Phân phối mũ
Phân phối mũ là một khái niệm quan trọng trong xác suất, có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực Bài viết này sẽ trình bày định nghĩa và một số tính chất cơ bản của phân phối mũ, giúp người đọc hiểu rõ hơn về loại phân phối này.
1.1.1 Định nghĩa Ta nói rằng biến ngẫu nhiên X có phân phối mũ với tham số λ >0 nếu mật độ xác suất của nó có dạng. f(x) λe −λx nếu x ≥ 0
Bằng các tính toán đơn giản, ta có các kết quả sau:
• X có phân phối mũ với tham số λ > 0 khi và chỉ khi hàm phân phối xác suất có dạng
• X có phân phối mũ với tham số λ > 0 thì
1.1.2.1 Định lý X có phân phối mũ khi và chỉ khi
P(X > s+t | X > t) =P(X > s), ∀s, t ≥0 (∗) Chứng minh Giả sử X có phân phối mũ, ta có
Định lý nêu rằng, nếu X₁, X₂, , Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối với tham số λ, thì tổng X₁ + X₂ + + Xn sẽ có phân phối gamma với tham số n và λ Hàm mật độ của phân phối này được biểu diễn dưới dạng fₙ(x) = (λx)^(n−1) / ((n−1)! λ) e^(-λx) cho x ≥ 0.
Chứng minh Với n = 1 kết luận trên hiển nhiên đúng Giả sử kết luận đúng với n−1 Khi đó ta có f n (x) +∞
Trong đó f(x) là hàm mật độ của X 1 Vậy kết luận đúng với n.
Chú ý rằng nếu X có phân phối gamma với các tham số n và λ với hàm mật độ f(x) n p x p−1 e −nx nếu x > 0
Giả sử thời gian sống của bóng đèn điện là 10 giờ và tuân theo phân phối mũ, ta có thể tính xác suất để bóng đèn vẫn hoạt động sau khi đã sáng trong một khoảng thời gian nhất định Nếu Nam vào phòng và thấy đèn đang sáng, xác suất để bóng đèn tiếp tục hoạt động thêm 5 giờ nữa, với điều kiện nó đã sáng quá một khoảng thời gian s, sẽ không thay đổi và vẫn bằng xác suất bóng đèn sống quá s Điều này cho thấy bóng đèn "không nhớ" thời gian đã hoạt động trước đó, giúp Nam có thể tiếp tục làm việc mà không lo lắng về việc đèn tắt đột ngột.
Gọi X là thời gian sống của bóng đèn Khi đó ta có:
Vì X không nhớ (đã thắp sáng bao lâu rồi) nên xác suất phải tìm là
Chú ý rằng nếu X biến nhớ thì xác suất phải tìm là
1−F(t) Trong đó t là thời gian bóng đèn đã được sử dụng trước đó.
Phân phối Poisson
1.2.1 Định nghĩa Dãy Poisson với tham số λ>0 là dãy số
Ta nói rằng biến ngẫu nhiên X có phân phối Poisson với tham số λ>0 nếu
1.2.2.1 Định lý Nếu X, Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập, có cùng phân phối Poisson với tham số λ 1 , λ 2 tương ứng thì X + Y có phân phối Poisson với tham số λ 1 + λ 2
Chứng minh Theo công thức xác suất đầy đủ ta có
1.2.2.2 Định lý Giả sử N là biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson với tham số λ >0 và X là biến ngẫu nhiên sao cho:
P(X = k|N = n) = C n k p k (1−p) n−k (k = 0,1,2 , n) (1.10) Khi đó X có phân phối Poisson với tham số λp.
1.2.2.3 Luật biến cố hiếm Giả sử A là biến cố nào đó xảy ra với xác suất P Ký hiệu X là số lần xuất hiện A trong n lần quan sát Khi đó
X có phân phối nhị thức:
Luật biến cố hiếm chỉ ra rằng khi xác suất p nhỏ và số lần thử n lớn, phân phối nhị thức có thể được xấp xỉ bằng phân phối Poisson.
1 Giả sử các sự cố hỏng của một đường dây liên lạc xảy ra theo quá trình Poisson với cường độ λ = 0,1 trên 1km Ta cần tính
• Xác suất không có sự cố hỏng trong 2km đầu Khi đó vì X(2) có phân phối Poisson với tham số λ = 0,1×2 = 0,2 nên ta có
• Xác suất không có sự cố hỏng trong km thứ 3, biết rằng không có sự cố hỏng trong 2km đầu DoX(3)−X(2)và X(2)−X(0) = X(2) là độc lập nên ta có
Giả sử số khách hàng đến một cửa hàng tuân theo quá trình Poisson với cường độ λ = 4 khách/giờ Cửa hàng mở cửa lúc 9 giờ sáng, và chúng ta cần tính xác suất có đúng 1 khách đến cửa hàng trong khoảng thời gian từ 9 giờ đến 9 giờ 30, cũng như xác suất cho tới 11 giờ.
30 có 5 khách đến cửa hàng Ta xem thời điểm xuất phát là t 0 = 9 Xác suất cần tìm là
Quá trình đếm
Quá trình đếm được định nghĩa là số lần xuất hiện của một biến cố A trong khoảng thời gian từ 0 đến t, ký hiệu là N(t) với t ≥ 0.
1.3.2 Tính chất Nếu N(t) là quá trình đếm thì N(t) là biến ngẫu nhiên có các tính chất sau:
(ii) N(t) là các số nguyên không âm.
(iv)N(s, t] = N(t)−N(s),0 ≤s < t là số lần biến cốA xảy ra trong khoảng thời gian (s, t].
Ta gọi {N(t, s],0 ≤ s < t} là quá trình đếm.
• A là biến cố: Khách vào cửa hàng nào đó Khi ấy N(t) là số khách vào cửa hàng tính đến thời điểm t.
• A là biến cố: Điện thoại gọi đến trạm Bưu điện nào đó Khi ấy N(t) là số lần gọi đến trạm Bưu điện tính đến thời diểm t.
• A là biến cố: Sinh con trai Khi ấy N(t) là số con trai được sinh ra tính đến thời điểm N(t).
Quá trình Poisson
1.4.1 Định nghĩa Quá trình Poisson là quá trình đếm N(t), t ≥ 0 thỏa mãn các giả thiết sau:
(i) Có gia số độc lập, tức là, với mọi m = 2,3, và với mọi 0 < t 0 < t 1 < t 2 ã ã ã < t m cỏc gia số N(t 0 , t 1 ], N(t 1 , t 2 ], , N(t m−1 , t m ] là cỏc biến ngẫu nhiên độc lập.
(ii) Có gia số dừng tức là, với mọi s > 0,0 ≤ t 1 < t 2 các gia số
N(t 1 + s, t 2 + s], N(t 1 , t 2 ] là các biến ngẫu nhiên có cùng phân phối xác suất.
(iii) Tồn tại λ >0 sao cho h >0 khá bé thì P[N(h)=1]= λ h+0(h). (iv)Với h > 0 khá bé thì P[N(h) ≥ 2] = 0(h).
Bây giờ ta phân tích ý nghĩa toán học của các giả thuyết trên Đặt P n (t) = P[N(t) = n] (n= 0,1,2, ) ta thấy
= 1−λh+ 0(h)( theo các giả thiết (iii)(iv))
= P 0 (t)[1−λh + 0(h)](theo các giả thiết(ii),(iii)).
Chú ý rằng P 0 (0)=1 ta suy ra
(theo các giả thiết (i),(ii),(iv)) Vì thế
Từ các tiên đề trên ta suy ra
P n (t) = (λt) n n! e −λt (n= 0,1,2, ) (1.16) Tức là N(t) có phân phối Poisson với tham số λt.
1.4.2 Định nghĩa Ta nói rằng X(t), t ≥ 0 là quá trình Poisson với cường độ λ (hoặc tham số λ) nếu:
(ii)X(t), t ≥0 là quá trình có gia số độc lập, tức là , với bất kì 0 < t 0 < t 1 < t 2 < ã ã ã < t n cỏc gia số X(t 0 , t 1 ], X(t 1 , t 2 ], , X(t n−1 , t n ] là cỏc biến ngẫu nhiên độc lập.
(iii) Mỗi gia số X(s+t)−X(t) có phân phối Poisson với tham số λt với mọi s ≥0, t > 0.
Từ định nghĩa trên ta thấy
1.4.3 Sự tồn tại của quá trình Poisson
Phân phối hữu hạn chiều của quá trình Poisson được tính theo công thức: Với 0 < t 0 < t 1 < t 2 ã ã ã < t n ta cú
(k n −k n−1 )! e −λ(t n −t n−1 ) Các phân phối hữu hạn chiều này thỏa mãn các điều kiện đối xứng nhất quán Chú ý rằng
Quá trình có bản sao không gián đoạn loại hai tồn tại, cho phép chúng ta giả thiết rằng bản sao này phải liên tục Điều này đảm bảo sự tồn tại của quá trình Poisson theo định nghĩa đã nêu.
Quá trình Poisson là quá trình cấp hai nhưng không phải là quá trình dừng, vì
Hơn nữa hàm tương quan của quá trình Poisson là:
M in(s, t) là hàm xác định không âm.
Mô hình Poisson
Quá trình Poisson có nhiều ứng dụng quan trọng trong các lĩnh vực thông tin liên lạc và kinh tế cũng như lý thuyết phục vụ đám đông.
Số lần gọi đến tổng đài trong khoảng thời gian từ s đến t, ký hiệu là X(t), được mô tả bằng phân phối Poisson với tham số λt, trong đó λ là giá trị kỳ vọng của X(1) Điều này có nghĩa là λ đại diện cho số lần gọi trung bình trong một đơn vị thời gian.
Cũng có thể dùng mô hình trên để mô tả khách đến cửa hàng trong khoảng thời gian từ s đến t+s. Ý nghĩa thực tế của quá trình Poisson
Xét X(t) là số lần gọi đến tổng đài, chúng ta có thể đưa ra một số giả thiết quan trọng Đầu tiên, xác suất để có n lần gọi trong khoảng thời gian t (P n (t) = P[X(t) = n]) phụ thuộc vào n và t, nhưng không phụ thuộc vào vị trí của khoảng thời gian, cho thấy X(t) có gia số dừng Thứ hai, số lần gọi trong những khoảng thời gian không giao nhau là các biến ngẫu nhiên độc lập, chứng minh rằng X(t) là quá trình có gia số độc lập Cuối cùng, xác suất để có nhiều hơn một lần gọi trong khoảng thời gian t khá bé (P(X(t) ≥ 2)) là rất nhỏ, với bậc cao hơn t.
Một lần nữa chúng tôi trình bày vắn tắt các ý chính trong lập luận đã nêu khi không sử dụng điều kiện (iii).
Từ a) và b) ta suy ra với bất kì t, u thì
Nghiệm duy nhất của phương trình này là P 0 (t) = e −λt , trong đó λ là hằng số không âm (vì 0≤ P 0 ≤ 1) loại trừ trường hợp P 0 (t) = 0,∀t ta có thể xem λ>0.
Theo công thức Taylor thì khi t khá bé ta có
Do b) và c) ta có: Với n≥ 1 thì
Chia 2 vế cho u rồi cho u →0 ta được.
Nên nghiệm duy nhất của phương trình trên là
Khi cường độ sự kiện phụ thuộc vào thời gian, tức là λ = λ(t), quá trình Poisson được định nghĩa là thuần nhất theo thời gian Trong trường hợp này, hiệu số X(t) - X(s) sẽ tuân theo phân phối Poisson với tham số t.
Chuyển động Brown
Quá trình Wiener, hay còn gọi là chuyển động Brown, là một quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục, đóng vai trò quan trọng trong việc mô tả sự chuyển động của các hạt trong chất lỏng thuần nhất.
1.6.1 Định nghĩa Một quá trình ngẫu nhiên X = (X(t), t ≥0) được gọi là một quá trình Gauss, nếu mọi tổ hợp tuyến tính có dạng
X i=1 α i X t i (1.21) là một biến ngẫu nhiên chuẩn (biến ngẫu nhiên Gauss) Nói cách khác, X là Gauss nếu mọi phân phối hữu hạn chiều là chuẩn.
Một quá trình ngẫu nhiên (X(t), t ≥ 0) được coi là quá trình Gauss nếu và chỉ nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn: Thứ nhất, kỳ vọng của bình phương giá trị ngẫu nhiên tại mọi thời điểm t (EX t 2) phải hữu hạn (EX t 2 < ∞) với mọi t ≥ 0 Thứ hai, đối với mọi tập hữu hạn các giá trị (t1, , tN) với ti ≥ 0, hàm đặc trưng của quá trình này phải có dạng nhất định.
Quá trình ngẫu nhiên X = (X(t), t ≥ 0) được định nghĩa là quá trình Wiener tiêu chuẩn hay chuyển động Brown nếu nó là quá trình Gauss với hai đặc điểm chính: thứ nhất, kỳ vọng E(X t ) bằng 0 cho mọi t, nghĩa là X t có quy tâm; thứ hai, hàm tương quan R(t, s) được xác định là min(t, s).
Trong trường hợp tổng quát, một quá trình Wiener với tham số phương sai là một quá trình Gauss, quy tâm và hàm tương quan là
Quá trình ngẫu nhiên X = (X(t), t ≥ 0) được gọi là quá trình Wiener tiêu chuẩn hay chuyển động Brown nếu thỏa mãn các điều kiện sau: a) Giá trị X 0 = 0 với xác suất cao b) Hiệu số (X t −X s ) tuân theo phân phối chuẩn N(0, t−s) khi s < t c) Các biến ngẫu nhiên X t 4 −X t 3 và X t 2 −X t 1 (với t 1 ≤ t 2 ≤ t 3 ≤ t 4) là độc lập với nhau.
Trong trường hợp tổng quát
Sự tồn tại của quá trình Wiener được lập luận như sau:
Vì min(s, t) là hàm xác định không âm, nên tồn tại quá trình Gauss {W t , t ∈ [0;∞)} sao cho:
Từ đó suy ra: với 0≤ t 1 ≤t 2 ≤ t 3
Do đó {W t , t ∈ [0;∞)} là quá trình Gauss có gia số độc lập.
Suy ra quá trình {W t , t ∈ [0;∞)} có bản sao liên tục.
*) Vì quá trình có gia số độc lập là quá trình Markov, nên quá trình Wiener {W t , t ∈ [0;∞)} là quá trình Markov Mật độ chuyển của nó là:
2(t−s) ), (0≤ s < t) (1.26) Hàm chuyển của nó là:
*) Mật độ của phân phối hữu hạn chiều là:
(1.28) Phân phối hữu hạn chiều t 0 = 0, x 0 = 0 là:
Ký hiệu W = (W t , t ≥ 0) là chuyển động Brown Sau đây là một số tính chất quan trọng của chuyển động Brown.
1) W t là Mactingale đối với lọc tự nhiên (F t ), với
Hầu hết các quỹ đạo của quá trình Wiener không có biến phân giới nội trên bất kỳ đoạn hữu hạn nào [a,b] Điều này có nghĩa là hầu chắc chắn rằng W_t không có biến phân bị chặn trên bất kỳ khoảng hữu hạn nào của t.
3) Hầu chắc chắn W t không khả vi theo t (hầu hết các quỹ đạo của nó không khả vi).
Mặc dù các quỹ đạo của quá trình Wiener không có đạo hàm theo nghĩa thông thường, nhưng có thể áp dụng khái niệm đạo hàm suy rộng, trong đó nhiễu trắng được coi là đạo hàm suy rộng của quá trình Brown Hình thức có thể được biểu diễn là dW_t = W_t dt.
Nói chính xác hơn nhiễu trắng là quá trình dừng Gauss với hàm tương quan
5) Luật Lôgarit lặp của quá trình Wiener:
6) Luật Lôgarit lặp địa phương của quá trình Wiener:
7) Điều kiện Holder của quá trình Wiener khẳng định:
8) Nguyên lý phản xạ của quá trình Wiener khẳng định:
Các Mactingale quen biết tạo thành từ W
Cho (W t ) là một chuyển động Brown và F t = F t W Trong bối cảnh này, ta có ba khái niệm Mactingale quan trọng: Thứ nhất, W t là một Mactingale đối với F t Thứ hai, W t 2 −t cũng là một Mactingale đối với F t Cuối cùng, với mọi u ∈ R, e uW t − u cũng được xem là một Mactingale.
2 t là một Mactingale đối với F t Đặc trưng Levy của chuyển động Brown
Cho W = (W t , t ≥ 0) là một quá trình ngẫu nhiên có quỹ đạo liên tục. Điều kiện cần và đủ để cho (W t ) là một chuyển động Brown là
W t 2 −t là mactingan đối với F t = F t W Điều kiện (**) được gọi là đặc trưng Levy của chuyển động Brown.
MỘT CÁCH TIẾP CẬN VỀ QUÁ TRÌNH
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một phương pháp nghiên cứu quá trình Poisson, nhấn mạnh tính chất độc lập của gia số so với quá khứ và tính dừng của quá trình điểm N.
2.1 Định nghĩa quá trình Poisson
Quá trình Poisson có thể được định nghĩa theo một cách tiếp cận khác, dựa trên hai yếu tố chính: tính độc lập với quá khứ và tính dừng của quá trình điểm Tính độc lập với quá khứ cho thấy rằng số sự kiện xảy ra trong các khoảng thời gian không chồng chéo là độc lập với nhau, trong khi tính dừng đảm bảo rằng quá trình này không thay đổi theo thời gian.
Xét quá trình N = (N t ), t ≥ 0 được xác định bởi
I (t≥T n ) (2.1) số lần T n xảy ra đến thời điểm t. Ở đây (T n ) n≥0 là dãy tăng ngặt các biến ngẫu nhiên dương và hàm chỉ tiêu
I (s 0.
Nếu α(t) = 0 thì N t (ω) =∞ với mọi t điều này mâu thuẫn với N là quá trình đếm Vậy P(N t = 0) = e −λt
Chú ý rằng u→tlimP(| N u −N u |> ) = lim u→tP(| N u−t |> )
Vì vậy N liên tục theo xác suất.
Bước 2: Ta chứng minh P(N t ≥2) là o(t) Tức là chứng minh limt→0
Vì N không giảm nên β cũng không giảm. Để chứng minh limt→0
1 tβ(t) = 0 (2.8) ta chứng minh biểu thức tương đương với nó n→0lim nβ(1 n) = 0 (2.9)
Chia một khoảng [0,1] thành n đoạn nhỏ có chiều dài bằng nhau, ký hiệu S n là số đoạn nhỏ có ít nhất hai lượt S n là tổng hợp của n giá trị các biến ngẫu nhiên, dẫn đến việc nó tuân theo phân phối nhị thức (n, p), với p = β(n, 1).
Vì N là quá trình đếm, thời gian đếm là tăng ngặt, nghĩa là T n = T n+1 khi S n ≤ N 1 , nếu EN 1 < ∞ (tức là N 1 < ∞) thì n→∞lim nβ(1 n) = lim n→∞ES n = 0 (2.11)
Do đó n→∞lim S n (ω) = 0 (2.12) Vậy limt→0
1 tP(|N t |≥ 2) = 0 (2.13) Bước 3: Ta chứng minh t→0lim
P{N t = 1} = 1−P{N t = 0} −P{N t ≥ 2} điều này kéo theo limt→0
Bước 4: Kết luận Đặt ϕ(t) = E[α N t ] với 0 ≤ α ≤ 1.
Khi đó 0≤ s < t < ∞, sự độc lập và tính dừng của gia số nên ta có ϕ(t+s) = ϕ(t)ϕ(s) điều đó dẫn đến ϕ(t) = e tψ(α) Nhưng ϕ(t) ∞
Và ψ(α) =ϕ 0 (0), giới hạn của ϕ tại 0 Vì thế ψ(α) = lim t→0 ϕ(t)−1 t
Vì thế, công thức tính xác suất của chuổi vô hạn
2.2.2 Hệ quả Một quá trình Poisson N với cường độ λ thỏa mãn
2.2.3 Định lí Nếu N là phân phối Poisson với cường độ λ thì N t −λt và (N t −λt) 2 −λt là Martingale.
Chứng minh Quá trình đếm N là quá trình Poisson nên với ∀s, t,0 ≤ s < t < ∞ thì
Chứng minh tương tự ta có
2.2.4 Định lí Giả sử N là quá trình đếm khi đó lọc tự nhiên của N là liên tục phải
Cho E = [0,∞] và B là tập Borel của E và cho Γ không gian đường dẫn được xác định bởi Γ = ( Y s∈[0,∞)
Xác định các bản đồ π t : Ω → Γ π t (ω) = s 7→ Ns∧t(ω).
Giá trị của π t nằm trong tập hợp các hàm không đổi theo t, trong khi σ−đại số F t 0 được hình thành từ các biến ngẫu nhiên trong không gian các hàm đơn vị có giá trị π t.
Cho Λ là một biến cố trong
Khi đó tồn tại một bộ
Tiếp theo ta đặt W n = {π t = π t+ 1 n} Đối với mỗi ω tồn tại n sao cho s 7→N s (ω) là hằng số trên [t, t+ n 1 ] Do đó,
W n (2.23) ở đây W n là chuỗi tăng các biến cố Do đó, Λ = lim n (W n \ Λ)
= lim n {π t ∈ A n }. Điều đó nói lên rằng Λ∈ F t 0
2.2.5 Định lí Quá trình Poisson là Xích Mac cốp thuần nhất liên tục trên không gian trạng thái vô hạn đếm được 0,1,2,
Giả sử 0 ≤t 1 < t 2 < ã ã ã < t n và cỏc số nguyờn 0 ≤i 1 < i 2 < ã ã ã < i n
Do có tính chất có gia số độc lập của quá trình Poisson N t nên ta có
Do đó quá trình Poisson là quá trình Markov Nó là quá trình Markov thuần nhất vì
P(N t+h −N t = i) = h i i!e −h = P(N s+h −N s = i). Đối với mọi s, t > 0 và các số nguyên i ≥0 Đó là Xích Markov thuần nhất trên {0,1,2, } với các xác suất chuyển
Chuyển động Brown n-chiều
2.3.1 Định nghĩa Quá trình thích nghi B = (B t ) t≥0 lấy giá trị trong
R n được gọi là chuyển động Brown n-chiều nếu:
(i) B t −B s độc lập với F s với (0 ≤ s < t < ∞) (gia số độc lập với quá khứ).
(ii) B t −B s ∼ N(0,(t−s)C) C: ma trận không ngẫu nhiên0 < s < t. 2.3.2 Các ví dụ về trường Wiener
1 Trường Wiener hai tham số rời rạc.
Giả sử (ζ m 1 ,m 2 )(m 1 , m 2 = 0,1,2 .) - là họ các đại lượng ngẫu nhiên rời rạc trên không gian xác suất {Ω,F,P} và E(ζ m 1 ,m 2 ) = 0 Đặt ξ m 1 ,m 2 = X k 0 có phân phối chuẩn với các tham số (0, st).
Gọi F z = F x,y W là σ đại số nhỏ nhất các tập của Ω sao cho đối với nó các đại lượng W(z 0 ), z 0 ∈ (0, z] đo được.
Trường Wiener hai tham số W(z) = W(x, y) là Martingale mạnh đối với họ F z = F x,y W
Một số tính chất của chuyển động Brown
2.4.1 Định lí Giả sử B là chuyển động Brown khi đó tồn tại bản sao của B có quỹ đạo liên tục.
Giả sử B là chuyển động Brown ta có
E(| B t+h −B h | p ) ≤ k | h | 1+ε , (2.27) trong đóp, εvà k là các hằng số dương Theo hệ quả của định lý Kolmogorov thì tồn tại bản sao của B có quỹ đạo liên tục.
2.4.2 Định lí Giả sử B chuyển động Brown một chiều với B 0 = 0 khi đó M t = B t 2 −t là Martingale.
Ta có B là một Martingale với B s , B t ∈ L 2 Do đó
2.4.3 Định lí Giả sử W t = (W t 1 , W t 2 , W t r ), t ≥ 0 là quá trình Wiener r−chiều, W 0 = 0 Gọi F i = σ{ω : W t i t≥ 0} (i = 1, r). Khi đó các σ đại số F 1 ,F i , ,F r độc lập.
Chứng minh Thật vậy: Với 0≤ t 1 ≤t 2 ≤ ã ã ã ≤t n
Ta sẽ chứng minh các véc tơ ngẫu nhiên sau đây là độc lập
Phân phối đồng thời của chúng là phân phối Gauss Do W t i và W t j (j 6= i) không tương quan vì
Cov(W t i −W t j ) =EW t i W t j −EW t i EW t j = 0 (2.28) Nên các véc tơ trên độc lập Từ đó ta có F i và F j độc lập (i 6= j).
2.4.4 Định lí Cho W t 1 và W t 2 là hai quá trình Wiener bất kì Khi đó l.i.mX
(W t 1 i+1 −W t 1 i )(W t 2 i+1 −W t 2 i ) = 0 (2.29) khi làm mịn phân hoạch đoạn [a, b].
√2 cũng là quá trình Wiener.
2.4.5.Định lí Cho (W t ), t ≥ 0 là quá trình Wiener xuất phát từ 0 Khi đó quá trình phản xạ | (W t ) | là quá trình Markov với thời gian liên tục.
Chứng minh Thật vậy, do tính đối xứng của (W t ) với gốc tọa độ nên
Vì (−W t ), t ≥ 0 cũng là quá trình Wiener nên | W t | là quá trình có gia số độc lập và cũng là quá trình Markov.
2.4.6 Định lí Giả sử (W t ), t ≥ 0 là quá trình Wiener 3 chiều với quỹ đạo liên tục và xuất phát từ 0 Khi đó t→∞lim | W t |= 0 với xác suất 1 và với x 0 ∈ R 3
P{W t 6= 0} = 1, ∀t > 0 (2.32) Chứng minh. a) Vì | W t −x 0 | là Martingale dưới do đó, supE(| W t −x 0 | −1 ) = E(| W 0 −x 0 | −1 ) = 1
⇒ W t 6= x 0 ∀t > 0. b) Với x 0 = 0 Ta lấy Martingale trên | W t | −1 với t ≥δ > 0 supE 1
| x |e −|x| 2δ dx < ∞ (2.34) Áp dụng định lí về sự hội tụ ta có, W t 6= 0,∀t ≥ δ > 0 với xác suất 1 tức là ∀t > 0 Hơn nữa lim | W t −x 0 | −1 = 0 h.c.c vì | W t −x 0 | −1 → P 0.
2.4.7 Định lí Giả sử W(t) là quá trình Wiener Khi đó tW( 1 t ) và W(t+s)−W(s) (s cố định ) cũng là quá trình Wiener.
Chứng minh Cần nhắc lại rằng tổ hợp tuyến tính của quá trình Gauss cũng là quá trình Gauss.
Giả sử W(t) là quá trình Wiener tiêu chuẩn Ta sẻ chứng tỏ rằng
Ta sẻ chứng tỏ rằng X(t+h)−X(t) = W(t+s+h)−W(t+s) cũng có gia số độc lập và nó là quá trình Wiener tiêu chuẩn. Đặt Y(t) = tW( 1 t ) (t > 0).
Ta thấy tW( 1 t ) = W s (s) → 0 khi s = 1 t → 0, nên ta định nghĩa Y(0) = 0.
Y có gia số độc lập suy ra từ
2.4.8 Định lí Giả sử W(t) là quá trình Wiener tiêu chuẩn Khi đó
W 2 (t)−t cũng là quá trình Wiener và ta có các bất đẳng thức sau:
= 3t 2 −2t.t+t 2 = 2t 2 , áp dụng bất đẳng thức Martingale cực đại và bất đẳng thức Doob cho quá trình W t 2 −t ta có
2.4.9 Định lí Đối với quá trình Wiener tiêu chuẩn ta luôn có t→∞lim
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Quá trình P Levy
Các quá trình Poisson và chuyển động Brown được xem như các trường hợp riêng của quá trình P.Levy.
2.5.1 Định nghĩa Một quá trình thích nghi X = (X t ) t≥0 với X 0 = 0 là một quá trình Levy nếu:
(i) X có gia số độc lập với quá khứ, nghĩa là X t −X s độc lập với F s ,
(ii) X có gia số dừng, nghĩa là X t −X s có phân phối như X t−s ,
(iii) X t liên tục theo xác suất, nghĩa là limt→sX t = X s 2.5.2 Định nghĩa Một quá trình thích nghi X = (X t )t≥0 với X 0 = 0 là một quá trình Levy nội tại nếu:
(i) X có gia số độc lập với quá khứ, nghĩa là X t −X s độc lập với F s ,
(ii) X có gia số dừng, nghĩa là X t −X s có phân phối như X v −X u ,
(iii) X t liên tục theo xác suất, nghĩa là limt→sX t = X s
Quá trình Levy nội tại là quá trình Levy liên quan đến lọc cực tiểu Khi thực hiện biến đổi Fourier cho mỗi X_t, ta thu được hàm f(t, u) = f_t(u), với f_t(u) = E{e^(iuX_t)} Đặc biệt, f_0(u) = 1, f_{t+s}(u) = f_t(u) * f_s(u) và f_t(u) khác không với mọi (t, u).
2.5.3 Một số tính chất quan trọng của quá trình Levy
2.5.3.1 Định lý Cho X là một quá trình Levy Tồn tại duy nhất một bản sao Y của X mà là Cadlag và đó cũng là một quá trình Levy.
Chứng minh Giả sử M t u = e f iuXt t (u)
Với mỗi u cố định trong Q,R, quá trình (M t u ) 0≤t z +y). Đẳng thức cuối cùng là một hệ quả của bao hàm thức {S t ≥ z} ⊂ {S t ≥ z + y} Ngoài ra P(T ≤ t;B t < z −y) = P(S t ≥ z;B t < z −y) Kết hợp các kết quả ta có
2.5.3.5.Hệ quả Cho B = (B t ) t≥0 là chuyển động Brown tiêu chuẩn
B 0 = 0 và S t = sup 0≤s≤t B s với z > 0, ta có
Chứng minh Lấy y = 0 theo định lý trên ta có
Theo đó ta củng có P(B t = z) = 0.
Luận văn đã đạt được các kết quả sau
1 Trình bày có hệ thống một số kiến thức cơ bản về quá trình Poisson và chuyển động Brown. Đưa ra các tiên đề của quá trình Poisson dựa trên quá trình đếm N(t).
Thiết lập công thức tính xác suất cho quá trình Poisson và đưa ra các tiên đề của chuyển động Brown tiêu chuẩn Từ đó, xác định hàm chuyển phân phối hữu hạn chiều của quá trình Wiener cùng với một số tính chất quan trọng liên quan đến quá trình này.
2 Trình bày một cách tiếp cận mới về quá trình Poisson dựa trên tính độc lập đối với quá khứ và tính dừng của quá trình điểm.
Từ đó thiết lập được một số tính chất quan trọng của quá trình Poisson.
3 Trình bày khái niệm chuyển động Brown n-chiều , một số ví dụ minh họa một số tính chất của chuyển động đó.