Dao động là một hiện tượng có thể tránh được trong động lực học của xe. Chúng ta xem xét cácnguyên tắc dao động, phương pháp phân tích và ứng dụng của chúng, cùng với đáp ứng tần số vàthời gian của các hệ thống. Đặc biệt chú ý đến phân tích đáp ứng tần số, bởi vì hầu hết các phươngpháp tối ưu hóa cho hệ thống treo của xe và các bộ phận dao động trên xe đều dựa trên đáp ứngtần số
PHẦN TỬ DAO ĐỘNG
- Dao động cơ học là kết quả của sự biến đổi liên tục động năng K thành thế năng V và ngược lại
Khi thế năng ở mức tối đa, động năng bằng 0 và khi động năng ở mức tối đa ,thế năng bằng 0
Hình 7.1.Khối lượng, lò xo, giảm chấn
Khối lượng chính phần tử dao động lưu trữ thế năng, trong khi lò xo chính là phần tử lưu trữ động năng Khi tổng năng lượng cơ học E = K + V giảm trong quá trình dao động, sẽ xuất hiện bộ phận giảm chấn để tiêu tán một phần năng lượng.
Lượng động năng được lưu trữ trong một khối lượng m tỷ lệ với bình phương vận tốc của nó,ν
2𝑚𝑣 2 (7.1) Lực cần thiết để di chuyển một khối lượng tỷ lệ thuận với gia tốc của nó
Một lò xo được đặc trưng bởi độ cứng 𝑘 fk =-kz=-k( x- y) (7.3)
Nếu 𝑘 không đổi thì giá trị của năng lượng thế năng được lưu trữ trong lò xo bằng:
Thế năng của lò xo được xác định bằng công thức 𝑉 = − ∫ 𝑓𝑘𝑑𝑧, trong đó 𝑓𝑘 đại diện cho lực đàn hồi của lò xo Khi độ cứng của lò xo không thay đổi, lò xo được gọi là lò xo tuyến tính, và thế năng của nó có thể được tính toán một cách đơn giản.
Giá trị của phần tử giảm chấn được đo bằng lượng năng lượng mất đi trong một chu kỳ:
Dao động x được mô tả bằng chu kỳ T, trong đó thời gian để hoàn thành một chu kỳ dao động bắt đầu và kết thúc tại ν = 0, a < 0 Tần số f thể hiện số lần dao động trong một chu kỳ T, được tính bằng công thức f = 1/T.
𝑇 (7.7) Mối quan hệ giữa tần số góc và tần số dài: ω = 2πƒ (7.8)
Hình 7.2 Hệ 3 lò xo mắc nối tiếp
Chuyển vị của hệ lò xo mắc nối tiếp được tính như sau: x = ∑ x i x = x 1 + x 2 + x 3 (7.9)
Chúng ta có thể thay thế hệ lò xo nối tiếp bằng một lò xo tương đương với độ cứng 𝑘𝑒𝑞, giúp tạo ra cùng một độ dịch chuyển 𝑥 khi chịu tác động của lực 𝑓𝑘.
𝑓 𝑘 = −𝑘 1 𝑥 1 = −𝑘 2 𝑥 2 = −𝑘 3 𝑥 3 = −𝑘 𝑒𝑞 𝑥 𝑥 (7.10) Giả sử rằng vận tốc 𝑥̇ không ảnh hưởng đến lực của lò xo tuyến tính
Bộ giảm chấn nối tiếp có cùng lực tác dụng 𝑓𝑐 và vận tốc kết quả 𝑥̇ bằng tổng vận tốc riêng, 𝑥̇
= ∑ 𝑥̇𝑖 Chúng ta có thể thay thế một bộ giảm chấn nối tiếp chỉ bằng một giảm chấn tương đương
𝑐𝑒𝑞 tạo ra cùng vận tốc 𝑥̇ dưới cùng một lực ƒc
Hình 7.3.Hệ 3 lò xo mắc song song
Lò xo song song có cùng độ dịch chuyển 𝑥, với một lực tổng hợp 𝑓𝑘, bằng tổng các lực riêng ∑
𝑥𝑖 Hình 7.3 minh họa ba lò xo được mắc song song
Vị trí cân bằng của lò xo không có lực kéo tác động Khi áp dụng chuyển vị 𝑥 cho các lò xo, sơ đồ lực được hình thành cho thấy mỗi lò xo tạo ra một lực −𝑘𝑥 ngược lại với hướng dịch chuyển Do đó, lực tổng hợp của lò xo được xác định.
𝑓 𝑘 = −𝑘 1 𝑥 1 − 𝑘 2 𝑥 2 − 𝑘 3 𝑥 3 = −𝑘 𝑒𝑞 𝑥 𝑥 (7.12) Suy ra ta có công thức khác khi ta thay thế 1 lò xo khác có độ cứng keq:
Do đó, độ cứng tương đương của lò xo song song là tổng độ cứng của các lò xo thành phần
Hệ giảm chấn song song hoạt động với cùng tốc độ 𝑥̇ và lực 𝑓𝑐, được xác định là tổng các lực thành phần Chúng ta có thể thay thế hệ thống này bằng một giảm chấn tương đương 𝑐𝑒𝑞, giúp tạo ra lực 𝑓𝑐 tương tự dưới cùng một vận tốc Hình 7.4 minh họa rõ ràng cho cấu trúc của hệ giảm chấn song song Cân bằng lực và hệ số giảm chấn tương đương là những yếu tố quan trọng cần xem xét.
Hình 7.4 Mô hình giảm chấn mắc song song
PHƯƠNG PHÁP NEWTON
Hệ dao động bao gồm một phần tử treo m i, bộ phận đàn hồi k i và bộ phận giảm chấn c i, được gọi là mô hình dao động 1 bậc tự do Mô hình này được thể hiện trong hình 7.5 và có phương trình chuyển động đặc trưng.
Để áp dụng phương pháp Newton trong việc tìm các phương trình chuyển động cho hệ dao động, chúng ta giả định rằng tất cả các khối lượng mi đều nằm ngoài trạng thái cân bằng tại các vị trí 𝑥𝑖 với vận tốc vi Hệ dao động được mô tả bởi phương trình ma = −cv − kx + f(x, v, t).
Vị trí cân bằng của hệ dao động là vị trí có mà thế năng của hệ thống V là cực trị
Chúng ta thường đặt V = 0 ở vị trí cân bằng Độ cứng không đổi Trạng thái cân bằng ổn định nếu:
Và không ổn định nếu:
Các hệ thống dao động có thể được phân loại dựa trên sự sắp xếp và số lượng các yếu tố sử dụng Tổng số bậc tự do (DOF) của hệ thống dao động n được tính bằng cách nhân số lượng khối lượng với DOF của mỗi khối lượng Cuối cùng, chúng ta sẽ có n phương trình vi phân bậc hai để giải quyết.
Hệ thống tọa độ tổng quát có 10 n tọa độ, trong đó mỗi khối có một bậc tự do (DOF), dẫn đến số lượng DOF tương ứng với số lượng khối DOF cũng được định nghĩa là số lượng tọa độ độc lập tối thiểu cần thiết để xác định cấu trúc của một hệ thống.
Mô hình một, hai và ba DOF để phân tích dao động dọc của xe được trình bày trong Hình 7.5(a)-(c) Hệ thống trong Hình 7.5(a) được gọi là mô hình xe, trong đó 𝑚𝑠 đại diện cho một phần tư khối lượng thân xe và 𝑚𝑢 đại diện cho bánh xe Các thông số 𝑘𝑢 và 𝑐𝑢 mô tả độ cứng và giảm chấn của lốp, trong khi các thông số tương tự mô hình cho hệ thống treo chính của xe Hình 7.4(c) thể hiện mô hình xe ô tô 1/8 không bao gồm bánh xe, còn Hình 7.5(b) là mô hình 1/4 chiếc xe với ghế tài xế có khối lượng và ghế lái có độ cứng và giảm chấn 𝑐𝑑.
Từ phương trình Newton để tìm ra các phương trình chuyển động của hệ dao động
Mô hình đơn giản nhất cho các dao động dọc của một chiếc xe, thường được gọi là mô hình 1/8, được mô tả trong Hình 7.5 (c) Trong mô hình này, khối lượng 𝑚𝑠 đại diện cho một phần tư thân xe, được gắn trên hệ thống treo bao gồm lò xo có độ cứng 𝑘𝑠 và bộ giảm chấn với hệ số giảm chấn 𝑐𝑠 Áp dụng phương pháp Newton, ta có thể thiết lập phương trình chuyển động cho hệ thống này.
Phương trình chuyển động của hệ dao động thể hiện sự cân bằng giữa bốn lực: lực tỷ lệ với chuyển vị (-𝑘𝑥), lực tỷ lệ với vận tốc (-𝑐𝑣), lực tỷ lệ với gia tốc (𝑚𝑎), và một lực bên ngoài 𝑓(𝑥, 𝑣, 𝑡) phụ thuộc vào chuyển vị, vận tốc và thời gian Theo phương pháp Newton, lực tỷ lệ với gia tốc (𝑚𝑎) luôn bằng tổng của tất cả các lực tác động lên hệ thống.
TẦN SỐ DAO ĐỘNG
KÍCH THÍCH CƯỠNG BỨC
Hình 7.8 mô tả một khối lượng 𝑚 dao động một DOF, được hỗ trợ bởi lò xo 𝑘 và bộ giảm chấn 𝑐 Chuyển động tuyệt đối của 𝑚 so với vị trí cân bằng được đo bằng tọa độ 𝑥 Hệ thống dao động dưới tác động của một lực kích thích hình sin 𝑓 = 𝐹𝑠(𝜔𝑡).
Hình 7.8 Mô hình một DOF với kích thích điều hòa Phương trình chuyển động của hệ là:
𝑚𝑥̈ + 𝑐𝑥̇ + 𝑘𝑥 = 𝐹𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡) Tạo ra đáp ứng tần số bằng một trong hai phương trình sau:
𝑥 = 𝐴1𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 + 𝐵1𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 = 𝑋 sin (𝜔𝑡 − 𝜑𝑥) Đáp ứng trạng thái ổn định có biên độ X:
Trong đó tỷ số tần số 𝑟, tần số góc 𝜔𝑛 và tỷ lệ giảm chấn 𝜉
Pha 𝜑𝑥 thể hiện độ trễ góc của đáp ứng 𝑥 đối với kích thích 𝑓, và hàm X = X(𝜔) được coi là đáp ứng tần số của hệ thống, rất quan trọng trong phân tích Đáp ứng tần số này có thể áp dụng cho mọi đặc tính của hệ thống dưới dạng hàm của tần số kích thích, bao gồm đáp ứng tần số vận tốc 𝑋 ̇ = 𝑋 ̇ 𝜔 và đáp ứng tần số lực truyền 𝑓𝑇 = (𝜔) Việc tính toán đáp ứng tần số vị trí là cần thiết để hiểu rõ hơn về động thái của hệ thống.
𝑥 = 𝐴1𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 + 𝐵1𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 = 𝑋 sin (𝜔𝑡 − 𝜑𝑥) (7.38) chúng ta có thể tính toán các đáp ứng tần số vận tốc và gia tốc bằng đạo hàm
Biên độ của đáp ứng tần số vận tốc và gia tốc được thể hiện bởi 𝑋̇ 𝑣à 𝑋̈
√(𝑘−𝑚𝜈 2 ) 2 +𝐶 2 𝜔 2 𝐹 (7.42) Chúng ta có thể viết lại như sau:
KÍCH THÍCH CƠ SỞ
Hình 7.9 minh họa một hệ thống dao động một DOF với kích thích cơ sở với khối lượng
Hệ thống dao động gồm khối lượng 𝑚 được hỗ trợ bởi lò xo 𝑘 và bộ giảm chấn 𝑐, là mô hình tiêu biểu cho hệ thống treo xe hoặc thiết bị gắn trên nền tảng dao động Chuyển động tuyệt đối của 𝑚 so với vị trí cân bằng được xác định qua tọa độ 𝑥 Khi có tác động của một chuyển động kích thích hình sin: 𝑦 = 𝑌𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡, hệ thống sẽ bắt đầu dao động.
Hệ thống dao động một DOF với kích thích cơ sở được mô tả qua phương trình chuyển động, trong đó chuyển vị tuyệt đối 𝑥 là yếu tố chính Các phương trình này giúp phân tích và hiểu rõ hơn về hành vi của hệ thống trong các điều kiện khác nhau.
Hoặc một trong các phương trình sau cho chuyển vị tương đối z:
𝑍 = 𝑥 − 𝑦 Các phương trình của chuyển động tạo ra các đáp ứng tần số tuyệt đối và tương đối sau đây
𝑧 = 𝐴3𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 + 𝐵3𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 = 𝑍 sin (𝜔𝑡 − 𝜑𝑧) (7.50) Đáp ứng tần số của 𝑥 có biên độ X và đáp ứng tần số của 𝑧 có biên độ Z
(7.54) Pha 𝜑𝑥 biểu thị độ trễ góc của đáp ứng 𝑥 đối với kích thích 𝑦 Các đáp ứng tần số cho
KÍCH THÍCH LỆCH TÂM
Hình 7.10 minh họa một hệ thống dao động kích thích lệch tâm một DOF với khối lượng
Hệ thống treo của khối lượng 𝑚 được hỗ trợ bởi lò xo 𝑘 và bộ giảm chấn 𝑐, trong khi khối lượng không cân bằng 𝑚𝑒 quay với vận tốc góc 𝜔 ở khoảng cách e Mô hình dao động kích thích lệch tâm này là công cụ phân tích hiệu quả cho dao động của động cơ xe hoặc bất kỳ động cơ quay nào gắn trên đế cố định với hệ thống treo linh hoạt.
Hình 7.10 Một hệ thống một DOF kích thích lệch tâm Chuyển động tuyệt đối của 𝑚 đối với vị trí cân bằng của nó được đo bằng tọa độ 𝑥
Một lực kích thích điều hòa:
𝑓𝑥 = 𝑚𝑒𝑒𝜔 2 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 (7.55) tác dụng trên 𝑚 và làm cho hệ thống dao động Khoảng cách 𝑒 được gọi là độ lệch tâm và
𝑚𝑒 được gọi là khối lượng lệch tâm
Phương trình chuyển động của hệ thống có thể được biểu thị bằng:
Các dịch chuyển tuyệt đối của hệ thống là:
𝑥 = 𝐴4𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 + 𝐵4𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 = 𝑋 sin (𝜔𝑡 − 𝜑𝑒) Với biên độ X và pha 𝜑𝑒:
Pha 𝜑𝑒 biểu thị độ trễ góc của đáp ứng 𝑥 đối với kích thích 𝑚𝑒𝑒𝜔 2 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡.
THỜI GIAN TIẾP ỨNG CỦA HỆ DAO ĐỘNG
Các hệ dao động tuyến tính có một phương trình chuyển động chung là tập hợp các phương trình vi phân:
[m]𝑋̈+ [c]𝑋̇ + [k]X = F với các điều kiện ban đầu sau đây:
Ẋ(0) = Ẋ 0 Thời gian tiếp ứng của hệ thống là lời giải 𝑥 = (t), t> 0 cho một tập hợp các phương trình vi phân thông thường được ghép nối
Hãy xem xét một hệ dao động một DOF:
𝑚𝑥̈ + 𝑐𝑥̇ + 𝑘𝑥 = 𝑓(𝑥, 𝑥̇, 𝑡) Với điều kiện ban đầu:
Trong bài toán này, điều kiện ban đầu được xác định là 𝑥̇(0) = 𝑥̇0, với các hệ số 𝑚, 𝑐, 𝑘 được giả định là hằng số, mặc dù chúng có thể thay đổi theo thời gian trong các vấn đề phức tạp hơn Giải pháp cho vấn đề này, 𝑥 = 𝑥(t), t > 0, là duy nhất Bậc của phương trình được xác định bởi bậc đạo hàm cao nhất, và trong các dao động cơ học của mô hình gộp, chúng ta thường làm việc với một tập hợp các phương trình vi phân bậc hai Nếu 𝑥1(t), 𝑥2(t), , 𝑥n(t) là các nghiệm của phương trình bậc 𝑛, thì lời giải chung sẽ được xác định.
𝑥(𝑡) = 𝑎1𝑥1(𝑡) + 𝑎2𝑥2(𝑡) + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛(𝑡) Khi 𝑓 = 0, phương trình được gọi là đồng nhất
21 m𝑥̈ + 𝑐𝑥̇ + 𝑘𝑥 = 0 Mặt khác nếu nó không đồng nhất:
Trong bài viết này, chúng ta có thể thấy rằng phương trình dao động cơ học được biểu diễn dưới dạng 𝑥(𝑡) = 𝑥ℎ(𝑡) + 𝑥𝑝(𝑡), trong đó 𝑥ℎ(𝑡) là phương trình thuần nhất, đại diện cho dao động tự do, và 𝑥𝑝(𝑡) là phương trình không đồng nhất, thể hiện dao động cưỡng bức Phản ứng dao động tự do là giải pháp của phương trình thuần nhất, trong khi phản ứng dao động cưỡng bức là giải pháp của phương trình không đồng nhất.
𝑥 = 𝑒 𝜆𝑡 (7.69) thỏa mãn mọi phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất Do đó, đáp ứng đồng nhất của phương trình bậc hai 7.67: x= 𝑒 𝜆𝑡
Các hằng số 𝑎1 và 𝑎2 phụ thuộc vào điều kiện ban đầu, trong khi các tham số λ1 và λ2 được xem là tham số đặc trưng hoặc giá trị riêng của hệ thống Các giá trị riêng này là giải pháp cho phương trình đại số, được gọi là phương trình đặc trưng.
Một phương trình không đồng nhất chung của phương trình cưỡng bức rất khó xác định Tuy nhiên, chúng ta nhận thấy rằng hàm cưỡng bức 𝑓= 𝑓(𝑡) được hình thành từ sự kết hợp của nhiều hàm khác nhau.
1− Một hằng số, chẳng hạn như 𝑓 = 𝑎
2− Một đa thức theo t, chẳng hạn như:
3− Một hàm số mũ, chẳng hạn như 𝑓 = 𝑒 𝑎𝑡
4− Một hàm điều hòa, chẳng hạn như:
Tần số tự nhiên của hệ thống giảm xóc lò xo khối có thể xác định thông qua việc đo độ võng tĩnh Hệ thống một DOF được minh họa trong hình 7.11(a) là một ví dụ điển hình cho phương pháp này.
Hình 7.11 Hệ dao động 1 bật tư do
Khi lò xo không chịu lực căng hay lực nén, hệ thống sẽ bị nén bởi trọng lực với độ lệch tĩnh 𝛿𝑠 = 𝑚𝑔/𝑘 Để xác định tần số tự nhiên của hệ thống, chúng ta có thể đo độ lệch tĩnh 𝛿𝑠 khi hệ thống nằm trên mặt đất.
PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE
𝜕𝑞 𝑟 = 𝑄 𝑟 , r = 1,2 … n (7.76) Đối với các dao động nhỏ và tuyến tính, chúng ta có thể sử dụng một phương trình đơn giản hơn:
Với K là động năng, V là thế năng và D là hàm tiêu tán năng lượng của hệ thống
2∑ 𝑛 𝑖=1 ∑ 𝑛 𝑗=1 𝑥̇ 𝑖 𝑐 𝑖𝑗 𝑥̇ 𝑖𝑗 (7.80) f r là lực tác dụng lên khối lượng 𝑚𝑟
Hình 7.12 Mô hình hệ thống treo 1 bật tự do Động năng, thế năng và tiêu hao năng lượng của của sơ đồ hình 7.12 khi nó dao động:
Và phương trình tiêu tán năng lượng của giảm chấn: (7.83)
Hình 7.13 Mô hình dao động 3 bặc tự do nối tiếp
Hình 7.13 minh họa một hệ thống dao động tuyến tính ba DOF không giảm chấn Động năng và thế năng của hệ thống là:
Vì không có giảm xóc trong hệ thống, có thể tìm thấy phương trình Lagrange ℒ
Và sử dụng phương trình 7.76 với 𝑄 𝑟 = 0
Các phương trình này có thể được viết lại dưới dạng ma trận để tính toán đơn giản hơn [
Hình 7.10 minh họa một hệ thống dao động kích thích lệch tâm một DOF với khối lượng
Hệ thống treo được hỗ trợ bởi lò xo với hệ số k và bộ giảm chấn c Một khối lượng không cân bằng me đang quay với vận tốc góc ω ở khoảng cách e Để tìm phương trình chuyển động, chúng ta áp dụng phương pháp Lagrange Động năng của hệ thống được tính toán dựa trên các yếu tố này.
Vận tốc của khối dao động chính (𝑚 − 𝑚𝑒) được biểu diễn là 𝑥̇, trong khi vận tốc của khối lệch tâm 𝑚𝑒 bao gồm hai thành phần: (𝑥̇ + 𝑒𝜔𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡) và (−𝑒𝜔𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡) Năng lượng thế năng của hệ thống được mô tả qua phương trình tiêu tán năng lượng: 𝑉 = 1.
2𝑘𝑥 2 (7.98) để tìm phương trình chuyển động:
Ta tìm được phương trình chuyển động của hệ dao động:
MÔ HÌNH 1⁄4 XE VÀ MÔ HÌNH 1⁄2 XE
Khối lượng của các hệ thống phía trên hệ thống treo và khối lượng của hệ thống treo được tập trung tại trọng tâm của xe, ký hiệu là ms Trong khi đó, khối lượng của các hệ thống phía dưới hệ thống treo được coi là tập trung tại trọng tâm của cầu xe, nằm trên cùng một đường trục thẳng đứng qua trọng tâm xe, và được xem là khối lượng không được.
Khối lượng treo và khối lượng không treo được kết nối qua phần tử đàn hồi với độ cứng ks và hệ thống giảm chấn có hệ số cản cs Ngoài ra, ku và cu đại diện cho độ cứng và giảm chấn của lốp xe.
Các phương trình vi phân mô tả dao động của mô hình 1⁄4 ô tô như sau:
Các phương trình vi phân trên có thể được thể hiện dưới dạng ma trận như sau:
Mô hình 1/4 xe là cơ sở để kiểm tra và tối ưu hóa dao động, nhưng có thể mở rộng để bao gồm nghiêng dọc và các dao động khác Hình 7.15 minh họa mô hình dao động 1/2 xe, trong đó bao gồm các yếu tố như dịch chuyển thẳng đứng x, góc nghiêng dọc thân xe θ, chuyển vị bánh xe x1, x2, và kích thích mặt đường y1, y2.
Các phương trình chuyển động cho mô hình 1/2 chiếc xe là:
Mô hình dao động 1⁄2 xe được mô tả trong Hình 7.16, trong đó nửa thân xe được coi là một thanh cứng với khối lượng m bằng một nửa tổng khối lượng toàn bộ thân xe và mômen quán tính Iy bằng một nửa tổng mômen quán tính của thân xe Bánh xe trước và sau có khối lượng lần lượt là m1 và m2, trong khi độ cứng của lốp được biểu thị bằng các thông số kt1 và kt2, với lốp sau thường cứng hơn lốp trước Tuy nhiên, trong mô hình đơn giản, chúng ta có thể giả định kt1 = kt2 Ngoài ra, giảm chấn của lốp xe nhỏ hơn nhiều so với giảm chấn của giảm xóc, do đó có thể bỏ qua giảm chấn lốp để đơn giản hóa tính toán.
30 Để tìm phương trình chuyển động cho mô hình dao động 1⁄2 xe hình 7.16, sử dụng phương pháp Lagrange Động năng và thế năng của mô hình là:
Phương trình tiêu tán năng lượng của giảm chấn:
2𝑐 2 (ẋ − ẋ 2 + 𝑎 2 θ̇) Áp dụng phương pháp Lagrange:
Từ đó ta tìm được các phương trình chuyển động 7.109 đến 7.112 Các phương trình này có thể được sắp xếp lại trong một định dạng ma trận sau:
Mô hình 1/2 xe trong mặt phẳng ngang là công cụ hữu ích để kiểm tra và tối ưu hóa độ dao động lắc ngang của xe Hình 7.17 minh họa mô hình này, giúp hiểu rõ hơn về các yếu tố ảnh hưởng đến sự ổn định và hiệu suất của xe trong điều kiện vận hành.
Mô hình gồm dịch chuyển của thân xe x, góc nghiêng ngang φ, dịch chuyển lốp x1,x2 và kích thích mặt đường y1, y2
Các phương trình chuyển động cho mô hình nửa xe trong mặt phẳng ngang như sau:
Mô hình 1⁄2 xe trong mặt phẳng ngang có thể khác nhau cho nửa trước và nửa sau do hệ thống treo và phân bố khối lượng khác nhau
Mô hình dao động ngang trong Hình 7.18 mô tả thân xe như một thanh cứng có khối lượng m, tương ứng với nửa trước hoặc nửa sau của tổng khối lượng thân xe, với mô men quán tính Ix bằng một nửa tổng mô men quán tính của thân xe Các bánh xe bên trái và bên phải có khối lượng m1 và m2, thường bằng nhau, trong khi độ cứng của lốp xe kt Đáng chú ý, giảm chấn của lốp xe thường nhỏ hơn nhiều so với giảm chấn của hệ thống treo, cho phép bỏ qua yếu tố này để đơn giản hóa tính toán Hệ thống treo của xe được đặc trưng bởi độ cứng k và giảm chấn c cho cả bánh xe bên trái và bên phải.
Chiếc xe cũng có thể có một thanh chống lật với độ cứng xoắn kR ở phía trước và phía sau
Sử dụng một mô hình đơn giản, thanh chống lật cung cấp mô men xoắn MR tỷ lệ với góc nghiêng ngang φ
Để xác định phương trình chuyển động cho mô hình dao động nửa xe, chúng ta áp dụng phương pháp Lagrange Trong đó, động năng, thế năng và năng lượng tiêu tán của hệ thống sẽ được tính toán để phân tích chính xác chuyển động của mô hình.
2𝑐(ẋ − ẋ 2 − 𝑏 2 φ̇) Áp dụng phương pháp Lagrange:
𝜕𝑞 𝑟 = 𝑓 𝑟 , r = 1,2 … 4 Tập hợp các phương trình chuyển động có thể được sắp xếp lại dưới dạng ma trận