SKKN 2014 Nguyen Van Dung

Hy vọng rằng đề tài này sẽ giúp các em học sinh cùng các bạn đồng nghiệp có được một cái nhìn toàn diện về việc vận dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức, với mỗi dạng toá[r]

Định nghĩa bất đẳng thức

Định nghĩa 1.1 Bất đẳng thức là một mệnh đề chứa biến thuộc một trong bốn dạng sau a > b; a < b (1.1) a≥b; a≤b (1.2)

Nhận xét 1.1 Bất đẳng thức dạng (1.1) là các bất đẳng thức ngặt, còn các bất đẳng thức dạng (1.2) là các bất đẳng thức không ngặt.

Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương

Nếu mệnh đề "a > b ⇒ c > d" đúng, thì bất đẳng thức c > d được coi là hệ quả của bất đẳng thức a > b Ngược lại, nếu bất đẳng thức a > b là hệ quả của bất đẳng thức c > d và ngược lại, chúng ta nói rằng hai bất đẳng thức này tương đương với nhau, ký hiệu là a > b ⇔ c > d.

Tính chất của bất đẳng thức

• Cộng hai vế của bất đẳng thức với một số a > b⇔a+c > b+c

• Nhân hai vế của bất đẳng thức với một số a > b⇔a.c > b.c (nếu c >0) a > b⇔a.c < b.c (nếu c b c > d ⇒a+c > b+d

• Nhân hai bất đẳng thức cùng chiều a > b >0 c > d >0 ⇒a.c > b.d

• Nâng lũy thừa một bất đẳng thức a > b ⇔a 2n+1 > b 2n+1 (n∈Z + ) a > b >0⇒a 2n > b 2n (n∈Z + )

Bất đẳng thức Cô-si

Định lí 1.1 Nếu a, blà hai số không âm thì ta có a+b

Dấu bằng trong bất đẳng thức (1.3) xẩy ra khi và chỉ khia =b. Định lí 1.2 Nếu a 1 , a 2 , , a n là các số không âm thì ta có a 1 +a 2 + +a n n ≥ √ n a 1 a 2 a n (1.4)

Dấu bằng trong bất đẳng thức (1.4) xẩy ra khi và chỉ khia 1 =a 2 = =a n

Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức

Một số ví dụ cơ sở và hệ quả

Bài toán 2.1 Cho a, blà các số dương, chứng minh rằng

Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương a và b; 1 a và 1 b, ta có: a+b≥2√ ab (2.1a)

Nhân vế với vế hai bất đẳng thức (2.1a), (2.1b) ta được bất đẳng thức (2.1)

Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi a=b.

Nhận xét 2.1 Từ bất đẳng thức (2.1) ta rút ra được hai bất đẳng thức hệ quả quan trọng sau đây:

Dấu bằng trong các bất đẳng thức (2.2), (2.3) xẩy ra khi và chỉ khia =b.

Bài toán 2.2 Cho a, b, clà các số dương, chứng minh rằng

Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương a, b, c và 1 a,1 b,1 c, ta có: a+b+c≥3√ 3 abc (2.4a)

Nhân vế với vế hai bất đẳng thức (2.4a), (2.4b) ta được bất đẳng thức (2.4)

Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi a=b =c.

Nhận xét 2.2 Từ bất đẳng thức (2.4) ta rút ra được hai bất đẳng thức hệ quả quan trọng sau đây:

Dấu bằng trong các bất đẳng thức (2.5), (2.6) xẩy ra khi và chỉ khia =b =c.

Nhận xét 2.3 Một cách tổng quát ta có kết quả sau

Cho a1, a2, , an là các số thực dương, khi đó

1 a 1 + 1 a 2 + + 1 a n ≥ n 2 a 1 +a 2 + +a n (2.7) Đẳng thức xẩy ra khia 1 =a 2 = =a n

Các bất đẳng thức (2.2), (2.3), (2.5), (2.6) và (2.7) là những bất đẳng thức cơ bản, đóng vai trò quan trọng trong việc chứng minh nhiều bất đẳng thức khác Dưới đây là một số ví dụ minh họa cho điều này.

Bài toán 2.3 (Đại học khối A năm 2005)

Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn 1 x +1 y + 1 z = 4 Chứng minh rằng

Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức (2.3) ta được kết quả sau

16(2 x+ 1 y +1 z) (2.8a) tương tự ta cũng có 1 x+ 2y+z ≤ 1

Cộng vế với vế các bất đẳng thức (2.8a), (2.8b), (2.8c) và sử dụng giả thiết 1 x+1 y+1 z = 4 , ta được điều phải chứng minh.

Dấu bằng trong bất đẳng thức (2.8) xẩy ra khi và chỉ khi

Nhận xét 2.5 Từ bài toán trên ta có bài toán mở rộng hơn như sau

Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014

Bài toán 2.4 Cho n là số nguyên dương và a1, a2, , an là các số thực dương, thỏa điều kiện 1 a1

1 m 1 a 1 +m 2 a 2 + +m n a n + 1 m 2 a 1 +m 3 a 2 + +m 1 a n + 1 m n a 1 +m 1 a 2 + +mn−1a n ≤ k m 1 +m 2 + +m n (2.9) Bài toán 2.5 Cho a, b, clà ba cạnh của tam giác và plà chu vi Chứng minh rằng

Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức (2.2), ta có

Tương tự ta cũng có

Cộng vế với vế 3 bất đẳng thức (2.10a),(2.10b), (2.10c) ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khia =b =c.

Bài toán 2.6 Cho a, b >0và a+b = 1 Chứng minh rằng a 2 a+ 1 + b 2 b+ 1 ≥ 1

Mặt khác áp dụng bất đẳng thức (2.2) ta có Ta có

Từ hai bất đẳng thức (2.11a), (2.11b) ta suy ra điều phải chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khia =b = 1

Bài toán 2.7 (Bất đẳng thức Nesbit)

Cho a, b, clà các số thực dương Chứng minh rằng a b+c+ b c+a + c a+b ≥ 3

Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức Trang 9

= (a+b+c)( 1 b+c+ 1 c+a + 1 a+b)−3 (2.12a) Áp dụng bất đẳng thức (2.5), ta có

Từ hai bất đẳng thức (2.12a), (2.12b) ta suy ra điều phải chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khia =b =c.

Bài toán 2.8 Cho a, b, clà các số thực dương Chứng minh rằng

Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức (2.5) ta có:

Hoàn toàn tương tự ta cũng có:

Cộng vế với vế các bất đẳng thức (2.13a), (2.13b), (2.13c) ta được bất đẳng thức (2.13). Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khia =b =c.

Bài toán 2.9 (Đại học khối D năm 2005)

Cho các số dươngx, y, z thỏa mãn điều kiệnxyz = 1 Chứng minh rằng p1 +x 3 +y 3 xy + p1 +y 3 +z 3 yz +

Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số 1, x, y ta được:1 +x 3 +y 3 ≥3xy

Tương tự ta cũng có các kết quả sau p1 +y 3 +z 3 xy ≥

Cộng vế với vế các bất đẳng thức (2.14a),(2.14b),(2.14c) ta được: p1 +x 3 +y 3 xy + p1 +y 3 +z 3 yz +

√zx) (2.14d) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si và sử dụng giả thiết xyz = 1, ta được

Từ hai bất đẳng thức (2.14d) và (2.14e) ta suy ra bất đẳng thức (2.14). Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khix=y=z = 1.

Cho x, y, z là các số thực dương Chứng minh rằng x y+z + 25y z+x + 4z x+y >2 (2.15)

Dấu bằng trong bất đẳng thức (2.16) xẩy ra khi và chỉ khib = 5a, c= 2a.

2 0 và thỏa điều kiệnab+bc+ca= 1.Chứng minh rằng a 3 +b 3 +c 3 ≥ 1

Nhận xét 2.12 Ta có một số nhận xét trước khi giải như sau

• Dấu bằng của giả thiết xẩy ra khi và chỉ khi a=b=c= 1

• Ta phải sử dụng Cô-si cho 3 sốa 3 ,b 3 , 1

3 để làm xuất hiện tíchabcủa giả thiết. Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có a 3 +b 3 + 1

Cộng vế với vế 3 bất đẳng thức (2.23a), (2.23b), (2.23c) ta có

√3 (đpcm). Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khia =b =c= 1

Bài toán 2.17 Choa, b, clà các số thực dương thỏa điều kiệna+b+c= 3abc Chứng minh rằng

• Nếu a=b=cthì từ giả thiết của bài toán ta có a=b =c= 1.

• Ta nên viết lại giả thiết để một vế là hằng số như sau 1 ab+ 1 bc+ 1 ca = 3.

• Bây giờ ta nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 5 số 1 a 5 , 1 b 5 ,1,1,1 để xuất hiện tích 1 ab.

Chứng minh Ta có a+b+c= 3abc⇔ 1 ab+ 1 bc + 1 ca = 3 (2.24a) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 5 số 1 a 5 , 1 b 5 ,1,1,1, ta được 1 a 5 + 1 b 5 + 1 + 1 + 1≥ 5 ab. Hay a 5 + 1 b 5 ≥ 5 ab−3 (2.24b)

Hoàn toàn tương tự ta có các kết quả b 5 + 1 c 5 ≥ 5 bc −3 (2.24c) c 5 + 1 a 5 ≥ 5 ca −3 (2.24d)

Cộng vế với vế các bất đẳng thức (2.24b),(2.24c),(2.24d) và sử dụng giả thiết (2.24a) ta có bất đẳng thức (2.24).

Dấu bằng trong bất đẳng thức (2.24) xẩy ra khi và chỉ khia=b =c= 1.

Bài toán 2.18 Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng a 2 b+c + b 2 c+a + c 2 a+b ≥ a+b+c

• Bất đẳng thức đã cho là đối xứng với a, b, c nên dấu bằng xẩy ra khi a=b=c.

• Để xuất hiện hạng tử a

2 thì ta nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho a 2 b+c và b+c

Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số a 2 b+c và b+c

Hoàn toàn tương tự ta có các kết quả sau b 2 c+a + c+a

Bây giờ cộng vế với vế 3 bất đẳng thức (2.25a), (2.25b), (2.25c) và rút gọn ta được bất đẳng thức (2.25).

Dấu bằng trong bất đẳng thức (2.25) xẩy ra khi và chỉ khia=b =c.

Nhận xét 2.15 Ta có bài toán tổng quát hơn cho bài toán trên như sau

Bài toán 2.19 (Bài toán tổng quát) Choa, b, clà các số thực dương Chứng minh rằng a n b+c + b n c+a + c n a+b ≥ a n−1 +b n−1 +c n−1

Bài toán 2.20 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa điều kiện abc= 1 Chứng minh rằng a 3 (a+ 1)(b+ 1) + b 3

• Từ giả thiết nếu cho a=b=cthì suy ra a=b=c= 1

• Khi a =b =c = 1 thì mỗi số hạng a 3

• Như vậy ta nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho a 3

(a+ 1)(b+ 1) và 1 số nào đấy để mất tích (a+ 1)(b+ 1) và khử được lũy thừa 3 của a.

Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số a+ 1

Hoàn toàn tương tự ta có các kết quả b 3 (b+ 1)(c+ 1) ≥ 5b

Cộng vế với vế các bất đẳng thức (2.27a), (2.27b), (2.27c) ta được a 3

4 (2.27d) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si và sử dụng giả thiết ta có a+b+c≥3 (2.27e)

Từ (2.27d), (2.27e) ta suy ra điều phải chứng minh.

Dấu bằng trong bất đẳng thức (2.27) xẩy ra khi a=b=c= 1.

Bài toán 2.21 Choa, b, c, dlà các số thực không âm thỏa điều kiệnab+bc+cd+da= 1. Chứng minh rằng a 3 b+c+d + b 3 c+d+a + c 3 d+a+b + d 3 a+b+c ≥ 1

• Từ giả thiết nếu cho a=b=c=d thì ta có a=b=c=d= 1

2 thì mỗi hạng tử a 3 b+c+d, b 3 c+d+a, c 3 d+a+b, d 3 a+b+c đều bằng nhau và bằng 1

• Để khử được mũ 3 của a ta cần phải áp dụng Cô-si cho 3 số, số được chọn phải làm triệt tiêu được mẫu số của các phân số.

Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số a 3 b+c+d,b+c+d

Hoàn toàn tương tự ta có b 3 c+d+a ≥ 1

Cộng vế với vế các bất đẳng thức (2.28a), (2.28b), (2.28c), (2.28d) ta được a 3 b+c+d + b 3 c+d+a + c 3 d+a+b + d 3 a+b+c ≥ 1

3 (2.28e) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si và sử dụng giả thiết ab+bc+cd+da= 1 ta có a+b+c+d= (a+c)(b+d)≥2p

Từ (2.28e), (2.28f) ta suy ra điều phải chứng minh.

Dấu bằng trong bất đẳng thức (2.28) xẩy ra khi và chỉ khia=b =c=d= 1

Bài toán 2.22 Cho a, b, clà các số thực dương thỏa điều kiện a+b+c= 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

• Trước hết ta thấy rằng, bài toán này chỉ có a, bcó vai trò đối xứng, nên dự đoán minP đạt được khia=b.

• Giả sử a=b =x >0, c=y >0 khi đó giả thiết trở thành 2x+y= 3.

• Ta cũng có P = (a 2 +x 2 ) + (b 2 +x 2 ) + (c 3 +y 3 +y 3 )−2(x 2 +y 2 ) hay P ≥[2x(a+b) + 3y 2 c]−2(x 2 +y 2 ) (theo Cô-si)

• Để sử dụng được giả thiết a+b+c= 3 thì 2x= 3y 2

• Do đó x, y được xác định từ hệ phương trình

Bài toán 2.23 Choa, b, clà các số thực dương thỏa mãn điều kiệna+b 2 +c 3 = 325

• Trước hết ta thấy rằng, bài toán này a, b, c không có vai trò đối xứng.

• Giả sử dấu bằng đạt được khi a = x >0, b = y > 0, c = z >0 khi đó giả thiết trở thành x+y 2 +z 3 = 325

• Theo Cô-si ta có a 2 +x 2 ≥2ax⇒a 2 ≥2ax−x 2 b 3 +b 3 +y 3 ≥3b 2 y ⇒b 3 = 3b 2 y

• Để sử dụng được giả thiết a+b 2 +c 3 = 325

• Do đó x, y, z được xác định từ hệ phương trình

Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có a 2 + 4 ≥4a ⇒a 2 ≥4a−4 (2.31a) b 3 +b 3 + (8

27 (đpcm) Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khia = 2;b= 8

Bài toán 2.24 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa điều kiện 4a+ 3b+ 4c = 22. Chứng minh rằng a+b+c+ 1

• Trước hết ta thấy rằng, bài toán này a, b, c không có vai trò đối xứng.

• Giả sử dấu bằng đạt được khi a = x >0, b = y > 0, c = z >0 khi đó giả thiết trở thành 4x+ 3y+ 4z = 22.

• Theo Cô-si ta có

• Để sử dụng được giả thiết 4a+ 3b+ 4c= 22 thì

• Do đó x, y, z được xác định từ hệ phương trình

Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có

3 (đpcm.) Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khia = 1, b= 2, c= 3.

Kỹ thuật Cô-si ngược dấu

Kỹ thuật đặc biệt này áp dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh các bất đẳng thức, và chúng ta sẽ minh họa phương pháp này thông qua một số bài toán cụ thể sau đây.

Bài toán 2.25 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa điều kiện a+b+c= 3 Chứng minh rằng a

Nhận xét 2.21 Ta có một số nhận xét sau trước khi giải

• Ta không thể sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Cô-si cho mẫu số được vì khi đó bất đẳng thức sẽ đổi chiều.

• Do tính đối xứng của các biến a, b, cnên đẳng thức xẩy ra khi a =b =c= 1.

1 +b 2 và đi đánh giá Cô-si cho mẫu số của phân số ab 2

1 +b 2 ta sẽ được bất đẳng thức cùng chiều

Chứng minh Ta viết lại vế trái của bất đẳng thức (2.33) như sau

1 +a 2 ) (2.33a) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có ab 2

Từ các bất đẳng thức (2.33b), (2.33c), (2.33d) ta suy ra ab 2

(Do(a+b+c) 2 = (a 2 +b 2 +c 2 ) + 2(ab+bc+ca)≥3(ab+bc+ca)⇒ab+bc+ca≤3.) Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khia =b =c= 1.

Bài toán 2.26 Cho a, b, c, d là các số dương thỏa mãn điều kiện a+b+c+d = 1. Chứng minh rằng a

Nhận xét 2.22 Ta có một số nhận xét sau trước khi giải

• Ta không thể áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho cả vế trái được vì khi đó không sử dụng được giả thiết của bài toán.

• Ta không thể áp dụng bất đẳng thức Cô-si mẫu số của từng phân số được vì khi đó bất đẳng thức sẽ đổi chiều.

• Ta sử dụng phân tích a

1 +b 2 c và sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho mẫu số thì ta giữ được chiều của bất đẳng thức.

• Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a =b =c=d = 1.

Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có a

Hoàn toàn tương tự ta có các bất đẳng thức sau b

Cộng vế với vế các bất đẳng thức (2.34a), (2.34b), (2.34c), (2.34d), ta được a

Từ bất đẳng thức Cô-si ta cũng dễ dàng suy ra các bất đẳng thức sau ab+bc+cd+da ≤ 1

Từ các bất đẳng thức (2.34e), (2.34f), (2.34g) ta suy ra điều phải chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khia =b =c=d= 1.

Bài toán 2.27 Cho a, b, clà các số dương thỏa điều kiện a+b+c= 1 Chứng minh rằng a+ 1 b 2 + 1 + b+ 1 c 2 + 1 + c+ 1 a 2 + 1 ≥3 (2.35)

Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có a+ 1 b 2 + 1 =a+ 1− (a+ 1)b 2 b 2 + 1 ≥a+ 1− (a+ 1)b 2

Tương tự ta có b+ 1 c 2 + 1 ≥b+ 1− bc+c

Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014 c+ 1 a 2 + 1 ≥c+ 1− ca+a

Cộng vế với vế các bất đẳng thức (2.35a), (2.35b), (2.35c) ta được a+ 1 b 2 + 1 + b+ 1 c 2 + 1 + c+ 1 a 2 + 1 ≥3 + a+b+c

(a+b+c) 2 = (a 2 +b 2 +c 2 ) + 2(ab+bc+ca)≥3(ab+bc+ca)⇒ab+bc+ca≤3.

Từ 2 bất đẳng thức (2.35d), (2.35e) ta có bất đẳng thức cần chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khia =b =c= 1.

Bài tập tự luyện

Hãy sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh các bất đẳng thức dưới đây. Bài tập 2.1 Cho a, b, clà các số thực dương Chứng minh rằng

Bài tập 2.2 Cho a, b, c, dlà các số thực không âm Chứng minh rằng a b+c+ b c+d + c d+a + a a+b ≥2.

Bài tập 2.3 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa điều kiện abc = 1 Chứng minh rằng a 3 (b+ 1)(c+ 1) + b 3

4. Bài tập 2.4 Cho a, b, c, dlà các số thực dương Chứng minh rằng

2(a+b+c) 2 Bài tập 2.5 Cho a, b, c, dlà các số thực dương Chứng minh rằng a 3 a 2 +b 2 + b 3 b 2 +c 2 + c 3 c 2 +d 2 + d 3 d 2 +a 2 ≥ a+b+c+d

Bài tập 2.6 Choa, b, c, dlà các số thực dương thỏa điều kiệna+b+c+d= 4 Chứng minh rằng

Bài tập 2.7 (Đề thi vào 10 THPT chuyên KHTN 2000)

Cho x, y >0 thỏa điều kiệnx+y= 1 Chứng minh rằng

16 Bài tập 2.8 Cho a, b, clà độ dài ba cạnh của tam giác ABC Chứng minh rằng a 2 b+c−a + b 2 c+a−b + c 2 a+b−c ≥a+b+c.

Bài tập 2.9 Cho a, b, clà độ dài ba cạnh của tam giác ABC Chứng minh rằng a b+c−a + b c+a−b + c a+b−c ≥3.

Bài tập 2.10 Cho x, y, z >0, Chứng minh rằng

Bài tập 2.11 Cho a, b, clà các số thực dương Chứng minh rằng

Bài tập 2.12 Cho a, b, clà các số thực dương Chứng minh rằng a 3 b +b 3 c +c 3 a ≥ab+bc+ca.

Bài tập 2.13 Cho x, y >0 và thỏa điều kiệnxy = 1 Chứng minh rằng x x 4 +y 2 + y y 4 +x 2 ≤1.

Bài tập 2.14 Cho x, y, z >0 Chứng minh rằng

2x x 6 +y 4 + 2y y 6 +z 4 + 2z z 6 +x 4 ≤ 1 x 4 + 1 y 4 + 1 z 4 Bài tập 2.15 Cho x, y là hai số thực khác không Chứng minh rằng

Bài tập 2.16 Cho a, b, c >0 thỏa điều kiệna 2 +b 2 +c 2 = 3 Chứng minh rằng

Bài tập 2.17 Cho x, y, z >0 Chứng minh rằng

Bài tập 2.18 (Cao đẳng khối D-2010.)

Cho x, y >0 và thỏa điều kiện3x+y≤1.Chứng minh rằng

Bài tập 2.19 (Đại học khối A-2007.)

Chox, y, z là các số thực dương thỏa điều kiện xyz = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài tập 2.20 (Đại học khối B-2007.)

Cho x, y, z là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài tập 2.21 (Đại học khối B-2005.)

Chứng minh rằng với mọix thuộc R, ta có:

3 ) x ≥3 x + 4 x + 5 x Bài tập 2.22 Cho x, y, z >0 và thỏa điều kiệnx+y+z ≤1 Chứng minh rằng r x 2 + 1 x 2 + r y 2 + 1 y 2 + r z 2 + 1 z 2 ≥√

Bài tập 2.23 Cho x, y, z >0 và thỏa điều kiệnxyz = 1.Chứng minh rằng x 4 y x 2 + 1 + y 4 z y 2 + 1 + z 4 x z 2 + 1 ≥ 3

2. Bài tập 2.24 Cho x, y, z >0 và thỏa điều kiệnxyz = 1.Chứng minh rằng x+y+z ≥ 1 +x

1 +x. Bài tập 2.25 Cho a, b, c, d >0 Chứng minh rằng a−d b+d +d−b c+b + b−c c+a + c−a d+a ≥0.

Bài tập 2.26 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa điều kiện abc = 1 Chứng minh rằng

2. Bài tập 2.27 Cho a, b, c >0 Chứng minh rằng

Bài tập 2.28 Cho a, b, c, d >0 Chứng minh rằng

1 a +1 b +4 c +16 d ≥ 64 a+b+c+d. Bài tập 2.29 Cho a, b, c >0 Chứng minh rằng

Bài tập 2.30 Cho a, b, c >0 Chứng minh rằng a+ 3c a+b +c+ 3a b+c + 4b c+a ≥6.

Bài tập 2.31 Cho a, b, c là độ dài bai cạnh của một tam giác có chu vi là p Chứng minh rằng

Bài tập 2.32 Cho a, b, c >0 thỏa điều kiệnab+bc+ca= 3.Chứng minh rằng a 2a 2 +bc + b

Bài tập 2.33 Cho a, b, c >0 và thỏa điều kiệna 4 +b 4 +c 4 = 48 Chứng minh rằng ab 2 +bc 2 +ca 2 ≤24.

Bài tập 2.34 Cho a, b, c >0 và thỏa điều kiệna+b+c= 3 Chứng minh rằng a 6 b 2 c 2 + b 6 c 2 a 2 + c 6 a 2 b 2 ≥3.

Bài tập 2.35 Cho a, b, c >0 và thỏa điều kiệna+b+c= 3 Chứng minh rằng

Bài tập 2.36 Cho a, b, c >0 và thỏa điều kiện 1 a + 4 b + 9 c = 1 Chứng minh rằng a+b+c≥36.

Bài tập 2.37 Cho a, b, clà độ dài 3 cạnh của một tam giác Chứng minh rằng

Bài tập 2.38 Cho a, b, c >0 và thỏa điều kiệna 2 +b 2 +c 2 = 1 Chứng minh rằng

Bài tập 2.39 Cho a, b, c >0 và thỏa điều kiệna 2 +b 2 +c 2 = 1 Chứng minh rằng a b 2 +c 2 + b c 2 +a 2 + c a 2 +b 2 ≥ 3√

Bài tập 2.40 Cho a, b, c, d >0 và thỏa điều kiệna 3 +b 3 +c 3 +d 3 = 1 Chứng minh rằng a 2 b 3 +c 3 +d 3 + b 2 c 3 +d 3 +a 3 + c 2 d 3 +a 3 +b 3 + d 2 a 3 +b 3 +c 3 ≥ 4√ 3

PHẦN THỨ BA: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM

Mục đích thực nghiệm là để kiểm chứng tính hiệu quả của phương pháp “Sử dụng bất đẳng thức Cô-si trong chứng minh bất đẳng thức”.

Chọn lớp thực nghiệm: Chọn 20 em học sinh lớp 10A1 (nhóm thực nghiệm) và 20 em học sinh lớp 10A2 (nhóm đối chứng) năm học 2013 - 2014 của trường THPT Hai

Bà Trưng – Thạch Thất Chọn học sinh ở hai nhóm này có lực học toán khá và tương đương nhau.

Dạy thực nghiệm bao gồm các nội dung: Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức. Đề kiểm tra thực nghiệm

Bài 1 Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng

Bài 2 Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác ABC Chứng minh rằng a 2 b+c−a + b 2 c+a−b + c 2 a+b−c ≥a+b+c.

4 Kết quả thực nghiệm Điểm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Số bài Điểm TB

Kết quả thực nghiệm cho thấy nhóm thực nghiệm đạt thành tích cao hơn nhóm đối chứng, với số lượng học sinh có điểm số cao trong nhóm thực nghiệm cũng vượt trội hơn hẳn.

Kết luận và đề xuất của đề tài này là kết quả từ quá trình nghiên cứu và sáng tạo về bất đẳng thức, cùng với sự động viên và góp ý quý báu từ các đồng nghiệp trong tổ Toán-Tin tại Trường THPT Hai Bà Trưng-Thạch Thất.

Bài viết này nhằm cung cấp cho học sinh và đồng nghiệp cái nhìn tổng quát về việc áp dụng bất đẳng thức Cô-si trong việc chứng minh bất đẳng thức Mỗi dạng toán được trình bày với phương pháp giải cụ thể, kèm theo bài tập tự luyện giúp người đọc rèn luyện kỹ năng giải các dạng toán tương đương.

Mặc dù đã đầu tư thời gian và công sức cho đề tài, nhưng do hạn chế về chuyên môn và kinh nghiệm, tôi nhận thấy vẫn còn nhiều thiếu sót Tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp từ độc giả và đồng nghiệp Để nâng cao chất lượng dạy và học môn Toán, đặc biệt là bộ môn Đại số tại trường THPT Hai Bà Trưng-Thạch Thất, tôi xin mạnh dạn đề xuất một số ý kiến như sau.

Nhà trường cần tổ chức hội thảo chuyên đề về nội dung và phương pháp giảng dạy mới, đồng thời triển khai các buổi ngoại khóa nhằm giới thiệu các phương pháp học tập hiện đại và tự học Điều này sẽ giúp học sinh trở nên chủ động và sáng tạo hơn trong quá trình học tập.

Giáo viên cần liên tục nghiên cứu và tham gia các lớp bồi dưỡng chuyên môn để cập nhật phương pháp giảng dạy hiệu quả Họ cũng nên học hỏi từ đồng nghiệp và tìm hiểu mức độ tiếp thu của từng học sinh, từ đó điều chỉnh phương pháp giảng dạy cho phù hợp với từng đối tượng.

Học sinh cần tích cực học tập, không ngại khó khăn và luôn phấn đấu để nâng cao kiến thức Ngoài giờ học trên lớp, các em nên tổ chức học nhóm để trao đổi và hỗ trợ lẫn nhau Việc tìm hiểu các phương pháp tự học là rất quan trọng, từ đó hình thành thói quen tự học và rèn luyện tính chủ động Học sinh cũng cần tích cực làm và tham khảo nhiều dạng bài tập khác nhau, khám phá các hướng giải quyết đa dạng cho từng bài tập cụ thể.

Hà Nội, ngày 26 tháng 5 năm 2014 - Tôi, Thủ trưởng đơn vị, xin cam đoan rằng đây là sáng kiến kinh nghiệm của tôi, hoàn toàn không sao chép nội dung từ người khác.

[1] Ban tổ chức kỳ thi (2012), Tổng tập Đề thi Olympic 30 tháng 4 - Toán học 10, NXB Đại học Sư phạm.

[2] Ban tổ chức kỳ thi (2012), Tổng tập Đề thi Olympic 30 tháng 4 - Toán học 11, NXB Đại học Sư phạm.

[3] Nguyễn Vũ Lương, Phạm Kim Hùng, Nguyễn Ngọc Thắng (2006), Các bài giảng về bất đẳng thức Cô-si, NXB Đại học quốc gia Hà nội.

[4] Nguyễn Văn Mậu (2006),Bất đẳng thức - Định lý và áp dụng, NXB Giáo Dục.

[5] Đoàn Quỳnh, Doãn Minh Cường, Trần Nam Dũng, Đặng Hùng Thắng (2012),Tài liệu chuyên toán Đại số 10, NXB Giáo Dục Việt Nam.

[6] Đoàn Quỳnh, Doãn Minh Cường, Trần Nam Dũng, Đặng Hùng Thắng (2012),Tài liệu chuyên toán Bài tập Đại số 10, NXB Giáo Dục Việt Nam.

[7] Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Doãn Minh Cường, Đỗ Mạnh Hùng, Nguyễn Tiến Tài

(2006),Đại số 10, NXB Giáo Dục.

[8] Phạm Kim Hùng (2006), Sáng tạo bất đẳng thức, NXB Tri thức.

[9] Vũ Tuấn, Doãn Minh Cường, Trần Văn Hạo, Đỗ Mạnh Hùng, Phạm Phu, Nguyễn Tiến Tài (2006), Bài tập Đại số 10, NXB Giáo Dục.

[10] Tạp chí toán học tuổi trẻ, NXB Giáo Dục Việt Nam.

31 Ý KIẾN NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ VÀ XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CƠ SỞ

Định dạng
Số trang	34
Dung lượng	285,05 KB