Sự lan truyền xung quang học trong môi trường phi tuyến luận văn thạc sỹ vật lý

SỰ LAN TRU ỀN ÁNH SÁNG TRONG MÔI TRƯỜNG TUYẾN TÍNH

Hệ phương trình Maxwell

Trong nghiên cứu quang học, ta quan tâm đến 4 đại lượng vectơ trường điện từ: Vectơ cường độ điện trường E 

, vectơ cường độ từ trường H 

ý thuyết cơ bản của các trường điện từ được dựa trên các phương trình Maxwell Dưới dạng vi phân, chúng được bi u diễn như sau:

(1.4) ở đây vectơ  j là mật độ dòng điện và  kí hiệu mật độ của điện tích,  j c và

 là các nguồn sinh ra các trường điện từ

Bài viết tóm tắt các diễn giải vật lý của các phương trình Maxwell, trong đó phương trình (1.1) thể hiện một cách khác của định luật Gauss cho điện trường Để làm rõ hơn về mặt vật lý, chúng ta chuyển phương trình này sang dạng tích phân bằng cách lấy tích phân theo thể tích V được bao bởi mặt S và áp dụng định lý Gauss.

D    (1.6) phương trình này chỉ ra r ng thông lượng điện 

D   chảy ra khỏi mặt S bao quanh V b ng tổng điện tích ở trong th tích V đó

Phương trình (1.2) tương tự như phương trình (1.1) trong từ trường và có thể được chuyển đổi thành dạng tích phân giống như (1.6) bằng cách áp dụng định lý Gauss.

Theo quan điểm cổ điển, các đơn cực từ không tồn tại, dẫn đến việc các vế phải của các phương trình (1.2 và 1.7) đều bằng 0 Điều này cho thấy rằng thông lượng từ trường luôn được bảo toàn.

Phương trình (1.3) phát biểu định luật Faraday về độ dẫn Khi chuyển đổi nó sang dạng tích phân, chúng ta thực hiện tích phân trên mặt mở S được bao bởi đường C và áp dụng định lý Stokes.

     (1.9) phương trình này cho thấy r ng suất điện động cảm ứng 

Suất điện động được cảm ứng trong vòng dây phản ánh sự thay đổi theo thời gian của thông lượng từ trường qua diện tích của nó Theo định luật Lentz, suất điện động này có dấu “-”, cho thấy nó chống lại sự thay đổi của từ trường.

Tương tự như vậy, dạng tích phân của phương trình (1.4) là:

Định lý tích phân đường của H chỉ ra rằng tổng dòng điện (bao gồm dòng điện dẫn và dòng điện dịch) chảy qua mặt phẳng được bao bởi vòng kín C có liên quan đến tích phân đường của H theo vòng C.

Khi Ampere lần đầu tiên giới thiệu các phương trình (1.4) và (1.10), chỉ có số hạng dòng điện dẫn  j c ở vế phải Maxwell đã đề xuất bổ sung số hạng dòng điện dịch  D  /  t để phản ánh hiệu ứng của các dòng truyền qua, chẳng hạn như các t điện Với một phân bố mật độ điện tích và dòng cho trước, có bốn phương trình từ (1.1) đến (1.4) để xác định bốn ẩn số trong bài toán trường điện từ Điều này làm cho bài toán trở nên rõ ràng Tuy nhiên, sự khảo sát kỹ lưỡng cho thấy các phương trình (1.3) và (1.4) là các phương trình vectơ, tương đương với sáu phương trình vô hướng.

Phương trình (1.1) và (1.4) không độc lập, và (1.2) là hệ quả của (1.3) Để kiểm tra điều này, ta có thể lấy đạo hàm phân thức của hai vế trong các phương trình (1.3) và (1.4), đồng thời áp dụng phương trình liên tục (1.11) cùng với hệ thức vectơ.

(1.12) kết quả của việc thảo luận này là, có sáu phương trình vô hướng độc lập và mười hai ẩn số ( các thành phần x,y,z của các vectơ E  D  H 

) cần phải giải Sáu phương trình vô hướng cần thiết nữa được cho bởi các hệ thức vật chất

Độ điện thẩm (F/m) được ký hiệu là  và độ từ thẩm (H/m) được ký hiệu là  trong môi trường Cả hai đều là các hằng số vô hướng, điều này đúng với các môi trường tuyến tính, đồng nhất và đẳng hướng Môi trường được coi là tuyến tính khi các tính chất của nó không phụ thuộc vào biên độ của các trường bên trong Đồng thời, môi trường được xem là đồng nhất khi các tính chất của nó không thay đổi theo vị trí.

Sự lan truyền trong các môi trường tuyến tính, đồng nhất và đẳng hướng 6 1 Các lời giải sóng lan truyền

Bắt đầu từ bây giờ, chúng ta sẽ giả định rằng môi trường là tuyến tính, đồng nhất và đẳng hướng Các vật liệu bất đẳng hướng sẽ được nghiên cứu chi tiết trong phần 3.

Trong nghiên cứu về các môi trường đồng nhất và đẳng hướng, cần lưu ý các giá trị quan trọng của chân không: điện permittivity ( 0) bằng (1 / 36) × 10⁻¹⁹ (F/m) và từ permeability ( 0) bằng 4 × 10⁻⁷ (H/m) Đối với các chất điện môi, giá trị của điện permittivity () luôn lớn hơn giá trị của  0, do chúng chứa các số hạng đặc trưng cho môi trường vật chất, cụ thể là mật độ mô men lưỡng cực P ρ.

(C/m 2 ) P  được liên hệ với điện trường E  như sau:

 (1.14) ở đây,  là độ cảm điện, nó đặc trưng cho khả năng định hướng theo điện trường của các lưỡng cực điện trong điện môi Vectơ trường D  là tổng của

 (1.15) ở đây,  là độ điện thẩm tương đối, do đó

Tương tự như vậy, đối với các vật liệu từ tính  lớn hơn  0

1.2 Sự lan truyền trong các môi trường tuyến tính, đồng nhất và đẳng hướng

1.2.1 Các lời giải sóng lan truyền

Trong bài viết trước, chúng ta đã trình bày phương trình Maxwell cùng các hệ thức vật chất Với các giá trị đã cho của  j c và , chúng ta nhận thấy rằng có thể xác định được các thành phần của điện trường E .

Trong phần này, chúng ta sẽ khám phá cách thực hiện việc mô tả sự lan truyền của điện trường và từ trường thông qua phương trình sóng Bên cạnh đó, chúng ta cũng sẽ tìm hiểu các nghiệm tổng quát của phương trình này trong các hệ tọa độ khác nhau Bằng cách lấy rota của cả hai vế trong phương trình (1.3), chúng ta sẽ thu được những kết quả quan trọng.

Chúng ta đã áp dụng hệ thức vật chất thứ hai và giả thiết rằng độ từ thẩm không thay đổi theo không gian và thời gian Khi sử dụng công thức liên quan, chúng ta có thể chuyển đổi biểu thức thành dạng mới.

 2 2 (1.18) ở đây, chúng ta đã sử d ng hệ thức vật chất thứ nhất (1.13a) và giả thiết r ng

 không ph thuộc vào thời gian Tiếp đó b ng việc sử d ng các hệ thức vectơ ta được:

  2    (1.19) trong (1.18), chúng ta nhận được:

Nếu bây giờ chúng ta giả thiết r ng độ điện thẩm  cũng không ph thuộc cả vào không gian thì ta có th viết lại phương trình (1.1) dưới dạng:

(1.21) sử d ng hệ thức vật chất thứ nhất (1.13a) Kết hợp phương trình (1.21) vào phương trình (1.20), ta thu được:

Phương trình sóng (1.22) mô tả các số hạng nguồn ở vế phải và thực chất là một phương trình vectơ, tương đương với ba phương trình vô hướng cho các thành phần của trường điện E.

Trong chân không, các nguồn ( j c  0 ,  0), phương trình (1.22) rút gọn về phương trình sóng thuần nhất

Phương trình tương tự có th được dẫn ra cho từ trường H 

 (1.24) lưu ý r ng, đại lượng   có đơn vị là (1/v) 2 Ta định nghĩa vận tốc đó như sau:

2  1 v (1.25) đối với chân không thì   0 , 0 và v  c Ta có th tính giá trị của c qua các giá trị đã biết của  0 , 0 , kết quả là c  3 10 8 ( m / s 2 )

Khảo sát các lời giải của các phương trình dạng (1.23) hoặc (1.24) Đ đơn giản hóa, ta sẽ phân tích phương trình sóng thuần nhất

   t v (1.26) ở đây  có th bi u diễn thành phần của điện trường E  hoặc từ trường

H  và v là vận tốc của sóng ời giải tổng quát là

 (1.27) với c 1 , c 2 là các h ng số và với điều kiện

Trong phương trình (1.28), tần số góc (rad/s) được ký hiệu là  0 và hằng số lan truyền (rad/m) là k 0 Tỷ số  0 / k 0 xác định rằng môi trường lan truyền là không tán sắc Do đó, chúng ta có thể diễn lại phương trình (1.27) theo cách này.

 (1.30a) k 0  k 0 x a x  k 0 y a y  k 0 z a z (1.30b) k 0 được gọi là vectơ lan truyền và k 0  k 0 ; a x , a y , a z kí hiệu các vectơ đơn vị tương ứng trên các phương x, y, z

Theo một chiều không gian (chẳng hạn chiều z), phương trình sóng (1.26) có dạng:

 (1.31) và lời giải tổng quát của nó là:

Sóng được định nghĩa là một dạng nhiễu động, đặc trưng bởi sự lan truyền với vận tốc xác định Phương trình (1.27) hoặc (1.29) mô tả sự chồng chất của hai sóng lan truyền theo hai hướng ngược nhau.

Khảo sát trường hợp đặc biệt c 1  0 , c 2  0 Nhận thấy r ng, nếu  là h ng số thì ( t k  R 

+ h ng số (1.33) nhưng đây là phương trình của mặt phẳng vuông góc với vectơ k 0 với tham số là t , vì vậy sóng được gọi là sóng phẳng Khi t tăng, k  R 

0 cần phải tăng đ phương trình (1.33) luôn luôn được nghiệm đúng Ví d , nếu k  0  k 0 a z ( k 0  0 ) và R   z a z

Để sóng lan truyền theo phương +z, cần có sự gia tăng theo hướng này Khi c = 1, sóng phẳng sẽ di chuyển theo hướng ngược lại Mặt sóng được định nghĩa là các mặt chứa tất cả các điểm có pha giống nhau.

Trong bài viết này, chúng ta sẽ khảo sát hiện tượng tán sắc ánh sáng, một yếu tố quan trọng trong quá trình lan truyền sóng Chúng ta đã nghiên cứu sự lan truyền của sóng sử dụng phương trình sóng trong môi trường có các thuộc tính mô tả bởi độ điện thẩm hoặc vận tốc pha phụ thuộc vào tần số Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, độ điện thẩm và chiết suất có thể là hàm số của tần số hoặc bước sóng Sự phụ thuộc này, được gọi là tán sắc, có thể là các tính chất nội tại của vật liệu tự nhiên, bao gồm sự phân cực định hướng, phân cực điện tử, và phân cực nguyên tử hoặc ion Đôi khi, tán sắc cũng có thể phát sinh từ tính chất hình học của môi trường lan truyền, như trong cấu trúc dẫn sóng như sợi quang học và cáp quang Chúng ta sẽ tóm tắt phương pháp phân tích sóng lan truyền trong môi trường với sự phụ thuộc của tần số vào số sóng, và thấy rằng việc sử dụng hệ thức tán sắc có thể dẫn đến phương trình đạo hàm riêng đối với hàm sóng trong các trường quang học.

Trong bài viết này, chúng ta sẽ phác thảo phương pháp phân tích phương trình sóng trong môi trường có sự phụ thuộc của tần số góc (ω) vào số sóng (k) Bằng cách sử dụng hệ thức tán sắc ω = ω(k), chúng ta sẽ dẫn ra phương trình đạo hàm riêng cho hàm sóng mô tả trường quang học Đặc biệt, chúng ta sẽ xem xét trường hợp hệ thức tán sắc có dạng đơn giản, giúp làm rõ hơn các khía cạnh của phân tích sóng trong môi trường này.

 (1.34) phương trình đạo hàm riêng tương ứng có th dẫn ra nếu ta lưu ý r ng các toán tử có th được thay bởi: i z t k i 

Lý do chúng ta thực hiện điều này là vì bất kỳ bó sóng nào đều có thể được coi là tổ hợp của các sóng phẳng đơn sắc với các biên độ khác nhau, điều này được biểu diễn thông qua biến đổi Fourier.

) 1 , (    (1.35a) và tương tự ta có biến đổi ngược: dt r d e t r E k

Các đạo hàm theo không gian và thời gian được thay thế bằng các phép nhân đại số, dẫn đến hệ thức tán sắc dạng bậc hai tương ứng với phương trình sóng.

 (1.36) có th chỉ ra r ng với hàm sóng  đối với hàm sóng thực, hệ thức tán sắc

Trong hệ thức tán sắc, hàm lẻ của  và k tương ứng là điều kiện cần thiết, với k < 0 không có nghĩa là sóng lan truyền theo hướng này, trong khi k > 0 chỉ ra rằng sóng lan truyền theo hướng ngược lại Hơn nữa, sóng lan truyền theo phương +z là sự kết hợp của các giá trị k > 0 với  > 0 và k < 0.

 , dẫn đến vận tốc pha được xem là dương Sóng lan truyền theo phương

 z tổ hợp các k  0 với   0 và ngược lại

Mở rộng phương trình sóng ở trên ra trường hợp nhiều chiều, ta chỉ đơn giản thực hiện việc thay thế toán tử 2

 bởi toán tử Laplace  2 Do đó dạng ba chiều của phương trình sóng là

   t v (1.37) với giả thiết sóng phân kỳ yếu theo phương vuông góc với tr c lan truyền chính 0 z (nghĩa là k x , k y nhỏ hơn rất nhiều với k z ), ta có gần đúng

Phương trình đạo hàm riêng từ (1.38) rất quan trọng vì nó mô tả sự thay đổi của chùm xung trong không gian và thời gian Để làm rõ hơn, có thể chỉ ra bằng cách thay thế.

  exp( i  0 t  ik 0 z )] (1.39) dẫn đến phương trình đạo hàm riêng cho hàm bao biến thiên chậm  e dưới dạng

Sự lan truyền sóng trong môi trường bất đẳng hướng

Chúng ta đã nghiên cứu giải pháp cơ bản cho phương trình sóng trong môi trường đẳng hướng, trong đó độ điện thẩm  không phụ thuộc vào không gian Tuy nhiên, nhiều vật liệu như tinh thể lại là môi trường bất đẳng hướng Trong phần này, chúng ta sẽ tìm hiểu về sự lan truyền sóng tuyến tính trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng đối với từ trường (với  là hằng số), nhưng lại bất đẳng hướng đối với điện trường Điều này có nghĩa là sự phân cực trong môi trường khi có điện trường tác động phụ thuộc vào định hướng của điện trường đó.

Hình 2 minh họa sự liên kết bất đẳng hướng của electron trong tinh thể, với tính bất đẳng hướng được thể hiện qua giả thiết rằng các hằng số đàn hồi của lò xo theo các phương khác nhau là khác nhau Trong trường hợp đẳng hướng, tất cả các hằng số đàn hồi đều giống nhau Điều này dẫn đến việc chuyển động của electron chịu ảnh hưởng của điện trường bên ngoài, không chỉ phụ thuộc vào biên độ của trường mà còn vào hướng của nó.

Trong trường hợp tổng quát, vectơ D  sẽ không hướng theo phương của vectơ E 

Trong phương trình (1.13a), các thành phần của D  và E  được liên hệ thông qua các phương trình sau đây, với điều kiện rằng (1.13b) vẫn đúng trong môi trường đồng nhất đối với từ trường.

 (1.64) ở đây i, j tương ứng b ng 1 đối với x , 2 đối với y và 3 đối với z Thường thì các phương trình (1.63a) đến (1.63c), hoặc phương trình (1.64) được viết như sau:

Hình 1.2 Mô hình minh họa liên kết dị hướng của điện tử trong tinh th Các hệ số đàn hồi dọc theo mỗi hướng có th khác nhau

(1.66) hoặc đơn giản là: j ij i E

Ma trận 3×3 trong (1-66) thường được gọi là tenxơ điện môi Phương trình (1-67) là dạng biểu diễn ngắn gọn hơn của phương trình (1-64) nhờ vào quy ước Einstein Quy ước này yêu cầu phải lấy tổng theo các chỉ số lặp (ví dụ j) trên cùng một vế (trái hoặc phải) của phương trình.

Trong môi trường không mất mát, tenxơ điện môi là đối xứng, tức là: ji ij 

  (1.68) và chỉ có sáu thành phần độc lập

Bất kỳ ma trận đối xứng thực nào đều có thể được chéo hóa thông qua phép biến đổi tọa độ, từ đó cho phép giả thiết rằng tenxơ điện môi có dạng chéo.

Hệ tọa độ mới, gọi là hệ tọa độ trục chính, bao gồm ba số hạng điện môi chính , trong khi hệ tọa độ Dercastes được gọi là các trục chính Các lớp tinh thể, như được chỉ ra trong bảng 1, có thể được phân loại theo phương trình (1.69) thành lập phương, đơn trục, và lưỡng trục Vì hầu hết các tinh thể sử dụng trong thiết bị điện quang là đơn trục, chúng ta sẽ tập trung vào loại này trong nghiên cứu Đối với các tinh thể đơn trục, trục tọa độ được đặc trưng bởi thành phần  =  zz, được gọi là trục quang học Khi  zz >  xx =  yy, tinh thể được coi là đơn trục dương, ngược lại, nếu  zz <  xx =  yy, tinh thể là đơn trục âm Trong quá trình nghiên cứu, chúng ta sẽ sử dụng các chỉ số 1, 2, 3 hoặc x, y, z luân phiên.

Bảng 1: Các lớp tinh thể và một số ví dụ phổ biến

Hệ tr c chính Lập phương Đơn tr c Lưỡng tr c

Thạch anh (dương,  xx  yy  zz ) Mika

1.3.2 Lan truyền sóng trong môi trường tinh th đơn trục

Trong phần này, chúng ta sẽ khám phá sự lan truyền của sóng điện từ trong các môi trường bất đẳng hướng, đặc biệt chú trọng vào các tinh thể đơn trục.

Trong môi trường điện môi bất đẳng hướng, phương trình lan truyền sóng (1.20) được viết lại dưới dạng (j c =0, ρ=0):

 (1.71) Xét trường ánh sáng đơn sắc tần số đi vào môi trường Từ (1 35a) ta có th viết bi u thức của trường như sau:

(1.72) và tương tự cho vectơ sóng phân cực:

(1.73) từ phương trình (1.71), ta viết được các phương trình cho các thành phần Descartes E i và P i của E  ( r  ,) và P  ( r  ,) như sau

 (1.74) ở đây x i thành phần Descartes thứ i của r 

, tức là x 1 =x, x 2 =y, x 3 =z Như đã đề cập ở trên, trong trường hợp môi trường bất đẳng hướng, P  không chỉ theo một hướng với E 

Ta có th viết ra tường minh phương trình (1.75) cho thành phần E x của biên độ điện trường:

Các phương trình tương tự có thể được viết trong bất kỳ hệ tọa độ Dercastes (X,Y,Z) nào, trong đó mỗi tọa độ X, Y và Z là tổ hợp tuyến tính của các tọa độ x, y, z đã được sử dụng trước đó Việc viết các phương trình này trong hệ tọa độ (X, Y, Z) với ma trận ε_ij có dạng chéo sẽ thuận lợi hơn, đặc biệt khi xem xét các trục điện môi chính của vật liệu.

 (1.77) Điều kiện  D   0 đối với các môi trường trung hòa điện cho ta:

Chúng ta sẽ giới hạn nghiên cứu về các tinh thể lưỡng chiết đơn trục, trong đó hai trong ba thành phần của tenxơ điện môi  ij dọc theo các trục chính, cụ thể là  xx và  yy, có giá trị bằng nhau Khi đó, trục z sẽ là trục quang học của tinh thể.

  ZZ n e  (1.79) phương trình (1.77) trở thành:

 (1.82) các phương trình (1.80) đến (1.82) được bi u diễn trong các tọa độ (X, Y, Z) dọc theo các tr c điện môi chính của tinh th

Các phương trình sóng trong hệ tọa độ (x, y, z) của phòng thí nghiệm được dẫn ra từ các phương trình cơ bản, trong đó tọa độ (x, y, z) của một điểm trong không gian có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các tọa độ (X, Y, Z) từ các góc θ và φ như chỉ ra trong hình 3.

 cos cos sin sin sin sin cos cos sin cos

 cos sincos sincos , (1.84) và tương tự: z y x

 sin coscos cossin , (1.85) cũng như: z y

Sử dụng các hệ thức sinθ cosθ, chúng ta có thể viết lại các phương trình từ (1.80) đến (1.82) trong tọa độ phòng thí nghiệm (x, y, z) Đầu tiên, chúng ta khảo sát sóng phân cực dọc theo trục X với điều kiện E y = E z = 0 Toán tử aplace giữ cùng dạng trong các hệ tọa độ khác nhau, tức là 2.

 , như có th thấy khi sử d ng các phương trình (1.84) đến (1.86) Do đó trong hệ tọa độ (x, y, z) phương trình (1.80) có dạng:

(1.87) Tương tự, với sóng phân cực dọc theo phương Y (E x = E z = 0) thì

Hệ các trục điện môi chính (X, Y, Z) và hệ tọa độ phòng thí nghiệm (x, y, z) được xác định, trong đó z là phương lan truyền và Z là trục quang học Chiết suất n(ω) của các sóng phân cực vuông góc với trục quang học của tinh thể được nhấn mạnh, và các sóng này được gọi là sóng thường.

Với trường phân cực song song với tr c quang học (E x = E y = 0), theo các phương trình (1.82) và (1.84) đến (1.86) thì:

 (1.89) đặc biệt, đối với sóng phẳng lan truyền theo phương z, tức là E Z = E Z (z), thì ta có:

(1.91) ở đây n e 2  , được định nghĩa qua phương trình:

Chiết suất của các sóng phân cực song song với trục quang học, được ký hiệu là n e (ω, θ), được mô tả trong phương trình (1.92) Những sóng này lan truyền theo phương z và tạo với trục quang học một góc θ Các sóng phân cực song song với trục quang học được gọi là sóng dị thường Phương trình (1.92) chỉ ra rằng n e (ω) là chiết suất của sóng dị thường lan truyền theo phương vuông góc với trục quang học.

Các sóng dị thường có chiết suất n e (ω, θ) phụ thuộc vào phương lan truyền của chúng với trục quang học, trong khi các sóng thường có chiết suất n 0 (ω) không bị ảnh hưởng bởi phương lan truyền Đối với những sóng lan truyền theo phương song song với trục quang học, chiết suất sẽ luôn là n 0 (ω) như được thể hiện trong công thức (1.92) khi θ = 0.

( n e được gọi là các chiết suất chính của tinh th và nói chung ph thuộc vào nhiệt độ cũng như bước sóng

Thông thường, chúng ta thay thế các phương trình từ (1.87) đến (1.89) bằng các dạng gần đúng của chúng Đối với bất kỳ sóng thường nào lan truyền theo phương z, ta có thể viết: c = z in O.

SỰ LAN TRUYỀN ÁNH SÁNG TRONG MÔI TRƯỜNG

Phương trình sóng phi tuyến tổng quát

Trong chương này, chúng ta sẽ nghiên cứu sự lan truyền của các xung laser có cường độ lớn, với độ rộng từ femtô giây đến picô giây, khác với chương 1, nơi chỉ xem xét các hiện tượng tuyến tính trong điều kiện cường độ trường yếu Khi các xung laser này di chuyển trong môi trường quang học, sẽ xuất hiện các hiện tượng phi tuyến mới Để thiết lập mô hình toán học cho bài toán, chúng ta sẽ dựa trên các phương trình Maxwell cùng với những bổ sung phù hợp Mối quan hệ giữa độ phân cực của điện môi và điện trường trong môi trường vẫn được áp dụng tương tự như trong chương 1, ngay cả khi xem xét các trường laser có cường độ cao.

 , (2.1) tuy nhiên trong đó vectơ phân cực của môi trường sẽ là:

 (2.2) thành phần thứ nhất ở vế phải là vectơ phân cực tuyến tính còn thành phần thứ hai là vectơ phân cực phi tuyến Về độ lớn thì P  nl ( r  , t ) P  l ( r  , t )

 và nó được xem như một nhiễu loạn lên phân cực tuyến tính P  l ( r  , t )

Qua việc bổ sung này, chúng ta viết lại hệ phương trình Maxwell cho các trường như sau: t t r t H r

kết hợp với (2.2) và thực hiện các biến đổi hoàn toàn tương tự như trong chương 1 (phương trình (2.7), ta rút ra phương trình cho điện trường như sau:

 (2.4) do P  nl ( r  , t ) là một hàm phi tuyến của trường E  ( r  , t ) nên phương trình (2.4) ở đây là phương trình sóng phi tuyến

Sử d ng hệ thức (1.15) trong chương 1, ta suy ra mối liên hệ giữa vectơ phân cực điện và vectơ phân cực phi tuyến:

  (2.5) vì vậy, từ phương trình thứ hai của (2.3) ta có:

 (2.6) theo trên, thành phần phi tuyến rất nhỏ nên ta vẫn có hệ thức gần đúng:

  (2.8) đ giải phương trình sóng phi tuyến (2.8) tìm nghiệm của trường E  ( r  , t )

, chúng ta cần biết bi u thức c th của thành phần sóng phân cực phi tuyến

Trong nghiên cứu trường hợp môi trường quang học đẳng hướng, chúng ta sẽ áp dụng một số phép gần đúng để đơn giản hóa phương trình (2.8) cho các trường hợp xung picô giây và fem tô giây.

Phân cực phi tuyến của môi trường

Giả sử rằng vectơ điện trường của xung là sóng phân cực thẳng dọc theo trục x, trong khi phương lan truyền được chọn theo trục z Trường của xung được tạo thành từ tổ hợp các sóng phẳng đơn sắc với các tần số ω và vectơ sóng k tương ứng, hướng theo trục z Các tần số ω tập trung xung quanh giá trị trung tâm ω₀, và vectơ sóng tương ứng với tần số này là k₀.

 Ta ký hiệu độ lệch tần số cực đại của sóng là  , với đều kiện / 0  1

Sự tổ hợp của sóng phẳng như trên cho chúng ta bi u diễn trường của xung laser như sau:

Trong nghiên cứu sóng, vectơ đơn vị x  theo trục Ox và hàm bao phức A (x, y, z, t) được sử dụng để mô tả xung Ký hiệu c.c đại diện cho lượng liên hợp phức, với trường là đại lượng thực Hàm A (x, y, z, t) được giả định là biến thiên chậm theo thời gian, cho phép phân tích sự thay đổi trong một chu kỳ dao động của sóng mang.

Môi trường đẳng hướng dẫn đến hiện tượng nhiễu xạ yếu, do đó, chúng ta không cần chú ý đến sự biến thiên của hàm bao theo các trục x và y.

A  và bi u diễn (2.9) của trường trở thành:

 (2.10) do vectơ sóng phân cực tuyến tính tỉ lệ với E 

( r  t  , ) nên ta cũng có th viết

 , (2.11) với Q ( z , t ) có ý nghĩa tương tự như A(z,t) Đối với vectơ sóng phân cực phi tuyến, trong trường hợp tổng quát có th bi u diễn như sau:

) 2 ( 0 dt dt dt t r E t r E t r E t t t t t t dt dt t r E t r E t t t t t r

Tenxơ độ cảm phi tuyến bậc n, ký hiệu là  ( n ) ( t  t 1 , t  t 2 , , t  t n ), thể hiện sự tương tác giữa các thành phần điện trường và tenxơ theo thứ tự thời gian và tọa độ Việc hiểu rõ cách thực hiện các phép nhân giữa các thành phần này là rất quan trọng trong biểu thức trên.

Môi trường đồng nhất và đẳng hướng tạo ra sự đối xứng xuyên tâm, dẫn đến thành phần độ cảm phi tuyến bậc hai.

Trong các độ cảm phi tuyến bậc ch n, triệt tiêu là điều quan trọng Trong biểu diễn gần đúng, chúng ta chỉ xem xét phi tuyến bậc lẻ thấp nhất, tức là bậc ba Do đó, trong các môi trường này, sóng phân cực phi tuyến có dạng đặc trưng.

Môi trường phi tuyến kiểu Kerr, hay còn gọi là môi trường Kerr, được đặc trưng bởi tenxơ  (3) là một ma trận.

3 hàng 27 cột, có 81 thành phần trong đó có nhiều thành phần b ng không Phép nhân cho ta kết quả:

( dt dt dt t z E t z E t z E t t t t t t x dt dt dt t r E t r E t r E t t t t t t x x x t r

Từ đây, chúng ta nhận thấy rằng vectơ P nl (r, t) và E (r, t) có sự tương đồng rõ ràng, tương tự như sóng phân cực tuyến tính Nếu ký hiệu Q nl (r, t) là hàm bao phức của vectơ sóng phân cực phi tuyến, giống như P l (r, t) đã được đề cập ở (2.11), thì chúng ta có thể diễn đạt như sau:

Phương trình Schrodinger phi tuyến

Chúng ta sẽ nghiên cứu sự lan truyền của các xung laser với độ rộng picô giây trong môi trường Kerr Độ rộng của các xung này lớn hơn nhiều so với thời gian đặc trưng của các quá trình trong nguyên tử, phân tử và hạt nhân của môi trường Vì vậy, phản ứng phi tuyến của môi trường đối với trường tới có thể được xem là tức thời Từ góc độ toán học, đặc tính này cho phép biểu diễn thành phần một cách chính xác.

 của tenxơ độ cảm bậc ba trong công thức (2.14) như sau:

Trong phương trình (2.16),  (3) là một hằng số thực, trong khi (t - ti) (với i = 1, 2, 3) đại diện cho các hàm delta Dirac Những hàm này cho thấy rằng phản ứng phi tuyến của môi trường diễn ra một cách tức thời Khi thay thế (2.16) vào (2.14) và thực hiện tích phân, nhờ vào tính chất đặc biệt của hàm delta Dirac, chúng ta có thể thu được kết quả đơn giản.

từ bi u thức của E(z,t) trong phương trình (2.10), ta có:

Sau khi áp dụng công thức (2.18) vào (2.17) và loại bỏ thành phần sóng phi tuyến tần số mang 3ω₀, với giả thiết không có điều kiện hợp pha, kết quả thu được sẽ như sau:

Quay trở lại với phương trình sóng phi tuyến, việc xem xét trường và sóng phân cực phi tuyến sẽ trở nên thuận lợi hơn khi áp dụng phương trình trong không gian Fourier Từ định nghĩa biến đổi Fourier, chúng ta có thể phân tích và hiểu rõ hơn về các đặc điểm của sóng phi tuyến.

Fourier trong chương 1, ta viết được dạng của phương trình (2.8) trong không gian Fourier như sau:

Trong phương trình P c c k n nl (2.21), với n(ω) = 1 + χ(ω), n(ω) đại diện cho chiết suất của môi trường tại tần số ω Phương trình này chỉ ra rằng ở mỗi tần số ω tồn tại hai sóng lan truyền ngược chiều nhau với các vectơ sóng ±k Tuy nhiên, chúng ta chỉ quan tâm đến sóng lan truyền theo hướng dương đã chọn, do đó khi khai căn phương trình, chỉ khảo sát nghiệm có dạng phù hợp.

Phần thứ hai trong căn thức chứa phân cực phi tuyến có độ lớn nhỏ hơn nhiều so với số hạng thứ nhất, cho phép áp dụng phép gần đúng cho biểu thức này Các sóng đơn sắc trong xung laser có vectơ sóng và tần số tập trung xung quanh k₀ và ω₀, do đó có thể thực hiện khai triển Taylor các hàm biểu diễn cường độ trường và phân cực phi tuyến xung quanh các giá trị này Cụ thể, khi xem xét gần đúng bậc ba của khai triển xung quanh ω₀ trong phương trình (2.22), ta có thể thu được các kết quả chính xác hơn.

(2.23) trong đó đ cho gọn chúng ta đã viết  thay cho  0 và hàm c n ( ) /

Số sóng được ký hiệu là β, với các hàm β' (ω₀) và β'' (ω₀) là các đạo hàm của số sóng tại tần số ω₀ Để tìm phương trình lan truyền xung, chúng ta thực hiện biến đổi Fourier ngược từ phương trình gần đúng đã đề cập Đối với các xung picô giây, có thể thấy rằng việc sử dụng gần đúng khai triển phương trình đến bậc hai là đủ chính xác so với kết quả thực nghiệm Do đó, phương trình lan truyền trong không gian Fourier cho các xung picô giây có dạng cụ thể.

E k nl (2.24) dựa vào các tính chất của biến đổi Fourier đã nêu trong chương 1, chuy n sang không gian thực phương trình trên sẽ có dạng như sau:

 (2.25) thay các bi u thức cường độ trường và sóng phân cực phi tuyến theo (2.10) và

(2.26) bỏ qua các thành phần dao động nhanh, kết quả là phương trình lan truyền có dạng:

Gọi  là hệ số đặc trưng cho hiệu ứng phi tuyến: n c c n

 n  n được gọi là hệ số chiết suất phi tuyến, ta viết lại (2.27) như sau:

A      (2.29) số hạng bậc hai chứa  '' ( 0 ) là số hạng bi u diễn t n s c vận tốc nhóm

Phương trình (2.29), được gọi là phương trình Schrödinger phi tuyến, mô tả sự lan truyền của các xung picô giây trong môi trường Kerr Để giải phương trình này, có thể áp dụng nhiều phương pháp khác nhau Phương pháp giải tích tổng quát là một kỹ thuật mạnh mẽ cho phép tìm nghiệm của phương trình, trong khi phương pháp số được sử dụng rộng rãi để nghiên cứu sự lan truyền của các xung với các điều kiện ban đầu tùy ý Trước khi giải phương trình, cần rút gọn và chuẩn hóa các biến số, và sử dụng các biến số cũng như hàm số mới.

Trong phương trình (2.30),  0 đại diện cho độ rộng thời gian xung, trong khi D và N là các chiều dài đặc trưng cho hiện tượng tán sắc và phi tuyến Đại lượng P0 có đơn vị công suất, với b là giá trị công suất cực đại của xung vào N là một số vô hướng, đặc trưng cho phương trình lan truyền.

  (2.31) hàm sign(" ( 0 )) cho giá trị b ng +1 khi " ( 0 )dương (môi tr ng t n s c th ng ) và b ng -1 khi (" ( 0 )) âm (môi tr ng t n s c dị th ng)

Cuối chương, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp số để giải phương trình (2.31) và trình bày lời giải lan truyền xung cho một số trường hợp xung vào c th.

Phương trình Schrodinger phi tuyến suy rộng

Phương trình Schrodinger phi tuyến mô tả hiệu quả quá trình lan truyền của các xung ngắn picô giây trong môi trường Kerr Tuy nhiên, khi áp dụng cho các xung cực ngắn femtô giây, có nhiều sai lệch so với thực nghiệm Các hiện tượng dịch chuyển tần số và tách ung là những hiện tượng phổ biến trong quá trình lan truyền của các xung cực ngắn, nhưng không được phản ánh trong phương trình (2.29).

Trong phần này, chúng ta sẽ trình bày phương trình lan truyền của các xung cực ngắn và giải thích các hiện tượng liên quan Đối với các xung cực ngắn, độ rộng phổ lớn hơn nhiều so với xung ngắn và có thể so sánh với tần số của sóng mang Vì vậy, khi khai triển số hạng tuyến tính trong phương trình (2.22), cần bổ sung thêm các số hạng bậc cao do sự tán sắc xảy ra mạnh hơn với phổ rộng Trong khai triển theo phân cực phi tuyến, cũng cần thêm số hạng bậc cao hơn so với phương trình (2.24) Từ những nhận xét này, chúng ta có thể chấp nhận phương trình khai triển (2.23) là phương trình xuất phát cho nghiên cứu về các xung cực ngắn, thay cho phương trình bậc thấp hơn (2.24).

Để hiểu rõ hơn về phản ứng phi tuyến tức thời của môi trường khi xung lan truyền, cần xem xét các quá trình nội nguyên tử có thời gian vào khoảng 0,1 – 10 fs, trong khi các xung cực ngắn có độ rộng từ 10 fs đến hàng trăm fs Do đó, biểu thức sóng phi tuyến không áp dụng được, và cần bổ sung các số hạng mô tả sự trễ của phản ứng môi trường Sự hiểu biết vi mô về cấu trúc vật chất, thông qua lý thuyết lượng tử, giúp hình dung phức tạp về phổ năng lượng của các phân tử, trong đó năng lượng phân tử là sự kết hợp của năng lượng vỏ điện tử và chuyển động quay, dao động của hạt nhân Khi các photon từ xung laser tương tác với các phân tử, chúng kích thích các phân tử lên mức năng lượng cao hơn, dẫn đến sự tái phân bố mức năng lượng và phát ra photon khi trở về trạng thái năng lượng thấp hơn Quá trình bức xạ này tạo ra các photon có đặc điểm khác với photon tới, được gọi là tán xạ Raman Quá trình bức xạ photon với tần số thấp hơn photon tới gọi là quá trình tán xạ, có xác suất lớn hơn so với quá trình đối tán, trong khi quá trình tán xạ Rayleigh xảy ra khi photon tới và photon bức xạ có đặc điểm tương tự nhau.

Các quá trình này kéo dài một khoảng thời gian tương đương với độ rộng xung, vì vậy khi nghiên cứu sóng phân cực phi tuyến trong môi trường, cần xem xét tác động của tán xạ Raman.

Trước khi áp dụng các biện pháp cụ thể, chúng ta cần xem xét sự tương tác giữa chuyển động của vỏ điện tử và các hạt nhân do lực điện từ, mặc dù khối lượng của điện tử rất nhỏ so với hạt nhân Do đó, có thể sử dụng phương pháp gần đúng đoạn nhiệt (gần đúng Born-Oppenheimer) để đơn giản hóa mô hình, cho phép mô tả chuyển động của vỏ điện tử và hạt nhân một cách độc lập Quá trình tương tác với xung laser dẫn đến phân cực vi mô (tuyến tính và phi tuyến) của phân tử, với sự đóng góp riêng biệt từ cả hạt nhân và điện tử Sóng phân cực phi tuyến có thể được biểu diễn dưới dạng tổng.

P  nl   nl elec   nl nucl 

Các điện tử rất nhạy và phản ứng nhanh chóng với trường, do đó có thể xem chúng như phản ứng tức thời Vì lý do này, thành phần P  nl elec ( r  , t ) trong phương trình trên được trình bày tương tự như (2.17).

(2.33) Ở đây h ng số    1  f R  được xác định thông qua các phép đo từ thực nghiệm

Từ mô hình cơ bản về dao động tắt dần của hạt nhân, các nhà nghiên cứu đã xác định được những đóng góp quan trọng vào phân cực phi tuyến của chúng.

Hàm phản ứng aman (2.35) được xác định cùng với các hằng số thời gian đặc trưng  1 và  2 thông qua các phép đo thực nghiệm Dựa trên các phương trình (2.33) và (2.34), chúng ta có thể viết biểu thức cho sóng phân cực phi tuyến.

Sau khi xác định biểu thức của sóng phân cực phi tuyến, chúng ta sẽ tiếp tục tìm phương trình lan truyền của các xung cực ngắn Đầu tiên, chúng ta chuyển phương trình (2.23) về không gian thực.

(2.37) thay các bi u thức (2.10) và (2.36) vào phương trình trên, ta được:

Tiến hành khai tri n các bi u thức lũy thừa của các điện trường, loại bỏ các thành phần dao động với tần số 2ω₀ và 3ω₀ do không có điều kiện hợp pha, và tiếp tục loại bỏ các thành phần dao động nhanh, ta thu được phương trình cuối cùng.

Do tính chất vật lý của môi trường không phụ thuộc vào việc chọn mốc thời gian nghiên cứu, chúng ta có thể thay đổi biến số trong biểu thức tích phân của phương trình.

(2.40) khai tri n gần đúng bi u thức của bình phương môđun hàm bao dưới dấu tích phân trong phương trình trên và giữ lại các số hạng bậc thấp:

( t h t dt t t z dt A t h t z A dt t t z A t h R R R (2.42) từ điều kiện chuẩn hóa của hàm hR(t):

 dt t h R , (2.43) ta đưa vào tham số mới:

T R R R (2.44) đại lượng này được gọi là th i gian đặc tr ng cho hiện t ng t n ạ Raman Suy ra: t t z A f t T z A dt t t z A t h

( (2.45) thay vào phương trình (2.39), kết quả là:

(2.46) tiếp t c khai tri n phương trình trên và bỏ qua các số hạng chứa đạo hàm bậc cao của thành phần phi tuyến, ta được:

(2.47) trong đó  được xác định theo (2.28), còn:

 d n d n n s (2.48) sử d ng các hàm số và biến số chuẩn hóa ở (2.30), ta viết lại phương trình (2.47) như sau:

R (2.49) với các tham số mới:

Phương trình R = T R (2.50) mô tả các hiện tượng tuyến tính và phi tuyến bậc cao, bao gồm hiện tượng tán xạ bậc ba, tán xung và dịch chuyển tần số Phương trình (2.49) thể hiện sự biến đổi của hàm bao xung cực ngắn khi lan truyền trong môi trường phi tuyến Kerr, với tính phi tuyến mạnh hơn so với phương trình (2.31) nhờ vào các số hạng bậc cao Khi độ dài xung ₀ bé (khoảng femtô giây), các tham số bậc cao mới trở nên rõ ràng, trong khi đối với các xung picô giây, các tham số này rất nhỏ, khiến (2.49) có thể rút gọn về (2.31) Đối với các xung cực ngắn (khoảng 30 fs) trong môi trường SiO2, các tham số trong (2.50) như ₃ ≈ 0,03, S ≈ 0,03, ₁ ≈ 0,1 đều nhỏ so với đơn vị, cho thấy các hiện tượng bậc cao thường được coi là nhiễu loạn so với phi tuyến Kerr và chỉ biểu hiện rõ khi xung lan truyền qua quãng đường đáng kể Đặc biệt, hiện tượng tán xạ Raman là yếu tố quan trọng nhất trong các hiện tượng bậc cao, đóng vai trò chính trong quá trình biến đổi của xung trong miền tần số, bên cạnh các hiện tượng tự dựng xung và tán sắc bậc ba.

Do tính phi tuyến mạnh, phương trình (2.49) khó giải hơn phương trình (2.31) Phương pháp số là phương pháp gần đúng phổ biến được áp dụng cho (2.49) Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ tìm hiểu về phương pháp số thông dụng để giải các phương trình này và minh họa các phân tích vật lý thông qua một số kết quả tính toán cụ thể.

Phương pháp giải gần đúng các phương trình lan truyền xung

Các phương trình lan truyền (2.31) và (2.49) dẫn ra ở trên có th viết được ở dạng chung như sau:

 (2.51) trong đó L ˆ và N ˆ là ký hiệu của các toán tử tuyến tính và phi tuyến tác d ng lên hàm bao U (  ,  ) Đối với phương trình (2.31) thì

 (2.52) còn với phương trình (2.49) ta có th viết

(2.53) do toán tử phi tuyến N ˆ không ph thuộc tường minh vào  nên ta có th viết lại phương trình (2.51):

) , (   (2.54) quá trình lan truyền từ khoảng cách  tới     có th tính được gần đúng b ng cách lấy tích phân:

(2.56) với  '' là một đi m nào đó trong khoảng       p d ng công thức aker-Campbell-Hausdorff cho hàm mũ của các toán tử:

12 ˆ 1 ˆ , 2 ˆ 1 exp ˆ exp ˆ exp A ˆ B A B A B A B A B (2.57) chúng ta rút ra bi u thức gần đúng với các khoảng lan truyền   nhỏ:

Để thực hiện thuật toán cho các phương trình lan truyền, cần hiểu cách tính tác động của các toán tử lên hàm bao, đặc biệt là đối với các toán tử tuyến tính.

Trong không gian Fourier, các đạo hàm theo thời gian được thay thế bằng các phép nhân với lượng (-iω), giúp thuận lợi trong việc xét các quá trình lan truyền tuyến tính Sau khi tính toán tác động của toán tử tuyến tính lên hàm bao, chúng ta quay lại không gian thực để thực hiện các tính toán tiếp theo Quá trình này được tóm tắt qua một công thức cụ thể.

Trong công thức (2.59), U(ξ, ω) được định nghĩa là F[U(ξ, τ)], trong đó F và F⁻¹ biểu thị cho biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược Việc thực hiện các phép biến đổi này trên máy tính đã được tối ưu hóa để rút ngắn thời gian thông qua thuật toán tính nhanh FFT Hiện nay, trong các phần mềm tính toán khoa học phổ biến như MATLAB, để thực hiện biến đổi Fourier cho một hàm, người dùng chỉ cần gọi hàm fft.

Việc tính toán tác động của toán tử phi tuyến B ˆ lên hàm bao được thực hiện đơn giản hơn, đặc biệt với phương trình (2.31) khi chỉ cần phép nhân đại số thông thường do toán tử phi tuyến không chứa đạo hàm theo công thức (2.52) Ngược lại, với phương trình (2.49), toán tử phi tuyến chứa các đạo hàm theo τ, yêu cầu chuyển các đại lượng đạo hàm sang không gian Fourier, thực hiện phép nhân đại số trong không gian này, rồi chuyển về không gian thực theo công thức (2.59) Sau khi xử lý các số hạng chứa đạo hàm, tổng hợp tác động và thực hiện nhân đại số tương tự như với phương trình (2.31).

Quá trình thực hiện thuật toán (2.58) được lặp lại cho các khoảng lan truyền nhỏ   liên tiếp, cho đến khi đạt được quãng đường mong muốn Sự thay đổi của hàm U (, ) trong quá trình tính toán giúp chúng ta hiểu rõ hơn về sự biến đổi của xung khi thâm nhập vào môi trường Tóm tắt quá trình tính toán này được thể hiện trong sơ đồ dưới đây.

Sử d ng phần mềm MATLAB viết cho thuật toán (2.58) đối với các phương trình lan truyền

2.6 Các soliton quang học và hiện tƣợng soliton tự dịch chuy n tần số

Trong phần này, chúng tôi trình bày kết quả tính toán cho quá trình lan truyền của các xung picô giây Các phương pháp giải tích đã chứng minh sự tồn tại của các giải soliton, cho phép các xung duy trì hình dạng ban đầu hoặc trở về hình dạng cũ sau một chu kỳ nhất định khi lan truyền.

Thực nghiệm cũng đã quan sát thấy hiện tượng sóng soliton trong môi trường

Kerr Khi chọn điều kiện ban đầu của hàm bao cho các tính toán b ng số dạng hàm Secant:

Khi U(0, τ) = sec(2.60) với N là số nguyên dương, chúng ta thu được kết quả tương tự như các phương pháp giải tích Các xung này được gọi là soliton quang học Hình vẽ dưới đây minh họa một số kết quả tính toán, cho thấy rằng sau một chu kỳ nhất định, các xung laser sẽ trở lại hình dạng ban đầu của chúng.

Hình 2.1 Các soliton bậc nhất (N=1), bậc hai (N=2) và bậc ba (N=3)

Các soliton có tính tuần hoàn trong quá trình lan truyền do sự cạnh tranh giữa hiện tượng tán sắc tuyến tính và phi tuyến Kerr, dẫn đến tự biến điệu pha Hiện tượng tán sắc làm xung mở rộng về mặt thời gian, trong khi tự biến điệu pha có xu hướng nén xung lại, làm cho phổ tần số mở rộng Đối với soliton bậc nhất (xung Secant với N=1), có sự cân bằng lý tưởng giữa hai hiện tượng này, do đó hàm bao và phổ tần số không biến đổi Ngược lại, các soliton bậc cao (N>1) có hàm bao và phổ phức tạp hơn, với cường độ lớn khiến hiện tượng phi tuyến chiếm ưu thế ban đầu và nén xung lại Khi nén đến giới hạn nhất định, phổ xung mở rộng đủ lớn để hiện tượng tán sắc chi phối quá trình lan truyền, làm xung mở rộng ra Kết quả là xung bị biến dạng nhưng sau một số chu kỳ, nó trở về hình dạng ban đầu Đối với xung femtô giây, kết quả tính toán cho thấy sự dịch chuyển tần số khi xung đi sâu vào môi trường.

Hình 2.2 Hiện tượng soliton tự dịch chuy n tần số

Trong trường hợp này, xung vào có dạng hàm Secant với N=2 và các tham số bậc cao là: δ3 ≈ 0,03, S ≈ 0,03, τR ≈ 0,1 So sánh phân bố phổ của xung cuối quá trình lan truyền với xung vào cho thấy sự dịch chuyển về các tần số thấp, phù hợp với các phân tích trước đó Hiện tượng dịch chuyển tần số xung xảy ra do trong các quá trình tán xạ Raman cưỡng bức, quá trình Stokes có hiệu suất cao hơn so với quá trình đối Stokes, dẫn đến việc phổ tần số dịch chuyển dần về miền tần số thấp Môi trường đã "khuếch đại" các bước sóng dài của xung, khiến xung mất dần năng lượng và trải qua những biến đổi phức tạp khi đi sâu vào môi trường.

Chương 2 trình bày các kết quả nghiên cứu về sự lan truyền của các xung laser cường độ lớn trong môi trường đẳng hướng Khi lan truyền các xung này gây ảnh hưởng lên môi trường và làm cho môi trường trở thành phi tuyến và được gọi là môi trường phi tuyến Kerr Chúng tôi đã dẫn ra phương trình sóng phi tuyến tổng quát cho bài toán, đồng thời xác định bi u thức của sóng phân cực phi tuyến của môi trường Qua việc khai tri n gần đúng phương trình sóng phi tuyến, chúng tôi đưa ra các dạng gần đúng bậc thấp của các thành phần Fourier Khi chuy n sang không gian thực và qua các phép gần đúng thích hợp, các phương trình này (phương trình Schrodinger phi tuyến và phương trình Schrodinger phi tuyến suy rộng) được dùng đ mô tả lan truyền của các xung bậc picô giây và femtô giây Trong đó chúng tôi phân tích r về mặt vật lý ảnh hưởng của quá trình tán xạ Raman đối với sự biến đổi của xung

Luận văn giới thiệu phương pháp Split-step Fourier, một kỹ thuật tính toán số phổ biến cho các bài toán liên quan đến soliton quang học và soliton tự dịch chuyển tần số Kết quả thu được từ phương pháp này cho thấy sự phù hợp với các quan sát thực nghiệm, khẳng định tính chính xác và hiệu quả của phương pháp đã được áp dụng.

Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu các hiện tượng cơ bản trong quá trình lan truyền của xung laser trong môi trường quang học Môi trường thể hiện tính chất tuyến tính hoặc phi tuyến tùy thuộc vào cường độ của các xung Chương 1 tập trung vào các hiện tượng tuyến tính, bao gồm các tính toán cho một số trường hợp xung cụ thể Sự lan truyền tuyến tính của xung trong môi trường tinh thể đơn trục được phân tích chi tiết, với việc dẫn ra phương trình lan truyền cho sóng thường và dị thường Chúng tôi cũng giải thích hiện tượng lệch khỏi trục lan truyền của sóng dị thường khi đi qua môi trường dị hướng.

Trong chương 2, chúng tôi nghiên cứu sự lan truyền của các xung laser picô giây và femtô giây trong môi trường phi tuyến Kerr Bằng cách sử dụng các phép gần đúng thích hợp, chúng tôi đã phát triển các phương trình lan truyền cho các xung này Chúng tôi cũng trình bày phương pháp tính toán gần đúng thường được áp dụng cho các bài toán tương tự và minh họa qua một số trường hợp tiêu biểu, cho thấy sự phù hợp với các quan sát thực nghiệm, khẳng định tính đúng đắn và hiệu quả của phương pháp.

Định hướng nghiên cứu tiếp theo của đề tài này sẽ tập trung vào việc sử dụng các khai triển bậc cao của phương trình sóng phi tuyến để phân tích ảnh hưởng của các hiện tượng tuyến tính và phi tuyến bậc cao hơn trong quá trình lan truyền Ngoài ra, chúng tôi sẽ áp dụng phương pháp nghiên cứu cho các trường hợp môi trường phi tuyến không phải kiểu Kerr, chẳng hạn như môi trường tinh thể đơn, mà cụ thể là môi trường phi tuyến bậc hai Cuối cùng, chúng tôi sẽ mở rộng bài toán để nghiên cứu nhiều xung lan truyền, bao gồm các sóng cơ bản và các sóng phát sinh từ tương tác phi tuyến.

Các soliton quang học và hiện tượng soliton tự dịch chuy n tần số

1 Cao ong Vân, Đinh Xuân Khoa, Marek Trippenbach, h p môn ang học phi t ến , Vinh – 2003

2 Hồ Quang Quý, Vũ Ngọc Sáu, a er và ang học phi t ến , Vinh – 1997

3 Partha P Banerjee, Nonlinear Optics – Theory, Numerical modeling and Applications , Marcel Dekker – 2004

4 Peter W Milonni, Joseph H Eberly, Laser Physics , Wiley – 2010

5 Robert W Boyd, Nonlinear Optics , Academic Press – 2003

6 G P Agrawal, Nonlinear Fiber Optics , Academic Press – 2003.