Không gian với sn-lưới σ-bảo toàn bao đóng di truyền yếu
Một số kiến thức chuẩn bị
Trong luận văn này, tất cả các không gian được giả thiết là chính quy và
Trong không gian tôpô X, các ánh xạ T 1 là liên tục và lên, với mỗi dãy hội tụ đều chứa điểm giới hạn của nó Ký hiệu N đại diện cho tập hợp các số tự nhiên, trong khi ω 1 là bản số không đếm được đầu tiên Không gian con S 1 bao gồm {0} ∪ {1/n : n∈ N} trong không gian các số thực Dãy {x n } được định nghĩa với số hạng thứ n là x n, và dãy này thường gặp trong P nếu tồn tại một dãy con {x n k } có phần cuối trong P Bao đóng của tập P được ký hiệu là P, trong khi (P) x biểu thị cho tập hợp các tập con {P ∈ P : x ∈ P} Các ký hiệu ∪P và ∩P lần lượt đại diện cho hợp và giao của các tập trong P, và st(x,P) là hợp của các tập P chứa x Các dãy {P n : n ∈ N} được viết tắt là {P n } và {P n } cho các họ các tập con Một số thuật ngữ không được định nghĩa có thể tham khảo trong tài liệu [3] và [10].
1.1.1 Định nghĩa ([4]) Giả sử X là không gian tôpô, x ∈ P ⊂ X Ta gọi P là một lân cận dãy của x nếu với mọi dãy {x n } hội tụ đến x đều nằm trong P từ một lúc nào đó, nghĩa là tồn tại k ∈ N sao cho x n ∈ P với n > k.
1.1.2 Hệ quả ([4]) (1) P là một lân cận dãy của x nếu và chỉ nếu x ∈ P và với mọi dãy {x n } hội tụ đến x là thường xuyên gặp trong P.
(2) Giao của một họ hữu hạn các lân cận dãy của x là một lân cận dãy của x.
1.1.3 Định nghĩa ([3]) Cho P = ∪{P x : x ∈ X} là một cái phủ của không gian tôpô X, trong đó P x ⊂ (P) x với mọi x ∈ X Khi đó
(1) P được gọi là một lưới của X nếu với bất kỳ x ∈ U ⊂ X với U mở trong X thì tồn tại P ∈ P x sao cho x ∈ P ⊂ U Khi đó P x được gọi là một lưới của x trong X.
(2) P được gọi là wcs ∗ -lưới của X nếu với bất kỳ dãy S = {x n } hội tụ đến x ∈ U với U mở trong X thì tồn tại P ∈ P và dãy con {x n m } ⊂ {x n } sao cho
(3) P được gọi là k-lưới của X nếu với bất kỳ K ⊂ U với K-compắc trong X và U mở trong X thì tồn tại một họ F hữu hạn, F ⊂ P sao cho
1.1.4 Định nghĩa ([11]) Một cái phủ P = ∪{P x : x ∈ X}của một không gian tôpô X là một cs-lưới (cs ∗ -lưới) nếu mọi dãy S hội tụ đến một điểm x ∈ U với U mở trong X thì S từ một lúc nào đó nằm trong (thường xuyên gặp) P ⊂ U với P ∈ P x
X được gọi là csf-đếm được, nếu X có một cs-lưới P = ∪{P x : x ∈ X} sao cho P x là đếm được với mỗi x ∈ X.
X được gọi là ℵ-không gian nếu X có một cs-lưới σ-hữu hạn địa phương.
1.1.5 Định nghĩa ([4]) Không gian tôpô X được gọi là k-không gian nếu với mỗi A⊂ X, A là đóng trong X khi và chỉ khi A∩K là đóng trong K với mỗi tập con compắc K của X.
1.1.6 Định nghĩa ([4]) Giả sử X là không gian tôpô và x ∈ X Khi đó
(1) Tập con U của X được gọi là mở theo dãy nếu U là một lân cận dãy của mỗi điểm thuộc nó.
Tập con F của X được gọi là đóng theo dãy nếu X −F là mở theo dãy.
Không gian X được định nghĩa là không gian dãy khi mọi tập con mở theo dãy của X đều là tập mở trong X Tương tự, điều này cũng có nghĩa là mọi tập con đóng theo dãy của X đều là tập đóng trong X.
1.1.7 Bổ đề ([10, 13]) Giả sử X là không gian tôpô Khi đó các mệnh đề sau là tương đương
(1) X có một cs-lưới đếm được địa phương;
(2) X có một cs ∗ -lưới đếm được địa phương;
(3) X có một k-lưới đếm được địa phương.
1.1.8 Bổ đề ([8, 13]) Giả sử X là không gian tôpô Khi đó
(1) Nếu X là một không gian compắc với một k-lưới đếm được theo điểm thì X là khả mêtric.
(2) Nếu X là một k-không gian với một k-lưới đếm được theo điểm thì X là không gian dãy.
(3) Nếu X có một cs ∗ -lưới đếm được theo điểm và mỗi tập con compắc của
X là khả mêtric thì X có một k-lưới đếm được điểm.
1.1.9 Bổ đề Nếu X là k-không gian với một cs ∗ -lưới σ-đếm được địa phương thì X là không gian dãy.
Giả sử P là một cs ∗ -lưới σ-đếm được địa phương của X Với bất kỳ tập con compact K của X, ta định nghĩa P K = {P ∩ K : P ∈ P} Khi đó, P K trở thành cs ∗ -lưới σ-đếm được địa phương của K, và rõ ràng P K là cs ∗ -lưới đếm được của K, từ đó suy ra K có một k-lưới đếm được Theo bổ đề 1.1.8(1), K được xác định là khả mêtric Do đó, theo Bổ đề 1.1.8(3), X cũng có một k-lưới đếm được theo điểm.
Do đó theo Bổ đề 1.1.8(2) X là không gian dãy.
1.1.10 Định nghĩa ([12]) Cho P = ∪{P x : x ∈ X} là một cái phủ của không gian tôpô X, với P x ⊂ (P) x Ta gọi P là sn-lưới của X nếu P x thỏa mãn các điều kiện (1), (2) và (3) sau đây, với mỗi x ∈ X, ở đây P x gọi là một sn-lưới của x trong X.
(1) P x là một lưới của x trong X;
(2) Nếu P 1 , P 2 ∈ P x thì tồn tại P ∈ P x sao cho P ⊂ P 1 ∩P 2 ;
(3) Mỗi phần tử của P x là một lân cận dãy của x.
1.1.11 Định nghĩa ([6]) (1) Không gian tôpô X được gọi là sn-đếm được thứ nhất nếu X có một sn-lưới đếm được của x trong X, với mỗi x ∈ X.
(2) Không gian tôpô X được gọi là sn-đếm được thứ hai nếu X có một sn-lưới đếm được.
1.1.12 Định nghĩa ([13]) Không gian tôpô X được gọi là một ℵ 0 -không gian nếu X có một k-lưới đếm được.
1.1.13 Định nghĩa ([3]) Không gian tôpô X được gọi là ℵ 1 -compact nếu mỗi không gian con đóng rời rạc của X là đếm được.
Không gian với sn-lưới đếm được địa phương
1.2.1 Các tiên đề lý thuyết tập hợp (1) CH (Giả thuyết Continuum):
(2) M A (Tiên đề Martin’s): Cho k là một bản số.
(i) Một không gian X được gọi là k + -Baire nếu với mỗi họ {G α : α ∈ ∧} các tập con mở trù mật của X, ∩{G α : α ∈ ∧} 6= ∅, với |A| < k +
(ii) Một không gian X được gọi là ccc nếu mỗi họ rời nhau gồm các tập con mở của X là đếm được.
(iii) M A(k): Mỗi không gian compắc, ccc là k + -Baire.
(iv) M A: Với mỗi k, M A(k) là đúng, trong đó ω < k < 2 ω
(3) TOP: Cho (P,≤) là một tập sắp thứ tự bộ phận.
(i) TậpQ ⊂ P được gọi là quy tâm nếu với bất kỳ họ hữu hạnq 1 , q 2 , , q n ∈
Q, tồn tại p ∈ P sao cho p ≤q i với mọi i = 1,2, , n.
(ii) Một họ {B α : α < ω 1 } gọi là quy tâm cùng đuôi trên một tập A nếu mỗi tập không đếm đượcC ⊂A tồn tại mộtα < ω 1 sao cho {B β ∩C : β ≥ α} là quy tâm.
Nếu Z và B là các tập con không đếm được của ω 1, và {S α : α ∈ B} là một họ quy tâm cùng đuôi trên Z với mỗi S α thuộc α 1, thì tồn tại một tập không đếm được Y thuộc Z sao cho phần giao giữa Y và α trừ S α là hữu hạn đối với mọi α thuộc B.
1.2.2 Định lý Với giả thiết M A+ơCH +T OP trong khụng gian tụpụ X các mệnh đề sau là tương đương
(1) X có một sn-lưới đếm được địa phương;
(2) X là một không gian sn-đếm được thứ nhất với một cs-lưới đếm được địa phương (tương ứng k-lưới, cs ∗ -lưới);
(3) X là một không gian sn-đếm được thứ hai địa phương với một sn-lưới σ-đếm được địa phương;
(4) X là một ℵ 0 -không gian địa phương với một sn-lưới σ-đếm được địa phương;
(5) X là một không gian khả ly di truyền địa phương với một sn-lưới σ-đếm được địa phương;
(6) X là một không gian Lindel¨of (di truyền) địa phương với một sn-lưới, σ-đếm được địa phương.
Chứng minh (1) ⇒ (2) Ta có nhận xét rằng một không gian với một sn-lưới đếm được địa phương là sn-đếm được thứ nhất Vì vậy (1) ⇒ (2).
Theo Bổ đề 1.1.7, giả sử P là một cs-lưới đếm được địa phương của X và P là đóng dưới giao hữu hạn Đối với mỗi x ∈ X, ta có một sn-lưới đếm được {B n (x) : n ∈ N} của x trong X.
P x = {P ∈ P : B n (x) ⊂ P với mỗi n ∈ N}, trong đó mỗi phần tử của P x là một lân cận dãy của X Đặt P 0 = ∪{P x : x ∈ X}, dẫn đến P 0 ⊂ P là đếm được địa phương Để chứng minh rằng P x là một lưới của x cho mỗi x ∈ X, ta cần chỉ ra rằng không tồn tại một lân cận mở U của x sao cho P 6⊂ U với mỗi P ∈ P x.
Giả sử {P ∈ P : x ∈ P ⊂ U} = {P m (x) : m ∈ N} Ta có B n (x) 6⊂ P m (x) với mỗi m, n ∈ N Chọn x n,m ∈ B n (x) −P m (x) với n ≥ m, đặt x n,m = y k trong đó k = m + n(n−1)/2 Dãy {y k : k ∈ N} hội tụ đến x, do đó tồn tại m, i ∈ N sao cho {y k : k ≥ i} ∪ {x} ⊂ P m (x) ⊂ U Chọn j ≥ i với y j = x n,m cho một số n ≥ m, dẫn đến x n,m ∈ P m (x), điều này mâu thuẫn.
Giả sử P là một sn-lưới đếm được địa phương của không gian X Đối với mỗi điểm x trong X, tồn tại một lân cận mở U của x sao cho P U = {P ∩ U : P ∈ P} là đếm được Điều này cho thấy P U là một sn-lưới đếm được của không gian con U, từ đó suy ra rằng U cũng là không gian sn-đếm được Do đó, không gian X được xác định là không gian địa phương sn-đếm được thứ hai.
(3) ⇒ (4) ⇒ (5) Chúng ta biết rằng sn-đếm được thứ hai ⇒ ℵ 0 ⇒ khả ly di truyền Vì vậy (3) ⇒ (4) ⇒ (5).
Để chứng minh rằng X là không gian Lindelöf di truyền địa phương, ta cần chỉ ra rằng với mỗi điểm x ∈ X và mỗi lân cận khả ly di truyền U của x, thì U cũng là không gian Lindelöf di truyền Do đó, từ đó có thể kết luận rằng X là không gian Lindelöf di truyền địa phương.
Giả sử P = ∪{P n : n ∈ N} là một sn-lưới σ-đếm được địa phương của không gian Lindelöf địa phương X, với mỗi P n là đếm được địa phương trong X Nếu x ∈ X và U là một lân cận Lindelöf của x, thì với mỗi n ∈ N và y ∈ U, tồn tại một lân cận mở U y của y sao cho U y giao với đếm được các phần tử của P n Từ đó, phủ mở {U y : y ∈ U} của U có phủ con đếm được ν, và đặt V = ∪ν, ta có U ⊂ V và V giao với đếm được các phần tử của P n Do đó, U là giao với đếm được các phần tử của P n và cũng là giao với đếm được các phần tử của P Kết luận, P là sn-lưới đếm được địa phương của X.
1.2.3 Định lý Giả sử X là k-không gian Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương
(1) X có một sn-lưới đếm được địa phương;
(2) X là tổng tôpô của các không gian sn-đếm được thứ hai;
(3) X là một không gian sn-khả mêtric khả ly (di truyền) địa phương;
(4) X là một không gian khả ly (di truyền) địa phương với một sn-lưới σ-đếm được địa phương.
Chứng minh rằng không gian X là k-không gian với cơ sở là lưới đếm được địa phương, dẫn đến việc X là tổng tôpô của các ℵ 0 -không gian Không gian sn-đếm được thứ nhất dễ dàng di truyền cho không gian con Đặc biệt, mỗi không gian sn-đếm được thứ nhất đều là ℵ 0 -không gian và cũng là sn-đếm được thứ hai.
X là tổng tôpô của các không gian sn-đếm được thứ hai.
Giả sử X = ⊕{X α : α ∈ ∧}, trong đó mỗi X α là sn-đếm được thứ hai, và mỗi X α là không gian con mở khả ly (di truyền) của X, do đó X là khả ly (di truyền) địa phương Với mỗi α ∈ ∧, {P α,n : n ∈ N} là một sn-lưới đếm được của X α Đặt P n = {P α,n : α ∈ ∧} cho mỗi n ∈ N, và P = ∪{P n : n∈ N}, khi đó P trở thành một sn-lưới σ-hữu hạn địa phương của X, dẫn đến việc X là một không gian sn-khả mêtric.
(4) ⇒ (1) Chỉ cần chứng tỏ rằng X là không gian Lindel¨of địa phương. Giả sử P là một sn-lưới σ-đếm được địa phương của X Theo Bổ đề 1.1.9,
X là một không gian dãy, do đó P là một k-lưới σ-đếm được địa phương của X Một không gian được gọi là meta-Lindelöf nếu mỗi phủ mở của nó có một cái mịn mở đếm được theo điểm, điều này cho thấy X là không gian meta-Lindelöf di truyền Hơn nữa, mọi không gian meta-Lindelöf khả ly di truyền địa phương đều là Lindelöf địa phương, vì vậy X cũng là Lindelöf địa phương.
1.2.4 Ví dụ.Tồn tại một không gian với mộtsn-lưới đếm được địa phương không là ℵ-không gian.
Chứng minh Giả sử X = ω 1 ∪(ω 1 × { n 1 : n ∈ N}) Định nghĩa một cơ sở lân cận B x với mỗi x ∈ X cho tôpô trên X như sau
V(n, x) là một lân cận của x trong ω 1 với tôpô bậc }.
Theo [9, ví dụ 1], X có một k-lưới đếm được địa phương, không làℵ-không gian Điều đó chứng tỏ rằng X là sn-lưới đếm được thứ nhất.
Giả sử x ∈ X, nếu x không thuộc ω 1, thì {{x}} là một sn-lưới đếm được của x trong X Ngược lại, nếu x thuộc ω 1, ta định nghĩa P x = {P x,m : m ∈ N}, với P x,m = {x} ∪ {(x, n 1) : n ≥ m}, từ đó P x trở thành một lưới đếm được của x trong X Để chứng minh rằng mỗi P x,m là một lân cận dãy của x, xét dãy {x n} hội tụ đến x và đặt K = {x} ∪ {x n : n ∈ N}, ta thấy K là một tập con compact của X.
Khẳng định 1 K ∩ω 1 là hữu hạn.
Khẳng định rằng tập hợp K − ∪{{y} ∪ {(y, n 1 ) : n∈ N} : y ∈ K ∩ω 1 } là hữu hạn Trong trường hợp đầu tiên, nếu tồn tại một phần tử y ∈ K∩ω 1 thỏa mãn y = x n với vô hạn n∈ N, điều này có nghĩa là tồn tại một dãy con {x n k } của {x n } sao cho y = x n k với mỗi k ∈ N Do đó, y sẽ bằng x, dẫn đến việc dãy {x n } thường xuyên xuất hiện trong P x,m.
Trường hợp 2 Nếu trường hợp 1 không xảy ra thì theo khẳng định
1, không mất tính tổng quát chúng ta có thể giả sử K ∩ ω 1 = {x} Theo khẳng định 2, K − {x} ∪ {(x, n 1 ) : n ∈ N} là hữu hạn Nếu tồn tại y ∈
K − {x} ∪ {(x, n 1 ) : n ∈ N} sao cho y = x n với vô hạn n ∈ N thì {x n } là thường xuyên gặp P x,m , bằng cách chứng minh tương tự như trường hợp 1. Ngược lại tồn tạik 0 ∈ Nsao cho {x} ∪ {x n : n ≥ k 0 } ⊂ {x} ∪ {(x, n 1 ) : n ∈ N}.
Vì vậy, {x n } là cuối cùng trong P x,m
Bằng các điều nói trong trường hợp 1 và trường hợp 2, chứng tỏ P x,m là lân cận dãy của x.
1.2.5 Ví dụ.Tồn tại một không gian với một sn-lưới đếm được địa phương, không là một tổng tôpô của ℵ 0 -không gian.
Giả sử D là một không gian rời rạc với kích thước |D| = 2 ω Trong không gian này, tồn tại một họ các tập con vô hạn đếm được {P α : α < 2 ω } sao cho với mỗi tập con không đếm được P của D, có ít nhất một α < 2 ω thỏa mãn P α ⊂ P Thêm vào đó, giả sử {P α,n : n ∈ N} là một họ rời rạc liên kết bao gồm các tập con vô hạn của D.
P α Với mỗi α < 2 ω và mỗi n ∈ N, chọn p α,n ∈ P α,n −P α,n , trong đó P α,n là bao đóng của P α,n trong không gian compact hóa Stone - Cech βD của D. Đặt X = D ∪ {p α,n : α < 2 ω , n ∈ N} và X là một không gian con tôpô của βD.
Yêu cầu 1 X có một sn-lưới σ-đếm được địa phương.
Theo [13, ví dụ 5.1.18(1)], không gian X có một cấu trúc lưới σ-đếm được địa phương P Mỗi tập con compắc của X là hữu hạn [13, ví dụ 1.5.5], dẫn đến việc mỗi dãy hội tụ trong X cũng là hữu hạn Do đó, chúng ta có thể giả định rằng P là đóng dưới giao hữu hạn Rõ ràng, P là một sn-lưới của X, điều này cho thấy X sở hữu một sn-lưới σ-đếm được địa phương.
Yêu cầu 2 X không là một tổng tôpô của ℵ 0 -không gian [13, ví dụ 5.1.18(1)].
1.2.6 Định nghĩa Không gian tôpô X được gọi là khả ly theo dãy nếu X có một tập con đếm được D sao cho mỗi x∈ X, tồn tại một dãy {x n } trong
D hội tụ tới x, trong đó D là một tập con trù mật theo dãy của X.
Chúng ta biết rằng mỗi không gian khả ly theo dãy là khả ly.
1.2.7 Mệnh đề Giả sử X có một sn-lưới P đếm được theo điểm Nếu X là khả ly theo dãy thì P là đếm được Vì vậy X là sn-đếm được thứ hai. Chứng minh Giả sử D là tập con trù mật theo dãy của X, và giả sử
P = {P x : x ∈ X}, trong đó P x là một sn-lưới của x trong X với mỗi x ∈ X.
Không gian với sn-lưới σ-bảo toàn bao đóng di truyền yếu
1.3.1 Định nghĩa ([3]) Cho P là một họ các tập con của một không gian tôpô X Khi đó
(1) P được gọi là bảo toàn bao đóng nếu ∪P 0 = ∪{P : P ∈ P 0 } với mọi họ
(2) P được gọi là bảo toàn bao đóng di truyền nếu mọi họ {H(P) : P ∈ P} là bảo toàn bao đóng, với mỗi H(P) ⊂ P ∈ P.
(3) P được gọi là bảo toàn bao đóng di truyền yếu nếu mọi họ {{x P }: P ∈ P} là bảo toàn bao đóng, với mỗi x P ∈ P ∈ P.
Rõ ràng là một họ bảo toàn bao đóng di truyền là bảo toàn bao đóng và bảo toàn bao đóng di truyền yếu.
1.3.2 Định lý Nếu không gian tôpô X có một sn-lưới σ-bảo toàn bao đóng di truyền yếu thì X là sn-đếm được thứ nhất.
Giả sử X có một sn-lưới σ-bảo toàn bao đóng di truyền yếu P = ∪{P n : n ∈ N}, trong đó mỗi P n đều bảo toàn bao đóng di truyền yếu Chúng ta có thể giả định rằng mỗi P n được chứa trong P n+1 Đối với mỗi x ∈ X và mỗi n ∈ N, hãy xác định.
P x,n = {P ∈ P n : P là một lân cận dãy của x} và đặt P x,n = ∩P x,n , khi đó
P x,n+1 ⊂P x,n và P x,n ⊂ P x,n+1 Đặt P x = {P x,n : n ∈ N}, khi đó P x là đếm được Điều đó chứng tỏ rằng P x là một sn-lưới của x trong X.
Khẳng định 1 P x là một lưới của x trong X.
Giả sử x ∈ U với U mở trong X Vì P là một sn-lưới nên tồn tại P ∈ P n , với số nào đó n ∈ N sao cho P ⊂ U, với P là một lân cận dãy của x, vì vậy
P ∈ P x,n Do đó x ∈ P x,n ⊂ P ⊂ U Điều này chứng tỏ rằng P x là một lưới của x trong X.
Khẳng định 2 Nếu P 1 , P 2 ∈ P x , thì P ⊂P 1 ∩P 2 , với mỗi P ∈ P x Điều này rõ ràng là đúng vì P x,n+1 ⊂P x,n , với mỗi n ∈ N.
Khẳng định 3 P x,n là một lân cận dãy của x với mỗi n∈ N.
Giả sử {x n} là một dãy hội tụ đến x Để chứng minh rằng {x n} là thường xuyên gặp trong P x,n, ta xem xét hai trường hợp: nếu x n = x với vô hạn n ∈ N, thì {x n} là thường xuyên gặp trong P x,n Ngược lại, nếu x n ≠ x với một số hữu hạn n ∈ N, ta có thể giả sử x n ≠ x với mọi n ∈ N, dẫn đến P x,n là hữu hạn Nếu P x,n là vô hạn, sẽ tồn tại một họ vô hạn các tập con {P k : k ∈ N} của P x,n, với mọi P k khác nhau Điều này mâu thuẫn với tính chất hội tụ của {x n} Do đó, P x,n phải là hữu hạn và theo Hệ quả 1.1.2(2), P x,n là một lân cận dãy của x, từ đó kết luận rằng {x n} là thường xuyên gặp trong P x,n.
Từ 3 khẳng định trên ta có P x là một sn-lưới của x trong X.
Một không gian được coi là không gian số đếm được thứ hai nếu nó là không gian số đếm được thứ nhất, tức là không gian ℵ 0, theo Định lý 2.1.
ℵ 0 -không gian nếu nó có một wcs ∗ -lưới đếm được [15, Mệnh đề C] Chúng ta có các kết quả như sau.
1.3.3 Bổ đề ([7, 15]) Không gian tôpô X là sn-đếm được thứ hai nếu X là một không gian sn-đếm được thứ nhất với một wcs ∗ -lưới đếm được.
1.3.4 Định lý Giả sử X là không gian tôpô với một sn-lưới σ-bảo toàn bao đóng di truyền yếu Nếu X là ℵ 1 -compắc thì X là sn-đếm được thứ hai.
Giả sử X là không gian ℵ 1 -compact với một sn-lưới σ-bảo toàn bao đóng di truyền yếu P = ∪{P n : n ∈ N}, trong đó mỗi P n là bảo toàn bao đóng di truyền yếu Theo Định lý 1.3.2, ta có thể kết luận rằng X là sn-đếm được thứ nhất Dựa vào Bổ đề 1.3.3, nhiệm vụ còn lại là chứng minh rằng X sở hữu một wcs ∗ -lưới đếm được.
Với mỗi n ∈ N, đặt D n = {x ∈ X : P n không là đếm được theo điểm tại x} và đặt P n 0 = {P −D n : P ∈ P n }.
Khẳng định 1 P n 0 là đếm được.
Nếu P n 0 = {P −D n : P ∈ P n } là không đếm được, thì tồn tại một họ tập con đếm được {P α : α ∈ ∧} của P n sao cho P α −D n 6= ∅ với mỗi α ∈ ∧ và
Nếu α khác α 0, thì P α −D n không bằng P α 0 −D n, với ∧ là một tập hợp chỉ số quá đếm được Chọn x α thuộc P α −D n cho mỗi α trong ∧ Do P n bảo toàn bao đóng di truyền yếu, tập hợp {x α : α ∈ ∧} tạo thành một không gian con rời rạc và đóng của X.
X là ℵ 1 -compắc, {x α : α ∈ ∧} là đếm được Vì vậy, tồn tại một tập con ∧ 0 không đếm được của ∧ sao cho {x α : α ∈ ∧ 0 } = {x} với mỗi x ∈ X Do đó
P n không là đếm được theo điểm tại x Điều này mâu thuẫn với x /∈ D n Vì vậy {P −D n : P ∈ P n } là đếm được.
Khẳng định rằng D n là một không gian con rời rạc đóng và đếm được của X Nếu D n không đếm được, sẽ tồn tại một tập con không đếm được D n 0 = {y β : β < ω 1 } của D n Chọn y 1 ∈ P 1 với một tập P 1 ∈ P n P n không đếm được theo điểm tại y 2, do đó y 2 ∈ P 2 với P 2 ∈ P n − {P 1 } Bằng phương pháp quy nạp, có thể xây dựng một họ các tập con {P β : β < ω 1 } của P n sao cho P β ∈ P n − {P γ : γ < β} và y β ∈ P β cho mỗi β < ω 1 Do đó, D 0 n = {y β : β < ω 1 } là một không gian con rời rạc đóng và đếm được.
X vì P n là bảo toàn bao đóng di truyền yếu Điều này mâu thuẫn với tính
ℵ 1 -compắc của X Vì vậy, D n là đếm được Tương tự như trong chứng minh
D n 0 là không gian con đóng rời rạc của X, ta dễ dàng chứng minh được rằng
D n là một không gian con đóng rời rạc của X. Đặt U n = P n 0 ∪ {{x} : x ∈ D n } với mỗi n ∈ N và đặt U = ∪{U n : n ∈ N}. Khi đó U là đếm được Chúng ta cần chứng minh khẳng định sau.
Khẳng định 3 U là một wcs ∗ -lưới của X.
Giả sử {x_n} là một dãy hội tụ đến x ∈ U, với U mở trong X Dãy {x_n} nằm trong P ⊂ U từ một thời điểm nhất định, với P ∈ P_k và k ∈ N Nếu x_n = x với vô hạn n ∈ N, thì với mỗi n ∈ N, tồn tại một m_n > n sao cho x_{m_n} = x Nếu x ∈ D_k, thì {x} ∈ U và x_{m_n} = x ∈ {x} ⊂ U Ngược lại, nếu x ∉ D_k, thì P - D_k ∈ U và x_{m_n} = x ∈ P - D_k ⊂ U Nếu x_n ≠ x chỉ với một số hữu hạn n ∈ N, đặt S = {x_n : n ∈ N}.
S∩P là vô hạn Chú ý rằng S ∩D k là compắc trong D k , S ∩D k là hữu hạn.
Vì vậy S ∩(P −D k ) là vô hạn Do đó, với mỗi n ∈ N tồn tại m n > n sao cho x m n ∈ P −D k , với P −D k ∈ U và P −D k ⊂ U Như vậy khẳng định 3 đã được chứng minh.
1.3.5 Định lý Giả sử X là không gian tôpô Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương
(1) X là sn-đếm được thứ hai;
(2) X là không gian Lindel¨of di truyền với một sn-lưới σ-bảo toàn bao đóng di truyền yếu;
(3) X là không gian Lindel¨of với một sn-lưới σ-bảo toàn bao đóng di truyền yếu;
(4) X là không gian khả ly di truyền với một sn-lưới σ-bảo toàn bao đóng di truyền yếu;
(5) X là không gian ℵ 1 -compắc với một sn-lưới σ-bảo toàn bao đóng di truyền yếu.
Chứng minh (1) ⇒ (2) và (1) ⇒ (4) Suy từ [7, Định lý 2.1].
(3) ⇒ (5) và (4) ⇒ (5) Dễ dàng chứng minh được rằng mọi không gian Lindel¨of hoặc không gian khả ly di truyền là ℵ 1 -compắc Vì vậy (3) ⇒ (5) và
1.3.6 Nhận xét Cụm từ "khả ly di truyền" trong Định lý 1.3.5(4) là không thể nới lỏng đến "khả ly" Thật vậy [7, Ví dụ 2.3] cho ta ví dụ về không gian khả ly với một sn-lưới σ-rời rạc, nhưng không phải là sn-đếm được thứ hai.
Một số đặc trưng của không gian sn-khả mêtric
Không gian sn-khả mêtric và sn-lưới sao điểm
2.1.1 Định nghĩa ([12]) Giả sử P = ∪{P x : x ∈ X} là một cái phủ của không gian tôpôX Giả sử rằng P thỏa mãn các điều kiện (a) và (b) sau đây với mọi x ∈ X.
(a) P là một lưới của X, tức là bất cứ khi nào x ∈ U với U mở trong X thì x ∈ P ⊂ U với một tập nào đó P ∈ P x Khi đó P x là một lưới của x với mọi x∈ X.
(b) Nếu P 1 , P 2 ∈ P x thì tồn tại P ∈ P x sao cho P ⊂ P 1 ∩ P 2
P được xem là cơ sở yếu của X nếu G ⊂ X là tập mở trong X khi và chỉ khi với mọi điểm x ∈ G, tồn tại một tập P ∈ P x sao cho P nằm trong G Tập P x được gọi là cơ sở lân cận yếu của x, viết tắt là wn-cơ sở tại x.
(2) Không gian tôpô X được gọi là gf-đếm được (snf-đếm được) nếu X có một cơ sở yếu (sn-lưới) P = ∪{P x : x ∈ X} sao cho P x là đếm được với mọi x∈ X.
Một không gian tôpô X được gọi là g-khả mêtric (sn-khả mêtric) nếu X có một cơ sở yếu σ-hữu hạn địa phương (sn-lưới).
2.1.2 Hệ quả ([6, 11, 12]) (1) Cơ sở yếu ⇒ sn-lưới ⇒ cs-lưới Vì vậy gf-đếm được ⇒ snf-đếm được ⇒ csf-đếm được, và g-khả mêtric ⇒ sn-khả mêtric ⇒ ℵ;
(2) g-khả mêtric ⇔ k và sn-khả mêtric;
(3) Trong lớp các không gian Fréchet ta có: khả mêtric ⇔g-khả mêtric ⇔ sn-khả mêtric.
2.1.3 Định nghĩa ([13]) Giả sử {P n } là dãy các phủ của một không gian tôpô X Khi đó
Một lưới sao điểm {P n} được định nghĩa là lưới sao điểm (sn-lưới sao điểm, wn-cơ sở sao- điểm) của tập hợp X nếu tập hợp {st(x,P n )} tạo thành một lưới (sn-lưới, wn-cơ sở) cho mọi phần tử x thuộc X.
Tập hợp {P n} được xác định là hữu hạn địa phương nếu tất cả các phần tử P n đều là hữu hạn địa phương, tức là bảo toàn bao đóng di truyền, rời rạc và hữu hạn - điểm, với mọi n thuộc tập hợp số tự nhiên N.
2.1.4 Bổ đề ([10]) Giả sử P là một họ σ-bảo toàn bao đóng di truyền yếu gồm các tập con của một không gian X Nếu P là một cs ∗ -lưới của X thì P là một k-lưới của X.
2.1.5 Bổ đề ([5, 6]) Giả sử X là không gian tôpô Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương
(1) X là một không gian sn-khả mêtric;
(2) X có một sn-lưới σ-rời rạc (đóng);
(3) X có một sn-lưới σ-bảo toàn bao đóng di truyền yếu;
(4) X là một không gian snf-đếm được với một k-lưới σ-bảo toàn bao đóng di truyền.
2.1.6 Bổ đề Không gian tôpô X là sn-khả mêtric khi và chỉ khi nó là không gian snf-đếm được với một cs ∗ -lưới σ-bảo toàn bao đóng di truyền. Chứng minh Suy từ Bổ đề 2.1.4 và Bổ đề 2.1.5.
2.1.7 Bổ đề Giả sử P là một họ bảo toàn bao đóng di truyền gồm các tập con của một không gian tôpô X và L là một dãy hội tụ, từ một lúc nào đó trong ∪P Khi đó tồn tại P ∈ P sao cho L là thường xuyên gặp trong P.Chứng minh Giả sử ngược lại rằng L∩P là hữu hạn với mọiP ∈ P Không mất tính tổng quát chúng ta có thể giả sử rằng L = {x : n ∈ N} ⊂ ∪P và
L là một tập hợp vô hạn Chúng ta có thể chọn x n 1 ∈ ∪P, từ đó tồn tại P 1 ∈ P sao cho x n 1 thuộc P 1 Do L là vô hạn và L∩ P 1 là hữu hạn, nên L−P 1 cũng vô hạn Điều này cho phép chúng ta chọn n 1 > n 2 và P 2 ∈ P sao cho x n 2 ∈ P 2 và x n 2 khác x n 1 Qua quy nạp, ta xây dựng được một dãy con {x n k} của L hội tụ, với x n k thuộc P k ∈ P cho mọi k ∈ N và x n k khác x n l nếu k khác l Như vậy, {{x n k} : k ∈ N} không bảo toàn bao đóng, điều này chứng minh rằng P là bảo toàn bao đóng di truyền.
2.1.8 Định lý Giả sử X là không gian tôpô Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương
(1) X là không gian sn-khả mêtric;
(2) X có một sn-lưới sao điểm hữu hạn địa phương;
(3) X có một sn-lưới sao điểm bảo toàn bao đóng di truyền.
Giả sử X là một không gian sn-khả mêtric, theo Bổ đề 2.1.5, X có một sn-lưới P = ∪{P n : n ∈ N}, với P n là họ rời rạc gồm các tập đóng của X Chúng ta định nghĩa P = ∪{B x : x ∈ X}, trong đó mỗi B x là một sn-lưới của x Đối với mọi n ∈ N, đặt F n = {x ∈ X : P n ∩ B x = ∅}, và F n {F n } ∪ P n Như vậy, {F n } tạo thành một dãy phủ hữu hạn địa phương của X Để chứng minh rằng F x = {st(x,F n ) : n∈ N} là một sn-lưới của x, chúng ta xem xét từng bước trong quá trình xây dựng.
Khẳng định A F x là một lưới của x Giả sử x ∈ X và U là một lân cận mở của x Vì B x là một lưới của x, tồn tại P x ∈ B x ∩ P n cho mỗi n ∈ N, sao cho x ∈ P x ∈ U và x /∈ F n Các phần tử của P n là đôi một rời nhau, do đó P x = st(x,F n), nghĩa là x ∈ st(x,F n) ⊂ U Từ đó, ta chứng tỏ rằng F x là một lưới của x.
Khẳng định B F x thỏa mãn Định nghĩa 2.1.1(b): Xét st(x,F n ) và st(x,F m ), với m, n ∈ N Khi đó một trong các trường hợp sau xảy ra:
Chúng ta chứng minh cho trường hợp (b), các trường hợp khác tương tự. Giả sử rằng B x ∩ P n 6= ∅, và B x ∩ P m = ∅ Khi đó tồn tại P n ∈ B x ∩ P n Vì
B x ∩ P m = ∅ nên U = X − ∪{P ∈ P m : x ∈ P} là một lân cận mở của x và
U ⊂ st(x,F m ) cho thấy tồn tại P l ∈ B x ∩ P l với P l ⊂ U ⊂ st(x,F m ) Do đó, tồn tại P k ∈ B x ∩ P k sao cho P k ⊂ P n ∩ P l, với B x ∩ P n 6= ∅ và B x ∩ P k 6= ∅, dẫn đến x /∈ F n và x /∈ F k Cần lưu ý rằng P n và P k là rời nhau, với P n = st(x,F n ) và P k = st(x,F k ) Điều này chứng minh rằng st(x,F k ) = P k ⊂ P n ∩ P l ⊂ st(x,F n ) ∩ st(x,F m ).
Khẳng định C st(x,F n ) là một lân cận dãy của x với mọi n ∈ N Giả sử
Llà một dãy hội tụ tớix ∈ st(x,F n ) NếuB x ∩P n 6= ∅thì tồn tại P∩B x ∈ P n
VìP là một lân cận dãy củax, Llà thường xuyên gặp trongP, và nếu B x ∩P n 6= ∅, thì U = X−∪{P ∈ P n :x ∈ P} là một lân cận mở của x Điều này cho thấy L là thường xuyên gặp trong U và U ⊂st(x,F n ) Do đó, L cũng là thường xuyên gặp trong st(x,F n ), chứng minh rằng st(x,F n ) là một lân cận dãy của x với mọi n∈ N.
Nhờ 3 khẳng định nói trên, {st(x,F n ) : n ∈ N} là một sn-lưới của x Điều này chứng tỏ rằng {F n } là một sn-lưới sao điểm hữu hạn-địa phương.
Giả sử X có một sn-lưới sao điểm bảo toàn bao đóng di truyền {F n } Khi đó, F n là bảo toàn bao đóng di truyền với mọi n ∈ N Điều này cho thấy rằng X là snf-đếm được Nhờ Bổ đề 2.1.6, chúng ta chỉ cần chứng minh điều này.
∪{F n : n ∈ N} là một cs ∗ -lưới của không gian X Khi L là một dãy trong X hội tụ tới điểm x, và U là một lân cận mở của x, thì tập {st(x,F n ) : n ∈ N} tạo thành một lưới tại x Do đó, tồn tại một n ∈ N sao cho x thuộc st(x,F n ) nằm trong U Điều này cho thấy st(x,F n ) là một lân cận của dãy L, và từ một thời điểm nào đó, L nằm trong st(x,F n ) Theo Bổ đề 2.1.7, tồn tại một tập con F của F n sao cho x thuộc F và L thường xuyên gặp trong F Kết quả là, tồn tại một dãy con S của L với S nằm trong F, chứng minh rằng ∪{F n : n ∈ N} là một cs ∗ -lưới của X.
Có thể thay thế "hữu hạn-địa phương" trong Định lý 2.1.8 bởi "rời rạc" hoặc "hữu hạn-điểm" được hay không? Câu trả lời là không.
2.1.9 Ví dụ Tồn tại một không gian tôpô X với wn-cơ sở sao điểm hữu hạn và X không là ℵ-không gian.
Giả sử I là khoảng đóng [0,1] và S(x) là đồng phôi đến S 1 với mọi x ∈ I, T = ⊕{S(x) : x ∈ I} Không gian thương X được tạo ra từ tổng tôpô Z = I ⊕ T bằng cách đồng nhất mỗi x ∈ I với điểm giới hạn của S(x) Khi đó, Z là một không gian mêtric compact địa phương và ánh xạ tự nhiên f : Z→X là ánh xạ thương, compact, phủ-compact Theo [10, Định lý 2.9.14], không gian X có một wn-cơ sở điểm sao điểm hữu hạn và không có điểm-đếm được cs-lưới theo [10, ví dụ 2.9.27].
2.1.10 Bổ đề ([14]) Một không gian là khả mêtric khi và chỉ khi nó có một lưới đóng sao điểm hữu hạn-địa phương.
2.1.11 Mệnh đề Giả sử X có một lưới sao điểm rời rạc Khi đó X là khả mêtric.
Chứng minh Giả sử {P n } là một lưới sao điểm của X, với mọi P n là rời rạc Đặt P n = {P : P ∈ P n }, khi đó {P n } là lưới đóng sao điểm rời rạc của
X Do đó theo Bổ đề 2.1.10 X là khả mêtric.
Không gian sn-khả mêtric và ảnh của không gian mêtric
2.2.1 Định nghĩa ([10]) Giả sử f : X→Y là một ánh xạ Khi đó
(1) f được gọi là ánh xạ thương nếu với bất kỳ U ⊂ Y,f −1 (U) là mở trong
(2) f được gọi là ánh xạ thương dãy nếu với mọi dãy hội tụ S trong Y thì có một dãy hội tụ L trong X sao cho f(L) là một dãy con của S.
(3) Giả sử (X, d) là một không gian mêtric, f được gọi là π-ánh xạ nếu d(f −1 (y), X −f −1 (U)) > 0 với mọi y ∈ Y và mọi lân cận U của y trong Y.
(4) f được gọi là σ-ánh xạ nếu tồn tại một cơ sở B của X sao cho f(B) là σ-hữu hạn địa phương trong Y.
2.2.2 Hệ quả ([10]) (1) Ánh xạ đóng ⇒ ánh xạ thương.
(2) Nếu miền xác định là dãy thì ánh xạ thương ⇒ ánh xạ thương dãy.
(3) Nếu ảnh là dãy thì ánh xạ thương dãy ⇒ ánh xạ thương.
2.2.3 Bổ đề Giả sử X là một π-ảnh thương dãy của một không gian mêtric Khi đó X có một sn-lưới sao điểm và vì vậy X là snf-đếm được.
Chứng minh Giả sử f : M→X là một π-ánh xạ, thương dãy, (M, d) là không gian mêtric Đặt P n = {f(B(z, n 1 )) : z ∈ M} với mọi n ∈ N.
Trong không gian X, giả sử x thuộc về một tập mở U Với f là một π-ánh xạ, tồn tại một số nguyên n sao cho khoảng cách giữa f^(-1)(x) và M - f^(-1)(U) lớn hơn n1 Chọn m sao cho m ≥ 2n, từ đó có tồn tại z trong M sao cho x nằm trong ảnh của B(z, m1) thông qua f Điều này dẫn đến việc f^(-1)(x) giao với B(z, m1) không rỗng Để chứng minh rằng B(z, m1) hoàn toàn nằm trong f^(-1)(U), giả sử ngược lại có y thuộc B(z, m1) và không nằm trong f^(-1)(U) Chọn t trong f^(-1)(x) giao với B(z, m1), ta có khoảng cách d(t, y) nhỏ hơn n1, điều này mâu thuẫn với giả định ban đầu Do đó, kết luận rằng B(z, m1) hoàn toàn nằm trong f^(-1)(U).
Từ đó, ta có thể kết luận rằng st(x, Pm) ⊂ U, dẫn đến {Pn} là một lưới sao điểm của X Hơn nữa, st(x, Pn) là một lân cận dãy của x cho mọi x ∈ X và mọi n ∈ N Giả sử S là một dãy hội tụ đến x, thì do f là một ánh xạ thương dãy, tồn tại một dãy L hội tụ đến t ∈ f^(-1)(x) ⊂ M sao cho f(L) = S, với S0 là một dãy con của S.
S Ta viết B = B(t, n 1 ), khi đó f(B) ∈ P n Vì B là một lân cận mở của t, L nằm trongB từ một lúc nào đó nên S 0 = f(L) là nằm trong f(B) ⊂ st(x,P n ) từ một lúc nào đó Điều này chứng tỏ rằng S là thường xuyên gặp trong st(x,P n ) và vì vậy st(x,P n ) là một lân cận dãy của x.
Từ các chứng minh trên ta có {P n } là một lưới sao điểm của X.
Bằng cách áp dụng Bổ đề đã nêu, chúng ta có thể khẳng định Mệnh đề về π-ánh xạ, cho thấy rằng nó là một ánh xạ hoàn chỉnh và bảo toàn không gian mêtric.
Giả sử f: X→Y là một π-ánh xạ đóng và X là không gian mêtric, thì Y sẽ là một không gian Fréchet với k-lưới σ-bảo bao đóng di truyền Ánh xạ đóng là ánh xạ thương dãy, theo Hệ quả 2.2.2 Do đó, từ Bổ đề 2.2.3 và với Y là snf-đếm được, theo Bổ đề 2.1.5, ta có Y là sn-khả mêtric.
Vì vậy Y là một không gian mêtric theo Hệ quả 2.1.2.
2.2.5 Bổ đề Giả sử f : X→Y là một ánh xạ, {y n } là một dãy hội tụ đến y ∈ Y Nếu {B k } là một lưới giảm tại mỗi x ∈ f −1 (y) và {y n } là thường xuyên gặp trong f(B k ) với mọi k ∈ N thì tồn tại một dãy {x k } hội tụ đến x sao cho {f(x k )} là một dãy con của {y n }.
Chứng minh Vì {y n } là thường xuyên gặp f(B 1 ) nên tồn tại n 1 ∈ N sao cho y n 1 ∈ f(B 1 ) Chọn x 1 ∈ f −1 (y n 1 )∩B 1 Chúng ta xây dựng một dãy {x k } bằng cách quy nạp như sau.
Giả sử {x_k} đã được chọn với k ∈ N Do {y_n} thường xuyên xuất hiện trong f(B_{k+1}), tồn tại n_{k+1} ∈ N với n_{k+1} > n_k sao cho y_{n_{k+1}} ∈ f(B_{k+1}) Từ đó, chúng ta có thể chọn x_{k+1} ∈ f^{-1}(y_{n_{k+1}}) ∩ B_{k+1}, từ đó xây dựng được dãy {x_k} Rõ ràng rằng {f(x_k)} = {y_{n_k}} là một dãy con của {y_n} Lưu ý rằng x_k ∈ B_k với mỗi k ∈ N, và {B_k} là một lưới giảm tại x, vì vậy dãy {x_k} hội tụ đến x.
2.2.6 Định lý.Giả sử X là không gian tôpô Khi đó các mệnh đề sau là tương đương
(1) X là không gian sn-khả mêtric;
(2) X là σ-ảnh, compact, thương dãy của một không gian mêtric;
(3) X là σ-ảnh, π, thương dãy của một không gian mêtric.
Chứng minh Chúng ta chỉ cần chứng minh rằng (1) ⇒ (2) và (3) ⇒ (1).
(1) ⇒ (2) Vì X là một không gian sn-khả mêtric nên theo Định lý 2.1.8
X có một sn-lưới sao điểm hữu hạn địa phương {P n } Ta viết P n = {P α : α ∈ A n } với mọi n ∈ N, trong đó {A n } đôi một rời nhau Với mỗi n∈ N, đặt
P α i : α i ∈ A i , i= 1,2, , n o Khi đó F n là hữu hạn địa phương. Trang bị tôpô rời rạc trên A n với mọi n∈ N Đặt
Khi đó Z là một không gian mêtric, với mêtric d như sau:
Lưới {P α n} tại mỗi x a ∈ X tồn tại khi và chỉ khi x a ∈ T n∈N P α n với a = (α n) ∈ Π n∈N A n Hàm f : Z→X xác định bởi f(a) = x a là một ánh xạ, và cần chứng minh rằng f là một σ-ánh xạ, thương dãy và compact.
Ánh xạ thương dãy f được định nghĩa cho một tập hợp X Giả sử x thuộc X và S là một dãy hội tụ đến x Với mọi n thuộc N, do st(x, Pn) là lân cận dãy của x, nên S sẽ nằm trong st(x, Pn) từ một thời điểm nhất định Cần lưu ý rằng Pn chỉ chứa hữu hạn điểm, do đó tồn tại một dãy con S0 của S sao cho S0 nằm trong mỗi phần tử của Pn từ một thời điểm nhất định.
Cho L = L 0 = {x n : n ∈ N} ∪ {x} là một dãy hội tụ tới x Bằng quy nạp, với mọi n ∈ N, chúng ta có thể chọn α n ∈ A n và một dãy con L n của
L n là một dãy con của L n−1 và nằm trong P α n ∈ P n từ một thời điểm nào đó Đặt z = (α n ) ∈ Π n∈ N A n, ta thấy rằng {P α n : n ∈ N} tạo thành một lưới của x, dẫn đến z ∈ Z và f(z) = x Định nghĩa Z n = {(β k ) ∈ Z : β k = α k với k ≤ n}, ta có {Z n } là cơ sở lân cận giảm của z Chúng ta sẽ chứng minh rằng f(Z n ) = T k≤nP α k với mọi n∈ N.
Giả sử b = (β k ) ∈ Z n, thì f(b) thuộc T k≤nP β k và do đó f(Z n ) ⊂ T k≤nP α k Nếu y ∈ T k≤nP α n, tồn tại c 0 = (γ k 0 ) ∈ Z sao cho f(c 0 ) = y Đặt γ k = α k với k ≤ n và γ k = γ k 0 với k > n, ta có c = (γ k ) Điều này cho thấy y thuộc T n∈ NP γ n, từ đó c ∈ Z và f(c) = y, chứng minh rằng y ∈ f(Z n ).
Từ công thức T k≤nP α k ⊂ f(Z n ), ta có thể kết luận rằng f(Z n ) = T k≤nP α k Giả sử n thuộc tập số tự nhiên N, L n được xây dựng từ P α k và tồn tại trong T k≤nP α k = f(Z n ) từ một thời điểm nhất định Do đó, L thường xuyên xuất hiện trong f(Z n ) với mọi n thuộc N.
Bổ đề 2.2.5, tồn tại một dãy {z n } hội tụ đến z và {f(z n )} là một dãy con của
L vì thế f là ánh xạ thương dãy.
(b) f là một ánh xạ compắc Giả sử x ∈ X Đặt B n = {α ∈ A n : x ∈ P α }, khi đó Π n∈N B n là một tập con compắc của Π n∈N A n Dễ thấy rằng f −1 (x) Π n∈N B n Vì vậy f là một ánh xạ compắc.
(c)f là một σ-ánh xạ Đặt B(α 1 , α 2 , , α n ) = {(β k ∈ Z : β k = α k với mọi k ≤ n}, trong đó (α i ) ∈ Z và n ∈ N Khi đó B(α 1 , α 2 , , α n ) =: (α i ) ∈ Z và n ∈ N} là một cơ sở của Z Bằng lập luận tương tự trong (a) ta thấy rằng: f(B(α 1 , α 2 , , α n )) = T k≤n
P α k ∈ F n Chú ý rằng F n là hữu hạn địa phương.
Vì vậy {f(B(α 1 , , α n )) : (α i ) ∈ Z và n ∈ N} là σ-hữu hạn-địa phương Do đó f là một σ-ánh xạ.
Giả sử Z là một không gian mêtric và f: Z→X là một σ-ánh xạ, thương dãy, π Theo Bổ đề 2.2.3, ta có thể khẳng định rằng X là snf-đếm được Để chứng minh điều này, theo Bổ đề 2.1.6, chỉ cần chứng minh rằng X tồn tại một cs ∗ -lưới σ-bảo toàn bao đóng di truyền.
Vì f là một σ-ánh xạ, tồn tại một cơ sở B của Z sao cho f(B) là một họ σ-hữu hạn địa phương trong X Để chứng minh f(B) là một cs ∗ -lưới của X, giả sử S là một dãy hội tụ đến x ∈ X và U là một lân cận mở của X Từ việc f là thương dãy, có một dãy L hội tụ tới z ∈ Z sao cho f(L) là một dãy con của S Với z ∈ f −1 (x) ⊂ f −1 (U) và B là cơ sở của Z, tồn tại B ∈ B sao cho z ∈ B ⊂ f −1 (U) Do đó, L nằm trong B từ một lúc nào đó, dẫn đến f(L) nằm trong f(B) ⊂ f f −1 (U) = U từ một thời điểm nhất định Kết quả là S thường xuyên gặp trong f(B), chứng minh rằng f(B) là một cs ∗ -lưới của X.
2.2.7 Hệ quả Một không gian là g-khả mêtric khi và chỉ khi nó là một σ-ảnh, π (compact), thương của một không gian mêtric.
Chứng minh Suy từ Định lý 2.2.6.