TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC MỘT PHƯƠNG PHÁP LẶP HIỆN XẤP XỈ NGHIỆM BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG TÁCH ĐỒ ÁN II Chuyên ngành: TOÁN TIN Chuyên sâu: Các phương pháp tối ưu Giảng viên hướng dẫn: PGS.TS NGUYỄN THỊ THU THỦY Sinh viên thực hiện: NGUYỄN TRUNG NGHĨA Lớp: Toán Tin 01 - K62 HÀ NỘI – 2021 i NHẬN XÉT CỦA GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN Mục tiêu nội dung đồ án (a) Mục tiêu: Đề tài nghiên cứu phương pháp lặp xấp xỉ nghiệm cho lớp toán bất đẳng thức biến phân trường hợp tập ràng buộc tập điểm bất động tách không gian Hilbert thực; nghiên cứu hội tụ mạnh phương pháp; đưa ví dụ số minh họa cho hội tụ phương pháp (b) Nội dung: Trình bày khái niệm ví dụ toán điểm bất động, toán điểm bất động tách, tốn bất đẳng thức biến phân khơng gian Hilbert thực; trình bày phương pháp lặp giải tốn khơng gian Hilbert thực vơ hạn chiều; chứng minh hội tụ mạnh phương pháp tính tốn ví dụ số minh họa cho hội tụ phương pháp không gian Hilbert thực hữu hạn chiều Kết đạt (a) Dịch, tổng hợp trình bày lại kết [5] số tài liệu liên quan toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán điểm bất động tách không gian Hilbert thực phương pháp lặp giải toán (b) Xét trường hợp đặc biệt toán ánh xạ giá toán tử đơn vị khơng gian Hilbert thực (c) Đề xuất tính tốn ví dụ minh họa cho hội tụ phương pháp lặp không gian hữu hạn chiều Ý thức làm việc sinh viên: (a) Có ý thức, trách nhiệm cao trình học tập làm đồ án (b) Đam mê, ham học hỏi tìm hiểu kiến thức chuyên sâu liên quan đến đề tài đồ án (c) Hoàn thành tốt đồ án theo yêu cầu giáo viên hướng dẫn Hà Nội, ngày 06 tháng 01 năm 2021 Giảng viên hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy ii Lời cảm ơn Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy, Bộ mơn Tốn ứng dụng, Viện Toán ứng dụng Tin học, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Đối với em, điều may mắn biết đến thời gian tham gia Hội thảo Tối ưu Tính toán khoa học lần thứ 18 Viện Toán học tổ chức vào tháng 08/2020, cô nhận lời hướng dẫn đồ án Cơ tận tình bảo, hướng dẫn cho em nhiều điều, từ điều nhỏ nhặt cách đọc tài liệu chuyên ngành, cách soạn thảo LATEX, tới kiến thức quan trọng để em hồn thành đồ án Khơng hướng dẫn chun mơn, cịn dành cho em nhiều lời khuyên vấn đề sống Từ tận đáy lòng, em xin gửi lời tri ân sâu sắc tới cô, em mong học kỳ tiếp tục cô hướng dẫn đồ án Em xin gửi lời cảm ơn đến thầy nhóm seminar "Bất đẳng thức biến phân vấn đề liên quan" GS.TSKH Phạm Kỳ Anh GS.TSKH Lê Dũng Mưu chủ trì, tổ chức phòng D3-106 Trường Đại học Bách khoa Hà Nội vào buổi chiều thứ ba, anh chị bạn nhóm đồ án cô Thủy hướng dẫn học kỳ Thời gian học tập với nhóm để lại em nhiều kỷ niệm đẹp mang tới nhiều kiến thức bổ ích để em hồn thành đồ án Em xin cảm ơn thầy cô Viện Toán ứng dụng Tin học, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội dạy dỗ em suốt năm vừa qua, giúp em có tảng kiến thức vững để hoàn thành đồ án Hà Nội, ngày 06 tháng 01 năm 2021 Tác giả đồ án Nguyễn Trung Nghĩa iii Tóm tắt nội dung Đồ án Trình bày khái niệm ví dụ toán điểm bất động tách, toán bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert thực số tính chất khơng gian Hilbert thực có liên quan đến tốn Mơ tả phương pháp lặp giải tốn khơng gian Hilbert thực vơ hạn chiều; chứng minh hội tụ mạnh phương pháp Trình bày hệ phương pháp để giải toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân tách Đưa tính tốn 03 ví dụ số minh họa cho hội tụ mạnh phương pháp không gian Hilbert hữu hạn chiều trường hợp đặc biệt Các ví dụ đưa với mục đích cụ thể, có 02 ví dụ minh họa cho phương pháp lặp xấp xỉ nghiệm bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán điểm bất động tách 01 ví dụ minh họa cho hệ phương pháp để xấp xỉ nghiệm toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm tốn bất đẳng thức biến phân tách Mỗi ví dụ thực với tham số đầu vào khác để so sánh thời gian chạy chương trình yếu tố đầu vào khác nhau, từ đưa ý tưởng tìm tham số phù hợp với nhu cầu thực tế Hà Nội, ngày 06 tháng 01 năm 2021 Tác giả đồ án Nguyễn Trung Nghĩa iv Mục lục Bảng ký hiệu chữ viết tắt Danh sách bảng Danh sách hình vẽ Mở đầu Chương Bài toán bất đẳng thức biến phân toán điểm bất động tách 1.1 Bài toán điểm bất động không gian Hilbert 1.1.1 Không gian Hilbert thực 1.1.2 Tốn tử tuyến tính 1.1.3 Sự hội tụ mạnh hội tụ yếu 12 1.1.4 Ánh xạ không giãn điểm bất động 13 1.1.5 Bài toán điểm bất động tách 15 1.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân 16 1.2.1 Ánh xạ đơn điệu 16 1.2.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân 18 1.2.3 Ví dụ bất đẳng thức biến phân 20 Chương Phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán điểm bất động tách 24 v 2.1 Phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán điểm bất động tách 24 2.2 2.1.1 Bài toán phương pháp 24 2.1.2 Sự hội tụ 26 Áp dụng ví dụ minh họa 35 2.2.1 Áp dụng giải bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân tách 35 2.2.2 Ví dụ minh họa 36 Chương Kết luận 46 3.1 Kết luận 46 3.2 Hướng phát triển đồ án tương lai 47 Tài liệu tham khảo 48 Phụ lục 50 Bảng ký hiệu chữ viết tắt R tập số thực Rn không gian Euclide n chiều H không gian Hilbert thực ∅ tập rỗng ∀x với x x∈D x thuộc tập D x∈ /D x khơng thuộc tập D x, y tích vô hướng x y x chuẩn Euclide x A∗ toán tử liên hợp toán tử A I toán tử đồng C ∩D giao hai tập C D C \D hiệu hai tập C D C⊆D C tập tập D C⊂D C tập thực D Fix(T ) tập điểm bất động ánh xạ T PC (x) phép chiếu trực giao (mêtric) phần tử x lên tập C ∇f (x) vectơ gradient hàm f điểm x ∇2 f (x) ma trận Hesse hàm f điểm x v.đ.k viết tắt cụm từ "với điều kiện" argmin(P ) tập nghiệm tối ưu toán (P ) intX phần tập X A ma trận chuyển vị ma trận A det(A) định thức ma trận vuông A Danh sách bảng 2.1 Kết chạy chương trình với λk = 2.2 Kết chạy chương trình với λk = 2.3 Kết chạy chương trình với λk = 2.4 Kết chạy chương trình với αk = 2.5 Kết chạy chương trình với αk = 2.6 Kết chạy chương trình với αk = 2.7 Kết chạy chương trình với αk = 2.8 Kết chạy chương trình với αk = 2.9 Kết chạy chương trình với αk = k+1 , αk = k+2 2(k + 3) k 0.01 + , αk = 1.7k + 2(k 0.01 + 3) 0.6 ek + , αk = 9k + 2(ek0.6 + 3) k+1 1.2(k + 3) k+1 1.0001k + k2 + 8k + k+1 2(k + 3) k+1 1.00001(k + 3) k5 + 1.001(k + 3) 39 39 40 42 42 42 44 44 45 Danh sách hình vẽ 1.1 Ví dụ phép chiếu mêtric 15 1.2 Đồ thị hàm số y = x2 đoạn [1, 2] 1.3 Siêu phẳng tựa X x∗ ∈ X nhận −∇f (x) làm vectơ pháp 16 tuyến 21 1.4 Các trường hợp: a) x∗ = a, b) x∗ = c ∈ (a, b), c) x∗ = b 21 1.5 Tập chấp nhận M toán (Prbl ) 22 1.6 a) H1 siêu phẳng tựa M x1 ; b) H2 không siêu phẳng tựa M x2 23 2.1 Giải toán (VIPF1 )–(SFPF1 ) 38 36 y ∈ Q, F1 : C −→ H1 ánh xạ η1 -đơn điệu mạnh ngược C F2 : Q −→ H2 ánh xạ η2 -đơn điệu mạnh ngược Q Từ Định lý 2.1.2.1, ta thu hệ sau Hệ 2.2.1.1 (xem [5]) Cho F : C −→ H1 ánh xạ β-đơn điệu mạnh L-liên tục Lipschitz C, F1 : C −→ H1 ánh xạ η1 -đơn điệu mạnh ngược C, F2 : Q −→ H2 ánh xạ η2 -đơn điệu mạnh ngược Q Với điểm x0 ∈ C cho trước, dãy lặp {xk }, {uk }, {v k }, {y k }, {z k } {tk } xác định từ hệ    uk = PQ (Axk ),       v k = PQ (uk − ξ2 F2 (uk )),      y k = PC (xk + δA∗ (v k − Axk )),   z k = PC (y k − λk µF (y k )),       tk = PC (z k − ξ1 F1 (z k )),      xk+1 = α xk + (1 − α )tk ∀k ≥ 0, k k 2β , A +1 L2 {λk } {αk } dãy (0, 1) thỏa mãn điều kiện (a)–(c) trong δ ∈ 0, , < ξ1 ≤ 2η1 , < ξ2 ≤ 2η2 , µ ∈ 0, Định lý 2.1.2.1 Khi dãy {xk } hội tụ mạnh đến nghiệm x∗ toán (VIP) với điều kiện Ω = {x∗ ∈ Sol(C, F1 ) : Ax∗ ∈ Sol(Q, F2 )} khác rỗng 2.2.2 Ví dụ minh họa Trong mục này, tác giả đưa ba ví dụ minh họa giải tốn (VIP)– (SFP) Ví dụ thứ áp dụng trực tiếp phương pháp (2.1) trường hợp ánh xạ giá F toán cấp ánh xạ đồng I khơng gian Hilbert H1 Ví dụ thứ hai áp dụng Hệ 2.2.1.1 để giải toán bất đẳng thức biến phân hai cấp, tốn cấp tốn bất đẳng thức biến phân tách Trong hai ví dụ tác giả tìm nghiệm tốn để so sánh nghiệm xấp xỉ tìm phương 37 pháp lặp với nghiệm Ở ví dụ thứ ba, tác giả làm trường hợp khơng tìm nghiệm để minh họa cho khả ứng dụng thực tế phương pháp Tồn chương trình viết ngơn ngữ lập trình PYTHON, chạy máy tính xách tay ASUS X554L với xử lý Intel(R) Core(TM) i5-5200U CPU @ 2.20 GHz, RAM 12 GB Ví dụ 2.2.2.1 Xét tốn (VIP)–(SFP) với giả thiết sau: • Các khơng gian Hilbert H1 = R2 , H2 = R3 • Cho C = x ∈ R2 | 2x1 + x2 ≤ , Q = x ∈ R3 | 2x1 + x2 − x3 + = tương ứng tập lồi đóng khác rỗng H1 H2 • Tốn tử tuyến tính A : H1 −→ H2 , xác định Ax = (x1 + 2x2 , 3x1 − x2 , x2 ), với toán tử liên hợp A∗ : H2 −→ H1 , xác định A∗ y = (y1 + 3y2 , 2y1 − y2 + y3 ) (xem (1.1.2.3)) • Ánh xạ giá F = I, với I toán tử đồng H1 (thỏa mãn 1-đơn điệu mạnh 1-liên tục Lipschitz C) • Ánh xạ T : C −→ C S : Q −→ Q xác định bởi: T (x) = PC (x), S(x) = PQ (x) Khi tốn (VIP)–(SFP) trở thành: Tìm x∗ ∈ Ω cho x∗ , x − x∗ ≥ ∀x ∈ Ω, (VIPF1 ) Ω tập nghiệm tốn điểm bất động tách tìm x∗ ∈ C cho x∗ = PC (x∗ ), Ax∗ ∈ Q Ax∗ = PQ (Ax∗ ) (SFPF1 ) Giải toán cấp (SFPF1 ) Dễ thấy x = T (x) với x ∈ C Ta có: Ax ∈ Q ⇔ 2(x1 + 2x2 ) + (3x1 − x2 ) − x2 + = ⇔ 5x1 + 2x2 + = 38 Đồng thời u = S(u), ∀u ∈ Q Do đó, tập nghiệm toán (SFPF1 ) là: Ω = C ∩ x ∈ R2 | 5x1 + 2x2 + = = x ∈ R2 | 5x1 + 2x2 + = 0, x1 ≥ −1 Tiếp theo, ta giải toán cấp (VIPF1 ) Ta thấy: x∗ , x − x∗ ≥ ∀x ∈ Ω ⇔ x∗ , x∗ ≤ x∗ , x ⇔ x∗ ≤ x∗ ⇔ x∗ ≤ x ∀x ∈ Ω ∀x ∈ Ω (Cauchy–Schwarz) x ∀x ∈ Ω, nghĩa tốn (VIPF1 ) trở thành tốn: tìm x∗ ∈ Ω cho x∗ phần tử có chuẩn nhỏ Ω Dễ dàng tìm nghiệm toán x∗ = − , − (chính hình chiếu O Ω) 29 29 x2 • O −1 C x x1 • ∗ Ω Hình 2.1: Giải tốn (VIPF1 )–(SFPF1 ) 39 Lập chương trình sử dụng thuật tốn (2.1) với điểm xuất phát x0 = (0, 0) , tham số δ = , µ = Điều kiện dừng sai số nghiệm xấp xỉ nghiệm đủ nhỏ, tức xk − x∗ ≤ ε, chọn ε = 10−6 Ta thử chọn λk αk khác để xem xét thay đổi thời gian chạy chương trình k+1 , αk = , ta thu kết Bảng 2.1 • Với λk = k+2 2(k + 3) • Với λk = k 0.01 + , αk = , ta thu kết Bảng 1.7k + 2(k 0.01 + 3) 2.2 0.6 ek + , ta thu kết Bảng • Với λk = , αk = 9k + 2(ek0.6 + 3) 2.3 xk − x∗ Thời gian (s) 6.267090 × 10−5 0.003072 0.01561 −5 Bước lặp (k) xk1 xk2 xk − xk−1 50 −0.1695609 −0.06782436 100 −0.17098703 −0.06839481 1.551949 × 10 0.001536 0.01562 500 −0.17212842 −0.06885137 6.159414 × 10−7 0.000307 0.04689 −7 0.000153 0.07814 1000 −0.17227111 −0.06890844 1.538323 × 10 10000 −0.17239952 −0.06895981 1.536942 × 10−9 1.536788 × 10−5 0.59372 100000 −0.17241237 −0.06896495 1.536815 × 10−11 1.536789 × 10−6 5.68423 153678 −0.17241286 −0.06896515 6.507027 × 10−12 9.999993 × 10−7 8.845065 Bảng 2.1: Kết chạy chương trình với λk = k+1 , αk = k+2 2(k + 3) xk − x∗ Thời gian (s) 3.701215 × 10−5 0.001810 0.0 −6 Bước lặp (k) xk1 xk2 xk − xk−1 50 −0.17073279 −0.06829312 100 −0.17157388 −0.06862955 9.143898 × 10 0.000904 0.01562 500 −0.1722459 −0.06889836 3.624207 × 10−7 0.000180 0.03124 1000 −0.17232985 −0.06893194 9.050217 × 10−8 9.040552 × 10−5 0.06249 −10 −6 0.57810 5.25717 10000 −0.1724054 −0.06896216 9.040966 × 10 9.039997 × 10 90399 −0.17241286 −0.06896515 1.106215 × 10−11 9.999936 × 10−7 Bảng 2.2: Kết chạy chương trình với λk = k 0.01 + , αk = 1.7k + 2(k 0.01 + 3) 40 Bước lặp (k) xk1 xk2 xk − xk−1 xk − x∗ Thời gian (s) −0.24305556 −0.09722222 0.261778 0.076083 0.00000 50 −0.17209698 −0.06883879 6.957341 × 10−6 0.000341 0.01560 500 −0.17238209 −0.06895283 6.842703 × 10−8 3.414798 × 10−5 0.04685 −8 −5 0.06247 1000 −0.17239794 −0.06895918 1.709108 × 10 1.707471 × 10 10000 −0.17241221 −0.06896488 1.707698 × 10−10 1.707536 × 10−6 0.59370 −0.06896515 −11 −7 1.01555 17075 −0.17241286 5.856303 × 10 9.999643 × 10 0.6 Bảng 2.3: Kết chạy chương trình với λk = ek + 1 , αk = 9k + 2(ek0.6 + 3) Nghiệm xấp xỉ hội tụ dần nghiệm đúng: x∗ = − ,− 29 29 ≈ (−0.17241379, −0.06896551) Ví dụ 2.2.2.2 Giải tốn: Tìm x∗ ∈ Ω cho F (x∗ ), x − x∗ ≥ ∀x ∈ Ω, (VIP21 ) Ω tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân tách tìm x∗ ∈ C cho x∗ ∈ Sol(C, F1 ) : Ax∗ ∈ Sol(Q, F2 ) (VIP22 ) • Các khơng gian Hilbert H1 = R2 , H2 = R4 • C = x ∈ R2 | x1 + x2 ≤ −6 tập lồi, đóng, khác rỗng H1 , Q = y ∈ R4 | 2y1 + y2 + 3y3 + 3y4 + 69 = tập lồi, đóng, khác rỗng H2 • Tốn tử tuyến tính A : H1 −→ H2 , xác định Ax = (x1 + x2 , 2x1 − x2 , −x1 + 3x2 , 3x1 ), với toán tử liên hợp A∗ : H2 −→ H1 , xác định A∗ y = (y1 + 2y2 − y3 + 3y4 , y1 − y2 + 3y3 ) • Ánh xạ giá toán cấp F = I, với I toán tử đồng H1 (thỏa mãn 1-đơn điệu mạnh 1-liên tục Lipschitz C) 41 • Các ánh xạ giá F1 : C −→ H1 , F2 : Q −→ H2 toán cấp ánh xạ đồng I không gian tương ứng (thỏa mãn 1-đơn điệu mạnh ngược) Lập luận tương tự Ví dụ 2.2.2.1, tốn VIP(C, F1 ) tương đương với tốn tìm điểm x∗ ∈ C có chuẩn nhỏ C Đó hình chiếu O C: x∗ = PC (O) = (−3, −3) Tương tự, toán VIP(Q, F2 ) tương đương với tốn tìm điểm y ∗ ∈ Q có chuẩn nhỏ Q Đó hình chiếu O Q: y ∗ = PQ (O) = (−6, −3, −9, −9) Ta có: Ax∗ = (x∗1 + x∗2 , 2x∗1 − x∗2 , −x∗1 + 3x∗2 , 3x∗1 ) = (−6, −3, −9, −9) = y ∗ Từ suy ra: Ω = {(−3, −3)} Bây giờ, ta giải toán cấp (VIP21 ) Tương tự trên, nghiệm toán là: x∗ = PΩ (O) = (−3, −3) Lập chương trình sử dụng thuật toán Hệ 2.2.1.1 với điểm xuất phát x0 = (−372, −256) ∈ C, tham số δ = 0.05, µ = 0.5, ξ1 = 1, Điều kiện dừng sai số nghiệm xấp ξ2 = 1, dãy tham số λk = k+2 xỉ nghiệm đủ nhỏ, tức xk − x∗ ≤ ε, chọn ε = 10−8 Ta thử chọn αk khác để xem xét thay đổi thời gian chạy chương trình • Với αk = k+1 , ta thu kết Bảng 2.4 1.2(k + 3) 42 • Với αk = k+1 , ta thu kết Bảng 2.5 1.0001k + k2 + • Với αk = , ta thu kết Bảng 2.6 8k + Bước lặp (k) xk1 xk2 xk − xk−1 xk − x∗ Thời gian (s) −105.5 −73.27777778 323.124837 124.278783 0.00000 10 −3.90296303 −3.61910473 0.481721 1.094820 0.01561 50 −3.00003058 −3.00002097 9.194864 × 10−6 3.707606 × 10−5 0.12498 −3.00000001 −9 −9 0.01562 89 −3.00000001 2.224723 × 10 9.801999 × 10 Bảng 2.4: Kết chạy chương trình với αk = k+1 1.2(k + 3) Bước lặp (k) xk1 xk2 xk − xk−1 xk − x∗ Thời gian (s) −126 −87.33333333 298.269080 149.134540 0.0 10 −8.58800805 −6.83134427 1.355674 6.775325 0.0 50 −3.27714514 −3.19002092 0.013474 0.336031 0.0 100 −3.07100273 −3.04868209 0.001730 0.086089 0.01562 500 −3.0027957 −3.00191684 1.389719 × 10−5 0.003389 0.09374 −6 0.000808 0.156238 1000 −3.00066697 −3.0004573 1.698161 × 10 10000 −3.00000272 −3.00000187 9.897212 × 10−10 3.299180 × 10−6 1.232407 40180 −3.00000001 −3.00000001 1.497483 × 10−12 9.998680 × 10−9 5.51587 Bảng 2.5: Kết chạy chương trình với αk = k+1 1.0001k + Bước lặp (k) xk1 xk2 xk − xk−1 xk − x∗ Thời gian (s) −126 −87.33333333 298.269080 149.134540 0.00000 −3.05527907 −3.03790137 0.449458 0.0670245 0.00000 10 −3.00000181 −3.00000124 1.524158 × 10−5 2.196503 × 10−6 0.01562 13 −3 −3 3.035411 × 10−8 4.357769 × 10−9 0.01562 Bảng 2.6: Kết chạy chương trình với αk = k2 + 8k + Nghiệm xấp xỉ hội tụ dần nghiệm x∗ = (−3, −3) Ví dụ 2.2.2.3 Xét tốn (VIP)–(SFP) với giả thiết sau: 43 • Các khơng gian Hilbert H1 = R5 , H2 = R5 •C = x ∈ R5 | x − a ≤ 1, a = (1, 2, 3, 4, 5) tập lồi đóng khác rỗng H1 • Q = x ∈ R5 | x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 + = tập lồi đóng khác rỗng H2 • Tốn tử tuyến tính A : H1 −→ H2      A=   −3  có ma trận   6   ,  3  −1 với toán tử liên hợp A∗ : H2 −→ H1 , có ma trận   2 −3   2 6     ∗ A =     4 1   −1 • Ánh xạ giá F : C −→ H1 xác định bởi: F (x) = x + c, với c = (3, −1, 0, 2, 1) (thỏa mãn F 1-đơn điệu mạnh 1-liên tục Lipschitz C) • Ánh xạ T : C −→ C S : Q −→ Q xác định bởi: T (x) = PC (x), S(x) = PQ (x) Lập chương trình sử dụng thuật tốn (2.1) với điểm xuất phát x0 = (0, 0, 0, 0, 0) , tham số δ = , µ = 2, dãy tham số 44 λk = Điều kiện dừng sai số hai xấp xỉ liên tiếp đủ nhỏ, k+2 tức xk − xk−1 ≤ ε, chọn ε = 10−8 Thử chọn αk khác để xem xét thay đổi thời gian chạy chương trình, ta thấy: • Với αk = k+1 , ta thu kết Bảng 2.7 2(k + 3) • Với αk = k+1 , ta thu kết Bảng 2.8 1.00001(k + 3) • Với αk = k5 + , ta thu kết Bảng 2.9 1.001(k + 3) k xk1 xk2 xk3 xk4 xk5 xk − xk−1 T.gian (s) 0.49661582 1.58248729 2.24746186 2.82825706 3.66159039 5.404466 0.00099 10 0.67379463 1.78964758 2.59164357 3.40597309 4.42589755 0.015469 0.00499 50 0.80533736 1.64135758 2.46003256 3.45602493 4.50402133 0.002673 0.01700 100 0.84668067 1.60196345 2.42783486 3.47761425 4.53331078 0.000860 0.02598 −5 500 0.88960708 1.56420081 2.39839505 3.50258274 4.56578805 4.263 × 10 0.08498 1000 0.8957376 1.55905818 2.39450891 3.50635218 4.57059108 1.095 × 10−5 0.15798 −7 10000 0.90141734 1.55434842 2.39097807 3.50988895 4.57507696 1.123 × 10 1.47521 33543 0.9018669 1.55397789 2.39070146 3.51017071 4.5754335 9.999 × 10−9 5.14896 Bảng 2.7: Kết chạy chương trình với αk = k+1 2(k + 3) k xk1 xk2 xk3 xk4 xk5 xk − xk−1 T.gian (s) 0.39729464 1.26599616 1.79797848 2.26261696 2.92928696 4.323594 0.0 10 0.64249575 1.7910182 2.57946526 3.35017 4.3494075 0.020932 0.00399 50 0.76720885 1.68030055 2.49302691 3.43742137 4.47694893 0.002962 0.01099 100 0.81609034 1.63161009 2.45228683 3.46183479 4.51150834 0.001135 0.01998 500 0.8792968 1.5732221 2.40540391 3.49653742 4.55793658 7.340 × 10−5 0.07702 1000 0.89009421 1.56388159 2.39819985 3.50295278 4.56622382 2.001 × 10−5 0.15201 10000 0.9008153 1.55484729 2.39135187 3.50951374 4.57460118 2.215 × 10−7 1.51735 4.57539084 −9 47064 0.90181304 1.55402236 2.3907347 3.51013702 Bảng 2.8: Kết chạy chương trình với αk = 9.999 × 10 k+1 1.00001(k + 3) 10.84403 45 k xk1 xk2 xk3 xk4 xk5 xk − xk−1 T.gian (s) 0.3974911 1.26662219 1.79886758 2.26373582 2.93073549 4.325732 0.0 10 0.5116872 1.5956534 2.27104049 2.8722898 3.72043018 0.020932 0.00399 50 0.52148956 1.59928483 2.2800487 2.89445048 3.75007243 0.000999 0.01253 100 0.53656108 1.60016029 2.28786178 2.92245571 3.78766679 0.000989 0.03366 500 0.64935393 1.59144177 2.32673031 3.11147975 4.04120557 0.000700 0.11473 1000 0.74528509 1.57957638 2.35407312 3.26616141 4.24853629 0.000430 0.21769 10000 0.90131389 1.55442103 2.39102545 3.50980601 4.57496956 1.910 × 10−7 1.86823 47064 0.901867 1.5539778 2.39070139 3.51017077 4.57543358 9.999 × 10−9 7.58804 Bảng 2.9: Kết chạy chương trình với αk = k5 + 1.001(k + 3) 46 Chương Kết luận 3.1 Kết luận Đồ án đạt mục tiêu đề "Nghiên cứu phương pháp lặp giải lớp toán bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert thực; đưa tính tốn ví dụ minh họa" Kết đồ án Đồ án trình bày phương pháp lặp giải lớp bất đẳng thức biến phân hai cấp, cụ thể toán bất đẳng thức biến phân với tập ràng buộc tập nghiệm toán điểm bất động tách số dụ áp dụng trường hợp đặc biệt Cụ thể: Giới thiệu toán điểm bất động tách, tốn bất đẳng thức biến phân, ví dụ mối liên hệ toán bất đẳng thức biến phân tốn điểm bất động Mơ tả phương pháp lặp xấp xỉ nghiệm toán bất đẳng thức biến phân với tập ràng buộc tập nghiệm toán điểm bất động tách, áp dụng cho trường hợp tập ràng buộc tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân tách, chứng minh hội tụ mạnh phương pháp 47 Đưa ba ví dụ số minh họa cho hội tụ mạnh phương pháp, chương trình thực nghiệm thực ngôn ngữ PYTHON Kỹ đạt Bước đầu biết tìm kiếm, đọc, dịch tài liệu chuyên ngành liên quan đến nội dung đồ án Biết tổng hợp kiến thức học kiến thức tài liệu tham khảo để viết báo cáo đồ án Chế đồ án LATEX, viết chương trình tính tốn cho ví dụ minh họa sử dụng ngơn ngữ PYTHON Biết tóm tắt nội dung đồ án biết trình bày báo cáo khoa học 3.2 Hướng phát triển đồ án tương lai Nghiên cứu số toán thực tế mơ tả dạng tốn bất đẳng thức biến phân hai cấp Nghiên cứu cải tiến phương pháp lặp giải toán bất đẳng thức biến phân hai cấp số toán liên quan 48 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh, Trần Đức Long (2001), Hàm thực Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Thị Bạch Kim (2014), Các phương pháp tối ưu: Lý thuyết Thuật toán, NXB Đại học Bách khoa Hà Nội [3] Hoàng Tụy (2018), Hàm thực Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [4] R.P Agarwal, D O’Regan, D.R Sahu (2009), Fixed Point Theory for Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer [5] T.V Anh, L.D Muu, "A projection-fixed point method for a class of bilevel variational inequalities with split fixed point constraints", Optimization, 65(6), pp 1229–1243 [6] C.E Chidume (2009), "Geometric properties of Banach spaces and nonlinear iterations", Springer Verlag Series, Lecture Notes in Mathematics, ISBN 978-1-84882-189-7 [7] Igor.V Konnov, Erkki Laitinen (2002), "Theory and applications of variational inequalities", Department of Mathematical Sciences, Faculty of Science, University of Oulu, ISBN 951-42-6688-9 [8] J.L Lions, G Stampacchia (1967), "Variational inequalities", Comm Pure Appl Math., 20, 493–519 49 [9] D.S Mitrinovi´c, J.E Peˇcari´c, A.M Fink (1993), "Bessel’s Inequality", Classical and New Inequalities in Analysis Mathematics and Its Applications (East European Series), vol 61 Springer, Dordrecht [10] G Stampacchia (1964), "Formes bilinéaires coercitives sur les ensembles convexes", C R Acad Sci Paris, 258, 4413–4416 [11] I Yamada (2001), "The hybrid steepest descent method for the variational inequality problem over the intersection of fixed point sets of nonexpansive mappings", In: Butnariu, D., Censor, Y., Reich, S (eds.) Inherently Parallel Algorithms for Feasibility and Optimization and Their Applications, Elsevier, Amsterdam, pp 473-504 50 Phụ lục