2 Cách nhẩm nghiệm : Ta thường thử các giá trị x0 để trong căn là bình phương hoặc lập phương.. Nghiệm duy nhất x 5..[r]
(1)SỞ GD VÀ ĐT HẢI DƯƠNG TRƯỜNG THPT ĐOÀN THƯỢNG CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM GV : NGUYỄN TRƯỜNG SƠN CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ - Các phương pháp giải PT vô tỉ 1) Phương pháp lũy thừa 2) Phương pháp đặt ẩn phụ 3) Phương pháp biến đổi thành tích 4) Phương pháp nhân liên hợp - Các phương pháp giải BPT vô tỉ 1) Phương pháp lũy thừa 2) Phương pháp đặt ẩn phụ 3) Phương pháp nhân liên hợp 4) Phương pháp đánh giá Tài liệu biên soạn : Nguyễn Trường Sơn Số điện thoại : 0988.503.138 Gmail : info@123doc.org (2) BÀI : MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ Phương pháp lũy thừa I - Nêu các dạng phương trình Bài Giải các phương trình a) x 3x x c) x x 3x e) x 3 2 d) ( x 3) x x x x 2x f) x 2x 2 g) ( x 3) x x x x 15 x 3x x x b) 2 h) ( x 4) 10 x x x 3x x x 1 x i) Bài Giải phương trình 4x j) a) x 3x x2 x x x b) x 3x x2 x x x 2 c) x 3x x x x x Bài Giải phương trình 3 a) x x x 11 b) x 1 x x 1 x 5x x 7 3 (Phải thử , loại nghiệm) c) x x x Bài Giải phương trình a) x b) x x 16 x x Bình phương lần nghiệm x 0 x 3x 2 x x c) II x 1 x x 0 Bình phương lần nghiệm x 0 Phương pháp đặt ẩn phụ 1) Dạng : Phương trình có chứa f ( x ) và Bài Giải phương trình a) ( x 1)( x 4) 5 x x 28 b) x 10 x 7 x x c) (4 x)(6 x) x x 12 d) x( x 5) 2 x x Bài Tìm để phương trình có nghiệm a) x x (3 x)(1 x) m 2 b) x x (3 x)(1 x) m Bài Giải phương trình : 5 x 2 x 4 2x x a) f ( x) Nghiệm 4; m [ 1;11] m [ 1; 41 56 ] (3) x b) x 2 x 7 2x 2) Dạng : Phương trình có chứa Bài Giải phương trình A B và AB Nghiệm 25 17 a) x x 3 x 2 x x b) x x 49 x x 42 181 14 x c) x x 2 x 12 x 16 d) 3x x 4 x x x 2 Bài (B – 2011) Giải phương trình : x x 4 x 10 x x - Đặt t x 2 x Nghiệm Bài Tìm m để phương trình có nghiệm 2 m [ ;3] a) x x x x m b) x x (3 x)(6 x) m c) 3( x x ) m x x x 3) Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn Bài Giải phương trình Đặt t x nghiệm t 3;1 x 2 a) x 3x x x 1 x 2 b) ( x 1) x x x 2 c) x 2 x x x 2 d) x x 48 (3 x 10) x 15 2 e) 2( x 1) x x x x 2 f) x x ( x 2) x x 15 39 2 g) (1 x ) x 8 x x 3 h) (4 x 1) x 2 x x 3 i) x x ( x 2) x x 4) Phương pháp chia để làm xuất ẩn phụ Bài Giải phương trình 2 a) ( x 2) x x 2 x bình phương, chia x b) x 3x x x 2 x chia cho c) x x x 3 x Chia vế cho Bài Giải phương trình x x và đặt Nghiệm x 1 x t 0;5 thử lại x 4 Đặt Nghiệm x 2 t x t x 1 x 4; x (4) a) 2( x 2) 5 x b) (Thi thử ninh giang 2013) - x 14 x x x 20 5 x 2 Chuyển vế, bình phương và rút gọn ta x x 5 ( x x 20)( x 1) 2( x x 5) 3( x 4) 5 ( x 4)( x x 5) - c) x2 4x x2 4x 5 61 2 5 x 8; x4 x4 x 25 x 19 x x 35 7 x 2 Chuyển vế, bình phương ta : 3( x x 14) 4( x 5) 7 ( x x 14)( x 5) 61 11137 7; 18 - Chia vế cho ( x 5) Nghiệm 5) Đặt nhiều ẩn phụ đưa phuơng trình đẳng cấp Chú ý : Nêu cách giải phương trình đẳng cấp bậc hai, ba Bài 10 37 x 2 2 a) 2( x 2) 5 x Đặt a x 1; b x x PT 2a 2b 5ab - 2 2 b) x x 7 x Đặt u x 1; v x x PT 3u 2v 7uv x 4 2 - Phương trình đã cho có dạng a.u b.v c.uv đó thường uv 2 c) x x x x - d) 2 2 Cách : Đặt a x ; b x PT a 3b a b nghiệm : x 1 Cách : Đặt a x , thay vào PT ta 36a 136a 200a 100 0 a 1 x 14 x x x 20 5 x (Thi thử NG 2013) 2 Chuyển vế, bình phương và rút gọn ta x x 5 ( x x 20)( x 1) 61 2( x x 5) 3( x 4) 5 ( x 4)( x x 5) x 8; 61 11137 7; 2 18 e) x 25 x 19 x x 35 7 x Nghiệm : - - 2 Chuyển vế, bình phương ta : 3( x x 14) 4( x 5) 7 ( x x 14)( x 5) 2 Bài 11 Giải phương trình : x x x 3x x 1 x Bình phương vế ta có : - Điều kiện : x - x x 1 x x x x 1 x x x 1 1 v u 2 uv u v u x x 1 u v v 2 x đó ta có hệ : Ta có thể đặt : (5) - 1 1 u v x2 2x x 1 2 Do u, v 0 nên x2 - ' x 2 0 4 0 .Vậy phương trình đã cho vô nghiệm 2 Bài 12 Giải phương trình : x x x x 9 x x x a a, b 2 x x b - Đặt ta có : a b a b a b a b a b 1 0 a b 1 x x 4 x x x x x x 1 - x 3 x x 1 x x 1 x 3 x 4 3 Bài 13 Giải phương trình : x x ( x 2) x 0 3 3 - Đặt y x ta phương trình : x x y x 0 x y 3x ( x 2) 0 x y x xy y 0 nghiêm x 2; 2-2 x y - Chú ý có thể sửa lại đề bài thành : x ( x 2)(3 x x 2) 0 3 Bài tập tương tự : x 3x ( x 1) 3x 0 - Bài tập tương tự : x (3x x 4) x 0 6) Dạng : Đặt nhiều ẩn phụ để đưa hệ phương trình Bài 14 Giải phương trình x x (2 x 1)( x 4) 0 - - u x 2v u 7 (1) v x Đặt Thay vào phương trình có : 3u 6v uv 0 (2) Thay (1) vào (2) và rút gọn (2v u )(u v 3) 0 x 0 Bài 15 (Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình) - a) x x 0 (A – 2009) Nghiệm x b) x x 16 0 Nghiệm x 2 c) x 17 x x 17 x 9 Nghiệm x 1; 3 3 d) x 35 x ( x 35 x ) 30 Nghiệm x 2 ; 1 2 x 2 x e) 3 f) x 2 x Nghiệm Nghiệm x 1; 1 x 1; 1 (6) 3 g) x 3 3x 7) Dạng : Đặt ẩn phụ đặc biệt Bài 16 (Các dạng đặt ẩn phụ đặc biệt) a) x x x b) 4x 7 x x 28 PT vô nghiệm Đặt 4x y 28 c) x x x 10 Đặt x y d) x 4 x 12 x Đặt x 2 y (7) III Phương pháp biến đổi thành tích Bài Giải phương trình x x x 2 x x x a) Phương trình ( x x)( x 1) 0 x 0; - x 3 b) 4x x 3 4 x HD ( x x ) 0 x 1 x 9 x x HD : (1 x 3) 9 x x 1; c) Bài Giải phương trình a) x 10 x 21 3 x x b) x x 15 3 x x 97 18 c) x x ( x 1) x x x 0 x2 x 4 x x2 d) IV Phương pháp nhân liên hợp 1) Cơ sở phương pháp : Nhiều phương trình vô tỉ có thể nhẩm nghiệm x0 hữu tỉ, đó phương trình luôn viết thành ( x x0 ) P( x) 0 và P( x) 0 có thể vô nghiệm giải 2) Cách nhẩm nghiệm : Ta thường thử các giá trị x0 để là bình phương lập phương Bài a) (Khối B 2010) Giải phương trình : 3x x 3x 14 x 0 ( x 5)( PT - x 1) 0 3x x 1 Nghiệm x 5 b) Giải phương trình : x x 16 0 Nghiệm x 15 ( x 2)[ + ]=0 x 2 ( x 2) x x - PT c) (ĐT năm 2013 lần 1) Giải phương trình : - 27 x 16 x 37 0,25 x 37 8(6 x) ( x 3)(4 x 27) 0 10 x 0,25 TH x 0 x (TMPT) TH x - 4 x 37 10 x x 15 x 81 0 ĐK: x 5 Pt - 10 x x 37 4x 15 x 33 pt 36 16 x 37 x 37 0,25 0,25 16 x 27 0 10 x (8) 36 12 - x 37 16 x 27 0 10 x 36 16 VT 4.5 27 0 12 Do x 5 nên Đẳng thức xảy x 5 Vậy phương trình có nghiệm là và - Bài Giải phương trình x x 1 3x a) x x 1 x b) c) - x 12 3x x Nghiệm x 2 x 12 x 3 x x để chứng minh biểu thức còn lại vô nghiệm Nhận xét x 15 3x x d) e) - Nghiệm x 0; x x x 3x 3x Nghiệm x 2, P ( x) 0 vô nghiệm x 3x Bài Giải phương trình : x2 x 2x2 x x a) - 2 Ta có VT ( x 4) x x x x Nhân với biểu thức liên hợp ta : x x x x 2 2 x x x x 0; x x x x x - b) - x x x x 3 x Từ phương trình x 2x ( x x x) ( x x x) 0 ( x 1)[ 2x x 1 2x 2 x x 1 x ]=0 x 1 Bài Giải phương trình : x x x - Điều kiện : x - Nhận thấy x = là nghiệm phương trình , nên ta biến đổi phương trình - x 3 x 3 x x x x x x 3 1 3 x2 x3 x x 3 x 3 1 1 x 3x 2 2 3 x 2 x 14 x 1 x3 - Ta chứng minh : - Vậy phương trình có nghiệm x = Bài Giải phương trình 3 2 a) x 3x ( x 3) x b) 10 3x x (9) c) (2 x)(5 x) x (2 x)(10 x) d) x 16 x 18 x 2 x e) x x 3x x x x x 2 2 f) 3x x x 3x x Bài Giải phương trình : a) b) x2 x 2x 3 x x 3 x 2 c) x 11x 21 x 0 d) x x x3 x 3x (10) V Phương pháp đánh giá Bài Giải các PT sau : a) x x x x 11 b) x 10 x x 12 x 52 c) x x x 2 Nghiệm x 1 d) 2 x x x 10 x 14 4 x x Nghiệm x x 19 x e) Nghiệm x 3 x 10 x 24 Bài Giải PT sau : 2 a) x 11x 25 x 12 x x x 1;7 VT : 2 (7 x 4)( x x 3) (côsi ) VP Nghiệm 2 b) x 3 x x x x Nghiệm x 1; - 2 x 2 c) 1 4 ( x ) x x 1 PT ( x x ) ( ) 4 x x x x 15 x x 18 Bài Giải phương trình: x x 11 (1) x 3 x 3 1 Mà : x 3 Do đó ta có: 2 1 x 3 3 x 3 và 0 x 3 2 3 (1) 4 Bài Giải phương trình 13 x x x x 16 - 2 2 Bình phương vế ta : x (13 x x ) 256 Áp dụng bđt bunhia : - (13 x x ) ( 13 13 13x 3 3x ) 40(16 10 x ) x 2 VT x 40(16 10 x ) Áp dụng cosi VT VP Nghiệm BÀI : PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ I) Phương pháp lũy thừa Có ba dạng phương trình : (11) - - Dạng : f ( x) 0 f ( x) g ( x) g ( x) 0 f ( x) [g ( x)]2 Dạng : f ( x) 0 g ( x) f ( x) g ( x) g ( x ) 0 f ( x) [g ( x)]2 Dạng : A B C Bài Giải bất phương trình : - a) x x 15 x b) x x 8 x c) x2 2x x Kết : x [5;6] Kết : x [3;5] d) x 3x 10 x Bài Giải bất phương trình : 2 a) ( x 3) x x b) x x x ( A 2005) c) x 13 d) x x x (CD 2009) 2( x 16) x x 27 x x e) Bài Giải bất phương trình : a) b) c) 7 x ( A 2004) x 51 x x 1 1 x x x2 1 3x 1 2 x 3x x T ( ; Bài Giải bất phương trình : x x II) Phương pháp đặt ẩn phụ Bài Giải bất phương trình : a) x [2;10) x 10 x x x 2 b) x x x 10 x 15 c) ( x 3)(8 x) x 11x Bài Giải bất phương trình : 5 x 2x 4 x x a) 5 ) (1; ) (2; ) 2 x 3x x T ( ; 3) (1; ) (12) x x 1 2 3 x b) x Bài (B – 2012) Giải bất phương trình x x x 3 x t x t x [0; ] [4; ) x - Chia vế cho x và đặt Bài (Thử GL – 2013) Giải BPT : - Điều kiện : x 2 - Bình phương vế và rút gọn ta : x( x 2)( x 1) 2 x( x 2) 2( x 1) x( x 2) t x Nghiệm x [3 13; ) Chia vế cho ( x 1) và đặt Bài Giải bất phương trình - x2 x x 5x2 x x 14 x x x 20 5 x 2 Chuyển vế, bình phương và rút gọn ta x x 5 ( x x 20)( x 1) 2( x x 5) 3( x 4) 5 ( x 4)( x x 5) 2 x 25 x 19 a) - x2 4x x2 4x 5 x4 x4 x [ 61 ;8] x x 35 x 2 Chuyển vế, bình phương ta : 3( x x 14) 4( x 5) ( x x 14)( x 5) Nghiệm x Bài (Thi thử ĐT – 2012) Giải BPT x (3 x x 4) x 1 0 y 0 y x 1 y x - Điều kiện : x Đặt 2 - Bpt trở thành x (3x y ) y 0 - TH y 0 x Thỏa mãn BPT - TH y x Chia hai vế cho y ta - x x x t 0 y và giải BPT ta t 1 y y Đặt x x t 1 1 x x x 0 y x x 0 - x 1 x 0 x 1 1 x Kết hợp x ta - 1 1 1; 1 x Vậy tập nghiệm BPT là S = Cách : Có thể biến đổi BPT dạng tích 0,25 0,25 0,25 0,25 (13) x3 (3x x 4) x 0 x3 3x x 4( x 1) x 0 [x ( x 1) x 1] [3 x x 3( x 1) x 1] 0 - (x x 1)( x x 1) 0 3 Bài tập tương tự : x 3x ( x 2) x 0 (14) Phương pháp nhân liên hợp Bài Giải bất phương trình : a) x x x 8x2 1 2x b) Bài Giải bất phương trình : a) Giải phương trình : x - T [ Nghiệm 1 ;0) (0; ) 2 x x 14 x Nhẩm nghiệm x 5 ( x 5)( x 1) 3x x 1 BPT Trong ngoặc Nghiệm 1 x [ ;5) 3 b) Giải phương trình : x x 16 0 Nhẩm nghiệm x 15 ( x 2)[ + ] 0 x [ 2; ] ( 3x 2) 3x 5x - BPT (15)