BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH ——————————— NGUYỄN THỊ MỸ DUYÊN MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ MẶT f -CỰC TIỂU TRONG CÁC KHƠNG GIAN TÍCH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - Năm 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH ——————————— NGUYỄN THỊ MỸ DUYÊN MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ MẶT f -CỰC TIỂU TRONG CÁC KHÔNG GIAN TÍCH Chun ngành: Hình học Tơpơ Mã số: 62 46 01 05 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS ĐOÀN THẾ HIẾU TS NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh - Năm 2021 i LỜI CAM ĐOAN Luận án hoàn thành trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh, hướng dẫn PGS TS Đồn Thế Hiếu TS Nguyễn Hà Thanh Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi Các kết luận án trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa cơng bố cơng trình khác trước Thành phố Hồ Chí Minh, ngày tháng năm 2021 Tác giả Nguyễn Thị Mỹ Duyên ii LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành hướng dẫn đầy trách nhiệm PGS TS Đoàn Thế Hiếu TS Nguyễn Hà Thanh Tác giả xin bày tỏ lòng tri ân sâu sắc tới Thầy, người đặt toán, hướng dẫn, giúp đỡ tận tình, chu đáo suốt trình tác giả học tập thực luận án Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới: - Khoa Tốn học, Phịng Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh, - Khoa Tốn học, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế, hỗ trợ tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu sinh Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn tới gia đình người bạn thân thiết giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2021 Người thực Nguyễn Thị Mỹ Duyên iii MỤC LỤC MỞ ĐẦU SƠ 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 LƯỢC VỀ MẶT CỰC TIỂU Độ cong trung bình Mặt cực tiểu Một số ví dụ Một số kết quan trọng mặt cực tiểu Dịng độ cong trung bình Các nghiệm tự đồng dạng Kết luận Chương 6 11 14 17 20 MẶT f -CỰC TIỂU 2.1 Đa tạp với mật độ 2.2 Mặt f -cực tiểu Một số ví dụ 2.3 Một số kết quan trọng mặt f -cực tiểu 2.4 Mối liên hệ mặt f -cực tiểu nghiệm tự đồng dạng dòng độ cong trung bình 2.5 Kết luận Chương 21 21 24 27 MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ MẶT f -CỰC TIỂU TRONG CÁC KHƠNG GIAN TÍCH 3.1 Khơng gian mật độ với tích Riemann, tích cong, tích Lorentz 3.2 Một số kết mặt f -cực tiểu khơng gian tích cong R+ ×w Gn 3.3 Một số kết mặt f -cực đại khơng gian tích Lorentz Gn × R1 3.4 Một số kết mặt f -cực tiểu đối chiều cao Đồ thị tự co rút đối chiều cao không gian Ơclit 3.5 Kết luận Chương 30 32 34 34 43 53 59 72 KẾT LUẬN CHUNG VÀ KIẾN NGHỊ 73 DANH MỤC CƠNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ 74 TÀI LIỆU THAM KHẢO 75 iv DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Kí hiệu Ý nghĩa n BR Hình cầu tâm O bán kính R Rn Gn Khơng gian Gauss n-chiều K Độ cong Gauss H, H Độ cong trung bình, vectơ độ cong trung bình Hf , Hf Độ cong trung bình, vectơ độ cong trung bình với mật độ n, N Vectơ pháp đơn vị n−1 SR Siêu cầu tâm O bán kính R Rn CR Siêu trụ tâm O bán kính R Rn+1 L(C) Độ dài Riemann đường cong C Lf (C) Độ dài đường cong C theo mật độ e−f ds, dA Phần tử diện tích Riemann dsf , dAf Phần tử diện tích theo mật độ e−f dV Phần tử thể tích Riemann dVf Phần tử thể tích theo mật độ e−f r(x) r(x) = x21 + · · · + x2n , với x = (x1 , , xn ) ∈ Rn Area(M ) Diện tích M Areaf (M ) f -diện tích M Vol(M ) Thể tích M Volf (M ) f -thể tích M Tp Σ Khơng gian tiếp xúc Σ p δij Ký hiệu Kronecker df dxi ∆f ; ∇f Laplace hàm f ; Gradient hàm f , tức ∇f = ∇X Y Đạo hàm hiệp biến trường vectơ Y dọc trường vectơ X Đường cong α Biên miền Ω Chuẩn vectơ x Trang thứ i tài liệu trích dẫn Kết thúc chứng minh α(t) ∂Ω |x| p i v DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ HÌNH Hình 1.2.1 Hình 1.2.2 Hình 1.2.3 Hình 1.4.4 Hình 2.1.1 Hình 3.1.2 Hình 3.1.3 Hình 3.1.4 Hình 3.1.5 Hình Hình Hình Hình Hình 3.2.5 3.2.6 3.2.7 3.2.8 3.3.9 TÊN HÌNH TRANG Mặt cực tiểu Catenoid 12 Mặt cực tiểu Helicoid 13 Mặt cực tiểu Scherk 14 Đường cong Grim Reaper 20 Mật độ không gian Gauss tập trung gốc tọa độ 22 Mặt trụ khơng gian tích cong 38 Mặt hyperbolic 1-tầng khơng gian tích cong 38 Mặt Catenoid khơng gian tích cong 38 Vectơ kiểu khơng gian, kiểu thời gian, kiểu ánh sáng R31 42 Một phần slice đồ thị biên 47 Slice P, đồ thị toàn phần Σ Gn R+ ×w Gn 49 n + n Đồ thị tồn phần Σ G G ×a G 51 Slice P đồ thị tồn phần Σ G+ ×a Gn 52 Đồ thị toàn phần f -cực đại Σ Gn × R1 57 MỞ ĐẦU Đa tạp với mật độ đa tạp Riemann (M, g) với hàm mật độ trơn, dương e−f dùng làm trọng số cho thể tích chu vi Thể tích với mật độ miền E diện tích với mật độ siêu mặt Σ xác định công thức e−f dV Volf (E) = e−f dA, Areaf (Σ) = E Σ dV dA tương ứng phần tử thể tích phần tử diện tích Riemann Về mặt ký hiệu, người ta thường dùng ba (M, g, e−f dV ) để đa tạp Riemann (M, g) với với mật độ e−f , đặc biệt M không gian Ơclit Rn với tích vơ hướng tắc mật độ e−f ta ký hiệu đơn giản (Rn , e−f ) Trên đa tạp với mật độ (M, g, e−f dV ), M Gromov (xem [26]) mở rộng khái niệm độ cong trung bình H thành khái niệm độ cong trung bình với mật độ siêu mặt, ký hiệu Hf , xác định công thức Hf := H + ∇f, N , n−1 N trường vectơ pháp đơn vị siêu mặt Định nghĩa kiểm tra thỏa mãn biến phân thứ thứ hai phiếm hàm diện tích với mật độ (xem [40]) Các khái niệm thể tích, chu vi, độ cong, độ cong trung bình, mặt cực tiểu, với mật độ gọi cách đơn giản f -thể tích, f -chu vi, f -độ cong, f -độ cong trung bình, f -mặt cực tiểu, Đa tạp với mật độ liên quan đến Vật lý nghiên cứu mặt vùng mặt có phân bố mật độ nội khác điểm khác nhau, để xác định khối lượng cần tính tích phân theo mật độ Ngoài ra, đa tạp với mật độ liên quan đến lĩnh vực Kinh tế mặt phẳng xác suất −r2 /2 Gauss, mặt phẳng R2 với mật độ 2π e , dùng thường xuyên xác suất thống kê Do đó, việc tìm hiểu Hình học vi phân với mật độ khơng có ý nghĩa mặt lý thuyết mà ý nghĩa thực tiễn Đa tạp với mật độ xuất lâu Toán học tên gọi khác “ mm-không gian” “đa tạp với trọng” (weighted manifolds) Sau này, giáo sư Morgan gọi tên lớp đa tạp “đa tạp với mật độ” (manifolds with density) (xem [40]) Hiện nay, đa tạp với mật độ lĩnh vực quan tâm nghiên cứu nhiều nhà Tốn học, phải kể đến giáo sư Morgan nhóm cộng ông Họ chứng minh nghiệm tốn đẳng chu khơng gian với mật độ tồn biên phải có f -độ cong trung bình (xem [14]) Một siêu mặt Σ (M, g, e−f dV ) (tương ứng (M, g)) gọi f -cực tiểu hay f -cực đại (cực tiểu hay cực đại ) f -độ cong trung bình (độ cong trung bình) Σ thỏa mãn Hf (Σ) = (H(Σ) = 0) Nếu Hf (Σ) = λ số Σ gọi λ-siêu mặt Vấn đề nghiên cứu lý thuyết, khảo sát tính chất mặt f -cực tiểu, mặt có f -độ cong trung bình đa tạp với mật độ nhận nhiều quan tâm nhà Toán học Các tác giả C Ivan, H Neil, H Stephanie, Ă Vojislav and Y Xu số mặt có f -độ cong trung bình khơng gian Gauss, khảo sát số chất hình học mặt có f -độ cong trung bình (xem [14]) J M Espinar H Rosenberg khảo sát tính chất hình học mặt đầy đủ có f -độ cong trung bình (xem [13]) D T Hieu N M Hoang phân loại mặt kẻ trụ f -cực tiểu không gian R3 với mật độ log-tuyến tính (xem [31]) Mặt khác, tính chất f -cực tiểu diện tích siêu mặt f -cực tiểu quan tâm Chẳng hạn, D T Hieu áp dụng phương pháp dạng cỡ với mật độ để chứng minh số đa tạp f -cực tiểu diện tích (xem [29]) Mặt f -cực tiểu khơng gian Gauss shrinker, nghiệm tự đồng dạng dòng độ cong trung bình, đóng vai trị quan trọng việc nghiên cứu kỳ dị dịng độ cong trung bình (xem [12]) Đây vấn đề quan tâm nghiên cứu nay: dịng độ cong trung bình, nghiệm tự đồng dạng dịng độ cong trung bình, mối liên hệ chúng với siêu mặt f -cực tiểu không gian với mật độ (xem [24], [47], [48]) Những năm gần đây, mặt cực tiểu khơng gian dạng tích nghiên cứu Harold Rosenberg cộng ông (xem [13], [44]) Nó đề tài thu hút quan tâm nhiều nhà Toán học Chú ý không gian Gauss không gian với mật độ dạng tích Gn = G1 × × G1 Theo hướng mở rộng định lý cổ điển Hình học vi phân lên khơng gian đa tạp với mật độ, nhiều kết công bố như: định lý Gauss-Bonnet suy rộng (xem [15]), định lý Liouville hàm điều hòa bị chặn không gian với mật độ (xem [36]), Tuy nhiên, số định lý cổ điển không gia thêm mật độ Chẳng hạn, định lý bốn đỉnh khơng cịn mặt phẳng với mật độ cầu (xem [33]) Theo đó, việc mở rộng kết định lý Bernstein cổ điển, định lý halfspace cổ điển để thu định lý kiểu Bernstein, định lý kiểu halfspace với mở rộng lên mặt đối chiều cao, lên đa tạp tích (tích Riemann, tích cong, tích Lorentz) hay lên đa tạp với mật độ, vấn đề thời nghiên cứu nhiều tác giả (xem [1], [24], [28], [32], [44], [47], [48]) Xuất phát từ nhu cầu tìm hiểu giải vấn đề trên, chọn đề tài nghiên cứu cho luận án “Một số kết mặt f -cực tiểu khơng gian tích” Ở đây, luận án đề cập đến hai định lý quan trọng, liên quan đến kết luận án, định lý Bernstein định lý halfspace Định lý Bernstein cổ điển mở rộng Định lý Bernstein cổ điển khẳng định đồ thị cực tiểu toàn phần toàn R2 phẳng R3 (xem [43]) Kết chứng minh Bernstein vào năm 1915-1917 Nhiều nhà Toán học cố gắng tổng quát định lý Bernstein cho trường hợp số chiều đối chiều cao Năm 1965, De Giorgi chứng minh định lý Bernstein đồ thị cực tiểu toàn phần toàn R3 R4 (xem [17]) Năm 1966, Almgren tiếp tục chứng minh định lý R5 (xem [2]) Năm 1968, Simons mở rộng định lý lên R8 Ông chứng minh đồ thị cực tiểu toàn phần n-chiều phải siêu phẳng với n ≤ (xem [46]) Năm 1969, Bombieri, De Giorgi, Giusti đưa phản ví dụ trường hợp mặt với số chiều cao (xem [5]), điều chứng tỏ kết định lý Bernstein với n ≤ Như vậy, việc chứng minh định lý Bernstein siêu mặt cực tiểu Rn xem giải xong Trong lý thuyết mặt cực tiểu, định lý Bernstein định lý Vì vậy, câu hỏi tự nhiên đặt liệu có định lý kiểu Bernstein không gian khác với Rn đa tạp Riemann, khơng gian Lorentz-Minkowski, khơng gian tích cong, đa tạp với mật độ, Hoàn toàn tương tự, định lý Bernstein phát biểu cho siêu mặt cực đại không gian Lorentz-Minkowski Rn+1 Khác với định lý Bernstein n+1 mặt cực tiểu R , mặt cực đại không gian Lorentz-Minkowski Rn+1 , định lý Bernstein với n (xem [8]) Các nhà Toán học mở rộng định lý Bernstein để thu định lý kiểu Bernstein theo nhiều cách khác Đối với đa tạp cực tiểu không gian Ơclit, ta có kết J Simons (xem [46]), Ecker-Huisken (xem [24]) cho trường hợp đối chiều kết Chern - Osserman (xem 64 Đối với m-shrinker kiểu đồ thị toàn phần Σ Rn , từ tính chất tăng trọng thể tích kiểu đa thức, ta có đánh giá sau: Bổ đề 3.4.2.4 lim e− R2 R→∞ X, ν dV = ∂(BR ∩Σ) Chứng minh Thật vậy, ta có XN ; ∆Σ |X|2 = X, ∆Σ X + 2|∇Σ X|2 = X, H + 2m = 2m − |X N |2 ; ∆Σ X = H = − ∇Σ |X|2 = 2X T Do divΣ (X T ) dV = BR ∩Σ divΣ BR ∩Σ ∇Σ |X|2 dV = ∆Σ |X|2 dV = BR ∩Σ (m − |X N |2 ) dV BR ∩Σ Mặt khác, ta lại có divΣ (X T ) dV = BR ∩Σ X T , ν dV = ∂(BR ∩Σ) X, ν dV, ∂(BR ∩Σ) ν pháp đơn vị hướng ngồi ∂(BR ∩ Σ) Vì vậy, ta suy 0≤ X, ν dV = ∂(BR ∩Σ) (m − |X N |2 ) dV ≤ m BR ∩Σ dV ≤ mCRm , BR ∩Σ hay ≤ e− R2 X, ν dV ≤ e− R2 mCRm ∂(BR ∩Σ) Vậy lim e− R→∞ R2 X, ν dV = ∂(BR ∩Σ) Bổ đề chứng minh xong n Tương tự m-phẳng qua gốc tọa độ G , ta thu đánh giá f -thể tích m-shrinker kiểu đồ thị toàn phần Σ Rn sau: Mệnh đề 3.4.2.5 Mệnh đề 3.4.2.2 Σ m-shrinker kiểu đồ thị toàn phần Rn 65 Chứng minh Từ (3.4.1), ta có divΣ (e−f X) dV = m e−f dV − BR ∩Σ BR ∩Σ e−f |X T |2 dV BR ∩Σ Sử dụng định lý divergence tổng quát, ta có divΣ (e−f X) dV = e−f X, ν dV − BR ∩Σ ∂(BR ∩Σ) e−f H, X dV BR ∩Σ Do đó, e−f dV = m BR ∩Σ e−f X, ν dV + ∂(BR ∩Σ) e−f |X T |2 dV BR ∩Σ e−f H, X dV − BR ∩Σ Vì Σ m-shrinker Rn , nghĩa là, H + X N = 0, H, X = − N X , X = − |X N |2 2 Suy m e−f dV = BR ∩Σ e−f X, ν dV + ∂(BR ∩Σ) =e − R4 X, ν dV + ∂(BR ∩Σ) e−f |X T |2 dV + BR ∩Σ e−f |X|2 dV e−f |X N |2 dV BR ∩Σ (3.4.4) BR ∩Σ Mà theo Bổ đề 3.4.2.4, ta có lim e− R→∞ R2 X, ν dV = ∂(BR ∩Σ) Lấy giới hạn hai vế (3.4.4) R dần vô cùng, ta có e−f |X|2 dV 2m Volf Σ = Σ Vì vậy, Mệnh đề 3.4.2.2 Σ m-shrinker kiểu đồ thị toàn phần Rn Định lý sau cho ta chặn khoảng cách từ gốc tọa độ O đến m-shrinker kiểu đồ thị tồn phần Rn Nó m-shrinker kiểu đồ thị toàn phần Rn nằm không xa gốc tọa độ 66 Định lý 3.4.2.6 Cho Σ m-shrinker kiểu đồ thị tồn phần Rn Khi đó, khoảng cách từ gốc tọa độ đến Σ, d(O, Σ), thỏa mãn d(O, Σ) < √ 2m Do đó, m-shrinker kiểu đồ thị tồn phần Rn nằm khơng q xa gốc tọa độ √ Chứng minh Gọi k = 2m Bk hình cầu n-chiều tâm O bán kính k Do Σ đồ thị tồn phần nên dễ thấy 2m = k ≤ |X|2 , ∀X ∈ Σ − Bk ∃X ∈ Σ − Bk cho 2m < |X|2 (3.4.5) Từ Mệnh đề 3.4.2.5, ta có e−f (2m − |X|2 ) dV = Σ e−f (2m − |X|2 ) dV + Σ∩Bk e−f (2m − |X|2 ) dV = Σ−Bk Từ (3.4.5) ta suy tích phân cuối âm, nên tích phân đầu dương Do đó, √ Σ ∩ Bk = ∅ d(O, Σ) < 2m Vì vậy, m-shrinker kiểu đồ thị tồn phần Rn nằm khơng xa gốc tọa độ Cuối cùng, phần 3.4.3 sau đây, luận án trình bày số kết kiểu nửa không gian shrinker đối chiều đối chiều cao Đây kết luận án trích phần từ [30] 3.4.3 Một số kết kiểu nửa không gian Trong [6], M P Cavalcante J M Espinar mở rộng định lý halfspace (định lý nửa không gian) cổ điển Hoffman-Meeks shrinker đối chiều 1, phát biểu sau: “Cho P siêu phẳng qua gốc tọa độ Khi có shrinker Σ nhúng proper, chứa phần nửa không gian đóng xác định P, Σ = P.” Trong phần này, số kết kiểu nửa không gian mặt Σ xét m-shrinker nhúng proper, đầy đủ Rn (n > m) Ở đây, nửa không gian nửa khơng gian đóng, chứa siêu mặt biên Lớp mặt Σ chứa tất đồ thị toàn phần mặt compact Rn Chú ý rằng, tính chất proper shrinker Σ trường hợp tương đương với tính chất tăng trọng thể tích kiểu đa thức Σ (xem [9]) Trước hết, có bổ đề sau Bổ đề chứng minh T H Colding W P Minicozzi II trường hợp đối chiều cách sử dụng 67 toán tử f -Laplace (xem [11]) Trong trường hợp đối chiều cao, việc chứng minh hoàn toàn tương tự Bổ đề 3.4.3.1 ([4], Lemma 2.4) Nếu Σm ⊂ Rn đa tạp đầy đủ N không biên thỏa mãn điều kiện tăng trọng thể tích kiểu đa thức có H + X2 = (|X|2 − 2m)e− |X|2 (3.4.6) = 0; Σ Xe− |X|2 X|X|2 e− =0= Σ |X|2 (3.4.7) ; Σ (|X|4 − 2m(2m + 4) − 16|H|2 )e− |X|2 = Σ Hơn nữa, w vectơ Rn X, w e− |X|2 |wT |2 e− =2 Σ |X|2 (3.4.8) Σ Từ Bổ đề 3.4.3.1, thu số kết kiểu nửa không gian trường hợp sau: (i) Nửa không gian xác định siêu phẳng qua gốc tọa độ Từ (3.4.7), ta có Xe− |X|2 = 0, Σ nghĩa xi e− |X|2 (3.4.9) = 0, i = 1, 2, , n Σ Do đó, ta thu kết sau: Định lý 3.4.3.2 (Kết kiểu nửa không gian siêu phẳng) Σm khơng thể nằm phía siêu phẳng P qua gốc tọa độ trừ Σm ⊂ P Chứng minh Khơng tính tổng qt ta giả sử siêu phẳng P qua gốc tọa độ có phương trình xn = Rõ ràng Σm ⊂ P Σm nằm phía siêu phẳng P Ngược lại, Σm P, giả sử Σm nằm phía siêu phẳng P, ∀X(x1 , , xn ) ∈ Σm , ta có xn ≥ xn ≤ 0, ∃X(x1 , , xn ) ∈ Σm cho tương ứng xn > xn < Suy xn e − Σ |X|2 >0 xn e − Σ |X|2 < 68 Điều mâu thuẫn với (3.4.9) nên Σm khơng thể nằm phía siêu phẳng P Vậy Σm khơng thể nằm phía siêu phẳng P qua gốc tọa độ trừ Σm ⊂ P Hệ 3.4.3.3 Cho P siêu phẳng qua gốc tọa độ, Σm ∩ P = ∅ Chứng minh Nếu Σm ⊂ P rõ ràng Σm ∩ P = ∅ Ngược lại, Σm P theo Định lý 3.4.3.2 Σm khơng thể nằm phía siêu phẳng P, ta có Σm ∩ P = ∅ Hệ 3.4.3.4 Nếu tồn n − m vectơ vi trực chuẩn sho X, vi ≥ Σm m-phẳng Chứng minh Gọi Pi , i = 1, , n − m siêu phẳng qua gốc tọa độ nhận vi làm vectơ pháp Khi đó, điều kiện X, vi ≥ tương đương với Σm nằm phía siêu phẳng Pi Do đó, theo Định lý 3.4.3.2 ta có n−m Σm ⊂ Pi , i = 1, , n−m Suy Σm ⊂ i=1 Pi Mặt khác, vi , i = 1, , n−m n − m vectơ trực chuẩn Rn nên P = n−m i=1 Pi m-phẳng Mà dim Σm = m Σm ⊂ P, nên Σm = P (ii) Nửa không gian xác định siêu cầu Từ công thức (3.4.6) (|X|2 − 2m)e− |X|2 = 0, Σ ta suy kết sau: Định lý 3.4.3.5 (Kết kiểu nửa không gian siêu cầu) Σm nằm bên ngồi bên hình cầu đóng B n (O, √ trừ Σm ⊂ S n−1 (O, 2m) √ √ 2m) Chứng minh Nếu Σm S n−1 (O, 2m), giả sử Σm nằm bên bên √ B n (O, 2m), ∀X ∈ Σm , ta có |X|2 ≥ 2m |X|2 ≤ 2m, nữa, ∃X ∈ Σm cho tương ứng ta có |X|2 > 2m |X|2 < 2m Suy (|X|2 − 2m)e− Σ |X|2 >0 (|X|2 − 2m)e− Σ |X|2 < 69 Điều mâu thuẫn với (3.4.6) nên Σm nằm bên bên √ B n (O, 2m) √ Vậy Σm khơng thể nằm bên ngồi bên B n (O, 2m) trừ Σm ⊂ S n−1 (O, √ 2m) Hệ 3.4.3.6 Nếu Σm ⊂ S k (O, R), k ≥ m R = √ 2m Chứng minh Vì Σm ⊂ S k (O, R), nên ∀X(x1 , , xn ) ∈ Σm , ta có X(x1 , , xn ) ∈ S k (O, R), |X|2 = R2 Kết hợp với (3.4.6), ta suy (|X|2 − 2m)e− |X|2 = (R2 − 2m)e− R2 Vol(Σ) = Σ Do R2 = 2m hay R = √ 2m Hệ 3.4.3.7 Nếu Σm khơng compact d(O, Σm ) < √ 2m Chứng minh Ta có Σm mặt proper, nghĩa với tập compact K ⊂ Rn cho ta tập Σm ∩ K compact Trước tiên, cần Σm không bị chặn Thật vậy, giả sử ngược lại, Σm bị chặn, tồn R > cho Σm ⊂ B n (O, R) Mặt khác, hình cầu đóng B n (O, R) ⊂ Rn tập compact, nên theo tính proper Σm ta có Σm ∩ B n (O, R) = Σm compact Điều mâu thuẫn với việc Σm khơng compact Do đó, Σm khơng bị chặn Vì Σm khơng bị chặn nên Σm B n (O, √ 2m), ∃X ∈ Σm cho |X|2 > 2m Mặt khác (3.4.6) khẳng định (|X|2 − 2m)e− |X|2 = Σ Suy ra, ta có ∃X ∈ Σm cho |X|2 < 2m Vì d(O, Σm ) < √ 2m (iii) Nửa không gian xác định siêu trụ Từ công thức X, w e− |X|2 |wT |2 e− =2 Σ |X|2 , Σ lấy w = ei , ta có x2i e− Σ |X|2 |eTi |2 e− =2 Σ |X|2 (3.4.10) 70 Từ (3.4.6) (3.4.10), suy n x2i [|X| − Σ − |X| − 2m]e n |eTi |2 e− = −2 |X|2 Σ i=k+1 i=k+1 hay n x2i [|X| − Σ n − 2(m − (n − k))]e − |X| − |e⊥ i | e =2 |X|2 (3.4.11) Σ i=k+1 i=k+1 Ta thu kết sau: Định lý 3.4.3.8 (Kết kiểu nửa không gian siêu trụ) √ Cho Σm nằm bên mặt trụ S k−1 ( 2m) × Rn−k ⊂ Rn , với k ∈ {m + √ 1, , n} Khi Σm ⊂ S k−1 ( 2m) Đặc biệt, k − = m, Σm = √ S m ( 2m) Chứng minh Ta có √ S k−1 ( 2m) × Rn−k = {X = (x1 , , xn ) ∈ Rn : x21 + · · · + x2k = 2m} √ Mà Σm nằm bên ngồi S k−1 ( 2m) × Rn−k , nên x21 + · · · + x2k ≥ 2m, ∀X = (x1 , , xn ) ∈ Σm Do |X|2 − 2m ≥ 0, ∀X = (x1 , , xn ) ∈ Σm Ta lại có (3.4.6) khẳng định (|X|2 − 2m)e− |X|2 = Σ Suy x21 + · · · + x2k = 2m √ xk+1 = = xn = 0, ∀X = (x1 , , xn ) ∈ Σm √ Vì Σm ⊂ S k−1 ( 2m) Đặc biệt, k − = m, Σm = S m ( 2m) Định lý 3.4.3.9 (Kết kiểu nửa không gian siêu trụ) √ Σm khơng thể nằm bên ngồi mặt trụ S k−1 ( 2m) × Rn−k ⊂ Rn , với k ∈ {2, , m} 71 √ Chứng minh Thật vậy, giả sử ta có Σm nằm bên ngồi mặt trụ S k−1 ( 2m)× Rn−k ⊂ Rn Khi đó, theo lập luận chứng minh Định lý 3.4.3.8, ta suy √ Σm ⊂ S k−1 ( 2m) Điều mâu thuẫn ta lại có √ m = dim Σm > dim S k−1 ( 2m) = k − 1, với k ∈ {2, , m} √ Do Σm khơng thể nằm bên ngồi mặt trụ S k−1 ( 2m) × Rn−k ⊂ Rn , với k ∈ {2, , m} Định lý 3.4.3.10 (Kết kiểu nửa không gian siêu trụ) Cho Σm nằm bên hình trụ đóng B k (R)× Rn−k ⊂ Rn , với k > n−m R = 2(m − (n − k)) Khi Σm ⊂ S k−1 (R) × Rn−k ⊂ Rn Chứng minh Do Σm nằm hình trụ đóng B k (R) × Rn−k ⊂ Rn , nên ∀X(x1 , , xn ) ∈ Σn , ta có x21 + + x2k ≤ R2 hay n x2i ≤ 2(m − (n − k)) |X| − i=k+1 Thay vào (3.4.11), ta có đánh giá n 0≤2 n 2 − |X| |e⊥ i | e [|X| − = Σ Σ i=k+1 x2i − 2(m − (n − k))]e− |X|2 ≤ i=k+1 Suy ∀X(x1 , , xn ) ∈ Σn , ta có n x2i = 2(m − (n − k)), |X| − i=k+1 hay x21 + + x2k = 2(m − (n − k)), ∀X(x1 , , xn ) ∈ Σn Vì Σm ⊂ S k−1 (R)× Rn−k ⊂ Rn , với k > n−m R = 2(m − (n − k)) 72 3.5 Kết luận Chương Trong Chương 3, luận án giải vấn đề sau: - Trình bày sơ lược khái niệm tính chất số khơng gian tích với mật độ mà luận án nghiên cứu - Phát biểu chứng minh số kết mặt f -cực tiểu không gian tích cong R+ ×w Gn : tính cực tiểu diện tích với mật độ silce (địa phương R+ ×w Rn với mật độ e−f (x) , x ∈ Rn tồn cục R+ ×w Gn ) (Định lý 3.2.1.1 Định lý 3.2.2.1); định lý kiểu Bernstein khơng gian tích cong R+ ×a Gn G+ ×a Gn (Hệ 3.2.3.2, Định lý 3.2.4.2) - Phát biểu chứng minh số kết mặt f -cực đại không gian tích Lorentz Gn × R1 Đặc biệt định lý kiểu Calabi-Bernstein (Định lý 3.3.2.4) - Phát biểu chứng minh số kết mặt f -cực tiểu đối chiều cao: + Đưa chặn khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đồ thị toàn phần dạng m-shrinker Rn (Định lý 3.4.2.6); + Thu số kết kiểu nửa không gian m-shrinker (cả đối chiều đối chiều cao) nhúng proper, đầy đủ Rn (n > m) Các kết xét nửa không gian xác định bởi: siêu phẳng qua gốc tọa độ (Định lý 3.4.3.2), siêu cầu (Định lý 3.4.3.5), siêu trụ (Định lý 3.4.3.8, Định lý 3.4.3.9, Định lý 3.4.3.10) Các kết có ý nghĩa mặt khoa học thực tiễn, chúng góp phần giải tốn khảo sát tính chất mặt f -cực tiểu khơng gian tích nói chung khơng gian tích với mật độ nói riêng, đồng thời mở rộng định lý cổ điển tiếng định lý Bernstein hay CalabiBernstein, định lý halfspace lên cho mặt f -cực tiểu mặt f -cực tiểu đối chiều cao khơng gian tích Tất hướng đến giải gần trọn vẹn mục đích nghiên cứu mà luận án đặt 73 KẾT LUẬN CHUNG VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận chung Luận án đạt kết sau: - Thiết lập số kết mối liên hệ mặt f -cực tiểu nghiệm tự đồng dạng (co rút tịnh tiến) dòng độ cong trung bình (Mệnh đề 2.4.1.1 Mệnh đề 2.4.2.1) - Chứng minh tính chất f -cực tiểu diện tích địa phương R+ ×w Rn với mật độ e−f (x) , x ∈ Rn f -cực tiểu diện tích tồn cục R+ ×w Gn slice (Định lý 3.2.1.1 Định lý 3.2.2.1) - Thiết lập chứng minh định lý kiểu Bernstein: khơng gian tích cong với mật độ R+ ×a Gn , G+ ×a Gn (Hệ 3.2.3.2, Định lý 3.2.4.2); khơng gian tích Lorentz với mật độ Gn × R1 (Định lý 3.3.2.4) - Phát biểu chứng minh số kết mặt f -cực tiểu đối chiều cao: + Đưa chặn khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đồ thị toàn phần dạng m-shrinker Rn (Định lý 3.4.2.6); + Thu số kết kiểu nửa không gian m-shrinker (cả đối chiều đối chiều cao) nhúng proper, đầy đủ Rn (n > m) Các kết xét nửa không gian xác định bởi: siêu phẳng qua gốc tọa độ (Định lý 3.4.3.2), siêu cầu (Định lý 3.4.3.5), siêu trụ (Định lý 3.4.3.8, Định lý 3.4.3.9, Định lý 3.4.3.10) Kiến nghị hướng nghiên cứu Về mặt chuyên môn, dự định nghiên cứu tiếp vấn đề sau: - Xây dựng định lý kiểu Bernstein đa tạp tích cong với mật độ tổng quát - Xây dựng định lý kiểu Bernstein cho mặt đối chiều cao khơng gian tích với mật độ 74 DANH MỤC CƠNG TRÌNH NGHIÊN CỨU LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI Nguyễn Thị Mỹ Duyên (2017) Siêu mặt f-cực tiểu nghiệm tự đồng dạng dòng độ cong trung bình Kỷ yếu Hội thảo Khoa học cho học viên cao học nghiên cứu sinh năm học 2017-2018 NXB Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh, 9-19 An, H V Q., Cuong, D V., Duyen, N T M., Hieu, D T., Nam, T L (2017) On entire f -maximal graphs in the Lorentzian product Gn × R1 J Geom Phys., 114, 587-592 Duyen, N T M (2020) Some results on slices and entire graphs in certain weighted warped products East-West J of Mathematics, 22(1), 76-85 Duyen, N T M and Loan, N T T (2021) On the distance from the origin to an entire graphic m-shrinker Differential Geometry - Dynamical Systems, 23, 52-58 Hieu, D T and Duyen, N T M (2020) Halfspace type theorems for selfshrinkers in arbitrary codimension arXiv:2012.04509v5 Các kết luận án báo cáo thảo luận tại: Hội thảo Khoa học cho học viên cao học nghiên cứu sinh năm học 20162017 Hội thảo Khoa học cho học viên cao học nghiên cứu sinh năm học 20172018 Hội nghị Toán học Miền Trung - Tây Nguyên lần thứ 2, Đà Lạt, năm 2017 Đại hội Toán học toàn quốc lần thứ IX, Nha Trang, năm 2018 Hội nghị Toán học đổi phương pháp dạy học năm 2018, ĐH Sư phạm Tp.HCM Hội nghị Đại số - Lý thuyết số - Hình học Tôpô (DAHITO), Bà Rịa - Vũng Tàu, năm 2019 75 TÀI LIỆU THAM KHẢO Aledo, J A., Romero, A., Rubio, R M (2014) Constant mean curvature spacelike hypersurfaces in Lorentzian warped products and Calabi–Bernstein type problems Nonlinear Anal., 106, 57-69 Almgren, F J (1966) Some interior regularity theorems for minimal surfaces and an extension of Bernstein’s theorem Ann of Math., 84(2), 277-292 An, H V Q., Cuong, D V., Duyen, N T M., Hieu, D T., Nam, T L (2017) On entire f -maximal graphs in the Lorentzian product Gn × R1 J Geom Phys., 114, 587-592 Arezzo, C., and Jun, S (2013) Self-shrinkers for the mean curvature flow in arbitrary codimension Math Z., 274, 993-1027 Bombieri, E., De Giorgi, E and Giusti, E (1969) Minimal cones and the Bernstein problem Invent Math., 7, 243-268 Cavalcante, M P and Espinar, J M (2016) Halfspace type theorems for self-shrinkers Bull Lond Math Soc., 48(2), 242-250 Cheng, Q M and Wei, G (2014) The gauss image of λ-hypersurfaces and a Bernstein type problem arXiv:1410.5302 Cheng, S Y and Yau, S T (1976) Maximal spacelike hypersurfaces in the Lorentz-Minkowski spaces Ann of Math., 104, 407-419 Cheng, X and Zhou, D (2013) Volume estimate about shrinkers Proceedings of the American Mathematical Society, 141(2), 687-696 10 Chern, S S and Osserman, R (1967) Complete minimal surfaces in Euclidean n-space J Analyse Math., 19(1), 15-34 11 Colding, T H and Minicozzi, W P (2012) Generic mean curvature flow I: generic singularities Ann of Math., 175(2), 755-833 12 Colding, T H., Minicozzi, W P and Pedersen, E K (2015) Mean curvature flow Bull Amer Math Soc (N.S.), 52(2), 297–333 13 Collin, P., Hauswirth, L., Rosenberg, H (2015) Properly immersed minimal surfaces in a slab of H × R, H the hyperbolic plane Arch Math (Basel), 104(5), 471–484 76 14 Corwin, I., Hoffman, N., Hurder, S., Sesum, V., and Xu, Y (2006) Differential geometry of manifolds with density Rose-Hulman Und Math J., 7(1), 19881989 15 Corwin, I and Morgan, F (2011) The Gauss-Bonnet formula on surfaces with densities Involve, 4(2), 199-202 16 Csikós, B (2014) Differential geometry Lecture Notes and Workbooks for Teaching Undergraduate Mathematics Eoătoăs Loránd University 17 De Giorgi, E (1965) Una estensione del teorema di Bernstein (Italian) Ann Scuola Norm Sup Pisa Cl Sci., 19(1), 79-85 18 Do Carmo, M P (2016) Differential geometry of curves and surfaces: revised and updated second edition Courier Dover Publications 19 Nguyễn Thị Mỹ Duyên (2013) Toán tử Laplace với mật độ Tạp chí Khoa học Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế, 02(26), 15-24 20 Nguyễn Thị Mỹ Duyên (2017) Siêu mặt f-cực tiểu nghiệm tự đồng dạng dòng độ cong trung bình Kỷ yếu Hội thảo Khoa học cho học viên cao học nghiên cứu sinh năm học 2017-2018 NXB Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh, 9-19 21 Duyen, N T M (2020) Some results on slices and entire graphs in certain weighted warped products East-West J of Mathematics, 22(1), 76-85 22 Duyen, N T M and Loan, N T T (2021) On the distance from the origin to an entire graphic m-shrinker Differential Geometry - Dynamical Systems, 23, 52-58 23 Ecker, K and Huisken, G (1989) Mean curvature evolution of entire graphs Ann of Math., 130(3), 453-471 24 Ecker, K and Huisken, G (1990) A Bernstein result for minimal graphs of controlled growth J Differential Geom., 31(2), 397-400 25 Fischer-Colbrie, D (1980) Some rigidity theorems for minimal submanifolds of the sphere Acta Math., 145(1), 29-46 26 Gromov, M (2003) Isoperimetry of waists and concentration of maps Geom Funct Anal., 13(1), 178-215 27 Halldórsson, H P (2013) Self-similar solutions to the mean curvature flow in Euclidean and Minkowski space Thesis (Ph.D.)–Massachusetts Institute of Technology ProQuest LLC, Ann Arbor, MI, (no paging) 77 28 Hieu, D T (2020) A weighted volume estimate and its application to Bernstein type theorems in Gauss space Colloq Math., 159(1), 25-28 29 Hieu, D T (2011) Some calibrated surfaces in manifolds with density J Geom Phys., 61(8), 1625–1629 30 Hieu, D T and Duyen, N T M (2020) Halfspace type theorems for selfshrinkers in arbitrary codimension arXiv:2012.04509v5 31 Hieu, D T., Hoang, N M (2009) Ruled minimal surfaces in R3 with density ez Pacific J Math., 243(2), 277-285 32 Hieu, D T., Nam, T L (2014) Bernstein type theorem for entire weighted minimal graphs in Gn × R J Geom Phys., 81, 87–91 33 Hieu, D T., Nam, T L (2008) On the four vertex theorem in planes with radial density eϕ(r) Colloq Math., 113, 169-174 34 Hildebrandt, S., Jost, J and Widman, K O (1980) Harmonic mappings and minimal submanifolds Invent Math., 62(2), 269-298 35 Hoffman, D and Meeks, W H (1990) The strong halfspace theorem for minimal surfaces Invent Math., 101(1), 373-377 36 Huang, G., Zhang, C and Zhang, J (2011) Liouville type theorem for the drifting Laplacian operator Arch Math (Basel), 96(4), 379-385 37 Jost, J and Xin, Y L (1999) Bernstein type theorems for higher codimension Calc Var Partial Differential Equations, 9(4), 277-296 38 Lee, J M (2006) Riemannian manifolds: an introduction to curvature Springer Science and Business Media, 176 39 Lopez, R (2014) Differential geometry of curves and surfaces in LorentzMinkowski space Int Electron J Geom., 7(1), 44-107 40 Morgan, F (2005) Manifolds with density Notices of the AMS, 52(8), 853858 41 Olver, P J (2016) Introduction to the Calculus of Variations University of Minnesota 42 O’Neill, B (1983) Semi-Riemannian Geometry with Applications to Relativity Academic Press, London 43 Osserman, R (1986) A survey of minimal surfaces Dover Publications, Inc., New York 78 44 Rosenberg, H., Schulze, F., Spruck, J (2013) The half-space property and entire positive minimal graphs in M × R J Differential Geom., 95(2), 321– 336 45 Salamanca, J J and Salavessa, I M (2015) Uniqueness of φ-minimal hypersurfaces in warped product manifolds J Math Anal Appl., 422(2), 13761389 46 Simons, J (1968) Minimal varieties in riemannian manifolds Ann of Math., 88, 62-105 47 Wang, L (2011) A Bernstein type theorem for self-similar shrinkers Geom Dedicata, 151, 297-303 48 Wang, M T (2003) On graphic Bernstein type results in higher codimension Trans Amer Math Soc., 355(1), 265-271 49 White, B (2013) Lectures on minimal surface theory arXiv preprint arXiv:1308.3325 50 Xin, Y (2003) Minimal submanifolds and related topics World Scientific 51 Zhou, H (2015) Some Bernstein Type Results of Graphical Self-Shrinkers with High Codimension in Euclidean Space Thesis (Ph.D.)-City University of New York ProQuest LLC, Ann Arbor, MI, 74 pp ... bình siêu mặt f -cực tiểu khơng gian với mật độ log-tuyến tính (Mệnh đề 2.4.2.1) 34 Chương MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ MẶT f -CỰC TIỂU TRONG CÁC KHƠNG GIAN TÍCH Trong chương này, tác giả trình bày kết mà... gặp không gian Gauss, không gian với mật độ cầu không gian với mật độ log-tuyến tính - Giới thiệu sơ lược mặt f -cực tiểu, số ví dụ tổng hợp số kết quan trọng mặt f -cực tiểu như: + Một siêu mặt. .. silce số khơng gian tích cong với mật độ; số định lý kiểu Bernstein cho siêu mặt f -cực tiểu (f -cực đại); cuối số kết liên quan đến định lý kiểu Bernstein kết kiểu nửa không gian cho mặt f -cực tiểu