Tính với đáy, BAD theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng SBC.. 3a , hình 2 chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ABCD là trung điểm của cạnh AB.[r]
Quan hệ vuông góc - Khoảng cách
Cho hình vuông ABCD cạnh a trong mặt phẳng (P), với hai điểm M và N di động trên các cạnh CB và CD, lần lượt có CM = x và CN = y Để tìm mối liên hệ giữa x và y, ta có hai điều kiện: a) Các mặt phẳng (SAM) và (SAN) tạo thành góc 45 độ, dẫn đến hệ thức xy - 2a(x + y) + 2a = 0; b) Các mặt phẳng (SAM) và (SMN) vuông góc với nhau, cho ra kết quả x² = a(x - y).
2 Trên các cạnh Ox, Oy, Oz của tam diện vuông Oxyz, lấy lần lượt ba điểm A,
Trong tam giác ABC với OA = a, OB = b, OC = c, H là trực tâm Để tính độ dài OH và diện tích tam giác ABC, ta cần áp dụng các công thức hình học liên quan Khi a, b, c thay đổi theo điều kiện a² + b² + c² = k² (k là hằng số dương), ta cần tìm giá trị lớn nhất của OH và diện tích tam giác ABC Cuối cùng, cần chứng minh rằng a² tanA = b² tanB = c² tanC để hoàn thiện bài toán.
3 Cho tam diện vuông đỉnh O Trên ba cạnh của tam diện ấy lấy ba điểm A,
Cho B, C sao cho AC = 2OB và BC = 2OA a) M, N là chân các đường vuông góc từ O xuống AC và BC Chứng minh rằng MN vuông góc với OC b) Tính cosMON c) Gọi D là trung điểm của AB và chứng minh điều gì đó liên quan đến D.
ĐH Kinh tế TpHCM - 95 ĐS: b) cos MON 1 / 4
Cho tứ diện ABCD với các cạnh AB = 2x, CD = 2y và bốn cạnh còn lại có độ dài bằng 1 a) Diện tích toàn phần của tứ diện được tính theo công thức S tp = 2x * 1 * (1 - x^2 + y * 1 - y^2) b) Để diện tích toàn phần đạt giá trị lớn nhất, xác định x và y sao cho S max = 2, với điều kiện x = y = 2/2.
Cho hình chóp O.ABC với OA, OB, OC vuông góc với nhau và OA = a, OB = b, OC = c Ta kẻ OH vuông góc với mặt phẳng (ABC) và chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác ABC Ngược lại, nếu H là trực tâm của tam giác ABC thì OH cũng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Diện tích tam giác ABC được tính theo công thức: ABC = 1/2 * a * b * sinC, và ta chứng minh rằng a² tanA = b² tanB = c² tanC Kết quả cuối cùng cho diện tích tam giác ABC là 1/2 * (a² + b² + c²).
Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều với cạnh a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), trong đó SA = h Để tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) theo a và h, ta cần áp dụng các công thức hình học phù hợp Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và H là trực tâm của tam giác SBC, cần chứng minh rằng OH vuông góc với mặt phẳng (SBC).
Trong tứ diện ABCD, với các cạnh AC = AD = BC = BD = a và AB = 2m, CD = 2n, ta cần xác định vị trí và độ dài đường vuông góc chung IJ giữa hai cạnh đối nhau AB và CD, trong đó I thuộc AB và J thuộc CD Đồng thời, một mặt phẳng (α) vuông góc với IJ tại điểm O sao cho JO = x cũng cần được vẽ để tạo ra thiết diện.
MNPQ là mặt phẳng (α) cắt tứ diện, và nhiệm vụ là tính diện tích thiết diện Để đạt được diện tích lớn nhất cho thiết diện, cần xác định vị trí điểm O Kết quả diện tích lớn nhất sẽ được tính toán dựa trên các thông số đã cho.
Cho tam giác vuông ABC tại A với BC = a và AC = b S là điểm di động trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại C Mặt phẳng (P) đi qua C và vuông góc với SB cắt SA và SB tại H và K Cần chứng minh rằng CH vuông góc với mặt phẳng (SAB) và tìm quỹ tích của H khi S di động trên d Đặt SC = x, tính độ dài HK theo a, b và x.
Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại đỉnh A, với các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng β Để chứng minh các cạnh bên của hình chóp bằng nhau, ta xem xét các góc và tính chất của tam giác cân Gọi I là trung điểm của BC, ta chứng minh mặt phẳng (SAI) vuông góc với mặt phẳng (ABC) bằng cách sử dụng định nghĩa của các góc và phương trình mặt phẳng K là hình chiếu vuông góc của A lên SI, và ta chứng minh rằng AK vuông góc với mặt phẳng (SBC) dựa trên tính chất hình học Cuối cùng, với góc BAC = α và khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) là d, ta tính diện tích tam giác ABC theo công thức d = 2d cot²(β) sin(α/2) cos(α/2).
Trong tứ diện ABCD, với cạnh CD = 2a và các cạnh còn lại đều bằng a, ta cần chứng minh rằng các góc CAD và CBD bằng 90 độ Diện tích toàn phần của tứ diện ABCD được tính là S = (2 + √3)a² Cuối cùng, ta cũng chứng minh rằng mặt phẳng (ACD) vuông góc với mặt phẳng (BCD).
Xét hình chóp S.ABC với các thông số SA (ABC), SA = h, AB = AC = b, và BC = a Để xác định tỉ số AD = x·AB (0 < x < 1) sao cho mặt phẳng đi qua điểm D, song song với SA và BC, cắt hình chóp thành hình vuông, ta cần phân tích vị trí của điểm D trên cạnh A Đồng thời, để tam giác SBC trở thành tam giác vuông, cần tìm mối liên hệ giữa các đại lượng a, b và h.
HV Ngân hàng khối D ban C - 98 ĐS: a)
Cho hình chóp S.ABC với SA là đường cao và đáy là tam giác ABC vuông tại B Biết rằng góc BSC = 45 độ, hãy xác định góc ASB = α để góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) bằng 60 độ Kết quả là cos α = 2/5.
Trong tứ diện ABCD, một mặt phẳng (α) song song với AD và BC cắt các cạnh AB, AC, CD, DB tại các điểm M, N, P, Q Ta cần chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình bình hành Để đạt được diện tích lớn nhất cho tứ giác MNPQ, mặt phẳng (α) nên đi qua trung điểm của các cạnh AB, AC, CD và DB.
14 Cho ABC cân tại A có AB = AC = a và góc BAC2 Trên đường thẳng d qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm S sao cho
SA = 2a Gọi I là trung điểm của BC và hạ AH vuông góc với SI a) Chứng minh AH vuông góc với mặt phẳng (SBC) và tính độ dài của AH dựa trên a và α b) Đặt K là một điểm thay đổi trên đoạn AI và ký hiệu AK.
AI x Mặt phẳng (R) qua K và vuông góc với AI cắt các cạnh AB, AC, SC, SB lần lượt tại M,
N, P, Q Tứ giác MNPQ là hình gì ? Tính diện tích tứ giác này ĐH Quốc gia TpHCM Khối D - 99 ĐS: MNPQ là hcn, S = 4a 2 x(1 - x)sin
Hình chóp - Khối đa diện
30 Trong mp(P) cho đường tròn (C) tâm O đường kính AB = 2R Lấy một điểm S thuộc đường thẳng vuông góc với (P) tại O sao cho OS = R 3 Gọi
I là điểm thuộc đoạn SO với SI = 2
R, M là điểm thuộc (C) a) Tính tỉ số SH
H là hình chiếu của điểm I lên mặt phẳng SM, từ đó xác định quỹ tích của H khi điểm M di chuyển trên đường tròn (C) Để hình chóp H.AMB có thể tích lớn nhất, cần xác định vị trí tối ưu của M trên (C) và tính giá trị lớn nhất này Cuối cùng, tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SMB).
ĐH Bách khoa TpHCM - 94 ĐS: a) SH/SM=1/2 b)V max R 3 3 /8 khi M trung điểm AB c) arctan2
31 Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC vuông tại A, AB = c, AC = b Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) tại A, lấy điểm S sao cho
SA = h (h > 0) M là một điểm di động trên cạnh SB, với I và J là trung điểm của BC và AB a) Tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng SI và AB b) Tính tỉ số giữa thể tích các hình chóp BMIJ và BSCA khi độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường AC và MJ đạt giá trị lớn nhất ĐH Bách khoa TpHCM - 95 ĐS: a)
Trong tam diện Oxyz với ba tia Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau, điểm M cố định nằm trong tam diện Mặt phẳng đi qua M cắt các tia Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B, C Khoảng cách từ M đến các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) lần lượt là a, b, c Cần chứng minh rằng tam giác ABC không phải là tam giác vuông và đồng thời chứng minh rằng a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1.
OAOBOC c) Tính OA, OB, OC theo a, b, c để tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất ĐH Y Dược TpHCM - 95 ĐS: c) min 9
Trong tứ diện SABC có các góc phẳng ở đỉnh S vuông, cần chứng minh rằng diện tích 3S ABC ≥ S SAB + S SBC + S SAC Biết rằng SA = a và SB + SC = k, đặt SB = x, ta sẽ tính thể tích V SABC theo a, k, x và xác định các giá trị SB, SC để V SABC đạt giá trị lớn nhất.
Cho tam giác ABC với AB = AC, xét điểm M di chuyển trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A (M ≠ A) Câu a) yêu cầu tìm quỹ tích trọng tâm G và trực tâm H của tam giác ABC Câu b) với O là trực tâm của tam giác ABC, cần xác định vị trí của điểm M để thể tích tứ diện OHBC đạt giá trị lớn nhất.
Cho tứ diện đều ABCD với cạnh a, H là hình chiếu vuông góc của A xuống mặt phẳng (BCD) và O là trung điểm của AH Thể tích của tứ diện ABCD được tính bằng công thức phù hợp với hình dạng đều Để chứng minh AB vuông góc với CD, ta cần áp dụng định lý hình học liên quan đến tứ diện đều Khoảng cách giữa hai đoạn thẳng AB và CD cũng có thể được xác định dựa trên chiều dài cạnh a Tiếp theo, ta chứng minh rằng các đoạn OB, OC, OD đều vuông góc với nhau, điều này thể hiện tính chất đặc biệt của tứ diện đều Cuối cùng, cần xác định điểm M trong không gian sao cho thỏa mãn các điều kiện đã cho.
MA MB MC MD đạt giá trị nhỏ nhất ĐH QG TpHCM khối D - 97 ĐS: a) a 3 2
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, với cạnh SA vuông góc và có độ dài bằng a Mặt phẳng đi qua CD cắt các cạnh SA và SB tại các điểm M và N, trong đó AM = x Câu hỏi đặt ra là tứ giác MNCD có hình dạng gì và diện tích của nó được tính như thế nào dựa trên a và x Ngoài ra, cần xác định giá trị của x để tỉ số thể tích giữa hai khối chóp S.MNCD và một khối chóp khác được xác định.
9 ĐH QG TpHCM khối A - 97 ĐS: a) S ( 2a x ) a 2 x /2 2 (đvdt) b)x2a/3
Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a Để tính thể tích của hình chóp này, ta sử dụng công thức V = (1/3) * diện tích đáy * chiều cao Diện tích đáy ABCD là a², và chiều cao có thể được tính dựa trên khoảng cách từ tâm đáy đến các mặt bên Khoảng cách này cũng cần được xác định để hoàn thiện bài toán.
Cho hình vuông ABCD cạnh a với tâm I, các nửa đường thẳng Ax và Cy vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và cùng hướng Xét điểm M trên Ax (khác A) với AM = m và điểm N trên Cy (khác C) với CN = n Thể tích của hình chóp B.AMNC được tính bằng công thức V = (m + n)a / 6 Để tìm MN theo a, m, n, có công thức MN = 2a² + (mn) - 2 Điều kiện để MIN = 90° là a² - 2mn = 0.
Đoạn thẳng AB là đường vuông góc chung của hai đường thẳng x và y, với A thuộc x và B thuộc y, có độ dài AB = d Gọi M là điểm thay đổi trên x và N là điểm thay đổi trên y, với AM = m và BN = n (m, n ≥ 0) Giả sử m² + n² = k > 0, k không đổi Để độ dài đoạn MN đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, ta cần xác định m và n Trong trường hợp hai đường thẳng x và y vuông góc và mn ≠ 0, ta cần tìm m và n (theo k và d) để thể tích tứ diện ABMN đạt giá trị lớn nhất, và giá trị này được tính là MN max = d² + k cos φ khi m = n = k/2.
MN min d k k cos khi mn k/2 và AM ,BN (với là góc giữa hai đường thẳng x và y) b) V ABMN(max) kd/12 khi mn k/2
Trong mặt phẳng (P), có đường tròn (S) với đường kính AB = 2R Tại điểm A, trên đường thẳng vuông góc với (P), ta chọn điểm C sao cho AC = AB Điểm M nằm trên đường tròn (S) và H là hình chiếu của A xuống đoạn thẳng CM Khi M di chuyển trên (S), hình chiếu H sẽ di động trên một đường tròn cố định Để xác định vị trí của M trên (S) và tính độ dài AM theo R, cần phân tích thêm về hình chóp liên quan.
H.ABC có thể tích lớn nhất Tính giá trị lớn nhất đó ĐH Văn Lang khối B, D - 97 ĐS: a) V max R 3 2 /3 khi AM2R 3 /3
41 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật Lấy M, N lần lượt trên các cạnh SB, SD sao cho: SM SN 2
BM DN a) Mặt phẳng (AMN) cắt cạnh SC tại P Tính tỉ số SP
CP b) Tính V S.AMPN theo V S.ABCD ĐH Cần Thơ khối A - 98 ĐS: a) SP/CP=1 b)V S.AMPN =V S.ABCD /3
42 Cho góc tam diện ba mặt vuông Oxyz Trên Ox, Oy, Oz lần lượt lất ba điểm
A, B, C a) Tính diện tích tam giác ABC theo OA = a, OB = b, OC = c b) Giả sử A, B, C thay đổi nhưng luôn thỏa:
OA + OB + OC + AB + BC + CA = k không đổi
Hãy xác định giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện OABC ĐH Ngoại thương khối A - 98 ĐS: a) 1 2 2 2 2 2 2
Hình chóp S.ABCD có cạnh bên và cạnh đáy đều có độ dài bằng a Để chứng minh rằng SA vuông góc với SC, ta cần xem xét các đặc điểm hình học của chóp Thể tích của khối chóp S.ABCD được tính theo công thức V = a^3 / 6 Ngoài ra, khoảng cách giữa đường thẳng AD và mặt phẳng (SBC) cũng có thể được xác định, với kết quả là a / 3.
44 Cho hình chóp S.ABC, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi D, E, F là các điểm mà ADx AB
, x là số dương nhỏ hơn 1 Mặt phẳng đi qua D, E, F chia hình chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần đó theo x
HV Ngân hàng khối D ban B - 98 ĐS:
Cho tứ diện ABCD với các cạnh AD = BC = a, AC = BD = b, AB = CD = c Ta cần chứng minh rằng đoạn nối trung điểm của các cặp cạnh đối diện là đoạn vuông góc chung của các cặp cạnh đó Ngoài ra, cần tính thể tích tứ diện theo các cạnh a, b, c Kết quả thể tích được tính bằng công thức: V = 1/2 * (a^2 + b^2 - c^2).
46 Hai tia Ax, By nằm trên hai đường thẳng chéo nhau và tạo với nhau một góc Đường thẳng AB cùng vuông góc với Ax và By Lấy M Ax,
Để giải bài toán, ta cần dựng đường vuông góc chung của đoạn thẳng AB và MN với độ dài được tính theo các đại lượng m, n, α và d Sau đó, ta sẽ tính thể tích của tứ diện ABMN.
Hình chóp S.ABCD có cạnh SA = x và các cạnh còn lại đều bằng 1 Để chứng minh SA vuông góc với SC, ta cần áp dụng các định lý hình học liên quan Thể tích của hình chóp được tính bằng công thức V = (1/3) * diện tích đáy * chiều cao Để bài toán có nghĩa, x phải thỏa mãn điều kiện phù hợp với các cạnh còn lại của hình chóp.
Phân viện Báo Chí Tuyên Truyền - 98 ĐS: a) 1 2
48 Cho tứ diện ABCD có AB = BC = CA = AD = DB = a 2và CD = 2a a) Chứng minh rằng AB CD Hãy xác định đường vuông góc chung của
B và CD b) Tính thể tích tứ diện ABCD
CĐ Kỹ nghệ TpHCM - 98 ĐS: b) a / 3 3
Hình lăng trụ - Hình hộp
106 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD với AA = a, AB = b, AD = c Tính thể tích tứ diện ACBD theo a, b, c
HV Quan hệ QT - 97 ĐS: V = abc/3 (đvtt)
Trong hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh dài a, ta cần tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và BD Đồng thời, cần chứng minh rằng đường chéo BD vuông góc với mặt phẳng (DAC).
Hình lăng trụ tam giác đều ABC.ABC có cạnh đáy bằng 2a và chiều cao bằng a Để dựng thiết diện của lăng trụ, ta cần mặt phẳng đi qua điểm B và vuông góc với cạnh AC Diện tích của thiết diện này được tính là S = 3a² * (15/8).
Cho hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh dài a và một điểm M trên cạnh AB với AM = x (0 < x < a) Xét mặt phẳng (P) đi qua điểm M và chứa đường chéo AC của hình vuông ABCD Cần tính diện tích thiết diện của hình lập phương bị cắt bởi mặt phẳng (P) Ngoài ra, mặt phẳng (P) chia hình lập phương thành hai khối đa diện, và yêu cầu tìm giá trị x sao cho thể tích của một trong hai khối đa diện đó gấp đôi thể tích khối đa diện còn lại.
HV Ngân hàng khối D - 99 ĐS:a)
Trong hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD, điểm M nằm trên cạnh AD, và mặt phẳng (ABM) cắt đường chéo AC tại điểm H Khi M thay đổi trên cạnh AD, đường thẳng MH luôn cắt đường thẳng AB tại một điểm cố định Nếu M là trung điểm của cạnh AD, tỉ số thể tích của hai khối đa diện do mặt phẳng (ABM) tạo ra là 1/11 Nếu AA = AB và MB vuông góc với AC, ta có thể chứng minh rằng mặt phẳng (ABM) vuông góc với AC, và điểm H là trực tâm của tam giác ABM.
Hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh dài a, với M và N là trung điểm của BC và DD Để chứng minh rằng MN song song với mặt phẳng (ABD), ta cần phân tích vị trí và hướng của các điểm này Tiếp theo, để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và MN, ta áp dụng công thức phù hợp dựa trên độ dài a.
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD với AB = a, AD = 2a, AA = a Để giải bài toán, trước tiên cần tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và BC Tiếp theo, xác định điểm M chia đoạn AD theo tỉ số AM = 3MD và tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (ABC) Cuối cùng, tính thể tích tứ diện ABDC.
Học viện CN BCVT - 01 ĐS: a) a; b) a/2 c) 2a 3 /3
113 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD (AA, BB, CC, DD) song song và
AC là đường chéo của hình chữ nhật ABCD với AB = a và AD = 2a Gọi AA' = a², M là điểm thuộc đoạn AD, và K là trung điểm của B'M Đặt AM = m (0 ≤ m < 2a), ta cần tính thể tích khối tứ diện A'KID theo a và m, trong đó I là tâm của hình hộp, và tìm vị trí của điểm M để thể tích đạt giá trị lớn nhất Khi M là trung điểm của AD, thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng (B'CK) sẽ là hình gì và diện tích thiết diện đó được tính theo a Đồng thời, cần chứng minh rằng B'M tiếp xúc với mặt cầu có đường kính AA'.
Hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có các cạnh AB = a, BC = b, và chiều cao AA = c Để tính diện tích tam giác ACD, ta sử dụng công thức phù hợp với các kích thước a, b, c Ngoài ra, nếu M và N là trung điểm của các cạnh AB và BC, thể tích của tứ diện DDMN cũng có thể được tính toán dựa trên a, b, c.
HV QHQT khối D - 01 ĐS: a) ACD' 1 2 2 2 2 2 2
Trong hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh bằng a, ta cần tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A1B và B1D, kết quả là a√6/6 Tiếp theo, với M, N, P là các trung điểm của các cạnh BB1, CD, A1D1, ta tính góc giữa hai đường thẳng MP và C1N, cho kết quả là 90 độ.
116 Cho hình lập phương ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 có cạnh bằng a Giả sử M, N lần lượt là trung điểm của BC, DD 1 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
CĐ KTKT Hải Dương - 02 ĐS: a 3 /6
117 Cho hình lăng trụ đứng ABCD.ABCD có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a, BAD60 0 Gọi M là trung điểm cạnh AA và N là trung điểm cạnh
CC Chứng minh rằng bốn điểm B, M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng
Hãy tính độ dài cạnh AA theo a để tứ giác BMDN là hình vuông ĐH Khối B - 03 ĐS: AA'a 2
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác cân với AB = AC = a và góc BAC = 120° Cạnh bên BB' có độ dài bằng a Gọi I là trung điểm của CC' Cần chứng minh rằng tam giác AB'I vuông tại A và tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB'I).
Dự bị 2 ĐH Khối A - 03 ĐS: cos 30 /10
119 Cho hình lập phương ABCD.ABCD Tìm điểm M thuộc cạnh AA sao cho mặt phẳng (BDM) cắt hình lập phương theo một thiết diện có diện tích nhỏ nhất
Dự bị 1 ĐH Khối B - 03 ĐS: M trung điểm AA
120 Cho hình hộp đứng ABCD.ABCD có các cạnh AB = AD = a,
2 a và BAD60 0 Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh
AD và AB Chứng minh AC vuông góc với mặt phẳng (BDMN) Tính thể tích khối chóp A.BDMN
Dự bị 1 ĐH Khối A - 06 ĐS: 3a /16 3 (đvtt)
121 Cho hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh bằng a và điểm K thuộc cạnh CC sao cho: CK = 2
3a Mặt phẳng () đi qua A, K và song song với
BD, chia khối lập phương thành hai khối đa diện Tính thể tích hai khối đa diện đó
Dự bị 2 ĐH Khối D - 06 ĐS: a /3; 2a /3 3 3 (đvtt)
122 Cho hình lập phương ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 cạnh a Gọi O 1 là tâm của hình vuông A 1 B 1 C 1 D 1 Tính thể tích của khối tứ diện A 1 O 1 BD
CĐ Điện lực TpHCM - 06 ĐS: a /6 3 (đvtt)
123 Cho khối lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC là một tam giác vuông tại
A, AC = b, ACB60 0 Đường chéo BC của mặt bên BBCC tạo với mặt phẳng (AACC) một góc 30 0 a) Tính độ dài đoạn AC b) Tính thể tích của khối lăng trụ
CĐ Kỹ thuật Cao Thắng - 06 ĐS: 3b ; b 3 6 (đvtt)
Cho hình lăng trụ ABC.ABC với A.ABC là hình chóp tam giác đều, trong đó cạnh đáy AB = a và cạnh bên AA = b Góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABC) được ký hiệu là α Cần tính tanα và thể tích của khối chóp A.BBCC.
Dự bị 2 ĐH Khối B - 06 ĐS:
125 Cho lăng trụ đứng ABC.A 1 B 1 C 1 có AB = a, AC = 2a, AA 1 2a 5 và
BAC Gọi M là trung điểm của cạnh CC 1 Chứng minh MB MA 1 và tính khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng (A 1 BM)
Dự bị 1 ĐH Khối A - 07 ĐS: a 5 /3
126 Cho lăng trụ đứng ABC.A 1 B 1 C 1 có đáy ABC là tam giác vuông
AB = AC = a, AA 1 a 5 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn AA 1 và
BC 1 Chứng minh MN là đường vuông góc chung của các đường thẳng AA 1 và BC 1 Tính
Dự bị 1 ĐH Khối D - 07 ĐS: a 3 2 /12 (đvtt)
127 Cho lăng trụ đứng ABC.A 1 B 1 C 1 có tất cả các cạnh đều bằng a M là trung điểm của đoạn AA 1 Chứng minh BM B 1 C và tính d(BM, B 1 C)
Dự bị 2 ĐH Khối D - 07 ĐS: a 30 /10
Khối lăng trụ ABC.A'B'C' có cạnh bên dài 2a và đáy ABC là tam giác vuông tại A với AB = a, AC = a√3 Đỉnh A' có hình chiếu vuông góc trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC Tính theo a, thể tích khối chóp A'.ABC là V = a/2√3 (đvtt) và cosin của góc giữa hai đường thẳng AA' và B'C' là cosφ = 1/4.
129 Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông,
Khối lăng trụ ABC.A'B'C' có các cạnh AB, BC bằng a và cạnh bên AA' bằng a^2 Gọi M là trung điểm của cạnh BC, chúng ta tính thể tích khối lăng trụ này theo a, kết quả là V = (a^3 * 2) / 2 (đvtt) Đồng thời, khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B'C được tính là a^(7/7).
130 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABC có BB = a, góc giữa đường thẳng BB và mặt phẳng (ABC) bằng 60 0 ; tam giác ABC vuông tại C và
BAC Hình chiếu vuông góc của điểm B lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC Tính V AABC theo a ĐH Khối B - 09 ĐS: V = 9a /208 3 (đvtt)
131 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại
B, AB = a, AA' = 2a, A'C = 3a Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A'C', và I là giao điểm của AM và A'C Tính thể tích khối tứ diện IABC theo a, và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC) Kết quả là V = 4a/9√3 (đvtt) và khoảng cách là 2a√5/5.
132 Cho lăng trụ ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a,
Hình chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC và BD, với góc giữa hai mặt phẳng (ADD1A1) và (ABCD) là 60 độ Cần tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo a Kết quả tính toán cho thấy thể tích khối lăng trụ là V = (3a / 2) * √3 (đvtt) và khoảng cách là a³ / 2.
Mặt trụ - Mặt nón - Mặt cầu
Tứ diện SABC có mặt phẳng SA vuông góc với mặt phẳng ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là 90 độ Biết rằng SB = a², góc BSC = 45 độ và góc ASB = α (0 độ < α < 90 độ) Cần chứng minh rằng BC vuông góc với SB, xác định tâm và bán kính của hình cầu ngoại tiếp tứ diện SABC Tính thể tích V của tứ diện SABC và tìm giá trị của α để thể tích này đạt giá trị lớn nhất Cuối cùng, xác định α sao cho góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SAC) bằng 60 độ.
Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC cân với AB = AC = a, và mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) cùng với SA = SB = a Để chứng minh rằng tam giác SBC là tam giác vuông tại S, ta cần xem xét các yếu tố hình học liên quan Bên cạnh đó, việc xác định tâm và tính bán kính hình cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC cũng là một bài toán quan trọng trong hình học không gian.
SC = x ĐH Tổng hợp TpHCM - 94 ĐS: b) Ra / 3a -x 2 2 2
138 Trong mặt phẳng (P) cho một đường thẳng d và điểm A ngoài d Một góc
Đường tròn quay quanh A cắt tại B và C, với điểm S nằm trên đường thẳng qua A và vuông góc với mặt phẳng (P) H và K là các hình chiếu vuông góc của A lên SB và SC Cần chứng minh rằng A, B, C, H, K cùng thuộc một mặt cầu Tính bán kính mặt cầu khi biết AB = 2, AC = 3 và góc BAC = 60 độ Nếu tam giác ABC vuông tại A, chứng minh rằng mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện.
ABCHK luôn luôn đi qua một đường tròn cố định khi S thay đổi ĐH Y Dược TpHCM - 94 ĐS: b) R 21 /3
139 Cho góc tam diện Sxyz với xSy120 0 , ySz60 0 , zSx90 0 Trên các tia
Cho các điểm Sx, Sy, Sz lần lượt là A, B, C sao cho SA = SB = SC = a a) Chứng minh tam giác ABC vuông và xác định hình chiếu vuông góc H của S lên mặt phẳng (ABC) b) Tính bán kính hình cầu nội tiếp tứ diện SABC theo a, kết quả là r = a / 2(1 + 2 + 3) c) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (BAC), kết quả là 45 độ.
Tứ diện ABCD có các cạnh AB, BC, CA, AD, DB đều bằng a² và cạnh CD bằng 2a Để chứng minh rằng AB vuông góc với CD, ta cần xác định đường vuông góc chung của hai cạnh này Tiếp theo, chúng ta sẽ tính thể tích của tứ diện ABCD Sau đó, xác định tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện này Cuối cùng, điểm H sẽ được xác định là hình chiếu vuông góc của điểm I trên mặt phẳng (ABC).
Chứng minh H là trực tâm của tam giác ABC ĐH Qui Nhơn - 97 ĐS: b) V a /3 3 ; c) I là trung điểm CD
141 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đường cao SO = 1 và đáy ABC có cạnh bằng 2 6 Điểm M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AC, AB Tính
V S.AMN và bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp đó ĐH Kinh tế QD HN - 97 ĐS: V 3 /2; r 3 /(1+2 2+ 3 )
Cho tam giác vuông cân ABC với cạnh huyền AB = 2a, trên đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC), chọn điểm S khác A a) Chứng minh rằng tứ diện SABC chỉ có một cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau b) Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC và tính bán kính mặt cầu khi mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 30 độ c) Tìm quỹ tích tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC khi S di chuyển trên d (S khác A) d) Lấy S’ đối xứng với S qua A, gọi M là trung điểm của SC, xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng đi qua S’, M và song song với BC cắt tứ diện SABC, tính diện tích của thiết diện đó khi SA = a² Kết quả: b) R = a²/6; d) S = 5a²√10/36.
143 Cho góc tam diện ba mặt vuông Oxyz Trên Ox, Oy, Oz lần lượt lấy ba điểm
A, B, C a) Tính d[O, (ABC)] theo OA = a, OB = b, OC = c b) Giả sử A cố định còn B và C thay đổi nhưng luôn thỏa mãn:
Để tối đa hóa thể tích tứ diện OABC, cần xác định vị trí của điểm B và C sao cho điều kiện OB + OC = OA được thỏa mãn Khi đó, bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC sẽ đạt giá trị nhỏ nhất.
Cho đường tròn tâm O bán kính R, xét hình chóp S.ABCD với SA vuông góc đáy, SA = h Đáy ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn với các đường chéo AC và BD vuông góc a) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD được tính là R' = (h + 4R) / 2 b) Để thể tích hình chóp đạt giá trị lớn nhất, đáy ABCD cần là hình vuông.
145 Cho hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn (C) bán kính a, chiều cao h = 3a/4 và cho hình chóp đỉnh S, đáy là một đa giác lồi ngoại tiếp (C)
Để tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp, trước tiên cần biết rằng mặt cầu này nằm bên trong hình chóp, tiếp xúc với đáy và các mặt bên Nếu thể tích khối chóp gấp 4 lần thể tích khối nón, ta có thể sử dụng công thức thể tích để tìm ra diện tích toàn phần của hình chóp.
Trong hình trụ tròn xoay, có một hình vuông ABCD cạnh a nội tiếp, với hai đỉnh A, B nằm trên đường tròn đáy thứ nhất và hai đỉnh C, D nằm trên đường tròn đáy thứ hai Mặt phẳng của hình vuông tạo với đáy hình trụ một góc 45 độ Diện tích xung quanh của hình trụ được tính là S = 3πa²√3/2 và thể tích V = 3πa²/16.
147 Cho tứ diện SABC có các cạnh bên SA = SB = SC = d và ASB120 0 ,
BSC ,ASC90 0 a) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông b) Tính thể tích tứ diện SABC c) Tính bán kính hình cầu nội tiếp của tứ diện SABC
HV Chính trị QG - 99 ĐS: b) V d 3 2 /12; c) rd 2 /[2( 3+ 2+1)]
148 Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC vuông góc với nhau từng đôi một và
Để tính thể tích hình chóp S.ABC, ta có công thức V = abc/6 Đồng thời, cần chứng minh rằng hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt phẳng (ABC) là trực tâm của tam giác ABC Bên cạnh đó, để xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC, ta sử dụng công thức R = (a + b + c) / 2.
149 Cho hai hình chữ nhật ABCD (AC là đường chéo) và ABEF (AE là đường chéo) không cùng nằm trong một mặt phẳng và thỏa mãn các điều kiện:
Trong bài toán này, ta có AB = a và AD = AF = a^2, với đường thẳng AC vuông góc với đường thẳng BF Gọi HK là đường vuông góc chung của AC và BF, trong đó H thuộc AC và K thuộc BF Đặc biệt, I là giao điểm của DF với mặt phẳng chứa AC và song song với BF.
DF b) Tính độ dài đoạn KH c) Tính bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện ABHK ĐH Sư phạm HN Khối A - 01 ĐS: a) DI 1
Trong mặt phẳng (P), xét tam giác đều ABC với cạnh dài a Tại các điểm B và C, trên các đường thẳng vuông góc với (P), ta có các điểm D và E nằm cùng phía với (P) sao cho BD = a√3/2 và CE = a√3 Cần tính độ dài các cạnh AD, AE, DE của tam giác ADE, xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCE, và chứng minh rằng M, giao điểm của các đường ED và BC, có một đặc điểm nhất định.
AM vuông góc với mặt phẳng (ACE) Tính số đo góc giữa hai mặt phẳng
(ADE) và (ABC) ĐH BK HN Khối D - 01 ĐS: a) ADa 7 /2, AE2a, DEa 7 /2; b) Ra 39 /6; c) 60 0
Trong mặt phẳng (P), có một hình vuông ABCD với cạnh dài a Điểm S nằm trên đường thẳng At, vuông góc với (P) tại điểm A Cần tính thể tích của hình cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD theo cạnh a.
Cho hình chóp SA có đáy là tam giác ABC, với SA = 2a Gọi M và N lần lượt là hai điểm di động trên các cạnh CB và CD, trong đó M thuộc CB và N thuộc CD, với CM = m và CN = n Cần tìm biểu thức liên hệ giữa m và n để các mặt phẳng (SAM) và (SAN) tạo với nhau một góc 45 độ Để giải quyết bài toán này, ta có công thức thể tích của khối chóp là V = πa^3/6 và phương trình liên hệ giữa m và n là 2a^2 - 2a(m + n) + mn = 0.