Các khái niệm cơ bản của lý thuyết ổn định
Hệ phương trình vi phân được xác định bởi x(t) = f(t, x), với t ≥ 0 và điều kiện ban đầu x(t0) = x0, trong đó x(t) ∈ Rn là trạng thái của hệ thống Hàm f: R+ × Rn → R+ là hàm véctơ liên tục theo t và có đạo hàm riêng cấp 1 liên tục theo các biến x1, x2, , xn.
Hệ phương trình vi phân (1.1) có nghiệm cho bởi công thức x(t) =x 0 + t
Nghiệm x(t) (với a < t < ∞) của hệ được coi là ổn định theo Lyapunov khi t tiến tới vô cực, nếu với mọi ε > 0 và t0 thuộc (a, +∞), tồn tại δ = δ(ε, t0) > 0 sao cho bất kỳ nghiệm y(t) của hệ thỏa mãn điều kiện ||y(t0) - x(t0)|| < δ thì nghiệm x(t) sẽ được xác định trong khoảng [t0, ∞) và các nghiệm này sẽ thỏa mãn bất đẳng thức nhất định.
Nghiệm x(t) (a < t < ∞) được coi là không ổn định theo Lyapunov khi t tiến tới vô cùng, nếu với mọi ε > 0 và t0 ∈ (a, ∞) có một δ > 0, tồn tại ít nhất một nghiệm yδ(t) và thời điểm t1 = t1(δ) > t0, sao cho ||yδ(t0) − x(t0)|| < δ nhưng ||yδ(t1) − x(t1)|| ≥ ε.
Nghiệm x(t) của hệ được coi là ổn định tiệm cận theo Lyapunov khi t tiến tới vô cực, nếu nó đạt được tính ổn định Đối với mọi t0 trong khoảng (a,∞), tồn tại một giá trị ∆(t0) > 0, đảm bảo rằng mọi nghiệm y(t) trong khoảng thời gian từ t0 đến vô cực đều thỏa mãn điều kiện ổn định này.
Nghiệm tầm thường (trạng thái cân bằng) x ≡ 0 của hệ được coi là ổn định theo Lyapunov khi t → ∞, nếu với mọi ε > 0 và t0 ≥ 0, tồn tại δ = δ(ε, t0) sao cho bất kỳ nghiệm y(t) nào của hệ thỏa mãn ||y(t0)|| < δ thì sẽ được xác định trong khoảng thời gian [t0, ∞).
1.1.5 Định nghĩa Nghiệm tầm thường x ≡ 0 của hệ gọi là ổn định tiệm cận theo Lyapunov khi t → ∞ nếu nó ổn định và mọi t 0 ∈ (a,∞) tồn tại
∆ = ∆(t 0 ) > 0 sao cho mọi nghiệm y(t) (t 0 ≤ t < ∞) thỏa mãn điều kiện
Định nghĩa về sự ổn định của hệ (1.1) dưới tác động nhiễu φ(t,y) được đưa ra trong hệ (1.2) là: Nghiệm x(t) của hệ (1.1) được coi là ổn định nếu với mọi ε > 0 và t0 ∈ (a,∞), tồn tại δ = δ(ε, t0) > 0 sao cho khi ||φ(t,y)|| < δ, tất cả các nghiệm y(t) của hệ (1.2) thỏa mãn ||y(t0)|| < δ sẽ xác định trong khoảng [t0,∞) và ||y(t0) − x(t)|| < ε với t0 ≤ t < ∞.
1.1.7 Định nghĩa Hệ (1.1) được gọi là ổn định mũ nếu ∃M > 0, δ >0 sao cho mọi nghiệm x(t) của hệ với x(t 0 ) = x 0 thỏa mãn
Khi đó nghiệm x = 0 của hệ không những ổn định tiệm cận mà mọi nghiệm của nó tiến tới 0 nhanh với tốc độ hàm số mũ.
Định nghĩa hệ quy đổi được xây dựng bằng cách áp dụng phép biến đổi z = x − y, dẫn đến hệ mới ˙ z = g(t, x), với g(t, z) = f(t, y + z) − f(t, y) Hệ này có đặc điểm g(t, 0) = 0 và cho nghiệm tầm thường z ≡ 0.
Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính
Xét hệ vi phân tuyến tính ˙ x(t) = A(t)x+ f(t) (1.4) và hệ vi phân tuyến tính thuần nhất ˙ x(t) =A(t)x (1.5) trong đó ma trận A(t) và véc tơ f(t) liên tục trong khoảng (0,∞).
1.2.1 Định nghĩa Hệ vi phân tuyến tính (1.4) được gọi là ổn định nếu tất cả các nghiệm của nó ổn định.
1.2.2 Nhận xét Các nghiệm của hệ vi phân tuyến tính hoặc đồng thời cùng ổn định hoặc đồng thời cùng không ổn định.
1.2.3 Định nghĩa Hệ vi phân tuyến tính (1.4) được gọi là ổn định tiệm cận nếu tất cả các nghiệm của nó ổn định tiệm cận.
1.2.4 Định lý Hệ vi phân tuyến tính (1.4) ổn định khi và chỉ khi nghiệm tầm thường của hệ thuần nhất tương ứng (1.5) ổn định.
1.2.5 Định lý Hệ vi phân tuyến tính (1.4) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi nghiệm tầm thường của hệ thuần nhất tương ứng (1.5) ổn định tiệm cận.
Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất
1.3.1 Định lý Điều kiện cần và đủ để hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.5) ổn định theo Lyapunov là mỗi nghiệm x(t) của hệ bị chặn trên [t 0 ,∞).
Để chứng minh điều kiện cần cho hệ (1.5) ổn định, giả sử rằng nghiệm z(t) không bị chặn trên khoảng [t0, ∞) với z(t0) ≠ 0 Chúng ta sẽ chỉ ra rằng nghiệm tầm thường của hệ không ổn định Cụ thể, với bất kỳ δ > 0 nào, ta xét nghiệm y(t) = z(t) z(t0) ã δ.
Rõ ràng, ||y(t 0 )|| = δ 2 < 0 và do z(t) không bị chặn, y(t) không bị chặn trên [t 0 ,∞) Với ε cố định, tồn tại t 1 > t 0 sao cho ||y(t 1 )|| > ε, dẫn đến nghiệm tầm thường y ≡ 0 không ổn định, mâu thuẫn với giả thiết hệ ổn định Do đó, mỗi nghiệm y = y(t) của hệ phải bị chặn trên [t 0 ,∞) Điều kiện đủ là giả sử nghiệm bất kỳ của hệ bị chặn trên [t 0 ,∞), khi đó ma trận cơ bản chuẩn hóa X(t) x ik (t) bao gồm các hàm giới nội nên cũng giới nội, dẫn đến tồn tại M > 0 sao cho ||X(t)|| ≤ M, ∀t ∈ [t 0 ,∞).
Mặt khỏc với mỗi nghiệm x(t) của hệ ta cú y(t) = X(t)ãy(t 0 ) Suy ra
Nghiệm tầm thường y ≡ 0 của hệ (1.5) là ổn định, điều này dẫn đến sự ổn định của hệ Hệ vi phân tuyến tính không thuần nhất ổn định thì các nghiệm của nó sẽ có tính chất đồng thời giới nội hoặc không giới nội.
1.3.3 Chú ý Đối với hệ vi phân tuyến tính, từ tính giới nội của các nghiệm nói chung không suy ra tính ổn định của nó.
1.3.4 Định lý Điều kiện cần và đủ để hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.5) ổn định tiệm cận là mỗi nghiệm x(t) của hệ thỏa mãn điều kiện t→∞lim x(t) = 0.
Để chứng minh điều kiện cần, giả sử hệ (1.5) ổn định tiệm cận, thì nghiệm tầm thường z₀ ≡ 0 cũng ổn định tiệm cận Từ đó, nếu ||z(t₀)|| < δ, ta có lim t→∞ z(t) = 0 Giả sử y(t) là một nghiệm bất kỳ của hệ với điều kiện ban đầu y(t₀) = y(0) và ||y(t₀)|| ≠ 0 Đặt z(t) = y(t).
Khi đó z(t) cũng là nghiệm của hệ và thỏa mãn lim t→∞z(t) = 0 Do đó t→∞lim y(t) = lim t→∞
Để đảm bảo điều kiện đủ cho hệ phương trình, giả sử nghiệm y(t) thỏa mãn lim t→∞y(t) = 0 Khi đó, với T đủ lớn (T > t 0), nghiệm y(t) sẽ bị chặn trên khoảng (T,∞) Hơn nữa, hàm véc tơ y(t) liên tục trên đoạn [t 0, T] cũng sẽ bị chặn Do đó, nghiệm y(t) bị chặn trên khoảng [t 0, ∞).
Hệ ổn định, với nghiệm tầm thường z ≡ 0 cũng ổn định Kết hợp giả thiết lim t→∞y(t) = 0, ta có thể kết luận rằng nghiệm tầm thường z ≡ 0 ổn định tiệm cận Như vậy, hệ đã cho là ổn định tiệm cận.
Đối với hệ vi phân phi tuyến, điều kiện tất cả các nghiệm tiến tới không khi t → ∞ không phải là điều kiện đủ để đảm bảo các nghiệm ổn định tiệm cận.
1.3.6 Ví dụ Xét hệ phương trình vi phân ˙ x(t) = a(t)x t ≥ 0, trong đó a(t) : R + → R là hàm liên tục, x ∈ R n
Nghiệm x(t) của hệ với điều kiện ban đầu x(t 0 ) = x 0 cho bởi x(t) =x 0 ãe t
Do đó hệ đã cho ổn định nếu t
R t 0 a(τ)dτ ≤ à(t 0 ) < +∞, hệ ổn định tiệm cận nếu lim t→∞ t
Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính dừng
Xét hệ vi phân tuyến tính thuần nhất ˙ x(t) = Ax(t)t ≥ 0, (1.6) trong đó A = [a ij ] n là ma trận hằng.
Hệ vi phân (1.6) được coi là ổn định nếu và chỉ nếu mọi giá trị riêng λ j = λ j (A) của ma trận A có phần thực không dương Đặc biệt, các giá trị riêng có phần thực bằng không phải có ước sơ cấp đơn, tương ứng với các ô Jordan chỉ chứa một phần tử.
Chứng minh Điều kiện đủ: Từ (1.6) ta suy ra x x ˙ = A Lấy tích phân hai vế ta được lnX = At +C ⇔ x = e C e At
Vìx(0) = x 0 nêne C = x 0, do đó x = e At x 0 là nghiệm của hệ đã cho Để chứng minh mọi nghiệm của hệ bị chặn, giả sử λ 1 , λ 2 , , λ n , r ≤n là các giá trị riêng của ma trận A, trong đó λ j = a j +ib j, với a 1 , , a p là các số âm và a p+1 = = a m = 0, p ≤m Từ đó, tồn tại ma trận không suy biến T sao cho ma trận T −1 AT có dạng chéo diag(J(λ 1 ), , J(λ r )) :=B.
Suy ra ma trận T e Bt T −1 có dạng T.diag(e J 1 (λ 1 t) , , e J n (λ n t) ).T −1
Mà x(t) =e At x 0 = T e Bt T −1 x 0 nên suy ra x(t) = T.diag(e J 1 (λ 1 t) , , e J n (λ n t) ).T −1 x 0
Vì Reλ j ≤ 0,∀j = 1, r nên ||x(t)|| < ∞ Do đó mọi nghiệm của hệ (1.6) bị chặn.
Vậy hệ (1.6) ổn định. Điều kiện cần: Giả sử hệ (1.6) ổn định, ta cần chứng minh Reλ j ≤
0,∀j = 1, , r Thật vậy, vì hệ (1.6) ổn định nên nghiệm x(t) bị chặn, tức là
Bây giờ ta còn phải chứng minh với q = i.b q , a q = 0 thì λ q có ước sơ cấp đơn Gọi J q (λ q ) là ô Jordan của λ q cấp α q , ta có e J q (λ q )t = e a q t
Do đó ||e J q (λ q )t || → ∞ (khi t → ∞) nếu α q ≥ 2 Giả sử α q ≥ 2 ta chỉ ra nghiệm của hệ (1.6) không bị chặn Thật vậy, xét ma trận
Do đóM(t)là ma trận nghiệm của (1.6) Mặt khác||M(t)|| → ∞khit → ∞ nên M(t) không bị chặn.
Do vậy α q ≤ 1, hay α q có ước cơ bản đơn.
Hệ vi phân tuyến tính 1.6 được coi là ổn định tiệm cận nếu và chỉ nếu tất cả các nghiệm λ j của phương trình đặc trưng của ma trận A đều có phần thực âm.
Chứng minh Ta có mọi nghiệm x(t) của phương trình (1.6) đều có dạng x(t) =T.diag(e j 1 (λ 1 t) , , e j n (λ n t) ).T −1 x 0 trong đó T là ma trận không suy biến và e J q (λ q )t = e a q t.
Hệ (1.6) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi t→∞lim x(t) = 0 ⇔ lim t→∞||x(t)|| = 0. Điều này tương đương với t→∞lim e λ q t = 0,∀λ q ∈ λ(A) ⇔ Reλ q < 0,∀λ q ∈ λ(A).
1.4.3 Định lý Hệ vi phân tuyến tính (1.6) ổn định mũ khi và chỉ khi phần thực của tất cả các giá trị riêng của ma trận A đều âm.
Chứng minh Điều kiện đủ Ta có mọi nghiệm x(t) của phương trình (1.6) đều có dạng x(t) =T.diag(e j 1 (λ 1 t) , , e j n (λ n t) ).T −1 x 0 , trong đó T là ma trận không suy biến Hơn nữa e J q (λ q )t = e a q t
Với điều kiện Reλ k < 0, ta có ||x(t)|| → 0 khi t → ∞, cho thấy hệ (1.6) ổn định mũ Để chứng minh điều này, giả sử hệ (1.6) là ổn định mũ, thì mọi nghiệm x(t) với x(t 0 ) = x 0 đều thỏa mãn bất đẳng thức ||x(t)|| ≤ ||x 0 ||.e −δ(t−t 0 ) với à > 0 và δ > 0.
Bây giờ ta giả sử ∃λ 0 ∈ λ(A) sao cho Reλ 0 ≥ 0 Khi đó véc tơ riêng x 0 ứng với λ 0 này thỏa mãn Ax 0 = λ 0 x 0 và khi đó nghiệm của hệ với x 0 (t) =x 0 là x 0 (t) =x 0 e λ 0 t
Suy ra ||x 0 (t)|| = ||x 0 ||.e Reλ 0 t → ∞ khi t → ∞ Điều này mâu thuẫn với trên.
Vậy định lý được chứng minh.
Đối với hệ vi phân tuyến tính thuần nhất, các mệnh đề sau đây là tương đương: (i) Hệ ổn định mũ, (ii) Hệ ổn định tiệm cận, và (iii) Tất cả các giá trị riêng của ma trận A đều có phần thực âm.
1.4.5 Ví dụ Xét tính ổn định của hệ x˙ 1 = −x 1 ˙ x 2 = −3x 2
Các giá trị riêng của ma trận A là λ(A) = −1,−3 đều có Reλ(A) < 0 Do đó hệ đã cho ổn định mũ.
Tiêu chuẩn Hurwitz
Xét đa thức f(z) =a 0 +a 1 z +ã ã ã+a n z n n≥ 1 (1.7) a 0 , a 1 , , a n là số thực hoặc phức.
1.5.1 Định nghĩa Đa thức f(z) bậc n ≥ 1 được gọi là đa thức Hurwitz nếu tất cả các nghiệm z 1 , z 2 , , z n của nó đều có phần thực âm Tức là Rez j < 0(j = 1,2, , n).
Nếu a 0 , a 1 , , a n ∈ R, a 0 > 0, a n 6= 0 thì f(z) được gọi là đa thức chuẩn bậc n.
1.5.2 Định lý Nếu đa thức chuẩn là đa thức Hurwitz thì tất cả các hệ số a 0 , a 1 , , a n đều dương.
Chú ý: Điều ngược lại nói chung không đúng, nhưng đối với đa thức bậc hai thì mệnh đề đảo của Định lý 1.5.2 cũng đúng.
1.5.3 Định nghĩa.Cho đa thức f n (z) = a 0 +a 1 z+a 2 z 2 +ã ã ã+a n z n (a 0 > 0, a n > 0, n ≥ 1).
Ma trận Hurwitz của đa thức f n (z) được xác định với a k = 0 khi k > n Theo định lý về tiêu chuẩn Hurwitz, điều kiện cần và đủ để đa thức chuẩn f n (z) là đa thức Hurwitz là tất cả các định thức con chính của ma trận Hurwitz của f n (z) phải dương.
Chú ý: Đa thức chuẩn (1.7) là đa thức Hurwitz khi và chỉ khi đa thức g(n) = a 0 z n +a 1 z n−1 +ã ã ã+a n là đa thức Hurwitz.
1.5.5 Ứng dụng của tiêu chuẩn Hurwitz đối với hệ vi phân tuyến tính có hệ số là ma trận hằng
Xét hệ phương trình dY/dt = AY, trong đó A là ma trận hằng, phương trình đặc trưng được xác định bởi det(λE−A) = 0 Phương trình này có thể được khai triển thành f n (λ) = λ n −A 1 λ n−1 +A 2 λ n−2 + + (−1) n A n = 0 Để hệ thống (1.8) ổn định tiệm cận, cần và đủ là các định thức chéo chính của ma trận Hurwitz của (1.9) phải dương.
Phương pháp hàm Lyapunov
Phương pháp này nhằm giải quyết bài toán ổn định cho các hệ phương trình vi phân, đặc biệt là các hệ phi tuyến, mà không cần tìm nghiệm riêng hay nghiệm tổng quát, chỉ cần xác định các hàm đặc biệt gọi là hàm Lyapunov Tính ổn định của hệ được kiểm tra trực tiếp qua dấu của đạo hàm toàn phần theo vế phải của hệ Định nghĩa cho hàm số V = V(t, x) là liên tục theo t và x trong miền Z 0 = 0,+∞ × ||x|| < h.
. Hàm V(t, x) đươc gọi là hàm xác định dương trong Z 0 nếu tồn tại hàm ω(x) với ||x|| < h sao cho
Hàm V(t, x) được gọi là hàm xác định âm trong Z 0 nếu tồn tại hàm ω(x) với ||x|| < h sao cho
1.6.2 Định nghĩa Hàm V(t, x) được gọi là có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi x → 0 nếu với t 0 ∈ (0,+∞),∀ε > 0∃δ = δ(ε) > 0 sao cho khi
1.6.3 Chú ý.Nếu V(x) là hàm liên tục, không phụ thuộc vàot vàV(0) = 0 thì V(x) sẽ có vô cùng bé bậc cao khi x → 0.
1.6.4 Định nghĩa Cho hệ vi phân quy đổi: ˙ x = g(t, x), (1.10) trong đó g(t, x) liên tục theo t và có đạo hàm riêng theo x 1 , x 2 , , x n trong miền D = 0,+∞ × ||x|| < h
Khi đó hàm số dV dt = ∂V ∂t + n
∂t gọi là đạo hàm toàn phần theo t của hàm V(t, x).
Định lý Lyapunov về sự ổn định chỉ ra rằng nếu tồn tại một hàm xác định dương V(t, x) cho hệ quy đổi (1.10) và đạo hàm dV/dt không dương, thì nghiệm tầm thường x ≡ 0 (0 < t < ∞) của hệ này sẽ ổn định theo Lyapunov khi t tiến tới vô hạn.
Chứng minh Vì V(t, x) là hàm xác định dương nên tồn tại hàm ω(x) liên tục sao cho V(t, x) ≥ ω(x) > 0 với ||x|| 6= 0 và V(t,0) = ω(0) = 0.
Với 0 < ε ≤ h ta có mặt cầu S ε x ∈ R n
R n Do đó ω(S ε ) là tập compact trong R Suy ra ω(S ε ) là tập bị chặn.
Do đó ∃x ∗ ∈ S ε sao cho ω(x ∗ ) = inf x∈S ε ω(x) = α > 0. Mặt khác V(t, x) liên tục theo x và V(t,0) = 0 nên với t 0 ∈ (0,∞),∃δ < ε sao cho 0 ≤V(t 0 , x(t 0 )) < α khi ||x(t 0 )|| < δ.
Giả sử nghiệm tầm thường x ≡ 0 không ổn định Khi đó với mọi nghiệm x(t) bất kỳ mà có ||x(t 0 )||< δ thì tồn tại thời điểm t 1 > t 0 để ||x(t 1 )|| = ε.
Ngoài ra theo giả thiết dV dt ≤0 do đó hàm V(t, x(t)) không tăng Từ đó suy ra : α > V(t 0 , x(t 0 )) ≥ V(t 1 , x(t 1 )) ≥ ω(x(t 1 )) ≥ α điều này vô lý Như vậy nghiệm tầm thường x ≡ 0 ổn định.
Trong hệ vi phân tuyến tính thuần nhất dx/dt = A(t)x, với A(t) và x(t) liên tục trên (0, +∞), nếu tồn tại hàm xác định dương V(t, x) có đạo hàm dx/dt ≤ 0, thì tất cả các nghiệm của hệ này đều ổn định Theo định lý Lyapunov về sự ổn định tiệm cận, nếu trong hệ quy đổi (1.10) có hàm xác định dương V(t, x) với giới hạn vô cùng bé khi x → 0 và đạo hàm toàn phần theo t là âm, thì nghiệm tầm thường x ≡ 0 (0 < t < ∞) của hệ sẽ ổn định tiệm cận theo Lyapunov.
Theo định lý (1.6.5), từ giả thiết có thể suy ra rằng nghiệm x ≡ 0 của hệ (1.7) là ổn định Để chứng minh tính ổn định tiệm cận của nghiệm này, ta cần chứng minh rằng mọi nghiệm x(t) của hệ đều thỏa mãn lim t→0 x(t) = 0 Đặt V(t) = V(t, x(t)); vì dV/dt < 0, nên V(t) là hàm giảm Do đó, lim t→∞ V(t) = inf t V(t) = α ≥ 0.
Ta chứng minh α = 0 Thật vậy, giả sử α > 0, khi đó tồn tại β > 0 sao cho ||x(t)|| ≥ β,∀t ≥ t 0 nào đó Bởi vì nếu điều này không đúng thì
Có một dãy {t k} sao cho khi t k tiến tới vô cùng, giới hạn lim t k → ∞ x(t k) = 0 Nếu dãy {t k} bị chặn trên, sẽ tồn tại một dãy con hội tụ, và ta có thể chọn dãy {t n} là dãy con đó Nhờ tính liên tục của x(t), ta có lim k→∞ x(t k) = x(T) Do đó, x(T) = 0, điều này mâu thuẫn với việc x(t) là nghiệm không tầm thường trên (0,∞).
Khi x → 0, V(t, x) có giới hạn vô cùng bé bậc cao, tức là V(t, x) → 0 và lim t k →∞x(t k ) = 0, dẫn đến t klim→∞V(t k ) = lim t k →∞V(t k , x(t k )) = 0 Điều này mâu thuẫn với giả thiết α > 0, do đó tồn tại β > 0 sao cho ||x(t)|| ≥ β với mọi t ≥ t 0 nào đó Hơn nữa, do V˙ (t, x) âm nên tồn tại ω 1 (x) thỏa mãn điều kiện này.
V˙(t, x) ≤ −ω 1 (x) < 0 khi ||x|| 6= 0 và V˙(t,0) = ω 1 (x) = 0 Do nghiệm x ≡ 0 ổn định nên nó bị chặn trên khoảng (t 0 ,∞) Đặt γ := inf β≤||x||≤hω 1 (x), γ tồn tại vì hàm ω 1 (x) liên tục trên tập đóng và bị chặn Do đó, với t ≥ t 0, các điều kiện này được thỏa mãn.
Khi t đủ lớn, ta có Z t 0 ω 1 (s, x(s))ds ≤ V(t 0 )−γ(t−t 0 ) < 0, điều này mâu thuẫn với giả thiết V(t, x) luôn dương Do đó, giả thiết α > 0 là sai, dẫn đến α = 0 và suy ra lim t→0V(t, x) = 0 Tiếp theo, ta chứng minh lim t→0x(t) = 0; tức là, với bất kỳ ε > 0 nào, cần chỉ ra
||x|| < ε,∀t ≥ T nào đó Vì V(t, x) xác định dương nên tồn tại hàm ω(x) sao cho V(t, x) ≥ ω(x) > 0, với ||x|| 6= 0. Đặt l = inf β≤||x||≤hω(x).
Vì lim t→0V(t, x) = 0 nên tồn tại T ≥ t 0 nào đó sao cho V(t, x(t)) < l.
Mặt khác do V(t, x(t)) giảm nên V(t, x(t)) < l, ∀t ≥ T.
Ta sẽ chứng minh ||x|| < ε,∀t ≥ T bằng phản chứng Thật vậy giả thiết
∃t 1 ∈ (t,= ∞) sao cho ||x(t 1 )|| ≥ ε Khi đó ta có l > V(t 1 , x(t 1 )) > ωx(t 1 ). Điều này mâu thuẫn với cách đặt l Do vậy lim t→∞x(t) = 0 Định lý được chứng minh.
Tính ổn định của hệ phi tuyến
Cho hệ vi phân phi tuyến quy đổi dY dt = F(t, Y) với F(t,0) = 0.
F khả vi trong lân cận Y ≡ 0.
Hệ (1.12) gọi là hệ phương trình xấp xỉ thứ nhất đối với hệ (1.11).
Khi A(t) là ma trận hằng, hệ (1.11) được gọi là á dừng theo xấp xỉ thứ nhất Định lý 1.7.1 chỉ ra rằng nếu hệ (1.11) á dừng theo xấp xỉ thứ nhất và tất cả các số hạng R i bị chặn theo t, thì chúng có thể khai triển thành chuỗi lũy thừa đối với các biến y 1, y 2, , y n trong một miền n.
Để nghiên cứu tính ổn định của hệ phương trình vi phân phi tuyến theo xấp xỉ thứ nhất, cần xem xét các điều kiện sau: (i) Tổng P i=1 y 2 i phải nhỏ hơn hoặc bằng H, và tất cả các khai triển bắt đầu từ số hạng không thấp hơn bậc hai; (ii) Tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng det(A−λE) = 0 đều có phần thực âm, dẫn đến nghiệm tầm thường Y ≡ 0 của hệ (1.11) và (1.12) ổn định tiệm cận Ngược lại, nếu hệ (1.11) á dừng theo xấp xỉ thứ nhất, tất cả các hàm R i thỏa mãn điều kiện định lý (1.6.1), và có ít nhất một nghiệm của phương trình đặc trưng có phần thực dương, thì nghiệm tầm thường Y ≡ 0 không ổn định.
VỀ BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN CÁC HỆ NGẪU NHIÊN
Trong chương này, chúng ta ký hiệu R^n là không gian Euclidean n chiều và R^{n×m} là tập hợp các ma trận thực n×m Ký hiệu > đại diện cho ma trận chuyển vị, trong khi ký hiệu X ≥ Y (hoặc X > Y) chỉ ra rằng X và Y là các ma trận đối xứng, với điều kiện rằng X − Y là bán hữu hạn dương Ma trận I là ma trận mật độ với số chiều tương thích, và E{.} là toán tử kỳ vọng với xác suất P Không gian L^2 là không gian véc tơ nguyên trong khoảng [0,∞], trong đó chuẩn véc tơ Euclidean được ký hiệu là k.k và chuẩn L^2 trên [0,∞) được định nghĩa là kfk_2 = R∞.
Đặt bài toán
Định nghĩa
Hệ (2.2) với u(.) , 0, ∀t ≥ 0 và tất cả độ bất định bằng không được gọi là:
(i) Ổn định ngẫu nhiên (SS) nếu tồn tại hằng số T(r 0 , φ(.)) sao cho
(ii) Ổn định bình phương trung bình(MSS) nếu t→∞lim E||x(t)|| 2 = 0 đúng cho bất kỳ điều kiện ban đầu (r 0 , φ(.)) nào đó;
(iii) Ổn định mũ trung bình (MES) nếu tồn tại hằng số α(r 0 , φ(.)) > 0, β > 0 sao cho
≤α(r 0 , φ(.))e −βt Hiển nhiên MES kéo theo MSS và SS.
Định nghĩa
Hệ (2.2) với u(.) , 0, t ≥ 0 được gọi là:
(i) Ổn định ngẫu nhiên vững (RSS) nếu tồn tại hằng số T(r 0 , φ(.)) sao cho
≤ T(r 0 , φ(.)) (2.6) đúng cho tất cả các bất định chấp nhận được;
(ii) Ổn định mũ trung bình vững (RMES) nếu tồn tại hằng số α(r 0 , φ(.)) >
≤ α(r 0 , φ(.))e −βt đúng cho tất cả các bất định chấp nhận được.
Hiển nhiên RMES kéo theo RSS.
Định nghĩa
Hệ (2.2) được coi là ổn định ngẫu nhiên khi tất cả độ bất định bằng không và tồn tại một bộ điều khiển phản hồi trạng thái u(t) = K(r t)x(t) (2.7), đảm bảo hệ thống khép kín ổn định ngẫu nhiên Trong đó, K(i), i ∈ S là ma trận hằng.
Định nghĩa
Hệ (2.2) được xem là ổn định ngẫu nhiên vững khi có một bộ điều chỉnh phản hồi theo dạng (2.7), đảm bảo rằng hệ khép kín duy trì tính ổn định ngẫu nhiên trước mọi bất định chấp nhận được Ở đây, K(i), i ∈ S là ma trận hằng Chúng ta sẽ trình bày các bổ đề quan trọng, phục vụ cho việc chứng minh các kết quả trong phần còn lại của chương này.
Bổ đề
Giả thiết Y là ma trận đối xứng và H, E là các ma trận có số chiều thích hợp, F thỏa mãn điều kiện F > F ≤ I Khi đó chúng ta có:
(i) Đối với ε > 0 bất kỳ Y +HF E +E > F > H > ≤εH > H + 1 ε E > E.
(ii) Y +HF E +E > F > H > < 0 đúng nếu và chỉ nếu tồn tại một đại lượng vô hướng ε > 0 sao cho Y + εHH > + 1 ε E > E < 0.
Bổ đề
Giả sử ma trận A = A > Khi đó ta có λ min (A)||x|| 2 ≤ x > Ax≤ λ max (A)||x|| 2
Bổ đề
Bổ đề
( Công thức Dynkin) Giả sử V ∈ C 2,1 R n × R+ × S,R+
τ 1 , τ 2 là các thời điểm dừng sao cho 0 ≤ τ 1 < τ 2 h.c.c Nếu V x(t), t, r(t) và
AV x(t), t, r(t) bị chặn với t ∈ [τ 1 , τ 2 ] thì ta có
Bổ đề
( Bổ sung Schur) Với mọi ma trận P(n×n) chiều, M(n× m) chiều và ma trận đối xứng xác định dương Q(m×m) chiều ta đều có
Tính ổn định và sự bảo đảm ổn định
Định lý
Nếu tồn tại các ma trận đối xứng xác định dương P = (P 1 , P 2 , , P N ) >
0 và R = (R 1 , R 2 , , R l ) > 0 thỏa mãn bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau đối với ∀r t ∈ S
A > k (r t )P(r t )A k (r t ) ≤(1−τ k )e −2ατ k R k k = 1,2, , l (2.9) thì hệ (2.2) ổn định ngẫu nhiên
Chứng minh Xét α > 0 cho trước Khi đó theo phép biến đổi trạng thái z(t) = e αt x(t) hệ (2.2) trở thành: ˙ z(t) =αe αt x(t) + e αt x(t)˙ (2.10)
Không gian của các hàm liên tục trong khoảng [−τ,0] được ký hiệu là C[−τ, 0], trong đó z ∈ C[−τ, 0] và được định nghĩa bởi ||z|| = sup −τ ≤s≤0 ||(s)|| Sự thay đổi của z(t) phụ thuộc vào z(s) trong khoảng t −τ ≤ s ≤ t, điều này cho thấy rằng tập hợp {(z(t), r t ).t ≥ 0} không phải là một quá trình Markov Để chuyển đổi mô hình này thành hệ Markov, chúng ta cần định nghĩa lại quá trình z(t) với các giá trị phù hợp.
Khi đó {(z(t), r t ).t ≥ 0} là một quá trình Markov mạnh Xét một trong những hàm Lyapunov có dạng sau:
Z t t−h k (t) z > (θ)R k z(θ)dθ (2.13) Gọi A là generator của quá trình {(z(t), r t , t ≥ 0)}.Khi đó ta có:
Từ đó ta có kết quả sau:
Vì thế chúng ta thu được:
Kết hợp kết quả này với công thức Dynkin ta có:
Từ kết quả này ta lại có: minj∈S{λ min (−Φ(j))}EhZ t
(2.16) Kết quả này kéo theo mối quan hệ sau đúng với tất cả các giá trị t ≥0:
0 z > (s)z(s)ds|(r 0 Φ(.)) i ≤ E[V(z(0), r 0 )] minj∈S{λ min (−Φ(j))} (2.17) Định lý 2.2.1 được chứng minh.
Định lý
Nếu tồn tại các ma trận đối xứng xác định dương X = (X 1 , , X N ) >
> 0 (2.19) thì bộ điều chỉnh (2.7) với K(i) = Y i X i −1 , i ∈ S làm hệ (2.2) ổn định ngẫu nhiên Ở đây
2 X i và S i (X),X i , Z i (X) và Z i được xác định thông qua các công thức sau:
S i (X) = p λ i1 X i ã ã ãp λ ii−1 X i p λ ii+1 X i ã ã ãp λ iN X i
Chứng minh Thay (2.7) vào (2.2) ta có ˙ x(t) = A 0 (r t , t)x(t) + l
Để chứng minh rằng bộ điều khiển (2.7) đảm bảo sự ổn định của hệ thống (2.2) theo quan điểm ngẫu nhiên, chúng ta cần áp dụng định lý 2.2.1 Cụ thể, điều này yêu cầu xác định sự tồn tại của các ma trận đối xứng xác định dương P = (P1, P2, , PN) > 0.
R = (R 1 , R 2 , , R l ) > 0 thỏa mãn bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau đối với ∀r t ∈ S
Lấy X i = P −1 (i) và U k = R −1 k k = 1,2, l khi r t = i Nhân trái và phải của (2.24) với X i ta có
Bây giờ lấy Y i = K i X i , bất đẳng thức trên trở thành:
Sử dụng bổ sung Schur ta có bất đẳng thức trên tương đương với (2.18). Tương tự như vậy sử dụng bổ sung Schur cho (2.25) ta có (2.25) tương đương với
Nhân trái và phải hai vế của bất đẳng thức trên với {U k , I} ta được (2.19).
Từ các lập luận trên, nếu tồn tại các ma trận đối xứng xác định dương X, Y và U thỏa mãn các điều kiện (2.18) và (2.19), thì các biểu thức P(i) = X i −1 và K(i) = Y i X i −1 đối với mỗi i thuộc S, cùng với R k = U k −1 cho k = 1, 2, , l sẽ thỏa mãn các điều kiện (2.24) và (2.25) Do đó, định lý (2.2.2) đã được chứng minh.
Tính ổn định vững và sự bảo đảm ổn định vũng
Định lý
Nếu tồn tại các ma trận đối xứng xác định dương P = (P 1 , P 2 , , P N ) >
0 và R = (R 1 , R 2 , , R k ) > 0 và điều kiện sau đây đúng cho tất cả r t ∈ S và đúng cho tất cả các bất định chấp nhận được:
A > k (r t , t)P(r t )A k (r t , t) < (1−τ k )e −2ατ k R k (2.27) thì hệ (2.2) với u(t) ≡0 ổn định ngẫu nhiên vững.
Chứng minh: Việc chứng minh định lý này được thực hiện theo các bước như định lý 2.2.1
Điều kiện của định lý 2.3.1 phụ thuộc vào độ bất định, dẫn đến việc không thể giải quyết Định lý tiếp theo đưa ra một điều kiện đủ dựa trên bất đẳng thức ma trận tuyến tính, áp dụng cho hệ ổn định ngẫu nhiên vững.
Định lý
Nếu tồn tại các ma trận đối xứng xác định dương P = (P 1 , P 2 , , P N ) >
0 và R = (R 1 , R 2 , , R k ) > 0 và các vô hướng ε i , γ i , i ∈ S thỏa mãn bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau đối với ∀i ∈ S
(2.29) thì hệ (2.2) với u(t) ≡ 0 ổn định ngẫu nhiên vững Ở đây
Để chứng minh định lý này, chúng ta chỉ cần xác minh rằng (2.26) tương đương với (2.28) và (2.27) tương đương với (2.29) Cụ thể, Ξ 0 (r t , t) có thể được viết lại dưới dạng Ξ 0 (r t , t) = J(r t ) + P(r t )D 0 (r t )F 0 (r t , t)E 0 (r t).
+E 0 > (r t )F 0 > (r t , t)D 0 > (r t )P(r t ). Áp dụng bổ đề 2.1.5 ta có (2.26) đúng cho tất cả các bất định chấp nhận được nếu và chỉ nếu tồn tại ε i > 0 thỏa mãn
Sử dụng bổ sung Schur chúng ta có thể rút ra được bất đẳng thức trên tương đương với (2.28) và (2.27) tương đương với
Chú ý rằng vế trái của bất đẳng thức trên có thể viết lại như sau
Tương tự sử dụng bổ đề 2.1 ta có được (2.30) nếu và chỉ nếu tồn tại các vô hướng γ i > 0 mà
Bằng cách áp dụng bổ sung Schur, bất đẳng thức tương đương với (2.29) đã được chứng minh theo Định lý 2.3.2 Định lý này có thể được sử dụng để thiết kế một bộ điều chỉnh phản hồi trạng thái theo dạng (2.7), nhằm đảm bảo hệ (2.2) ổn định ngẫu nhiên vững.
Định lý
Nếu tồn tại các ma trận đối xứng xác định dương X = (X 1 , , X N ) >
0, U = (U 1 , , U l ) > 0, và các vô hướng ρ 1i > 0, ρ 2i > 0 thỏa mãn
< 0 (2.32) với mỗi i ∈ S thì bộ điều chỉnh (2.7) với K(i) = Y i X i −1 , i ∈ S làm hệ (2.2) ổn định ngẫu nhiên vững. Ở đây
U k = R −1 k vàS i (X),X i , Z i (X),Z i được xác định bởi (2.20),(2.21),(2.22),(2.23). Chứng minh Thay (2.7) vào (2.2) ta thu được phương trình vi phân sau cho hệ khép kín. ˙ x(t) = ¯A 0 (r t , t)x(t) + l
A¯ 0 (r t , t) = ¯A 0 (r t ) + D 0 (r t )F 0 (r t ) ¯E 0 (r t ) với A¯ 0 (r t ) = A 0 (r t ) + B(r t )K(r t ) và E¯ 0 (r t ) = E 0 (r t ) + E b (r t )K(r t ) Theo định lý 2.3.2, một bộ điều chỉnh (2.7) cho trước sẽ dẫn đến hệ khép kín ổn định RSS nếu tồn tại các ma trận đối xứng xác định dương P = (P 1 , P 2 , , P N ) > 0 và R = (R 1 , R 2 , , R l ) > 0 cùng với các đại lượng vô hướng ε i > 0, γ i > 0, i ∈ S sao cho bất đẳng thức sau đúng với mỗi giá trị i ∈ S.
< 0 (2.34) Ở đây ¯j(i) thu được từ J(i) bằng cách thay A 0 (i) và E 0 (i) bởi A¯ 0 (i) và
Sử dụng bổ sung Schur hai lần với (2.33) chúng ta sẽ thu được (2.33) tương đương với ¯
Lấy X i = P −1 (i) và U k = R −1 k Nhân trái và phải hai vế bất đẳng thức trên với diag{X i , I} ta có
Lấy ρ 1i = ε 1 i, Y i = K(i)X i và sử dụng bổ sung Schur chúng ta thu được (2.35) tương đương với (2.31).
Tương tự như vậy, bằng cách sử dụng bổ sung Schur hai lần ta sẽ có (2.34) tương đương với công thức
Nhân trái và phải của bất đẳng thức trên với diag{U k , X i , I}và lấy ρ 2i 1 γ i dẫn đến (2.32)
Từ các diễn giải trên, nếu tồn tại các ma trận đối xứng xác định dương X = (X 1 , , X N ) > 0, U = (U 1 , , U l ) > 0, và các vô hướng ρ 1i > 0, ρ 2i > 0 thỏa mãn bất đẳng thức ma trận tuyến tính (2.31) và (2.32) cho mỗi i ∈ S, thì bộ điều chỉnh (2.7) với K(i) = Y i X i −1, i ∈ S sẽ làm cho hệ (2.2) ổn định ngẫu nhiên vững Định lý này đã được chứng minh.
Luận văn thu được các kết quả chính sau đây:
1 Trình bày có hệ thống các khái niệm và tính chất cơ bản của lý thuyết ổn định theo Lyapunov của hệ phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân tuyến tính, hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất, hệ phương trình vi phân tuyến tính dừng và phương pháp hàm Lyapunov.
2 Trình bày nội dung đặt bài toán điều khiển các hệ tuyến tính theo thời gian liên tục có bước nhảy Markov và đa trễ thời gian thay đổi theo thời gian trong véc tơ trạng thái nhờ các khái niệm:
(i) Ổn định ngẫu nhiên (SS).
(ii) Ổn định bình phương trung bình(MSS).
(iii) Ổn định mũ trung bình (MES).
(iiii) Ổn định ngẫu nhiên vững (RSS)
(iiiii) Ổn định mũ trung bình vững (RMES).
3 Thiết lập được các điều kiện đủ để hệ tự do (2.2) với giả thiết các bất định đều bằng không ổn định ngẫu nhiên thông qua bất đẳng thức ma trận ( Định lý 2.2.1 ).
4 Thiết lập được điều kiện đủ để hệ (2.2) ổn định ngẫu nhiên vững thông qua bất đẳng thức ma trận ( Định lý 2.3.1, 2.3.2 ).
5 Thiết lập được một thuật toán thiết kế bộ điều chỉnh u(t) = K(r t )x(t) làm cho hệ (2.2) ổn định ngẫu nhiên ( Định lý 2.2.2 ).
6 Thiết lập được một thuật toán thiết kế bộ điều chỉnh u(t) = K(r t )x(t) làm cho hệ (2.2) ổn định ngẫu nhiên vững ( Định lý 2.3.3 ).