3 Do H thuộc tia AK, mà K là trọng tâm D ADE và AH 2 AK nên H tr với G là trung điểm chung của hai đoạn thẳng DE và BC Mà DOGE vuông tại E chứng minh trên , O,E cố định theo gt Vậy k[r]
(1)BỘ §Ò thi häc sinh giái To¸n a/ ĐỀ 1: Bµi (1 ®): Cho : M = x2 + y2+xy-3x-3y+2011 Víi gi¸ trÞ nµo cña x,y thì M đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị đó? 1 2 ( n 1) n Bµi (1 ®): CMR víi mäi n N* Bµi (1,5 ®): Gi¶i ph¬ng tr×nh x x 18 = 6x -5-x2 b/ 2( x 2) 5 x Bài (0,5 đ): Chứng minh x, y, z, √ x + √ y + √ z lµ c¸c sè h÷u tØ th× √ x , √ y , √ z còng lµ c¸c sè h÷u tØ Bµi (1,5 ®): 1/ Chứng minh đởng thẳng không qua gốc toạ độ, cắt trục hoành điểm có hoành độ a, cắt trục tung điểm có x y 1 tung độ b thì đờng thẳng đó có dạng a b 2/Cho đờng thẳng (m – 2)x + (m – 1)y = a/ Chứng minh đờng thẳng luôn qua điểm cố định với mäi m c/ Tính giá trị m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đờng thẳng lµ lín nhÊt Bài (2,5 đ): Cho tam giác OAB (OA = OB) Vẽ đờng cao OH, AK biÕt OA = a, AOH a/ TÝnh c¸c c¹nh tam gi¸c AKB theo a vµ b/ Tính các cạnh các tam giác OKA và AKB theo a và Từ đó biÓu diÔn sin2 , cos2 theo sin , cos Bµi (2 ®) : Cho h×nh vu«ng ABCD O lµ mét ®iÓm thuäc miÒn h×nh vu«ng cho OA : OB : OC = : : TÝnh sè ®o gãc AOB ? §Ò ( P) : y x Bµi 1: (8 ®iÓm) Cho parabol ViÕt ph¬ng tr×nh c¸c tiÕp tuyÕn cña (P), biÕt c¸c tiÕp tuyÕn nµy ®i qua ®iÓm A(2;1) 2 a/ x x 10 + x x 18 = 6x -5-x2 b/ 2( x 2) 5 x Bài (0,5 đ): Chứng minh x, y, z, √ x + √ y + √ z lµ c¸c sè h÷u tØ th× √ x , √ y , √ z còng lµ c¸c sè h÷u tØ Bµi (1,5 ®): 1/ Chứng minh đởng thẳng không qua gốc toạ độ, cắt trục hoành điểm có hoành độ a, cắt trục tung điểm có x y 1 tung độ b thì đờng thẳng đó có dạng a b 2/Cho đờng thẳng (m – 2)x + (m – 1)y = a/ Chứng minh đờng thẳng luôn qua điểm cố định với mäi m c/ Tính giá trị m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đờng thẳng lµ lín nhÊt Bài (2,5 đ): Cho tam giác OAB (OA = OB) Vẽ đờng cao OH, AK biÕt OA = a, AOH a/ TÝnh c¸c c¹nh tam gi¸c AKB theo a vµ b/ Tính các cạnh các tam giác OKA và AKB theo a và Từ đó biÓu diÔn sin2 , cos2 theo sin , cos Bµi (2 ®) : Cho h×nh vu«ng ABCD O lµ mét ®iÓm thuäc miÒn h×nh vu«ng cho OA : OB : OC = : : TÝnh sè ®o gãc AOB ? Gọi d là đờng thẳng qua điểm A(2;1) và có hệ số góc m Với giá trị nào m thì đờng thẳng d cắt (P) hai điểm phân biệt M và N, đó tìm quĩ tích trung điểm I đoạn thẳng MN m thay đổi Tìm quĩ tích các điểm M0 từ đó có thể kẻ đợc hai tiếp tuyến cña parabol (P) vµ hai tiÕp tuyÕn nµy vu«ng gãc víi Mét sè §Ò luyÖn thi vµo chuyªn To¸n đề 1’ Bµi (1 ®): Cho : M = x2 + y2+xy-3x-3y+2011 Víi gi¸ trÞ nµo cña x,y thì M đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị đó? 1 2 ( n 1) n Bµi (1 ®): Chøng minh r»ng víi mäi n N* Bµi (1,5 ®): Gi¶i ph¬ng tr×nh - - x x 10 + Bµi 2: (4®iÓm) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: x y xy 19 x y xy (2) Tìm các giá trị m để phơng trình (1) có hai nghiệm dơng ph©n biÖt Tìm các giá trị m để phơng trình (1) có hai nghiệm phân x13 x23 x x biÖt vµ tho¶ m·n hÖ thøc Gi¶ sö ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm kh«ng ©m T×m gi¸ trÞ m để nghiệm dơng phơng trình đạt giá trị lớn Bµi 3: (8 ®iÓm) Cho nửa đờng tròn đờng kính AB cố định C là điểm bất kì thuộc nửa đờng tròn phía ngoài tam giác ABC, vẽ các hình vuông BCDE và ACFG Gọi Ax, By là các tiếp tuyến nửa đờng tròn Chứng minh C di chuyển trên nửa đờng tròn đã cho thì đờng thẳng ED luôn qua điểm cố định và đờng thẳng FG luôn qua điểm cố định khác Tìm quĩ tích các điểm E và G C di chuyển trên nửa đờng tròn đã cho Tìm quĩ tích các điểm D và F C di chuyển trên nửa đờng tròn đã cho §Ò x x 4 x x (2) Bµi 3: (8 ®iÓm)Cho tam gi¸c ABC cã ABC 60 ; BC a ; AB c ( a, c là hai độ dài cho trớc), Hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M trên cạnh AB, N trên cạnh AC, P và Q trên cạnh BC đợc gọi là hình chữ nhËt néi tiÕp tam gi¸c ABC Tìm vị trí M trên cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn Tính diện tích lớn đó Dựng hình vuông EFGH nội tiếp tam giác ABC thớc kẻ và com-pa Tính diện tích hình vuông đó §Ò x 4 y y 4 x Bµi 1: (7 ®iÓm) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: Chứng minh a, b, c là các số thoả mãn các bất đẳng thøc: a b2 c2 c2 a2 b2 b2 c2 a2 a b b c c a a b b c c a a b b c c a Bµi 2: (4®iÓm)Gi¶i ph¬ng tr×nh: x 1 x x x 2 Bµi 1: (7 ®iÓm)Gi¶i ph¬ng tr×nh: Chøng minh r»ng nÕu a, b, c lµ c¸c sè kh«ng ©m vµ b lµ sè trung b×nh céng cña a vµ c th× ta cã: 1 a b b c c a Bµi 2: (6 ®iÓm)T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña x2 3x y x2 1 T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: x y 3xy x y 0 Bµi 3: (7 ®iÓm) Cho đờng tròn tâm O, bán kính R, hai đờng kính AB và CD vu«ng gãc víi E lµ ®iÓm bÊt k× trªn cung AD Nèi EC c¾t OA t¹i M, nèi EB c¾t OD t¹i N Th× | a | | b | | c | Bài 2: (6 điểm) Xác định hình vuông có độ dài cạnh là số nguyên và diện tích là số nguyên gồm chữ số, đó các chữ số hàng đơn vị, hàng chục và hàng trăm giống A, B, C lµ mét nhãm ba ngêi th©n thuéc Cha cña A thuéc nhóm đó, gái B và ngời song sinh C nhóm đó Biết C và ngời song sinh C là hai ngêi kh¸c giíi tÝnh vµ C kh«ng ph¶i lµ cña B Hái ba ngêi A, B, C lµ ngêi kh¸c giíi tÝnh víi hai ngêi ? Bài 3: (7 điểm) Cho đờng tròn (O) tâm O, bán kính R, hai đờng kính AB vµ CD vu«ng gãc víi §êng trßn (O1) néi tiÕp tam gi¸c ACD §êng trßn (O2) tiÕp xóc víi c¹nh OB vµ OD cña tam giác OBD và tiếp xúc với đờng tròn (O) Đờng tròn (O3) tiếp xóc víi c¹nh OB vµ OC cña tam gi¸c OBC vµ tiÕp xóc víi ®- OM ON Chøng minh r»ng tÝch AM DN lµ mét h»ng sè Suy gi¸ OM ON trị nhỏ tổng AM DN , đó cho biết vị trí ®iÓm E ? Gọi GH là dây cung cố định đờng tròn tâm O bán kính R đã cho và GH không phải là đờng kính K là điểm chuyển động trên cung lớn GH Xác định vị trí K để chu vi tam gi¸c GHK lín nhÊt §Ò 2 Bµi 1: (8 ®iÓm)Cho ph¬ng tr×nh x 2mx m 0 (1) - - (3) êng trßn (O) §êng trßn (O4) tiÕp xóc víi tia CA vµ CD vµ tiÕp xóc ngoài với đờng tròn (O1) Tính bán kính các đờng tròn (O1), (O2), (O3), (O4) theo R §Ò 10 Bài (4đ) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) 4x2 – 49 – 12xy + 9y2 b) x2 + 7x + 10 x2 x 2x A x x x 10 x Bài (4đ) Cho a) Rút gọn A b) Tìm x nguyên để A nguyên Bài (4đ) Giải phương trình a) x 3 x b) x2 – = (2x + 3)(x + 5) + 23 Bài (6đ) Tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao AD, BE, CF gặp H Đường thẳng vuông góc với AB B và đường thẳng vuông góc với AC C cắt G a) Chứng minh GH qua trung điểm M BC b) ∆ABC ~ ∆AEF ^ F=C ^ c) B D DE d) H cách các cạnh tam giác DDEF Bài (1đ) Cho ba số thực x, y và z cho x + y + z = Chứng minh 2007 <2008 −x HẾT Bài (1đ) Giải bất phương trình - - (4) ý đáp án Điểm Ta thấy x=0,2 không thuộc khoảng xét nó không là nghiệm ương trình i ý đáp án Đ luận phương trình có nghiệm x=3 i 3b) x2-2=(2x+3)(x+5)+23 x2-25=(2x+3)(x+5) (2đ) 1a) -49-12xy+9y2=(4x2-12xy+9y2)-49 (1 (x-5)(x+5)=(2x+3)(x+5) (x-5)(x+5)-(2x+3)(x+5)=0 x-3y)2-72=(2x-3y+7)(2x-37-7) (x+5) (1 [x-5 –(2x+3)] = (x+5)(-x-8)=0 x-5=0 x+8 =0 x=-5 c x=-8 1b) 7x+10 =x2+5x+2x+10 (1 Ta có BG ^AB, CH ^AB, nên BG i 4a) (2đ) A x+5) +2(x+5) =(x+5)(x+2) //CH, (1 ương 2a) x2-7x+10=(x-5)(x-2) Điều kiện để A có nghĩa là (0,5 tự: BH ^AC, CG ^AC, nên BH//CG.tứ giác BGCH có các cặp cạnh đối 5và x ≠2 2 E x x 2x x x 2 x sông song nên nó là hình bình hành Do đó đường chéo GH và BC cắt x x x 10 x x ( x 5)( x 2) x trung điểm đường Vậy GH qua F H (2 trung điểm M BC x x x (2 x 4)( x 2) §¸p ¸n ( x 5)( x 2) B x x 15 ( x 5)( x 3) x x 5)( x 2) ( x 5)( x 2) x A D M C G 4b) Do(1,5 BE và CF là các đường cao tam giác ABC nên các tam giác ABE (1,5đ) ( x 2) 1 ACF vuông Hai tam giác vuông ABE và ACF có chung góc A nên chúng x x , với x nguyên, A nguyên và AB AE AB AF (1) AC AF AE AC ng dạng Từ đây suy nguyên, đó x-2=1 x-2 =-1 nghĩa là x=3, x=1 3a) Ta xét các trường hợp sau 1: x 0 x 3x 2 x 3 x x 3 Hai tam giác ABC và AEF có góc A chung (2) Từ (1) và (2) ta suy ∆ABC ~ AEF (1 4c) Chứng minh tương tự ta ∆BDF~∆BAC, ∆EDC~∆BAC, suy (1,5đ) BDF~∆DEC BDF CDE hấy x=3 thuộc khoảng xét nó là nghiệm phương trình 2: x x 3 x 2 x 3 x x 1 x 0,2 - - BDF CDE 900 BDF 900 CDE AHB BDF AHC CDE ADF ADE (1đ) 4d) Ta có Suy DH là tia phân giác góc EDF Chứng minh tương tự ta có FH là tia phân góc EFD Từ đây suy H là giao điểm ba đường phân giác tam giác DEF Vậy (1 H các ba cạnh tam giác DEF i 5) Ta có 1đ (5) Gợi ý đáp án x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y)3 + z3 – 3xyz – 3xy(x + y) = (x + y + z)[(x + y)2 – (x + y)z + z2] – 3xy(x + y + z) = (x + y + z)[(x + y)2 – (x + y)z + z2 – 3xy] = x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx 1 x xy y ( y yz z ) ( x xz z ) = 1 2 x y y z x x = dpcm Bài 6) Điều kiện x 0 , bất phương 2007 2008 x 0 x (2008 x 2007) x trình Đ 2007 <2008 −x x 0 x 2007 2008 Hoặc biểu diễn trên trục số : 2007 2008 §Ò 11 Bài 1: a) Giải phương trình: x - x + x - 11x +10 = b) Tìm x, y thoả mãn: A= Bài Rút gọn x - x - =- y + y - 3- 2- +2 + +3 2+ - 2 Bài Tìm GTNN (nếu có) các biểu thức sau: P = x +12 x + + x - 20 x + 25 Q = x + y + xy - x + 2008 - - (6) Bài Cho đường tròn tâm O đường kính AB Trên đường kính AB lấy hai điểm I và J đối xứng qua O M là điểm (khác A và B) trên (O); các đường thẳng MO, MI, MJ thứ tự cắt (O) E, F, G; FG cắt AB C Đường thẳng qua F song song AB cắt MO, MJ D và K Gọi H là trung điểm FG a) Chứng minh tứ giác DHEF nội tiếp b) Chứng minh CE là tiếp tuyến đường tròn (O) ĐÁP ÁN = 24 =- - 2 Bài P = x +12 x + + x - 20 x + 25 = x + + - x ³ x +3 +5 - x = (2 x + 3)(5 - x) ³ Û - £ x £ 2 Vậy, Pmin=8 Q = x + y + xy - x + 2008 = ( x + y ) - 2( x + y ) +1 + y + y +1 + 2006 Bài 1: a) x - x + x - 11x +10 = Û ( x - 1)( x - 2)( x + x + 5) = Û ( x - 1)( x - 2) = (vì x + x + = ( x +1) + > 0, " x Î ¡ ) = ( x + y - 1) + ( y +1) + 2006 ³ 2006; " x, y ìïï x + y - = ìïï x = Û í í ïîï y +1 = ïîï y =- éx = Û ê ê ëx = b) x - x - =- y + y - Vậy, Qmin=2006 Bài M a) Ta có: OI = OJ Û ( x - - 1)2 + ( y - - 2)2 = ìï x - = ïìï x = Û ïí Û ïï y - = íï y = ïî î 3- 3 +3 A= + 2- +2 2+ - 2 Bài 2( - 3) 2( + 3) = + 4- +4 +2 - C A I J D F K H E · · DEH = DFH 2( - 3) 2( + 3) + - 1+ +1- 2( - 3) + 2( + 3) = 3- = nội tiếp tuyến (O) - - O G B Þ Þ Þ DF = DK DH // GK · · HDE = GME · · mà GME = GFE · · Þ HDE = GFE Þ DHEF nội tiếp b) Từ câu a suy · · mà DFH = OCH Þ OHEC · · Þ OEC = OHC = 900 Vậy CE là tiếp (7) BC (BM < BE) Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt AB D Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với DE cắt đường thẳng AH N a) Chứng minh: BM BH = MD HN b) Chứng tỏ N là điểm cố định c) Biết AB = cm, BC = cm Tính khoảng cách tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC De 12 Baìi (2 điểm): Cho biểu thức A=3 y −10 √ x y +31 xy −10 x √ x a) Phân tích A thành nhân tử b) Tìm cặp số x, y thoả mãn điều kiện y - x = đồng thời A = Bài (2 điểm): Cho biểu thức M = x2 + 2y2 + 3z2 + 4t2 với x, y, z, t là các số nguyên không âm Tìm các giá trị x, y, z, t để biểu thức M có giá trị nhỏ thoả mãn điều kiện: 2x2 - 2y2 + 5t2 = 30 x2 + 8y2 + 9z2 = 168 Bài (2 điểm): x −2 x+1 Cho hàm số f(x) = (x R) x −2 x+2 a) Chứng minh với hai giá trị x1 , x2 tuỳ yï cuía x cho 1≤ x1< x2 thç f(x1) < f(x2) < f (x)< b) Với giá trị nào x thì Bài (4 điểm): Cho tam giác cân ABC (AB = AC), đường cao AH Trên cạnh BC lấy điểm M và E cho ME = - - HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM 2006-2007 Môn: Toán - Lớp Bài 1(2 điểm) a) (1 điểm) 2 A=3 y −3 √ x y − √ x y + 21 xy+10 xy −10 x √ x (0,5 â) y 3x y x y 10 x y 3x y 3x 3x y x y 10 x 60 (0,5 â) 3y x A=0 ⇔ y= √3 x y 3y x b) (1 điểm) y= √x √3 y= √x √3 (8) * y=√ x ( √ x − √ =0 ) x − √ x + =0 x= ( x= ; y= 27 15 ) ; (x = ; y = ) vaì ( ; y= ) 12 3 y x Bài (2 điểm) y=x + y=x + 4 Từ 2x2 - 2y2 + 5t2 = 30 và x2 + 8y2 + 9z2 = 168 y= Suy ra: 3x2 + 6y2 + 9z2 + 5t2 = 198 x x 3(x2 + 2y2 + 3z2 + 4t2 ) = 198 + 7t2 y= √ x − √ + =0 * √3 √3 3M = 198 + 7t2 M =66+ t ≥66 x 3 12 Giá trị nhỏ M là 66 t = 3 Do âoï: 2x2 - 2y2 = 30 (1) vaì x2 + 8y2 + 9z2 = y x y=x + y=x + 4 168 (2) 5 x √ Từ (1) (x + y)(x - y ) = 15 y= √ x x− + =0 * 3 Vì x, y là các số nguyên không âm, nên x + y √ √ = 15 vaì x - y = (3) 16 − =0 √ x− Hoặc: x + y = và x - y = (4) 12 √3 Từ (3) x = 8, y = 7, các giá trị này không 3 y x y=x + y=x + thoía (2) 4 Từ (4) x = 4, y = Thay vào (2) ta có: 16 + + 9z2 = 168 √ x= √ x= √ hoÆc √3 9z2 = 144 hoÆc 27 z2 = 16 x= x= 12 z = (z = - loải) 3 Vậûy giaï trë nhoí M là 66, khi: x = y=x + y=x + 4 4, y = 1, z = 4, t = 15 Bài (2 điểm) y= y= a) điểm Vậy có cặp số thỏa mãn điều kiện A = ( x −1 )2 f ( x )= y x ( x − ) +1 vaì laì: - Với x1 = 1, x2 >1 thì f(x1) = 0, f(x2) > nên f(x1) < f(x2) ( x= ) - - (9) f ( x )= Do BH = ME ( ¿ BC ) nãn BM = HE Do âoï: MD.HN = BM.BH (1) ( x −1 )2 thç < x1 - < x2 - nãn: - Nếu x 1, ta có 1+ Với < x1 < x2 1 > 2 ( x1 −1 ) ( x2 −1 ) 1 Do âoï: 1+ < 1+ hay f(x1) < 2 x − x − ( ) ( ) f(x2) Vậy với 1£ x1 < x2 thç f(x1) < f(x2) b) điểm 1 x −2 x+1 ⇔ x − x +2 2 x −2 x+2 > f(x) > > 2 > x −2 x +2 ⇔ x −2 x x (x - 2) > x > x < (1) 3 x −2 x+1 f(x) < < 4x2 - 8x + < 4 x −2 x+2 3x2 - 6x + x2 - 2x - < (x - 1)2 - < (x -1 + √ ) (x - - √ ) < - √ < x < + √ (2) Từ (1) và (2) suy < f(x) < √ < x < < x < + √ Bài (4 điểm) A a) Xeït D MDE vaì D HEN coï: DME = EHN = 900 MDE = HEN (goïc coï caûnh D tương ứng vuông góc) nãn DMDE ∾ DHEN , suy ra: MD ME = HE HN Hay MD.HN = HE.ME - - b) Từ (1) MD BH = BM HN (2) MD AH = (3) BM BH BH AH BH = Từ (2) và (3) HN= HN BH AH N AH cố định và HN không thay đổi nên N là điểm cố định DABH coï MD//AH nãn c) A P B H C BC = 6cm BH = 3cm DAHB ( ^ H=90 ) coï AH2 = AB2 BH2 = 52 K 32 = 16 = 42 I AH = 4cm Gọi K là tâm đường tròn nội tiếp ABC, thç BK laì phán giaïc cuía B vaì K AH KH BH = = Do âoï: KA BA Suy ra: KH KA KH+ KA = = = =0,5 8 KH = 1,5cm KA = 2,5cm Gọi I là tâm dường tròn ngoại tiếp DABC thì IP là đường trung trực cạnh AB và I AH nên AB PA 2,5(cm) 2 (10) AH H=90 ) coï cos ( BAH DABH ( ^ ) ¿ AB = =0,8 ) 0,8 cos( PAI AP P=90 ) DAPI ( ^ coï cos ( PAI ) ¿ AI AP 2,5 AI 3,125 cos( PAI ) 0,8 Do âoï KI = AI - AK = 3,125 - 2,5 = 0,625 (cm) Vậy khoảng cách tâm đường tròn ngọai tiếp và tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC laì 0,625cm c Người biết tiếng Anh, không biết tiếng Pháp và phải phiên dịch cho người và người d Người không biết tiếng Nga, không biết tiếng Việt nói chuyện trực tiếp với người Hỏi người biết các thứ tiếng nào ? Bài 4: (4 điểm) a Cho a b, x y Chứng minh (a + b) (x + y) £ 2(ax + by) (1) b Cho a + b Chứng minh a2006 + b2006 £ a2007 + b2007 (2) Bài 5: (8 điểm) Cho đoạn thẳng AB = a đề 13 Bài 1: (2 điểm) Rút gọn biểu thức 2 a Nêu cách dựng và dựng D ABC cho BAC 60 và trực tâm H D ABC là trung điểm đường cao BD b Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp D ABC, vẽ đường kính AG, HG cắt BC K Chứng minh OK ^ BC x2 y x x2 y y x2 y với x > 0, y c Chứng minh DAOH cân và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC theo a >0 Bài 2: (4 điểm) d Tính diện tích tam giác ABC theo a a Xác định m để phương trình sau vô nghiệm cd x x xm x b Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = (x – 2y + 1)2 + (2x – 4y + 7)2 3 9 Câu 1/ (1đ) Cho x = minh x là số nguyên Bài 3: (2 điểm) 125 27 Câu 2/ (1,5đ) Cho x > , y > , t > Chứng minh Bốn người 1; 2; 3; tham dự hội nghị Biết : a Mỗi người biết hai bốn thứ tiếng Anh, Nga, Pháp, NÕu Việt b Người biết tiếng Nga, không biết tiếng Pháp - - đề 14 xy y yt t xt x 3 125 27 Chứng : th× x= y= t hoÆc x.y.t =1 (11) Câu1 Câu 3/(1,5đ) Cho đa thức bậc hai f(x)= ax2 + bx + c có nghiệm dương x = m Chứng minh đa thức g(x) = cx2 + bx + a (c≠0) có nghiệm dương x = n và thỏa mãn m + n 2 125 125 vµ b = 27 27 Th× a b3 6 vµ a.b = 3 3 x a b x a b 3ab(a b) a 3 (1đ) Câu 4/ (2đ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d(m) có phương trình : (m -1)x+ (m -2)y - = (m là tham số) Tìm m để khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d(m) có giá trị lớn Xác định đường thẳng đó x3 = - 5x (x 1)(x x 6) 0 Mµ x x 0(do ).Suy x 1.VËy x Z Câu Câu 5/ (4đ) Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R) và (O; r) với R > r Lấy A và E là hai điểm thuộc đường tròn (O; r) , đó A di động , E cố định ( với A ≠ E) Qua E vẽ đường thẳng vuông góc với AE cắt đường tròn (O; R) B và C Gọi M là trung điểm đoạn thẳng AB a/ (1,5đ) Chứng minh EB2 +EC2 + EA2 không phụ thuộc vị trí điểm A b/ (1,5đ) Chứng minh điểm A di động trên đường tròn (O; r) và A≠ E thì đường thẳng CM luôn qua điểm cố định ( gọi tên điểm cố định là K ) c/ (1đ) Trên tia AK đặt điểm H cho AH = AK Khi A di động trên đường tròn (O;r) thì điểm H di động trên đường nào ? Chứng minh nhận xét đó ? Từ đẳng thức với điều kiện đề bài đã cho suy : 1 x y z y z x (1) (1,5đ) x y (1) y z z x (2) Câu (1,5đ) Đáp án Câu Nội dung - - x y y z 1 z y zy 1 z x x z xz y y x z x z y xy (2) x y z z x zyzxxy x y z Häc sinh chøng minh ® îc r»ng xyz 1 Từ (3) Ta có : x = m là nghiệm đa thức f(x)= ax2 + bx + c x (12) Câu Suy am bm c 0 (1), mµ m > (gt) b c 1 (1) a + 0 a + b( ) c( ) = (2) m m m m §¼ng thøc nµy chøng tá r»ng x= lµ nghiÖm cña m ®a thøc g(x) = cx bx a 0 VËy x= n = > (do m > ) (3) m Câu a 1 Ta cã m+n = m + 2 m (do ) (1,5đ) m m Hay m n 2 Câu (2đ) A M B O K E G D C Gọi G là trung điểm BC thì OG ^ BC GB = GC và GE = GD (đl) (đl) suy và OG là đường trung bình D ADE nên OG= AE hay AE = 2OG Ta có EB2+EC2= (BG-EG)2+ (GC+ GD)2=(BG-EG)2+(BG+EG)2 Suy EB2+EC2= 2(BG2 +EG2) Áp dụng định lý Pi ta go vào các tam giác vuông OGE và OGB ta có : OG2+GE2= r2 và OG2+GB2= R2 Do đó EB2+EC2+EA2=2(BG2 +EG2)+4OG2 =2 (BG2+OG2)+2 (EG2+OG2) = 2R2 +2r2 ( không đổi) Nếu m =1 thì d(1) là đường thẳng y= -1 nên khoảng cách từ O Nếu m =2 thì d(2) là đường thẳng x = nên khoảng cách từ O (1) m ;0 và c Nếu m ≠1 và m≠ thì d(m) cắt trục hoành A 0 ;m 2 Gọi OH là khoảng cách từ O đến đường thẳng AB ta có B 1 (m 1)2 (m 2) 2 OH OA OB B M A O GE D 3 1 2m 6m 2 m OH 2 2 VËy OH £2 OH £ OH lín nhÊt m Từ (1) và (2) và < Câu b (1,5đ) (2) 2 suy khoảng cách lớn từ O đế Câu c (1đ) Trường hợp đặc biệt : G E D Thì chứng minh trên đúng Hai tam giác ABC và ADE có chung trung tuyến AG nên có chung trọng Khi đó đường thẳng d có công thức là x - y- = - - C Mà tam giác ADE có trung tuyến OE cố định , Nên điểm cố định K mà trung tuyến CM D ABC qua chính là tr tâm D ADE (13) Do H thuộc tia AK, mà K là trọng tâm D ADE và AH AK nên H trùng với G ( là trung điểm chung hai đoạn thẳng DE và BC ) Mà DOGE vuông E ( chứng minh trên) , O,E cố định (theo gt) ) Vậy A di động trên đường tròn (O; r) thì H di động trên đườ đường kính OE §Ò 15 Bài 1: (3 điểm) a Cho n là số nguyên dương Hãy so sánh: 1 1 1+ + n n+1 n n+1 và b Tính: 1+ 1 + + 22 32 1+ 1 + + 32 42 1+ 1 + + + 42 52 Bài 2: (3 điểm) Chứng minh rằng: n 1 + + + + n n 2 -1 n1 với n N và Bài 3: (4 điểm) Cho đường tròn tâm O có đường kính AB và CD vuông góc với Gọi M và N là trung điểm OA và OB Đường thẳng CN cắt (O) I Chứng minh CMI 90 - - 1+ (14) Bài 1: ( 1, điểm) x2 – ( y +3) a) x2 -25 = y(y+6) ( x y ).( x y ) 16 De 16 = 16 (1) x y 3 x y 3 x y 3 Và từ (1) Mặt khác và có cùng tính chất chẵn lẽ nghiệm là các số (4;-3) ; ( -4; -3) ; (5 ; 0) ; ( -5; ) ; ( 5; -6) ; ( -5; -6) b)Xét x = -1 ; x = y tương ứng Bài1: ( 1,5 điểm)Tìm x, y biết a) x2 -25 = y(y+6) b) 1+x + x2 +x3 = y3 x x x 1 Xét x 0 và x -1 =>x (x+1) >0 => x3 < y3 < (x+1)3 : Vô lý => Bộ số (x ,y) là (0 ; 1) ; ( -1; 0) Bài 2: ( 1, điểm) x 4( x 1) Bài 2: ( 1, điểm) Cho P = a) Tìm điều kiện x để P có nghĩa b) Rút gọn P x Bài3: ( 2,5 điểm)Cho Parabol (P) :y= và đường thẳng (D) qua điểm A và B trên (P) có hoành độ là -2 và a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đó b) Viết phương trình đường (D) c) Tìm vị trí điểm M trên cung AB (P) tương ứng hoành độ x [-2 , 4] cho D AMB có diện tích lớn Bài 4: ( 3, điểm) Cho hình vuông ABCD có tâm O , vẽ đường d quay quanh O cắt cạnh AD và BC E và F ( E,F không trùng các đỉnh hình vuông).Từ E và F vẽ các đường thẳng song song với BD và AC cắt I a) Tìm quỹ tích điểm I b) Từ I vẽ đường vuông góc với EF H.Chứng tỏ H thuộc đường tròn cố định và đường IH qua điểm cố định Bài 5: ( điểm) Chứng minh rằng: P x ( x 1) x 2 2 x P x x TXĐ £x 2 ( x > 2) ( £ x < 2) Bài 3: ( 2, điểm) a) Khảo sát ( tự làm) b) A(-2;yA ) (P) ; B(a; yB) (P) => A( -2 ;1) B( ; 4) x2 Phương trình (D) : y = c) D AMB có AB không đổi => SAMB max MH AB) lúc đó M (d) //AB và tiếp xúc (P) ( 1999 1997 1) ( 1998 1996 2) 500 1 x k k x1 x2 1 (d) : y= ĐÁP ÁN - - max ( MH ^ (15) 1 y M là tiếp điểm (d) với (P) => M( ; ) Bài : ( 3, điểm) a) Tìm quỹ tích Thuận:D AEI vuông cân => AE = AI ; D AOE = DOCF =>AI = CF => FI //AB=> I AB ( cố định) * Giới hạn I AB và trừ điểm A và B * Đảo : Gọi I’ trên AB ( A , B ) Gọi E’, F’ là điểm đối xứng I’ qua AC và BD =>OA là phân giác I ' OE ' ; OB là tia phân giác I ' OF ' => E 'OF' 180 => E’ ; O; F’ thẳng hàng * Kết luận : I AB ngoại trừ điểm A và B Phßng GD-§T TP D C F H O E (d) A I B K To¸n (Vßng 1) §Ò chÝnh thøc (không kể thời gian giao đề) Thêi gian: 120 phót Bµi 1: (8 ®iÓm) ( P) : y x Cho parabol ViÕt ph¬ng tr×nh c¸c tiÕp tuyÕn cña (P), biÕt c¸c tiÕp tuyÕn nµy ®i qua ®iÓm A(2;1) Gọi d là đờng thẳng qua điểm A(2;1) và có hệ số góc m Với giá trị nào m thì đờng thẳng d cắt (P) hai điểm phân biệt M và N, đó tìm quĩ tích trung điểm I đoạn thẳng MN m thay đổi Tìm quĩ tích các điểm M0 từ đó có thể kẻ đợc hai tiếp tuyến cña parabol (P) vµ hai tiÕp tuyÕn nµy vu«ng gãc víi b)AEHI nội tiếp => AHI AEI 45 BIHF nội tiếp => BHI IFB 450 AHB 900 H đường tròn đường kính AB => KHA 45 => K chính cung AB ( cố định ) Bµi 2: (4®iÓm) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: x y xy 19 x y xy Bài 5: ( điểm) Đặt vế trái A A 2000 A 2000 A Bµi 3: (8 ®iÓm) Cho nửa đờng tròn đờng kính AB cố định C là điểm bất kì thuộc nửa đờng tròn phía ngoài tam giác ABC, vẽ các hình vuông BCDE và ACFG Gọi Ax, By là các tiếp tuyến nửa đờng tròn Chứng minh C di chuyển trên nửa đờng tròn đã cho thì đờng thẳng ED luôn qua điểm cố định và đờng thẳng FG luôn qua điểm cố định khác Tìm quĩ tích các điểm E và G C di chuyển trên nửa đờng tròn đã cho Tìm quĩ tích các điểm D và F C di chuyển trên nửa đờng tròn đã cho ( 1999 1997 ) ( 1998 1996 ) 2000 ( 1999 1997 1) Vận dụng n n n n 1999 1998 2000 1999 …… > ( luôn luôn đúng ) => BĐT đã chứng minh - - kú thi chän hoc sinh giái Trêng THCS líp thCS n¨m häc 2007 - 2008 M«n : HÕt (16) Bµi 1 ý 1.1 líp thCS n¨m häc 2007 - 2008 M«n : to¸n (Vßng 1) §¸p ¸n vµ thang ®iÓm: 1.2 - - Néi dung (2,0 ®iÓm) Phơng trình đờng thẳng d1 qua A(2; 1) có dạng: y = ax + b và = suy b = - 2a, đó d1: y = ax - 2a+1 Phơng trình cho hoành độ giao điểm d1 và (P) là: x ax 2a x 3ax 6a 0 Để d1 là tiếp tuyến (P) thì cần và đủ là: a 2 D 9a 24a 12 0 a 2 D' Vậy từ A(2; 1) có hai tiếp tuyến đến (P) là: d1 : y 2 x 3; d : y x 3 (4,0 ®iÓm) Phơng trình đờng thẳng d qua A(2; 1) có hệ số góc m là: y mx 2m Phơng trình cho hoành độ giao điểm d và (P) là: x mx 2m x 3mx 6m 0 (2) Để d cắt (P) điểm phân biệt thì cần và đủ là: 4 D 9m 24m 12 m2 m 3 m m 2 m 3 (*) m m 4 4 4 m m 0 m 3 3 (17) 1.3 Với điều kiện (*), d cắt (P) điểm M và N có hoành độ là x nghiệm phơng trình (2), nên toạ độ trung điểm I MN là: 3.1 2x x 2x m ; x 1; x x x m x 3 I 2 y mx 2m y x2 x 1 3 y x2 x 1 3 Vậy m thay đổi, quĩ tích I là phần parabol giíi h¹n bëi x 1; x (2,0 ®iÓm) Gọi M ( x0 ; y0 ) là điểm từ đó có thể vẽ tiếp tuyến vuông góc đến (P) Ph trình đờng thẳng d' qua M0 và có hệ số góc k là: y kx b , đ qua M0 nªn y0 kx0 b b y0 kx0 , suy pt cña d': y kx kx0 y0 Phơng trình cho hoành độ giao điểm d và (P) là: x kx kx0 y0 x 3kx 3kx0 y0 0 (**) §Ó tõ M0 cã thÓ kÎ tiÕp tuyÕn vu«ng gãc tíi (P) th× ph¬ng tr×nh: D 9k 12kx0 12 y0 0 cã nghiÖm ph©n biÖt k1 , k2 vµ k1k2 Gäi K lµ gi vµ GF, I lµ giao ®iÓm cña By vµ ED Ta cã: BEI BCA 900 EBI CBA (gãc cã c¸c c¹nh t¬ng øng vu«ng gãc) BE BC , 12 y0 Do đó: y0 DBEI DBCA BI BA mà By cố định, suy điểm I cố địn Vậy quĩ tích các điểm M0 từ đó có thể vẽ đợc tiếp tuyến vuông góc (P) là+ Tơng tự, K ccố định + Vậy C di chuyển trên nửa đờng tròn (O) thì dờng thẳng E y cố định và đờng thẳng GF qua điểm K cố định đờng thẳng 3.2 Suy quĩ tích I là nửa đờng tròn đờng kính BI (4,0 ®iÓm) C A E I , C B E B ); quĩ tích K là nửa đờng x y 3xy 19 x y xy 19 S 3P 19 S x y AK(bªn tr¸i Ax, C A G A, C B G K ) P xy x y xy S P x y xy Giải hệ (1) ta đợc: (S 1; P 6), (S 2; P 5) x y x y Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh tÝch, tæng: xy vµ xy nghiệm hệ phơng trình đã cho là: x x 2 x x ; ; ; y 2 y y y - - (18) §Ò chÝnh thøc gian giao đề) 3.3 Thêi gian: 120 phót (kh«ng kÓ thêi Bµi 1: (7 ®iÓm) x 1 x x x 2 Gi¶i ph¬ng tr×nh: Chøng minh r»ng nÕu a, b, c lµ c¸c sè kh«ng ©m vµ b lµ sè trung b×nh céng cña a vµ c th× ta cã: 1 a b b c c a Bµi 2: (6 ®iÓm) cã: BE BI BD BK EBI IBD KBD IBD 450 x2 3x XÐt tam gi¸c BEI vµ BDK, ta y x2 1 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: x y 3xy x y 0 Bµi 3: (7 ®iÓm) Cho đờng tròn tâm O, bán kính R, hai đờng kính AB và CD vu«ng gãc víi E lµ ®iÓm bÊt k× trªn cung AD Nèi EC c¾t OA t¹i M, nèi EB c¾t OD t¹i N EBI KBD Do đó: DBEI DBDK BDK BEI 900 + Vậy: Quĩ tích D là nửa đờng tròn đờng kính BK + Tơng tự, quĩ tích F là nửa đờng tròn đờng kính AI OM ON Chøng minh r»ng tÝch AM DN lµ mét h»ng sè Suy gi¸ OM ON trị nhỏ tổng AM DN , đó cho biết vị trí ®iÓm E ? Gọi GH là dây cung cố định đờng tròn tâm O bán kính R đã cho và GH không phải là đờng kính K là điểm chuyển động trên cung lớn GH Xác định vị trí K để chu vi tam gi¸c GHK lín nhÊt HÕt Phßng GD-§T TP kú thi chän hoc sinh giái Trêng THCS líp thCS n¨m häc 2007 - 2008 M«n : To¸n - - (Vßng 2) (19) Bµi ý 1.1 kú thi chän hoc sinh giái líp thCS n¨m häc 2007 - 2008 M«n : to¸n (Vßng 2) §¸p ¸n vµ thang ®iÓm: Néi dung (2,0 ®iÓm) Phßng GD-§T TP Trêng THCS x1 x 2 (1) x y y 2 y x 0; x x x 2 x 1 x 4 x1 £ y £1: y £0, y , nªn (2) y y 2 §K) x 1 lµ mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) y £3: y 0, y £0 , nªn pt (2) y y 2 đó pt (2) có vô số nghiệm y ( y Ê3 ), suy pt (1) có v 1.2 x £81 ) y : y 0, y , nªn pt (2) y y 2 nghiÖm S 1; 81 VËy tËp nghiÖm cña pt (1) lµ: (3,0 ®iÓm) 1 a b b c c a 1 1 (*) a b c a c a b c A Ta cã: a b a b Theo gi¶ thiÕt: - - c c a b c c a a b a c a c 2b b a c b , nªn: b a a b b c b b A c a b c c a b a b a b b c (20) A b a c a c c a b c b c c a b Đẳng thức (*) đợc nghiệm đúng c a 2.1 b c 2.2 (3,0 ®iÓm) x 3x y x (xác định với x R ) y 1 x x y x y 1: pt (**) cã nghiÖm y 1: để pt (**) có nghiệm thì: D 9 4( y 1)( y 5) y 24 y 11 0 25 5 11 y 3 0 y £ £ y £ £ y £ y 2 2 11 11 Max y ; Min y ; 2 VËy tËp gi¸ trÞ cña y lµ , đó (3,0 ®iÓm) x y 3xy x y 0 x y x y y 0 §Ó pt (***) cã nghiÖm nguyªn theo x, th×: D y y y 3 y y lµ sè chÝnh ph¬ng y y k k Z y k 12 ( y k )( y k ) 12 (a) 2 2 y k ( y k ) 2(k 2) lµ sè ch½n, nªn Ta cã: Tæng y k ; ( y k ) cïng ch½n hoÆc cïng lÎ Mµ 12 chØ cã thÓ 1.12 hoÆc 2.6 hoÆc 3.4, nªn chØ cã c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau: y k 2 y k 6 y k y k ; ; ; ; y k 6 y k 2 y k y k Gi¶i c¸c hÖ pt trªn ta cã c¸c nghiÖm nguyªn cña pt (a): y 2; k 2 , y 2; k , y 6; k 2 , y 6; k Thay c¸c gi¸ trÞ y 2; y vµo pt (***) vµ gi¶i pt theo x cã c¸ nguyªn (x; y) lµ: ( x 1; y 2), ( x 3; y 2);( x 11; y 6), ( x 9; y 6) - - (21) (4 ®) 3.1 x y x y xy DÊu "=" xÈy khi: Ta cã: DCOM DCED E 900 C O ; chung Suy ra: OM CO ED.CO OM (1) ED CE CE Ta cã: DAMC DEAC v×: chung C , A E 45 Suy ra: AM AC EA AC AM (2) EA EC CE OM OC.ED ED (3) EA Tõ (1) vµ (2): AM AC.EA ON OB OB.EA ON (4) DONB EAB EA EB EB chung , D E 450 ) DN DB DN DB.ED (5) DDNB DEDB ( B ED EB EB ON OB.EA EA OM ON (6) DN DB ED ED Tõ (4) vµ (5): Tõ (3) vµ (6): AM DN OM ON x , y AM DN Ta cã: x, y kh«ng ©m vµ: §Æt O E 90 ; B chung x y x y xy 0 x y 2 xy 2 - - 2 (22) 3.2 OM ED OM ON EA ED AM EA VËy: Tæng AM DN E lµ trung ®iÓm cña d©y cung AD (3,0 ®iÓm) DGKH có cạnh GH cố định, nên chu vi nó lớn tổng lín nhÊt Phßng GD-§T TP Trêng THCS phót §Ò chÝnh thøc líp thCS n¨m häc 2007 - 2008 M«n : To¸n (Vßng 1) Thêi gian lµm bµi: 120 Bµi 1: (8 ®iÓm) 2 Cho ph¬ng tr×nh x 2mx m 0 (1) 10 Tìm các giá trị m để phơng trình (1) có hai nghiệm dơng ph©n biÖt 11 Tìm các giá trị m để phơng trình (1) có hai nghiệm phân x13 x23 x x biÖt vµ tho¶ m·n hÖ thøc 12 Gi¶ sö ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm kh«ng ©m T×m gi¸ trÞ m để nghiệm dơng phơng trình đạt giá trị lớn Trên tia đối tia KG lấy điểm 12:(4®iÓm) Bµi GNH GKH ph¬ng tr×nh: x x 4 x x (2) N cho KN = KH Khi đó, DHKN cân K Suy Gi¶i KG KH KG KN GN Bµi 3: (8 ®iÓm) 1 GKH GH mµ (góc nội tiếp chắn cung nhỏ GH cố định), doCho đó tam giác ABC có ABC 60 ; BC a ; AB c ( a, c là hai không đổi Vậy N chạy trên cung tròn (O') tập hợp các điểm nhìnđộđoạn dµi GH cho dtrớc), Hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M trên cạnh AB, N trªn c¹nh AC, P và Q trên cạnh BC đợc gọi là hình chữ nhật nội tiếp 1 GOH tam gi¸c ABC Tìm vị trí M trên cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có gãc không đổi diện tích lớn Tính diện tích lớn đó GN lµ d©y cung cña cung trßn (O') nªn GN lín nhÊt GN lµ ® Dùng h×nh vu«ng EFGH néi tiÕp tam gi¸c ABC b»ng th cung tròn, suy DGHK vuông H, đó KGH KHG (vì lần l ớc kẻ và com-pa Tính diện tích hình vuông đó hai góc nhau) Khi đó, K là trung điểm cung lớn GH HÕt VËy: Chu vi cña DGKH lín nhÊt K lµ trung ®iÓm cña cung lín - - (23) Bµi 1 ý 1.1 Phßng GD-§T TP kú thi chän hoc sinh giái Trêng THCS líp thCS n¨m häc 2007 - 2008 §¸p ¸n vµ thang ®iÓm: 1.2 Néi dung (2,0 ®iÓm) Để phơng trình (1) có hai nghiệm dơng phân biệt, cần và đủ l D ' 4 m m2 0 P S m m 2 m m2 m0 (3,0 ®iÓm) Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm ph©n biÖt D ' 4 m 5 x13 x23 x1 x2 x1 x2 3x1 x2 2 3( m 2) m m2 m 6m 0 2 21 21 21 21 2 x2 2 2 Ta cã: 21 21 x3 0 2 x3 x3 2 vµ m 1 m m 0 m1 1; m2,3 m 1; m 1.3 - - VËy: Cã gi¸ trÞ cña m tho¶ ®iÒu kiÖn bµi to¸n: (3,0 ®iÓm) Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm kh«ng ©m vµ chØ khi: D ' 4 m 0 m2 P 0 £m £2 (**) S m 1 (24) Khi đó nghiệm phơng trình là: m2 m m2 ; x2 £x1 £x2 m 2; 2 Hai nghiệm này không thể đồng thời 0, nên nghiệm dơng ph x1 m x2 tr×nh lµ m m2 0 Suy ra: 2 m 2m m m Theo bất đẳng thức Cô-si: x22 m2 m2 x1,2 2 m m2 2 m2 m2 m2 m2 £4 Suy ra: x22 £2 x2 £ Dấu đẳng thức xảy khi: m 4 m2 m 2; Vậy nghiệm dơng phơng trình đạt giá trị lớn là (4,0 ®iÓm) x x 0 2 x x 4 x x 2 x x x x (2) t 4 x x 0 0 £t £4 t 4 x £4 t t 0 t t (3) Giải phương trình theo t, ta có: 13 13 t1 0 t2 0 2 (lo¹i); t2 m 13 t2 Suy nghiÖm cña (3) lµ t2 - - 13 x1 2 x x t2 x x t 0 x 2 13 2 Gi¶i ph¬ng tr×nh Vậy: phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt: 13 (25) 3.2 3.1 + §Æt AM x (0 £x £c) Ta cã: MN AM ax MN BC AB c c x MQ BM sin 600 Suy diÖn tÝch cña MNPQ lµ: ax c x a S x c x 2c 2c a b a b ab ab £ (a 0, b 0) 2 + Ta có bất đẳng thức: c2 x c x x(c x) £ ¸p dông, ta cã: c x c x x Dấu đẳng thức xảy khi: a c ac 2c ac c x hay M lµ trung ®iÓm cña c¹nh AC + Giả sử đã dựng đợc hìn néi tiÕp tam gi¸c ABC Nèi BF, trªn ®o¹n BF lÊy ®iÓm F' Dùng h×nh ch÷ nhËt: E'F'G'H' ( E ' AB; G ', H ' BC ) Ta cã: E'F'//EF vµ F'G'//FG, nªn: E ' F ' BE ' BF ' F ' G ' EF BE BF FG E ' F ' F ' G ' Do đó E'F'G'H' là hình vuông + C¸ch dùng vµ chøng minh: Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm E' tu vu«ng E'F'G'H' (G', H' thuéc c¹nh BC) Dùng tia BF' c¾t AC t ch÷ nhËt EFGH néi tiÕp tam gi¸c ABC Chøng minh t¬ng tù FG, suy EFGH lµ h×nh vu«ng BH ' cot g 600 3; + Ta cã: E ' H ' ' BC BG ' BH ' H ' G ' BH ' cot g F F 'G ' F 'G ' E'H ' Suy ra: Tia BF' cố định E' di động trên AB, cắt AC m nhÊt Trờng hợp hình vuông E'F'G'H' có đỉnh F' trên cạnh AC; G' v BC, lý luận tơng tự ta có tia CE' cố định, cắt AB E VËy bµi to¸n cã mét nghiÖm h×nh nhÊt S£ Suy ra: VËy: Smax EF AE ax EF HE c x sin B c ; + §Æt AE x Ta cã BC AB ax (c x ) EF EH x c EFGH lµ h×nh vu«ng, nªn S EF Suy diÖn tÝch h×nh vu«ng EFGH lµ: - - 3a 2c 2a c (26) Bµi 3: (7 ®iÓm) Cho đờng tròn (O) tâm O, bán kính R, hai đờng kính AB và CD vu«ng gãc víi §êng trßn (O1) néi tiÕp tam gi¸c ACD §êng trßn (O2) tiÕp xóc víi c¹nh OB vµ OD cña tam gi¸c OBD vµ tiếp xúc với đờng tròn (O) Đờng tròn (O3) tiếp xúc với cạnh OB và OC tam giác OBC và tiếp xúc với đờng tròn (O) Đờng tròn (O4) tiếp xúc với tia CA và CD và tiếp xúc ngoài với đờng tròn (O1) Tính bán kính các đờng tròn (O1), (O2), (O3), (O4) theo R HÕt Phßng GD-§T TP Trêng THCS phót §Ò chÝnh thøc kú thi chän hoc sinh giái líp thCS n¨m häc 2007 - 2008 M«n : To¸n (Vßng 2) Thêi gian lµm bµi: 120 Bµi 1: (7 ®iÓm) x 4 y y 4 x Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: Chứng minh a, b, c là các số thoả mãn các bất đẳng thøc: a b2 c2 c2 a2 b2 b2 c2 a2 a b b c c a a b b c c a a b b c c a Phßng GD-§T TP Trêng THCS kú thi chän hoc sinh giái líp thCS n¨m häc 2007 - 2008 M«n : to¸n (Vßng 2) §¸p ¸n vµ thang ®iÓm: Th× | a | | b | | c | Bµi 2: (6 ®iÓm) Xác định hình vuông có độ dài cạnh là số nguyên và diện tích là số nguyên gồm chữ số, đó các chữ số hàng đơn vị, hàng chục và hàng trăm giống A, B, C lµ mét nhãm ba ngêi th©n thuéc Cha cña A thuéc nhóm đó, gái B và ngời song sinh C nhóm đó Biết C và ngời song sinh C là hai ngêi kh¸c giíi tÝnh vµ C kh«ng ph¶i lµ cña B Hái ba ngêi A, B, C lµ ngêi kh¸c giíi tÝnh víi hai ngêi ? - - (27) Bµi ý 1.1 Néi dung (4,0 ®iÓm) x 3 y (*) 4 x 4 y x 4 y (a ) 4 y 4 x x y 4( x y ) 0 (b) x 4 y y 4 x Điều kiện để hệ có nghiệm là: 2.1 So víi ®iÒu kiÖn (*), ta cã: 1.2 2 b c 2 c a 2 a b 0 0 b c 0 c a 0 (4,0 ®iÓm) S abbb k 1000 £k £9999 33 £k £99 , nªn k chØ gåm ch÷ sè: k k 100 x 20 xy y £x £9; £ y £9 NÕu y lÎ: y 1;3;5;7;9 y 1;9; 25; 49;81 b 1;5;9 Khi sè tËn cïng lµ sè ch½n, nªn ch÷ sè hµng chôc cña k ph¶i lµ s x 1 VËy hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nhÊt : y 1 (3,0 ®iÓm) §iÒu kiÖn: a b; b c; c a Ta cã b2 a2 b2 c2 c2 a a b2 b2 c2 c2 a2 a b b c c a a b b c c a a b b c c a a b b c c a 0 1; 5; 9, đó S không thể là abbb NÕu y ch½n: y 0; 2; 4;6;8 y 0; 4;16;36;64 b 0; 4;6 Víi y = 0: k chØ cã thÓ lµ 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; ®iÒu kiÖn bµi to¸n 2 Với y = 2: k 100 x 40 x Khi đó x có thể là thì ch cña k2 míi lµ 4, suy k 3600 244 3844 abbb Với y = 4; 6: y 16;36 , đó 20xy có chữ số hàng chục là s số hàng chục k2 phải là số lẻ, đó không thể h k abbb a2 b2 c2 b2 c2 a2 Suy ra: a b b c c a a b b c c a a2 b2 c2 c2 a2 b2 Do đó: a b b c c a a b b c c a a c a 2b c 2b a b c a2 c2 b2 a2 c2 b2 0 0 a b b c ca a b b c c a - - a 2a 2c c a 2a 2b b b 2b 2c c 0 a b b c c a Theo gi¶ thiÕt diÖn tÝch cña h×nh vu«ng cã d¹ng x x x 1 x y 1 0 a b2 c | a | | b | | c | v× a b b c c a a2 b Víi ®iÒu kiÖn (*), ta cã: (b) x y x y x y 0 x y 0 x y x, y x y x2 y2 (v× nªn ) 4 x 4 y x x 0 x x 1 0 Thay vµo (a): x 1 x x x 0 x 1 x x 0 x 1 2a 2c 2a 2b2 2c 2b a b c 2 Với y = 8: y2 = 64; k 100 x 160 x 64 , đó x có thể ch÷ sè hµng chôc cña k2 míi b»ng 4, suy k 3 k 882 7744 (kh«ng tho¶ ®iÒu kiÖn bµi to¸n) VËy: bµi to¸n cã mét lêi gi¶i nhÊt: H×nh vu«ng cÇn x¸ (28) 2.2 k 38 vµ diÖn tÝch S 1444 (2,0 ®iÓm) Theo gi¶ thiÕt, cha cña A cã thÓ lµ B hoÆc C: NÕu B lµ cha cña A th× C kh«ng thÓ song sinh víi A, v× nÕu nh là B, trái giả thiết, đó C và B là song sinh và khác (gt), nªn C lµ ph¸i n÷ MÆt kh¸c, g¸i cña B kh«ng thÓ lµ C là A, đó A là phái nữ Vậy B khác giới tính với hai ngời cò vµ C (cïng lµ ph¸i n÷) NÕu C lµ cha cña A th× C chØ cã thÓ lµ song sinh víi B, theo g ph¶i lµ ph¸i n÷ MÆt kh¸c, g¸i cña B kh«ng thÓ lµ C (gt) n A, suy C vµ B lµ vî chång chø kh«ng ph¶i lµ song sinh, dÉn thuÉn VËy chØ cã nhÊt trêng hîp B lµ cha cña A vµ B kh¸c giíi tÝnh ví cßn l¹i lµ A vµ C (cïng lµ ph¸i n÷) + Gọi r là độ dài bán k trßn (O1) Ta cã: S DACD pr R AC CD r 2 R R 1 r R r 1 + §êng trßn (O2) tiÕp xóc víi OB vµ OD nªn t©m O2 ë trªn tia ph©n gãc BOD , (O2) l¹i tiÕp xóc víi (O) nªn tiÕp ®iÓm T cña chóng - - (29) êng th¼ng nèi t©m O vµ O2, chÝnh lµ giao ®iÓm cña tia ph©n gi¸c gãc víi (O) + §êng th¼ng qua T vu«ng gãc víi OT c¾t tia OB vµ OD t¹i B' vµ D' lµ tiÕp tuyến chung (O) và (O2) Do đó (O2) là đờng tròn nội tiếp + DOB ' D ' có phân giác góc O vừa là đờng cao, nên nó là tam giác vuông cân vµ B ' D ' 2OT 2 R, OB ' OD ' R , suy ra: DOB ' D ' DACD R r 1 + VËy: B¸n kÝnh cña (O2) còng b»ng + Hai hình quạt OBC và OBD đối xứng với qua AB nên (O R r 1 (O2), nªn b¸n kÝnh cña (O3) còng b»ng + §êng trßn (O4) cã a) Trêng hîp 1: (O4) ë bªn tr¸i (O1): KÎ tiÕp chung cña (O4) vµ (O1) t¹i tiÕp ®iÓm K c¾t AC vµ AD t¹ CO vµ CA lµ cßn lµ tiÕp tuyÕn cña (O 1), nªn chu vi cña C suy nöa chu vi cña nã lµ p = R CO1 R r Ta cã: CK CO1 O1 K R 42 1 R 42 R 1 1 KF O1O tg 22030 ' KF KC CO 1 R SCEF CK KF R R 1 42 1 42 1 R Suy bán kính đờng tròn (O4) là: 2 r4 - - 42 42 1 (30) b) Trêng hîp 2: (O'4) ë bªn ph¶i (O1): R CH 2 1 1 Suy ra: Bán kính đờng tròn (O'4) là: r4' O4' H CHtg 22030 ' R 2 1 1 phßng GD-§T Trêng THCS ĐỀ THI TUYỂN CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2007 -2008 MÔN THI : TOÁN Khi đó: K' là tiếp điểm đờng tròn, tiếp tuyến chung cắt CA và CD E' Th i gian l à m b à i: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) vµ F', CD tiÕp xóc víi (O'4) t¹i H R 42 R CK ' CO1 O1 K ' 1 1 F ' H K ' F ' CK ' tg 22030 ' R R CH CF ' F ' H Câu 1: (1,5 điểm) So sánh các số thực sau ( Không dùng máy tính gần đúng) 2 1 1 và 2 1 1 2 1 1 1 42 2 R Câu 2: (3 điểm) Giải phương trình sau: R 2 1 - - CK ' CO CK 'CO1 CF ' CF ' CO1 CO R 42 2 x2 A x 1 Câu 3: (1,5điểm) Tìm giá trị nhỏ Câu 4: (2 điểm) Giải hệ phương trình: x x 0 2x2 + 3y = 3x2 - 2y = 2 Câu 5: (4 điểm) Lớp 9A có 56 bạn, đó có 32 bạn nam Cô giáo chủ nhiệm dự kiến chia lớp thành các tổ học tập: - Mỗi tổ gồm có các bạn nam, các bạn nữ 1 - Số các bạn bạn nam, các bạn nữ chia vào các tổ - Số người tổ không quá 15 người không ít chín người (31) Em hãy tính xem cô giáo có thể xếp nào v à có tất tổ ? Câu 6: (5điểm) Cho đường tròn tâm (O; R) đường kính AB và CD vuông góc với Trong đoạn AB lấy điểm M khác Đường thẳng CM cắt đường tròn (O) điểm thứ hai N Đường thẳng vuông góc với AB M cắt tiếp tuyến với đường tròn (O) N điểm P Chứng minh rằng: a) Các điểm O, M, N, P cùng nằm trên đường tròn b) Tứ giác CMPO là hình bình hành c) CM.CN = 2R2 d) Khi M di chuyển trên đoạn AB thì P di chuyển đâu ? Câu 7: ( 3điểm) Cho đường tròn (O, R), đường kính AB C là điểm trên đường tròn (O, R) Trên tia đối tia CB lấy điểm D cho CD = CB Khi C chuyển động trên đường tròn (O, R) thì D chuyển động trên đường nào? x x 0 (3đ) Hết (1,5đ) HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN - LỚP 9, NĂM HỌC 2007 -2008 Nội dung – yêu cầu Câu (1,5đ) Giả sử > 2 2 2 18 12 (2đ) x 0 x 1 2 2 x x x x 1 0 x £ hay x 1 x £ hay x 1 2 x 1 x 1 1 0 x 0hay x 0 x £ hay x 1 x 1 hay x hay x hay x x2 x2 1 2 A 1 x 1 x 1 x 1 2 Do x 1 £1 x 1 x 1 Suy A A 1 x 0 Ta có Vậy GTNN A x = Đặt u = x2 0, ta có: 2u + 3y = (BĐT đúng) 3u - 2y = Do đó: - - x x x2 13 y 13 u 13 y 13 2 26 x 13 13 y 13 (32) OP * Tam giác ONP vuông N nên O, N, P thuộc đường tròn đường k OP * Vậy O, M, N, P cùng thuộc đường tròn đường kính OP Hệ PT có nghiệm là: ( x, y ) ( (4đ) 26 26 , ); ( , ) 13 13 13 13 b) MP//OC (vì cùng vuông góc với AB) NMP NCD (hai góc đồng vị) ONC OCN (hai góc đáy tam giác cân ONC) NMP NOP (hai góc nội tiếp cùng chắn cung NP) MNO NOP Suy ; đó, OP//MC Vậy tứ giác MCOP là hình bình hành * Gọi số bạn nam chia vào tổ là x, số bạn nam chia vào tổ là y, x, y nguyên dương Theo đề ta có hệ: 32 24 x y (1) £ x + y £ 15 (2) x Từ (1) ta có: c) DCND DCOM ( g.g ) OC CM Nên CN CD hay CM.CN = OC.CD = 2R2 3x – 4y = => Đặt y = 3t, t > và t z, ta có: x = 4t y d) Vì MP = OC = R không đổi Vậy P chạy trên đường thẳng kẻ từ D //AB Do M chạy trên đoạn nên P chạy trên EF thuộc đường thẳng song nói trên (3đ) Từ (2), ta có: £ 3t + 4t £ 15 hay £ 7t £ 15 2 15 t £2 7 => < t £ => A 56 4 Số tổ chia là: tổ C a) A M OB N E P D F * Tam giác OMP vuông M nên O, M, P thuộc đường tròn đường kính - - O B o * ACB 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) => AC vuông góc với BD CD = CB (gt) Tam giác ABC cân A AD = AB = 2R (không đổi) AD = AB = 2R (không đổi) và A cố định Do đó D chuyển động t đường tròn (A; 2R) Vì t z nên giá trị t cần tìm là t = 2, ta tính x = 8; y = Như vậy, tổ có bạn nam, bạn nữ (5đ) D C (33) Cho đường tròn (O , R) và điểm A với OA = 2R Từ A vẽ tiếp tuyến AE và AF đến (O) (E, F là tiếp điểm) Đường thẳng OA cắt (O) C và D (O nằm A và C) a) Tính diện tích tứ giác AECF theo R b) Từ O vẽ đường thẳng vuông góc với OE cắt AF M Tính tỷ số diện tích hai tam giác OAM vaì OFM c) Đường thẳng kẻ từ D vuông góc với OE cắt EC Q Chứng minh các đường thẳng AC, EF và QM đồng qui PHOÌNG GIAÏO DUÛC TP KYÌ THI CHOÜN HOÜC SINH GIOÍI THCS NÀM HOÜC 2007 - 2008 MÔN TOÁN - LỚP Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài (2 điểm): A= Cho biểu thức + x +1 x x +1 x - x +1 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIOÍI NÀM 2007-2008 Môn: Toán - Lớp Bài 1(2 điểm) a) (0,75 â) Điều kiện xác định: x (0,25 â) x - x +1- 3+2 x +2 x + x A= = x x +1 x x +1 (0,25 â) a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nhỏ và giá trị lớn biểu thức A Bài (2 điểm): Cho hàm số y = - 2x + có đồ thị (D) và -4 y= x có đồ thị (H) hàm số a) Tìm toạ độ giao điểm (D) và (H) b) Tìm trên (H) điểm A(x A , yA) và trên (D) điểm B(xB , yB) thoả mãn các điều kiện: x A+ xB = vaì 2yA - yB = 15 Bài (2 điểm): Tìm các cặp số nguyên (x , y) cho: x2 2x y x Bài (4 điểm): - - x +1 = x +1 x - x +1 x = x x x +1 b) (1,25 â) A= x Với x thì (0,5 â) Do âoï Amin = x = 1 x- + 2 0 (0,25 â) (34) A -1= x - x + x -1 x -1 xA = ; xA = -8 1 Với xA = yA = ; xB = yB = (0,25 â) Với xA = -8 yA = ; xB = yB = -14 1 Vậy A ( ; 8) và B ( ; 1) (0,25 â) A (-8 ; ) và B (8 ; -14) Bài (2 điểm): x2 - 2x - <y <2- x -1 Từ 1 y+ >0 y >2 vaì y- 2<0 y <2 Suy =£0 2 1 1 x+ + x- + 2 2 (0,75 â) Suy A £1 Do oï Amax= x = Bài (2 điểm) a) (0,75 â) Hoành độ giao điểm (D) và (H) là -4 nghiệm phương trình: -2x + = x hay -2x2 + 2x + = (x 0) (0,25 â) x2 - x - = (x + 1)(x - 2) = (0,25 â) x = -1 ; x = Với x = -1 y = ; với x = y = -2 Vậy toạ độ giao điểm (D) và (H) là (-1 ; 4) vaì (2 ; -2) (0,25 â) b) (1,25 â) -4 A (x , y ) (H) nãn y = xA (1) A A (0,75 â) Do y nguyãn nãn y = ; Với y = ta coï < x -1 x -1 <2 -2<x -1<2 -1 < x < Do âoï x = ; ; (vç x nguyãn) 1 2.0 2 <0 x=0 (nhận) (0,5 â) 1 12 2.1 2 x=1 (loải) 1 22 2.2 2 x=2 (nhận) A (0,25 â) B (xB , yB) (D) nãn yB = -2xB + (2) Do xA + xB = xB = -xA vaì 2yA - yB = 15 yB = 2yA -15 (0,25 â) Thay vaìo (2) 2yA - 15 = 2xA + hay yA = xA + 17 (3) -4 17 Từ (1) và (3) xA + = xA 2xA2 + 17xA + = (0,25 â) (2xA + 1) (xA + 8) = - - 1<2- x -1 x -1 <1 -1<x -1<1 Với y = ta có < x < Do âoï x = (0,5 â) - (35) b) (1,25 â) 1 1 2 x=1 (nhận) Vậy các cặp số phải tìm là (0 ; 0); (2 ; 0) và (1 , 1) (0,25 â) Bài (4 điểm) 12 1.2 Ta coï OM // AE (^ OE) nãn MOA = OAE maì OAE = OAM Do âoï MOA = OAM Suy DOMA cán taûi M MO = MA SOAM AM OM = = SOFM FM FM = cos OMF maì OMF = EAF = 2EAO OE R = = Þ EAO =300 EAO sin = OA 2R Veî hçnh chênh xaïc (0,25 â) E 2 SOAM 1 Do âoï OMF = 600 nãn SOFM = cos 60 = c) (1,25 â) - Chứng minh DDEQ = DOFM Suy ra: QD = OM - Chứng minh QDMO là hình bình hành Suy QM và DO giao trung điểm đường R Mà I là trung điểm OD (OI = ID = ) nên I là trung điểm QM Vậy AC, EF và QM đồng quy I Q I C O D G M a) (1,25 â) Ta có AE = AF (t/cF tiếp tuyến) và OE = OF = R nên OA là đường trung trực đoạn thẳng EF Gọi I là giao điểm AC và EF I thì OA ^ EF vaì IE = IF D OEA có OEA = 900 (t/c tiếp tuyến) và EI ^ OA OE2 R R ÞOI = = = OA 2R nãn OE2 = OI OA DOIE ( OIE = 900) nãn EI2 = OE2 - OI2 = R2 R 3R 3.R = Þ EI = 4 EF = 2EI = R vaì AC = AO + OC = 2R + R = 3R 1 3 R SAECF = AC EF = 3R R = - - PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC (36) 2007 <2008 −x HẾT Bài (1đ) Giải bất phương trình ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP TP NĂM HỌC 2007 – 2008 MÔN TOÁN HỌC Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian phát đề) Bài (4đ) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) 4x2 – 49 – 12xy + 9y2 b) x2 + 7x + 10 x2 x 2x A x x x 10 x Bài (4đ) Cho a) Rút gọn A b) Tìm x nguyên để A nguyên Bài (4đ) Giải phương trình a) x 3 x b) x2 – = (2x + 3)(x + 5) + 23 Bài (6đ) Tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao AD, BE, CF gặp H Đường thẳng vuông góc với AB B và đường thẳng vuông góc với AC C cắt G e) Chứng minh GH qua trung điểm M BC f) ∆ABC ~ ∆AEF ^ F=C ^ g) B D DE h) H cách các cạnh tam giác DDEF Bài (1đ) Cho ba số thực x, y và z cho x + y + z = Chứng minh - - (37) PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH NĂM HỌC 2007 – 2008 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN HỌC Gợi ý đáp án Đi x x 3 x 2 x 3 x x 1 x 0,2 x Ta thấy x=0,2 không thuộc khoảng xét nó không là nghiệm (1đ Điểm phương trình Bài 1a) Kết luận phương trình có nghiệm x=3 4x2-49-12xy+9y2=(4x2-12xy+9y2)-49 (1xđ) Bài 3b) -2=(2x+3)(x+5)+23 x2-25=(2x+3)(x+5) (2đ 2 =(2x-3y) -7 =(2x-3y+7)(2x-37-7) (1đ) (x-5)(x+5)=(2x+3)(x+5) (x-5)(x+5)-(2x+3)(x+5)=0 Bài 1b) (x+5) [x-5 –(2x+3)] = (x+5)(-x-8)=0 x-5=0 x+8 =0 x=-5 x2+7x+10 =x2+5x+2x+10 x=-8 (1đ) =x(x+5) +2(x+5) =(x+5)(x+2) (1đ)Ta có BG ^AB, CH ^AB, nên Bài 4a) (2đ A Bài 2a) x2-7x+10=(x-5)(x-2) Điều kiện để A có nghĩa là (0,5đ) BG //CH, x ≠5và x ≠2 tương tự: BH ^AC, CG ^AC, nên 2 BH//CG.tứ giác BGCH có các cặp cạnh đối x x 2x x x 2x A sông song nên nó là hình bình hành Do đó E x x x 10 x x ( x 5)( x 2) x hai đường chéo GH và BC cắt trung F H điểm đường Vậy GH qua trung x x x (2 x 4)( x 2) (2đ) điểm M BC Gợi ý đáp án ( x 5)( x 2) x 8x 15 ( x 5)( x 3) x ( x 5)( x 2) ( x 5)( x 2) x B D M C G (1,5đ) ( x 2) 1 A 4b) Do BE và CF là các đường cao tam giác ABC nên các tam giác ABE và (1, x x , với x nguyên, A nguyên và ACF 2b) vuông Hai tam giác vuông ABE và ACF có chung góc A nên chúng đồng AB AE AB AF (1) x nguyên, đó x-2=1 x-2 =-1 nghĩa là x=3, x=1 AE AC dạng Từ đây suy AC AF Bài 3a) Ta xét các trường hợp sau TH1: Hai tam giác ABC và AEF có góc A chung (2) Từ (1) và (2) ta suy ∆ABC ~ ∆AEF.(1đ) 4c) Chứng minh tương tự ta ∆BDF~∆BAC, ∆EDC~∆BAC, suy (1, x 0 x 3 x 2 x 3x x 3 x ∆BDF~∆DEC BDF CDE Ta thấy x=3 thuộc khoảng xét nó là nghiệm phương trình TH2: - - 4d) Ta có BDF CDE 900 BDF 900 CDE AHB BDF AHC CDE ADF ADE (1đ (38) ý đáp án Điểm DH là tia phân giác góc EDF Chứng minh tương tự ta có FH là tia phân c góc EFD Từ đây suy H là giao điểm ba đường phân giác tam giác DEF y H các ba cạnh tam giác DEF 5) Ta có + y3 + z3 – 3xyz = (x + y)3 + z3 – 3xyz – 3xy(x + y) x + y + z)[(x + y)2 – (x + y)z + z2] – 3xy(x + y + z) x + y + z)[(x + y)2 – (x + y)z + z2 – 3xy] = x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx 1đ x xy y ( y yz z ) ( x xz z ) 1 2 x y y z x x dpcm 2007 <2008 x 6) Điều kiện , bất phương trình − x 2007 2008 x 0 x (2008 x 2007) x x 0 x 2007 2008 ặc biểu diễn trên trục số : 1đ 2007 2008 Trong phần, câu, thí sinh làm cách khác cho kết đúng, hợp logic thì cho điểm tối đa phần, câu tương ứng HẾT - - (39) Û ( x - 1)( x - 2) = (vì x + x + = ( x +1) + > 0, " x Î ¡ ) éx = Û ê ê ëx = SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TRƯỜNG THCS ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP TRƯỜNG Môn: Toán Thời gian: 150 phút b) x - x - =- y + y - Û ( x - - 1)2 + ( y - - 2) = ìï x - = ìïï x = Û ïí Û ïï y - = íï y = ïî î 3- 3 +3 A= + 2- +2 2+ - 2 Bài 2( - 3) 2( + 3) = + 4- +4 +2 - 4 Bài 1: a) Giải phương trình: x - x + x - 11x +10 = b) Tìm x, y thoả mãn: x - x - =- y + y - A= Bài Rút gọn 3- 2- +2 + +3 2+ - 2 Bài Tìm GTNN (nếu có) các biểu thức sau: P = x +12 x + + x - 20 x + 25 2( - 3) 2( + 3) + - 1+ +1- 2( - 3) + 2( + 3)2 = 3- 24 = =- - = Q = x + y + xy - x + 2008 Bài Cho đường tròn tâm O đường kính AB Trên đường kính AB lấy hai điểm I và J đối xứng qua O M là điểm (khác A và B) trên (O); các đường thẳng MO, MI, MJ thứ tự cắt (O) E, F, G; FG cắt AB C Đường thẳng qua F song song AB cắt MO, MJ D và K Gọi H là trung điểm FG c) Chứng minh tứ giác DHEF nội tiếp d) Chứng minh CE là tiếp tuyến đường tròn (O) ĐÁP ÁN 2 Bài P = x +12 x + + x - 20 x + 25 = x +3 + - x ³ x +3 +5 - x = (2 x + 3)(5 - x) ³ Û - £ x £ 2 Vậy, Pmin=8 Q = x + y + xy - x + 2008 = ( x + y ) - 2( x + y ) +1 + y + y +1 + 2006 Bài 1: a) x - x + x - 11x +10 = Û ( x - 1)( x - 2)( x + x + 5) = = ( x + y - 1)2 + ( y +1)2 + 2006 ³ 2006; " x, y - - (40) Vậy, Qmin=2006 ïìï x + y - = Û í ïîï y +1 = Bài ïìï x = í ïîï y =- PHOÌNG GIAÏO DUÛC TP KYÌ THI CHOÜN HOÜC SINH GIOÍI THCS NÀM HOÜC 2006 - 2007 MÔN TOÁN - LỚP Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) M a) Ta có: OI = OJ C A I O J D F K H E · · DEH = DFH nội tiếp tuyến (O) G B Þ Þ Þ DF = DK DH // GK · · HDE = GME · · mà GME = GFE · · Þ HDE = GFE Þ DHEF nội tiếp Baìi (2 điểm): Cho A=3 y −10 √ x y +31 xy −10 x √ x a) Phân tích A thành nhân tử b) Tìm cặp số x, y thoả mãn điều kiện y - x = thức đồng thời A = Bài (2 điểm): Cho biểu thức M = x2 + 2y2 + 3z2 + 4t2 với x, y, z, t là các số nguyên không âm Tìm các giá trị x, y, z, t để biểu thức M có giá trị nhỏ thoả mãn điều kiện: 2x2 - 2y2 + 5t2 = 30 x2 + 8y2 + 9z2 = 168 Bài (2 điểm): x −2 x+1 Cho hàm số f(x) = (x R) x −2 x+2 a) Chứng minh với hai giá trị x , x2 tuỳ ý x cho 1≤ x1< x2 thç f(x1) < f(x2) < f (x)< b) Với giá trị nào x thì Bài (4 điểm): Cho tam giác cân ABC (AB = AC), đường cao AH Trên cạnh BC lấy điểm M và E cho ME = BC (BM < BE) Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt AB D Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với DE cắt đường thẳng AH N a) Chứng minh: BM BH = MD HN b) Chứng tỏ N là điểm cố định b) Từ câu a suy · · mà DFH = OCH Þ OHEC · · Þ OEC = OHC = 900 Vậy CE là tiếp - - biểu (41) c) Biết AB = cm, BC = cm Tính khoảng cách tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC √x x x − √ + =0 √3 √3 x 0 12 3 y x y=x + 4 5 x y= √ x x − √ + =0 * √3 √3 16 − =0 √ x− 12 √3 3 y x y=x + 4 √ x= √ x= √3 √3 hoÆc 1 x= 12 3 y=x + y=x + 4 15 y= y= * ( HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM 2006-2007 Môn: Toán - Lớp Bài 1(2 điểm) a) (1 điểm) A=3 y −3 √ x y − √ x y 2+ 21 xy+10 xy −10 x √ x (0,5 â) y x y x y 10 x y 3x y 3x y x y 10 x 60 (0,5 â) y 3x 3y x 3y x y= y= * √x √3 x − √ x + =0 y=x + ( - - √ x − √ =0 y=x + 3 x= 27 laì: Vậy có cặp số thỏa mãn điều kiện A = và 27 15 3 x= y= x= ( ; ) ; (x = ; y = ) vaì ( 12 ) Bài (2 điểm) Từ 2x2 - 2y2 + 5t2 = 30 vaì x2 + 8y2 + 9z2 = 168 Suy ra: 3x2 + 6y2 + 9z2 + 5t2 = 198 3(x2 + 2y2 + 3z2 + 4t2 ) = 198 + 7t2 3M = 198 + 7t2 M =66+ t ≥66 Giá trị nhỏ M là 66 t = ; y x y= y= y=x + y x √x √3 y=√ x x= ) b) (1 điểm) A=0 ⇔ y= √ x y=x + ) y= hoÆc (42) Do âoï: 2x2 - 2y2 = 30 (1) vaì x2 + 8y2 + 9z2 = 168 (2) Từ (1) (x + y)(x - y ) = 15 Vì x, y là các số nguyên không âm, nên x + y = 15 và x - y = (3) Hoặc: x + y = và x - y = (4) Từ (3) x = 8, y = 7, các giá trị này không thỏa (2) Từ (4) x = 4, y = Thay vào (2) ta có: 16 + + 9z2 = 168 9z2 = 144 z2 = 16 z = (z = - loải) Vậ y giá trị nhỏ M là 66, khi: x = 4, y = 1, z = 4, t = x2 - 2x - < (x - 1)2 - < (x -1 + √ ) (x - - √ ) < - √ < x < + √ (2) Từ (1) và (2) suy < f(x) < - √3 < x < < x < + √ Bài (4 điểm) A a) Xeït D MDE vaì D HEN coï: DME = EHN = 900 MDE = HEN (góc có cạnh tương ứng D vuäng goïc) nãn DMDE ∾ DHEN , suy ra: MD ME = HE HN Hay MD.HN = HE.ME Do BH = ME ( ¿ BC ) nãn BM = HE Do âoï: MD.HN = BM.BH (1) Bài (2 điểm) a) điểm ( x −1 )2 ( x − ) +1 - Với x1 = 1, x2 >1 thì f(x1) = 0, f(x2) > nên f(x1) < f(x2) f ( x )= - Nếu x 1, ta có 1+ ( x −1 )2 Với < x1 < x2 thì < x1 - < x2 - nên: ( x1 −1 ) f ( x )= > ( x2 −1 ) b) 1 ( x1 − 1) Vậy với 1£ x1 < x2 b) điểm f(x) > Do âoï: 1+ x −2 x +2 ⇔ x −2 x > 1+ x −2 x+1 ⇔ x − x +2 2 x −2 x+2 > Từ (1) MD BH = BM HN MD AH = (3) BM BH BH AH BH = Từ (2) và (3) HN= HN BH AH N AH cố định và HN không thay đổi nên N là điểm cố định c) A BC = 6cm BH = 3cm DAHB ( ^ H=90 ) coï AH2 = AB2 BH2 = 52 - 32 = 16 = > P - - (2) DABH coï MD//AH nãn hay f(x1) < f(x2) x − ( ) thç f(x1) < f(x2) < x (x - 2) > x > x < (1) 3 x −2 x+1 f(x) < < 4x2 - 8x + < 3x2 - 6x + 4 x −2 x+2 K I (43) 42 C B H Rút gọn biểu thức AH = 4cm Gọi K là tâm đường tròn nội tiếp ABC, thì BK là phán giaïc cuía B vaì K AH KH BH = = Do âoï: KA BA Suy ra: KH KA KH+ KA = = = =0,5 8 KH = 1,5cm KA = 2,5cm x2 y x x2 y y x y với x > 0, y >0 Bài 2: (4 điểm) a Xác định m để phương trình sau vô nghiệm x x xm x b Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = (x – 2y + 1)2 + (2x – 4y + 7)2 Gọi I là tâm dường tròn ngoại tiếp DABC thì IP là đường trung AB PA 2,5(cm) 2 træûc cuía caûnh AB vaì I AH nãn AH H=90 ) coï cos ( BAH DABH ( ^ ) ¿ AB = =0,8 ) 0,8 cos( PAI AP P=90 ) DAPI ( ^ coï cos ( PAI ) ¿ AI AP 2,5 AI 3,125 ) 0,8 cos( PAI Bài 3: (2 điểm) Bốn người 1; 2; 3; tham dự hội nghị Biết : a Mỗi người biết hai bốn thứ tiếng Anh, Nga, Pháp, Việt b Người biết tiếng Nga, không biết tiếng Pháp c Người biết tiếng Anh, không biết tiếng Pháp và phải phiên dịch cho người và người d Người không biết tiếng Nga, không biết tiếng Việt nói chuyện trực tiếp với người Do âoï KI = AI - AK = 3,125 - 2,5 = 0,625 (cm) Vậy khoảng cách tâm đường tròn ngọai tiếp và tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC là 0,625cm Hỏi người biết các thứ tiếng nào ? Bài 4: (4 điểm) a Cho a b, x y Chứng minh (a + b) (x + y) £ 2(ax + by) (1) Sở GD&ĐT Trường THCS Năm học 2006 - 2007 b Cho a + b Chứng minh a2006 + b2006 £ a2007 + b2007 (2) ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Môn: Toán (Thời gian: 90 Bài 5: (8 điểm) phút) Cho đoạn thẳng AB = a Bài 1: (2 điểm) - - (44) Câu 5/ (4đ) Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R) và (O; r) với R > r Lấy A và E là hai điểm thuộc đường tròn (O; r) , đó A di động , E cố định ( với A ≠ E) Qua E vẽ đường thẳng vuông góc với AE cắt đường tròn (O; R) B và C Gọi M là trung điểm đoạn thẳng AB a/ (1,5đ) Chứng minh EB2 +EC2 + EA2 không phụ thuộc vị trí điểm A b/ (1,5đ) Chứng minh điểm A di động trên đường tròn (O; r) và A≠ E thì đường thẳng CM luôn qua điểm cố định ( gọi tên điểm cố định là K ) c/ (1đ) Trên tia AK đặt điểm H cho AH = AK Khi A di động trên đường tròn (O;r) thì điểm H di động trên đường nào ? Chứng minh nhận xét đó ? a Nêu cách dựng và dựng D ABC cho BAC 60 và trực tâm H D ABC là trung điểm đường cao BD b Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp D ABC, vẽ đường kính AG, HG cắt BC K Chứng minh OK ^ BC c Chứng minh DAOH cân và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC theo a d Tính diện tích tam giác ABC theo a Sở GD&ĐT GIỎI Trường THCS 120 phút ĐỀ THI HỌC SINH Môn Toán - Thời gian : 3 Câu 1/ (1đ) Cho x = minh x là số nguyên 125 27 Câu 2/ (1,5đ) Cho x > , y > , t > Chứng minh NÕu xy y yt t xt x 3 9 125 27 Chứng : th× x= y= t hoÆc x.y.t =1 Câu 3/(1,5đ) Cho đa thức bậc hai f(x)= ax + bx + c có nghiệm dương x = m Chứng minh đa thức g(x) = cx + bx + a (c≠0) có nghiệm dương x = n và thỏa mãn m + n 2 Đáp án và biểu điểm chấm Toán Câu Câu 4/ (2đ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d(m) có phương trình : (m -1)x+ (m -2)y - = (m là tham số) Tìm m để khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d(m) có giá trị lớn Xác định đường thẳng đó - - Nội dung (45) Câu1 Suy am bm c 0 (1), mµ m > (gt) b c 1 (1) a + 0 a + b( ) c( ) = (2) m m m m §¼ng thøc nµy chøng tá r»ng x= lµ nghiÖm cña m ®a thøc g(x) = cx bx a 0 VËy x= n = > (do m > m 1 Ta cã m+n = m + 2 m (do ) m m Hay m n 2 125 125 a 3 vµ b = 27 27 Th× a b 6 vµ a.b = 3 3 x a b x a b 3ab(a b) (1đ) x = - 5x (x 1)(x x 6) 0 Mµ x x 0(do ).Suy x 1.VËy x Z Câu (1,5đ) Từ đẳng thức với điều kiện đề bài đã cho suy : 1 x y z y z x (1) x y (1) y z z x (2) Câu x y Câu (2đ) y z 1 z y zy 1 z x x z xz y y x z x z 0 ;m Gọi OH là khoảng cách từ O đến đường thẳng AB ta c B 1 (m 1)2 (m 2)2 2 OH OA OB y xy x (2) y z Nếu m =1 thì d(1) là đường thẳng y= -1 nên khoảng cách từ O đến Nếu m =2 thì d(2) là đường thẳng x = nên khoảng cách từ O đến d (1) m ;0 và cắt trụ Nếu m ≠1 và m≠ thì d(m) cắt trục hoành A z x x zyzxxy y 3 1 2m 6m 2 m OH 2 2 VËy OH £2 OH £ OH lín nhÊt m x y z Häc sinh chøng minh ® îc r»ng xyz 1 Từ (3) Ta có : x = m là nghiệm đa thức f(x)= ax2 + bx + c Từ (1) và (2) và < suy khoảng cách lớn từ O đến d Khi đó đường thẳng d có công thức là x - y- = (1,5đ) - - (2) (46) Câu A Câu c (1đ) M B K O E G Do H thuộc tia AK, mà K là trọng tâm D ADE và AH AK nên H tr với G ( là trung điểm chung hai đoạn thẳng DE và BC ) Mà DOGE vuông E ( chứng minh trên) , O,E cố định (theo gt) ) Vậy A di động trên đường tròn (O; r) thì H di động trên đường tròn đường kính OE D C Câu a (1,5đ) Gọi G là trung điểm BC thì OG ^ BC GB = GC và GE = GD (đl) (đl) suy và OG là đường trung bình D ADE nên OG= AE hay AE = 2OG Ta có EB2+EC2= (BG-EG)2+ (GC+ GD)2=(BG-EG)2+(BG+EG) Suy EB2+EC2= 2(BG2 +EG2) Áp dụng định lý Pi ta go vào các tam giác vuông OGE và OGB ta có : OG2+GE2= r2 và OG2+GB2= R2 Do đó EB2+EC2+EA2=2(BG2 +EG2)+4OG2 =2 (BG2+OG2)+2 (EG = 2R2 +2r2 ( không đổi) B M A O GE D C Trường hợp đặc biệt : G E D Thì chứng minh trên đúng Câu b (1,5đ) Hai tam giác ABC và ADE có chung trung tuyến AG nên có chung trọng tâm Mà tam giác ADE có trung tuyến OE cố định , Nên điểm cố định K mà trung tuyến CM D ABC qua chính là trọng tâm D ADE - - (47) Sở GD&ĐT Trường THCSĐỀ THI HỌC SINH GIỎI (Vòng 2) Năm học 2005 - 2006 Môn: Toán (Thời gian: 90 phút) Bài 1: (3 điểm) a Cho n là số nguyên dương Hãy so sánh: 1 1 1+ + n n+1 n n+1 và b Tính: 1+ 1 + + 2 1+ 1 + + 1+ 1 + + + 1+ Bài 2: (3 điểm) Chứng minh rằng: n 1 + + + + n n 2 -1 n1 với n N và Bài 3: (4 điểm) Cho đường tròn tâm O có đường kính AB và CD vuông góc với Gọi M và N là trung điểm OA và OB Đường thẳng CN cắt (O) I Chứng minh CMI 90 - - 1 + 2005 20062 (48) - - (49) PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN LỤC YÊN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học 2007 – 2008 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Bài (1,5 điểm) Tính giá trị biểu thức: 1 100 4 4 S 1 99 4 4 Bài (1,5 điểm) Cho x, y là các số thỏa mãn x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x3 + y3 + 2xy Bài (3 điểm) Giải phương trình: a) x 4x 2 2x 2 b) 3x 6x 5x 10x 14 4 2x x Bài (2 điểm) Cho hình thang ABCD (AD // CB và AD > BC) có các đường chéo AC và BD vuông góc với I Trên đáy AD lấy điểm M cho AM độ dài đường trung bình EF hình thang Chứng minh ∆MAC cân M Bài (2 điểm) - - (50) Cho DABC vuông A có M là trung điểm BC Có hai đường thẳng di động và vuông góc với M cắt các đoạn AB và AC D và E Xác định vị trí D và E để diện tích DDME đạt giá trị nhỏ 1 1 1 1 2 100 100 100 2 2 2 2 2 S 1 1 1 1 99 99 99 2 2 2 2 2 1 1 1 2 100 100 99 2 2 2 2 2 S 1 1 1 1 99 99 98 98 2 2 2 2 2 1002 100 2 100 100 20201 S 2 ( 0,5 điểm) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN Năm học 2007 – 2008 Môn: Toán Sơ lược lời giải và thang điểm Bài (1,5 điểm) Tính giá trị biểu thức: 1 100 4 4 S 1 99 4 4 Bài (1,5 điểm) Cho x, y là các số thỏa mãn x + y = Giải: n N, ta có: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x3 + y3 + 2xy 2 2 1 1 n n n n n n n n nGiải: nTa có: (a – b) ≥ (a + b) ≥ 4ab –4ab ≥ –(a + b) (0,5 4 2 điểm) Áp dụng vào biểu thức A, ta có: (1) A = (x + y)3 – 3xy(x + y) + 2xy = – 6xy + 2xy 0,5 = – 4xy ≥ – (x + y)2 = – = điểm) (0,5 điểm) Mặt khác: Dấu “=” xảy x = y mà x + y = (gt) x = y = 1 1 Vậy: A = x = y = n n (n 2n 1) (n 1) (n 1) (n 1) 2 (0,5 điểm) (2) Bài (3 điểm) Giải phương trình: 0,5 x 4x 2 2x (1) a) điểm) 2 Áp dụng (1) và (2) để tính S, ta được: b) 3x 6x 5x 10x 14 4 2x x Giải: - - (51) x a) (1,5 điểm) Điều kiện: (0,5 điểm) Ta có: (1) Giải: B (x 2x 1) (2x 2x 1) 0 (0,5 điểm) – Từ C kẻ đường thẳng song song với BD cắt AD N BCND là hình bình hành Suy ra: BC = DN C I x 0 (x 1) ( 2x 1) 0 x 2x 0 E (thỏa mãn) Vậy: Phương trình đã cho có nghiệm x = –1 (0,5 điểm) b) (1,5 điểm) Ta có: 3x2 + 6x + = 3(x + 1)2 + ≥ 5x2 + 10x + 14 = 5(x + 1)2 + ≥ Do A F M D (1 điểm) – Mặt khác: AD + BC = 2EF mà AM = EF (gt) Suy ra: AN = AD + DN = N AD + BC = 2AM Do đó: M là trung điểm AN (0,5 điểm) – Vì CN // BC mà BD ^ AC CN ^ AC Hay: ∆ACN vuông C có CM là trung tuyến 2CM = AN Hay: CM = AM Vậy: ∆AMC cân M đó: 3x 6x 5x 10x 14 2 5 Dấu “=” xảy x = –1 (1) (0,5 điểm) Mặt khác: – 2x – x2 = – (x + 1)2 Dấu “=” xảy x = –1 (2) Từ (1) và (0,5 điểm) (2) (0,5 điểm) suy Bài (2 điểm) Cho DABC vuông A có M là trung điểm BC Có hai đường thẳng di động và vuông góc với M cắt các đoạn AB và AC D và E Xác định vị trí D và E để diện tích DDME đạt giá trị nhỏ Giải: – Kẻ MF ^ AB, MG ^ AC A AFMG là hình chữ nhật ra: 3x 6x 5x 10x 14 4 2x x x = –1 Vậy: Phương trình đã cho có nghiệm là x = –1 (0,5 điểm) Bài (2 điểm) Cho hình thang ABCD (AD // CB và AD > BC) có các đường chéo AC và BD vuông góc với I Trên đáy AD lấy điểm M cho AM độ dài đường trung bình EF hình thang Chứng minh ∆MAC cân M - - E F (0,5 G điểm) – Ta có: MD ≥ MF và ME ≥ MG D B M C (52) (tính chất đường xiên, hình chiếu) (0,5 điểm) Do đó: 1 SDME MD.ME MF.MG Const 2 Dấu "=" xảy D ≡ F và E≡G Chóc c¸c em thµnh c«ng (0,5 điểm) Vậy: Khi D và E là hình chiếu M trên AB, AC thì diện tích DDME đạt giá trị nhỏ (0,5 điểm) Chú ý: Nếu học sinh có cách giải khác với đáp án mà cho kết hợp lý, chính xác thì cho điểm theo thang điểm trên - - (53)