Lý thuyết xác suất và thống kê toán học là một ngành khoa học đang giử vị trí quan trọng trong các lĩnh vực ứng dụng rộng rãi và phong phú của đời sống con người. Các kiến thức và phương pháp xác suất và thống kê đã hỗ trợ hữu hiệu các nhà nghiên cứu trong nhiều lĩnh vực khoa học khác nhau như vật lý, hoá học, sinh y học, nông học....Tài liệu giúp bạn đọc tiếp cận dễ dàng hơn bản chất xác suất của vấn đề đặt ra và tăng cường kỹ năng phân tích, xữ lý các tình huống, từ đó dần dần một hệ thống khái niệm khá đầy đủ để đi sâu giải quyết các bài toán ngày càng phức tạp hơn.
Biến cố và phép tính xác suất
Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
1 Khái niêm về biến ngẫu nhiên Định nghĩa 1 Biến ngẫu nhiờn là một ủại lượng phụ thuộc vào kết quả của phộp thử ngẫu nhiên, nhận giá trị thực Ký hiệu X, Y, … là các biến ngẫu nhiên; còn x, y là các giỏ trị của biến ngẫu nhiờn ủú
Vớ dụ 1 Tung 1 ủồng xu cõn ủối ủồng chất trờn mặt phẳng Gọi X là số mặt sấp xuất hiện Khi ủú X là biến ngẫu nhiờn
Khi tung một con xúc xắc có 6 mặt lên mặt phẳng, số chấm xuất hiện trên mặt trên của con xúc xắc được gọi là X Trong trường hợp này, X là một biến ngẫu nhiên.
Vớ dụ 3 Bắn khụng hạn chế số lần vào một bia ủến khi ủạn trỳng ủớch thỡ dừng Gọi
X là số viờn ủạn bắn trượt Khi ủú X là biến ngẫu nhiờn
Tại một bến xe buýt, có chuyến xe khởi hành mỗi 15 phút Một hành khách đến bến vào thời điểm ngẫu nhiên, do đó thời gian chờ xe buýt, ký hiệu là X, trở thành một biến ngẫu nhiên có giá trị trong khoảng [0; 15) phút.
2 Phân loại biến ngẫu nhiên
* Biến ngẫu nhiờn rời rạc: Nếu tập giỏ trị của X là một tập hữu hạn hoặc vụ hạn ủếm ủược thỡ X gọi là biến ngẫu nhiờn rời rạc
Các biến ngẫu nhiên ở Ví dụ 1, 2, 3 là biến ngẫu nhiên rời rạc
Biến ngẫu nhiên liên tục là loại biến mà tập giá trị của nó nằm trong một khoảng liên tục trên trục số hoặc là hợp của các khoảng liên tục.
Biến ngẫu nhiên ở Ví dụ 4 là biến ngẫu nhiên liên tục
* Hàm biến ngẫu nhiờn: là cỏc hàm số mà ủối số của nú là cỏc biến ngẫu nhiờn
Vớ dụ 4 Với X là biến ngẫu nhiờn cho ở vớ dụ 1 Khi ủú Y = X 2 là hàm biến ngẫu nhiên
3 Hai biến ngẫu nhiờn ủộc lập
Hai biến ngẫu nhiên X và Y được coi là độc lập nếu sự thay đổi của biến này không ảnh hưởng đến biến kia Quy luật phân phối xác suất của các biến ngẫu nhiên này giúp xác định xác suất xảy ra của chúng trong các tình huống khác nhau.
Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên mô tả mối quan hệ giữa các giá trị có thể xảy ra và xác suất tương ứng của chúng Các phương pháp để mô tả quy luật này bao gồm nhiều kỹ thuật thống kê khác nhau.
- Bảng phân phối xác suất
- Hàm phân phối xác suất
- Hàm mật ủộ xỏc suất
2.Bảng phân phối xác suất
Giả sử X là một biến ngẫu nhiên rời rạc với các giá trị x1, x2, , xn và xác suất tương ứng là p1, p2, , pn Bảng phân phối xác suất của X sẽ được trình bày như sau.
Trong ủú pi thỏa món:
* Phương pháp lập bảng phân phối xác suất:
- Tìm tập giá trị của X: {x1; x2; ….; xn}
- Lập bảng phân phối xác suất
* Nếu X cú tập giỏ trị là tập vụ hạn ủếm ủược ta cú bảng phõn phối xỏc suất sau:
Trong ủú pi thỏa món: i i i 1 p 0(i 1, 2,3, ) p 1
* Công thức tính xác suất: i i a x b
Ví dụ 1 Tung một con xúc sắc trên mặt phẳng Gọi X là số chấm xuất hiện khi tung con xác sắc Lập bảng phân phối xác suất của X
Giải:Bảng phân phối xác suất của X là
Trong một hộp có 10 sản phẩm, trong đó có 6 sản phẩm chính phẩm, ta tiến hành lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm Để phân tích, trước tiên cần lập bảng phân phối xác suất cho số phế phẩm X được lấy ra Sau đó, tính xác suất P(-1
