩa.Giả sử X vàY là cácF ∗ -không gian HọU các toán tử trong không gian B 0 (X→Y) được gọi là đồng liên tục nếu với mỗi số dương ε > 0, tồn tại số dương δ sao cho sup{kA(x)k : kxk < δ, A ∈ U }< ε.
1.3.10 Bổ đề Giả sử X là một F ∗ -không gian và V là một tập hợp hút, đóng Khi đó V chứa một tập hợp mở.
Chứng minh Vì V là một tập hợp hút nênX ∞
Theo định lý Baire, không gian X thuộc phạm trù thứ hai, do đó tồn tại một số nguyên n₀ sao cho n₀V cũng thuộc phạm trù thứ hai trong X Vì n₀V là một tập đóng, nên nó sẽ chứa một tập mở U Do đó, V sẽ chứa một tập mở n₁.
1.3.11 Định lý.Giả sử U là họ các toán tử trong không gian B 0 (X→Y). Với mỗi x ∈ X, giả sử tập {A(x) : A ∈ U } là tập bị chặn Khi đó, họ U là đồng liên tục.
Chứng minh Giả sử ε là số dương bé tùy ý Ký hiệu
Vì các toán tử A liên tục, U1 được xác định là một tập hợp đóng Chúng ta sẽ chứng minh rằng U1 là một tập hợp hút Giả sử x là phần tử tùy ý của X, từ giả thiết cho thấy tập {A(x) : A ∈ U} là tập bị chặn Do đó, tồn tại số dương a sao cho với 0 < b < a, ta có kbA(x)k < ε với mọi A Điều này dẫn đến bx ∈ U1.
Theo Bổ đề 1.3.10, tập U1 chứa một tập mở U2 và giả sử x0 thuộc U2 Tập hợp {A(x0) : A ∈ U} là tập bị chặn, do đó tồn tại một số dương b với |b| < 1 sao cho kbA(x0)k < ε Điều này dẫn đến bx0 thuộc U1 Đặt U = b(U2 - x0), rõ ràng U là một lân cận của 0 Nếu x thuộc U, ta có x = by - bx0 với y thuộc U2, từ đó suy ra kAxk ≤ kbA(x0)k + kbA(y)k ≤ ε + sup kzk≤ε.
Nhờ vào tính liên tục của phép nhân với vô hướng, từ bất đẳng thức cuối, chúng ta có thể lựa chọn sao cho số hạng thứ hai ở vế phải nhỏ hơn hoặc bằng ε Do đó, họ U là đồng liên tục.
1.3.12 Hệ quả Nếu X và Y là các F ∗ -không gian và nếu dãy các toán tử {A n }, A n ∈ B 0 (X→Y), hội tụ tại mỗi điểm x ∈ X tới toán tử A nghĩa là lim n→∞A n (x) =A(x), thì toán tử A là toán tử tuyến tính liên tục.
Chứng minh Từ các tính chất của giới hạn, dễ dàng suy ra rằng toán tử
A là toán tử tuyến tính Vì tại mỗi điểm x ∈ X dãy {A n (x)} hội tụ nên nó bị chặn Nhờ Định lý 1.3.11 họ các toán tử {A n } là đồng liên tục.
Giả sử ε là một số dương nhỏ tùy ý, sẽ tồn tại một số dương δ sao cho nếu kxk < δ thì kA n (x)k < ε/2 với n = 1, 2, 3, Nếu x thỏa mãn điều kiện kxk < δ, thì vì {A n x} hội tụ tới Ax, sẽ có một chỉ số n0 sao cho kAx − Ax n0 k < ε/2.
Từ đó suy ra kAxk ≤ kAx−Ax n 0 k+kA n 0 (x)k < ε
Nghĩa là A liên tục tại 0 Vì thế A là toán tử tuyến tính liên tục trên X.
Đồng luân, trội đồng luân
Chúng ta cần đưa ra khái niệmh-ánh xạ Khái niệm này tổng quát hơn khái niệm r-ánh xạ.
1.4.1 Định nghĩa Giả sử Y ⊂ X Ánh xạ liên tục f : X→Y được gọi là phép co rút nếu f(x) = x với mọi x ∈ Y.
1.4.2 Định nghĩa Cho hai không gian X, Y Khi đó, ta ký hiệu Y X là tập gồm mọi ánh xạ liên tục từ X vào Y Trong không giam hàm Y X có thể trang bị tôpô bằng cách cho tiền cơ sở β trong đó Ta làm như sau: Đối với mỗi tập compắc X 0 ⊂ X và tập mở V ⊂ Y, ta ký hiệu G(X 0 , V) là tập tất cả các ánh xạ liên tục f ∈ Y X sao cho f(X 0 ) ⊂ V Họ β tất cả các tập G(X 0 , V) như thế tạo nên tiền cơ sở của không gian Y X Tôpô này được gọi là tôpô compắc mở.
Nếu X compắc, Y là không gian mêtric thì ta có thể trang bị mêtric trong
Y X Mêtric tương thích với tôpô compắc mở nói trên.
Thật vậy, đặt ρ(ϕ, ψ) = sup x∈X ρ(ϕ(x), ψ(x)), với ϕ, ψ ∈ Y X
Ký hiệu cặp không gian (X, X 0 ) gồm không gian X và tập con X 0 của nó. Cặp (X, φ) ta xem như X.
1.4.3 Định nghĩa Ánh xạ cặp ϕ : (X, X 0 )→(Y, Y 0 ) hiểu là ánh xạ ϕ :
X→Y, thỏa mãn điều kiện ϕ(X 0 ) ⊂ Y 0 Ánh xạ ϕ được gọi là r-ánh xạ nếu tồn tại ánh xạ ψ : (Y, Y 0 )→(X, X 0 ) sao cho ϕψ là ánh xạ đồng nhất trên (Y, Y 0 ).
Trong trường hợp Y ⊂ X và Y 0 ⊂ X 0, ánh xạ ϕ : (X, X 0 )→(Y, Y 0 ) được gọi là ánh xạ co rút nếu ánh xạ lồng i : (Y, Y 0 )→(X, X 0 ) là nghịch phải của ϕ Khi đó, cặp (Y, Y 0 ) được xem là cái co rút của (X, X 0 ).
1.4.4 Định nghĩa Không gian hàm Y X gồm tất cả các ánh xạ liên tục ϕ∈ Y X thỏa mãn ϕ(X 0 ) ⊂ Y 0 được ký hiệu là (Y, Y 0 ) (X,X 0 )
1.4.5 Định nghĩa Các ánh xạ f 0 , f 1 ∈ (Y, Y 0 ) (X,X 0 ) được gọi là đồng luân nếu với mỗi t ∈ [0,1], tồn tại ánh xạf t ∈ (Y, Y 0 ) (X,X 0 ) liên tục phụ thuộc t và thỏa mãn f t=0 = f 0 , f t=1 = f 1 Khi đó, ta cũng nói họ {f t } là họ đồng luân nối f 0 với f 1
Quan hệ đồng luân có tính chất phản xạ, đối xứng và bắc cầu trong không gian (Y, Y0) và (X, X0) Vì vậy, quan hệ này phân chia không gian (Y, Y0) và (X, X0) thành các lớp tương đương đồng luân.
Ta ký hiệu mỗi lớp tương đương này là [f], trong đó f đại diện của nó Như vậy, [f] = [f 0 ] khi và chỉ khi f đồng luân với f 0
1.4.6 Định nghĩa Ta nói f 0 , f 1 ∈ (Y, Y 0 ) (X,X 0 ) là đồng luân yếu nếu chúng thuộc về một thành phần liên thông của (Y, Y 0 ) (X,X 0 )
Dễ thấy đồng luân suy ra đồng luân yếu.
1.4.7 Định nghĩa Ta nói hai ánh xạ f 0 , f 1 đồng luân mạnh, nếu tồn tại ánh xạ ϕ : (X ×[0,1], X 0 ×[0,1])→(Y, Y 0 ) thỏa mãn các điều kiện
1.4.8 Định nghĩa Tập con A ⊂ X được gọi là co rút theo không gian
X vào tập B ⊂ X, nếu ánh xạ lồng i : A→X đồng luân với ánh xạ f :A→X sao cho f(A) ⊂ B Nếu B chỉ gồm một điểm thì ta nói tập A co rút theo X vào một điểm.
Trong không gian X, điểm được coi là co rút nếu tồn tại ánh xạ đồng nhất i: X→X đồng luân với ánh xạ f: X→X, sao cho f(x) = a với mọi x ∈ X, trong đó a là một điểm cụ thể trong không gian X.
1.4.9 Định lý Nếu X co rút điểm thì r-ảnh của nó cũng co rút điểm.
Chứng minh Giả sử f : X→Y là r-ánh xạ với nghịch phải g : Y→X Vì
Họ đồng luân {f t} ⊂ X cho phép ánh xạ đơn vị f 0 với ánh xạ f 1 biến X thành một điểm Đặt g t (y) = (f f t)(y) với mọi y ∈ Y, ta thu được họ {g t} ⊂ Y, trong đó g 0 là ánh xạ đơn vị trên Y và g 1 biến Y thành một điểm.
1.4.10 Định nghĩa Ta nói ánh xạ f : (X, X 0 )→(Y, Y 0 ) là h- ánh xạ nếu tồn tại ánh xạ g : (Y, Y 0 )→(X, X 0 ) sao cho f g : (Y, Y 0 )→(Y, Y 0 ) đồng luân với ánh xạ đồng nhất Khi đó ta nói g nghịch phải đồng luân với f.
Nếu tồn tại h- ánh xạ như trên từ (X, X 0 ) vào(Y, Y 0 ) thì ta nói (X, X 0 ) làm trội đồng luân trên (Y, Y 0 ) và viết (X, X 0 ) ≥ h
Dễ thấy rằng, mỗi r-ánh xạ là h-ánh xạ Bởi vì, từ (X, X 0 ) ≥ r
1.4.11 Nhận xét ([2]) Nói chung từ (X, X 0 ) ≥ h
1.4.12 Định nghĩa Ta nói các cặp (X, X 0 ) và (Y, Y 0 ) là tương đương đồng luân nên tồn tại các ánh xạ f : (X, X 0 )→(Y, Y 0 ) và g : (Y, Y 0 )→(X, X 0 ) sao cho f g và gf đồng luân với ánh xạ đơn vị Trong trường hợp đó ta viết
1.4.13 Nhận xét Quan hệ tương đương đồng luân mạnh hơn quan hệ đồng luân bằng Bởi vì cả hai quan hệ này đều là quan hệ tương đương và tất cả các không gian đều được phân chia thành từng lớp các không gian đồng luân bằng, cũng như được phân chia thành lớp các không gian đồng luân Lớp các không gian tương đương đồng luân này không rộng hơn các không gian đồng luân bằng, vì từ khái niệm tương đương đồng luân suy ra đồng luân bằng.
1.4.14 Định nghĩa Cặp (A, A 0 ) ⊂ (X, X 0 ) được gọi là cái co rút biến dạng của(X, X 0 )nếu tồn tại họ đồng luân{f t }trong không gian(X, X 0 ) (X,X 0 ) nối ánh xạ f = i với ánh xạ f 1 sao cho ánh xạ r : (X, X 0 )→(A, A 0 ) cho bởi công thức r(x) = f 1 (x) với mọi x ∈ X là ánh xạ co rút.
Chúng ta định nghĩa (Y, Y 0 ) là r-ảnh biến dạng của (X, X 0 ) nếu có ánh xạ f : (X, X 0 )→(Y, Y 0 ) thỏa mãn điều kiện gf đồng luân với ánh xạ đơn vị từ (X, X 0 ) vào chính nó Khi đó, f được gọi là r-ánh xạ biến dạng từ (X, X 0 ) lên (Y, Y 0 ).
Trong trường hợp riêng X 0 = Y 0 = φ, ta nhận được r-ánh xạ biến dạng thông thường.
1.4.15 Định lý Nếu Y là r-ảnh biến dạng của X thì X ∼ h Y và do đó
Theo giả thiết, tồn tại ánh xạ f: X→Y và nghịch đảo g: Y→X, sao cho gf: X→X đồng nhất với ánh xạ đơn vị i_X: X→X và fg: Y→Y đồng nhất với i_Y: Y→Y Do đó, ta có thể kết luận rằng X ∼ h Y.
1.4.16 Hệ quả ([2]) Nếu Y là cái co rút biến dạng của X thì X ∼= Y.
Thác triển ánh xạ
1.5.1 Định nghĩa Cho khụng gian tụpụ X, họ U = {U à } với U à là tập con của X, à ∈ M là tập chỉ số nào đú, được gọi là một phủ của khụng gian
Nếu mọi U à mở thỡ ta núi U là phủ mở và nếu mọi U à đều đúng thỡ U được gọi là phủ đóng.
Phủ V = {V : γ ∈ N} được gọi là cái mịn của phủ U nếu với mỗi γ ∈ N tồn tại à ∈ M sao cho V γ ⊂U à
1.5.2 Định nghĩa Phủ U được gọi là hữu hạn địa phương nếu với mọi điểm x ∈ X, tồn tại lõn cận G của x sao cho G∩U à = φ chỉ với hữu hạn chỉ số à ∈ M.
1.5.3 Định nghĩa Cho G là tập mở của X và U = {U à } à∈M là phủ mở của G Ta nói phủ U chính tắc đối với X nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:
(2) Với mỗi điểm a ∈ X\G và mỗi lân cận V a của a trong X, tồn tại lân cận W a của a trong X sao cho từ U à ∩W a 6= φ, kộo theo U à ⊂ V a
1.5.4 Định lý ([2]) Đối với mỗi tập mở G của không gian mêtric X tồn tại phủ chính tắc của G đối với X.
1.5.5 Định nghĩa Ta nóidimX ≤ nnếu với phủ mở hữu hạn địa phương của không gian X tồn tại cái mịn mở hữu hạn địa phương sao cho không một điểm nào của X nằm trong quá n+ 1 phần tử của cái mịn đó.
Nếu thỏa mãn điều kiện dimX ≤ n nhưng không thỏa mãn điều kiện dimX ≤ (n−1) thì ta nói dimX = n.
Nếu dimX ≤ n không thỏa mãn với bất cứ số tự nhiên n nào thì ta nói chiều của không gian X là vô hạn và ký hiệu dimX = ∞.
1.5.6 Định nghĩa Không gian X được gọi là một đa diện nếu tồn tại một số họ J các đơn hình hình học σ sao cho:
(2) Mỗi mặt của đơn hình σ ∈ J cũng thuộc J;
(3) Nếu các đơn hình σ 1 ;σ 2 thuộc J thì σ 1 ∩ σ 2 cũng là mặt của mỗi đơn hình đó;
(4) Tập con G ⊂ X mở khi và chỉ khi G∩σ mở trong mỗi σ ∈ J.
Họ J được gọi là tam giác phân của không gian X, còn các đỉnh của đơn hình σ ∈ J là đỉnh của J.
Nhận xét Điều kiện (4) của Định nghĩa 1.5.6 xác định một tôpô trên X. Đó là tôpô yếu trênX Mỗi đa diện X là một CW- phức đơn hình theo nghĩaWhitehead.
1.5.7 Định nghĩa Cho U = {U à }, à ∈ M là một phủ của khụng gian tôpô X Thần kinh phủ của U ký hiệu N(U) là đa diện W với tam giác phân
J sao cho mỗi đơn hình σ của J có các đỉnh là các phần tử của phủ U có giao khác rỗng.
1.5.8 Định lý Dugundji ([2]) Giả sử A là tập con đóng của không gian mêtric (X,d), còn Y là không gian lồi địa phương Khi đó, mỗi ánh xạ f : A→Y có thác triển liên tục fe: X→Y Hơn thế nữa tất cả các giá trị fecó thể lấy từ bao lồi conv(f(A)) của f(A).
1.5.9 Định lý Kuratowski - Woidyslawski ([2]).Đối với mỗi không gian metric X tồn tại một không gian định chuẩn Z và đồng phôi h :
X→h(X) ⊂ Z và h(X) đóng trong bao lồi conv(h(X)).
AR(M ) -không gian và AN R(M ) -không gian
Chúng tôi giả thiết M là lớp các không gian khả mêtric, nghĩa là khi viết
X ∈ M ta hiểu X là không gian mêtric hóa được.
1.6.1 Định nghĩa Không gian X được gọi là co rút tuyệt đối với mọi không gian mêtric Y, nếu X ∈ M và đối với mỗi đồng phôi h ánh xạ không gian X lên tập con đóng h(X) của không gian Y, thì tập h(X) là cái co rút của Y Ta viết X ∈ AR(M).
1.6.2 Định nghĩa.Không gian mêtric X được gọi làco rút lân cận tuyệt đối đối với mọi không gian mêtric Y, nếu X ∈ M và với mỗi đồng phôi h ánh xạ không gian X lên tập con đóng h(X) của không gian Y ∈ M thì h(X) là cái co rút lân cận của Y Ta viết X ∈ AN R(M).
1.6.3 Chú ý Khi xét trên lớp các không gian mêtric compắc thì AR(M)- không gian viết là AR-không gian và AN R-không gian viết là AN R-không gian.
1.6.4 Định lý Để không gian mêtric X là AR(M)-không gian điều kiện cần X là r-ảnh của một tập con lồi trong không gian tuyến tính định chuẩn và điều kiện đủ X là r-ảnh của một tập con lồi nằm trong không gian tuyến tính lồi địa phương.
Chứng minh Điều kiện cần.Giả sử X ∈ AR(M) theo Định lý Kuratowski
- Woidyslawski 1.5.9 tồn tại đồng phôih ánh xạ không gianX lên tập con đóng
Tập lồi Q nằm trong không gian định chuẩn Z có ánh xạ co r : Q→Y, từ đó tạo ra ánh xạ h−1 : Q→X, cho thấy X là r-ảnh của tập lồi Q trong không gian tuyến tính định chuẩn Z Nếu X là r-ảnh của tập lồi Q trong không gian tuyến tính lồi địa phương và f : Q→X là r-ánh xạ từ X đến tập con đóng của không gian mêtric X₀, thì ánh xạ ϕ = gh−1 chuyển h(X) vào Q Theo Định lý Dugundji 1.5.8, tồn tại thác triển liên tục ϕ₀ : X₀→Q cho toàn bộ không gian.
X 0 Khi đó, ta đặt r(x 0 ) =h(f(ϕ 0 (x 0 )))với mọi x 0 ∈ X.
Ta nhận được ánh xạ co rút r : X 0 →h(X) Thật vậy, với y = h(x) ∈ h(X) thì r(y) = (hf ϕ 0 h)(x) = (hf gh −1 h)(x) =h(x) =y. Định lý được chứng minh
1.6.5 Hệ quả ([2]) (i) Mỗi r-ảnh của một AR(M)-không gian là AR(M)-không gian;
(ii) Mỗi AR(M)-không gian là co rút điểm.
1.6.6 Định lý Để không gian mêtric X là ANR(M)-không gian điều kiện cần X là r-ảnh của tập con mở của tập lồi Q nằm trong không gian tuyến tính định chuẩn Z nào đó Điều kiện đủ X là r-ảnh của tập con mở của tập lồi Q nằm trong không gian tuyến tính lồi địa phương Z 0
Theo Định lý Kuratowski-Woidyślawski, nếu X ∈ AN R(M), thì tồn tại đồng phôi h ánh xạ X lên tập con đóng của tập lồi Q ⊂ Z định chuẩn, dẫn đến việc tồn tại ánh xạ co rút r từ lân cận mở U ⊂ Q lên tập h(X) Do đó, h −1 r : U→X là r-ảnh từ tập U lên tập X, khẳng định rằng X là r-ảnh của tập con mở của tập lồi Q Ngược lại, nếu X là r-ánh xạ của tập U mở trong không gian tuyến tính lồi địa phương Z 0, và f : U→X là r-ánh xạ với nghịch phải g : X→U, thì đồng phôi h ánh xạ X lên h(X) trong U ⊂ Q cho phép áp dụng Định lý Dugundji, dẫn đến ánh xạ ϕ có thác triển liên tục ϕ 0 : X 0 →Q Ký hiệu U 0 là tạo ảnh toàn phần của U với ánh xạ ϕ 0, khi đó U 0 trở thành lân cận của h(X) trong X 0, với r(x 0 ) = hf ϕ 0 (x 0) cho mọi x 0 ∈ U 0.
Ta nhận được ánh xạ r : U 0 →h(X) thỏa mãn với y = h(x) ∈ h(X), ta có r(y) = hf ϕ 0 h(x) = hf gh −1 h(x) = h(x) = y.
Như vậy r co rút U 0 lên h(x) Định lý được chứng minh
1.6.7 Hệ quả ([2]).(i) Mỗi r-ảnh của ANR(M)-không gian là ANR(M)- không gian;
(ii) Mỗi co rút lân cận của một AN R(M)-không gian là ANR(M)-không gian.
1.6.8 Định lý ([2]) Giả sử X là tập con đóng của không gian mêtric
X 0 và Y thuộc AN R(M) Xét họ ánh xạ {f t }, với t ∈ [0,1], trong đó f t : X→Y và giả thiết rằng f 0 có thác triển liên tục f 0 : X 0 →Y Khi đó, tồn tại họ ánh xạ liên tục {f t 0 } với f t 0 : X 0 →Y, với t ∈ [0,1], và f t 0 là thác triển của f t.
1.6.9 Định lý Không gian X là AR(M)-không gian khi và chỉ khi X là ANR(M)-không gian và co rút điểm.
Giả sử X là một AR(M)-không gian, thì X cũng là một AN R(M)-không gian và có tính chất co rút điểm Điều này được chứng minh bởi vì mỗi AR-không gian đều có khả năng co rút điểm vào AN R(M)-không gian.
Bây giờ, giả sử X là AN R(M)-không gian và co rút điểm Khi đó ta xem
X tập con đóng của tập lồi Q nằm trong không gian định chuẩn Z nào đó.
Vì X co rút điểm nên tồn tại họ {f t } các hàm liên tục f t ∈ X X sao cho f 0 biến X vào một điểm a ∈ X, còn f t là ánh xạ đồng nhất Đặt f 0 (x) = a, với mọi điểm x ∈ Q ta được thác triển liên tục f 0 0 : Q→X của f 0 Theo Định lý 1.6.8 ta nhận được họ thác triển liên tục {f t 0 } với f t 0 : Q→X của f t nói riêng f t 0 : Q→X là thác triển của ánh xạ đơn vị f t và là ánh xạ co rút Từ đó, nhờ Định lý 1.6.4 ta được kết quả cần chứng minh
1.6.10 Định nghĩa Giả sử {U n } là một dãy các phủ mở của không gian mêtric X và U = S n∈N
U n Ánh xạ f : U →X được gọi là một phép chọn nếu f(U) ⊂ U với mỗi U ∈ U.
Không gian với toán tử và không gian các quỹ đạo
1.7.1 Định nghĩa Giả sử G là một nhóm, E là một tập hợp Một phép toán (hoặc phép toán trái, hoặc phép tác động) của G trong E là một ánh xạ (s, x)→s.x của G×E vào E thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) Nếu e là phần tử trung hòa của G, ta có e.x = x với mọi x ∈ E;
Với mọi phần tử s, t thuộc nhóm G, ta có công thức s.(t.x) = (s.t).x cho mọi x trong tập E Tính chất này dẫn đến việc s −1 (s.x) = x với mọi s trong G và mọi x trong E Do đó, ánh xạ x→s.x là một song ánh từ E đến chính nó, trong khi ánh xạ ngược x→s −1 x cũng là một song ánh.
Với mỗi phần tử x thuộc tập E, quỹ đạo của x được định nghĩa là tập hợp G.x = {s.x : s ∈ G}, phản ánh cách mà phép toán G tác động lên x Tập hợp Sx, bao gồm các phần tử s ∈ G sao cho s.x = x, là một nhóm con của G, được gọi là ổn định tử của x Hệ thức s.x = t.x tương đương với điều kiện t^(-1).s ∈ Sx Ánh xạ từ s đến s.x của G lên G.x có thể được phân tích một cách chi tiết.
G → p G/S x → ϕ G.x, trong đó G/S x là tập hợp các lớp trái s.S x theo nhóm con S x, p là ánh xạ chính tắc s→s.S x và ϕ là song ánh s.S x →s.x G được coi là tác động trung thành trong E nếu giao các ổn định tử S x, khi x chạy theo E, chỉ bao gồm phần tử e.
- Ta nói rằng, G tác động tự do trong E, nếu ổn định tử của mọi điểm của
E gồm chỉ e, nói cách khác, nếu với mọi x ∈ E, hệ thức s.x = t.x kéo theo s= t.
- Quan hệ < y thuộc quỹ đạo của x > là một quan hệ tương đương trong
E, trong đó các lớp tương đương là các quỹ đạo của những phần tử của E, tập hợp các quỹ đạo (là một phần tử của P(E) được ký hiệu là E/G; nếu tập hợp này gồm một điểm duy nhất (nói cách khác, với mọi cặp phần tử x, y của E, tồn tại s ∈ G sao cho y = s.x), ta nói rằng G tác động bắc cầu trong E Hợp G.A các quỹ đạo của các phần tử của một phần A của E được gọi là cái bão hòa của A đối với G; thu hẹp lên G×(G.A) của ánh xạ (s, x)→s.x là một phép toán của G trong G.A Nếu π :E→E/G là ánh xạ chính tắc thì ta cũng có thể viết G.A = π −1 (π(A)), hệ thức G.A = A tương đương với G.A ⊂ A. Bây giờ ta giả thiết rằng Glà một nhóm tôpô vàE là một không gian tôpô; ta nói rằng G tác động liên tục trong E (với một phép toán (s, x)→s.x), nếu ánh xạ (s, x)→s.x của không gian tích G×E vào E là liên tục.
1.7.2 Định nghĩa Giả sử G là một nhóm tôpô tác động liên tục trong một không gian tôpô E, E/G là tập hợp các quỹ đạo π : E→E/G là ánh xạ chính tắc tương ứng với mỗi x ∈ E quỹ đạo G.x của nó Giả sử D là tập hợp các phần tử U của E/G sao cho π −1 (U) là mở trong E ta suy ra D là một tôpô trong E/G; E/G được trang bị bởi tôpô này được gọi là không gian các quỹ đạo của phép toán của G trong E.
1.7.3 Định lý Nếu G là một nhóm tôpô tác động liên tục trong một không gian tôpô E thì với mọi s ∈ G, ánh xạ x→s.x là một phép đồng phôi của E lên chính nó.
Chứng minh Thật vậy, đó là một song ánh liên tục và song ánh ngược x→s −1 x của nó cũng vậy
1.7.4 Bổ đề Nếu G là một nhóm tôpô tác động liên tục trong một không gian tôpô tách E thì ổn định tử của mọi điểm của E là một nhóm con đóng của G.
Áp dụng định lý về ánh xạ liên tục, giả sử f và g là hai ánh xạ liên tục từ không gian tôpô E vào không gian tách E₀ Tập hợp A gồm các điểm x ∈ E thỏa mãn điều kiện f(x) = g(x) sẽ là một tập đóng trong E Điều này được suy ra trực tiếp từ định lý đã nêu.
1.7.5 Mệnh đề Giả sử G là một nhóm khả mêtric tác động liên tục trong không gian mêtric E, A là một phần compắc của G, B là một phần đóng (tương ứng, compắc) của E Khi đó, A B là đóng (tương ứng, compắc) trong E.
Để chứng minh rằng mệnh đề A.B là ảnh của tập hợp compact A×B qua ánh xạ liên tục (s, x)→s.x, ta xem xét một dãy (s n, x n) thuộc A.B với giới hạn z ∈ E Theo giả thiết, tồn tại một dãy con (S n k) hội tụ tới a ∈ A, và với x n k = S n −1 k (S n k x nk), dãy (x n k) hội tụ tới a −1 z Vì B là tập đóng trong E, ta có a −1 z ∈ B, do đó z = a.(a −1 z) ∈ A.B, từ đó khẳng định được mệnh đề.
Giả sử G là một nhóm tôpô tác động liên tục trong một không gian tôpô
E, E/G là tập hợp các quỹ đạo π : E→E/G là ánh xạ chính tắc tương ứng với mỗi x ∈ E quỹ đạo G.x của nó Giả sử D là tập hợp các phần U của E/G sao cho π −1 (U) là mở trong E ta suy ra D là một tôpô trong E/G; E/G được trang bị bởi tôpô này được gọi là không gian các quỹ đạo của phép toán của
Trong không gian E, ánh xạ U→π −1 (U) tạo thành một song ánh giữa các phần mở trong E/G và các phần mở bão hòa của E Để một phần F của E/G được coi là đóng trong E/G, điều kiện cần và đủ là π −1 (F) phải là phần đóng trong E, vì π −1 ((E/G)−F) tương đương với E −π −1 (F).
1.7.6 Định lý (i) Ánh xạ chính tắc π : E→E/G là liên tục;
(ii) Ảnh của một tập hợp mở trong E qua ánh xạ π là một tập mở trong E/G;
(iii) Để một ánh xạ f của E/G vào một không gian tôpô E 0 là liên tục, cần và đủ là f ◦π : E→E 0 là liên tục.
Để chứng minh điều khẳng định thứ nhất từ định nghĩa tôpô trong không gian E/G, ta cần xác minh rằng với mọi tập hợp mở V trong E, bão hòa của nó G.V = π −1 (π(V)) cũng là một tập hợp mở trong E.
Nhưng ta có G.V = S s∈G s.V và s.V do 1.7.3 là mở trong E với mọi s ∈ G.
Nếu hàm f: E/G → G0 liên tục, thì hàm f ◦ π cũng liên tục Ngược lại, nếu f ◦ π liên tục, thì với mọi tập hợp mở U0 của E, tập hợp π−1(f−1(U0)) mở trong E, dẫn đến f−1(U0) mở trong E/G, từ đó chứng minh được tính liên tục.
Với mọi x ∈ E, nếu V chạy theo một hệ cơ sở lân cận của x trong E thì các tập hợp π(V) lập thành một cơ sở lân cận của điểm π(x) ∈ E/G
Không gian quỹ đạo của các nhóm hữu hạn tác động tuyến tính lên không gian định chuẩn
Quan hệ giữa không gian quỹ đạo các nhóm hữu hạn tác động tuyến tính lên không gian định chuẩn với AR -không gian
2.1.1 Định nghĩa Giả sử {U } là một dãy các phủ mở của X Khi đó, dãy {U } được gọi là một dãy không nếu sup{diamU : U ∈ U n }→0 khi n→∞ (1) Đặt U ∞
N(U n ∪ U n+1 ) Với mỗi σ ∈ K(U), ta viết n(σ) = sup{n ∈ N, σ ∈ N(U n ∪ U n+1 )}.
2.1.2 Định nghĩa Giả sử {U n } là một dãy các phủ mở của không gian mêtric X và giả sử U = S n∈N
U n Ánh xạ f :U →X được gọi là một phép chọn nếu f(U) ⊂ U với mỗi U ∈ U.
2.1.3 Định nghĩa Giả sử A ∈ R n và A là tập bị chặn Khi đó đường kính của tập A được xác định bởi diamA = sup x,y∈A d(x, y).
2.1.4 Định lý ([2]) Không gian mêtric X ∈ AN R nếu tồn tại một dãy các phủ mở {U n } của X sao cho với bất kỳ K ≺ {U n } và với mỗi phép chọn bất kỳ T : K 0 →X tồn tại ánh xạ H : K→X sao cho nếu {σ n } là dãy các đơn hình của K với n(σ k )→∞ ta có δ(σ k ) = sup{d(T(V), H(x)) : V ∈ σ k 0 , x ∈ σ k }→0.
2.1.5 Định lý Cho G là một nhóm tác động tuyến tính trên không gian định chuẩn E Khi đó, không gian quỹ đạo G(E) là AR.
Chứng minh Giả sử {U n } là một dãy các phủ mở của không gian mêtric
U n Ký hiệu N(U) là thần kinh của U, ta viết K ≺ {U n } nếu và chỉ nếu K là một phức đơn hình của N(U) và với mỗi σ ∈ K ta có σ ⊂ U n ∪ U n+1 với n ∈ Rnào đó. Đặt n(σ) =max{n ∈ R : σ ⊂ U n ∪ U n+1 }.
Ta sẽ chứng minh G(E) thỏa mãn điều kiện đặc trưng của Định lý 2.1.4 nói trên.
Đối với mỗi x ∈ E, tồn tại một k(x) ∈ R sao cho với k ≥ k(x), có một lân cận V(k, x) của x trong E thỏa mãn diamgV(k, x) < 2 − k Đối với mọi g ∈ G, nếu gx ≠ g' x thì khoảng cách giữa gV(k, x) và g' V(k, x) là dist(gV(k, x), g' V(k, x)) ≥ 4.2 − k Giả sử Π : E → G(E) là phép chiếu chính tắc Với mỗi n ∈ R, chúng ta có thể đặt
Hiển nhiên U n là phủ mở của G(E) với mỗi n ∈ R.
Giả sử K ≺ {U n } và T : K 0 →G(E) là phép chọn với mỗi đơn hình σ = hΠ(V(k 1 , x 1 )); .; Π(V(k p , x p ))i ∈ K với mỗi i = 1,2, p tồn tại g i ∈ G sao cho
Ta xác định ánh xạ H σ :σ→G(E) bởi công thức
Chứng minh Giả sử g i ∈ G thỏa mãn điều kiện (2), từ đó suy ra với mỗi i = 1,2, p tồn tại e i ∈ G sao cho g i x i = e i g i x i , với i = 1,2, p.
Không mất tính tổng quát, ta giả sử k 1 = max{k i , i= 1,2, p}.
Ta sẽ chứng minh g i x i = e i gx i với i = 1,2, p (4)
Giả sử ngược lại, tồn tại i ∈ {1,2, p}, để g i x i 6= e i g i x i
Từ (1) ta suy ra dist(g i V(k i , x i ), e 1 g i V(k i , x i )) ≥ 4.2 −k i ≥4.2 −k 1 (5) Mặt khác, từ (2) ta có e 1 g i V(k i , x i )∩e 1 g 1 V(k 1 , x 1 ) 6= φ; g i V(k i , x i )∩g 1 V(k 1 , x 1 ) 6= φ.
Vìe 1 g 1 V(k 1 , x 1 ) = g 1 V(k 1 , x 1 )vàdiame 1 g 1 V(k 1 , x 1 ) < 2 −k 1 vậy mâu thuẫn với (5) vì khi đó dist(g 1 V(k i , x i ), e 1 g 1 V(k 1 , x 1 )) = 0 < 4.2 −k 1
Vậy khẳng định được chứng minh.
Từ định nghĩa H σ suy ra H σ/σ∩σ 0 = H σ 0 /σ∩σ 0 với mỗi σ, σ 0 ∈ K.
Suy ra họ {H σ } σ∈K cảm sinh ánh xạ H : K→G(E).
Từ định nghĩa H ta có δ(σ) = sup{d(T(V), H(x) : V ∈ σ 0 , x ∈ σ} ≤ 2 −n(σ)+1 , với mỗi σ ∈ K. Áp dụng Định lý 2.1.4, suy ra G(E) ∈ AN R.
Hiển nhiên G(E) co rút nên AN R cộng co rút là AR.
Vậy G(E) ∈ AR suy ra điều phải chứng minh.
Không gian quỹ đạo của các nhóm hữu hạn tác động tuyến tính lên không
2.2.1 Định nghĩa Cho tập D 6= φ Quan hệ ≥ trên D được gọi là một sự định hướng trên D nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
(iii) Nếu m, n ∈ D thì tồn tại p ∈ D sao cho p ≥m, p ≥ n.
Tập hợp D cùng với một sự định hướng ≥ trên D thì được gọi là tập có hướng và ký hiệu là (D,≥).
2.2.2 Định nghĩa Giả sử (D,≥) là một tập có hướng, X là tập hợp cho trước.
Ta gọi ánh xạ S : D→X là một lưới (dãy suy rộng) trong X và ký hiệu là {S n , D ≥} hay {S n } n∈D
- Lưới {S n } n∈D được gọi là nằm trong tập U ∈ X từ một lúc nào đó, nếu tồn tại một số m ∈ D sao cho S n ∈ U, với mọi n ≥m.
- Lưới {S n } n∈D được gọi là thường xuyên gặp tập U ⊂ X nếu với mỗi n∈ D tồn tại m ∈ D, m ≥ n sao cho S m ∈ U.
2.2.3 Định nghĩa Giả sử X là không gian tôpô, {S n } n∈D là một lưới trên X.
Lưới {S n } n∈D được gọi là hội tụ về điểm x trong X nếu với mọi lân cận
U của x lưới {S n } n∈D nằm trong U từ một lúc nào đó.
2.2.4 Định nghĩa - ` 2 là không gian Hilbert các chuỗi có tổng bình phương hữu hạn
- ` σ 2 là không gian thỏa mãn
- ` f 2 là không gian thỏa mãn
2.2.5 Bổ đề Cho {P n } là dãy tăng các tập compắc lồi trong không gian định chuẩn E sao cho E = S n∈N
Giả sử G là một nhóm hữu hạn tác động tuyến tính lên không gian E Với mỗi tập compact K thuộc G(E), tồn tại một ánh xạ T từ K đến G(Pm) với m lớn hơn n, sao cho T/G(Pn) ∩ K bằng id và khoảng cách d(T(x), x) nhỏ hơn ε cho mọi x thuộc K.
Chứng minh Đặt Ke = π −1 (K); C = sup{kg.xk : kxk ≤ 1, g ∈ G}.
Chọn m > n sao cho P m là một ε
Trong bài viết này, chúng ta xem xét lưới của Ke trong không gian K\Pe m Đối với mọi điểm x thuộc K\Pe m, tồn tại một số nguyên k(x) sao cho với mọi k lớn hơn hoặc bằng k(x), có một lân cận V(k, x) của x trong K\Pe m, thỏa mãn điều kiện rằng đường kính của V(k, x) nhỏ hơn khoảng cách tối thiểu giữa V(k, x) và P m, cũng như nhỏ hơn 2 −k Hơn nữa, với mỗi phần tử g trong G, nếu g.x khác g 0 x, thì khoảng cách giữa gV(k, x) và g 0 V(k, x) sẽ lớn hơn hoặc bằng 4.2 −k Cuối cùng, chúng ta chọn c(k, x) thuộc P m sao cho khoảng cách giữa y và c(k, x) không vượt quá 2 lần khoảng cách giữa y và p m, với mọi y trong V(k, x).
Hiển nhiên V là phủ của K\G(P m ) Ký hiệu U = {U j } j∈J là phủ mở hữu hạn địa phương của K\G(P m ) lấy ra từ V.
Giả sử N(U) là thần kinh phủ của U Khi đó với mỗi σ = hu J(1) , u J(P ) i ∈ N(U) ta có
Theo chứng minh Định lý 2.1.5 ta được H : N(U)→G(P m ) được xác định. Giả sử ϕ : K\G(P m )→N(U) là một ánh xạ hướng tâm, ta định nghĩa
Hϕ(x) khi x ∈ K ∩G(P m ) với mỗi x ∈ K ∩G(P m ), giả sử σ = hu J (1) , u j(p) i là tập giá trị của x với
T i=1 g i V(k i , x i ) sao cho Π(y) =x Từ (6) suy ra d(T(x), x) ≤ d Π
Suy ra T là ánh xạ liên tục Vì P m là ε
2C 4 - lưới của Ke, suy ra G(P m ) là một ε
2C 3 - lưới của K Tức là d(T(x), x) < ε với mọi x ∈ K.
Vậy Bổ đề 2.2.5 được chứng minh
2.2.6 Định lý Cho G là nhóm hữu hạn tác động tuyến tính lên ` 2 sao cho dimF ix(G, ` f 2 ) =∞, khi đó
Trong đó ` 2 là không gian Hilbert khả ly.
Chứng minh Để chứng minh khẳng định a), ta sử dụng Định lý 2.1.5 Do G(` 2 ) ∈ AR suy ra từ [2] ta chỉ cần kiểm tra điều kiện sau:
Với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho mọi tập compắc K ⊂ G(` 2 ), tồn tại ε- đồng luân H t : K→G(` 2 ) sao cho H 0 = id và dist(H t (K), K) ≥δ.
Thật vậy, cho ε > 0, vì B(ε) = {x ∈ F ix(G, ` 2 ) : kxk ≤ ε} không hoàn toàn bị chặn, suy ra tồn tại δ > 0 sao cho không có tập compắc nào của ` 2 và δ- lưới trong B(ε).
Bây giờ, giả sử K là tập compắc của G(` 2 ).
Do G là nhóm hữu hạn, Ke và do đó Kb compắc.
Ta định nghĩa họ đồng luân H t :K→G(` 2 ) cho bởi công thức
Vậy (a) được chứng minh; tương đương với G(` 2 ) ∼= ` 2
Chứng minh (b): Đặt P n {x = (x i ) ∈ ` f 2 : x i = 0} với i ≥ n+ 1 và |x i | ≤ n với i ≤ n.
Theo khẳng định rằng G(` 2 ) ∼= ` 2, cần kiểm tra điều kiện sau: cho trước tập compact hữu hạn chiều K ⊂ G(` f 2 ), ε > 0 và n ∈ R, tồn tại phép nhúng H : K→G(P m ) với m nào đó, m > n, sao cho
H/K ∩ G(P n ) =id và d(H(x), x) < ε với mỗi x ∈ K. Áp dụng Bổ đề 2.2.5 ta được k > n và ánh xạ T : K→G(P k ) sao cho
Giả sử r = dimK và giả sử ϕ : K→I 2r+1 là phép nhúng.
Vì dim(span(Π −1 T(K)) < ∞ suy ra tồn tại hệ độc lập tuyến tính a 1 , a 2r+2 ∈ F ix(G, ` f 2 )\spanΠ −1 T(K).
Ta xác định ánh xạ H :K→G(P m ) bởi công thức
H(x) = Π((1−δ)Π −1 (T(x))+δd(x, B)(ϕ 1 (x)a 1 +ã ã ã+ϕ 2r+1 (x)a 2r+1 +a 2r+2 )) với mỗi x ∈ K, với B = K ∩G(P n ), ϕ(x) = (ϕ 1 (x), , ϕ 2r+1 (x)) ∈ I 2r+1 và δ >0 đủ bé để d(H(x), x) < ε với mỗi x ∈ K.
Vì a i ∈ F ix(G, ` f 2 ) với mỗi i = 1,2, ,2r+ 2, suy ra H(x) được xác định.
Dễ thấy H là phép nhúng.
Vậy khẳng định (b) được chứng minh.
Chứng minh khẳng định c: Chọn dãy {Q n } là dãy các tập compắc vô hạn chiều trong ` f 2 sao cho
Với mỗi n ∈ R, tồn tại a ∈ F ix(G, ` σ 2 )∩ Q n+1 sao cho ta ∈ Q n với không có t > 0 nào (9)
Theo Bổ đề 2.2.5 và tài liệu [1] ta có hai khẳng định sau:
(ii) G(Q n ) là một Z-tập trong G(Q n+2 ) với mỗi n∈ R.
Ta chứng minh khẳng định i) Từ Định lý 2.1.5 ta có G(Q n ) = AR với mỗi n∈ R kết hợp với Bổ đề 2.2.5, ánh xạ đồng nhất của G(Q n ) có thể xấp xỉ bởi
Z-ánh xạ. Áp dụng tài liệu [10] suy ra i) đúng.
Chứng minh khẳng định ii) Cho ánh xạ T : I k →G(Q n+2 ) Chọn a ∈ F ix(G, ` σ 2 )∩ Q n+1 sao cho ta∈ Q n với không có t > 0 nào. Định nghĩa T δ : I k →G(Q n+2 ) cho bởi công thức
Suy ra T δ (I k )∩G(Q n ) 6= φ với mọi δ >0 và T 0 = T.
Vậy (ii) đúng, suy ra (c) đúng.
Vậy định lý được chứng minh.