Đạo Hàm Nâng Cao Trang Đạo Hàm Nâng Cao ĐẠO HÀM A LÝ THUYẾT CHUNG Định nghĩa đạo hàm điểm 1.1 Định nghĩa : Cho hàm số y  f  x  xác định khoảng  a ; b  x0   a ; b  , đạo hàm hàm số f '  x0   lim điểm x0 : x  x0 f  x   f  x0  x  x0 1.2 Chú ý :  Nếu kí hiệu x  x  x0 ; y  f  x0  x   f  x0  : f '  x0   lim x  x0 f  x0  x   f  x0  y  lim  x  x  x0 x  Nếu hàm số y  f  x  có đạo hàm x0 liên tục điểm Ý nghĩa đạo hàm 2.1 Ý nghĩa hình học: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị  C   f '  x0  hệ số góc tiếp tuyến đồ thị  C  hàm số y  f  x  M  x0 , y0    C   Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x  điểm M  x0 , y0    C  : y  f '  x0    x  x0   y0 2.2 Ý nghĩa vật lí :  Vận tốc tức thời chuyển động thẳng xác định phương trình : s  s  t  thời điểm t0 v  t0   s '  t   Cường độ tức thời điện lượng Q  Q  t  thời điểm t0 : I  t0   Q '  t0  Qui tắc tính đạo hàm cơng thức tính đạo hàm Cho u  u  x  ; v  v  x  ; C : số 3.1 Các quy tắc :   u  v  '  u ' v '   u.v  '  u '.v  v '.u   C.u   C.u C.u   u  u '.v  v '.u  C     , v        2 v u v u  Nếu y  f  u  , u  u  x   yx  yu ux 3.2 Các công thức :   C     x   n.x n ;  x   n 1   u n   n.u n1.u ,  n   , n   Trang Đạo Hàm Nâng Cao  u   2uu   x   x   sin x   cos x   sin u   u. cos u   cos x    sin x   cos u   u.sin u   tan x     tan u     cot x    ,  x  0  cos x , u  0 u cos u u   cot u    sin u sin x Vi phân 4.1 Định nghĩa :  Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm x0 vi phân hàm số y  f  x  điểm x0 : df  x0   f   x0  x  Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x  tích f   x  x gọi vi phân hàm số y  f  x  Kí hiệu : df  x   f   x  x  f   x  dx hay dy  y.dx 4.2 Công thức tính gần : f  x0  x   f  x0   f   x0  x Đạo hàm cấp cao 5.1 Đạo hàm cấp :  Định nghĩa : f   x    f   x    Ý nghĩa học: Gia tốc tức thời chuyển động s  f  t  thời điểm t0 a  t0   f   t0  5.2 Đạo hàm cấp cao : f n  x    f  n1  x  ,  n   , n   B BÀI TẬP TÍNH ĐẠO HÀM Câu 1:  x2 1 x   Tìm a, b để hàm số f  x    x  có đạo hàm điểm x  ax  b x   a  11 A  b  11 Câu 2: a  10 B  b  10 a  12 C  b  12 x  ax  bx  Tìm a, b để hàm số f ( x)   a s in x  b cos x x  Trang a  1 D  b  có đạo hàm điểm x0  Đạo Hàm Nâng Cao Câu 3: Câu 4: A a  1; b  B a  1; b  C a  1; b  1 Cho hàm số f ( x)  x( x 1)( x  2) ( x 1000) Tính f (0) D a  0; b  A 10000! B 1000! D 1110!  x2   8x2  x   Cho hàm số f ( x)   x 0 x   A Câu 5: C 1100! B  C   x   x sin Với hàm số f ( x)   x  x  0 qua bước sau: f ( x)  x sin  x Giá trị f (0) bằng: D Không tồn .Để tìm đạo hàm f '( x)  học sinh lập luận  x 2.Khi x  x  nên f ( x)   f ( x)  3.Do lim f ( x)  lim f ( x)  f (0)  nên hàm số liên tục x  x 0 Câu 6: x 0 4.Từ f ( x) liên tục x   f ( x) có đạo hàm x  Lập luận sai bước: A Bước B Bước C Bước   x sin x  Cho hàm số f ( x)   x 0 x  D Bước (1) Hàm số f ( x) liên tục điểm x  Câu 7: (2) Hàm số f ( x) đạo hàm điểm x  Trong mệnh đề trên: A Chỉ (1) B Chỉ (2) C Cả (1), (2) D Cả (1), (2) sai ax  bx x  Cho hàm số f ( x)   Tìm a, b để hàm số có đạo hàm x  x  2 x  A a  1, b  Câu 8: B a  1, b  C a  1, b  D a  1, b    x  x  x  Đạo hàm hàm số f  x    là:   x   x  x  2 x  A f   x    x   x 1  2 x  x   B f   x    x   x 1  2 x  x   C f   x    x   x 1  2 x  x   D f   x    x   x 1  Trang Đạo Hàm Nâng Cao Câu 9:  x2  x  x   Cho hàm số f  x    x  Tìm a , b để hàm số f  x  có đạo hàm   x  ax  b x   A a  , b  11 Câu 10: Đạo hàm B a  10 , b  11 hàm C a  20 , b  21 y  ( x2  1)( x3  2)( x4  3) số D a  , b  biểu thức có dạng ax  bx  cx  15x  dx  ex  gx Khi a  b  c  d  e  g bằng: A B Câu 11: Đạo hàm hàm số y  C D x  2x  ax  bx3  cx  dx  e biểu thức có dạng Khi x3  ( x3  2)2 a  b  c  d  e bằng: A 12 B 10 C D Câu 12: Đạo hàm hàm số y  ( x  2) x  biểu thức có dạng ax  bx  c x2  Khi a.b.c bằng: B 4 C 6 D 8 x 1 ax  b Câu 13: Đạo hàm hàm số y  biểu thức có dạng Khi P  a.b bằng: x2  ( x  1)3 A 2 A P  B P  1 C P  x Câu 14: Cho f  x   f     x  1 x   x  2017  A 2017! Câu 15: Cho hàm số f  x   C  B 2017! 2017! D P  2 D 2017! 1 x  1 x Đạo hàm f   x  biểu thức sau đây? 1 x  1 x  x  1, x   A  x 1   x  2 x  1, x   B  x    x  1 1 x  1, x   C  x    x  1  x  1, x   D  x 2   x  Câu 16: Cho hàm số y  sin  cos x  cos  sin x  Đạo hàm y  a.sin x.cos  cos x  Giá trị a số nguyên thuộc khoảng sau đây? A  0;  Câu 17: Cho hàm số y  C  3;  B  1;5  D  4;7  1 1 1    cos x với x   0;   có y  biểu thức có dạng 2 2 2 x a.sin Khi a nhận giá trị sau đây: Trang Đạo Hàm Nâng Cao A B  x Câu 18: Đạo hàm hàm số y  A  a2 a x  C a2 a D  ( a số) là: a  x2 B x  C 2a a x  a2 D a x  Câu 19: Cho hàm số y  x  x Mệnh đề sau ? A y3 y   B y y   C y y   D y3 y   sin x  cos3 x Câu 20: Cho hàm số y  Mệnh đề sau ?  sin x cos x A y  y  B y  y  C y  y  D y  y  Câu 21: Cho f ( x)  sin x  cos6 x g ( x)  3sin x.cos2 x Tổng f ( x)  g ( x) biểu thức sau đây? A 6(sin5 x  cos5 x  sin x.cos x) C D Câu 22: Cho hàm số f  x   B 6(sin5 x  cos5 x  sin x.cos x) x2 30 Tìm f    x  : x 1 A f 30  x   30!1  x  30 C f 30  x   30!1  x  B f 30  x   30!1  x  30 31 D f 30  x   30!1  x  31 Câu 23: Cho hàm số y  cos x Khi y (2016) ( x) A  cos x C  sin x B sin x D cos x Câu 24: Cho hàm số y  cos2 x Giá trị biểu thức y  y  16 y  16 y  kết sau đây? A x C  cos x  B  D  k 2 , k     Câu 25: Cho hàm số y  f  x   cos  x   Phương trình f    x   8 có nghiệm thuộc 3    đoạn 0;  là:  2 A x  , x   B x   C x  , x   D x  , x  Câu 26: Cho hàm số f  x   5x  14 x  Tập hợp giá trị x để f '  x   Trang  Đạo Hàm Nâng Cao 7 9 A  ;  5 5 7  B  ;  5   7 C 1;   5 7  D  ;   5  Câu 27: Cho hàm số f  x   x  x  Tập giá trị x để x f   x   f  x   là:   ;   B      A  ;       C  ;  3    D  ;     Câu 28: Cho hàm số f  x   x  x Tập nghiệm S bất phương trình f '  x   f  x  là: 2   A S   ;0    ;     B S   ;0   1;       2  C S   ; ;         2 2 D S   ;   1;     Câu 29: Cho hàm số f  x   sin x  cos4 x, g  x   sin x  cos2 x Tính biểu thức f '  x   2g '  x   A B C D Câu 30: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị  C  hình vẽ Tính A  f ' 1  f '    f '  3 A A  B A  6 C A  D A  12 mx3  mx   3m  1 x  Tập giá trị tham số m để y  với Câu 31: Cho hàm số f  x   x  là:  A ;  B  ; 2 C  ;0 D  ;0  Câu 32: Cho hàm số y   m  1 x3   m  2 x   m   x  Tập giá trị m để y  x  A 3;   B 1;   C   D  2;  Câu 33: Cho hàm số f  x   sin x  sin x Tìm giá trị lớn M giá trị nhỏ m f   x   Trang Đạo Hàm Nâng Cao A m   , M  B m  1 , M  C m  2 , M  m 5, D M  Câu 34: Cho hàm số f  x   cos3 x  sin x  2cos x  3sin x Biểu diễn nghiệm phương trình lượng giác f   x  đường tròn ta điểm phân biệt? A điểm B điểm C điểm D điểm Câu 35: Đẳng thức sau đúng? A Cn1  2Cn2  3Cn3  nCnn  n.2n1 , n  N B Cn1  2Cn2  3Cn3  nCnn   n  1 2n , n  N C Cn1  2Cn2  3Cn3  nCnn   n  1 2n1 , n N D Cn1  2Cn2  3Cn3  nCnn   n  1 2n1 , n N Câu 36: Tính tổng với n  N , n  : S  1.2.Cn2  2.3.Cn3   (n  2).(n  1).Cnn1  (n  1).n.Cnn A (n  1).(n  2).2n2 C n.(n  1).2n1 B n.(n  1).2n2 D (n  1).(n  2).2n Câu 37: Tính tổng S  Cn0  2Cn1  3Cn2   (n  1)Cnn B (n  1).2n1 A n.2n1 99 Câu 38: Tính tổng: S  100.C 100 A 10 C (n  2).2n1 100 1 1    101.C100   2 2 B D (n  1).2n 198   199.C 100 1   2 C 199  200.C 100 100 1   2 D 100 PHƢƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Câu 39: Biết tiếp tuyến  d  hàm số y  x3  x  vng góc với đường phân giác góc phần tư thứ Phương trình  d  là: A y   x  18  18   , y  x   9 3 B y  x, y  x  C y   x  18  18   , y  x   9 3 D y  x  2, y  x  Trang Đạo Hàm Nâng Cao x 1 x 1 song song với nhau: (C) Có cặp điểm A, B thuộc  C  mà tiếp tuyến A B Câu 40: Cho hàm số y  C D Vô số Câu 41: Cho hàm số y  x3  3x  x  có đồ thị  C  Trong tiếp tuyến với đồ thị  C  , tìm phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ A y  8x  19 B y  x  19 C y  8x  10 D y   x  19 Câu 42: Cho hàm số y  x3  x  x có đồ thị (C) Gọi x1 , x2 hoành độ điểm M , N C  , mà tiếp tuyến  C  vng góc với đường thẳng y   x  2017 Khi x1  x2 bằng: A B 4 C Câu 43: Cho đồ thị hàm số  C  : y  x  x  2017 đường thẳng d : y  D 1 x  Có tiếp tuyến (C) vng góc với đường thẳng d? A tiếp tuyến B tiếp tuyến C Không có tiếp tuyến D tiếp tuyến có điểm M cho tiếp tuyến với trục tọa x 1 độ tạo thành tam giác có diện tích Tọa độ M là: Câu 44: Trên đồ thị hàm số y  A  2;1  1 B  4;   3  4 C   ;    7 3  D  ; 4  4  Câu 45: Tiếp tuyến parabol y   x điểm (1;3) tạo với hai trục tọa độ tam giác vng Diện tích tam giác vng là: A 25 B C D 25 Câu 46: Cho đồ thị hàm số  C  : y  ; điểm M có hồnh độ xM   thuộc (C) Biết tiếp tuyến x (C) M cắt Ox, Oy A , B Tính diện tích tam giác OAB A SOAB  B SOAB  Câu 47: Biết với điểm M tùy ý thuộc  C  : y  C SOAB  D SOAB   x  3x  , tiếp tuyến M cắt  C  hai x2 điểm A,B tạo với I  2; 1 tam giác có diện tích khơng đổi, diện tích tam giác là? A (đvdt ) B (đvdt ) Trang C (đvdt ) D (đvdt ) Đạo Hàm Nâng Cao Câu 48: Cho hàm số y   x3  3x  có đồ thị  C  Tìm điểm trục hồnh cho từ kẻ ba tiếp tuyến đến đồ thị hàm số có hai tiếp tuyến vng góc với   A M   ;0   27   28  B M   ;0      C M   ;0     28  D M   ;0   27  2x 1 có đồ thị  C  Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị  C  cho x 1 tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy điểm A , B thoả mãn OA  4OB Câu 49: Cho hàm số y   y   x  A   y   x  13  4  y   x  B   y   x  13  4  y   x  C   y   x  13  4 y  x3  x  3x có đồ thị Câu 50: Cho hàm số  y   x  D   y   x  13  4 4 4 A  ;  Có giá trị 9 3    : y  x   : y  3x    : y  x để tiếp tuyến   : y  x  giao điểm với trục tung   3   128  : y   x   : y   x  81 81   tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích A B Câu 51: Cho hàm số y  C  C D x 1 Tìm giá trị nhỏ m cho tồn điểm M  2x 1 mà tiếp tuyến  C  M tạo với hai trục toạ độ tam giác có trọng tâm nằm đường thẳng d : y  2m  A B C D Câu 52: Cho hàm số y  133x  508; y  8x  8; y  5x  , có đồ thị  C  Có điểm C  thuộc  C  cho tiếp tuyến  C  cắt  Oy  24  3x0  x0   4  x0   x03  x02  x0  B cho diện tích tam giác x0  1 , x0  6 gốc tọa độ A Câu 53: y B x  2mx  2m2  x 1  Cm  cắt C D trục hoành hai điểm phân biệt tiếp tuyến với  Cm  hai điểm vng góc với Trang Đạo Hàm Nâng Cao x  2mx  m Đồ thị hàm số y  cắt trục Ox hai điểm phân biệt  phương trình * có xm m   m      m  m   hai nghiệm phân biệt khác m    m   m  m      Gọi M  x0 ; y0  giao điểm đồ thị  C  với trục hồnh y0  x02  2mx0  m  hệ số góc tiếp tuyến với  C  M là:  x0  2m  x0  1   x02  2mx0  m  x0  2m k  y  x0    x0  m  x0  m  Vậy hệ số góc hai tiếp tuyến với  C  hai giao điểm với trục hoành k1  k2  x2  2m x2  m  x  2m  x2  2m  Hai tiếp tuyến vng góc  k1.k2  1      1 x  m x  m      x1 x2  m  x1  x2   m2     x1 x2  m  x1  x2   m2  ** m  x x  m Ta lại có  , **  m2  5m    Nhận m  m   x1  x2  2m Câu 55: Phương trình tiếp tuyến  C  : y  x3 biết qua điểm M  2;  là: A y  27 x  54 B y  27 x  9; y  27 x  C y  27 x  27 D y  0; y  27 x  54 Hƣớng dẫn giải Chọn D + y '  3x + Gọi A( x0 ; y0 ) tiếp điểm PTTT (C ) A( x0 ; y0 ) là: y  3x02  x  x0   x03 (d ) + Vì tiếp tuyến (d ) đí qua M (2;0) nên ta có phương trình:  x0  3x02   x0   x03     x0  + Với x0  thay vào (d ) ta có tiếp tuyến y  + Với x0  thay vào (d ) ta có tiếp tuyến y  27 x  54 Trang 37 x1  2m , x1  m Đạo Hàm Nâng Cao x2 Câu 56: Cho hàm số f  x    x  , có đồ thị  C  Từ điểm M  2;  1 kẻ đến  C  hai tiếp tuyến phân biệt Hai tiếp tuyến có phương trình: A y   x  y  x  B y  x  y  2 x  C y   x  y   x  D y  x  y   x  Hƣớng dẫn giải Chọn A Gọi N  x0 ; y0  x0 x  x0  ; f   x0    tiếp điểm; y0  x2 x  Phương trình tiếp tuyến N là: y    1  x  x0    x0  2  x2 x2 x  Mà tiếp tuyến qua M  2;  1  1    1   x0    x0     x0  4 2   x0  0; y0  1; f     1   x0  4; y0  1; f     Phương trình tiếp tuyến : y   x  y  x  Câu 57: Tiếp tuyến parabol y   x điểm (1;3) tạo với hai trục tọa độ tam giác vng Diện tích tam giác vng là: A 25 B C D 25 Hƣớng dẫn giải Chọn D + y  2 x  y(1)  2 +PTTT điểm có tọa độ (1;3) là: y  2( x  1)   y  2 x  (d ) 5  + Ta có (d ) giao Ox A  ;0  , giao Oy B(0;5) (d ) tạo với hai trục tọa độ 2  tam giác vuông OAB vuông O 1 25 Diện tích tam giác vng OAB là: S  OA.OB   2 Câu 58: Cho hai hàm số f  x   x g  x   x2 Gọi d1 , d tiếp tuyến đồ thị hàm số f  x  , g  x  cho giao điểm chúng Hỏi góc hai tiếp tuyến A 60 B 45 C 30 Trang 38 D 90 Đạo Hàm Nâng Cao 2x  có đồ thị  C  Viết phương trình tiếp tuyến  C  , biết tiếp tuyến x 1 tạo với hai trục tọa độ tam giác vuông cân Câu 59: Cho hàm số y  A  : y   x  ;  : y   x  B  : y  2 x  ;  : y   x  11 C  : y   x  78 ;  : y   x  11 D  : y   x  ;  : y   x  Hƣớng dẫn giải Chọn A Hàm số xác định với x  Ta có: y '  4 ( x  1) Tiệm cận đứng: x  ; tiệm cận ngang: y  ; tâm đối xứng I (1; 2) Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm, suy phương trình tiếp tuyến  C  : : y  2x  4 ( x  x0 )  ( x0  1) x0  Vì tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ tam giác vuông cân nên hệ số góc tiếp tuyến 1 4  1  x0  1, x0  ( x0  1) * x0  1  y0    : y   x  * x0   y0    : y   x  Câu 60: Cho hàm số y   x  có đồ thị  C  Viết phương trình tiếp tuyến  C  , biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích x0 A    ; y  y '  x0  x  x0   y  x0    3x0  6x0  9  x  x0   x0  3x02  9x0  11 B    ; I  29  ;184    C    29  184  3x0  x0    x0   x0  3x02  x0  11 ;    x03  32 x02  58x0  260   x0  13 D x0  ; x0  2 Hƣớng dẫn giải Chọn D Hàm số xác định với x  2 Ta có: y  420 x  3876 Gọi M ( x0 ; y0 )  (C ) Tiếp tuyến y  36 x  164  C  M có phương trình Trang 39 Đạo Hàm Nâng Cao x0 x02 4 y ( x  x0 )   x ( x0  2)2 x0  ( x0  2)2 ( x0  2) Gọi A, B giao điểm tiếp tuyến y  15x  39 với Ox, Oy y     Suy A :  x02  x   x0  A( x0 ;0) 2  ( x  2) x  ( x  2)    0  y   x   x02   B: x0  B  0;   ( x0  2)   y  ( x  2)  Vì A, B  O  x0  x04 1 Tam giác AOB vuông O nên SAOB  OA.OB  2 ( x0  2) Suy SAOB  x04    x04  ( x0  2) 18 ( x0  2)  x0  3x02  x0   (vn)    x0   3x0  x0    4 * x0   y0  , y '( x0 )  Phương trình  : y  x  9 9 9 * x0    y0  1, y '( x0 )  Phương trình  : y  ( x  )   x  4 Câu 61: Cho hàm số y  x 1 x 1 (C) Có cặp điểm A, B thuộc  C  mà tiếp tuyến song song với nhau: A B C D Vô số Hƣớng dẫn giải Chọn D Ta có: y '  2  x  1 Đồ thị hàm số y  x 1 có tâm đối xứng I 1;1 x 1 Lấy điểm tùy ý A  x0 ; y0    C  Gọi B điểm đối xứng với A qua I suy B   x0 ;2  y0    C  Ta có: Trang 40 Đạo Hàm Nâng Cao Hệ số góc tiếp tuyến điểm A là: k A  y '  x0   2  x0  1 Hệ số góc tiếp tuyến điểm B là: kB  y '   x0   2 1  x0  Ta thấy k A  kB nên có vơ số cặp điểm A, B thuộc  C  mà tiếp tuyến song song với có điểm M cho tiếp tuyến với trục tọa độ x 1 tạo thành tam giác có diện tích Tọa độ M là: Câu 62: Trên đồ thị hàm số y   1 B  4;   3 A  2;1  4 C   ;    7 3  D  ; 4  4  Hƣớng dẫn giải Chọn D Ta có: y '    x  1 Lấy điểm M  x0 ; y0    C  Phương trình tiếp tuyến điểm M là: y    x0  1  x  x0   x0   Giao với trục hoành:     Ox=A  x0  1;0   2x 1  Giao với trục tung:     Oy=B  0;    x  12    SOAB  2x 1  3   OA.OB      x0  Vậy M  ; 4  4   x0   Câu 63: Định m để đồ thị hàm số y  x3  mx  tiếp xúc với đường thẳng d : y  ? A m  3 B m  C m  1 Hƣớng dẫn giải Chọn A Đường thẳng y  x3  mx  đồ thị hàm số y  tiếp xúc  x3  mx   (1)  có nghiệm   3x  2mx  (2) x  (2)  x(3x  2m)     x  2m  + Với x  thay vào (1) không thỏa mãn Trang 41 D m  Đạo Hàm Nâng Cao + Với x  2m thay vào (1) ta có: m3  27  m  3 Câu 64: Gọi S tập tất giá trị thực m cho đường thẳng d : y  mx  m  cắt đồ thị (C ) : y  x3  3x  ba điểm phân biệt A, B, I 1; 3 mà tiếp tuyến với (C ) A B vng góc với Tính tổng tất phần tử S A 1 B C D Câu 65: Cho hàm số y  x  2018x có đồ thị  C  M điểm  C  có hồnh độ x1  Tiếp tuyến  C  M cắt  C  điểm M khác M , tiếp tuyến  C  M cắt  C  điểm M khác M , tiếp tuyến  C  điểm M n 1 cắt  C  điểm Mn M n 1 khác  n  4; 5;  , gọi  xn ; yn  tọa độ điểm M n Tìm n để: 2018xn  yn  22019  A n  647 B n  675 C n  674 D n  627 Hƣớng dẫn giải Chọn C Gọi M k  xk ; yk    C  với k  1; 2; Tiếp tuyến M k : y  y  xk  x  xk   yk  y   3xk2  2018  x  xk   xk3  2018xk Hoành độ M k 1 nghiệm phương trình: x3  2018x   3xk2  2018  x  xk   xk3  2018 xk   x  xk   x  x.xk  xk2    x  xk   x  2 xk  xk 1  2 xk , k (do xk  xk 1 ) Do đó: x1  ; x2  2 ; x3  ; ….; xn   2  n 1 Theo đề bài: 2018xn  yn  22019   2018xn  xn3  2018xn  22019    2  3n3 Câu 66: Cho   2  hàm số 2019  n  674 y  f  x xác định có đạo hàm  thỏa mãn  f 1  x   x   f 1  x  Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x  điểm có hồnh độ A y   x  7 B y  x 7 C y   x  7 Hƣớng dẫn giải Chọn A * Phân tích: Trang 42 D y   x  Đạo Hàm Nâng Cao + Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x  điểm có hồng độ x0 là: y  f   x0   x  x0   f  x0  Do đó, muốn viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ x0 ta phải tính f ( x0 ) f ( x0 ) + Trong giả thiết, cho điều kiện hàm f ( x) , chắn phải vào giả thiết để tính f ( x0 ) f ( x0 ) Hƣớng dẫn giải + Xét  f (1  x)  x   f (1  x) x   1  f (1)  Trong 1 cho x  ta  f (1)   f (1)     f (1)  1 + Đạo hàm vế 1 ta được: 2.(1  x) f (1  x) f (1  x)   3.(1  x) f (1  x). f (1  x)  f (1  x) f (1  x)   f (1  x). f (1  x)  2 Trong   cho x  được: f (1) f (1)   f (1). f (1)  3 Nếu f (1)  thay vào   vô lý  f (1)  1 Thay f (1)  1 vào   f (1)   + Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y   1  x  1  hay y   x  Chọn A 7 Câu 67: Tìm tất giá trị thực thàm số m cho hàm số y  x3  3x  1 C  , đường thẳng d : y  mx  m  giao A  1;3 , B, C tiếp tuyến  C  B C vng góc  3  2 m  A   3  2 m    2  2 m  B   2  2 m    4  2 m  C   4  2 m    5  2 m  D   5  2 m   Hƣớng dẫn giải Ta có: y '  3x  Phương trình hồnh độ giao điểm (C ) (d): Trang 43 Đạo Hàm Nâng Cao x3   m  3 x  m     x  1  x  x  m     x  1, y    x  x  m    * Để hàm số (C ) cắt d điểm phân biệt (*) có nghiệm phân biệt khác -1, nên:     m       f  1   m   Giả sử xB ; xC nghiệm (*), hệ số góc tiếp tuyến: kB  3xB2  3; kC  3xC2  Theo giả thiết: kB kC  1   3xB2  3 3xC2  3  1  9m2  18m    3  2 m    3  2 m    3  2 m  Vậy với  thỏa ycbt  3  2 m   Chọn A x4 Câu 68: Cho hàm số: y   3x  (C ) điểm M  (C ) có hồnh độ xM = a Với giá trị a 2 tiếp tiếp tuyến (C) M cắt (C) điểm phân biệt khác M  a  A   a  1  a  B   a  a  C  a  1  a  D   a  2 Hƣớng dẫn giải Điểm M  (C ) , xM = a => yM  a4  3a  ta có Pt tiếp tuyến với (C) có dạng 2 () : y  yx' M ( x  xM )  yM với yM'  2a3  6a a4 => () y  (2a  6a)( x  a)   3a  2 Hoành độ giao điểm () (C) nghiệm phương trình x4 a4  3x   (2a3  6a)( x  a)   3a   ( x  a) ( x  2ax  3a3  6)  2 2 Trang 44 Đạo Hàm Nâng Cao x  a  2  g ( x)  x  2ax  3a   Bài tốn trở thành tìm a để g(x)=0 có nghiệm phân biệt khác a  'g ( x )  a  (3a  6)  a  a         a     a  1  g ( a )  6a   Chọn A Câu 69: Cho hàm số y  mx3   m  1 x    3m  x  có đồ thị  Cm  , m tham số Tìm giá trị m để  Cm  có điểm có hồnh độ âm mà tiếp tuyến  Cm  điểm vng góc với đường thẳng d : x  y  m  A  m   m  B  m  1 C  m   m  1 D  m   Hƣớng dẫn giải: y /  mx2  2(m  1) x   3m Tiếp tuyến có hệ số góc Ta tìm m : mx2  2(m  1) x   3m  * có nghiệm âm *   x 1 mx  3m  2   x  mx   3m m  : không thỏa yêu cầu m   3m m  , yêu cầu toán xảy 0 m  m  Chọn C Câu 70: Cho hàm số y  x3  12 x  12 có đồ thị  C  điểm A  m; 4  Gọi S tập hợp tất giá trị thực m nguyên thuộc khoảng  2;5  để từ A kẻ ba tiếp tuyến với đồ thị  C  Tổng tất phần tử nguyên S A B C Hƣớng dẫn giải D Chọn A Đường thẳng qua A  m; 4  với hệ số góc k có phương trình y  k  x  m   tiếp xúc   x  12 x  12  k  x  m   1 với đồ thị  C  hệ phương trình  có nghiệm x  12  k     Thế   vào 1 ta được: x3  12 x  12   3x  12   x  m    x3 12 x  12  3x3  3mx2 12 x  12m  Trang 45 Đạo Hàm Nâng Cao  x3  3mx2  12m 16    x   2 x   3m   x   6m  8  x    x   3m   x   6m    * Để từ A kẻ ba tiếp tuyến tới đồ thị  C  * có hai nghiệm phân biệt khác   m  4       3m   3m  12   4  hay m   ; 4    ;    2;      m 3   8  6m   6m    m  Do S  3; 4 Tổng tất giá trị nguyên S   Câu 71: Cho hàm số f  x   x3  x  x  có đồ thị  C  Có tiếp tuyến đồ thị  C  điểm thuộc đồ thị  C  có tung độ nghiệm phương trình f '  x   x f ''  x    A B C Câu 72: Cho hàm số y  f ( x), y  f ( x ), y  D f ( x) có đồ thị (C1 ),(C2 ),(C3 ) Hệ số f ( x2 ) góc tiếp tuyến (C1 ),(C2 ),(C3 ) điểm có hồnh độ x0  k1 , k2 , k3 thỏa mãn k1  2k2  3k3  Tính f (1) A f (1)   B f (1)   C V   D f (1)   Hƣớng dẫn giải k1  f '( x0 )  f '(1) k2  x0 f '( x0 )  f '(1) '  f ( x0 )  f '( x0 ) f ( x0 )  f ( x0 ).2 x0 f '( x0 )  f (1) f '(1)  f '(1) k3      2  f (1)  f (1)   f (x )   f ( x02  Vì vậy: k1  2k2  3k3  f '(1)  f '(1)   f '(1)  f (1)   f (1) Chọn C Câu 73: Cho hàm số y  f  x  , y  g  x  , y  f  x Nếu hệ số góc tiếp tuyến g  x đồ thị hàm số cho điểm có hồnh độ x  khác thì: A f    B f    Trang 46 C f    D f    Đạo Hàm Nâng Cao Hƣớng dẫn giải: Theo giả thiết ta có: f '  0 g  0  g '  0 f  0 1 1  f '  0  g '  0   f  0   g  0  g  0    g  0     g  0 2 4  Chọn B Câu 74: Cho hàm số y  f ( x); y  g ( x) dương có đạo hàm f '( x); g '( x)  Biết tiếp tuyến điểm có hồnh độ xo  đồ thị hàm số y  f ( x); y  g ( x) y  f ( x)  có hệ g ( x)  số góc khác Mệnh đề sau đúng? A f (0)   B f (0)   C f (0)  D f (0)  Hƣớng dẫn giải Chọn A Theo giả thiết ta có: k  f '(0)  g '(0)  f '(0).[g (0)  1]  g '(0)[f (0)  1] 0 [g (0)  1]2 Do k [g (0)  1]  k[f (0)  1]  [g (0)  1]2  g (0)  f (0) [g (0)  1]2 3  f (0)  [g (0)]2  g (0)   ( g (0)  )    4 k Câu 75: Cho hàm số y  x3  3x2  x  có đồ thị (C ) Hai điểm A, B phân biệt (C) có hồnh độ a b  a  b  tiếp tuyến (C) A, B song song với AB  Tính S  2a  3b A S  B S  C S  D S  Hƣớng dẫn giải Chọn A Điểm uốn (C ) điểm I (1; 1) Vậy A(a; a  3a  2a 1), B(2  a;(2  a) 3(2  a) 2(2  a) 1) a  Do AB  4(a  1)  4(a3  3a  2a)  | a  1|  a ( a  2)    a  Do a  2, b   S  Chọn A Trang 47 Đạo Hàm Nâng Cao Câu 76: Cho hàm số y  x3  3x  có đồ thị (C ) Xét điểm A thuộc (C) Gọi S tập hợp tất giá trị thực a cho tiếp tuyến (C) A cắt (C) điểm thứ hai B ( B  A) thỏa mãn ab   a, b hồnh độ A B Tính tổng tất phần tử S A S  B S  C S  D S  Hƣớng dẫn giải Chọn A Điểm uốn (C ) điểm I (1; 1) Vậy A(a; a  3a  2a 1), B(2  a;(2  a) 3(2  a) 2(2  a) 1) a  Do AB  4(a  1)  4(a3  3a  2a)  | a  1|  a ( a  2)    a  Do a  2, b   S  Chọn A Câu 77: Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y   x3  (m  1) x  (3m  2) x  tồn hai điểm M1 ( x1; y1 ), M ( x2 ; y2 ) có toạ độ thoả 3 mãn x1.x2  cho tiếp tuyến với đồ thị hàm số đồ thị hàm số hai điểm vng góc với đường thẳng x  y   Tìm số nguyên âm lớn thuộc tập S B 3 A 1 C 2 D 4 Hƣớng dẫn giải Chọn D Do hai tiếp tuyến vng góc với đường thẳng x  y   nên x1 , x2 nghiệm phương trình y '  k  2  2 x2  2(m  1) x  3m  0(1) Yêu cầu toán tương đương với (1) có hai nghiệm phân biệt x1 x2  , tức  '  (m  1)  2.3m   m  2  m      3m 0  2   m   m  4m   P    2     Vậy m ; 2   2  3;0 Chọn D x  3x  (C ) cho tiếp tuyến (C) A cắt 2 (C) hai điểm phân biệt B, C khác A cho AC  AB (với B nằm A C) Tính độ dài đoạn thẳng OA Câu 78: Gọi A điểm thuộc đồ thị hàm số y  Trang 48 Đạo Hàm Nâng Cao A OA  B C 14 D 17 Hƣớng dẫn giải Chọn D Tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm A có xA  a có dạng y  (2a3  6a)( x  a)  Phương trình hồnh độ giao điểm tiêp tuyến a4  3a  2 (C): x a  3x   (2a3  6a)( x  a)   3a   x  2ax  3a   2 2 Để tiếp tuyến có giao điểm với (C) (1) có nghiệm phân biệt khác a    a    a  1   xB  xC  2a Khi xB , xC nghiệm phương trình (1)  (2)   xB xC  3a    Mặt khác: AC  AB  AC  AB  xC  3xB  2a (3) 3  17  Ta tìm được: a    A   2;   OA    Chọn D thuộc (C) Tiếp tuyến (C) A1 cắt (C) điểm thứ hai A2  A1 có hồnh độ x2 Tiếp tuyến (C) A2 Câu 79: Cho hàm số y  x3  3x  có đồ thị (C ) Xét điểm A1 có hồnh độ x1  cắt (C) điểm thứ hai A3  A2 có hồnh độ x3 Cứ tiếp tục tiếp tuyến (C) An 1 cắt (C) điểm thứ hai An  An1 có hồnh độ xn Tìm x2018 A x2018  22018  B x2018  22018  1 C x2018  3.22017  D x2018  3.22017  2 Hƣớng dẫn giải 45 174  27  x Tiếp tuyến (C ) điểm A1  ;  y  2  Vậy giao điểm thứ hai tiếp tuyến (C) nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm  x   45 175 x3  3x  x  0 x    Trang 49 Đạo Hàm Nâng Cao 189 837  7 243  x Tiếp tuyến (C ) điểm A1  ;  y    Vậy giao điểm thứ hai tiếp tuyến (C) nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm 7  x  189 833 x3  3x  x 0  x  17  Và làm tiếp tục sau nhận xét:  (1)11 (2)1  2 7 x2   (1) 21 22  2 17 x3   (1)31 23  2 xn  (1) n 1 2n  x1  Do x2018  (1)20181.22018  1  22018  2 Chọn A Câu 80: Cho hàm số y  2x  3x  có đồ thị  C  Xét điểm A1 có hồnh độ x1  thuộc  C  Tiếp tuyến  C  A1 cắt  C  điểm thứ hai A2  A1 có hồnh độ x2 Tiếp tuyến  C  A2 cắt  C  điểm thứ hai A3  A2 có hồnh độ x3 Cứ tiếp tục thế, tiếp tuyến  C  An 1 cắt  C  điểm thứ hai An  An1 có hồnh độ xn Tìm giá trị nhỏ n để xn  5100 A 235 B 234 C 118 D 117 Hƣớng dẫn giải Ta có: xk  a  Tiếp tuyến Ak có phương trình hồnh độ giao điểm: 2x  3x   2a  3a    6a  6a   x  a    x  a   2x  4a  3   xk 1  2x k      x1  2        1  x2  4         1 1 n Do xn    2    5100 Chọn n  2k    4k  2    5100  4k   2.5100 4  x1  n  Vậy   xn    2    Xét  xn 1  2x n   4k  2.5100   k  log  2.5100  1  Chọn k  117  n  235 Trang 50 Đạo Hàm Nâng Cao Câu 81: Biết tiếp tuyến đồ thị hàm số y   x  a    x  b    x  c  có hệ số góc nhỏ 3 tiếp điểm có hồnh độ x  1 đồng thời a, b, c số thực khơng âm Tìm GTLN tung độ giao điểm đồ thị hàm số với trục tung? A 27 B C Hƣớng dẫn giải Tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ điểm uốn  Mặt khác y '   x  a    x  b    x  c  2 D 18   y ''  3x  a  b  c  abc  1  a  b  c  Giao điểm với trục tung có tung độ y  a3  b3  c3 Do y ''   x   Vì a  a    b  b2    c  c     a3  b3  c3   a  b  c  Vậy tung độ giao điểm đồ thị hàm số Oy a  3; b  c  hoán vị Chọn A Trang 51 ... Trang Đạo Hàm Nâng Cao Câu 9:  x2  x  x   Cho hàm số f  x    x  Tìm a , b để hàm số f  x  có đạo hàm   x  ax  b x   A a  , b  11 Câu 10: Đạo hàm B a  10 , b  11 hàm C... x  ax  b x   A a  , b  11 B a  10 , b  11 C a  20 , b  21 D a  , b  Chọn D Với x  hàm số ln có đạo hàm Để hàm số có đạo hàm  hàm số phải có đạo hàm x  lim f  x   , lim.. .Đạo Hàm Nâng Cao ĐẠO HÀM A LÝ THUYẾT CHUNG Định nghĩa đạo hàm điểm 1.1 Định nghĩa : Cho hàm số y  f  x  xác định khoảng  a ; b  x0   a ; b  , đạo hàm hàm số f '  x0 