Hình học riemann trên mặt cầu

KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản về đa tạp Riemann, bao gồm liên thông tuyến tính và liên thông Lêvi - Civita Chúng tôi cũng thảo luận về đạo hàm của trường véc tơ dọc theo cung tham số, cùng với các khái niệm chuyển dịch song song, đường trắc địa và các ánh xạ giữa các mặt trên đa tạp Riemann.

HÌNH HỌC RIEMANN TRÊN MẶT CẨU

Trong chương này, chúng tôi sẽ xác định đường trắc địa trên mặt cầu, trình bày phép chuyển dịch song song và cách tính góc hôlônômi của mặt cầu cũng như tam giác cầu Bên cạnh đó, chúng tôi cũng sẽ tính diện tích của tam giác cầu, tứ giác cầu và đa giác cầu, đồng thời khảo sát các trường hợp bằng nhau của tam giác cầu.

Luận văn này được hoàn thành tại Khoa Sau Đại học, Trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Duy Bình Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy và các giáo viên trong tổ hình học đã giảng dạy và hỗ trợ trong quá trình nghiên cứu.

Chúng tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô giáo tại khoa sau đại học, cùng với đồng nghiệp, bạn bè và gia đình đã hỗ trợ và tạo điều kiện thuận lợi để chúng tôi hoàn thành luận văn này.

Chương 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ §1 Đa tạp Riemann

M là đa tạp khả vi thực với cơ sở đếm được và với hệ bản đồ {U  , } I

TpM: Không gian các vectơ tiếp xúc với M tại p

F (M): Tập các hàm khả vi trên M

B (M): Tập các trường vectơ khả vi trên M

Một cấu trúc Riemann g trên M, đó là một ánh xạ g: p  gp, p M  và g : T M×T M p p p R, trong đó gp thoả mãn:

+) gp là tích vô hướng trong TpM

+) g phụ thuộc khả vi vào p (tức là: g (X,Y) (p) = gp (Xp ,Yp) và g là hàm khả vi theo p) Đa tạp (M,g) được gọi là đa tạp Riemann

1.2 Liên thông Lêvi - Civita trên đa tạp Riemann

Cho M là đa tạp khả vi Liên thông tuyến tính trên M là ánh xạ :

B B B thỏa mãn các điều kiện sau:

 gọi là đạo hàm thuận biến của trường vectơ Y dọc theo trường vectơ X

Cho M là đa tạp Riemann Liên thông tuyến tính  trên M được gọi là liên thông Lêvi-Civita trên M nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:

( nghĩa là T X,Y  XY YXX,Y0 với  X,Y B   M )

6) Với mọi trường vectơ X, Y, Z trên M thì:

Tức là,   X B   M ta có  Xg 0 (trong đó Y, Z g(Y, Z))

Giả sử M là đa tạp khả song n – chiều với trường mục tiêu E ,E , ,E1 2 n 

  Khi đó  là một liên thông tuyến tính trên M Thật vậy với  X,X',Y,Y'  B   M ;  f   M ta có:

Bây giờ ta kiểm tra hai điều kiện của liên thông Lêvi -Civita

6) Mặt khác ta dễ dàng chứng minh được:

Vậy  là một liên thông Lêvi -Civita trên M

Liên thông Lêvi- Civita trên đa tạp M luôn tồn tại và duy nhất

+) Sự tồn tại của liên thông Lêvi-Civita trên M

Giả sử X,Y B (M) ta xác định  X Y bởi phương trình sau:

 1 2  Z, X,Y    Y, Z,X    X, Y, Z    (1) trong đó Z là trường vectơ tùy ý của B (M)

B B B là liên thông tuyến tính

Ta chứng minh  là liên thông Lêvi-Civita trên M Đặt T X,Y  XY YXX,Y

Do công thức (1) ta dễ dàng kiểm tra được T X,Y , Z     B 0, Z   M

Bây giờ, ta chứng minh   g 0

Thật vậy, với  X,Y, Z B   M ta có:

Vậy  là liên thông Lêvi-Civita trên M

+) Chứng minh tính duy nhất của  Để chứng minh tính duy nhất của  ta chứng tỏ rằng nếu  X Ythỏa mãn điều kiện T (X,Y)=0 và   g 0 thì  thỏa mãn phương trình (1)

Thật vậy với  X,Y, Z  B   M ta có:

Ta có XY YXX,Y  0 YX XYX,Y

Cộng vế theo vế của (3) và (7) rồi trừ vế theo vế cho (6) ta có:

 1 2  Z, X,Y    Y, Z,X    X, Y, Z    Đây chính là đẳng thức (1)

Vậy tính duy nhất được chứng minh

1.3 Đạo hàm của trường vectơ dọc một đường cong

Giả sử  là đường cong trong đa tạp Riemann M với liên thông Lêvi- Civita  được cho bởi tham số hóa:  : J M, t (t) ( là khoảng mở trong R,  khả vi)

Trường vectơ X dọc  liên kết mỗi tJ với vectơ tiếp xúc X t( )T  ( ) t M X được coi là khả vi nếu X  ( ) t [ ] khả vi theo t đối với mọi hàm số khả vi dọc , với tất cả t thuộc J.

Nếu  U U 1, 2, ,U n  là trường mục tiêu khả vi trên một tập mở chứa ( )J trong M thì ta luôn có sự biểu diễn:

Khi đó X khả vi dọc khi và chỉ khi X t i ( ) khả vi với  i 1,2, ,n

Cho $\rho: J \to M$ là một đường cong trên đa tạp M, và $X$ là một trường véc tơ Đạo hàm của trường véc tơ $X$ tại điểm $t_0$ dọc theo đường cong $\rho$ được ký hiệu là $t_0 dt X$, thể hiện mối quan hệ giữa các trường véc tơ và đường cong trong không gian đa tạp.

 ) được xác định bởi công thức sau :

Nếu M  R n ;   E i là trường mục tiêu tự nhiên trên R n Khi đó,

Chẳng hạn, ta xét với n = 3, đường cong  cho bởi tham số hóa

( X) = ( ) dt   t  t dt t   X t   khả vi dọc 

Chứng minh (xem 5) §2 Chuyển dịch song song

Giả sử  là đường cong trên M cho bởi tham số hoá : J  M, t   (t) Trường vectơ X dọc  được gọi là trường vectơ song song dọc  nếu và chỉ nếu : X dt

1) Giả sử X là trường vectơ song song dọc , X t ( )     0, t ;  F M ( )

Khi đó,  X song song dọc  khi và chỉ khi  const

2) Trong R n , trường vectơ X song song dọc  khi và chỉ khi X t ( )    a , t J

3) Giả sử X, Y là các trường vectơ song song dọc  Khi đó X Y cũng là trường vectơ song song dọc  , α,β R

2) Trong R n với   E i là trường mục tiêu tự nhiên trên R n thì   D , nên X là trường véc tơ song song dọc

3) Giả sử X, Y là các trường vectơ song song dọc 

Vậy αX +βY là trường vectơ song song dọc , α,β R

Giả sử p và a T M p Khi đó tồn tại duy nhất một trường vectơ X song song dọc  sao cho X p a

Giả sử A =  (a); B =  (b) là hai điểm trên  ánh xạ

: TAM  TBM α   (α) Với X là vectơ song song dọc  có XA =  , XB =   ( )

Khi đó, ta nói  là phép chuyển dịch song song dọc  từ A đến B

Giả sử  là phép chuyển dịch song song từ A đến B thì  cũng là phép đẳng cấu trực giao từ T A M đến T B M

Chứng minh Ở đây ta chứng minh tính chất trực giao của  Để chứng minh  trực giao ta chứng minh  bảo tồn mô đun

Thật vậy, giả sử X là trường vectơ song song dọc  ta có:

Vậy X.X là hàm hằng dọc  Hay X A  X B      ( ) §3 Đường trắc địa trên đa tạp Riemann

Giả sử M là một đa tạp Riemann với liên thông Lêvi-Civita  Một đường cong : J  M, t   (t) được gọi là đường trắc địa nếu và chỉ nếu: ' dt 0

1 Trong hệ toạ độ địa phương (x1, x2, ,xn) của M thì : J  M, t   (t) được gọi là đường trắc địa nếu và chỉ nếu:

(trong đó Γ là thành phần liên thông của k ij  )

Thật vậy, ta có:  là đường trắc địa ρ' dt = 0

2 Cho M = R n ,  = D Khi đó  là đường trắc địa nếu và chỉ nếu  là đường thẳng

Giả sử (M, g) là đa tạp Riemann Nếu mọi p  M và v  T p M thì tồn tại khoảng mở I =   ,  và một đường trắc địa duy nhất : I  M sao cho 

Giả sử (U,x) là một bản đồ trên M sao cho p  M và đặt i i

 Giả sử : I  M là đường cong khả vi, ta đặt: i x i

  : I  M thì x  : I  R n là đường cong khả vi nên ta có:

Do đó  là đường trắc địa khi và chỉ khi: n k k j i ij i, j=1 ρ'' (t) +  ρ' (t)ρ' (t)Γ ρ(t) = 0; k =1,n  Đây là hệ phương trình vi phân thường với điều kiện ban đầu q0 = x (p) và a0

= (dx)p (v) Nên tồn tại khoảng mở I =-ε,ε và nghiệm duy nhất 

ρ ,ρ , ,ρ1 2 n  thoả mãn điều kiện đầu: ρ (0),ρ (0), ,ρ (0) = q1 2 n  0;

Giả sử v là một vectơ tiếp xúc tại điểm p trong không gian M, và c là một hằng số thuộc tập số thực R Đường trắc địa γcv được xác định tại thời điểm t nếu đường trắc địa γv được xác định tại ct Do đó, ta có mối quan hệ γ(t) = γ(ct).

Chứng minh: Với mọi p  M và v  TpM Xét đường trắc địa cực đại γv : I

 M sao cho γ (0) = p v và γ' (0) = v v Đặt γ(t) = γ (ct), t I v  

Ta có: γ(0) = γ (0) = pv và γ'(0) = c.γ' (0) = cvv

Nên γ'(t) = (cγ'(t)) = c 2 γ'(ct) = 0 dt dt dt

Suy ra (t) là đường trắc địa và γ(c t) = γ (t) -1 v

Mặt khác γ(0) = γ (0) = p cv và γ'(0) = γ' (0) = cv cv

Vậy γ (t) = γ (ct) cv v §4 Ánh xạ giữa các mặt

4.1 Ánh xạ khả vi Ánh xạ h S: 1 S 2 (S1 , S2 là các đa tạp hai chiều trong E n ) được gọi là khả vi nếu h liên tục và với mọi tham số hóa địa phương r U 1 : 1 S 1 , :r U 2 2 S 2 (U1 ,

U 2 là các tập mở trong R 2 mà h r U( ( 1 1 ))r U 2 ( 2 )) , ánh xạ r 2  1 h r U 1 : 1 U 2 là khả vi

Nhận xét : Nếu h S: 1 S 2 , g :S 2 S 3 ( giữa các đa tạp hai chiều trong E n ) là những ánh xạ khả vi thì ánh xạ g h S: 1 S 3 là khả vi

4.2 Ánh xạ tiếp xúc của f S: 1 S 2

Cho ánh xạ khả vi \( f: S_1 \rightarrow S_2 \) giữa các đa tạp hai chiều trong không gian \( E^n \) Đối với mỗi điểm \( p \in S_1 \), ánh xạ được ký hiệu là \( T_f S_p: p_1 \rightarrow T_f p(S_2) \) và được xác định bởi \( \alpha_p \in T S_p \) Nếu \( \alpha_p = \rho'(t_0) \) với \( \rho: J \rightarrow S_1 \) là một cung tham số, thì \( T_f p(\alpha_p) = (f \circ \rho)'(t_0) \).

Ta còn dùng kí hiệu T * p thay cho T f p và khi p đã rõ , đôi khi viết tắt Tf hay f * Ánh xạ T f p gọi là ánh xạ tiếp xúc tại p của f

4.3 Vi phôi Ánh xạ khả vi f S: 1 S 2 ( giữa các đa tạp hai chiều trong E n ) gọi là một vi phôi nếu có g S: 2 S 1 khả vi mà g  f  1 Tức là

Nếu :r U S là một tham số hóa địa phương của đa tạp hai chiều S trong E n thì r là một vi phôi từ U lên r (U)

4.4.1 Định nghĩa S1 , S2 là các đa tạp hai chiều trong E n , ánh xạ (khả vi)

: f S S gọi là một ánh xạ đẳng cự nếu với mọi điểm pS 1 ,

Bảo tồn tích vô hướng (tức là một ánh xạ tuyến tính trực giao) nghĩa là , T S p 1

Nếu f là vi phôi và f là ánh xạ đẳng cự thì f được gọi là một vi phôi đẳng cự

Ánh xạ đẳng cự f có hai tính chất quan trọng: Thứ nhất, f bảo tồn góc giữa các phương tiếp xúc, nghĩa là nếu α và β thuộc TSp1 thì os(α, β) = cos(Tf(p), Tf(β)) Thứ hai, f bảo tồn độ dài cung trên đa tạp; cụ thể, nếu ρ: I = [a, b] → S1 là một cung đoạn trên S1, thì l(ρ) = ∫ρ(t) dt = ∫f(ρ(t)) dt = l(f(ρ)).

2) Tích các ánh xạ đẳng cự là ánh xạ đẳng cự

1 a) f là ánh xạ đẳng cự thì với  , T S p 1 ta có

Vậy f bảo tồn góc giữa các phương tiếp xúc b) Giả sử có cung xác định bởi tham số :I   a b, S 1 , t (t), độ dài cung

        bằng độ dài cung ảnh của  qua f

2) Giả sử f,g là ánh xạ đẳng cự, f S: 1 S 2 , g: S 2 S 3 ,  , T S p 1 ta có

Vậy g f là ánh xạ đẳng cự

Ánh xạ f: (M, ) → (M, , ) là vi phôi đẳng cự giữa các đa tạp Riemann hai chiều X là trường vectơ dọc theo cung tham số t → ρ(t) trong M, và được ký hiệu là trường vectơ dọc theo cung tham số f ρ trong M Trường vectơ này được xác định bởi công thức X(t) = T ρ(t) f(X(t)) = f(X(t) *).

Do X là trường vectơ dọc  nên có thể biểu diễn dưới dạng:

X  U  t  U  t (trong đó  U U 1, 2  trường mục tiêu trực chuẩn trên M )

X t f U f t f U f t dt dt dt d d f f U f t f f U f t dt dt d f f U f dt

[( ( )).( ).( )]( ) [( ( )).( ).( t d f f U f t dt d d f f U f t f f U f t dt dt d d f U f t f U dt dt

4.4.4 Mệnh đề Ánh xạ vi phôi đẳng cự biến đường trắc địa thành đường trắc địa

Giả sử  là đường trắc địa, ta cần chỉ ra rằng f  cũng là đường trắc địa, tức (f ) ' 0 dt    với f M: M , là đạo hàm trong M

Ta có (f ) ' (f * ( ) t )( '( ))t f * ( ) t ( '( ))t dt   dt      dt   (Mệnh đề 4.4.3)

Chương 2 HÌNH HỌC RIEMANN TRÊN MẶT CẨU §1 Đường trắc địa trên mặt cầu

Cho cung tham số :I M t, ( )t trên đa tạp Riemann 2 chiều (M,< >) mà ảnh của nó nằm tập mở V, trên đó có trường mục tiêu trực chuẩn

 U U 1, 2 với  ' 1 (U 1  ) 2 (U 2 ), (  1 , 2 là hàm số của t) , ta có

     (trong đó  2 1 là dạng liên kết của M trong trường mục tiêu  U U 1, 2 )

Ta có :t ( )t là cung trắc địa trên M khi và chỉ khi :

Bây giờ, xét tham số hóa địa phương :r U M u v,( , ) r u v( , ) của M, r (U) = V Đặt E r' , ' , u r u G r' , ' , v r v F  r' , ' u r v

Phương trình đường trắc địa của M là:

Ta có ( ) t r u t( ( ), v(t)), các hàm số   1 , 2 chứa du dv, dt dt nên hệ phương trình trên là một hệ phương trình vi phân cấp 2 đối với t u t( ), t v(t)

Giả sử F  r r u ', ' v  0 nên ta có thể lấy

Khi đó hệ (*) trở thành

Suy ra ta có phương trình đường trắc địa là:

1.2 Phương trình đường trắc địa trong tham số hóa Clêrô

Tham số hóa :r U M u v,( , ) r u v( , ) của đa tạp Riemann 2 chiều gọi là tham số hóa Clêrô nếu F  r' , ' u r v 0,E r' , ' , u r u G r' , ' v r v chỉ phụ thuộc u , tức là 'E v G' v 0

Nhận xét Từ Mệnh đề 1.1 phương trình đường trắc địa trong tham số hóa

Giả sử \( u, v, r \) là một tham số hóa Clêrô của không gian \( (M,< >) \) Các đường tọa độ \( u, r, u, v \) với \( 0 \) là đường tiền trắc địa Đường tọa độ \( u, r, u, v \) với \( 0 \) là đường trắc địa khi và chỉ khi \( G' (u) = 0 \) Chứng minh rằng từ \( 'E v 0 r' \) và \( 'u r u 0 v' \) có thể dẫn đến kết luận trên.

 và r' u phụ thuộc tuyến tính

 là đường tiền trắc địa ii, Thật vậy, nếu nó là đường tiền trắc địa thì do G' ( ) v u 0 0, hàm số

( , )0 v r u v là hàm hằng nên v r u v( , ) 0 là đường tiền trắc địa

Ngược lại, đường tọa độ đó là một đường tiền trắc địa khi và chỉ khi

Giả sử S mặt cầu có bán kính đơn vị trong R 3 được xác định bởi tham số hóa

( , )u v r u v( , ) (cos cos , os sin ,sin ); ( , ) u v c u v u  u v R 2

Khi đó ta có E1,F 0,Gcos 2 u nên r là một tham số hóa Clêrô Vậy

+) Các đường kinh tuyến là các đường tiền trắc địa

+) Các đường vĩ tuyến là đường trắc địa khi và chỉ khi bán kính vĩ tuyến đạt cực trị , tức nó là đường xích đạo

Từ đó suy ra các đường tròn lớn hay một phần của nó là các đường trắc địa trên mặt cầu §2 Phép chuyển dịch song song trên mặt cầu

Ta ký hiệu S là mặt cầu tâm O bán kính R trong không gian Ơclít E 3

Phép chuyển dịch song song f T:  ( ) a S T  ( ) b S dọc cung tham số

 :   a b ,  S t ;  ( ) t trên S không phụ thuộc vào tham số hóa của cung

Giả sử  : ,     c d  a b s , ;  ( ) s là vi phôi và r    : ,   c d  S

Ta có X là trường vectơ dọc  thì X  là trường véc tơ dọc   và

Suy ra (X ) 0 ds    (vì X 0 dt

Giả sử X song song dọc  thì X  cũng song song dọc  

Vì T  ( ) a M T    (  1 ( )) a M T;  ( ) b M T    (  1 ( )) b M do đó phép chuyển dời song song dọc

 và phép chuyển dời song song dọc   là trùng nhau vì : f T:  ( ) a M T  ( ) b M;  trong đó   X b( ) X  (  1 ( ))b

Xét phép chuyển dời song song f T:  ( ) a ST  ( ) b S dọc cung tham số

   trên S với ( ) a ( )b (tức ảnh của  là một đường khép kín tại ( ) a ) thì phép chuyển dịch song song là một ánh xạ tuyến tính trực giao của T  ( ) a S

Từ nay trở đi, ta luôn giả thiết phép chuyển dịch f trong T  ( ) a S bảo tồn hướng ( nghĩa là định thức ma trận của f dương )

Giả sử f T:  ( ) a ST  ( ) b S,   là phép chuyển dịch song song dọc  Khi đó góc  ( , );0     được gọi là góc hôlônômi của phép chuyển dịch song song dọc  (hoặc góc hôlônômi của )

Giả sử X là trường vectơ dọc theo đường trắc địa \(\rho(t)\) trên đa tạp Riemann hai chiều \((M,)\) với \(\rho' \neq 0\) Trường vectơ X được coi là song song dọc theo \(\rho\) nếu và chỉ nếu X là một hàm hằng và góc giữa \(\rho'\) và X không thay đổi dọc theo \(\rho\).

Ta có X song song dọc X 0;

Tức là  X X,  là hàm hằng (dọc ) nên X là hàm hằng (dọc )

Suy ra  X, '  không đổi (dọc )

Do ' song song dọc  nên ' là hàm hằng, do đó : os( , ') , '

Suy ra góc giữa X và ' không đổi dọc  Đủ

  , lấy U 2 dọc  sao cho  U U 1; 2  trực chuẩn dọc 

Vì U 2 đơn vị nên U 2 là hàm hằng suy ra d 2 , 2 2 U 2 , 2 0

Do  U U 1; 2  trực chuẩn dọc  trong đa tạp Riemann hai chiều, U 1 U 2

Nên từ (*) và (**) suy ra U 2 0 dt

  , tức là U 2 song song dọc  Suy ra  U U 1; 2  là trường véc tơ trực chuẩn song song dọc , nên:

X  A c U  U (với A và  là các hằng) là trường véc tơ song song dọc 

1) Góc hôlônômi của cung tại mỗi điểm của cung là như nhau

2) Khi  là đường cong kín thì góc hôlônômi được tính bởi công thức

Trong đó  1 2 là dạng liên kết của (M , < , >) đối với trường mục tiêu  U U 1; 2 

Giả sử X song song dọc  thì luôn có sự biểu diễn :

X t c c  t U  t   t U  t là trường vectơ song song dọc

Do  U U 1; 2  là trường mục tiêu trực chuẩn nên ta có:

( ), ( ) ( os ( ) os ( ) sin ( ).sin ( )) os( ( ) ( ))

Mặt khác ta lại có : X a X b( ), ( )  X a( ) X b c( ) os c c 2 os (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra osc  cos( (b)- (a))    ( (b)- (a))  (3)

3) Xét phép chuyển dời song song dọc  f T S: p T S p , '

Và phép chuyển dời song song dọc 

:g T S p T S p , ' '' f,g là các tự đẳng cấu T S p T S p

Ta xét hợp thành của 2 đường  và  là    

Ta có g f( ) '' là phép chuyển dời song song được sinh bởi 

Giả sử pS, mỗi cung tham số có điểm đầu và điểm cuối tại p nhờ phép chuyển dời song song dọc cung, đặt tương ứng với một tự đẳng cấu p p

Nhóm hôlônômi của S tại p được hình thành từ các tự đẳng cấu của T S p, tương ứng với hợp thành của các cung trong T S Tất cả các tự đẳng cấu này tạo thành một nhóm con trong nhóm tuyến tính GL (T S p).

Bây giờ, ta xét mặt cầu S với cấu trúc Riemann chính tắc

Xét tham số hóa địa phương của nó

( , )u v r u v( , )( cos cos , sin cos , sin )R u v R u v R v

Góc hômônômi của vĩ tuyến u[0,2 ] (u)=r(u,v ) 0 là   2 sin v 0

Xét trường mục tiêu tiếp xúc trực chuẩn  U U 1, 2 tiếp xúc theo thứ tự với vĩ tuyến và kinh tuyến của mặt cầu

' ( os sin , sin sin , cos ) u u u v

    là trường mục tiêu tiếp xúc trực chuẩn của U thì:

Do đó với    1 ; 2 là trường mục tiêu của  U U 1, 2  ta có :

= -R sin sin r d d r d R v du d R v du v dv du R v du dv

Mặt khác r d*  1 r * ( 1 2  2 ) r *  2 1 r *  2 r d*  2 r * ( 1 2  1 ) r *  1 2 r *  1 r d*  1 sin v duRdvsin v dur *  2 r d*  2  sin v dur *  1

Từ đó suy ra r *  2 1  sin v du.

Ta cần tìm X thỏa mãn đẳng thức này, tức r X * ( )u mà '( )u r u v u '( , ) 0 R u r E * 1

Ta có   1 2 ( '( ))u r *  1 2 (E 1 ) sin v du E( 1 ) sinv

Vậy góc hôlômômi của vĩ tuyến ( )u r u v( , ) 0 là :

( '( ))u du sinv du sin v u 2 sinv

Nhận xét Khi vĩ tuyến là đường xích đạo tức v 0 = 0 thì  0, còn khi vĩ tuyến càng xa xích đạo (V 0 tăng lên gần

 ) thì “ sự quay” càng lớn Rõ ràng phép chuyển dời song song ở đây phụ thuộc cung đoạn tham số nối hai điểm cho trước

Xét tam giác cầu ABC được tạo thành bởi ba cung đoạn của ba đường tròn lớn trên mặt cầu Véc tơ tiếp xúc với cạnh AB tại điểm A được ký hiệu là véc tơ  Thông qua phép chuyển dịch song song dọc theo tam giác ABC, ta nhận được véc tơ  Khi đó, góc giữa hai véc tơ này được xác định.

      , gọi là góc hômônômi của tam giác ABC

Cho mặt cầu bán kính R trong E 3 với cấu trúc Riemann chính tắc trên nó Khi đó góc hômônômi của tam giác ABC là A B C  

Mỗi cung tròn lớn của mặt cầu được coi là một đường trắc địa, và để chứng minh điều này, chúng ta áp dụng định lý 2.4 Xét tam giác ABC với góc vuông tại A, trong đó AB là cung "xích đạo", AC là cung kinh tuyến và BC là cung tròn lớn Giả sử U1 là trường vectơ đơn vị tiếp xúc của cung trắc địa CA, thì U1 sẽ song song với đoạn thẳng CA Tại điểm C, U1(C) là vectơ tiếp xúc đơn vị của cung CA.

+) Trước tiên ta xét phép chuyển dời song song U1 (C) dọc cung CA f U C 1 : 1 ( ) U A 1 ( )

+) Xét phép chuyển dời song song U1 (A) dọc cung AB f U A 2 : 1 ( ) T S B

Gọi  1 là vectơ tiếp xúc với AB tại B thì góc ( , 1 )

    (góc A là góc giữa hai véc tơ tiếp xúc với cung AC, AB tại A,

 ) +) Xét phép chuyển dời song song  dọc cung BC f 3 : T S C

Vậy  là kết quả của phép chuyển dời song song vectơ U C 1 ( ) dọc "tam giác ABC"

Ký hiệu   (U C 1 ( ), ) Ta cần chứng minh rằng     A B C 

Thật vậy, gọi  là vectơ tiếp xúc với BC tại C thì C ( , U C 1 ( )) gọi  2 là vectơ tiếp xúc với BC tại B thì ( , 2 ) ( , )

4 cung tròn lớn gốc A chứa C nên B là góc nhọn)

 ) b) Trường hợp tam giác trắc địa tùy ý thì góc hôlônômi của ABC vẫn là

Trong tam giác trắc địa ABC, có thể vạch đường cao CH từ đỉnh C đến cạnh AB, với điểm H có thể nằm ở giữa hoặc ngoài AB Chúng ta có thể phân tích sự chuyển dời song song từ dọc CAB thành dọc CAH, sau đó là dọc CHB, hoặc ngược lại từ dọc CHB sang dọc CHA.