Vài khái niệm liên quan đến quá trình ngẫu nhiên
Quá trình đo được dần
Cho một không gian xác suất được lọc (Ω,(F t ) t≥0 ,P) Gọi B [0,1] là σ- trường Borel trên đoạn [0, t].
Cho một quá trình ngẫu nhiên X = (X t ) t∈ R + = [0,∞).
Xét hạn chế của X trên đoạn [0,1], Với một t cố định thuộc R + Vậy ta có ánh xạ X : [0, t]×Ω →R Trên trường tích phân [0,1]×Ω ta xét σ-trường tích B [0,1] ×Ft.
Nếu X đo được đối với trường tích σ- trường tích ấy với mỗi t∈ R + thì quá trình X gọi là quá trình đo được dần.
Quá trình khả đoán
a σ-trường khả đoán σ-trường khả đoán là σ-trường nhỏ nhất các tập con của R + × Ω mà đối với nó, mọi quá trình liên tục trái đều đo được:
• X = (X t ) = (X(t,Ω)) t∈ R + , ω ∈ Ω liên tục trái⇒ X là P đo được
• P− là σ-trường nhỏ nhất trong các tập con của R + × Ω có tính chất ấy. b.Quá trình khả đoán
Quá trình ngẫu nhiên X = (X, ω) thích nghi (F t ).
Nếu hàm (t;ω)×(t;ω) (từ R + × Ω ×R) là P- đo được thì ta nói X là hàm khả đoán đối với (Ft).
Các quá trình hoàn toàn đo được
σ-trường các tập hoàn toàn đo được trên R + × Ω, ký hiệu là O, bao gồm các tập con của (R + × Ω) và là σ-trường nhỏ nhất đảm bảo mọi quá trình liên tục bên phải và có giới hạn bên trái đều được đo được Nếu X = (X(t, ω)) là một ánh xạ đo được từ (R + × Ω, O) vào (R, BR), thì X được gọi là một quá trình Optional, hay hoàn toàn đo được.
Quá trình ngẫu nhiên
Một quá trình ngẫu nhiên (X, t ≥ 0) được định nghĩa là một hàm hai biến X(t, ω) trên tích R + × Ω, nhận giá trị trong R Nó cũng là một hàm đo được đối với σ-trường tích B R + × F, với B R + là σ-trường tích các tập Borel trên.
R + = [0, ∞). Điều đó có nghĩa là với một tập Borel B trên R thì tập hợp
{(t, ω) ∈ R + × Ω : X (t, ω) ∈ B} là một phần tử của σ-trường tích B R + ×F, σ- trường tích nhỏ nhất chứa tập các tập con có dạng
Trong không gian [0, t]×A với t thuộc R dương và A thuộc F, khi cố định một yếu tố ngẫu nhiên ω trong tập hợp Ω, ánh xạ riêng phần t →X(t, ω) từ R dương vào R được gọi là quỹ đạo của quá trình ngẫu nhiên X(X t , t ≥0) tương ứng với yếu tố ngẫu nhiên ω đó.
(c) Nếu X nhận giá trị trong không gian R n (n ≥ 1)) thì ta có một quá trình ngẫu nhiên n-chiều.
(d) Trong tài chính, các quá trình chứng khoánS t , giá trái khoán P t , giá sản phẩm tỏi sinh C t ,ã ã ã đều được xem là cỏc quỏ trỡnh ngẫu nhiờn.
Quá trình thích nghi với một bộ lọc
a.Một họ các σ -trường con (Ft ≥ 0) của F,Ft ⊂ F, được gọi là một bộ lọc thỏa mãn các điều kiện thông thường nếu:
• đó là một họ đăng theo t,Fs ⊂ Ft tức là Fs ⊂ Ft, nếu s < t,
• họ đó là liên tục phải, tức là
Nếu A ∈ F và P(A) = 0, thì A thuộc F0 và do đó nằm trong mọi Ft Xét một quá trình ngẫu nhiên X = (Xt, t ≥ 0), ta có σ-trường FXt sinh bởi các biến ngẫu nhiên Xs với s ≤ t, tức là FXt = σ(Xs, s ≤ t) σ-trường này chứa đựng toàn bộ thông tin về diễn biến quá khứ của quá trình X cho đến thời điểm t, được gọi là bộ lọc tự nhiên của quá trình X hay lịch sử của X, cũng như là trường thông tin về X Thêm vào đó, một không gian xác suất (Ω, F, P) có thể được gắn thêm một bộ lọc.
Thời điểm Markov và quá trình dừng
Cho một không gian xác suất được bộ lọc (Ω,F, (Ft),P).
(a) Một biến ngẫu nhiên τđược gọi là một thời điểm Makov với mọi t ≥0
(b)Mọi thời điểm Makov τ được gọi là thời điểm dừng nếu τ là hữu hạn hầu chắc chắn, tức là :
Quá trình Wiener hay chuyển động Brown
Định nghĩa 1
Một quá trình ngẫu nhiên X = (X t , t ≥ 0) được gọi là một quá trình Wiener tiêu chuẩn hay chuyển động Brown, nếu X là một quá trình Gauss sao cho
(ii) Hàm tương quan R(s, t) =min(s, t).
Trong trường hợp tổng quát, một quá trình Wierer với tham số phương sai σ là một quá trình Gauss, quy tâm và hàm tự tương quan là
Định nghĩa 2
Một quá trình ngẫu nhiên X là một chuyển động Brown tiêu chuẩn nếu: (a) X 0 = 0 hầu chắc chắn.
(b) Hiệu X t −X s là một biến ngẫu nhiên chuẩn, kỳ vọng 0 và phương sai là t−s,(s < t).
(c) Các số gia X t 4 −X t 3 và X t 2 −X t 1 (với mọi t 1 ≤t 2 ≤t 3 ≤ 4 )là các biến ngẫu nhiên độc lập.
Trong trường hợp tổng quát, thì trong điều kiện (b), phương sai củaX t −X s là σ 2 (t−s).
Vài tính chất quan trọng của chuyển động Brown
Ta ký hiệu W = (W t , t ≥ 0) là một chuyển động Brown.
(a) W t là một martigale với một bộ lọc tự nhiên của nó (Ft), với Ft = F W t = σ(W s, s ≤ t) : σ-trường nhỏ nhất sinh bởi quá khứ của
W tính cho đến thời điểm t.
(b) Hầu chắc chắn là W t không khả vi theo t.
(c) chắc chắn là W t không có biến phân bị chặn trên bất cứ khoảng hữu hạn nào của t.
(d) W t tuân theo luật lôgarit-lặp như sau: lim sup t→∞
Các martingale quen biết tạo từ W
Cho W t là một chuyển động Brown và Ft = F W t Khi đó ta có 3 martingale quen biết là :
(a) Bản thân W t là một martingale đối với (Ft),
(b) W t 2 −t là một martingale đối với (Ft),
2 t là một martingale đối với (Ft).
Tích phân ngẫu nhiên Itô
Định nghĩa
Chof(t, ω) là một quá trình ngẫu nhiên và W t là một chuyển động Brown tiêu chuẩn ( một chiều, tất cả quỹ đạo của f và của W là xác định trên đoạn a ≤ t≤ b.
Xét một phân hoạch trên đạn [a, b] và lập tổng tích phân
Trong công thức tích phân, giá trị f(t i , ω) được xác định tại đầu mút bên trái của đoạn [t i , t i+1 ], không thể thay thế bằng giá trị f(s i , ω) tại một điểm bất kỳ s i trong đoạn này Điều này nhấn mạnh sự chính xác trong việc tính toán tích phân, đảm bảo rằng mỗi giá trị được sử dụng đều có vị trí xác định trong khoảng thời gian nhất định.
Các tính chất quan trọng của Itô
# c) Bản thân tích phân Itô X t t
0 f(t, ω)dW s , là một martingale đối với trường σ−trường F W t
Tích phân Itô nhiều chiều
Vectơ ngẫu nhiờn W t = (W t 1 ,ã ã ã W t n ) là một quỏ trỡnh Wiener n- chiều nếu:
(i) Với mỗi k ∈ {1,2,ã ã ã n}, W t k là một quỏ trỡnh Wiener 1- chiều.
(ii) Cỏc thành phần W t k (k = 1, ã ã ã , n) là những quỏ trỡnh ngẫu nhiờn độc lập.
1.6.3.2 Tích phân Itô nhiều chiều :
Giả sử b = [b ij (t, ω)] là ma trận m ×n sao cho mỗi b ij (t, ω) thuộc Nt.
0 bd W t là ma trận m×1 mà thành phần thứ i của nó là:
Tích phân Strantonovich
Các định nghĩa
Kí hiệu chuyển động Brown là W_t, và tích phân ngẫu nhiên Itô được định nghĩa thông qua giới hạn xác suất của tổng tích phân có dạng n−1.
Khi hàm mịn phõn hoạch D tựy ý :0 = t 0 < t 1 < ã ã ã < t n = t trong đú nhất thiết phải lấy giỏ trị f tại cỏc điểm t k (k = 0,ã ã ã , n−1)chứ khụng phải được lấy f(s k ) là một điểm tùy ý thuộc [t k , t k+1 ]
Nhưng nếu lấy S k = t k +t 2 k+1 thì có thể giới hạn khác :
Tích phân Stratonovich được định nghĩa bởi giới hạn theo xác suất của tổng tích phân n−1
2 )(W t k+1 −W t k ) trong đó |∆| = max|t k+1 −t k | → 0, nếu giới hạn đó tồn tại và kí hiệu là
Tuy nhiên, giới hạn này thường không tồn tại, ngay cả đối với các hàm f liên tục và thích nghi.
Nếu tồn tại, tích phân này không bằng tích phân Itô R f dW t Ngoài ra
E(I s (f)) nói chung 6=,và các mô men của I s (f) không dễ tính.
Tích phân Stratonovich có thể được định nghĩa bởi: t
2[f(t k ) + f(t k+1 )](W t k+1 −W t k ) (1.10) Trong đó |∆| = M ax|t i+1 −t i | trong phân hoạch bất kỳ
Nếu f khả vi liên tục thì định nghĩa 1 và định nghĩa 2 tương đương.
# (W t k+1 −W t k ) (1.11) Để triển khai rõ hơn nữa về tích phân Stranotovich ta đưa ra khái niệm quá trình có biến phân bậc 2:
Quá trình biến phân bậc 2
1.7.2.1.Định nghĩa a)ChoX t , t ∈ [0, T] là một quá trình liên tục Biến phân bậc 2 hXi t , t∈ [0, T] là một quá trình ngẫu nhiên xác định bởi hXi t = 0và hXi t − hXi s = lim
Nếu như giới hạn vế phải tồn tại hầu chắc chắn ,với:
D : s = t 0 < t 1 < ã ã ã < t n = t b)Biến phân bậc hai của hai quá trình X t và Y t được định nghĩa tương tự hX, Yi = 0,và hX, Yi t − hX, Yi s = lim n−1
Nếu giới hạn tồn tại hầu chắc chắn.
1.7.2.2.Tính chất của biến phân bậc
(ii) Đối xứng hX, Yi = hY, Xi
(iii) Song tuyến tính :ha 1 X 1 + a 2 X 2 , Yi = a 1 hX 1 , Yi+a 2 hX 2 , Yi
1.7.2.3 Biến phân của một quá trình
Mệnh đề a) NếuW t là chuyển động Brown, thìhWi t −hWi s = t−snói riênghWi t = t b)Nếu W t và W t 0 là các chuyển động Brown độc lập thì hW, W 0 i t = 0 với mọi t. c)Nếu X t Rt
0 g(r)dW r với s cố định thì hX, Yi t t
Trong một không gian xác suất, nếu W và W' là hai chuyển động Brown độc lập, thì kỳ vọng hiệp phương sai hX, Yi tại thời điểm t sẽ bằng 0 Nếu X_t là một semi-martingale liên tục, có thể phân tách thành M_t và Φ_t, trong đó M_t là một martingale liên tục và Φ_t là một quá trình thích nghi có biến phân bị chặn, thì hiệp phương sai hXi_t sẽ tồn tại và bằng hMi_t.
1.7.2.4.Liên hệ giữa tích phấn Stratonovich và tích phân Itô. Công thức liên hệ : t
Nói chung kỳ vọng của tích phân Strantonovich khác 0 Phương sai cũng dễ tính, nếu ta không chuyển về tích phân Itô.
MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ TÍNH TOÁN NGẪU NHIÊN
Vi phân ngẫu nhiên Itô và công thức Itô
Khái niệm quá trình Itô và vi phân Itô
Giả sử X = (X t , t ≥ 0) là một quá trình ngẫu nhiên thỏa mãn
(i) Hầu hết các quỹ đạo t →X t là liên tục;
(ii) Hầu chắc chắn có biểu diễn
Trong đó h và f là các quá trình ngẫu nhiên đo được dần sao cho các tích phân trong biểu diễn tồn tại.
Quá trình X được định nghĩa là một quá trình vi phân Itô, với vi phân Itô dX được biểu diễn dưới dạng dX t = h(t, ω)dt + f(t, ω)dW t Cụ thể, vi phân Itô dX có thể được rút gọn thành dX = hdt + f dW.
Công thức Itô là một công thức quan trọng trong giải tích ngẫu nhiên, cần thiết cho việc tính tích phân ngẫu nhiên, thực hiện các biến đổi ngẫu nhiên và giải các phương trình vi phân ngẫu nhiên.
Định lý
Cho X là một quá trình Itô với dX t = hdt+f dW t
Giả sử g(t, x) : R 2 → R là một hàm hai biến hai lần khả vi liên tục Khi đó quá trình ngẫu nhiên Y t = g(t, X t ) là một quá trình Itô cho bởi: dY t = ∂g
∂x 2 (t, X t )f 2 (t, ω)dt Công thức trên được gọi là công thức Itô và có dạng tương đương sau:
công thức Itô thu gọn
Khi đó Y t có vi phân Itô rút gọn sau dY t = 1
Cho dX t = f t dW t và Y t = U(t, X t ) với U(t, x) = e x
Khi đó ta có dY t = 1 2 f t 2 Y t dt+f t Y t dW t
2.1.3.2 Thí dụ dX t = f t dW t và Y t = U(t, X t ) với U(t, x)exp(x− t
2f u 2 du) Khi đó ta có dY t = f t Y t W t Thực vậy:
Mệnh đề
Cho vi phân Itô rút gọn dX t = f t dW t khi đó ta có: dX t 2n = n(2n−1)f t 2 X t 2n−2 dt+ 2nf t X t 2n−1 dW t (n≥ 1)
Theo công thức Itô thu gọn ta có: d(X t 2n ) = dY t
Hệ quả
d(W t 2n ) =n(2n−1)W t 2n−1 dt+ 2nW t 2n−1 dW t Để chứng minh ta lấy X t = W t tức là f t ≡ 1.
Công thức Itô giá trị véc tơ
Giả sử U : [0;T]×R d →R có các đạo hàm riêng ∂U ∂t ; ∂x ∂U i; ∂x ∂ 2 U i ∂x j đối với i, j = 1,2,ã ã ã , d và quỏ trỡnh vụ hướng (Y t ,0 ≤t ≤ T) được xỏc định bởi
Y t = U(t, X t ) =U(t, X t 1 , X t 2 ,ã ã ã , X t d ) Trong đó X t thỏa mãn dX t = h t dt+f t dW t h : [0;T]×Ω →R d f : [0;T]×Ω → R d×m
Khi đó vi phân ngẫu nhiên của Y t được cho bởi: dY t = (∂U
∂x i dW t j (2.5) Hay gọn hơn: dY t = (∂U
2T r(f t f t T 5[5])dt+5U T f t dW t Trong đó 5 là toán tử gradient
Mệnh đề
a.Giả sử X t 1 và X t 2 thỏa mãn các phương trình vi phân ngẫu nhiên vô hướng: dX t i = h i t +f t i dW t j (i = 1,2)(∗) và
U(t, x 1 , x 2 ) = x 1 x 2 Khi đó vi phân ngẫu nhiên đối với quá trình Y t = x 1 x 2 là: dY t = (h 1 t X t 2 +h 2 t X t 1 )dt+ (f t 1 X t 2 dW t 1 +f t 2 X t 1 )W t 2 b.Trong trường hợp khi W t 1 = W t 2 = W t thì vi phân của Y t là dY t = (h 1 t X t 2 +h 2 t X t 1 +f t 1 f t 2 )dt+ (f t 1 X t 2 +f t 2 X t 1 )dW t (2.6)
Hệ quả
Đối với các quá trình W t 1 và W t 2 độc lập ta có: dW t 1 dW t 2 = W t 2 dW t 1 +W t 1 dW t 2 Khi W t 1 = W t 2 = W t ta có: dW t 2 = 1.dt+ 2.W t dW t Chứng minh Áp dụng mệnh đề trên cho X t i = W t i (1 = 1,2)
Hệ quả
2cosW t dt+ (−sinW t )dW t d(sinW t ) =−1
2sinW t dt+ (cosW t )dW t Chứng minh Áp dụng công thức Itô cho U(x) = cosx, sinx và X t = W t
2(cosW t ) 00 dt+ (cosW t ) 0 dW t d(sinW t ) = (sinW t ) 00 dt+ (sinW t ) 0 dW t
Công thức Itô nhiều chiều
Quá trình Itô n− chiều là quá trình ngẫu nhiên vector liên tục
X t = (X 1 (t),ã ã ã , X n (t)) trờn (Ω,A,P) sao cho mỗi thành phần của nú là quá trình Itô:
Trong trường hợp {h i (t), i = 1,ã ã ã , n} và {f ij (t), i, j = 1,ã ã ã , n} là các thành phần của h và f, thỏa mãn điều kiện trong mục 1.6.3.1, ta nói rằng X t có vi phân ngẫu nhiên Biểu thức của nó được viết dưới dạng ma trận là dX t = hdt + f dW t.
Định lý(Công thức Itô tổng quát)
Cho dX t = hdt + f dW t là một vi phân ngẫu nhiên n - chiều Giả sử g(t, x) = g 1 (t, x),ã ã ã , g p (t, x) là ỏnh xạ hai lần khả vi liờn tục R + ìR n →
Khi đó quá trình Y(t, ω) = g(t, X t ) là một vi phân ngẫu nhiên p−chiều mà thành phần thứ k là Y k được cho bởi dY k = ∂g k
Một số tính toán ngẫu nhiên nhờ quy tắc vi phân Itô 21
2.1.12.1 Giả sử dX t = f t dW t và Y t = g(t, X t )trong đó g(t, x) = x 2n Khi đó: d(X 2n ) = n(2n−1)f t 2 X t 2n−2 dt+ 2nf t X t 2n−1 dW t Chứng minh Theo công thức vi phân Itô dY t = d(X t 2n ) = 1
2f t 2 g x 00 2dt+ f t g 0 x dW t Ở đây gg t 0 ; g x 0 = 2nx 2n−1 ; g x 2 00 = 2n(2n−1)x 2n−2
2.1.12.2 Xét trường hợp f t = 1 do đó dX t = dW t
Khi đó : d(W t 2n ) =n(2n−1)W t 2n−2 dt+ 2nW t 2n−1 dW t 2.1.12.3.Áp dụng công thức Itô choY t = g(X t )vớig(x) =cosx (hoặc sinx) và
2cosW t dt−sinW t dW t Tương tự ta có: d(sinW t ) = (sinW t ) 00 dt+ (sinW t ) 0 dW t
2sinW t dt+cosW t dW t 2.1.12.4 Áp dụng công thức Itô cho Y t = g(X t ) với g(x) =e x và xe x và
Phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính
Thí dụ
Xét phương trình Langevin có dạng dX t = −aX t dt+bdW t với X(t 0 ) =X 0
Trong đóa và blà các hằng số Phương trình đó gọi là phương trình Langevin. Ở đây ta có một phương trình với a 1 (t) = −a;a 2 (t) ≡ 0;b 1 (t) ≡ 0 và b 2 (t) ≡b
Vậy lời giải cơ bản của Φ t là : Φ t = Φ t,t 0 = exp[−a(t−t 0 )]
Và hệ thức (2.16) cho ta
Lời giải đó là một quá trình Orsnstein-Ulhenbeck.
Nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính đơn giản
Định lý
Nghiệm của hệ(2.19) trên [0;T] được biểu diễn dưới dạng
Trong đó Φ(t) là nghiệm cơ bản của phương trình
X˙(t) = A(t)X t Chứng minh Hệ (2.18) tương đương với hệ sau: dX t = A(t)X t dt+ (a(t)dt+B(t)dW t )
Sử dụng công thức (2.18) với vai trò của a(t) bây giờ là (a(t)dt+B(t)dW t ) ta được nghiệm của hệ (2.19) là:
Hệ quả
Nếu A(t) ≡ A thì công thức nghiệm là:
Chứng minh Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng là:
⇒(lnX t ) 0 = A Lấy tích phân hai vế ta được lnX t t
Do đó theo định lý 2.3.1 ta có nghiệm của phương trình vi phân trên đây là
Hệ quả
Trường hợp d = 1, m bất kỳ, nghĩa là các hàm hệ sốA(t) ∈ R;
Phương trình vi phân tuyến tính tổng quát
Bổ đề
Nghiệm của phương trình dX t = A(t)X(t)dt+B(t)X(t)dW t
Chứng minh Xét quá trình Itô với vi phân Itô dX t = A(t)− 1
! dt+B(t)dW t và quá trình Y t = e X t = g(X t ) với g(x) = e x
Theo công thức vi phân Itô
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Mệnh đề
Nếu dX 1 (t) =f 1 (t)dt+G 1 (t)dW t , dX 2 (t) =f 2 (t)dt+G 2 (t)dW t , thì dX 1 (t)X 2 (t) =X 1 (t)dX 2 (t) +X 2 (t)dX 1 (t) +G 1 (t)G 2 (t)dt
Mệnh đề
Nếu dX 1 (t) = f 1 (t)dt+ G 1 (t)dW t 1 dX 2 (t) = f 2 (t)dt+ G 2 (t)dW t 2 trong đó W t 1 và W t 2 độc lập thì dX 1 (t)dX 2 (t) = (X 1 (t)f 2 (t)+X 2 (t)f 1 (t))dt+X 1 (t)G 1 (t)dW t 2 +X 2 (t)G 1 (t)dW t 1
Chứng minh Áp dụng công thức Itô ta có dX 1 (t)X 2 (t) = X 1 (t)dX 2 (t) + X 2 (t)dX 1 (t) +dX 1 (t)dX 2 (t) và chú ý rằng:
(dW t ) 2 = dt, dtdW t = dW t dt = 0.
Hệ quả
Giả sử W t 1 và W t 2 là các quá trình Wiener độc lập, khi đó ta có: dW t 1 dW t 2 = W t 2 dW t 1 +W t 1 dW t 2 và khi
Định lý
! , là nghiệm của phương trình thuần nhất dΦ t = A(t)Φ t dt+ m
B i (t)Φ t dW t i Với giá trị đầu Φ t 0 = 1.
Hệ quả
Nghiệm của: a Phương trình thuần nhất dX t = A(t)X t + m
! b.Phương trình Ôtônôm thuần nhất (A(t) = A, B i (t) = B i ) dX t = AX t dt+ m
Một số phương trình vi phân ngẫu nhiên có thể giải dưới dạng hiển
Phương trình tuyến tính với nhiễu cộng tính
a.Hệ số không đổi: trường hợp thuần nhất dX t = −αX t dt+σdW t (α, σ : hằng số) (2.21) Lời giải : X t = e αt (X 0 + σ t
0 e αt dW t ) b.Hệ số không đổi: trường hợp không thuần nhất dX t = (aX t +b)dt+cbW t (a, b, c là các hằng số) (2.22) Lời giải: dX t = e at [X 0 + b a(1−e at ) +c t
0 e −at dW s ] (2.23) c.Hệ số biến đổi: dX t = [a(t)X t +b(t)]dt+ c(t)dW t
Với lời giải cơ bản: Φ t = Φ t,t 0 = exp t
Thí dụ: Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính với nhiễu cộng tính với các hệ số biến đổi sau đây: dX t "
# dt+b(1 +t) 2 dW t (2.24) trong đó b là hằng số cho trước.
Phương trình này có lời giải cơ bản là nghiệm của phương trình: Φ˙ = 2
1 +t 0 ) 2 Với lời giải tổng quát là:
T −t dt+ dW t Phương trình này có lời giải X t biểu diễn qua tích phân Itô như sau:
Phương trình tuyến tính với nhiễu nhân tính
a.Hệ số không đổi: trường hợp thuần nhất dX t = aX t dt+bX t dW t
Hai dạng quan trọng nhất thuộc trường hợp này là
Phương trình mũ Itô: dX t = 1
2X t dt+X t dW t (2.26) Với lời giải:
X t = X 0 e W t là phương trình chuyển dịch tự do dW t = X t dW t (2.27) với lời giải là
2) b.Hệ số không đổi: trường hợp không thuần nhất dX t = (aX t +c)dt+ (bX t +d)dW t (2.28)
Lời giải cơ bản: Φ t = exp[(a− b 2 2 )t+bdW t ].
0 Φ −1 s dW s ]. c.Hệ số biến đổi: trường hợp thuần nhất dX t = a(t)X t dt+d(t)X t dW t (2.29)
0 b(s)dW s ] d.Hệ số biến đổi: trường hợp không thuần nhất dX t = [a(t)X t +c(t)]dt+ [b(t)X t +d(t)]dW t Lời giải cơ bản: Φ t = Φ t,t 0 = exp
Phương trình có thể đưa về được phương trình Stranovich
Mệnh đề
Nhờ công thức trên ta có thể áp dụng các công thức của tích phân xác định trong giải tích cổ điển để tính tích phân Stranovich, chẳng hạn: t
Mệnh đề
Phương trình vi phân Itô dX t = 1
2b(X t )b 0 (X t dt+b(X t )dW t (b(x) là hàm khả vi cho trước) tương đương với phương trình Stranovich dX t = b(X t )◦dW t nghiệm tổng quát của phương trình Stranovich có dạng
Các thí dụ
Giải phương trình vi phân dX t = 1
2a 2 X t dt+adW t h(x) là nguyên hàm của 1 ax bằng h(x) = 1 alnx
2.6.3.2.Thí dụ 2 Cho phương trình Itô dX t = 1
Trong đó b(x) là hàm khả vi cho trước.
Theo mệnh đề trên, phương trình này có thể được giải bằng cách chuyển đổi về phương trình Stranovich đơn giản, dX t = d(X t )◦dW t, và áp dụng phương pháp giải tích cổ điển với dX t b(X t ) = dW t.
0 du b(u) là nguyên hàm của b(u) 1
Hay X t = h −1 (W t +h(X 0 )). Áp dụng công thức Itô cho X t ta có: dX t = 1
Giải phương trình phi tuyến dX t = −1
2e −2X t dt+e X t dW t nguyên hàm của e −x là h(x) x
0 du e −u = e x Vậy e X t −e X 0 = W t suy ra e X t = W t + e X 0 hay
1 a t dW t nguyên hàm của 1 aX t 1− 1 a là h(x) x
Luận văn thu được các kết quả chính sau đây:
1 Trình bày một số kiến thức về quá trình ngẫu nhiên và tích phân ngẫu nhiên với các nội dung:
• Quá trình đo được dần, khả đoán, hoàn toàn đo được, quá trình ngẫu nhiên thích nghi với bộ lọc, thời điểm Markov.
• Quá trình Wiener và một số tính chất liên quan.
• Tích phân Itô và các tính chất cơ bản của tích phân Itô của hàm ngẫu nhiên.
• Tích phân Stranotovich và mối liên hệ với tích phân Itô.
2 Đã trình bày một số vấn đề cơ bản về tính toán ngẫu nhiên với các nội dung:
• Trình bày một số kiến thức cơ bản về vi phân ngẫu nhiên và công thức vi phân Itô.
• Thiết lập công thức nghiệm của một số phương trình vi phân ngẫu nhiên dạng đơn giản.
• Đưa ra công thức nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên của tuyến tính tổng quát.
Nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính có thể được phân loại theo các dạng nhiễu khác nhau, bao gồm nhiễu cộng tính và nhiễu nhân tính Trong trường hợp thuần nhất, nghiệm có thể được xác định rõ ràng thông qua các phương pháp giải tích Đối với trường hợp không thuần nhất, việc tìm nghiệm trở nên phức tạp hơn, thường yêu cầu áp dụng các kỹ thuật như biến đổi Laplace hoặc phương pháp biến số tách biệt Ví dụ, trong một phương trình vi phân tuyến tính với nhiễu cộng tính, nghiệm có thể bị ảnh hưởng bởi các yếu tố bên ngoài, trong khi với nhiễu nhân tính, sự tương tác giữa các biến có thể dẫn đến những thay đổi đáng kể trong nghiệm Việc hiểu rõ các dạng nhiễu này là rất quan trọng để áp dụng đúng phương pháp giải và tìm ra nghiệm chính xác cho từng trường hợp cụ thể.
• Trình bày phương pháp giải một số phương trình vi phân có thể đưa về phương trình Stratonovich đơn giản với một số thí dụ cụ thể.