Giới thiệu
Ngày nay, kết cấu tấm được sử dụng rộng rãi trong các ngành công nghiệp và dân dụng như dùng làm mái che, sàn, tường, xilo, bể chứa….
Mục tiêu nghiên cứu
Nghiên cứu này nhằm khảo sát khả năng ứng dụng của phần tử tấm tứ giác trơn 4 nút MISQ20 kết hợp với phần tử dầm hai nút Timoshenko trong phân tích tuyến tính cấu trúc tấm có sườn.
Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng công thức ma trận độ cứng tuyến tính và ma trận độ cứng hình học của phần tử MISQ20, chúng ta xây dựng ma trận độ cứng tổng thể cho phần tử Quá trình này dựa trên tích phân trên biên phần tử và được lập trình bằng Matlab để tính toán và phân tích các bài toán tuyến tính điển hình, đặc biệt là về phân tích mất ổn định của kết cấu tấm có sườn.
Ý nghĩa của đề tài
Tính mới: Điểm mới của đề tài là việc ứng dụng phần tử MISQ20 kết hợp với phần tử dầm Timoshenko trong phân tích tuyến tính tấm có sườn
Nghiên cứu về mô hình tính toán tuyến tính của kết cấu tấm có sườn đã thu hút sự quan tâm của các nhà khoa học trên toàn thế giới trong nhiều thập kỷ Việc này không chỉ thể hiện khả năng áp dụng mà còn nâng cao hiệu quả trong lĩnh vực cơ học tính toán, góp phần mở rộng kiến thức khoa học.
Nội dung trong luận văn được trình bày như sau
TỔNG QUAN
Sự phát triển của phần tử tấm vỏ
Yang và các cộng sự đã nghiên cứu sự phát triển của các loại phần tử tấm vỏ, trong khi Gal và Levy cùng bài báo của Zhang và Yang đã mở rộng và làm rõ hơn về chủ đề này Các nghiên cứu cho thấy phần tử phẳng được sử dụng rộng rãi nhờ vào khả năng kết hợp dễ dàng với các loại phần tử khác, cùng với sự đơn giản trong công thức và hiệu quả tính toán liên quan đến tuyến tính hình học Điều này rất quan trọng để xác định vị trí cân bằng của kết cấu, đặc biệt khi các biến lưu trữ trạng thái ứng suất đạt mức rất lớn.
Phân tích tuyến tính kết cấu tấm có sườn
Ramakrishnan và Kunukkasseril đã trình bày một phương pháp phân tích dao động tự do của sàn tàu, so sánh với kết quả thực nghiệm Mukhopadhyay đề xuất phương pháp bán phân tích dao động, phân tích sự ổn định và phân tích uốn cho tấm có sườn Chan et al đã đưa ra giải pháp chính xác bằng phương pháp U-chuyển đổi, mặc dù các mô hình này thường phức tạp Các phương pháp đơn giản và hiệu quả hơn như phương pháp phần tử hữu hạn (FEM), phương pháp phần tử biên và phương pháp chia lưới tự do đã được đề xuất, trong đó FEM thể hiện nhiều ưu điểm Trong FEM, các tấm có sườn được tách thành tấm và sườn cứng, với các tấm được mô hình hóa bằng phần tử tấm và sườn gia cường bằng phần tử dầm Lý thuyết Kirchhoff cho tấm mỏng và lý thuyết Mindlin-Reissner cho tấm dày được sử dụng để mô hình hóa các phần tử tấm.
Dựa trên lý thuyết Kirchhoff, Rossow và Ibrahimkhail đã áp dụng các phương pháp hạn chế cho các phần tử hữu hạn, sử dụng đa thức xấp xỉ có thứ tự tùy ý để phân tích tĩnh tấm có sườn đồng tâm và lệch tâm Olson và Hazel đã trình bày kết quả lý thuyết và thực nghiệm về phân tích dao động tự do của tấm lệch tâm có sườn Barik và Mukhopadhyay đã kết hợp phần tử ứng suất phẳng bốn nút hình chữ nhật với các phần tử tấm uốn ACM để thực hiện phân tích tĩnh, dao động tự do và tiền ổn định cho tấm có sườn tùy ý.
Dựa trên lý thuyết Mindlin-Reissner, Deb và Booton đã sử dụng một phần tử tấm có sườn dưới tải ngang, trong khi Mukheriee và Mukhoadhyay cũng áp dụng phần tử này cho dao động tự do và phân tích ổn định Tiếp theo, Palani và cộng sự đã áp dụng hai phần tử đẳng tham số, bao gồm phần tử đẳng tham số tám nút QS8S1 và phần tử đẳng tham số chín nút QS9S1, cho các phân tích tĩnh và dao động tự do của tấm/vỏ với các sườn gia cường bất kỳ.
Liew và các cộng sự đã đề xuất một mô hình phần tử hữu hạn mới để phân tích dao động tự do của tấm lệch tâm làm cứng Họ cùng với Xiang đã áp dụng phương pháp Rayleigh-Ritz để nghiên cứu các đặc tính dao động của tấm hình chữ nhật và tấm nghiêng Mindlin có sườn gia cường trung gian Ngoài ra, Liew cũng phát triển các mô hình Mindlin-Engesser cho phân tích dao động của tấm dày vừa phải với các sườn gia cường có hướng thông qua các phương pháp giảm thiểu Ritz Peng và các cộng sự đã sử dụng phương pháp phần tử tự do Galerkin cho các phân tích tĩnh, dao động tự do và tiền ổn định của tấm có và không có sườn cứng Hơn nữa, Liew cùng với Satsangi đã áp dụng nhiều phương pháp số khác để nghiên cứu ứng xử của tấm dày.
Phân tích các tấm có sườn thường sử dụng phần tử tấm Mindlin bốn nút hoặc tám nút, trong khi tài liệu về phần tử tấm Mindlin ba nút vẫn còn hạn chế T Nguyen-Thoi và cộng sự đã áp dụng phần tử 3 nút tam giác, khác biệt so với phần tử 4 nút và phần tử 8 nút.
8 nút được đề cập trong Refs [26-30].
Phần tử hữu hạn trơn
Được đề xuất và phát triển bởi G.R.Liu và các cộng sự
Phần tử MISQ20 do Nguyễn Văn Hiếu phát triển dựa trên nghiên cứu của Nguyễn Xuân Hùng và nhóm cộng sự, tập trung vào phần tử tấm tứ giác trơn cho phân tích tuyến tính Đồng thời, nhóm nghiên cứu do Nguyễn Thời Trung dẫn dắt cũng đã thành công trong việc phát triển các phương pháp phần tử hữu hạn trơn mới, phục vụ cho phân tích kết cấu tấm và vỏ.
CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Phương pháp phần tử hữu hạn trơn MISQ20
Phần tử MISQ20 được phát triển dựa trên kỹ thuật phần tử hữu hạn với giả định biến dạng trơn trong lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất Kỹ thuật này mang lại kết quả tích phân số chính xác hơn, ngay cả với các phần tử có hình dạng xấu, từ đó giảm thời gian tính toán so với phương pháp tích phân miền truyền thống.
Miền 𝛺 𝐶 là miền phần tử cần thiết để thực hiện tính toán trơn, có thể là toàn bộ hoặc một phần của phần tử tùy thuộc vào phân tích ổn định Hàm làm trơn 𝛷 được định nghĩa với tính chất thống nhất, thỏa mãn điều kiện ∫ 𝛷𝑑𝛺 𝛺 = 1.
𝑐 la diện tích miền phần tử trơn (subcell)
Hình 3.1 Sự chia nhỏ phần tử ra thành 𝒏𝒄 phần tử con và giá trị hàm dạng tại các nút
Theo phương pháp phần tử hữu hạn trơn, miền 𝛺𝐶 của phần tử tứ giác được chia thành 𝑛𝑐 phần tử con Trường biến dạng tổng quát được làm trơn bằng cách trung bình hóa trường biến dạng gốc trên từng miền phần tử con, cụ thể là ε̃ 𝑝 (𝑥𝐶) = ∫ 𝛆 𝛺 𝑝(𝑥)𝛷(𝑥 − 𝑥𝐶)𝑑𝛺.
Với 𝛆̃𝑚 là biến dạng màng trơn và 𝑥𝐶 là một điểm tùy ý
Thế 𝛷 từ vào phương trình trên và áp dụng định lý divergence thì biến dạng màng trơn uốn có thể thu được dưới dạng:
Trong đó: 𝛤 𝐶 là biên của miền phần tử làm trơn 𝛺 𝐶
Từ đó quan hệ giữa trường biến dạng trơn uốn và chuyển vị nút được viết lại như sau:
𝐪𝑖 là vector chuyển vị nút phần tử: 𝐪i= [𝑢𝑖 𝑣 𝑖 𝑤 𝑖 𝜃 𝑥𝑖 𝜃 𝑦𝑖 ] 𝑇
𝑛𝑐 là số phần tử trơn và
Với 𝑛𝑥, 𝑛𝑦 là các thành phần của vector pháp tuyến đơn vị n vuông góc với đường biên 𝑑𝛤
Dùng tích phân số 1 điểm Gauss để tích phân phương trình trên dọc theo 4 cạnh biên của một phần tử con, 𝐁̃ 𝑚𝑖 (𝑥𝐶) và𝐁̃ 𝑏𝑖 (𝑥𝐶)viết lại như sau:
Trong bài viết này, 𝑥 𝑏 𝐺 và 𝑙 𝑏 𝐶 đại diện cho các điểm giữa (điểm Gauss) và chiều dài cạnh biên 𝛤 𝑏 𝐶 Số lượng phần tử con (subcells) được chọn là 𝑛𝑐 = 2, trong khi số cạnh của phần tử con là 𝑛𝑏 = 4, dựa trên công thức tính toán của phần tử trơn được xây dựng ở trên.
Biến dạng trượt trên phần tử sẽ được xấp xỉ dùng các trường nội suy độc lập trong hệ tọa độ tự nhiên:
Ma trận Jacobi J và các điểm A, B, C, D đại diện cho trung điểm các cạnh phần tử trong Hình 3.4 Bằng cách mô tả các điểm 𝛾𝜂 𝐴, 𝛾 𝜉 𝐵, 𝛾𝜂 𝐶, 𝛾 𝜉 𝐷 theo trường xấp xỉ chuyển vị 𝑢, chúng ta có thể thu được ma trận cần thiết.
Hình 3.2 Trung điểm dùng để nội suy các biến dạng trượt ngang
Ma trận độ cứng phần tử có thể được biến đổi như sau:
3.3.3 Ma trận độ cứng trơn hình học:
Tương tự, bằng cách sử dụng hàm trơn không đổi 𝛷 trong phương trình (3.9) biến dạng trơn hình học có thể viết như sau:
𝐪 𝑖 là vector chuyển vị nút phần tử: 𝐪 𝑖 = [𝑢𝑖 𝑣 𝑖 𝑤 𝑖 𝜃 𝑥𝑖 𝜃 𝑦𝑖 ] 𝑇
Phương trình trên có thể tính toán sử dụng tích phân 1 điểm Gauss như sau:
Trong đó 𝑛𝑏 = 4 là số cạnh của phần tử con subcell
Cuối cùng, ma trận độ cứng trơn hình học có thể viết dưới dạng:
𝐊̃ 𝑔 𝑒 = ∫ 𝐁 𝛺 ̃ 𝑔 𝑇 𝛔̂ 0 𝐁̃ 𝑔 𝑑𝛺 =∑ 𝑛𝑐 𝐶=1 𝐁̃ 𝑔𝐶 𝑇 𝛔̂ 0 𝐁̃ 𝑔𝐶 𝐴 𝐶 (3.18) Trong đó 𝑛𝑐 là số lượng phần tử con, trong trường hợp này chọn là 1 Cuối cùng, ta có phương trình phân tích mất ổn định:
Công thức phần tử hữu hạn cho dầm Timoshenko
Sử dụng hai nút của phần tử đẳng hướng để xấp xỉ sườn cứng, các nội suy của trường chuyển vị trong phần tử eth trong hệ tọa độ tự nhiên được thực hiện một cách chính xác và hiệu quả.
Mà 𝐝 𝑆𝑡 𝑖 = [𝑢𝑟 𝑢𝑠 𝑢𝑧 𝛽𝑟 𝛽𝑠] 𝑇 là vector chuyển vị của nút ith của các phần tử eth là các hàm dạng tuyến tính trong hệ tọa độ tự nhiên xác định bởi
Để phân tích sườn cứng, chúng ta chia nó thành các phần tử và thay thế vào phương trình Kết quả thu được là độ cứng, khối lượng và ma trận hình học của sườn cứng, được xác định tương ứng theo công thức 2(1 + 𝜉), với 𝜉 nằm trong khoảng từ -1 đến 1.
Mà 𝑛 𝑒 là số lượng các phần tử của sườn cứng và các yếu tố độ cứng, khối lượng, và ma trận hình học tương ứng được tính bằng: