ĐẠI CƯƠNG VỀ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG
Những khái niệm cơ bản
1.1.1 Điều khiển và điều chỉnh
Trong mọi lĩnh vực và hoạt động của con người, điều khiển đóng vai trò quan trọng Trong dân dụng, việc điều chỉnh nhiệt độ và độ ẩm mang lại sự tiện nghi cho cuộc sống Trong vận tải, điều khiển xe và máy bay đảm bảo an toàn và chính xác khi di chuyển Trong quân sự, con người điều khiển các phản ứng hóa học, tàu vũ trụ, và các phương tiện thông tin để thực hiện các hoạt động chiến tranh Trong lĩnh vực xã hội, điều khiển tổ chức, quốc gia và ngành kinh tế như ngân hàng và thương mại là cần thiết Ngoài ra, các quá trình điều khiển cũng diễn ra liên tục trong cơ thể sống, giúp duy trì nhịp tim, nhịp thở và hoạt động của các cơ quan Điều khiển là tổ chức một quá trình theo quy luật nhất định nhằm đạt được mục đích cụ thể.
Điều khiển học là ngành khoa học nghiên cứu về các quá trình điều khiển, được phân chia thành nhiều lĩnh vực khác nhau Trong đó, điều khiển học kỹ thuật tập trung vào các thiết bị và máy móc, điều khiển học xã hội nghiên cứu các quá trình xã hội, điều khiển học kinh tế khảo sát hoạt động kinh tế, điều khiển học quân sự tổ chức các hoạt động quân sự, và điều khiển học sinh vật nghiên cứu các quá trình trong cơ thể sống.
Phạm vi chúng ta quan tâm đó là điều khiển học kỹ thuật.
Điều chỉnh là một trường hợp quan trọng trong điều khiển, liên quan đến việc giữ cho một hoặc một số đại lượng vật lý không thay đổi hoặc biến đổi theo một quy luật nhất định.
Trong lĩnh vực kỹ thuật điện - điện tử, việc duy trì ổn định điện áp và tần số của máy phát điện là rất quan trọng Tương tự, trong sản xuất, cần đảm bảo tốc độ của các động cơ điện, cũng như kiểm soát nhiệt độ và áp suất trong các lò công nghệ, để chúng không thay đổi hoặc biến đổi theo một quy luật nhất định.
Trong thực tế, các thuật ngữ “điều khiển” và “điều chỉnh” thường không được sử dụng một cách chính xác như trong định nghĩa Do đó, việc phân biệt giữa hệ thống điều khiển và điều chỉnh trong những trường hợp cụ thể thường chỉ mang tính tương đối.
1.1.2 Điều khiển và điều chỉnh tự động
Trong quá trình điều khiển và điều chỉnh thiết bị kỹ thuật và công nghệ, vai trò của con người có thể thay đổi tùy thuộc vào từng tình huống Sự tham gia của con người có thể ở mức độ cao hoặc thấp, ảnh hưởng đến hiệu quả và độ chính xác trong việc vận hành các thiết bị này.
Quá trình điều khiển tự động là quá trình điều chỉnh hoặc kiểm soát được thực hiện mà không cần sự can thiệp trực tiếp của con người.
1.1.3 Hệ thống điều khiển và điều chỉnh tự động
Hệ thống điều khiển hoặc điều chỉnh tự động, hay còn gọi là hệ thống tự động, bao gồm tất cả các thiết bị và linh kiện cần thiết để điều khiển hoặc điều chỉnh một quá trình tự động.
Các phần tử của hệ thống, bao gồm các thiết bị và linh kiện riêng lẻ, tạo thành hệ thống tự động Để mô tả một hệ thống điều khiển tự động, chúng ta sử dụng nhiều loại sơ đồ khác nhau.
Sơ đồ nguyên lý là bản vẽ mô tả chi tiết các thành phần của hệ thống, giúp người xem hiểu rõ nguyên lý hoạt động của nó Sơ đồ này có thể được phân loại thành sơ đồ nguyên lý chi tiết hoặc sơ đồ nguyên lý đơn giản, tùy thuộc vào mức độ mô tả Trong đó, sơ đồ đơn giản sẽ bỏ qua những chi tiết phụ không ảnh hưởng trực tiếp đến nguyên lý hoạt động, như mạch cấp nguồn, mạch kích thích và hệ cấp năng lượng.
Sơ đồ khối là một biểu diễn hình ảnh các thành phần của hệ thống tự động, trong đó các phần tử được thể hiện dưới dạng các khối riêng biệt Mối quan hệ giữa các phần tử được thể hiện thông qua các mũi tên, chỉ rõ chiều tác động của tín hiệu trong hệ thống.
Hệ thống điều khiển bao gồm ba thành phần chính: đối tượng điều khiển ĐTĐK, thiết bị điều khiển TBĐK và thiết bị đo lường TBĐL, được thể hiện qua sơ đồ khối như hình 1.1.
- Đối tượng điều khiển là phần tử có tín hiệu ra là đại lượng cần điều chỉnh
Thiết bị điều khiển, hay bộ điều khiển, là tập hợp các phần tử tự động giúp thực hiện việc điều khiển đối tượng một cách hiệu quả Nhờ vào thiết bị này, quá trình cần điều khiển diễn ra theo quy luật mong muốn, tạo ra tác động điều khiển lên đối tượng.
Thiết bị đo lường nhận thông tin về kết quả điều khiển và biến đổi về dạng tín hiệu phù hợp theo yêu cầu.
Các tín hiệu tác động trong hệ thống gồm có:
- u là tín hiệu vào, còn gọi là tín hiệu chủ đạo hay tín hiệu điều khiển
- y là tín hiệu ra, là đại lượng cần điều chỉnh
- f là các tác động từ bên ngoài.
- z là tín hiệu phản hồi
- e là tín hiệu sai lệch điều khiển
- x là tín hiệu tác động lên đối tượng điều khiển
1 Hệ thống điều khiển hở (hệ thống không hồi tiếp hay không phản hồi )
Hệ thống điều khiển hở bao gồm hai thành phần chính: thiết bị điều khiển và đối tượng điều khiển, được thể hiện qua sơ đồ khối như hình 1.2.
Hình 1.2 Sơđồ khốihệ thống điều khiển hở
Hình 1.1 Các thành phần cơ bản của hệ thống điều khiển tự động
Tín hiệu u được đưa vào bộ điều khiển nhằm điều chỉnh đối tượng điều khiển, với mục tiêu đạt được tín hiệu ra x theo các tiêu chuẩn đã được xác định trước.
Các nguyên tắc điều chỉnh, điều khiển
1.2.1 Nguyên tắc giữ ổn định
Nguyên tắc này giữ tín hiệu ra bằng một hằng số trong suốt quá trình điều khiển
Có 3 phương pháp giữ ổn định:
1 Ph ương pháp bù tác động ngoài (hình 1.10)
Khi nhiễu f(t) tác động vào hệ thống, nó có thể làm tăng hoặc giảm tín hiệu ra y(t) Để ổn định tín hiệu ra, thiết bị bù ngoài N sẽ bù đắp cho sự thay đổi này, giúp duy trì sự ổn định của hệ thống.
2 Ph ương pháp điều khiển theo sai lệch (hình 1.11)
Tín hiệu ra của hệ thống được phản hồi ngược lại hệ thống nhờ khâu phản hồi M để cho tín hiệu ra của hệ thống luôn giữ ổn định.
KhuÕch đại công suÊt stato thu
Hình 1.9 Sơđồ nguyên lý hệ thống điều khiển rađa stato phát
Roto sensin thu sensin phát
Hình 1.10 Sơ đồ khối hệ thống điều khiển theo phương pháp bù tác động ngoài
3 Ph ương pháp điều khiển theo sai lệch và bù nhiễu hay phương pháp hỗn hợp (hình 1.12)
Phương pháp điều khiển này là kết hợp của hai phương pháp điều khiển trên, hệ thống vừa có khâu phản hồi vừa có thiết bị bù ngoài.
1.2.2 Nguyên tắc điều khiển theo chương trình
Nguyên tắc điều khiển theo chương trình đảm bảo rằng tín hiệu ra y(t) của hệ thống thay đổi theo một chương trình đã được định sẵn, cụ thể là y(t) = y o (t) Nguyên tắc này thường được áp dụng trong các hệ thống điều khiển hở.
Nguyên tắc giữ ổn định có thể xem là trường hợp riêng của nguyên tắc điều khiển theo chương trình.
Phân loại hệ thống điều khiển tự động
Tính đa dạng của các hệ thống điều khiển tự động yêu cầu việc phân loại chúng trong quá trình khảo sát và nghiên cứu Mặc dù các hệ thống này có thể chia sẻ những phần chung, nhưng trong thiết kế và tính toán, mỗi hệ thống có thể gặp phải những vấn đề riêng biệt như nguyên lý tác động, các phần tử tự động và công cụ toán học được sử dụng trong phân tích Việc phân loại hệ thống được thực hiện dựa trên các dấu hiệu phân loại khác nhau, và một hệ thống tự động có thể thuộc nhiều loại phân loại cùng lúc.
Hình 1.11 Sơ đồ khối hệ thốngđiều khiển theo phương pháp điều khiển sai lệch
Hình 1.11 Sơ đồ khối hệ thốngđiều khiển theo phương pháp điều khiển sai lệch
1.3.1 Phân loại theo số mạch vòng phản hồi
- Hệ thống điều khiển hở: trong hệ không có mạch vòng phản hồi nào.
- Hệ thống điều khiển kín: trong hệ có thể có một hoặc nhiều mạch vòng phản hồi
1.3.2 Phân loại theo dạng tín hiệu sử dụng trong hệ thống
Hệ liên tục bao gồm tất cả các tín hiệu là hàm liên tục theo thời gian, với các phần tử của hệ cũng là phần tử liên tục Phương trình vi phân được sử dụng để mô tả toán học cho hệ này Để phân tích hệ thống liên tục, các công cụ như phép biến đổi Laplace và Fourier là rất quan trọng.
Hệ rời rạc hay hệ gián đoạn là hệ thống có ít nhất một tín hiệu là hàm gián đoạn theo thời gian, với sự hiện diện của ít nhất một phần tử gián đoạn Phần tử này có tín hiệu vào hoặc ra là một hàm gián đoạn theo thời gian Để mô tả hệ thống này, người ta sử dụng phương trình sai phân, và công cụ phân tích chính là phép biến đổi Z.
Người ta phân biệt hệ thống gián đoạn gồm:
+ Hệ thống xung: Là hệ thống trong đó có ít nhất một phần tử xung (khoá đóng ngắt) hay là tín hiệu được lấy mẫu và giữ mẫu
Hệ thống số là một dạng hệ thống gián đoạn, trong đó tín hiệu được mã hóa thành các mức logic 1 và 0 Các hệ thống này bao gồm các khâu chuyển đổi từ tương tự sang số (ADC) và từ số sang tương tự (DAC), nhằm kết nối tín hiệu với máy tính số.
1.3.3 Phân loại theo dạng phương trình toán học mô tả hệ thống
Các hệ thống điều khiển tự động có thể được mô tả thông qua các phương trình toán học, bao gồm phương trình tĩnh và phương trình động Tùy thuộc vào tính chất của các phương trình này, hệ thống điều khiển tự động được phân loại thành hai loại: hệ thống điều khiển tự động tuyến tính và hệ thống điều khiển tự động phi tuyến.
Hệ thống điều khiển tự động tuyến tính được mô tả qua các phương trình toán học như phương trình vi phân hoặc sai phân, trong đó tất cả các thành phần đều mang tính chất tuyến tính.
Tính chất tuyến tính của các phần tử trong hệ thống điều khiển tự động chỉ mang tính lý tưởng, dẫn đến việc các phương trình toán học của hệ thống được tuyến tính hoá.
Hệ thống điều khiển tự động tuyến tính được phân loại thành hai loại chính: hệ thống có tham số không thay đổi, gọi là hệ điều khiển tự động tuyến tính dừng, và hệ thống có tham số thay đổi, được gọi là hệ điều khiển tự động tuyến tính không dừng.
Hệ thống điều khiển tự động phi tuyến được định nghĩa thông qua các phương trình toán học phi tuyến, bao gồm cả phương trình vi phân và sai phân Những hệ thống này có ít nhất một phần tử phi tuyến, chẳng hạn như các phần tử rơ le, làm cho chúng trở nên đặc biệt trong việc điều khiển và quản lý.
1.3.4 Phân loại theo tính chất của các tác động bên ngoài
Các tác động bên ngoài vào hệ thống có quy luật thay đổi đã biết trước hoặc mang tính chất ngẫu nhiên
Hệ thống tiền định là các hệ thống có các tác động bên ngoài là tiền định, tức là đã biết trước các quy luật thay đổi của nó.
Hệ thống không tiền định (hay hệ thống ngẫu nhiên) là các hệ có các tác động bên ngoài là các tín hiệu ngẫu nhiên
1.3.5 Phân loại theo số lượng đại lượng cần điều khiển
Tuỳ theo số lượng tín hiệu ra cần điều khiển ta có hệ một chiều và hệ nhiều chiều.
Hệ thống điều khiển tự động một chiều có một tín hiệu ra cần điều khiển, còn hệ nhiều chiều có từ hai tín hiệu ra cần điều khiển.
L ị ch s ử phát t ri ển lý thuyế t đ i ề u khi ển và các bài toán cơ b ả n trong l ĩ nh v ự c điều khiển
1.4.1 Lịch sử phát triển lý thuyết điều khiển
Lý thuyết điều khiển tự động có thể chia thành các cấp độ như sau:
Mô tả toán học dùng để phân tích và thiết kế hệ thống là hàm truyền đạt
Kỹ thuật thiết kế trong miền tần số, áp dụng thuận lợi cho hệ thống tuyến tính bất biến có một tín hiệu vào và một tín hiệu ra
Phương pháp phân tích và thiết kế hệ thống là phương pháp quỹ đạo nghiệm số và đáp ứng tần số của hệ thống.
Mô tả toán học dùng để phân tích và thiết kế hệ thống là phương trình trạng thái
Kỹ thuật thiết kế trong miền thời gian có khả năng áp dụng cho các hệ thống phi tuyến, biến đổi theo thời gian và hỗ trợ nhiều tín hiệu vào cũng như nhiều tín hiệu ra.
Các phương pháp điều khiển hiện đại: điều khiển tối ưu, điều khiển thích nghi, điều khiển bền vững
Về nguyên tắc không cần dùng mô hình toán học để thiết kế hệ thống
Hệ thống điều khiển thông minh mô phỏng các hệ thống sinh học, cho phép xử lý thông tin không chắc chắn và học hỏi từ dữ liệu Bộ điều khiển này có khả năng xử lý lượng thông tin lớn, mang lại hiệu quả cao trong các ứng dụng thực tiễn.
Các phương pháp điều khiển thông minh: điều khiển mờ (fuzzy control), mạng thần kinh nhân tạo (neural network), thuật toán di truyền (genetic algorithm).
1.4.2 Các bài toán cơbản trong lĩnh vực điều khiển
Cho hệ thống tự động đã biết cấu trúc và thông số Bài toán đặt ra là tìm đáp ứng của hệ và đánh giá chất lượng của hệ
Hiểu rõ cấu trúc và thông số kỹ thuật của đối tượng điều khiển là điều cần thiết Mục tiêu là thiết kế bộ điều khiển nhằm đảm bảo hệ thống đáp ứng các tiêu chí về chất lượng.
Chưa biết cấu trúc và thông số của hệ thống Vấn đề đặt ra là xác định cấu trúc và thông số của hệ thống
Học phần này tập trung vào các phương pháp phân tích và thiết kế hệ thống tuyến tính, bao gồm hệ thống điều khiển liên tục và hệ thống điều khiển số tuyến tính Đặc điểm quan trọng nhất của các phần tử tuyến tính là tính chất xếp chồng, cho phép tín hiệu ra của phần tử là tổ hợp tương ứng của các tín hiệu đầu vào Ngược lại, phần tử phi tuyến không có tính chất này.
MÔ TẢ TOÁN HỌC CỦA HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG LIÊN TỤC
Khái quát chung
Hệ thống điều khiển tự động rất đa dạng và có bản chất khác nhau, do đó cần có một cơ sở chung để phân tích và thiết kế chúng Cơ sở này chính là toán học, vì vậy việc mô tả toán học các hệ thống điều khiển tự động là rất cần thiết.
Các phần tử và hệ thống điều khiển tự động liên tục được mô tả qua các phương trình động học, chủ yếu là phương trình vi phân Tuy nhiên, việc phân tích và thiết kế hệ thống dựa trên mô hình toán học này gặp nhiều khó khăn Để đơn giản hóa quá trình phân tích và giải quyết các bài toán điều khiển, người ta sử dụng hàm truyền đạt và phương trình trạng thái để mô tả toán học các phần tử và hệ thống.
Hàm truyền đạt
Mối quan hệ giữa tín hiệu vào và ra của một khâu (hay hệ thống) tự động thường được biểu diễn thông qua hàm truyền đạt
+ Y(p) là biến đổi Laplace của tín hiệu ra của khâu (hay hệ thống);
+ U(p) là biến đổi Laplace của tín hiệu vào của khâu (hay hệ thống);
+ W(p) là hàm truyền đạt của khâu (hay hệ thống)
2.2.1 Định nghĩa hàm truyền đạt
Hàm truyền đạt của một khâu hay hệ thống được định nghĩa là tỷ số giữa biến đổi Laplace của tín hiệu ra và tín hiệu vào khi các điều kiện ban đầu được triệt tiêu.
Trong đó: y(t), u(t) là tín hiệu ra và tín hiệu vào của khâu (hay hệ thống) biểu diễn trong miền thời gian
Hình 2.1 Sơ đồ khối biểu diễn một khâu hay mộthệ thống u(t) Khâu
2 Dạng tổng quát của hàm truyền đạt
Quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra của một khâu (hay hệ thống) thường được biểu diễn dưới dạng phương trình vi phân dạng tổng quát:
Trong đó: + a0 an, b0 bmlà các hệ số và n m
+ Điều kiện ban đầu triệt tiêu tức là:
Biến đổi Laplace phương trình (2.3) ta được:
Từ đó suy ra hàm truyền đạt của khâu (hay hệ thống) là: n 1 n
Hàm truyền đạt được định nghĩa là tỷ số giữa biến đổi Laplace của tín hiệu ra và tín hiệu vào, tuy nhiên, nó không phụ thuộc vào tín hiệu ra và vào mà chỉ liên quan đến cấu trúc và thông số của hệ thống Vì vậy, hàm truyền đạt có thể được sử dụng để mô tả một khâu hoặc hệ thống tự động.
0p a p a p a a gọi là đa thức đặc trưng của khâu
-Phương trình A(p) = a 0 p n a 1 p n 1 a n 1 pa n = 0 gọi là phương trình đặc trưng của khâu (hay hệ thống).
- Nghiệm của phương trình đặc trưng gọi là các cực (hay các pole)
0 gọi là các không(hay các zero)
3 Một số ví dụ về cách tìm hàm truyền đạt của một số khâu
Để tìm hàm truyền đạt của mạch điện trong sơ đồ hình 2.2, chúng ta cần xác định tín hiệu vào u1(t) và tín hiệu ra u2(t), cùng với các giá trị của điện trở R, cuộn cảm L và tụ điện C đã cho.
Từ sơ đồ ta có các phương trình của tín hiệu vào và tín hiệu ra của mạch điện là:
Biến đổi Laplace hai phương trình trên ta được:
Từ đó suy ra được hàm truyền đạt của mạch điện là:
Ví dụ 2.2 Tìm hàm truyền đạt của bộ khuếch đại lực bằng cánh tay đòn trên hình 2.3
Từ phương trình cân bằng mômen: F1(t)a = F2(t)b
Suy ra hàm truyền đạt: b a ) p ( F
Ví dụ 2.3 Tìm hàm truyền đạt của mạch điện tử dùng khuếch đại thuật toán, giả thiết khuếch đại thuật toán là lý tưởng.
* Mạch khuếch đại đảo (hình 2.4a)
Hình 2.3 Khuếch đại lựcbằng cánh tay đòn
Hình 2.2 Mạch điện R, L,C mắc nối tiếp u2(t) i(t)
Từ đó suy ra hàm truyền đạt:
Từ đó suy ra hàm truyền đạt:
Tương tự như mạch tích phân (hình 2.4b) nhưng đổi vị trí R và C với nhau.
Hàm truyền đạt của mạch vi phân: RCp
Ví dụ 2.4 Tìm hàm truyền đạt của mạch đo điện áp
* Mạch đo điện áp một chiều (hình 2.5a) Để đo điện áp một chiều người ta thường dùng biến trở
Hình 2.4a Mạch khuếch đại đảo u1(t)
Từ đó suy ra hàm truyền đạt:
Mạch đo điện áp xoay chiều thường sử dụng các thiết bị đo cơ hoặc hiển thị số cho điện áp không lớn Đối với điện áp cao, mặc dù có thể dùng con trượt biến trở, nhưng phương pháp này gây tổn thất lớn Do đó, máy biến áp đo lường thường được ưa chuộng hơn trong các ứng dụng này.
- Tín hiệu vào là điện áp đặt vào sơ cấp u 1 (t)
- Tín hiệu ra là điện áp thứ cấpu 2 ( t )
(với KBAlà tỷ số biến áp của máy biến áp)
Ví dụ 2.5 Tìm hàm truyền đạt của mạch đo dòng điện
* Mạch đo dòng điện một chiều
Thường dùng điện trở sun (hình 2.6a)
Từ đó suy ra hàm truyền đạt: Rs
Hình 2.5a.Mạchđo điện áp một chiều u1(t) u2(t)
Hình 2.5b Máy biến áp đo lường i(t) u (t) i(t) Rs
Hình 2.6a Mạch đo dòng điện một chiều i(t)
Để đo dòng điện xoay chiều, người ta thường sử dụng máy biến dòng, có thể là một pha hoặc ba pha Nguyên tắc đo dòng điện là dựa vào việc đo điện áp và suy ra dòng điện theo một tỷ lệ nhất định Để thực hiện việc đo điện áp, cần phải nối ngắn mạch thứ cấp bằng một điện trở R n.
Máy biến dòng thường có tỷ số biến đổi dòng:
5 hay75 5 200 mà ur(t) = ir(t)Rn = n
Từ đó suy ra hàm truyền đạt:
Ví dụ 2.6 Tìm hàm truyền đạt của thiết bị đo tốc độ quay dùng máy phát tốc một chiều (hình 2.7)
- Tín hiệu vào là tốc độ quay n(t) của máy phát tốc.
- Tín hiệu ra là điện áp u(t) của máy phát tốc.
Giả thiết rằng từ thông trong máy phát là không đổi và tỷ lệ tuyến tính với dòng điện kích từ Trong trường hợp máy phát tốc hoạt động ở chế độ không tải, điều này cho phép chúng ta phân tích các đặc tính của máy phát một cách chính xác hơn.
N k e p là hệ số sức điện động phụ thuộc kết cấu của máy phát Biến đổi Laplace phương trình trên ta có: U ( p )k en ( p )
Từ đó suy ra hàm truyền đạt: k K const
Ví dụ 2.7 Tìm hàm truyền đạt của máy phát điện một chiều kích từ độc lập (hình 2.8).
- Tín hiệu vào là điện áp đặt vào cuộn kích từ u t (t)
- Tín hiệu ra là điện áp phần ứng u(t)
Giả thiết tốc độ máy phát n = const và từ thông trong máy phát tỷ lệ tuyến tính
Hình 2.8 Máy phát điện một chiều kích từ độc lập ut(t) Lt
Hình 2.7.Máy phát tốc mộtchiều
Ta có các phương trình: dt
- Rtvà L t là điện trở và điện cảm của cuộn kích từ máy phát;
- 60a k e pN là hệ số sức điện động phụthuộc kết cấu của máy phát.
Biến đổi Laplace các phương trình vi phân ta được:
Từ đó suy ra hàm truyền đạt: t t e t R L n k k ) p ( U
Trong đó t e f R nk k k và t t kt R
Ví dụ 2.8 Tìm hàm truyền đạt của động cơ điện một chiều kích từ độc lập (hình 2.9)
- Tín hiệu vào là điện áp đặt u(t) vào phần ứng động cơ
- Tín hiệu ra là tốc độ quay n(t) của động cơ
Giả thiết từ thông động cơ không đổi
Ta có các phương trình điện áp và mô men của động cơ như sau: u(t) = Rưiư(t) + Lư dt
Hình 2.9a Động cơđiện một chiều kích từ độc lập
Rư, Lư là điện trở và điện cảm của mạch phần ứng động cơ; a 60 k e pN là hệ số sức điện động phụ thuộc kết cấu của động cơ;
M(t) là mô men điện từ của động cơ; ic(t) và Mc(t) là dòng điện tải mô men cản của động cơ;
J là mô men quán tính của động cơ; kM = 9,55ke;
Biến đổi Laplace các phương trình trên ta được:
Từ các phương trình trên ta suy ra:
K 9 M Theo định nghĩa hàm truyền đạt ta sơ đồ cấu trúc mô tả động cơ như hình 2.9b:
Hình 2.9b Sơđồ cấu trúc mô tả động cơmột chiều kích từ độc lập e e
2.2.2 Phương pháp xác định hàm truyền đạt của hệ thống điều khiển tự động
Trong phần 2.21, chúng ta nhận thấy rằng khi có phương trình vi phân của một khâu hoặc hệ thống, việc xác định hàm truyền đạt trở nên dễ dàng Hàm truyền đạt của khâu thường là biểu thức đơn giản, trong khi hàm truyền đạt của hệ thống thường phức tạp hơn Do đó, hàm truyền đạt của hệ thống thường được xác định thông qua hàm truyền đạt của các khâu trong hệ thống.
Có hai phương pháp để xác định hàm truyền đạt của hệ thống: biến đổi sơ đồ cấu trúc và phương pháp đồ thị tín hiệu Những phương pháp này giúp phân tích hàm truyền đạt của các khâu (phần tử) trong hệ thống một cách hiệu quả.
1 S ơ đồ cấu trúc và biến đổi sơ đồ cấu trúc a) Sơđồ cấu trúc
Sơ đồ cấu trúc hệ thống điều khiển mô tả chức năng và sự tương tác giữa các phần tử trong hệ thống.
Sơ đồ cấu trúc của hệ thống điều khiển gồm 3 thành phần chính là: các khâu động học, các bộ tổng và các điểm rẽ nhánh
Các khâu động học có hàm truyền đạt W(p), trong đó tín hiệu vào là U(p) và tín hiệu ra là Y(p) Tín hiệu ra Y(p) được xác định bằng cách nhân tín hiệu vào U(p) với hàm truyền đạt W(p).
- Bộ cộng (hình 2.10b): có tín hiệu ra bằng tổng đại số các tín hiệu vào
Điểm rẽ nhánh (hình 2.10c) là nơi tất cả các tín hiệu đều đồng nhất Ví dụ về sơ đồ cấu trúc của hệ thống điều khiển được thể hiện trong hình 2.11.
Hình 2.10 Các thành phần trong sơ đồ cấu trúc a Khâu động học; b Bộ cộng; c Điểm rẽ nhánh
U3(p) b) Biến đổi sơđồ cấu trúc
* Hệ thống gồm các khâu mắc nối tiếp
Các khâu trong hệ thống được gọi là mắc nối tiếp khi tín hiệu ra của khâu trước trở thành tín hiệu vào của khâu sau Tín hiệu vào của toàn hệ thống là tín hiệu vào của khâu đầu tiên, trong khi tín hiệu ra của hệ là tín hiệu ra từ khâu cuối cùng.
Sơ đồ hệ thống gồm các khâu mắc nối tiếp được mô tả trên hình 2.12
Từ hình 2.12 và theo định nghĩa hàm truyền đạt ta có:
Từ đó suy ra: Hàm truyền đạt của hệ thống gồm các khâu mắc nối tiếp bằng tích hàm truyền đạt của các khâu trong hệ
* Hệ thống gồm các khâu mắc song song
Hệ thống bao gồm các khâu mắc song song, trong đó tín hiệu vào là tín hiệu của các khâu thành phần, và tín hiệu ra được xác định bằng tổng đại số của các tín hiệu đầu ra.
Hình 2.11 Ví dụ về sơđồ cấu trúc
Bộ cộng Khâu động học Điểm rẽ nhánh
Hình 2.12 Hệ thống gồm n khâu mắc nối tiếp
Từ hình 2.13 và theo định nghĩa hàm truyền đạt ta có:
Từ đó suy ra hàm truyền đạt:
Từ đó suy ra: Hàm truyền đạt của hệ thống gồm các khâu mắc song song bằng tổng đại số hàm truyền đạt của các khâu trong hệ
* Hệ thống có mạch mắc phản hồi (hồi tiếp)
Hệ thống có mạch mắc phản hồi nếu tín hiệu ra của một khâu được đưa trở lại đầu vào thông qua khâu còn lại
Hệ thống có mạch mắc phản hồi gồm hai loại là phản hồi âm và phản hồi dương
Hệ thống có mạch mắc phản hồi âm được mô tả qua sơ đồ trong hình 2.14a, trong đó tín hiệu vào U(p) và tín hiệu phản hồi Yph(p) tác động ngược dấu với nhau.
Hình 2.13 Hệ thống gồm n khâu mắc song song
Hình 2.14 Hệ thống có mạch mắc phản hồi a Phản hồi âm; b Phản hồi dương
Nên hàm truyền đạt của hệ là:
Nếu phản hồi âm đơn vị (hình 2.15a) thì W 2 ( p )1 và hàm truyền đạt của hệ là:
Hệ thống có mạch mắc phản hồi dương, trong đó tín hiệu vào U(p) và tín hiệu phản hồi Yph(p) tương tác cùng dấu, như được mô tả trong sơ đồ hệ thống phản hồi dương ở hình 2.14b.
Nên hàm truyền đạt của hệ là:
Nếu phản hồi dương đơn vị (hình 2.15b) thì W 2 (p)1 và hàm truyền đạt của hệ là:
Hình 2.14 Hệ thống có mạch mắc phản hồiđơn vị a Phản hồi âm; b Phản hồi dương
* Biến đổi tương đương hai sơ đồ cấu trúc
ĐẶC TÍNH ĐỘNG HỌC CỦA HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG LIÊN TỤC
Khái quát chung
Mục đích xây dựng đặc tính động học của khâu và hệ thống điều khiển là để khảo sát tính ổn định, phân tích chất lượng hệ thống và tổng hợp bộ điều khiển dựa trên các đặc tính đó.
Những đối tượng khác nhau có mô tả toán học như nhau cùng thuộc một loại khâu động học
Mỗi hệ thống điều khiển bao gồm nhiều khâu, trong đó mỗi khâu nhận tín hiệu vào và phản ứng lại bằng tín hiệu ra Tín hiệu vào là tác động đến khâu, còn tín hiệu ra thể hiện phản ứng của khâu đối với tác động đó.
Mỗi khâu động học có hai đặc tính cơ bản: đặc tính tĩnh và đặc tính động, phản ánh hai trạng thái khác nhau của nó, bao gồm trạng thái tĩnh và trạng thái động.
- Đặc tính tĩnh của khâu là mối quan hệ giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào của khâu ở trạng thái xác lập
- Đặc tính động của khâu mô tả sự thay đổi của tín hiệu ra theo thời gian khi có tín hiệu tác động ở đầu vào.
Đặc tính thời gian của khâu và hệ thống điều khiển
Đặc tính thời gian của khâu hoặc hệ thống thể hiện cách mà khâu hoặc hệ thống phản ứng trước tác động nào đó khi các điều kiện ban đầu được đặt ở mức không.
Các tín hiệu tác động vào khâu (hay hệ thống) thường được sử dụng là tín hiệu xung đơn vị và bậc thang đơn vị
3.2.1.Tín hiệu tác động vào của khâu (hay hệ thống)
1 Tín hiệu bậc thang đơn vị 1(t)
Tín hiệu bậc thang đơn vị có trị số không đổi bằng một đơn vị ở tất cả các thời điểm t 0, còn ở tất cả các thời điểm t < 0 thì bằng không
Biểu thức toán học của tín hiệu bậc thang đơn vị là:
Tín hiệu bậc thang đơn vị đặc trưng cho sự thay đổi đột ngột của các tác động bên ngoài vào hệ thống
2 Tín hiệu xung đơn vị (t)
Tín hiệu xung đơn vị, hay còn gọi là xung đirắc, là một loại tín hiệu đặc trưng với biên độ cực lớn, độ rộng cực nhỏ và diện tích xung bằng 1.
Biểu thức toán học của tín hiệu xung đơn vị là:
Hàm xung đơn vị có tính chất:
Giữa tín hiệu bậc thang đơn vị và tín hiệu xung đơn vị có quan hệ:
Tín hiệu xung đơn vị có chiều cao và chiều rộng cụ thể, phản ánh các tác động vào hệ thống trong khoảng thời gian ngắn trước khi biến mất.
Tín hiệu điều hoà dao động hình sin hoặc cos có dạng:
Trong đó: - Um là biên độ dao động;
- là góc pha ban đầu
Tín hiệu điều hoà điển hình đặc trưng cho các tác động biến đổi đều đặn theo thời gian.
4 Tín hiệu có dạng bất kỳ
Một tín hiệu u(t) bất kỳ có thể được biểu diễn thông qua tín hiệu 1(t) và (t) a) Biểu diễn u(t) thông qua 1(t)
Phân tích hàm u(t) theo tích phân Đuyamen:
0 khi 0 (3.6) b) Biểu diễn u(t) thông qua (t )
3.2.2 Phản ứng của khâu (hay hệ thống)
Phản ứng của khâu hoặc hệ thống sẽ biến đổi khi nhận các tín hiệu tác động khác nhau hoặc khi cấu trúc và tham số của chúng thay đổi Những tín hiệu tác động khác nhau sẽ dẫn đến các đặc tính thời gian khác nhau.
Hàm quá độ của một khâu hoặc hệ thống phản ánh sự đáp ứng của nó khi nhận tín hiệu bậc thang đơn vị 1(t) với điều kiện đầu bằng không Hàm quá độ được ký hiệu là h(t).
Mối quan hệ giữa hàm truyền đạt và hàm quá độ của khâu (hay hệ thống) là:
Từ đó suy ra hàm quá độ:
2 Đường quá độ Đường quá độ của một khâu (hay hệ thống) là phản ứng của khâu (hay hệ thống) khi tín hiệu tác động vào là nhiễu bậc thang có biên độ bằng A dạng A.1(t) và điều kiện đầu bằng 0 Kí hiệu đường quá độ H(t)
Dựa vào nguyên lý xếp chồng của khâu tuyến tính ta có:
3 Hàm quá độ xung (hay hàm trọng lượng)
Hàm quá độ xung, hay còn gọi là hàm trọng lượng của một khâu hoặc hệ thống, phản ánh phản ứng của khâu hoặc hệ thống đó khi nhận tín hiệu tác động là hàm xung đơn vị δ(t) với điều kiện đầu bằng không Hàm trọng lượng được ký hiệu là g(t).
Mối quan hệ giữa hàm truyền đạt và hàm quá độ xung của khâu (hay hệ thống) là:
Từ đó suy ra hàm quá độ xung:
4 Đường quá độ xung Đường quá độ xung của một khâu (hay hệ thống) là phản ứng của khâu khi tín hiệu tác động vào là nhiễu xung đơn vị có biên độ bằng A dạng A.(t) Kí hiệu đường quá độ xung G(t)
5 P hản ứng của một khâu (hay hệ thống) khi tín hiệu tác động vào là bất kỳ
Tín hiệu vào u(t) có thể được biểu diễn qua hàm 1(t) hoặc hàm (t), và phản ứng của khâu sẽ được thể hiện qua hàm quá độ h(t) hoặc hàm trọng lượng g(t).
Khi u(t) biểu diễn thông qua hàm 1(t) ta có phản ứng của khâu (hay hệ thống) là y(t) tính như sau:
Khi u(t) biểu diễn thông qua hàm (t)ta có phản ứng của khâu (hay hệ thống) như sau:
3.3 Đặc tính tần số của khâu và hệ thống điều khiển Đặc tính tần số của khâu (hay hệ thống) mô tả mối liên hệ giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào của khâu (hay hệ thống) ở trạng thái xác lập khi thay đổi tần số dao động điều hoà tác động vào của khâu (hay phần tử)
Khi tín hiệu dao động điều hòa được đưa vào đầu vào của một hệ thống tuyến tính dưới dạng \( u(t) = m \cdot \sin(\omega t) \), thì sau một thời gian quá độ, tín hiệu ra của hệ thống sẽ có dạng dao động điều hòa với cùng tần số, nhưng biên độ và pha sẽ khác so với tín hiệu đầu vào.
Khi giữ Um không đổi và thay đổi tần số , thì cả Ym và pha sẽ có sự thay đổi Sự biến đổi của pha theo tần số được gọi là đặc tính pha tần số, ký hiệu là ().
A theo được gọi là đặc tính biên độ tần số
3.3.1 Đặc tính biên độ - pha tần số (hay đặc tính Nyquist)
Xét một khâu (hay hệ thống) được mô tả bằng phương trình vi phân dạng tổng quát như sau:
Nếu tín hiệu tác động vào đầu vào của khâu (hay hệ thống) là dao động điều hoà có dạng tổng quát: t j me U ) t ( u (3.16)
Thì ở trạng thái xác lập, tín hiệu ra của khâu (hay hệ thống) là tín hiệu dao động điều hoà có dạng:
Thay (3.16), (3.17), (3.18) và (3.19) vào phương trình (3.15) ta có;
W(j) được gọi là hàm truyền đạt tần số của khâu (hay hệ thống)
Khi so sánh biểu thức tính hàm truyền đạt (2.4) với hàm truyền đạt tần số (3.21), có thể nhận thấy rằng để xác định hàm truyền đạt tần số của một khâu (hay hệ thống), chỉ cần thay biến p = jω vào hàm truyền đạt của khâu đó.
Hàm truyền đạt tần số W(j) có thể biểu diễn dưới dạng:
Từ đó ta có đặc tính biên độ tần số của khâu (hay hệ thống) được xác định theo biểu thức:
Và đặc tính pha tần số của khâu (hay hệ thống) được xác định theo biểu thức:
Cho thay đổi từ - đến + ta sẽ xây dựng được các đặc tính biên độ tần số và pha tần số của khâu (hay hệ thống)
- Đặc tính biên độ tần số cho biết tỷ lệ về biên độ (hệ số khuếch đại) giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào theo tần số
- Đặc tính pha tần số cho biết góc lệch pha giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào theo tần số
Trên mặt phẳng phức, mỗi giá trị tần số i tương ứng với một véc tơ biểu diễn hàm truyền đạt tần số, trong đó độ lớn là A(i) và argument là (i) Véc tơ này có gốc tại tọa độ gốc và ngọn tại điểm có tọa độ (R(i), I(i)) Khi tần số thay đổi từ 0 đến
Véc tơ hàm thể hiện tần số thay đổi cả về độ lớn và đối số, với gốc trùng với gốc tọa độ Sự biến đổi này tạo ra một đường cong được gọi là đường đặc tính biên độ.
- pha tần số hay đường đặc tính Nyquist của khâu (hay hệ thống)
3.3.2 Đặc tính tần số logarit
Dựa vào đặc tính biên độ - pha tần số W(j)A()e j ( ) , nếu lấy logarit cả hai vế suy ra:
Ta thấy lnA() và () là các hàm thực của biến , đó chính là đặc tính biên độ tần số logarit và đặc tính pha tần số logarit
Đặc tính động học của các khâu động học cơ bản
Các khâu động học cơbản là các phần tử của hệ thống điều khiển có các tính chất sau:
- Chỉ có một tín hiệu vào và một tín hiệu ra
Tín hiệu chỉ truyền theo một chiều, có nghĩa là khi tín hiệu vào được nhận, tín hiệu ra sẽ xuất hiện nhưng không ảnh hưởng đến tín hiệu vào.
- Quá trình động học của phần tử được biểu diễn bằng phương trình vi phân không quá bậc hai.
Các khâu động học cơ bản bao gồm khâu nguyên hàm, khâu tích phân, khâu vi phân và khâu trễ Trong đó, khâu nguyên hàm được chia thành các loại như khâu khuếch đại (khâu không quán tính), khâu quán tính bậc một và khâu quán tính bậc hai (khâu dao động).
* Phương trình vi phân mô tả khâu có dạng: y(t) = ku(t) (3.28)
Trong đó: k là hệ số truyền (còn gọi là hệ số khuếch đại khi tín hiệu ra và tín hiệu vào cùng đơn vị)
Từ phương trình vi phân biến đổi Laplace ta có: Y(p) = kU(p)
Từ đó suy ra hàm truyền đạt của khâu là:
Các phần tử trong khâu khuếch đại bao gồm bộ khuếch đại điện tử, bộ khuếch đại bán dẫn, và các thiết bị đo lường như dòng điện, điện áp, và tốc độ Ngoài ra, hệ thống xenxin biến áp, biến áp quay, và hộp truyền tốc độ cũng đóng vai trò quan trọng trong quá trình khuếch đại.
- Hàm trọng lượng: g(t)L 1 W(p)L 1 k k(t) (3.31) Các đặc tính thời gian của khâu khuếch đại được biểu diễn trên hình 3.2
- Đặc tính biên độ - pha tần số:
Thay p = j vào hàm truyền đạt (3.29) sẽ được hàm truyền đạt tần số là:
Từ đó suy ra hàm truyền đạt tần số có phần thực R()k và phần ảo I()0
Khi thay đổi thì W(j) = k = const, vì vậy đặc tính biên độ - pha tần số là một điểm trên trục hoành
- Đặc tính biên độ tần số: A ( ) k (3.33)
- Đặc tính pha tần số: ()0 (3.34)
- Đặc tính biên độ tần số logarit: L()20lgk (3.35) Các đặc tính tần số của khâu khuếch đại được biểu diễn trên hình 3.3
Nhận xét: Khâu khuếch đại chỉ làm khuếch đại tín hiệu lên k lần, tín hiệu vào tín hiệu ra của khâu khuếch đại cùng pha với nhau
2 Khâu quán tính bậc nhất
* Phương trình vi phân mô tả khâu có dạng:
Hình 3.3 Các đặc tính tần số của khâu khuếch đại a Biên độ - pha tần số; b Biên độ và pha tần số; c Biên độ tần số logarit
Hình 3.2 Đặc tính thời gian của kâu khuếchđại a Q uá độ; b Q uá độ xung
* Hàm truyền đạt: Viết phương trình vi phân (3.36) dưới dạng hàm ảnh theo biến đổi Laplace với điều kiện đầu bằng không, ta có
Vậy hàm truyền đạt của khâu là:
Các phần tử quán tính bậc nhất bao gồm mạch điện bốn cực R-C và L-R, khuếch đại từ, máy phát điện một chiều, động cơ điện không đồng bộ hai pha và ba pha khi tín hiệu ra là tốc độ, lò điện trở và cặp nhiệt điện.
Thay p = j vào hàm truyền đạt (3.37) ta có hàm truyền đạt tần số của khâu là:
Phần thực hàm truyền đạt tần số:
Phần ảo hàm truyến đạt tần số:
Hình 3.4 Đặc tính thời gian của khâu quán tính bậc nhất a Quá độ; b Q uá độ xung
- Đặc tính biên độ tần số:
- Đặc tính pha tần số: arctg ( T )
- Đặc tính biên độ - pha tần số: Từ mối quan hệ A 2 ()R 2 ()I 2 () và từ biểu thức (3.41), (3.43) ta suy ra được:
Phương trình đường tròn có tâm tại (k/2, 0) và bán kính k/2 thể hiện mối quan hệ giữa biên độ và pha tần số Khi thay đổi giá trị của từ 0 đến , đặc tính này sẽ tạo thành nửa đường tròn nằm trong góc phần tư thứ IV.
Các đặc tính A(), () và W(j) biểu diễn trên hình 3.5
* Đặc tính tần số logarit:
- Đặc tính biên độ tần số logarit:
Khi cho biến thiên từ 0 đến vô cùng, chúng ta có thể vẽ đường đặc tính L(ω) dưới dạng đường cong Trong thực tế, phương pháp thường được áp dụng là vẽ gần đúng bằng cách tuyến tính hóa từng đoạn.
Ta thấy: Lim20lg (T ) 2 1 20lg1 0
Hình 3.5 Đặc tính tần số của khâu quán tính bậc nhất a Biên độ tần số; b Pha tần số; c Biên độ - pha tần số k
Tần số gập của khâu được xác định khi đặt g 1T Đường đặc tính L1() = 20 lg k và L2() = 20 lg k - 20 lg T cắt nhau tại điểm G ( g 1T, L()20lgk) Đường đặc tính L1() song song với trục hoành, có độ nghiêng bằng 0 dB/dec và cắt trục tung tại L() = 20 lg k Đối với đường đặc tính L2(), độ nghiêng cần được xác định.
Lấy 2 101 thì lg2lg1lg 101 ( dec ), do đó:
Đặc tính biên độ tần số logarit biểu diễn trên hình 3.6a
- Đặc tính pha tần số logarit () có dạng nhưtrên hình 3.6.b.
Tín hiệu ra của khâu quán tính bậc nhất không đạt ngay giá trị k khi có tín hiệu vào 1(t), mà tiến dần đến giá trị k theo quy luật hàm mũ Điều này cho thấy quá trình tích luỹ và giải phóng năng lượng không xảy ra đồng thời, dẫn đến hiện tượng quán tính.
Hình 3.6 Đặc tính tần số logarit của khâu quán tính bậc nhất a Biên độ tần số logarit; b Pha tần số logarit
Từ đặc tính quá độ xung g(t) của khâu quán tính bậc nhất, khi hàm quá độ h(t) đạt giá trị xác lập, hàm quá độ xung g(t) sẽ giảm về 0 Điều này cho thấy khâu quán tính đã giải phóng sức ì quán tính của nó.
Từ đặc tính biên độ tần số A() cho thấy khâu quán tính bậc nhất không làm việc được với tín hiệu cao tần (giống nhưbộ lọc thông thấp).
Tín hiệu ra của khâu quán tính bậc nhất chậm pha so với tín hiệu vào, với góc chênh lệch từ 0 đến /2, tùy thuộc vào tần số Điều này cho thấy khâu quán tính bậc nhất có tác động chậm.
3 Khâu bậc hai (khâu dao động)
* Phương trình vi phân mô tả khâu có dạng:
Trong đó: - k là hệ số truyền của khâu;
- T là hằng số thời gian của khâu;
- là hệ số tắt dần tương đối của khâu (0)
* Hàm truyền đạt: Viết phương trình vi phân (3.46) dưới dạng hàm ảnh theo biến đổi Laplace với điều kiện đầu bằng không, ta có:
Vậy hàm truyền đạt của khâu là:
Các phần tử trong khâu dao động bao gồm mạch điện R-L-C và động cơ điện một chiều với kích từ độc lập Trong đó, tín hiệu vào là điện áp đặt vào phần ứng và tín hiệu ra thể hiện tốc độ quay của động cơ.
(3.49) Đặc tính quá độ và quá độ xung của khâu dao động biểu diễn trên hình 3.7
Từ đặc tính h(t) ta xác định được các tham số: k, A1, A2 và T Từ đó tính được:
Thay p = j vào hàm truyền đạt (3.47) ta có hàm truyền đạt tần số của khâu là:
- Đặc tính biên độ - pha tần số với các giá trị của hệ số tắt dần tương đối khác nhau được biểu diễn trên hình 3.8a
- Đặc tính biên độ tần số:
Hình 3.7 Đặc tính thời gian của khâu dao động a Quá độ; b Quá độ xung
- Đặc tính pha tần số: 2 2
* Đặc tính biên độ tần số logarit:
Vì vậy người ta tính gần đúng L() như sau:
Tần số gập của khâu được xác định khi đặt g 1/T, với đường đặc tính L1() = 20lgk và L2() = 20lgk - 40lgT cắt nhau tại điểm (g 1/T, L() 20lgk) Đường đặc tính L1() song song với trục hoành, có độ nghiêng bằng 0 dB/dec và cắt trục tung tại L() = 20lgk Trong khi đó, đường đặc tính L2() có độ nghiêng khác.
Hình 3.8 Đặc tính tần số của khâu dao động a Biên độ - pha tần số; Biên độ tần số logarit
Đặc tính biên độ tần số logarit biểu diễn trên hình 3.8b.
Hàm quá độ h(t) của khâu dao động cho thấy rằng khi tín hiệu vào xuất hiện, tín hiệu ra không lập tức đạt giá trị k mà sẽ dao động tiến đến giá trị đó Để hệ dao động hoạt động hiệu quả, cần có một bộ tích động năng và một bộ tích thế năng Ví dụ, trong mạch R-L-C, sự kết hợp này rất quan trọng để duy trì dao động ổn định.
C tích thế năng còn L tích động năng
Hàm trọng lượng g(t) của khâu dao động cho thấy rằng khi hàm h(t) đạt giá trị ổn định, hàm trọng lượng k(t) sẽ giảm về 0, điều này có nghĩa là khâu dao động đã được giải phóng khỏi sức ì quán tính.
Phương trình đặc tính biên độ tần số A() của khâu dao động cho thấy rằng khâu này không hoạt động hiệu quả với tín hiệu cao tần Giá trị A() đạt cực đại khi = 0.
Đặc tính tần số của hệ thống điều khiển tự động hở
Để xây dựng đặc tính tần số cho hệ thống điều khiển hở một cách hiệu quả, thường sử dụng phương pháp biểu diễn tổng quát hàm truyền đạt của hệ thống hở dưới dạng tích các hàm truyền đạt của các khâu.
- k là hệ số truyền của hệ thống;
- n1, n2, n3, n4, n5 lần lượt là số khâu vi phân, khâu chậm trễ, khâu tích phân, khâu quán tính và khâu dao động trong hệ thống;
- Tj, Tg, Th lần lượt là các hằng số thời gian của các khâu vi phân, các khâu quán tính và các khâu chậm trễ trong hệ thống;
- h là các hệ số tắt dần của các khâu dao động;
- k là các thời gian chậm trễ của các khâu chậm trễ
Thay p = j vào (3.94) ta sẽ nhận được hàm truyền đạt tần số của hệ làW(j ) Có thể biểu diễn W(j) dưới dạng:
Hình 3.19 Đặc tính tần số của khâu chậm trễ a Biên độ tần số; b Pha tần số; c Biên độ - pha tần số
Trong đó: Ai() và i() là các biểu thức đặc tính biên độ tần số và pha tần số của các khâu trong hệ thống;
Từ (3.96) ta có thể tìm ra đặc tính biên độ tần số logaritcủa hệ hở là:
Để xây dựng đặc tính biên độ tần số logarith và pha tần số logarith của hệ thống hở, cần biến đổi hàm truyền đạt về dạng (3.94) Sau đó, có thể xác định riêng các đặc tính biên độ và pha tần số logarith của từng khâu trong hệ thống, và cuối cùng công các đặc tính này lại theo công thức (3.97) và (3.98).
Ví dụ 3.1 Xây dựng đặc tính tần số logarit của hệ thống hở có hàm truyền đạt như sau:
* Đặc tính biên độ tần số logarit:
- Tính các tần số gập:
Ta dùng phương pháp tiệm cận để xây dựng đặc tính biên độ tần số logarit
+ Khi g 1 ta có phương trình đường tiệm cận thứ nhất là:
L Đường tiệm cận thứ nhất đi qua điểm có toạ độ (lg( ) 0 , L ( ) 20 lg k 60 ), có độ nghiêng -n20 db/dec và kết thúc tại tần số gập thứ nhất g 1
+ Khi g 1 g 2 ta có phương trình đường tiệm cận thứ hai là:
+ Khi g 2 g 3 ta có phương trình đường tiệm cận thứ ba là:
Độ nghiêng của đường đặc tính thay đổi là 20 dB/dec, do ảnh hưởng của khâu vi phân bậc nhất Khoảng tiệm cận thứ ba kéo dài từ tần số gập g2 đến g3, với độ nghiêng là -n20 dB/dec.
+ Khi g 3 ta có phương trình đường tiệm cận thứ tư là:
Độ nghiêng của đường đặc tính thay đổi là -40 dB/dec do khâu dao động, trong khi khoảng tiệm cận thứ tư có độ nghiêng là -20(n+2) dB/dec Đặc tính biên độ tần số logarithmic của hệ thống được thể hiện với n = 1 trong hình 3.20a và với n = 0 trong hình 3.20b.
* Đặc tính pha tần số logarit: 2
Ta có thể suy ra các bước xây dựng đặc tính biên độ tần số logarit như sau:
Biến đổi biểu thức hàm truyền đạt của hệ về dạng chuẩn, sau đó viết lại hàm truyền đạt dưới dạng tích các hàm truyền đạt của các khâu Đầu tiên, trình bày hàm truyền đạt của các khâu tích phân, tiếp theo là hàm truyền đạt của các khâu còn lại, sắp xếp theo thứ tự hằng số thời gian giảm dần.
- Tính các tần số gập givà các giá trị lggi
Hình 3.20a Đặc tính L() của ví dụ 3.1 khi n = 1
- Vẽ hệ trục toạ độ với trục tung L(), trục hoành lg() và biểu diễn giá trị 20lgk trên trục tung, các giá trị lggitrên trục hoành.
- Vẽ đặc tính biên độ tần số logarit trong khoảng lg lgg1
+ Đoạn đặc tính là đoạn thẳng có độ nghiêng là –n20db/dec (nếu hệ thống có n khâu tích phân), nếu kéo dài sẽ đi qua điểm (0, 20lgk).
+ Đoạn đặc tính là đường thẳng có độ nghiêng n20db/dec (nếu hệ thống có n khâu vi phân), nếu kéo dài sẽ đi qua điểm (0, 20lgk)
Đoạn đặc tính là đường thẳng với độ nghiêng 0db/dc, điều này áp dụng cho hệ thống khâu có khâu tích phân và vi phân lý tưởng Nếu kéo dài, đoạn này sẽ cắt trục tung tại 20lgk.
Các đoạn đặc tính còn lại sẽ thay đổi độ nghiêng của đường đặc tính biên độ tần số logarit sau mỗi tần số gập (hay sau mỗi lgωgi), tùy thuộc vào khâu có tần số gập.
Độ nghiêng của đường đặc tính sẽ thay đổi tùy thuộc vào loại khâu: -20 dB/dec cho khâu quán tính hoặc khâu không ổn định bậc một, và -40 dB/dec cho khâu dao động.
20db/dec nếu là khâu vi phân bậc nhất.
Ví dụ 3.2 Vẽ đặc tính biên độ tần số logarit của hệ thống có hàm truyền đạt như sau:
Bước 1: - Biến đổi biểu thức hàm truyền đạt về dạng chuẩn:
Hình 3.20b Đặc tính L() của ví dụ 3.1 khi n = 0
- Viết lại hàm truyền đạt như sau:
+ Khi g 1 tức lg0 đoạn đặc tính đi qua điểm có toạ độ ( 0 , 60 )có độ nghiêng -20db/dec và kết thúc khi lg 0
+ Khi g 1 g 2 tức 0 lg 0 , 3 đoạn đặc tính xuất phát từ điểm (0,60) có độ nghiêng -20 + (-20) = -40db/dec và kết thúc khi lg0,3.
+ Khi g 2 g 3 tức 0 , 3 lg 0 , 7 đoạn đặc tính xuất phát từ điểm (0,3,
48) có độ nghiêng -40 + 20 = -20db/dec và kết thúc khi lg0,7.
Hình 3.21 Đặc tính L() của ví dụ 3.2
+ Khi g 3 g 4 tức 0 , 7 lg 1 đoạn đặc tính xuất phát từ điểm (0,7, 40), có độ nghiêng -20 + (-40) = -60db/dec và kết thúc khi lg1.
+ Khi g 4 tức lg1 đoạn đặc tính xuất phát từ điểm (1, 22) có độ nghiêng -60 +(-40) = -20db/dec và kéo dài đến lg Đặc tính L() như trên hình 3.21
Bài tập 3.1 Vẽ các đặc tính thời gian của các hệ có hàm truyền đạt như sau: a p 10
Bài tập 3.2 Vẽ đặc tính biên độ - pha tần số của các hệ thống có hàm truyền đạt như sau: a p 0,04
Bài tập 3.3 Vẽ các đặc tính biên độ tần số và pha tần số của các hệ thống có hàm truyền đạt như sau: a p 0,02
Bài tập 3.4 Vẽ đặc tính biên độ tần số logarit và xác định tần số cắt của các hệ thống có hàm truyền đạt như sau: a p(0,01p 1)
Bài tập 3.5 Xác định biểu thức đặc tính pha tần số logarit của các hệ thống có hàm truyền đạt trong bài tập 3.3.
Bài tập 3.6 Hãy xác định hàm trọng lượng và hàm quá độ của các hệ thống có hàm truyền đạt như sau: a 2p 3p 4
Bài tập 3.7 yêu cầu tìm đáp ứng đầu ra của hệ thống khi tín hiệu tác động vào là tín hiệu bậc thang đơn vị Hệ thống có hàm truyền đạt được cho là p(p + 5).
Bài tập 3.8 Cho hệ thống gồm hai khâu quán tính mắc nối tiếp Biết hai khâu có các thông số như sau:
- Hằng số thời gian lần lượt là 5 và 50.
Hệ số truyền của hệ thống lần lượt là 20 và 100 Để xác định hàm truyền đạt của hệ thống, ta cần phân tích các yếu tố liên quan Tiếp theo, cần xác định các hàm trọng lượng và hàm quá độ để hiểu rõ hơn về đặc tính của hệ thống Cuối cùng, việc vẽ đặc tính tần số logarit sẽ giúp trực quan hóa phản ứng của hệ thống đối với các tần số khác nhau.
Bài tập 3.9 Hãy xác định hàm truyền đạt của hệ thống, biết hệ thống có đặc tính biên độ tần số logarit như trên hình 3.22
Hình 3.22 Đặc tính biên độ tần số logarit bài tập 3.9