Các σ -đại số tự nhiên và dãy phù hợp
Giả sử (X n , n ∈ N)là dãy biến ngẫu nhiên Kí hiệu σ(X k , k ≤ n) làσ- đại số nhỏ nhất chứa σ(X 1 ), σ(X 2 ), , σ(X n ) Khi đó, dãy (σ(X k , k ≤ n), n ∈
Dãy σ-đại số tự nhiên được sinh ra từ dãy biến ngẫu nhiên (X_n, n ∈ N) là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết xác suất Giả sử (X_n, n ∈ N) là dãy biến ngẫu nhiên, và (F_n, n ∈ N) là dãy tăng các σ-đại số con của σ-đại số F, với F_0 ⊂ F_1 ⊂ ⊂ F_n ⊂ ⊂ F Khi đó, dãy σ-đại số này phản ánh mối quan hệ giữa các biến ngẫu nhiên và các sự kiện liên quan.
X n ∈ F n ,(∀n∈ N) thì dãy (X n ,F n , n ∈ N) được gọi là dãy phù hợp.
Chẳng hạn, nếu (X n , n ∈ N) là dãy biến ngẫu nhiên bất kì và F n σ(X k , k ≤ n) thì dãy (X n ,F n , n ∈ N) là dãy phù hợp.
Trong suốt mục này và các mục sau, ta luôn giả thiết rằng (Ω,F,P) là không gian xác suất,(F n , n ∈ N) là dãy tăng các σ- đại số con của σ-đại số
F và F ∞ là σ-đại số bé nhất chứa tất cả các F n ,(n ∈ N).Hơn nữa, mỗi F n đều là các σ-đại số đầy đủ theo nghĩa: nếu A∈ F n , B ⊂ A và P(A) = 0 thì
Khái niệm thời điểm Markov và thời điểm dừng
Biến ngẫu nhiên τ : Ω −→ N∪ {∞} được định nghĩa là thời điểm Markov đối với dãy tăng các σ-đại số con của σ-đại số F, ký hiệu là (F n , n ∈ N), nếu thỏa mãn các điều kiện nhất định.
Nếu thêm vào đó P(τ < ∞) = 1 thì τ được gọi là thời điểm dừng. Chú ý τ là thời điểm Markov khi và chỉ khi
Thật vậy, điều này suy ra từ các bất đẳng thức sau
Kí hiệu F τ là lớp gồm tất cả các tập con A của Ω sao cho
Như vậy, F τ gồm các biến cố quan sát được tính đến thời điểm τ.
Dễ dàng chứng minh F τ là σ-đại số con của σ-đại số F.
*) Giả sử A ∈ F τ và A c = Ω\A Ta thấy
*) Giả sử A k ∈ F τ , k = 1,2, , tức là A k ∩ {τ ≤ n} ∈ F n , k = 1,2, Khi đó, ta có
Ví dụ 1 Nếu τ(ω) = k (k ∈ N), thì hiển nhiên τ là thời điểm Markov.
Ví dụ 2 Giả sử (X n , n ∈ N) là dãy biến ngẫu nhiên, và B là tập Borel của R Đặt τ B
Khi đó, τ B là thời điểm Markov đối với dãy σ-đại số tự nhiên Điều này suy ra từ hệ thức
Ví dụ 3 Giả sử (X n , n ∈ N) là dãy các biến ngẫu nhiên và B n , n 1,2, , là dãy tập Borel của R Đặt τ 1 = τ B 1 ; τ 2
Trong trường hợp còn lại, τ n được định nghĩa tương tự, với (τ n , n ∈ N) là dãy các thời điểm Markov liên quan đến dãy σ-đại số tự nhiên Ví dụ, τ 2 được coi là thời điểm Markov.
Các tính chất của thời điểm Markov
Tính chất 1 Giả sử τ là thời điểm Markov đối với (F n , n ∈ N), Khi đó
Chứng minh Thật vậy, ta thấy
Cần lưu ý rằng, nói chung, từ điều kiện {τ < n} ∈ F n không suy ra được τ là thời điểm Markov.
Tính chất 2 Nếu τ 1 , τ 2 là các thời điểm Markov đối với (F n , n ∈ N), thì τ 1 ∧τ 2 = min(τ 1 , τ 2 ), τ 1 ∨τ 2 = max(τ 1 , τ 2 ), τ 1 +τ 2 , là các thời điểm Markov đối với (F n , n ∈ N).
Từ đó rút ra điều phải chứng minh.
Tính chất 3 Nếu τ 1 , τ 2 , , là các thời điểm Markov đối với (F n , n ∈
^ n τ n = inf τ n cũng là thời điểm Markov đối với (F n , n ∈ N).
Chứng minh Điều phải chứng minh suy ra từ
Tính chất 4 Nếu τ là thời điểm Markov đối với (F n , n ∈ N), thì τ ∈ F τ Nếu τ và σ là các thời điểm Markov đối với (F n , n ∈ N) sao cho
Chứng minh Thật vậy, giả sử A = {τ ≤ m} Để chứng minh τ ∈ F τ ta phải chỉ ra A ∈ F τ , hoặc tương đương A∩ {τ ≤ n} ∈ F n Ta có
Bây giờ giả sử A ⊂ {ω : σ < ∞} và A ∈ F τ Khi đó, do P(τ ≤ σ) = 1, và σ-đại số F n đầy đủ, hai tập
A∩ {σ ≤n} và A∩ {τ ≤n}{σ ≤ n} chỉ sai khác nhau một tập có độ đo không Tập thứ hai thuộc vào F n , nên
Tính chất 5 Nếu τ 1 , τ 2 , , là các thời điểm Markov đối với (F n , n ∈
Chứng minh Thật vậy, theo tính chất 4, ta có F n ⊂ T kF τ k Mặt khác, nếu A ∈ T kF τ k , thì
Suy ra A ∈ F τ Do đó T kF τ k ⊂ F τ
Tính chất 6 Nếu τ, σ là các thời điểm Markov đối với (F n , n ∈ N), thì các biến cố
Thật vậy, với mỗi n ∈ N ta có
Do tính đối xứng ta có, {τ = σ} ∈ F σ
Biến cố đối của {τ < σ} là {σ ≤τ} ∈ F σ , suy ra {τ < σ} ∈ F σ ;
Biến cố đối của {τ ≤σ} là {σ < τ} ∈ F σ , Suy ra {τ ≤ σ} ∈ F σ
Tính chất 7 Nếu (X n ,F n , n ∈ N), là dãy phù hợp và τ là thời điểm Markov đối với (F n , n ∈ N), thì
0 nếu ω ∈ {τ(ω) = ∞} là đo được đối với F τ (tức là X τ ∈ F τ ).
Chứng minh Thật vậy, với mọi tập Borel B của đường thẳng
{X τ ∈ B} ∩ {τ = n} = {X n ∈ B}{τ = n} ∈ F n , vì{X n ∈ B} ∈ F n Điều này chứng tỏ:{X τ ∈ B} ∈ F τ , tức là X τ ∈ F τ
Thời điểm Markov đối với bộ lọc (F t ) và lọc chỉ số tập (F A ) 18 2.1 Martingale với thời gian liên tục
Định nghĩa
Quá trình X = {X t ,F t , t ∈ T} được gọi là:
* Martingale dưới (đối với {F t , t ∈ T}), nếu i) {X t ,F t , t ∈ T} là quá trình tương thích. ii) E | X t |< ∞, ∀t ∈ T. iii) Với s ≤ t, s, t ∈ T thì
* Martingale trên (đối với {F t , t ∈ T} ) nếu: i) {X t , A t , t ∈ T} là quá trình tương thích ii) E | X t |< ∞ ∀t∈ T iii) Với s ≤ t; s, t ∈ T thì
* Martingale (đối với F t , t ∈ T ) nếu i) {X t ,F t , t ∈ T} là quá trình tương thích; ii) E | X t |< ∞, ∀t∈ T; iii) Với s ≤ t; s, t ∈ T thì
2.1.2 Định lí Cho một dãy các Martingale X n = (X t n ) Giả sử với mỗi t tồn tại giới hạn limn X t n = X t trong L p Khi đó X = (X t ) cũng là Martingale.
Ta biết rằng kì vọng có điều kiện là một toán tử tuyến tính liên tục trên
L p nên qua giới hạn ta có:
2.2 Thời điểm Markov đối với bộ loc (F t )
Một họ σ các đại số con (F t , t ≥ 0) của F,F t ⊂ F, được gọi là một bộ lọc thỏa mãn các điều kiện thông thường nếu
* (F t , t ≥ 0) là họ tăng theo t, nghĩa là F s ⊂ F t nếu s < t.
* (F t , t ≥ 0) là họ liên tục phải, nghĩa là F t = T
Nếu A thuộc F và xác suất P(A) bằng 0, thì A cũng thuộc F0 và do đó A nằm trong mọi Ft Xét quá trình ngẫu nhiên X = (Xt, t ≥ 0), ta có σ-đại số FtX được sinh bởi tất cả các biến ngẫu nhiên Xs với s ≤ t, tức là FtX = σ(Xs, s ≤ t) σ-đại số này chứa đựng toàn bộ thông tin về diễn biến quá khứ của quá trình.
Người ta gọi đó là bộ lọc tự nhiên của quá trình X, hay lịch sử của X, hay cũng gọi là trường thông tin về X.
Một không gian xác suất (Ω,F,P) được bổ sung bộ lọc (F t ) được gọi là không gian xác suất được lọc, ký hiệu là (Ω,F,(F t ),P) Định nghĩa cho không gian xác suất với bộ lọc F t : (Ω,F,(F t ),P) cho biết rằng một biến ngẫu nhiên τ được xem là một thời điểm Markov nếu với mọi t ≥ 0.
Mội thời điểm Markov τ gọi là thời điểm dừng nếu τ là hữu hạn hầu chắc chắn, nghĩa là:
2.3 Các thời điểm Markov quan trọng
Mệnh đề 1 Giả sử (ξ n ) n= 0,1,2, là dãy ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian đo (X,B) và B ∈ B.
Gọi τ B là thời điểm đầu tiên dãy ξ n đạt tới tập B τ B
min{n: ξ n ∈ B} nếu ∃n +∞ nếu ξ n không bao giờ đạt tới giá trị B. Khi đó, τ B là thời điểm Markov đối với họ σ-đại số F ≤n
Chứng minh Do hệ thức
{ξ k ∈ B} ∈ F k ⊂ F n Vậy τ B là thời điểm Markov đối với họ σ-đại số F ≤n
Mệnh đề 2.Trong các điều kiện của mệnh đề1giả sửB 1 , B 2 , , B n , là tập đo được của X Đặt τ 1
min{n : ξ n ∈ B 1 } nếu ∃n +∞ nếu ξ n không bao giờ đạt tới giá trị B 1 τ 2
min{n :ξ n ∈ B 2 } nếu τ 1 < ∞ và dãy đạt tới B 2 với n > τ 1 +∞ trong trường hợp ngược lại.
Nói chung τ k+1 là thời điểm đầu tiên sau τ k đạt tới B k+1 τ k+1 ( min{n > τ k : ξ n ∈ B k+1 }
+∞ khi dãy ξ n không đạt tới B k+1 sau thời điểm τ k Khi đó τ 1 , τ 2 , , τ k , τ k+1 là các thời điểm Markov đối với họ σ-đại số
⇒ τ 1 , τ 2 , , τ k , τ k+1 là các thời điểm Markov đối với họσ-đại sốF ≤n
Giả sử ξ t (t ∈ [0; +∞)) là một quá trình ngẫu nhiên trong không gian Mêtric (X,B), với B là σ đại số của các tập Borel Các quỹ đạo của ξ t (ω) được cho là liên tục và B là một tập đóng.
Khi đó τ B là thời điểm Markov đối với lọc (F t ).
Chứng minh τ B là thời điểm Markov đối với lọc (F t ), khi và chỉ khi (τ B ≤ t) ∈ F t
Vì B là tập đóng ⇒G là tập mở
Vậy τ là thời điểm Markov đối với lọc (Ft).
Để đại lượng ngẫu nhiên τ trở thành thời điểm Markov đối lọc (F + t), điều kiện cần và đủ là (τ < t) thuộc F t với mọi t ≥ 0.
* Điều kiện cần: Giả sử τ là thời điểm Markov đối với lọc (F t + ) Ta có:
* Điều kiện đủ: Giả sử (τ < t) ∈ F t ,∀t.
Mệnh đề 5 Trong các điều kiện của mệnh đề 3 Giả sử B là tập mở τ B ( inf {t : ξ t ∈ B}
Khi đó nói chung B không phải là thời điểm Markov đối lọc (F t ), nhưng lại là thời điểm Markov đối với lọc (F t + ).
* Nếu ξ t (ω) liên tục phải thì đối với tập mở B ta có:
Các tập dừng là sự mở rộng tự nhiên của khái niệm thời điểm dừng đối với dãy các đại lượng ngẫu nhiên và các quá trình ngẫu nhiên.
Khái niệm thời điểm dừng đóng vai trò trung tâm trong lý thuyết Mar- tingale.
Nội dung của phần này được trình bày theo chuyên kho của Ivanoff và Merzbach.
• Lớp không rỗng A các tập con compắc của T được gọi là bộ chỉ số nếu thỏa mãn các điều kiện cơ bản sau:
2 A bảo toàn đối với phép giao bất kì và hợp hữu hạn.
3 σ-đại số cảm sinh bởi A, σ(A) = B là tập tất cả các Borel của T.
• Gọi A(u) là lớp các hợp hữu hạn các tập của A A n (u) là lớp các hợp hữu hạn các tập trong A n = {A n 1 , , A n K n} của A.
• Gọi C là lớp tất cả các tập con của T có dạng
• Gọi C n là tập con của C có dạng
Nếu B = Sk i=1A i ∈ A(u) sao cho mỗi i, A i * S j6=iA j thì B được gọi là có biểu diễn cực biên.
Nếu A 1 , A 2 , , A n ∈ A và A ⊂ Sn i=1A i thì tồn tại chỉ số i , 1 ≤ i ≤ n sao cho A ∈ A i
2.4.3 Cấu trúc xác suất của quá trình chỉ số tập
Giả sử (Ω,F,P) là không gian xác suất đầy đủ với lọc A- chỉ số (F A, A ∈ A) thỏa mãn các điều kiện sau: Đối với mọi A ∈ A, F A là tập con của F và chứa các tập P-không Nếu A và B đều thuộc A và A là tập con của B, thì F A cũng là tập con của F B Cuối cùng, tính liên tục ngoài đơn điệu của F ∩ A i = T iF A i được đảm bảo cho mọi dãy giảm (A i) trong A.
• Gọi A(u) là lớp các hợp hữu hạn các tập của A.
A(u)e là lớp các giao đếm được các tập của A(u)
Bây giờ ta đưa vào các σ-đại số khác nhau liên quan đến tập A(u),A(u)e và C(u).
Nếu B ∈ A(u)e thì σ- đại số phần trong
Với B ∈ A(u)e ta định nghĩa σ-đại số hữu tỉ
T sao cho g n bảo toàn phép giao bất kì và hợp hữu hạn.
Bổ đề (Tvanoff và Merzbach 1994).
Giả sử (B n ) là dãy giảm trong A(u)e
Về sau này ta luôn giả thiết rằng:
Với A ∈ A,F A = T nF gn(A) Với B ∈ Ae kí hiệu F B được hiểu hoặc F B 0 hay F B r
2.4.4 Các đại số liên quan đến lịch sử của C ∈ C(u)\ A
Hơn nữa G c và G c ∗ là các họ giảm các σ-đại số. Định nghĩa (Tính độc lập có điều kiện CI).
Lọc {F A , A ∈ A} được gọi là có tính chất độc lập có điều kiện(CI) nếu với ∀A, B ∈ A
Giả sử (CI) đúng và Alà dàn phân phối đối với các phép toán∨ và∧ = ∩.
Nếu A 1 , A 2 , , A n ∈ Asao cho A i ∩A j ⊂ A(i 6= j) thì mọiX ∈ L 1 (F A ) ta có
Quá trình ngẫu nhiên A - chỉ số X = {X A , A ∈ A} được gọi là phù hợp nếu X A đo được-F A đối với mọi A∈ A.
X được gọi là khả tích (khả tích bình phương) nếu
X được gọi là quá trình-L p nếu
Ek(X A ) p k < ∞ với mọi A∈ A. Định nghĩa.
Quá trình ngẫu nhiên X được gọi là cộng tính nếu với mọi C, C 1 , C 2 ∈ C ta có
2.4.5 Các tập dừng Định nghĩa.
[ i=1 ξ i (ω). ξ i : Ω → A (i = 1, k), k < ∞. ξ được gọi là tập dừng nếu đối với mỗi A ∈ A
(ω : A ⊂ξ(ω)) ∈ F A (ω : ỉ =ξ(ω)) ∈ F ỉ , và tồn tại tập B ∈ A(u) sao cho ξ ⊂ B h.c.c.
Tập dừng được gọi là đơn nếu ξ(ω) ∈ A,∀ω ∈ Ω.
Các bổ đề sau thuộc về Ivanoff, Merzbach và SchiopuKratina (1993).
Bổ đề 1 Giả sử ξ và ξ 0 là hai tập dừng (đơn) Khi đó ξ ∩ξ 0 xác định bởi
Bổ đề 2 Giả sử giả thiết (S) đúng.ξ và ξ 0 là hai tập dừng Khi đó ξ∪ξ 0 xác định bởi
Chứng minh suy ra từ
Bổ đề 3 Giả sử ξ là tập dừng.
Nếu giả thiết (S) đúng hoặc nếu ξ là đơn và G n : A → A ∪T thì khi đó
Nếu các điều kiện của bổ đề 3 đúng và ξ là tập dừng thì (B ⊂ ξ) ∈
Chứng minh Gọi (A n ) là dãy các tập của A sao cho
Luận văn đã đạt được các kết quả sau
1 Trình bày có hệ thống một số kiến thức cơ bản về thời điểm Markov đối với dãy (F n ). Đưa ra được các ví dụ về thời điểm Markov. Đưa ra một số tính chất cơ bản của thời điểm dừng có chứng minh. Đưa ra khái niệm Martingale với thời gian rời rạc.
2 Đã trình bày được khái niệm thời điểm Markov đối với bộ lọc (F t ).
Mở rộng khái niệm Martingale từ thời gian rời rạc sang thời gian liên tục là một bước tiến quan trọng trong lý thuyết xác suất Thời điểm Markov, liên quan đến bộ lọc (F t ) với t ≥ 0, đóng vai trò then chốt trong việc mô tả quá trình ngẫu nhiên Một số thời điểm Markov quan trọng như thời điểm đầu tiên và thời điểm tối đa cần được xem xét để hiểu rõ hơn về cấu trúc của quá trình Cuối cùng, khái niệm các tập dừng giúp xác định các thời điểm mà quá trình ngẫu nhiên có thể dừng lại, từ đó cung cấp cái nhìn sâu sắc về hành vi của Martingale trong các ứng dụng thực tiễn.
Thời điểm Markov đối với bộ lọc F t
Một họ σ các đại số con (F t , t ≥ 0) của F,F t ⊂ F, được gọi là một bộ lọc thỏa mãn các điều kiện thông thường nếu
* (F t , t ≥ 0) là họ tăng theo t, nghĩa là F s ⊂ F t nếu s < t.
* (F t , t ≥ 0) là họ liên tục phải, nghĩa là F t = T
Nếu A thuộc F và xác suất P(A) = 0, thì A thuộc F0 và do đó A nằm trong mọi Ft Xét quá trình ngẫu nhiên X = (Xt, t ≥ 0), ta có σ-đại số FtX được sinh bởi tất cả các biến ngẫu nhiên Xs với s ≤ t, tức là FtX = σ(Xs, s ≤ t) σ-đại số này chứa đựng toàn bộ thông tin về diễn biến quá khứ của quá trình.
Người ta gọi đó là bộ lọc tự nhiên của quá trình X, hay lịch sử của X, hay cũng gọi là trường thông tin về X.
Một không gian xác suất (Ω,F,P) kèm theo bộ lọc (F t ) được gọi là không gian xác suất được lọc, ký hiệu là (Ω,F,(F t ),P) Định nghĩa cho không gian xác suất với bộ lọc F t: (Ω,F,(F t ),P) Một biến ngẫu nhiên τ được xem là thời điểm Markov nếu với mọi t ≥ 0.
Mội thời điểm Markov τ gọi là thời điểm dừng nếu τ là hữu hạn hầu chắc chắn, nghĩa là:
Các thời điểm Markov quan trọng
Mệnh đề 1 Giả sử (ξ n ) n= 0,1,2, là dãy ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian đo (X,B) và B ∈ B.
Gọi τ B là thời điểm đầu tiên dãy ξ n đạt tới tập B τ B
min{n: ξ n ∈ B} nếu ∃n +∞ nếu ξ n không bao giờ đạt tới giá trị B. Khi đó, τ B là thời điểm Markov đối với họ σ-đại số F ≤n
Chứng minh Do hệ thức
{ξ k ∈ B} ∈ F k ⊂ F n Vậy τ B là thời điểm Markov đối với họ σ-đại số F ≤n
Mệnh đề 2.Trong các điều kiện của mệnh đề1giả sửB 1 , B 2 , , B n , là tập đo được của X Đặt τ 1
min{n : ξ n ∈ B 1 } nếu ∃n +∞ nếu ξ n không bao giờ đạt tới giá trị B 1 τ 2
min{n :ξ n ∈ B 2 } nếu τ 1 < ∞ và dãy đạt tới B 2 với n > τ 1 +∞ trong trường hợp ngược lại.
Nói chung τ k+1 là thời điểm đầu tiên sau τ k đạt tới B k+1 τ k+1 ( min{n > τ k : ξ n ∈ B k+1 }
+∞ khi dãy ξ n không đạt tới B k+1 sau thời điểm τ k Khi đó τ 1 , τ 2 , , τ k , τ k+1 là các thời điểm Markov đối với họ σ-đại số
⇒ τ 1 , τ 2 , , τ k , τ k+1 là các thời điểm Markov đối với họσ-đại sốF ≤n
Giả sử ξ t là một quá trình ngẫu nhiên trong không gian Mêtric (X,B), với B là σ đại số các tập Borel Các quỹ đạo của ξ t (ω) được giả định là liên tục và B là tập đóng.
Khi đó τ B là thời điểm Markov đối với lọc (F t ).
Chứng minh τ B là thời điểm Markov đối với lọc (F t ), khi và chỉ khi (τ B ≤ t) ∈ F t
Vì B là tập đóng ⇒G là tập mở
Vậy τ là thời điểm Markov đối với lọc (Ft).
Để đại lượng ngẫu nhiên τ trở thành thời điểm Markov đối lọc (F + t), điều kiện cần và đủ là (τ < t) thuộc F t cho mọi t ≥ 0.
* Điều kiện cần: Giả sử τ là thời điểm Markov đối với lọc (F t + ) Ta có:
* Điều kiện đủ: Giả sử (τ < t) ∈ F t ,∀t.
Mệnh đề 5 Trong các điều kiện của mệnh đề 3 Giả sử B là tập mở τ B ( inf {t : ξ t ∈ B}
Khi đó nói chung B không phải là thời điểm Markov đối lọc (F t ), nhưng lại là thời điểm Markov đối với lọc (F t + ).
* Nếu ξ t (ω) liên tục phải thì đối với tập mở B ta có:
Các tập dừng
Các tập dừng là sự mở rộng tự nhiên của khái niệm thời điểm dừng đối với dãy các đại lượng ngẫu nhiên và các quá trình ngẫu nhiên.
Khái niệm thời điểm dừng đóng vai trò trung tâm trong lý thuyết Mar- tingale.
Nội dung của phần này được trình bày theo chuyên kho của Ivanoff và Merzbach.
• Lớp không rỗng A các tập con compắc của T được gọi là bộ chỉ số nếu thỏa mãn các điều kiện cơ bản sau:
2 A bảo toàn đối với phép giao bất kì và hợp hữu hạn.
3 σ-đại số cảm sinh bởi A, σ(A) = B là tập tất cả các Borel của T.
• Gọi A(u) là lớp các hợp hữu hạn các tập của A A n (u) là lớp các hợp hữu hạn các tập trong A n = {A n 1 , , A n K n} của A.
• Gọi C là lớp tất cả các tập con của T có dạng
• Gọi C n là tập con của C có dạng
Nếu B = Sk i=1A i ∈ A(u) sao cho mỗi i, A i * S j6=iA j thì B được gọi là có biểu diễn cực biên.
Nếu A 1 , A 2 , , A n ∈ A và A ⊂ Sn i=1A i thì tồn tại chỉ số i , 1 ≤ i ≤ n sao cho A ∈ A i
2.4.3 Cấu trúc xác suất của quá trình chỉ số tập
Giả sử (Ω,F,P) là không gian xác suất đầy đủ với lọc A- chỉ số (F A, A ∈ A) thỏa mãn các điều kiện sau: đầu tiên, với mọi A ∈ A, ta có F A là tập con của F và chứa các tập P-không Thứ hai, nếu A và B đều thuộc A và A là tập con của B, thì F A cũng sẽ là tập con của F B Cuối cùng, tính liên tục ngoài đơn điệu được đảm bảo bởi F ∩ A i = T i F A i đối với mọi dãy giảm (A i) trong A.
• Gọi A(u) là lớp các hợp hữu hạn các tập của A.
A(u)e là lớp các giao đếm được các tập của A(u)
Bây giờ ta đưa vào các σ-đại số khác nhau liên quan đến tập A(u),A(u)e và C(u).
Nếu B ∈ A(u)e thì σ- đại số phần trong
Với B ∈ A(u)e ta định nghĩa σ-đại số hữu tỉ
T sao cho g n bảo toàn phép giao bất kì và hợp hữu hạn.
Bổ đề (Tvanoff và Merzbach 1994).
Giả sử (B n ) là dãy giảm trong A(u)e
Về sau này ta luôn giả thiết rằng:
Với A ∈ A,F A = T nF gn(A) Với B ∈ Ae kí hiệu F B được hiểu hoặc F B 0 hay F B r
2.4.4 Các đại số liên quan đến lịch sử của C ∈ C(u)\ A
Hơn nữa G c và G c ∗ là các họ giảm các σ-đại số. Định nghĩa (Tính độc lập có điều kiện CI).
Lọc {F A , A ∈ A} được gọi là có tính chất độc lập có điều kiện(CI) nếu với ∀A, B ∈ A
Giả sử (CI) đúng và Alà dàn phân phối đối với các phép toán∨ và∧ = ∩.
Nếu A 1 , A 2 , , A n ∈ Asao cho A i ∩A j ⊂ A(i 6= j) thì mọiX ∈ L 1 (F A ) ta có
Quá trình ngẫu nhiên A - chỉ số X = {X A , A ∈ A} được gọi là phù hợp nếu X A đo được-F A đối với mọi A∈ A.
X được gọi là khả tích (khả tích bình phương) nếu
X được gọi là quá trình-L p nếu
Ek(X A ) p k < ∞ với mọi A∈ A. Định nghĩa.
Quá trình ngẫu nhiên X được gọi là cộng tính nếu với mọi C, C 1 , C 2 ∈ C ta có
2.4.5 Các tập dừng Định nghĩa.
[ i=1 ξ i (ω). ξ i : Ω → A (i = 1, k), k < ∞. ξ được gọi là tập dừng nếu đối với mỗi A ∈ A
(ω : A ⊂ξ(ω)) ∈ F A (ω : ỉ =ξ(ω)) ∈ F ỉ , và tồn tại tập B ∈ A(u) sao cho ξ ⊂ B h.c.c.
Tập dừng được gọi là đơn nếu ξ(ω) ∈ A,∀ω ∈ Ω.
Các bổ đề sau thuộc về Ivanoff, Merzbach và SchiopuKratina (1993).
Bổ đề 1 Giả sử ξ và ξ 0 là hai tập dừng (đơn) Khi đó ξ ∩ξ 0 xác định bởi
Bổ đề 2 Giả sử giả thiết (S) đúng.ξ và ξ 0 là hai tập dừng Khi đó ξ∪ξ 0 xác định bởi
Chứng minh suy ra từ
Bổ đề 3 Giả sử ξ là tập dừng.
Nếu giả thiết (S) đúng hoặc nếu ξ là đơn và G n : A → A ∪T thì khi đó
Nếu các điều kiện của bổ đề 3 đúng và ξ là tập dừng thì (B ⊂ ξ) ∈
Chứng minh Gọi (A n ) là dãy các tập của A sao cho
Luận văn đã đạt được các kết quả sau
1 Trình bày có hệ thống một số kiến thức cơ bản về thời điểm Markov đối với dãy (F n ). Đưa ra được các ví dụ về thời điểm Markov. Đưa ra một số tính chất cơ bản của thời điểm dừng có chứng minh. Đưa ra khái niệm Martingale với thời gian rời rạc.
2 Đã trình bày được khái niệm thời điểm Markov đối với bộ lọc (F t ).
Mở rộng khái niệm Martingale từ thời gian rời rạc sang Martingale với thời gian liên tục là một bước tiến quan trọng trong lý thuyết xác suất Khái niệm thời điểm Markov đối với bộ lọc (F t ), với t ≥ 0, giúp xác định các trạng thái tương lai của quá trình ngẫu nhiên chỉ dựa vào trạng thái hiện tại Một số thời điểm Markov quan trọng bao gồm thời điểm khởi đầu, thời điểm dừng, và thời điểm tối ưu Cuối cùng, khái niệm các tập dừng là cần thiết để phân tích các sự kiện xảy ra tại thời điểm cụ thể trong các quá trình ngẫu nhiên.