Phuong phap toa do trong mat phang luyen thi THQG

Phân Tích: Trong các dữ kiện của bài toán, ta thấy điểm “có lợi” để khai thác nhất là B BBD và xB >0 Nếu tìm được NB hoặc MB thì sẽ tìm được B.. Biết đường thẳng.[r]

Tổng hợp các kiến thức cơ bản

Hệ thức lượng trong tam giác- đường tròn

Cho ABC vuông tại A, AH là đường cao

 BC 2  AB 2 AC 2 (định lí Pi–ta–go)

 AB 2  BC BH , AC 2 BC CH.

 ba.sinBa.cosCctanBccotC; ca.sinC a.cosBbtanC bcotC

Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định

 Từ M vẽ hai cát tuyến MAB, MCD

P M/(O) = MA MB MC MD MO 2 R 2

 Nếu M ở ngoài đường tròn, vẽ tiếp tuyến MT

C TRONG TAM GIÁC BẤT KÌ

Cho ABC có: – độ dài các cạnh: BC = a, CA = b, AB = c

– độ dài các đường trung tuyến vẽ từ các đỉnh A, B, C: m a , m b , m c – độ dài các đường cao vẽ từ các đỉnh A, B, C: h a , h b , h c

– bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác: R, r

– nửa chu vi tam giác: p

1 Định lí côsin a 2 b 2 c 2 2 cosbc A; b 2 c 2 a 2 2 cosca B; c 2 a 2 b 2 2ab.cosC

2 Định lí sin 2 sin sin sin a b c

2ah a  2bh b  2ch c = 1 1 1 sin sin sin

R = pr = p p( a p b p)(  )( c) (công thức Hê–rông)

Gi ải tam giác là tính các cạnh và các góc của tam giác khi biết một số yếu tố cho trước.

Phương trình đường thẳng

1 Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ u 0 đgl vectơ chỉ phương của đường thẳng  nếu giá của nó song song hoặc trùng với 

Nh ận xét:– Nếu u là một VTCP của  thì ku

(k  0) cũng là một VTCP của  – Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTCP

2 Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Vectơ n 0 đgl vectơ pháp tuyến của đường thẳng  nếu giá của nó vuông góc với 

Nh ận xét: – Nếu n là một VTPT của  thì kn

Một đường thẳng trong không gian được xác định hoàn toàn khi có một điểm và một vector chỉ phương (VTPT) Nếu vector chỉ phương là u và vector pháp tuyến là n của đường thẳng đó, thì u sẽ vuông góc với n Hơn nữa, điều này cũng áp dụng cho trường hợp khi k khác không.

3 Phương trình tham số của đường thẳng

Cho đường thẳng  đi qua M 0 (x y 0 ; 0 ) và có VTCP u ( ;u u 1 2 )

Phương trình tham số của : 0 1

– Gọi k là hệ số góc của  thì: + k = tan, với  = xAv ,  90 0

4 Phương trình chính tắc của đường thẳng

Cho đường thẳng  đi qua M 0 (x y 0 ; 0 ) và có VTCP u ( ;u u 1 2 )

Phương trình chính tắc của : 0 0

Chú ý: Trong trường hợp u 1 = 0 hoặc u 2 = 0 thì đường thẳng không có phương trình chính tắc

5 Phương trình tham số của đường thẳng

PT ax by  c 0 với a 2 b 2 0 đgl phương trình tổng quát của đường thẳng

Nh ận xét: – Nếu  có phương trình ax by  c 0 thì  có:

VTPT là n( ; )a b và VTCP u  ( b a; ) hoặc u( ;b a)

– Nếu  đi qua M 0 (x y 0 ; 0 ) và có VTPT n( ; )a b thì phương trình của  là: a x( x 0 )b y(  y 0 )0

Các trường hợp đặc biệt:

Các hệ số Phương trình đường thẳng  Tính chất đường thẳng  c = 0 ax by 0  đi qua gốc toạ độ O a = 0 by c 0  // Ox hoặc  Ox b = 0 ax c 0  // Oy hoặc  Oy

 đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b  0): Phương trình của : x y 1 a b  (phương tr ình đường thẳng theo đoạn chắn)

  đi qua điểm M 0 (x y 0 ; 0 ) và có hệ số góc k: Phương trình của :

0 ( 0) yy k xx (phương tr ình đường thẳng theo hệ số góc)

6 Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng 1: a x 1 b y 1 c 1 0 và 2: a x 2 b y 2 c 2 0

Toạ độ giao điểm của 1 và 2 là nghiệm của hệ phương trình: 1 1 1

 1 cắt 2  hệ (1) có một nghiệm  1 1

 1  2  hệ (1) có vô số nghiệm  1 1 1

7 Góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng 1: a x 1 b y 1 c 1 0 (có VTPT n 1 ( ; )a b 1 1

8 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

 Kho ảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho đường thẳng : ax by  c 0 và điểm M 0 (x y 0 ; 0 )

 V ị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng

Cho đường thẳng : ax by  c 0 và hai điểm M x( M ;y M ), N x( N ;y N ) 

– M, N nằm cùng phía đối với   (ax M by M c ax)( N by N c) 0

– M, N nằm khác phía đối với   (ax M by M c ax)( N by N c)0

 Phương tr ình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng 1: a x 1 b y 1 c 1 0 và 2: a x 2 b y 2 c 2 0cắt nhau

Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng 1 và 2 là:

Phương trình đường tròn

Phương trình đường tròn có tâm I(a; b) và bán kính R: (xa) 2 (yb) 2 R 2

Nh ận xét: Phương trình x 2 y 2 2ax2by c 0, với a 2 b 2  c 0, là phương trình đường tròn tâm I(–a; –b), bán kính R = a 2 b 2 c

2 Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Cho đường tròn (C) có tâm I, bán kính R và đường thẳng 

Phương trình đường Elip

2 Phương trình chính tắc của elip

 Toạ độ các tiêu điểm: F 1 (c;0), F c 2 ( ; 0)

 Với M(x; y)  (E), MF MF 1 , 2 đgl các bán kính qua tiêu điểm của M

 (E) nhận các trục toạ độ làm các trục đối xứng và gốc toạ độ làm tâm đối xứng

 Độ dài các trục: trục lớn: A A 1 2 2a, trục nhỏ: B B 1 2 2b

 Hình chữ nhật cơ sở: tạo bởi các đường thẳng x a y,  b (ngoại tiếp elip)

4 Đường chuẩn của elip (chương trình nâng cao)

 Phương trình các đường chuẩn i ứng với các tiêu điểm Fi là: a 0 x e 

Phương trình đường Hypebol

2 Phương trình chính tắc của hypebol

 Toạ độ các tiêu điểm: F 1 (c;0), F c 2 ( ; 0)

 Với M(x; y)  (H), MF MF 1 , 2 đgl các bán kính qua tiêu điểm của M

 (H) nhận các trục toạ độ làm các trục đối xứng và gốc toạ độ làm tâm đối xứng

 Độ dài các trục: trục thực: 2a, trục ảo: 2b

 Hình chữ nhật cơ sở: tạo bởi các đường thẳng x a y,  b

 Phương trình các đường tiệm cận: b y x

 Phương trình các đường chuẩn i ứng với các tiêu điểm Fi là: a 0 xe 

Phương trình đường Parabol

Cho điểm F và đường thẳng  không đi qua F

F: tiêu điểm, : đường chuẩn, pd F( , ) : tham số tiêu

2 Phương trình chính tắc của parabol y 2 2px (p > 0)

 Với M(x; y)  (P), bán kính qua tiêu điểm của M là

 (P) nằm về phía bên phải của trục tung

 (P) nhận trục hoành làm trục đối xứng

Những bài toán cơ bản

BÀI TOÁN 1: Lập phương trình đường thẳng

 Để lập phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng  ta cần xác định m ột điểm M 0 (x y 0 ; 0 ) và m ột VTCP u( ;u u 1 2 ) của 

 Để lập phương trình tổng quát của đường thẳng  ta cần xác định m ột điểm

M x y  và m ột VTPT n( ; )a b của  PTTQ của : a x( x 0 )b y( y 0 )0

 Một số bài toán thường gặp:

+  đi qua hai điểm A x( A ;y A ) , (B x B ;y B )(với x A  x B , y A  y B ):

+  đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b  0): PT của : x y 1 a b  +  đi qua điểm M 0 (x y 0 ; 0 ) và có hệ số góc k: PT của : yy 0 k x( x 0 )

Chú ý: Ta có thể chuyển đổi giữa các phương trình tham số, chính tắc, tổng quát của một đường thẳng

 Để tìm điểm M  đối xứng với điểm M qua đường thẳng d, ta có thể thực hiện như sau:

Cách 1: – Viết phương trình đường thẳng  qua M và vuông góc với d

– Xác định I = d  (I là hình chiếu của M trên d)

– Xác định M sao cho I là trung điểm của MM Cách 2: Gọi I là trung điểm của MM Khi đó:

M đối xứng của M qua d  MM u d

 Để vi ết phương tr ình đường thẳng d  đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng

 , ta có thể thực hiện như sau:

+ Lấy A  d Xác định A đối xứng với A qua  + Viết phương trình đường thẳng d qua A và song song với d

+ Lấy A  d (A  I) Xác định A đối xứng với A qua  + Viết phương trình đường thẳng d qua A và I

 Để vi ết phương tr ình đường thẳng d  đối xứng với đường thẳng d qua điểm I, ta có thể thực hiện như sau:

– Lấy A  d Xác định A đối xứng với A qua I

– Viết phương trình đường thẳng d qua A và song song với d

BÀI TOÁN 2: Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng  1 : a x 1 b y 1 c 1 0 và  2 : a x 2 b y 2 c 2 0

Toạ độ giao điểm của  1 và  2 là nghiệm của hệ phương trình:

 1 cắt  2  hệ (1) có một nghiệm  1 1

 1  2  hệ (1) có vô số nghiệm  1 1 1

2 2 2 a b c a b c (nếu a b c 2 , 2 , 2 0) Để chứng minh ba đường thẳng đồng qui, ta có thể thực hiện như sau:

– Tìm giao điểm của hai trong ba đường thẳng

– Chứng tỏ đường thẳng thứ ba đi qua giao điểm đó

BÀI TOÁN 3: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

1 Kho ảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho đường thẳng : ax by  c 0 và điểm M 0 (x y 0 ; 0 )

2 V ị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng

Cho đường thẳng : ax by  c 0 và hai điểm M x( M ;y M ), N x( N ;y N ) – M, N nằm cùng phía đối với  (ax M by M c ax)( N by N c) 0

– M, N nằm khác phía đối với  (ax M by M c ax)( N by N c)0

3 Phương tr ình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng  1 : a x 1 b y 1 c 1 0 và  2 : a x 2 b y 2 c 2 0cắt nhau

Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng  1 và  2 là:

Chú ý: Để lập phương trình đường phân giác trong hoặc ngoài của góc A trong tam giác ABC ta có thể thực hiện như sau:

– Tìm to ạ độ chân đường phân g iác trong ho ặc ngo ài (dựa vào tính chất đường phân giác của góc trong tam giác)

Cho ABC với đường phân giác trong AD và phân giác ngoài AE (D, E 

– Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

– Viết phương trình các đường phân giác d 1 , d 2 của các góc tạo bởi hai đường thẳng AB, AC

– Kiểm tra vị trí của hai điểm B, C đối với d 1 (hoặc d 2 )

+ Nếu B, C nằm khác phía đối với d 1 thì d 1 là đường phân giác trong

+ Nếu B, C nằm cùng phía đối với d 1 thì d 1 là đường phân giác ngoài

BÀI TOÁN 4: Góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng  1 : a x 1 b y 1 c 1 0 (có VTPT n 1 ( ; )a b 1 1

 Cho ABC Để tính góc A trong ABC, ta có thể sử dụng công thức: cos cos , 

Bài toán dựng tam giác liên quan đến việc xác định tọa độ các đỉnh hoặc phương trình các cạnh của tam giác dựa trên một số yếu tố đã cho Để giải quyết loại bài toán này, chúng ta thường áp dụng các phương pháp dựng tam giác hiệu quả.

Sau đây là một số dạng:

D ạng 1: Dựng tam giác ABC, khi biết các đường thẳng chứa cạnh BC và hai đường cao BB, CC

Cách dựng: – Xác định B = BC  BB, C = BC  CC

– Dựng AB qua B và vuông góc với CC – Dựng AC qua C và vuông góc với BB – Xác định A = AB  AC

D ạng 2: Dựng tam giác ABC, khi biết đỉnh A và hai đường thẳng chứa hai đường cao

Cách dựng: – Dựng AB qua A và vuông góc với CC

Để dựng tam giác ABC, ta bắt đầu bằng cách vẽ đường thẳng AC qua điểm A và vuông góc với đường thẳng BB Tiếp theo, xác định điểm B bằng giao điểm của đoạn thẳng AB và đường thẳng BB, và điểm C bằng giao điểm của đoạn thẳng AC và đường thẳng CC Cuối cùng, ta có thể xây dựng tam giác ABC khi đã biết đỉnh A và hai đường thẳng chứa hai đường trung tuyến BM và CN.

Cách dựng: – Xác định trọng tâm G = BM  CN

– Xác định A đối xứng với A qua G (suy ra BA // CN, CA // BM) – Dựng d B qua A và song song với CN

– Dựng d C qua A và song song với BM

– Xác định B = BM  d B , C = CN  d C D ạng 4: Dựng tam giác ABC, khi biết hai đường thẳng chứa hai cạnh AB, AC và trung điểm M của cạnh BC

Cách dựng: – Xác định A = AB  AC

– Dựng d 1 qua M và song song với AB

– Dựng d 2 qua M và song song với AC

– Xác định trung điểm I của AC: I = AC  d 1 – Xác định trung điểm J của AB: J = AB  d 2 – Xác định B, C sao cho JB AJ IC,  AI

Cách khác: Trên AB lấy điểm B, trên AC lấy điểm C sao cho MB MC

BÀI TOÁN 6: Xác định tâm và bán kính của đường tròn

 Nếu phương trình đường tròn (C) có dạng: (xa) 2 (yb) 2  R 2 thì (C) có tâm I(a; b) và bán kính R

 Nếu phương trình đường tròn (C) có dạng: x 2 y 2 2ax2by c 0

 a 2  b 2   c 0  thì – Biến đổi đưa về dạng (xa) 2 (yb) 2  R 2 hoặc – Tâm I(–a; –b), bán kính R = a 2 b 2 c

Để lập phương trình đường tròn (C), cần xác định tâm I (a; b) và bán kính R Phương trình đường tròn sẽ có dạng: (x - a)² + (y - b)² = R².

D ạng 1: (C) có tâm I và đi qua điểm A

D ạng 2: (C) có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng 

– Bán kính R = d I( , ) D ạng 3: (C) có đường kính AB

– Tâm I là trung điểm của AB

D ạng 4: (C) đi qua hai điểm A, B và có tâm I nằm trên đường thẳng 

– Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB

– Xác định tâm I là giao điểm của d và  – Bán kính R = IA

D ạng 5: (C) đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng 

– Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB

D ạng 6: (C) đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng  tại điểm B

– Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB

– Viết phương trình đường thẳng  đi qua B và vuông góc với  – Xác định tâm I là giao điểm của d và 

D ạng 7: (C) đi qua điểm A và tiếp xúc với hai đường thẳng  1 và  2

Chú ý: – Muốn bỏ dấu GTTĐ trong (1), ta xét dấu miền mặt phẳng định bởi

 1 và  2 hay xét dấu khoảng cách đại số từ A đến  1 và  2

2d   , và (2) được thay thế bới IA = R D ạng 8: (C) tiếp xúc với hai đường thẳng  1 ,  2 và có tâm nằm trên đường thẳng d

– Bán kính R = d I( , 1 ) D ạng 9: (C) đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C (đường tròn ngoại tiếp tam giác)

Cách 1: – Phương trình của (C) có dạng: x 2  y 2 2ax2by c 0 (*)

– Lần lượt thay toạ độ của A, B, C vào (*) ta được hệ phương trình

– Giải hệ phương trình này ta tìm được a, b, c  phương trình của (C)

Cách 2: – Tâm I của (C) thoả mãn: IA IB

– Bán kính R = IA = IB = IC

D ạng 10: (C) nội tiếp tam giác ABC

– Viết phương trình của hai đường phân giác trong của hai góc trong tam giác

– Xác định tâm I là giao điểm của hai đường phân giác trên

BÀI TOÁN 8: Vị trí tương đối của đường thẳng d và đường tròn (C) Để biện luận số giao điểm của đường thẳng d: AxByC0 và đường tròn (C):

2 2 0 x  y  ax by c , ta có thể thực hiện như sau:

 Cách 1: So sánh khoảng cách từ tâm I đến d với bán kính R

– Xác định tâm I và bán kính R của (C)

– Tính khoảng cách từ I đến d

+ d I d( , )R  d cắt (C) tại hai điểm phân biệt

+ d I d( , ) R  d và (C) không có điểm chung

 Cách 2: Toạ độ giao điểm (nếu có) của d và (C) là nghiệm của hệ phương trình:

+ Hệ (*) có 2 nghiệm  d cắt (C) tại hai điểm phân biệt

+ Hệ (*) có 1 nghiệm  d tiếp xúc với (C)

+ Hệ (*) vô nghiệm  d và (C) không có điểm chung

BÀI TOÁN 9: Vị trí tương đối của hai đường tròn (C1) và (C2) Để biện luận số giao điểm của hai đường tròn

(C 1 ): x 2 y 2 2a x 1 2b y 1 c 1 0, (C 2 ): x 2 y 2 2a x 2 2b y 2 c 2 0 ta có thể thực hiện như sau:

 Cách 1: So sánh độ dài đoạn nối tâm I 1 I 2 với các bán kính R 1 , R 2

 Cách 2: Toạ độ các giao điểm (nếu có) của (C 1 ) và (C 2 ) là nghiệm của hệ phương trình:

+ Hệ (*) có hai nghiệm  (C 1 ) cắt (C 2 ) tại 2 điểm

+ Hệ (*) có một nghiệm  (C 1 ) tiếp xúc với (C 2 )

+ Hệ (*) vô nghiệm  (C 1 ) và (C 2 ) không có điểm chung

BÀI TOÁN 10: Tiếp tuyến của đường tròn (C)

Cho đường tròn (C) có tâm I, bán kính R và đường thẳng 

 D ạng 1: Tiếp tuyến tại một điểm M 0 (x y 0 ; 0 ) (C)

–  đi qua M 0 (x y 0 ; 0 ) và có VTPT IM 0

 D ạng 2: Tiếp tuyến có phương cho trước

– Viết phương trình của  có phương cho trước (phương trình chứa tham số t) – Dựa vào điều kiện: d I( , )  R, ta tìm được t Từ đó suy ra phương trình của 

 D ạng 3: Tiếp tuyến vẽ từ một điểm A x( A ;y A )ở ngoài đường tròn (C)

– Viết phương trình của  đi qua A (chứa 2 tham số)

– Dựa vào điều kiện: d I( , )  R,ta tìm được các tham số.Từ đó suy ra pt của 

BÀI TOÁN 11: Xác định các yếu tố của (E) Đưa phương trình của (E) về dạng chính tắc:

Các yếu tố: – Độ dài trục lớn 2a, trục nhỏ 2b

– Toạ độ các tiêu điểm F 1 (c;0), F c 2 ( ; 0) – Toạ độ các đỉnh A 1 (a; 0), A a 2 ( ;0),B 1 (0;b), B 2 (0; )b – Tâm sai c e a – Phương trình các đường chuẩn a 0 xe 

Để lập phương trình chính tắc của elip (E), trước tiên cần xác định độ dài các nửa trục a và b Công thức tính toán các yếu tố của elip sẽ hỗ trợ trong việc này.

BÀI TOÁN 13: Tìm điểm trên (E) thoả mãn điều kiện cho trước

Chú ý các công thức xác định độ dài bán kính qua tiêu điểm của điểm M(x; y)  (E):

BÀI TOÁN 14: Xác định các yếu tố của (H) Đưa phương trình của (H) về dạng chính tắc:

Các yếu tố: – Độ dài trục thực 2a, trục ảo 2b

– Toạ độ các tiêu điểm F 1 (c;0), F c 2 ( ; 0) – Toạ độ các đỉnh A 1 (a; 0), A a 2 ( ; 0) – Tâm sai c e a – Phương trình các đường tiệm cận: b y x

 a – Phương trình các đường chuẩn a 0 x e 

BÀI TOÁN 15: Lập phương trình chính tắc của (H) Để lập phương trình chính tắc của (H) ta cần xác định độ dài các nửa trục a, b của (H)

Chú ý: Công thức xác định các yếu tố của (H):

BÀI TOÁN 16: Tìm điểm trên (H) thoả mãn điều kiện cho trước

Chú ý:  Các công thức xác định độ dài bán kính qua tiêu điểm của điểm M(x; y)  (H):

 Nếu M thuộc nhánh phải thì x  a

 Nếu M thuộc nhánh trái thì x  – a

BÀI TOÁN 17: Xác định các yếu tố của (P) Đưa phương trình của (P) về dạng chính tắc: y 2 2px Xác định tham số tiêu p

Các yếu tố: – Toạ độ tiêu điểm ;0

BÀI TOÁN 18: Lập phương trình chính tắc của (P) Để lập phương trình chính tắc của (P) ta cần xác định tham s ố ti êu p của (P)

Chú ý: Công thức xác định các yếu tố của (P):

BÀI TOÁN 19: Tìm điểm trên (P) thoả mãn điều kiện cho trước

Chú ý: Công thức xác định độ dài bán kính qua tiêu điểm của điểm M(x; y)  (P):

BÀI TOÁN 20: Tập hợp điểm

Để xác định tập hợp các tâm I của đường tròn (C), trước tiên cần tìm giá trị của m để tâm I tồn tại Sau đó, tiến hành xác định tọa độ của tâm I Giả sử tâm I có tọa độ ( ).

Khử m giữa x và y cho ra phương trình F(x; y) = 0 Dựa vào điều kiện của m, ta xác định giới hạn miền của x hoặc y Kết luận, phương trình tập hợp điểm được biểu diễn là F(x; y) = 0, kèm theo phần giới hạn đã nêu.

2 T ập hợp điểm là đường tr òn

Thực hiện tương tự như trên

3 T ập hợp điểm l à Elip Để tìm tập hợp các điểm M(x; y) thoả điều kiện cho trước, ta đưa về một trong các dạng:

D ạng 1: MF 1 MF 2 2a  Tập hợp là elip (E) có hai tiêu điểm F 1 , F 2 , trục lớn 2a D ạng 2:

2 2 1 x y a  b  (a > b)  Tập hợp là elip (E) có độ dài trục lớn 2a, trục nhỏ 2b

D ạng 1: MF 1 MF 2 2a  Tập hợp là hypebol (H) có hai tiêu điểm F 1 , F 2 , trục thực 2a

2 2 1 x y a  b   Tập hợp là hypebol (H) có độ dài trục thực 2a, trục ảo 2b

D ạng 1: MF d M( , )  Tập hợp là (P) có tiêu điểm F

D ạng 2: y 2 2px  Tập hợp là (P) có tiêu điểm ;0

Bài 1 Lập PTTS, PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và có VTCP u

Bài 2 Lập PTTS, PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và có VTPT n

Bài 3 Lập PTTS, PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và có hsg k: a) M(–3; 1), k = –2 b) M(–3; 4), k = 3 c) M(5; 2), k = 1

Bài 4 Lập PTTS, PTTQ của các đường thẳng đi qua hai điểm A, B: a) A(–2; 4), B(1; 0) b) A(5; 3), B(–2; –7) c) A(3; 5), B(3; 8)

Bài 5 Viết PTTS, PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và song song với đường thẳng d: a) M(2; 3), d: 4x10y 1 0 b) M(–1; 2), d  Ox c) M(4; 3), d  Oy d) M(2; –3), d: 1 2

Bài 6 Viết PTTS, PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d: a) M(2; 3), d: 4x10y 1 0 b) M(–1; 2), d  Ox c) M(4; 3), d  Oy d) M(2; –3), d: 1 2

Bài 7 Cho tam giác ABC Viết phương trình các cạnh, các đường trung tuyến, các đường cao của tam giác với: a) A(2; 0), B(2; –3), C(0; –1) b) A(1; 4), B(3; –1), C(6; 2) c) A(–1; –1), B(1; 9), C(9; 1) d) A(4; –1), B(–3; 2), C(1; 6)

Bài 8 Cho tam giác ABC, biết phương trình ba cạnh của tam giác Viết phương trình các đường cao của tam giác, với:AB: 2x3y 1 0, BC x: 3y70,CA: 5x2y 1 0

Bài 9 Viết phương trình các cạnh và các trung trực của tam giác ABC biết trung điểm của các cạnh BC, CA, AB lần lượt là các điểm M, N, P, với: a) M(–1; –1), N(1; 9), P(9; 1) b) 3 5 5 7

Bài 10 Tìm hình chiếu của điểm M lên đường thẳng d và điểm M đối xứng với M qua đường thẳng d với: a) M(2; 1), d: 2x y 3 0 b) M(3; – 1),

Bài 11 Lập phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng , với: a) d: 2xy 1 0, : 3x4y 2 0 b) d x: 2y40,: 2xy 2 0

Bài 12 Lập phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng d qua điểm I, với: a) d: 2xy 1 0, (2;1)I b) d x: 2y40, ( 3;0)I 

Bài 13 Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d, với: a) M(4; 5), d: 3x4y 8 0 b) M(3;5),d x: y 1 0 c) 2

Bài 14 a) Cho đường thẳng : 2x - y + 3 = 0, tính bán kính của đường tròn tâm I(-5; 3) và tiếp xúc với đường thẳng này b) Hình chữ nhật ABCD có hai cạnh với phương trình: 2x - 3y + 5 = 0 và 3x + 2y - 7 = 0, với đỉnh A(2; -3), yêu cầu tính diện tích của hình chữ nhật c) Tính diện tích hình vuông có bốn đỉnh nằm trên hai đường thẳng song song.

Bài 15 Cho tam giác ABC Tính diện tích tam giác ABC, với: a) A(–1; –1), B(2; –4), C(4; 3) b) A(–2; 14), B(4; –2), C(5; –4)

Bài 16 Viết phương trình đường thẳng d song song và cách đường thẳng  một khoảng k, với: a) : 2x y 3 0, k  5 b) 3

Bài 17 Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng  và cách điểm A một khoảng bằng k, với: a) : 3x4y120, A(2;3), k 2 b) :x4y 2 0, A( 2;3), k3 c) : y 3 0, A(3; 5), k 5 d) :x 2 0, A(3;1), k 4

Bài 18 Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cách B một khoảng bằng d, với: a) A(–1; 2), B(3; 5), d = 3 b) A(–1; 3), B(4; 2), d = 5 c) A(5; 1), B(2; –3), d = 5 d) A(3; 0), B(0; 4), d = 4

Bài 19 Tính góc giữa hai đường thẳng: a) x2y 1 0, x3y110 b) 2x  y 5 0, 3xy 6 0 c) 3x7y260, 2x5y130 d) 3x4y 5 0, 4x3y110

Bài 20 Tính số đo của các góc trong tam giác ABC, với: a) A(–3; –5), B(4; –6), C(3; 1) b) A(1; 2), B(5; 2), C(1; –3) c) AB: 2x3y210, BC: 2x3y 9 0, CA: 3x2y 6 0 d) AB: 4x3y120, BC: 3x4y240, CA: 3x4y 6 0

Bài 21 Cho hai đường thẳng d và  Tìm m để góc giữa hai đường thẳng đó bằng , với: a) d: 2mx(m3)y4m 1 0,: (m1)x(m2)ym 2 0, 45 0 b) d: (m3)x(m1)ym 3 0, : (m2)x(m1)ym 1 0, 90 0

Bài 22 Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và tạo với đường thẳng  một góc

Bài 23 Cho hình vuông ABCD có tâm I(4; –1) và phương trình một cạnh là 3xy 5 0 a) Viết phương trình hai đường chéo của hình vuông b) Tìm toạ độ 4 đỉnh của hình vuông

Bài 24 Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình đường tròn Tìm tâm và bán kính của đường tròn đó: a) x 2  y 2 2x2y 2 0 b) x 2  y 2 6x4y120 c) x 2  y 2 2x8y 1 0 d) x 2  y 2 6x 5 0 e) 16x 2 16y 2 16x8y11 f) 7x 2 7y 2 4x6y 1 0 g) 2x 2 2y 2 4x12y110 h) 4x 2 4y 2 4x5y100

Bài 25 Tìm m để các phương trình sau là phương trình đường tròn: a) x 2  y 2 4mx2my2m 3 0 b) x 2  y 2 2(m1)x2my3m 2  2 0

Bài 26 Viết phương trình đường tròn có tâm I và đi qua điểm A, với: a) I(2; 4), A(–1; 3) b) I(–3; 2), A(1; –1) c) I(–1; 0), A(3; –11) d) I(1; 2), A(5;

Bài 27 Viết phương trình đường tròn có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng , với: a) I(3; 4), : 4x3y150 b) I(2;3), : 5x12y 7 0 c) I( 3; 2),  Ox d) I( 3; 5),   Oy

Bài 28 Viết phương trình đường tròn có đường kính AB, với: a) A(–2; 3), B(6; 5) b) A(0; 1), C(5; 1) c) A(–3; 4), B(7; 2) d) A(5; 2), B(3; 6)

Bài 29 Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và có tâm I nằm trên đường thẳng , với: a) A(2;3), B( 1;1), :x3y110 b) A(0; 4), B(2; 6), :x2y 5 0

Bài 30 Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng , với: a) A(1; 2),B(3; 4), : 3xy 3 0 b) A(6;3), B(3; 2), :x2y 2 0 c) A( 1; 2),  B(2;1), : 2x y20 d) A(2;0), B(4; 2),  Oy

Bài 31 Viết phương trình đường tròn đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng  tại điểm

Bài 32 Viết phương trình đường tròn đi qua điểm A và tiếp xúc với hai đường thẳng 1 và

Bài 33 Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng 1, 2 và có tâm nằm trên đường thẳng d, với: a)  1 : 3x2y 3 0,  2 : 2x3y150,d x:  y0 b)  1 :xy40,  2 : 7xy40,d: 4x3y 2 0

Bài 34 Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, với: a) A(2; 0), B(0; –3), C(5; –3) b) A(5; 3), B(6; 2), C(3; –1) c) A(1; 2), B(3; 1), C(–3; –1) d) A(–1; –7), B(–4; –3), C  O(0; 0)

Bài 35 Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC, với: a) A(2; 6), B(–3; –4), C(5; 0) b) A(2; 0), B(0; –3), C(5; –3) c) AB: 2x3y210, BC: 3x2y 6 0,CA: 2x3y 9 0

Bài 36 yêu cầu tìm phương trình các tiếp tuyến của đường tròn (C) và đường thẳng d Đầu tiên, cần viết phương trình các tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm với các trục tọa độ Thứ hai, xác định phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng d Cuối cùng, cần viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với d Ví dụ, với (C) có phương trình x² + y² - 6x - 2y = 5 và d: 2x - y + 3 = 0, hoặc với (C) có phương trình x² + y² - 4x - 6y = 0 và d: 2x - 3y + 1 = 0.

Bài 37 yêu cầu chứng minh rằng điểm A nằm ngoài đường tròn (C) và viết các phương trình tiếp tuyến từ điểm A cũng như các tiếp tuyến vuông góc và song song với đường thẳng d Cụ thể, với đường tròn (C) có phương trình x² + y² - 4x - 6y - 12 = 0 và điểm A(7;7), cùng với đường thẳng d: 3x + 4y - 6 = 0, cần xác định phương trình tiếp tuyến từ A, tiếp tuyến vuông góc với d, và tiếp tuyến song song với d Tương tự, với đường tròn (C) có phương trình x² + y² + 4x - 8y + 10 = 0 và điểm A(2;2), cùng với đường thẳng d: x + 2y - 6 = 0, cũng cần thực hiện các bước tương tự để tìm các phương trình tiếp tuyến.

Các bài toán trọng điểm trong mặt phẳng Oxy

BÀI TOÁN 1 Tìm M thuộc đường thẳng d đã biết phương trình và cách điểm I một khoảng cho trước (IM=R không đổi)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm I  5; 2  và đường thẳng Δ: 2x  y 3 0 Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng Δ sao cho MI  5

Cách 2: MI  5→ M thuộc đường tròn tâm I bán kính R=5  M là giao điểm của đường thẳng và đường tròn → M

Bài toán 1.1 yêu cầu xác định độ dài đoạn IM khi điểm M thuộc đường thẳng  và điểm I đã cho Mặc dù độ dài đoạn IM không được cung cấp, chúng ta cần sử dụng các dữ kiện có sẵn trong bài toán để tính toán độ dài này.

Ví dụ 1 (D – 2006): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn

  C : x 2  y 2  2 x  2 y   1 0 và đường thẳng d x:   y 3 0 Tìm tọa độ điểm M nằm trên d sao cho đường tròn tâm M , có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn   C , tiếp xúc ngoài với đường tròn   C

HD: Điểm M thuộc đường thẳng d  M t   Từ (C)  tâm I và bán kính R ta có IM=3R  M ĐS: M  1; 4  hoặc M   2;1 

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng Δ với phương trình x + y = 2 và đường tròn C có phương trình x² + y² - 4x - 2y = 0 Gọi I là tâm của đường tròn C, M là điểm thuộc đường thẳng Δ Từ điểm M, kẻ các tiếp tuyến MA và MB đến đường tròn C, với A và B là các tiếp điểm Cần tìm tọa độ điểm M sao cho tứ giác MAIB có diện tích bằng 10.

Hướng dẫn: Từ (C)  tâm I và bán kính R Từ tứ giác

MAIB có diện tích bằng 10  diện tích tam giác MBI Có

BI  MB, mà M t    M ĐS: M  2; 4   hoặc M   3;1 

Ví dụ 3 (B – 2002): Cho hình chữ nhật BC có tâm 1; 0

I , phương trình đường thẳng AB là x2y 2 0 và AB  2 AD Tìm tọa độ các điểm A B C D, , , biết rằng A có hoành độ âm

Hướng dẫn: B thuộc đường thẳng AB 

B t và I là trung điểm BD D t  

Cách 2: AD-(I,AB)=2IH Tính được IA=IB, từ đó  A, B là giao điểm của đường thẳng AB và đường tròn tâm I, bán kính R=IA ĐS: A   2; 0 , B 2; 2 , C 3; 0 , D         1; 2 

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A với tọa độ A (-1; 4) và các đỉnh B, C nằm trên đường thẳng Δ có phương trình y = -4x Cần xác định tọa độ các đỉnh B và C, với điều kiện diện tích của tam giác ABC là 18.

Hướng dẫn: Từ diện tích tam giác ABC  BC  AB  AC Ta có B, C là giao điểm của đường thẳng với đường tròn tâm A bán kính AB ĐS: B 3; 5 , C 11 3;

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD với đường chéo BD nằm trên đường thẳng có phương trình x + y - 3 = 0 Điểm M (-1; 2) thuộc đường thẳng AB và điểm N (2; 2) thuộc đường thẳng AD Cần xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD, với điều kiện điểm B có hoành độ dương.

Phân Tích: Trong các dữ kiện của bài toán, ta thấy điểm “có lợi” để khai thác nhất là B (BBD và x B

>0) Nếu tìm được NB hoặc MB thì sẽ tìm được B

 Ta đi tính MH=d(M,BD) để tìm B (vì  MHB vuông cân tại H) Từ đó A(2;2); B(1;2); C(1;1),

Ví dụ 6 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vuông tại A và D , có

Trong bài toán hình học này, cho đoạn thẳng AB AD CD với điểm B có tọa độ (1; 2) và đường thẳng BD có phương trình y = 2 Đường thẳng Δ với phương trình 7 - 25 = 0 cắt các đoạn thẳng AD và CD tại hai điểm M và N, với điều kiện BM vuông góc với BC và tia BN là tia phân giác trong của góc MBC Nhiệm vụ là tìm tọa độ điểm D, trong đó D có hoành độ dương.

Phân tích bài toán cho thấy D thuộc BD, do đó nếu xác định được DB, chúng ta sẽ tìm ra B Với việc đã biết phương trình của tam giác Δ, ta cần tính khoảng cách d(B, Δ) và khám phá mối liên hệ giữa đại lượng này với BD.

Với giả thiết còn lại và bằng phương pháp hình học thuần túy ta có thể chứng minh BH=d(B,CD)=d(B,) Từ đó ta tính được độ dài BD

Ví dụ 7 (A, A1 – 2012 – CB): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD Gọi

M là trung điểm của cạnh BC N, là điểm trên cạnh CD sao cho CN  2 ND Giả sử

M và AN có phương trình 2x  y 3 0 Tìm tọa độ điểm A

Phân Tích: A  AN Điểm M biết tọa độ nên nếu tính được AM thì sẽ tìm được A.Ta gắn AM vào AMH vuông tại H với

AH=d(M,AN) Ta chỉ cần tìm thêm một yếu tố về cạnh hoặc góc của

Trong tam giác AMH, các cạnh và góc A có mối liên hệ với cạnh và góc của hình vuông Để tính giá trị cot A, ta sử dụng công thức cot A = tan(∠DAN + ∠BAM) hoặc cos A (theo định nghĩa của cosin).

Ví dụ 8 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng Δ 1 : 3xy 5 0,

2: 2  3 0 Δ x y và đường tròn   C : x 2  y 2  6 x  10 y   9 0 Gọi M là một điểm thuộc đường tròn   C và   N là điểm thuộc đường thẳng Δ 1 sao cho M và N đối xứng với nhau qua Δ 2 Tìm tọa độ điểm N

Phân Tích: Điểm N 1 đã biết pt, ta cần tìm thêm một yếu tố liên quan đến N Để ý đến các điểm đã biết trong giả thiết, đường tròn

Để tìm điểm N từ điểm C có tọa độ I(3;-5), chúng ta cần xác định NI, nhưng quá trình này khá phức tạp Thay vào đó, chúng ta sẽ tìm một điểm khác giúp tính khoảng cách đến N một cách đơn giản hơn Bài toán này có yếu tố đối xứng, điều này có thể hỗ trợ trong việc tìm ra giải pháp.

(M,N đối xứng qua  2 ), điều đó gợi cho ta nghĩ đến điểm I’ đối xứng với I qua  2 và điểm này hoàn toàn xác định, từ đó ta có NI’=MI=R=5

Ví dụ 9 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A  1;  3  có góc

Trong tam giác ABC có góc A = 30 độ, đường thẳng Δ với phương trình x - y + 2 = 0 là tiếp tuyến tại điểm B của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Cần xác định tọa độ điểm B, trong đó hoành độ của B là một số hữu tỉ.

Phân tích cho thấy rằng điểm B nằm trong tam giác Δ và A đã biết tọa độ Bằng cách tính độ dài đoạn AB, chúng ta có thể xác định tọa độ của điểm B Khi xác định được điểm B, chúng ta có thể viết phương trình cho các đoạn BC và AC, từ đó tìm ra tọa độ của điểm C.

Ví dụ 10 Cho hình thoi ABCD , ngoại tiếp đường tròn   C : x 2  y 2  2 x  2 y  18  0 Biết

AC BD , điểm B có hoành độ dương và thuộc đường thẳng Δ: 2x  y 5 0 Viết phương trình cạnh A B,

Phân Tích: Ở đây, B thuộc  và I là tâm đường tròn (C)đã biết tọa độ,do đó nếu tính được độ dài BI ta sẽ tìm được B

Khi đã tìm được B, ta chuyển về bài toán viết phương trình đường thẳng AB đi qua điểm B và cách I một khoảng bằng R

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, có hình chữ nhật ABCD với các điểm E và F nằm trên các đoạn AB và AD Điểm E cách điểm B một khoảng gấp đôi điểm A, trong khi điểm F cách điểm D một khoảng gấp ba lần Điểm F có tọa độ (2;1) và tam giác CEF vuông tại F Đường thẳng x - 3y - 9 = 0 đi qua hai điểm C và E Nhiệm vụ là tìm tọa độ điểm C với điều kiện hoành độ của C là dương.

Phân Tích: C  CE đã biết phương trình và F đã biết tọa độ.điều đó gợi ý cho ta đi tính độ dài CF

Với dữ kiện EB.A, FA?D và CEF vuông tại

Trong bài toán này, ta sẽ xác định mối liên hệ giữa hai cạnh của hình chữ nhật Tuy nhiên, để hoàn thiện, chúng ta cần một dữ kiện định lượng Do đó, việc tính toán khoảng cách d(F,CE) sẽ trở thành yếu tố ẩn cần thiết Thông số này sẽ hỗ trợ chúng ta trong việc tính toán độ dài CF.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hình thang ABCD vuông tại các điểm A và D, với đáy lớn CD và góc BCD bằng 45 độ Các đường thẳng AD và BD có phương trình lần lượt là 3x - y = 0.

  x y Viết phương trình đường thẳng BC biết diện tích hình thang bằng 15 và điểm

Để phân tích bài toán, ta có B thuộc BD và y B > 0, từ đó có thể tìm B trước Với S ABCD phụ thuộc vào AB, AD và CD, ta nhận thấy rằng S ABCD chứa ba ẩn số Để giảm số ẩn, cần tìm mối liên hệ giữa AB, AD và CD, khai thác dữ liệu cụ thể từ bài toán Dữ kiện cho biết BCD = 45 độ và AD, BD đã biết phương trình, do đó ta tính góc giữa AD và BD Từ đó, các tam giác ABD và BCD sẽ vuông cân, cho phép biểu diễn AD và BD theo AB Khi tìm được B, ta có thể xác định phương trình BC vì BC vuông góc với BD.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hình thang cân ABCD có hai đường chéo vuông góc, với AD = 3BC Đường thẳng BD có phương trình x + 2y - 6 = 0, và tam giác ABD có trực tâm tại H(-3; 2) Cần tìm tọa độ các đỉnh C và D của hình thang này.