BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH HỒNG VĂN HOAN MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH HM luận văn thạc sĩ Toán học Vinh-2010 B GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH HOÀNG VĂN HOAN MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH HÀM luận văn thạc sĩ toán học Chuyên ngành: Đại Số VÀ Lý thuyÕt sè M· sè: 60.46.05 Ng-êi h-íng dÉn khoa häc TS MAI VĂN TƢ Vinh-2010 MỤC LỤC Trang Mở đầu Ch-¬ng mét sè tính chất đặc tr-ng hàm số ph-ơng trình hàm 1.1 số tính chất đặc tr-ng hàm số .3 1.2 ph-ơng trình hàm Ch-ơng số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình hàm .13 2.1 Ph-ơng pháp đặt Èn phô 13 2.2 Ph-ơng pháp đ-a hệ ph-ơng trình .16 2.3 ph-ơng pháp chun qua giíi h¹n 19 2.4 ph-ơng pháp đánh giá 21 2.5 ph-ơng pháp đoán nghiệm chứng minh nghiệm vừa tìm 24 2.6 ph-ơng pháp chuyển toán xác định dÃy số 26 2.7 ph-ơng pháp điểm bất động 29 2.8 ph-ơng pháp sử dụng tính chất đơn ánh, toàn ánh, song ánh tính đơn ®iƯu cđa hµm sè 32 2.9 ph-ơng pháp sử dụng tính chất đạo hàm, nguyên hàm, tích phân .34 2.10 ph-ơng pháp quy nạp 36 2.11 ph-ơng pháp tổng hợp 39 KÕt luËn 43 Tài liệu tham khảo .44 M U Ph-ơng trình hàm ph-ơng trình mà ẩn hàm số giải ph-ơng trình hàm tức tìm hàm số ch-a biết Lý thuyết ph-ơng trình hàm lĩnh vực nghiên cứu quan trọng lý thuyết số giải tích toán học dạng toán ph-ơng trình hàm phong phú, bao gồm ph-ơng trình tuyến tính ph-ơng trình phi tuyến tính, ph-ơng trình hàm ẩn nhiều ẩn Ph-ơng trình hàm chuyên đề quan trọng bồi d-ỡng học sinh giỏi bậc trung học phổ thông toán ph-ơng trình hàm th-ờng có đề thi học sinh giỏi toán n-ớc nhiên, nay, học sinh tr-ờng chuyên lớp chọn nói riêng ng-ời giải toán nói chung biết ph-ơng pháp thống để giải ph-ơng trình hàm, chí lúng túng định h-ớng tiếp cận ph-ơng trình hàm Mục đích luận văn dựa việc tỡm hiu ph-ơng trình hàm nh- số tài liệu liên quan đến ph-ơng trình hàm để hình thành ph-ơng pháp phân tích, khai thác liệu, dự đoán h-ớng giải, kỹ thuật biến đổi,trên sở hình thành số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình hàm Luận văn đ-ợc thực hoàn thành tr-ờng Đại học Vinh, d-ới h-ớng dẫn GVC.TS Mai Văn T- Nhân dịp em xin bày tỏ lòng biết ơn chân trọng sâu sắc tới GVC.TS Mai Văn T-, ng-ời thầy đà định h-ớng nghiên cứu, th-ờng xuyên quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi, lời động viên khích lệ tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Tác giả xin chân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, khoa Sau đại học, thầy giáo, cô giáo tổ Đại số & Lý thuyết số, nhóm Seminar chuyên nghành đà động viên, giúp đỡ tác giả suốt trình viết chỉnh sửa luận văn Mặc dù đà cố gắng, song luận văn tránh khỏi hạn chế thiếu sót Chúng mong nhận đ-ợc đóng góp ý kiến từ thầy cô giáo bạn để luận văn đ-ợc hoàn thiện Chúng xin chân trọng cảm ơn Vinh, tháng 10 năm 2010 Tác giả Ch-ơng số tính chất đặc tr-ng hàm số ph-ơng trình hàm 1.1 Mét sè tính chất đặc trƣng hàm số phần ta xét hàm số f ( x) với tập xác định D f R tập giá trị R f R 1.1.1 Hàm số chẵn, hàm số lẻ định nghĩa a) Hàm số f ( x) đ-ợc gọi hàm số chẵn tập M, M  R f nÕu: x  M   x  M   f ( x)  f ( x), x  M b) Hµm sè f ( x) đ-ợc gọi hàm số lẻ tập M nÕu: x  M   x  M   f ( x)   f ( x), x M 1.1.2 hàm số đơn điệu định nghĩa a) Hàm số f ( x) đ-ợc gọi hàm số ®ång biÕn trªn tËp N  D f nÕu x1  x2 ( x1 , x2  N ) th×: f ( x1 )  f ( x2 ) 0 x1 x2 b) Hàm số f ( x) đ-ợc gọi hàm số nghịch biến tập N D f nÕu x1  x2 ( x1 , x2  N ) th×: f ( x1 )  f ( x2 ) 0 x1  x2 c) Hµm sè đồng biến nghịch biến tập N gọi chung hàm đơn điệu tập N 1.1.3 Hàm số liên tục định nghĩa a) giả sử hàm số y f ( x) đ-ợc xác định ®iĨm x0 Ta nãi r»ng f ( x) liªn tục điểm x x0 lim f ( x)  f ( x0 ) x x b) Hàm số f ( x) liên tục khoảng (a,b) f ( x) liên tục điểm thuộc khoảng (a,b) c) Hàm số f ( x) liên tục đoạn a, b f ( x) liên tục khoảng (a,b) đồng thời liên tục phải a, liên tục trái b tức là:  lim f ( x)  f ( a) x a  f ( x)  f (b)  xlim b 1.1.4 hàm số khả vi ( Tính có đạo hàm hàm số ) Định nghĩa a) cho hµm sè f ( x) , x0  D f Ta nói f ( x) khả vi x0 tồn giới hạn hữu hạn lim x 0 f ( x0  x)  f ( x0 ) Giới hạn ú ký hiệu f ' ( x0 ) đ-ợc x gọi đạo hàm hàm f ( x) x0 Khi đó, ta nói f ( x) khả vi x0 b) Hàm số f ( x) đ-ợc gọi khả vi tập D D f f ( x) khả vi điểm thuc D f ( x) có đạo hàm điểm thuc D 1.1.5 hàm số tuần hoàn phản tuần hoàn cộng tính Định nghĩa a) hàm tuần hoàn cộng tính i) hàm số f ( x) đ-ợc gọi hàm tuần hoàn cộng tính chu kỳ a (a > 0) trªn tËp x  M  x  a  M  f ( x  a)  f ( x), x  M M nÕu: M D f ii) giả sử f ( x) hàm tuần hoàn tập M T (T > 0) đ-ợc gọi chu kỳ së cđa f ( x) nÕu f ( x) tn hoàn với chu kỳ T mà không hàm tuần hoàn với chu kỳ bé T Nghĩa T số d-ơng bé mà f ( x) tuần hoàn với chu kỳ T b) hàm phản tuần hoàn cộng tính i) hàm số f ( x) đ-ợc gọi hàm phản tuần hoàn cộng tÝnh chu kú b (b > 0) x  M  x  b  M  f ( x  b)   f ( x), x  M tập M nếu: M D f ii) f ( x) hàm phản tuần hoàn chu kỳ b tập M mà không hàm phản tuần hoàn với chu kỳ bé b M b đ-ợc gọi chu kỳ sở f ( x) M 1.1.6 Hàm tuần hoàn phản tuần hoàn nhân tính định nghĩa a) hàm tuần hoàn nhân tính hàm số f ( x) đ-ợc gọi hàm tuần hoàn nhân tính chu kú a (a  0, 1) x  M  a 1 x  M  f (ax)  f ( x), x  M trªn tËp M nÕu: M D f b) hàm phản tuần hoàn nhân tính Hàm số f ( x) đ-ợc gọi hàm phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ a (a  0, 1) x  M  a 1 x  M  f (ax)   f ( x), x  M trªn tËp M nÕu: M  D f vµ  1.2 Các phƣơng trình hàm bn 1.1 đà trình bày tính chất đặc tr-ng hàm hàm số phần trình bày số ph-ơng trình hàm nh- ph-ơng pháp tìm nghiệm ph-ơng trình hàm th-ờng gặp loại ph-ơng trình hàm sau: 1.2.1 Ph-ơng trình hàm c bn (Phng trỡnh hm Cauchy) 1.2.1.1 toán gốc xác định tất hàm f ( x) liên tục R tho mÃn điều kiện: f ( x  y)  f ( x)  f ( y), x, y  R (1) Lời giải víi gi¶ thiÕt x, y  R ta cho x  y từ (1) ta đ-ợc f (0)  (i) Cho x   y , tõ (1)  f ( x)   f ( x) (ii) Cho x  y  , tõ (1)  f (2)  f (1) B»ng quy n¹p ta thu đ-ợc f (m) mf (1) , m N (iii) Từ (iii) sử dụng kết (i) (ii) ta đ-ợc f (m) mf (1) , m  Z n n (iv) n n n B©y giê víi n  N * ta cã f (1)  f (    )  nf ( )  f ( )  f (1), n  N * n (v) n Tõ (iv) vµ (v) suy f (q)  qf (1) , q  Q Khi ®ã x  R ta cã: a) nÕu x h÷u tØ th× f ( x)  xf (1) b) nÕu x vô tỉ tồn dÃy hữu tỉ qn nN cho qn héi tơ vỊ x x   * f (qn )  lim qn f (1)  f ( x)  xf (1) Ta cã f (qn )  qn f (1)  lim n n Nh- vËy ta cã f ( x)  ax , x  R vµ a  f (1) Thử lại ta thấy hàm số f ( x) ax , a R nghiệm cần tìm Nhận xét: 1) Nếu thay đổi giả thiết f ( x) liên tục R giả thiết f ( x) liên tục điểm x0 thuộc R kết toán không thay đổi ThËt vËy: Víi x1 bÊt kú thuéc R ta cã: f ( x)  f ( x  x1  x0 )  f ( x1 )  f ( x0 ), x  R  lim f ( x)  lim  f ( x  x1  x0 )  f ( x1 )  f ( x0 )  x  x1 x  x1  f ( x0 )  f ( x1 )  f ( x0 )  f ( x1 ) Do ®ã f ( x) liªn tơc x  R 2) Kết toán (1) không thay đổi nÕu thay R b»ng  a,   hc  ,b 1.2.1.2 toán tổng quát cho a, b R \ tìm hàm f ( x) xác định, liên tục R thoả mÃn ®iỊu kiƯn: f (ax  by )  af ( x)  bf ( y ) , x, y  R (1a) Lời giải cho x  y  th× tõ (1a) ta cã: f (0)  af (0)  bf (0)  f (0)  a  b  1  (1b) a) nÕu a  b  th× tõ (1b) ta cã f (0)  từ (1a) ta lần l-ợt cho x y ta đ-ợc: f (by )  bf ( y )   f (ax)  af ( x) VËy (1a) trë thµnh f (ax  by)  f (ax)  f (by) , x, y R Theo kết toán gốc ta cã: f ( x)  cx , x  R (c- h»ng sè bÊt kú) b) nÕu a  b f (0) nhận giá trị tuỳ ý từ (1a) (1b) ta đ-ợc: f ax  by   f    a  f  x   f    b  f  y   f   , x, y  R 31 ph-¬ng trình: f (u) u , tức tìm điểm bất động hàm f (u) xác định đ-ợc u ta tìm đ-ợc nghiệm ph-ơng trình đà cho 2.7.2 Các ví dụ 2.7.2.1 Ví dụ (IMO – 1994) cho S  (1, ) T×m tÊt hàm f : S S thoả mÃn ®ång thêi ®iỊu kiƯn: a) f  x  f ( y)  xf ( y)  y  f ( x)  y f ( x), x, y S b) f ( x) tăng với  x  vµ  x   x Lời giải cho x  y tõ ®iỊu kiÖn a) ta cã: f  x  f ( x)  x f ( x)  x  f ( x)  x f ( x)  f  x  ( x  1) f ( x)  x ( x 1) f ( x) đặt u  x  ( x  1) f ( x) th× tõ (i) ta suy f (u)  u (i) (ii) Tõ (i) cho x  u ta ®-ỵc f u  (u  1) f (u)  u  (u  1) f (u)  f (u  2u)  u  2u f ( x) tăng với x x Mặt khác từ điều kiện b) ta có nhận xét rằng: x nên ph-ơng tr×nh f ( x)  x cã nhiỊu nhÊt ba nghiƯm, vµ nÕu cã mét nghiƯm n»m (1;0) , mét nghiÖm b»ng 0, mét nghiÖm n»m (0; ) nghiệm điểm bất động f Ta xét tr-ờng hợp sau 1)  u   1  u  2u Vì điểm bất động có (1;0) u Các nghiệm u nên từ (i) vµ (ii) ta cã u  2u  u không thoà mÃn u (1;0) 32 2) u u  2u  theo nhËn xÐt trªn thỡ (0; ) ph-ơng trình f (u) có nghiệm nghiệm nên tõ (i) vµ (ii) ta cã: u  Các nghiệm không thoả mÃn u (0; ) u  2u  u   u  1 VËy chØ cã u  tõ (i) ta cã f  x  ( x  1) f ( x)  x  ( x  1) f ( x), x  S Suy x  ( x  1) f ( x) điểm bất động f x  S th×: x  ( x  1) f ( x)   f ( x)   x , x  S Thư l¹i ta thấy hàm số thoả mÃn x điều kiện toán nghiệm cần tìm hàm số f ( x)   x 1 x 2.7.2.2 VÝ dụ Tìm tất hàm f : (0; ) (0; ) thoả mÃn đồng thời điều kiện: a) f  xf ( y)  y f ( x), x, y  (0; ) b) f ( x)  x  Lời giải cho x y từ điều kiện a) ta cã: f  f (1)  f (1) (i) cho y  f (1) th× cịng tõ a) ta cã: f  x f ( f (1))  f (1) f ( x) (ii) Mặt khác ta có: f x f ( f (1))  f ( xf (1))  f (1) (iii) Tõ (ii) vµ (iii) ta suy ra: f ( x)  f ( x) f (1)  f (1)  (do f ( x)  0, x  (0; ) ) Suy x  điểm bất động f ( x) Lại cho x y từ a) ta có: f  xf ( x)  xf ( x) ®iỊu nµy cã nghÜa xf ( x) cịng lµ ®iĨm bất động f Bây x y điểm bất động f từ a) ta đ-ợc f ( xy) xy Suy xy điểm bất động hàm f x điểm bất động f 1 1 1 th× ta cã:  f (1)  f  x   f  f ( x)   x f    f điểm x x  x   x  x x bÊt ®éng cđa f nh- vËy ngoµi ra, nÕu f cã điểm bất động khác điểm bất động lớn 1, nghịch đảo lớn luỹ 33 thừa nhiều lần điểm bất động lớn nh- điểm bất động lớn tuỳ ý điều trái với giả thiết b).Vậy điểm bất động f xf ( x) điềm bất động x nên từ tính cđa ®iĨm bÊt ®éng ta cã xf ( x)   f ( x)  , x  x Thử lại ta thấy hàm x sè f ( x)  , x  tho¶ mÃn yêu cầu toán 2.8 Ph-ơng pháp sử dụng tính chất đơn ánh, toàn ánh, song ánh đơn điệu hàm số 2.8.1 Nội dung ph-ơng pháp trình vận dụng tính chất đơn ánh, toàn ánh, song ánh tính đơn điệu hàm số vào giải toán ph-ơng trình hàm ta ý ®Õn mét sè ®iĨm sau: + nÕu mét vÕ có chứa f ( x) vế lại có chứa biến x bên thông th-ờng f đơn ánh + f đơn ánh cố gắng biến đổi ph-ơng trình hàm đà cho dạng: f ( f ( x))  f ( g ( x)) g ( x) hàm số đà biết tr-ớc Suy hàm số cần tìm lµ f ( x)  g ( x) + biết đơn ánh số tr-ờng hợp thực phép giản -ớc hai vế ph-ơng trình hàm đà cho để chuyển ph-ơng trình hàm đơn giản + số toán ph-ơng trình hàm giải cách tìm tính chất tập xác định biến số x tập giá trị hàm số f thông th-ờng ta tìm hàm f tập xác định X D f , sau tìm hàm f tập xác định D f tính chất toàn ánh hàm f lµ quan träng 34 + mét sè tr-êng hợp, dự đoán đ-ợc công thức hàm số cần tìm , chẳng hạn: f ( x) g ( x) th× cã thĨ xÐt f ( x)  g ( x) vµ f ( x)  g ( x) , sau sử dụng tính đơn điệu hàm f để dẫn tới điều vô lí + hàm f đơn điệu đà có công thức f tập số hữu tỉ Q chọn hai dÃy hữu tỉ đơn điệu ng-ợc sau chuyển qua giới hạn 2.8.2 ví dụ 2.8.2.1 ví dụ tìm tất hàm đơn điệu f : R R thoả mÃn điều kiện: f ( x  f ( y))  f ( x)  y, x, y  R (1) Lời giải gi¶ sư cã x1 , x2 mµ f ( x1 )  f ( x2 ) th× víi mäi x ta cã: f ( x  f ( x1 ))  f ( x  f ( x2 ))  f ( x)  x1  f ( x)  x2 hay x1 x2 Vậy f đơn ánh Thay y  tõ (1) ta cã f ( x  f (0))  f ( x), x  R Thay x  tõ (1) ta cã f ( f ( y))  f (0)  y, y  R Hay f ( f ( x))  f (0)  x, x  R (1b) Thay x bëi f ( x) tõ (1) vµ (1a) ta ®-ỵc: f  f ( x)  f ( y)  f ( f ( x))  f ( y)  x  f (0)  f ( y)  f  f ( x  y) Do f đơn ánh nên: f ( x y) f ( x)  f ( y), x, y  R Theo kết đà biết phần ph-ơng trình hàm Cô-si ta đ-ợc f ( x) a.x, x R ( a lµ sè thùc tuú ý ) Thay kết vừa tìm đ-ợc vào (1) ta đ-ợc: f  x  f ( y)  f ( x  ay)  f ( x)  f (ay)  a.x  a y vµ f ( x)  y a.x y Do ta phải cã: a.x  a2 y  a.x  y  a y  y   (a  1) y  0, y  R  f ( x)  x , x  R điều xảy a  1 nghÜa lµ ta cã:   f ( x)   x Thư l ta thÊy hai hàm số vừa tìm đ-ợc thoả mÃn điều kiện toán 2.8.2.2 ví dụ tìm tất hàm số f : R R thoả mÃn điều kiện: f  x  f ( y)   xf ( x)  y, x, y  R (2) 35 Lời giải cho x  th× tõ (2) ta cã f  f ( y)  y,  R Từ kết ta dễ thấy f song ánh có a cho f (a)  Thay x  a, y từ (2) ta đ-ợc: f a  f (0)   f (0)  f  f (a  f (0))  a  f (0)  a   a  VËy f (0)  Lại thay y từ (2) ta đ-ợc f ( x2 )  xf ( x), x  R Do ®ã: f ( x )  xf ( x)  f ( x) f  f ( x)  f  f ( x)  Do f đơn ánh (vì f song ánh ) nªn ta suy r»ng:  f ( x)  x f ( x)  x  f ( x)   x   x  f ( x)   x (2a) Gi¶ sư cã a, b  mµ f (a)  a vµ f (b)  b ®ã tõ f a  f (b)  a f (a)  b suy f (a2  b)  a  b  f ( a  b)  a b Mặt khác từ (2a) ta có:  2  f (a  b)  (a  b)  a  b Nh- vËy nÕu f (a2  b)  a  b th× a2  b  a2  b  b  v« lý NÕu f (a2  b)  a  b th× a2  b  a2  b  a  v« lý có khả năng: f ( x)  x , x  R Thư l ta thÊy a2  b  a2  b  a b vô lý ta cã:   f ( x)   x hai hàm số vừa tìm đ-ợc thoả mÃn điều kiện toán 2.9 ph-ơng pháp sử dụng tính chất đạo hàm, nguyên hàm, tích phân 2.9.1 nội dung ph-ơng pháp ph-ơng pháp sử dụng tính chất đạo hàm, nguyên hàm, tích phân th-ờng đ-ợc sử dụng số ph-ơng trình hàm mà giả thiết hàm khả vi, liên tục kỹ thuật biến đổi ta quy ph-ơng trình hàm đà cho dạng thích hợp: 36 - lấy đạo hàm vế ph-ơng trình hàm theo biến thích hợp - lấy nguyên hàm, tích phân với cận thích hợp Khi nhờ tính chất đạo hàm, nguyên hàm tích phân ta tìm đ-ợc hàm số cần tìm Xin xÐt mét sè vÝ dơ sau ®Ĩ thÊy râ ph-ơng pháp: 2.9.2 ví dụ 2.9.2.1 ví dụ xác định tất hàm f : R R khả vi vô hạn thoả mÃn điều kiện: f ( x  y)  f ( x)  f ( y)  2xy, x, y  R (1) Lời giải C¸ch 1: cho x  y  th× tõ (1) ta cã f (0)  f (0) , suy f (0)  Víi f ( x)  x2  2a.x, a  R y  tõ gi¶ thiÕt f ( x  y)  f ( x)  f ( y)  xy Hay f ( x  y)  f ( x)  f ( y)  2xy Suy  f ' ( x)  lim y 0 f ( x  y )  f ( x) f ( y )   2x y y f ( x  y )  f ( x) f ( y)  lim(  x)  f ' ( x)  f ' (0)  x y y y Mặt khác: x x 0 f ( x)  f ( x)  f (0)   f ' (t )dt   (2t  f ' (0))dt x  f ' (0).x  f ( x)  x  2a.x (víi a  f ' (0) ) Thư l¹i ta thÊy hµm sè f ( x)  x2  2a.x, a R nghiệm toán Cách 2: từ (1) lấy đạo hàm hai vế lần l-ợt theo x y ta đ-ợc: f ' ( x  y )  f ' ( x)  y (1a) f ' ( x  y)  f ' ( y)  x (1b) Tõ (1a) vµ (1b) ta đ-ợc: f ' ( x) y  f ' ( y)  x  f ' ( x)  x  f ' ( y)  y, x, y  R Tõ ®ã suy f ' ( x)  x  C  f ' ( x)  x  C, x  R VËy: f ( x)   (2 x  C )dx  x2  Cx C ' Vì f (0) nên suy C '  Do ®ã 37 f ( x)  x  Cx, C  R nghiệm cần tìm 2.9.2.2 ví dụ (Tp Toán học Tuổi trẻ tháng - số 230) tìm tất hàm số f : R R thoả mÃn điều kiện: f ( x) f (q)  5( x  q) , q  Q, x  R (2) Lời giải víi x, x0  R,( x  x0 ) , chän sè hữu tỉ q nằm x x0 thì: f ( x)  f ( x0 )  f ( x)  f (q)  f (q)  f ( x0 )  f ( x)  f (q)  f (q)  f ( x0 )  5( x  q)2  5(q  x0 )  5( x  x0 )  5( x  x0 )  10( x  x0 ) (2a) Tõ (2a) suy lim f ( x)  f ( x0 )   lim f ( x)  f ( x0 ) Suy f ( x) hàm số x x xx 0 liên tục x0 R Mặt khác từ (2a) ta nhận đ-ợc: f ( x) f ( x0 ) f ( x)  f ( x0 )  10 x  x0  lim 0 x  x x  x0 x  x0 Hay f ' ( x0 )  0, x0  R  f ' ( x)  0, x  R Do f ( x) liên tục nên từ ta suy ra: f ( x)  C, x  R , C số thử lại ta thấy hàm số vừa tìm đ-ợc thoả mÃn yêu cầu toán 2.10 Ph-ơng pháp quy nạp 2.10.1 nội dung ph-ơng pháp ph-ơng pháp quy nạp th-ờng xét hàm số xác định tập N lấy giá trị tập N, sau mở rộng cho tr-ờng hợp hàm cần tìm xác định Z Q nhiên, vài tr-ờng hợp ta sử dụng ph-ơng pháp việc xác định hàm f : R R f hàm số liên tục sử dụng đến tính chất trù mật cđa tËp Q 2.10.2 c¸c vÝ dơ 2.10.2.1 vÝ dơ tìm tất hàm f : Z Z thoả mÃn điều kiện: 38 f f (n)  n  2, n  Z  (1) Lời giải tõ gi¶ thiÕt (2) ta cã f (n  2)  f  f ( f (n))  f (n)  2, n  Z  Từ theo quy nạp ta đ-ợc: Với n 2k th× f (2k )  f (0)  2k , k  Z  , k  Z  Víi n  2k  th× f (2k  1)  f (1)  2k , k  Z   f (0)  2a V× f (0)  Z  nªn:  , a  Z  f (0)  a   NÕu f (0)  2a th× f ( f (0))  f (2a)  f (0)  2a  2a  2a  4a mµ f ( f (0))  (do (2)) Do ®ã 4a   a điều mâu thuẫn với a Z  VËy f (0)  2a  ta l¹i cã  f ( f (0))  f (2a  1)  f (2a)  f (1)  f (1)  2a a  f (1)  Z  nªn suy f (1)  tõ ®ã ta cã 2a   a  VËy  a  Víi a  ta cã f (0)  1, f (1)  tõ ®ã ta cã:  f (2k )  2k   f (n)  2n  1, n  Z    f (2k  1)  2k  Víi a  ta cã f (0)  3, f (1)  tõ ®ã ta cã:  f (2k )  2k  n  3, n  2k  f ( n)   , k  Z   f (2 k  1)  k n  1,  n  k Kiểm tra lại ta thấy hai hàm số vừa tìm đ-ợc thoả mÃn điều kiện toán 2.10.2.2 ví dụ cho f (n) hàm số xác định với n N * lấy giá trị không âm thoả mÃn tính chÊt:  f (m  n)  f (m)  f (n)   f (m  n)  f (m)  f (n)  1) m, n  N * :  2) f (2)  0, f (3)  39 3) f (9999)  3333 tÝnh f (2000) Lời giải tr-íc hÕt ta cã f (3)  thËt vËy: tõ ®iỊu kiƯn (1) ta cho m  n  ta 1 đ-ợc f (1 1)  f (1)  f (1)    f (2)  f (1)   v× f (2)  nªn suy 0 2 f (1) lại f (1) nên f (1) Mặt khác cho m 2, n ta lại có 0 0 f (3k )  k , k  f (2  1)  f (2)  f (1)    f (3)  f (2)  f (1)    f (3)   1 1 f (3) nên từ suy f (3)  Cho m  n  ta cã: 0 0 0  f (3  3)  f (3)  f (3)    f (6)  f (3)  f (3)         f (6)  1 1 1 3 Nh- ta dự đoán f (3n) n (*) Ta chøng minh (*) b»ng quy n¹p Víi n n hiển nhiên (*) Giả sử (*) với với n k tøc lµ f (3k )  k , k  , ta sÏ chøng minh (*) ®óng víi n  k  0 1 0 1 Ta cã f (3(n  1))  f (3n)  f (3)    n  f (3)  n Hơn nữa, ta cã f (3n)  n víi mäi m  n th×: f (3m)  f (3(n     1))  f (3n)  f (3)   f (3)  n      m nh-ng v× f (3.3333)  3333 vËy f (3n)  n, n  3333 0 n Ta cã f (3n  1)  f (3n)  f (1)     1  n  Nh-ng: 3n   f (9n  3)  f (6n  2)  f (3n  1)  f (3n  1)  f (3n  1)  n  1.vËy f (3n  1)  n Tu¬ng tù ta cịng cã f (3n  2)  n đặc biệt f (2000) f (3.666 2) 666 40 2.11 Ph-ơng pháp tổng hợp Để tìm đ-ợc đ-ờng đến lời giải ph-ơng trình hàm không đơn giản phần cuối ta xét ph-ơng trình hàm mà việc giải chúng đòi hỏi khả suy luận cao, đòi hỏi phải huy động nhiều kiến thức liên quan kết hợp nhuần nhuyễn nhiều ph-ơng pháp giải nh- đà trình bày Xin lấy số ví dụ sau đây: 2.11.1 ví dụ tìm tất hàm f : R R thoả mÃn điều kiện: a) f x f ( y)  f ( y)  f ( x  y), x, y  R b) TËp hỵp A  x  R / f ( x) tập hữu hạn Li gii đặt f (0)  a thay x  y  f ( y) ta cã: f  x  f ( y)  f ( y)  f ( x  y )  f ( y )  f ( y )  f ( f ( y )) Hay f ( f ( y))  f ( y), y  R V× vËy ta cã f (a)  f ( f (0))  f (0)  2a Thay x  2a, y  a vµo hƯ thøc a) ta cã f (2a  a)  f (a)  f (2a  a)  f (0)  f (a)  f (a) Suy f (0)  B©y giê thay x  y ta cã: f  y  f ( y)  f ( y)  f (2 y  y)  f ( y)  f 2 y  f ( y)  0, y  R xÐt sè b mµ f (b)  tõ kÕt thay y b ta có f (2b)  l¹i thay y  2b ta cã f (4b) ph-ơng pháp quy nạp ta dễ dàng chứng minh đ-ợc: f (2n b) 0, n  N NÕu b  th× giá trị 2n b phân biệt, nghĩa tËp A  x  R / f ( x) tập vô hạn trái giả thiết b) b Tóm laị: f ( x)   x  Tõ ®iỊu kiƯn a) ta cã: f  y  f ( y)   y  f ( y)   f ( y)  y, y  R 41 Hay f ( x)  x, x R thử lại ta thấy hàm số vừa tìm đ-ợc thoả mÃn yêu cầu toán 2.11.2 vÝ dơ (Đề thi HSG Tỉnh Thanh Hố năm 1996) tìm tất hàm f : R R thoả mÃn điều kiện: f ( x y)  f ( x) f ( y)  f ( xy)  f ( x)  f ( y), x, y  R  Lời giải cho x  y thay vào (2) ta đ-ợc: f (4)   f (2)   f (4)  f (2)   f (2)   f (2)  f (2)  f (2)  2  2 Do f ( x)  nên ta có: f (2) Ta lại cho x  y  ta cã: f (2)   f (1)   f (1)  f (1)    f (1)   f (1)   f (1)   f (1)   2  f (1)    f (1)  a) xÐt tr-êng hỵp f (1)  từ giả thiết toán cho y ta đ-ợc: f ( x 1) f ( x)  f ( x)  f ( x)  f (1)  f ( x)  Hay f ( x  1)  Từ suy f ( x) 2, x  x Víi  x  ta chän y   ®ã ta cã: 1  f  x    f ( x) f x  1    f (1)  f ( x)   x 1 f   x suy  f ( x)   f ( x)   f ( x)  víi mäi  x  nh- vËy ta cã mét hàm số cần tìm f ( x) 2, x  R b) xÐt tr-êng hỵp f (1)  Thay y  1, tõ gi¶ thiÕt ta đ-ợc : f ( x 1) f ( x)  f ( x)  f ( x)  f (1) Hay: (2) 42 f ( x  1)  f ( x)  1, x  R (2a) Từ (2a) ph-ơng pháp quy nạp ta thu đ-ợc f (n) n, n N * Vµ: f ( x  n)  f ( x)  n, x  R  , n  N * Cho x  n, y  (2b) , từ giả thiết toán ta có : n 1  f  n    f ( n) f n  1    f (1)  f (n)  n 1  f n   n n  1 f   , kết hợp với (2b) ta thu đ-ợc: n f  n 1 1 1 VËy: n  f    nf     f (n)  f    f     , n  N * n n n  n  f ( n) n Víi mäi sè h÷u tØ m , m, n  N * ta cho x  m, y  , từ giả thiết toán ta thu n n ®-ỵc: 1  f  m    f (m) f n  1  m    f    f (m)  n n m 1  m f   m   f  m n n n n n m m VËy: f    n n Nh- ta đà chứng minh đ-ợc x Q f ( x) x Bây ta chứng minh f hàm đồng biến 0;   Tr-íc hÕt ta chó ý r»ng víi mäi x  ta chän: y  x  th× ta cã x  y  xy x 1 Suy f ( x  y) f ( xy) Khi đó, từ giả thiết toán ta thu đ-ợc: x f ( x) f    f ( x)   x 1   x  f   x 1   x  f   f ( x) f ( x) Từ suy  x 1  f ( x)  x  f ( x)   hay lµ f ( x)  vµ f  , x    x  f ( x) 1 Mặt khác tõ (2c) ta cã:  f    f 1     x  x f ( x  1) f ( x)   x 1  f   f ( x)  x  f ( x  1)  (2c) 43 Nh- vËy f    ,  R Do x f ( x)  vµ nÕu  x  th×  x  f ( x) 1  f ( x)  +) xÐt < x < y < ta cã: f ( y  x  x)  f ( y  x) f ( x)  f  ( y  x ) x   f ( y  x )  f ( x ) Hay f ( y)  f ( y  x) x  f ( y  x)  f ( x)  f ( y  x) f ( x) ®Ĩ ý r»ng  x  nªn f ( x)  1, v× thÕ f ( y) f ( x) hàm f đồng biến khoảng ( ; 1) 1 +) xÐt  x  y ta cã:     f    y x  y 1 1 f    f ( y ) f ( x) x  f ( x)  f ( y ) Nh- thÕ f đồng biến 1, Và ®ã f ®ång biÕn trªn  0;   Cuối cùng, với x > ta chọn hai d·y sè h÷u tØ un  , vn  cho un  x  un  lim x Khi f đồng biến nên vµ nlim  n f (un )  f ( x)  f (vn )  un  f ( x) Cho n ta đ-ợc f ( x)  x thư l¹i ta thÊy hàm số vừa tìm đ-ợc thoả mÃn yêu cầu toán có hai hàm số thoả mÃn đề lµ: f ( x)  vµ f ( x)  x, x  R  44 KÕt luËn Nh- đà trình bày phần mở đầu, nay, tr-ờng phổ thông, nội dung ph-ơng trình hàm ch-a đ-ợc đề cập nhiều phần lớn học sinh tiếp cận với ph-ơng trình hàm học sinh lớp chuyên toán đa số học sinh tìm hiểu ph-ơng trình hàm cảm thấy khó loại toán đòi hỏi nguời làm toán phải vận dụng nhiều kiến thức giải, có khả t- tốt, khả khái quát, phán đoán vấn đề Vì vậy, việc nghiên cứu ph-ơng pháp giải ph-ơng trình hàm cấp thiết, làm cho kho tàng ph-ơng pháp giải ph-ơng trình hàm thêm phong phú, mà giúp ng-ời giải toán nói chung, học sinh THPT nói riêng ngày dễ dàng tiếp cận yêu thích ph-ơng trình hàm với đề ti: Một số phương php gii phương trình hm, luận văn đ nêu lên cách chi tiết ph-ơng pháp giải ph-ơng trình hàm thông dụng Ngoài việc trình bày hệ thống nội dung ph-ơng pháp, luận văn nêu ví dụ điển hình minh hoạ cho ph-ơng pháp Qua giúp ng-ời giải toán dễ hình dung nắm bắt đ-ợc ph-ơng pháp giải loại ph-ơng trình hàm Mặc dù đà cố gắng, nh-ng lực thời gian có hạn nên chắn luận văn nhiều chỗ thiếu sót mong nhận đ-ợc ý kiến đóng góp thầy cô bạn 45 Tài liệu tham khảo A Tiếng việt [1] Nguyễn Hữu Điển, Đa thức ứng dụng, Nhà xuất Giáo dục, 2003 [2] Nguyễn Văn Mậu, Đa thức đại số phân thức hữu tỉ, Nhà xuất Giáo dục, 2004 [3] Nguyễn Văn Mậu, Ph-ơng trình hàm, Nhà xuất Giáo dục, 1999 [4] Nguyễn Sinh Nguyên, Nguyễn Văn Nho, Lê Hoành Phò, Tuyển tập dự tuyển Olimpic toán quốc tế, Nhà xuất Giáo dục, 2002 [5] Nguyễn Văn Nho, Olimpic toán học Châu - Thái Bình D-ơng, Nhà xuất Giáo dục, 2003 [6] Nguyễn Trọng Tuấn, Bài toán hàm số qua kì thi Olimpic, Nhà xuất Giáo dục, 2004 [7] Tuyển tập 30 năm Tạp chí Toán học Tuổi trẻ, Nhà xuất Giáo dục, 1998 [8] Tuyển tập năm Tạp chí Toán học Tuổi trẻ, Nhà xuất Giáo dục, 2003 B TiÕng Anh [1] B.J Venkatachala, Functional equations a problem soving approach(Problems from mathematical Olympiads and other contests) Prism, 2002 ... ph-ơng pháp giải ph-ơng trình hàm 14 Ch-ơng Một số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình hàm ph-ơng trình hàm dạng toán khó nhìn chung, việc giải ph-ơng trình hàm th-ờng quy tắc tổng quát giải ph-ơng trình. .. trình hàm ph-ơng trình mà ẩn hàm số giải ph-ơng trình hàm tức tìm hàm số ch-a biết Lý thuyết ph-ơng trình hàm lĩnh vực nghiên cứu quan trọng lý thuyết số giải tích toán học dạng toán ph-ơng trình. .. bày tính chất đặc tr-ng hàm hàm số phần trình bày số ph-ơng trình hàm nh- ph-ơng pháp tìm nghiệm ph-ơng trình hàm th-ờng gặp loại ph-ơng trình hàm sau: 1.2.1 Ph-ơng trình hàm c bn (Phng trỡnh hm